ОПТИМАЛЬНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПО МНОГОМЕРНЫМ СИГНАЛАМ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА Во Тхи Тань Ха Белгосуниверситет, факультет прикладной математики и информатики Независимости 4, 220030 Минск, Беларусь thanhhavothi229@gmail.com 1. Оптимальное наблюдение динамических систем [1-3] является частью процесса управления ими в условиях неопределенности, с помощью которого получаются необходимые для процесса управления оценки неопределенности. Цель работы – исследовать метод оптимального наблюдения в реальном времени линейных динамических систем по многомерным сигналам измерительного устройства. 2. Пусть T = [t∗ , t∗ ] – промежуток времени; Th = {t∗ , t∗ + h, ..., t∗ }, ∗ −t∗ h= tN (N > 1 – натуральное число; A(t) ∈ Rn×n , t ∈ T , – кусочнонепрерывная функция; x = x(t) = (xj (t), j ∈ J) ∈ Rn – состояние объекта наблюдения в момент времени t, J = {1, 2, . . . , n}. Поведение динамического объекта описывается уравнением: ẋ = A(t)x, t ∈ T, (1) Начальное состояние x(t∗ ) = x0 объекта не задано, но известно, что оно принадлежит множеству X∗ : x0 ∈ X∗ = {x ∈ Rn : d∗ ≤ x ≤ d∗ }. Множество X∗ называется априорным распределением начального состояния x0 . Ему соответствует априорное распределение терминального состояния X ∗ = {x ∈ Rn : x = x(t∗ |t∗ , x0 ), x0 ∈ X∗ }, которое характеризует априорную неопределенность в поведении объекта (1). В задачах оптимального гарантирующего программного управления в условиях неопределенности используются линейные оценки вида: α = α(X ∗ ) = max p′ x, x ∈ X ∗ , (2) где p ∈ Rn (∥p∥ = 1). Вычисление оценки (2) называется задачей оптимального априорного наблюдения. Для уменьшения априорной неопределенности используются сигналы импульсного измерительного устройства: y(θ) = G(θ)x(θ) + ξ(θ), ξ(θ) ∈ Ξ, θ ∈ Th , 91 где G(t) ∈ Rr×n , t ∈ T , – непрерывная функция; ξ(θ) = (ξi (θ), i ∈ I), θ ∈ Th , – неизвестные погрешности (ошибки) измерений, I = {1, 2, . . . , r}; Ξ = {ξ ∈ Rr : ξ∗ ≤ ξ ≤ ξ ∗ }; ξ∗ , ξ ∗ ∈ Rr – известные векторы. Пусть y(·) = (y(θ), θ ∈ Th ) – совокупность сигналов, записанных в некотором процессе наблюдения. Определение 1. Множество X∗ (y(·)) называется апостериорным распределением начального состояния x0 модели (1), соответствующим импульсным сигналам y(·), если оно состоит из тех и только тех векторов x ∈ X∗ , которые вместе с некоторыми возможными погрешностями измерений ξ(θ) ∈ Ξ, θ ∈ Th , способны породить y(·). Множеству X∗ (y(·)) соответствует апостериорное распределение терминального состояния X ∗ (y(·)) = {x ∈ Rn : x = x(t∗ |t∗ , x0 ), x0 ∈ X∗ (y(·))}, элементы которого x ∈ X ∗ (y(·)) назовем апостериорно возможными терминальными состояниями. Пусть τ ∈ Th – текущий момент процесса наблюдения; yτ (·) = (y(θ), θ ∈ Thτ ), Thτ = T τ ∩ Th , T τ = [t∗ , τ ], – записанные к этому моменту сигналы. Пара (τ, yτ (·)) – текущая позиция процесса наблюдения. Определение 2. Множество X∗ (τ, yτ (·)) – текущее распределение начального состояния x0 в позиции (τ, yτ (·)), если оно состоит из таких и только таких x ∈ X∗ , которые способны вместе с некоторыми возможными ξτ (·) получить yτ (·). Множеству X∗ (τ, yτ (·)) соответствует текущее распределение терминального состояния X ∗ (τ, yτ (·)) = {x ∈ Rn : x = x(t∗ |t∗ , x0 ), x0 ∈ X∗ (τ, yτ (·))}. Его элементы – возможные значения терминального состояния в позиции (τ, yτ (·)). Для позиционного решения задач оптимального наблюдения достаточно знать линейные оценки множества X ∗ (τ, yτ (·)): α(τ, yτ (·)) = max p′ x, x ∈ X ∗ (τ, yτ (·)). (3) В подробной записи задача (3) имеет вид q ′ x → max, ξ∗ (θ) ≤ D(θ)x ≤ ξ ∗ (θ), θ ∈ Thτ ; d∗ ≤ x ≤ d∗ , x (4) где − y(θ), ξ ∗ (θ) = ξ ∗ − y(θ), D(θ) = −G(θ)F (θ) = ( ξ∗ (θ) = ξ∗ ) dij (θ), j ∈ J , θ ∈ Th ; q ′ = p′ F (t∗ ). i∈I 92 Вычисление (3) назовем текущей задачей оптимального наблюдения. Решение задачи (4) называется экстремальным начальным состоянием в позиции (τ, yτ (·)). Пусть Yτ (·) – множество всех сигналов yτ (·), которые могут быть записаны к моменту времени τ . Определение 3. Функцию α(τ, yτ (·)), yτ (·) ∈ Yτ (·), τ ∈ Th , (5) будем называть позиционным решением задачи оптимального наблюдения (4), а ее построение – синтезом оптимальной системы наблюдения. Наблюдение объекта с помощью позиционного решения (5) осуществляется по алгоритму, описанному в [1]-[4]. Для иллюстрации метода рассмотрены динамические системы 4-го и 8-го порядков с двухмерными сигналами измерительного устройства. Список литературы 1. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Поясок Е.И. Оптимальное наблюдение в реальном времени линейного динамического объекта // Доклады РАН. 2013. Т. 448. № 2. С. 145-148. 2. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Синтез оптимальных управлений для динамических систем при неполной и неточной информации об их состояниях // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1995. Т. 211. С. 140-152. 3. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Дмитрук Н. М. Оптимизация многомерных систем управления с параллелепипедными ограничениями // Автоматика и телемеханика 2002. №3. С. 3-26. 4. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 1. Линейные задачи. Мн.: Университетское, 1984. 214 с. ОПТИМАЛЬНОЕ НАСЫЩАЕМОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕУСТОЙЧИВЫМ ОБЪЕКТОМ В.С. Воронков ул. Ильинская 65, 603000 Нижний Новгород, Россия vic_voronkov@mail.ru Введение. Разработка методов оптимального управления с целью стабилизации неустойчивых объектов берет начало с работ Р. Калмана и А.М. Летова [1, 2]. В этих работах используется линейная математическая модель полностью управляемого и наблюдаемого объекта, что позволяет найти оптимальное управление как линейную обратную связь по переменным состояния. Оптимальность управления 93