Îãëàâëåíèå ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ Ïðåäèñëîâèå .......................................................................................... 6 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ...................................................................... 11 1.1. Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè ................................................................... 11 1.2. Ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ................................. 18 1.3. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ................................... 29 1.4. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .............................................................................. 44 1.5. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà Áàéåñà ................................................................................... 53 1.6. Çàäà÷à êàâàëåðà äå Ìåðå ............................................................. 62 Ãëàâà 2. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðíîãî àíàëèçà ............................... 64 2.1. Âûáîðêè ñ âîçâðàùåíèåì è áåç âîçâðàùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè è êîìáèíàöèè ................................................................ 2.2. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ è áèíîì Íüþòîíà ..................................... 2.3. Ôîðìóëà Áåðíóëëè ........................................................................ 2.4. Òåîðåìû Ìóàâðà Ëàïëàñà ....................................................... 65 68 70 75 Ãëàâà 3. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ............................................... 79 3.1. Îïðåäåëåíèå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ................................ 79 3.2. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà. Ðàñïðåäåëåíèå âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî è âûáîðî÷íîãî îòíîøåíèÿ ......................... 85 3.3. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç .......................................................................... 94 1 Îãëàâëåíèå 3.4. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà .............. 106 Ãëàâà 4. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè ................................................... 113 4.1. Íåñìåùåííîñòü, ñîñòîÿòåëüíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü îöåíîê .................................................................................................. 113 4.2. Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîãðåøíîñòüþ, ðèñêîì è ðàçìåðîì âûáîðêè. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ............................ 119 Ãëàâà 5. χ2-ðàñïðåäåëåíèå ............................................................... 127 5.1. Îïðåäåëåíèå χ2-ðàñïðåäåëåíèÿ ............................................ 127 5.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ñîîòâåòñòâèè íàáëþäåíèé ïðåäïîëàãàåìîìó ðàñïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû .......................................................................... 130 5.3. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ è ãèïîòåç îá îäíîðîäíîñòè .............................................................. 138 Ãëàâà 6. t-ðàñïðåäåëåíèå ................................................................. 144 6.1. Îïðåäåëåíèå t-ðàñïðåäåëåíèÿ ................................................... 144 6.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ñðåäíåì çíà÷åíèè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ íåèçâåñòíîé äèñïåðñèåé ......................................................................................... 149 6.3. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ðàâåíñòâå ñðåäíèõ çíà÷åíèé äâóõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .................... 154 Ãëàâà 7. F-ðàñïðåäåëåíèå ................................................................ 159 7.1. Îïðåäåëåíèå F-ðàñïðåäåëåíèÿ ................................................. 159 7.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé äâóõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ............................ 162 7.3. Ýëåìåíòû äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà .......................................... 164 Ãëàâà 8. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà .................................................. 169 8.1. Îïðåäåëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà .................................... 169 8.2. Ïóàññîíîâñêèé ïîòîê ñîáûòèé ................................................. 172 2 Îãëàâëåíèå 8.3. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è âðåìÿ ìåæäó ïîÿâëåíèåì äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñîáûòèé â ïóàññîíîâñêîì ïîòîêå ................................................................... 177 8.4. Àíàëèç ïðîñòåéøåé ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ......... 179 8.5. Ñâÿçü ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ñ èñïûòàíèÿìè Áåðíóëëè è ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ..................................................... 184 8.6. Îöåíêà ïàðàìåòðà ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ................. 188 Ãëàâà 9. Ïðîñòàÿ ðåãðåññèÿ ............................................................ 191 9.1. Êîððåëÿöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ .............................................. 192 9.2. Ïðîñòàÿ ðåãðåññèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ ................................. 196 9.3. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè ïðîñòîé ðåãðåññèè ................................ 201 Ãëàâà 10. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ ............................................ 207 10.1. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ .................. 208 10.2. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè îòäåëüíûõ ôàêòîðîâ è çíà÷èìîñòè ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè â öåëîì .......................... 210 10.3. Àëãåáðàè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ òèïà ñäâèãîâ è ðàçíîñòåé. Ôèêòèâíûå ïåðåìåííûå ........................ 217 Ãëàâà 11. Ðàíãîâûå êîððåëÿöèè .................................................... 221 11.1. Ñðàâíåíèå äâóõ ïåðåñòàíîâîê ................................................. 221 11.2. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè ðàíãîâîé êîððåëÿöèè .......................... 224 Ïðèëîæåíèÿ ...................................................................................... 229 Òàáëèöà äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ....................................... Òàáëèöà äëÿ χ2- ðàñïðåäåëåíèÿ ......................................................... Òàáëèöà äëÿ t-ðàñïðåäåëåíèÿ ............................................................ Òàáëèöû äëÿ F-ðàñïðåäåëåíèÿ .......................................................... 229 231 233 235 Áèáëèîãðàôè÷åñêàÿ ñïðàâêà ......................................................... 242 Ëèòåðàòóðà ........................................................................................ 247 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü .................................................................... 250 3 Îãëàâëåíèå ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé îòíîñèòñÿ ê òåì ðàçäåëàì ìàòåìàòèêè, êîòîðûå íàõîäÿò ñàìîå øèðîêîå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå. Îäíà èç îáëàñòåé, ãäå èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè, ýòî ñòàòèñòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü èíôîðìàöèè ïîñòóïàåò ê íàì â âèäå ÷èñåë. Ñîáðàòü äàííûå è ïðåäñòàâèòü èõ â ôîðìå òàáëèö, ãðàôèêîâ, äèàãðàìì èëè êîìïüþòåðíûõ ôàéëîâ î÷åíü âàæíî. Ðèñóíêè è îòäåëüíûå íàèáîëåå çíà÷èìûå ÷èñëà äàþò îòâåòû íà áîëüøèíñòâî âîïðîñîâ. Íî ìíîãîå èç òîãî, ÷òî ñîäåðæèòñÿ â ÷èñëîâîé èíôîðìàöèè, îñòàåòñÿ ñêðûòûì è ìîæåò áûòü âûÿâëåíî òîëüêî ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Äëÿ ÷åãî ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå? Êàê èçâëå÷ü èç íèõ íóæíóþ íàì èíôîðìàöèþ? Ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îïèñàíèÿ è àíàëèçà ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû, ïîñòðîåíèÿ ïðîãíîçîâ è âûðàáîòêè ðåøåíèé. Åùå îäíî íàïðàâëåíèå ýòî îöåíêà âîçìîæíîñòåé âûáîðà (îöåíêà îïöèîíîâ) íà ôèíàíñîâûõ ðûíêàõ. Ãîâîðÿ î ïîñòðîåíèè ïðîãíîçîâ, ìû, â ïåðâóþ î÷åðåäü, èìååì â âèäó êîëè÷åñòâåííûå, à íå êà÷åñòâåííûå ïðîãíîçû. Êà÷åñòâåííûå ïðîãíîçû ýòî îòâåòû íà âîïðîñû, ïðîèçîéäåò ëèáî íåò òî èëè äðóãîå ñîáûòèå, èëè êàêîé èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ îñóùåñòâèòñÿ. Êîëè÷åñòâåííûå ïðîãíîçû ýòî ïðåäñêàçàíèÿ êàêèõ-òî ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ îïðåäåëåííûõ áóäóùèõ ìîìåíòîâ èëè îòðåçêîâ âðåìåíè. Àíàëèç ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ïðîãíîçà è â òî æå âðåìÿ ïðåäñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ.  ýòîé êíèãå ðå÷ü, â îñíîâíîì, ïîéäåò èìåííî î òðàäèöèîííûõ ìåòîäàõ ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ìåòîäû èñïîëüçîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè äëÿ âûðàáîòêè ðåøåíèé î÷åíü ðàçíîîáðàçíû. Îäíàêî íàèáîëåå èíòåðåñíûå è âàæíûå ïîäõîäû ïî ñâîåé ñëîæíîñòè âûõîäÿò çà ïðåäåëû 4 Ïðåäèñëîâèå ýòîé êíèãè è ïîòîìó â íåé íå îòðàæåíû. Íåêîòîðûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ äëÿ âûðàáîòêè ðåøåíèé ïðèâåäåíû â ïàðàãðàôå 3.4. Ìíîãèå èäåè âûñøåé ìàòåìàòèêè ïðèìåíÿþòñÿ ïðè ðàáîòå ñ ÷èñëîâîé ýêîíîìè÷åñêîé èíôîðìàöèåé. Îíè ïðåâðàòèëèñü â èíñòðóìåíòû, ñ êîòîðûìè ïîëåçíî óìåòü îáðàùàòüñÿ ëþáîìó ýêîíîìèñòó. Íèêòî íå ñïîðèò ñ òåì, ÷òî â æèçíè ýòè èíñòðóìåíòû íóæíû áèðæåâîìó àíàëèòèêó áîëüøå, ÷åì äèðåêòîðó ìàãàçèíà, ñïåöèàëèñòó ïî îïöèîíàì è ôüþ÷åðñàì áîëüøå, ÷åì íàëîãîâîìó èíñïåêòîðó. Îäíàêî ïðàêòè÷åñêè âñåì ýêîíîìèñòàì ïðèõîäèòñÿ ïîñòîÿííî èìåòü äåëî ñ ÷èñëîâîé èíôîðìàöèåé, è ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî ìîæåò è ÷åãî íå ìîæåò äàòü ìàòåìàòèêà ïðè ðàáîòå ñî ñòàòèñòè÷åñêèìè äàííûìè, áåçóñëîâíî, ïîëåçíî. Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå êîìïüþòåðîâ îáåñïå÷èëî âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ïðîãðàìì, â êîòîðûõ ðåàëèçîâàíû ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. È êîíå÷íî, òîëüêî îïûò ðàáîòû ìîæåò íàó÷èòü, êàêîé èç ìåòîäîâ è êîãäà ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü. Ïðèìåíåíèå èíñòðóìåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî â ðàñïîðÿæåíèè ìàñòåðà åñòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé ÷èñëîâîé ìàòåðèàë, ò.å. íàáîð äàííûõ, âûðàæàþùèõ îäíó èëè íåñêîëüêî õàðàêòåðèñòèê ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ ìîìåíòîâ èëè îòðåçêîâ âðåìåíè. Ýòî äåñÿòêè, ñîòíè, à èíîãäà è çíà÷èòåëüíî áîëüøèå ìàññèâû ÷èñåë. Èíñòðóìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè äîñòàòî÷íî ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà è ïî íàçíà÷åíèþ, è ïî ïðèíöèïàì äåéñòâèÿ. Öåëü äàííîé êíèãè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàññêàçàòü, íà ÷åì îñíîâàíû ýòè èíñòðóìåíòû, è ïðèâåñòè íåêîòîðûå ïðèìåðû èõ èñïîëüçîâàíèÿ. Ïî ïðåäàíèþ, îäèí êîðîëü ïîïðîñèë ñâîåãî ïðèäâîðíîãî ìóäðåöà îáó÷èòü åãî ìàòåìàòèêå. ß ÷óâñòâóþ, ÷òî çíàíèå ìàòåìàòèêè ìîæåò ïðèíåñòè ìíå ïîëüçó, ñêàçàë êîðîëü. Íî òîëüêî ó ìåíÿ ñëèøêîì ìàëî ñâîáîäíîãî âðåìåíè, è ìíå õîòåëîñü áû óçíàòü âñå, ÷òî íóæíî, êàê-íèáóäü ïîáûñòðåå. Âàøå âåëè÷åñòâî, îòâåòèë ìóäðåö, ê ñîæàëåíèþ, â ìàòåìàòèêå íå ñóùåñòâóåò êîðîëåâñêèõ ïóòåé. 5 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ôðàçà î òîì, ÷òî â ìàòåìàòèêå íå ñóùåñòâóåò êîðîëåâñêèõ ïóòåé, ñòàëà êðûëàòîé. Ìàòåìàòèêó íåëüçÿ âûó÷èòü íè çà äâà ÷àñà, íè çà äâàäöàòü ÷àñîâ. Ñòóäåíòû-ýêîíîìèñòû èíîãäà èñïûòûâàþò òàêîå æå æåëàíèå, êàê òîò êîðîëü: Íàñ îêðóæàåò ìàññà ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè, è ìû ÷óâñòâóåì, ÷òî ìàòåìàòèêà ìîæåò ïîìî÷ü íàì êàê-òî ðàçîáðàòüñÿ âî âñåõ ýòèõ ÷èñëàõ è íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ íèìè. Ïîæàëóéñòà, èçëîæèòå òîëüêî ñàìóþ ñóòü, íå íàäî ëèøíèõ äåòàëåé. Íî èìåííî ðàçáèðàÿñü â äåòàëÿõ, ÷åëîâåê ïðèîáðåòàåò ìàòåìàòè÷åñêóþ êóëüòóðó, è èìåííî ýòà êóëüòóðà, à íå õðàíÿùèéñÿ â ïàìÿòè íàáîð ôîðìóëèðîâîê, äîëæíà ñòàòü îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì îáó÷åíèÿ. Áåç íåå èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ áóäåò ôîðìàëüíûì è ìàëîýôôåêòèâíûì. Áîëüøèíñòâî ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ ïðè ðàáîòå ñ ÷èñëîâîé ýêîíîìè÷åñêîé èíôîðìàöèåé, îòíîñèòñÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, íàçûâàåìîé òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Ýòà òåîðèÿ âîçíèêëà â XVII â. â ðàáîòàõ ôðàíöóçñêèõ ìàòåìàòèêîâ Á. Ïàñêàëÿ è Ï. Ôåðìà. Ìíîãèå âàæíûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû â XVIII è XIX ââ.  ÷èñëî îñíîâàòåëåé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé âõîäÿò ß. Áåðíóëëè, Ï. Ëàïëàñ, Ê. Ãàóññ, Ï.Ë. ×åáûøåâ. Íî òîëüêî â XX â. òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé áûëà ïðåâðàùåíà â áåçóïðå÷íî ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ ñîâåòñêèì ìàòåìàòèêîì À.Í. Êîëìîãîðîâûì, êîòîðûé ïðèìåíèë èäåè ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà À. Ëåáåãà, îòíîñÿùèåñÿ ê òåîðèè èíòåãðèðîâàíèÿ, äëÿ îáîñíîâàíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïîñëå ïîÿâëåíèÿ ðàáîò À.Í. Êîëìîãîðîâà ñòàëî ÿñíî, ÷òî èñïîëüçîâàâøèåñÿ ðàíåå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íà ïîëóèíòóèòèâíîì óðîâíå ïîíÿòèÿ (è èìåþùèå ñâîè íàçâàíèÿ) ÿâëÿþòñÿ îáùåïðèíÿòûìè â ìàòåìàòèêå. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå äóáëèðîâàíèå òåðìèíîâ, èñïîëüçóåìûõ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è âî âñåé îñòàëüíîé ìàòåìàòèêå (îá ýòîì ìû áóäåì ãîâîðèòü â ãëàâå 1).  íàñòîÿùåå âðåìÿ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü ñòàðûå òðàäèöèîííûå òåðìèíû, óäîáíûå äëÿ ïðèëîæåíèé, íî íàïîëíåííûå ñòðîãèì ìàòåìàòè÷åñêèì ñîäåðæàíèåì. Ê ñîæàëåíèþ, êîíñòðóêöèè À.Í. Êîëìîãîðîâà äîñòàòî÷íî ñëîæíû. Ñòóäåíòû-ìàòåìàòèêè èçó÷àþò èõ îáû÷íî íå ðàíüøå òðåòüåãî êóð6 Ïðåäèñëîâèå ñà.  ýòîì ó÷åáíèêå, ïðåäíàçíà÷åííîì äëÿ ýêîíîìèñòîâ, îíè áóäóò èçëîæåíû êîðîòêî è â î÷åíü óïðîùåííîì âèäå. Ïîä ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêîé, ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêîâ, ïîíèìàåòñÿ ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðè ðàáîòå ñî ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèåé. Ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå åñòü ìíîãî õîðîøèõ ó÷åáíèêîâ êàê äëÿ ñòóäåíòîâìàòåìàòèêîâ, òàê è äëÿ ñòóäåíòîâ-íåìàòåìàòèêîâ (ñì. ñïèñîê ëèòåðàòóðû â êîíöå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ). Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå çàäóìûâàëîñü êàê àçáóêà. Îíî äîëæíî áûòü íàïèñàíî ïðîñòî è ïîíÿòíî, â óùåðá îáùíîñòè è ïîëíîòå, ãîâîðÿ óñëîâíî, êðóïíûìè áóêâàìè ñ êàðòèíêàìè, ãäå ýòî òîëüêî âîçìîæíî. Íî â òî æå âðåìÿ îíî äîëæíî äàâàòü ôóíäàìåíò äëÿ ïîñëåäóþùåé ðàáîòû. Îñíîâàì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ ïîíèìàíèÿ ó÷åáíîãî êóðñà, ïîñâÿùåíà ãëàâà 1. Íàèáîëåå âàæíûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íà êîòîðîì ñòðîèòñÿ âñå äàëüíåéøåå èçëîæåíèå.  ãëàâå 2 ðàçáèðàþòñÿ íåêîòîðûå çàäà÷è êîìáèíàòîðèêè, ïîìîãàþùèå ïîíÿòü, îòêóäà âîçíèêàåò çàêîí íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé êðàåóãîëüíûé êàìåíü ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé çàíèìàåò îòíîñèòåëüíî íåáîëüøóþ ÷àñòü ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ îñíîâíàÿ åãî ÷àñòü ïîñâÿùåíà ñòàòèñòè÷åñêèì ìåòîäàì. Ïîýòîìó îòáîð ìàòåðèàëà, îòíîñÿùåãîñÿ ê òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, áûë ïðîèçâåäåí î÷åíü æåñòêî. Êàê è â ëþáûõ äðóãèõ ðàçäåëàõ òåîðåòè÷åñêîé ìàòåìàòèêè, íåïîñðåäñòâåííî âûõîäÿùèõ íà ïðèëîæåíèÿ, îäíè ïîíÿòèÿ è òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èñïîëüçóþòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ íåïîñðåäñòâåííî, à äðóãèå íóæíû äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü èñïîëüçóåìûå òåîðåìû. Ïðè îòáîðå ìàòåðèàëà íàìè áûë ñäåëàí âûáîð â ïîëüçó ïîíÿòèé è òåîðåì ïåðâîãî âèäà. Ìû ñòðåìèëèñü ê òîìó, ÷òîáû, çàòðàòèâ ìèíèìàëüíîå âðåìÿ, ÷èòàòåëü óñâîèë îñíîâíûå ïðèíöèïû ïðèìåíåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ðàáîòû ñî ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèåé. Ñëàáîé ñòîðîíîé òàêîãî ñïîñîáà èçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìíîãèå âàæíûå òåîðåìû ïðèâåäåíû áåç äîêàçàòåëüñòâ. (Î òîì, ãäå ìîæíî íàéòè äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ òåîðåì, ñêàçàíî â áèáëèîãðàôè÷åñêîé ñïðàâêå.) Ãëàâû 3 è 4 ïîñâÿùåíû îïðåäåëåíèþ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ðàçëè÷íûì ïðèëîæåíèÿì íîðìàëüíîãî ðàñ7 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ïðåäåëåíèÿ.  äàëüíåéøåì ââîäÿòñÿ äðóãèå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé è ñðàçó æå äàþòñÿ ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèÿ: χ2-ðàñïðåäåëåíèå (ãëàâà 5), t-ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà (ãëàâà 6), F-ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà (ãëàâà 7), ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà (ãëàâà 8). Âñå ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ãëàâû 9, 10 è 11 ïîñâÿùåíû äðóãîìó âàæíîìó ðàçäåëó ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ðåãðåññèè è êîððåëÿöèè. Äàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò íåîáõîäèì äëÿ èññëåäîâàíèÿ âçàèìíîãî âëèÿíèÿ è âçàèìíîé çàâèñèìîñòè äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ è íàáîðîâ íàáëþäåíèé. Èçëîæåíèå âåäåòñÿ ñîâñåì ïðîñòî â íà÷àëå êíèãè è ïîñòåïåííî óñëîæíÿåòñÿ â ïîñëåäóþùåì. Íà÷èíàÿ ñ ïàðàãðàôà 1.3 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ îñíîâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.  ãëàâå 10 èñïîëüçóþòñÿ îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè. Èçìåíåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì èçäàíèåì íîñÿò, â îñíîâíîì, ðåäàêöèîííûé õàðàêòåð. Çàìåíåíû íåêîòîðûå ïðèìåðû. Íåñêîëüêî ðàñøèðåíû ïàðàãðàôû, ïîñâÿùåííûå óñëîâíûì âåðîÿòíîñòÿì, ïðîâåðêå ãèïîòåç è äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëàì.  îñíîâó ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïîëîæåíû ëåêöèè, êîòîðûå àâòîð ÷èòàë ñòóäåíòàì Ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà Âûñøåé øêîëû ýêîíîìèêè â òå÷åíèå ðÿäà ëåò. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äàííàÿ êíèãà îñòàåòñÿ âñå æå ó÷åáíûì ïîñîáèåì, ðÿä âàæíûõ ðàçäåëîâ êóðñà â êíèãå íå ïðåäñòàâëåí. Àâòîð áëàãîäàðèò êîëëåêòèâ ÃÓ ÂØÝ çà ïîìîùü â îðãàíèçàöèè êóðñà è âñåõ êîëëåã, âûñêàçàâøèõ àâòîðó ñâîè êîíñòðóêòèâíûå è äîáðîæåëàòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Îòäåëüíî àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü Ý.Á. Åðøîâó çà áîëüøîå ÷èñëî ïîëåçíûõ çàìå÷àíèé, ñäåëàííûõ ïðè ïîäãîòîâêå åùå ïåðâîãî èçäàíèÿ êíèãè. 8 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 1 ãëàâà ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ È ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ Â ýòîé ãëàâå ââîäèòñÿ ïîñòîÿííî èñïîëüçóåìîå â äàëüíåéøåì ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îïðåäåëÿþòñÿ òàêæå äðóãèå ïîíÿòèÿ: ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü, óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, îæèäàåìîå çíà÷åíèå (îæèäàíèå) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 1.1 Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè Ñòðîãîñòü â ìàòåìàòèêå ÿâëÿåòñÿ íåïðåìåííûì óñëîâèåì. Âñå èñïîëüçóåìûå ïîíÿòèÿ îïðåäåëÿþòñÿ, âñå óòâåðæäåíèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì àêñèîì, äîêàçûâàþòñÿ.  êàæäîì îïðåäåëåíèè íîâûå ïîíÿòèÿ îïèðàþòñÿ íà ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå ðàíüøå. Íî åñëè òàê, òî êàê æå áûòü ñ ñàìûìè ïåðâûìè îïðåäåëåíèÿìè? ×åðåç ÷òî îïðåäåëÿþòñÿ ââîäèìûå â íèõ ïîíÿòèÿ? Îòâåò íà ýòè âîïðîñû ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí.  ìàòåìàòèêå åñòü íåîïðåäåëèìûå ïîíÿòèÿ. Òàêèìè ïîíÿòèÿìè ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâî è ôóíêöèÿ. Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îáñóæäåíèþ òîãî, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî è ÷òî òàêîå ôóíêöèÿ, ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðîëü ýòèõ ïîíÿòèé íå îãðàíè÷è9 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà âàåòñÿ òåì, ÷òî ÷åðåç íèõ îïðåäåëÿþòñÿ âñå îñòàëüíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòèêè. Åùå áîëåå âàæíî òî, ÷òî ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðåìà ýòî åñòü íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå î ìíîæåñòâàõ è (èëè) ôóíêöèÿõ. Ìíîæåñòâî ýòî ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ, îáëàäàþùèõ íåêîòîðûì ñâîéñòâîì. ßñíî, ÷òî ýòî íå îïðåäåëåíèå, à ïîÿñíåíèå. Ñëîâî ñîâîêóïíîñòü íè÷åì íå ëó÷øå ñëîâà ìíîæåñòâî. Ïðèìåðàìè ìíîæåñòâ ìîãóò áûòü: ìíîæåñòâî ëþäåé, æèâóùèõ â äîìå; ìíîæåñòâî ÿáëîê, ëåæàùèõ â êîðçèíå; ìíîæåñòâî òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ: N ìíîæåñòâî öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ò.å. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6 è ò.ä.; R ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîå âõîäÿò âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà N, à òàêæå îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, äðîáíûå ÷èñëà è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà, íàïðèìåð, òàêèå, êàê 2 , π è å. Ââåäåì íåñêîëüêî ñèìâîëîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ìíîæåñòâàì, íåîáõîäèìûõ íàì äëÿ äàëüíåéøåãî. x∈A (ýëåìåíò õ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À). Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî À ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Â, åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà À ÿâëÿåòñÿ Ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà Â.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî À ïîäìíîæåñòâî Â. À⊂ (ìíîæåñòâî À ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Â; ñì. ðèñ. 1.1).  ÷àñòíîñòè, À ⊂ À. Ïîäìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîãî ýëåìåíòà õ, îáîçíà÷àåòñÿ {õ}. Åñëè õ ∈ À, òî {x} ⊂ À. Ôèãóðíûå ñêîáêè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû íàãëÿäíî ïîêàçàòü, èç êàêèõ ýëåìåíòîâ ñîñòîèò ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð, N = {1, 2, 3, ...}. 10 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðèñ. 1.1. Ïîäìíîæåñòâî À ìíîæåñòâà  Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî Ñ íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è Â, åñëè ìíîæåñòâî Ñ ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò è ìíîæåñòâó À, è ìíîæåñòâó Â. Ñ=A∩ (Ñ ïåðåñå÷åíèå À è Â; ñì. ðèñ. 1.2). Ðèñ. 1.2. Ìíîæåñòâî Ñ ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ À è  11 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî Ñ íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ À è Â, åñëè ìíîæåñòâî Ñ ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ À èëè Â. Ñ=A∪ (Ñ îáúåäèíåíèå À è Â; ñì. ðèñ. 1.3). Ðèñ. 1.3. Ìíîæåñòâî Ñ îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ À è  Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè îíî ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, è áåñêîíå÷íûì â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 0, íî ìåíüøèõ 10, êîíå÷íî (îíî ñîäåðæèò 9 ýëåìåíòîâ), à ìíîæåñòâà N è R áåñêîíå÷íû. Ïðèìåð 1.1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [0,1] ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë õ ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 0 ≤ x ≤ 1. Ìíîæåñòâî [0,1] áåñêîíå÷íî (õîòÿ è îãðàíè÷åíî). Ïðè a ≤ b ìíîæåñòâî òî÷åê õ ∈ R òàêèõ, ÷òî a ≤ x ≤ b, íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì. Ïðè à < b ìíîæåñòâî òî÷åê õ ∈ R òàêèõ, ÷òî à < õ < b, íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì. 12 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Äî ñèõ ïîð ìû ñ÷èòàëè, ÷òî ìíîæåñòâî ýòî ñîâîêóïíîñòü íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ. Òåïåðü ïîíÿòèå ìíîæåñòâà íóæíî ðàñøèðèòü.  êîðçèíå ñ ÿáëîêàìè ìîæåò ëåæàòü îäíî ÿáëîêî, äâà, òðè è ò.ä. Íî ìîæåò íå ëåæàòü íè îäíîãî. Òàê æå ìîæíî ðàññìîòðåòü ñîâîêóïíîñòü, â êîòîðîé íåò ýëåìåíòîâ. Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∅. Ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì (íî íå ýëåìåíòîì!) ëþáîãî ìíîæåñòâà. Ïîÿñíèì íà ïðèìåðå, ïî÷åìó ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ïîëåçíûì è äàæå íåîáõîäèìûì. Ïóñòü ìíîæåñòâî À ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ a1, a2, a3. Òîãäà ó ìíîæåñòâà À åñòü âîñåìü ïîäìíîæåñòâ: ∅, {a1}, {a2}, {a3}, {a1, a2}, {a1, a3}, {a2, a3}{a1, a2, a3}. ( ÷èñëî ïîäìíîæåñòâ âêëþ÷àþòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî è ñàìî ìíîæåñòâî A.) Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ïîäìíîæåñòâ {a1, a2} è {a1, a3}: {a1, a2} ∩ {a1, a3} = {a1}. À ÷òî òàêîå ïåðåñå÷åíèå, íàïðèìåð, {a1, a2} è {a3}? Åñëè áû ìû íå ââåëè ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà, òî äîëæíû áûëè áû ïðèçíàòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ íå îïðåäåëåíà, ÷òî î÷åíü íåóäîáíî. Íî òåïåðü îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé: {a1, a2} ∩ {a3} = ∅. Òåïåðü ìîæíî ïåðåéòè ê îáñóæäåíèþ òîãî, ÷òî òàêîå ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ ýòî îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîìó ýëåìåíòó îäíîãî ìíîæåñòâà ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé ýëåìåíò äðóãîãî ìíîæåñòâà. ßñíî, ÷òî ýòî îïÿòü íå îïðåäåëåíèå, à ïîÿñíåíèå. Ñëîâî îòîáðàæåíèå íè÷åì íå ëó÷øå ñëîâà ôóíêöèÿ. Çàïèñü f:A→B 13 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À íåêîòîðûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â, è ÷èòàåòñÿ òàê: ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå À è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå  èëè òàê: f äåéñòâóåò èç À â Â. Íà ðèñ. 1.4 è 1.5 ïîêàçàíû äâå ôóíêöèè; ïðè ýòîì êàæäîå èç ìíîæåñòâ À è  ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ. Ðèñ. 1.4. Ïðèìåð âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè Ôóíêöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.4, íàçûâàåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé: êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå ñâîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â, è êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà  ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À. Ôóíêöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.5, âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé íå ÿâëÿåòñÿ. Ðèñ. 1.5. Ïðèìåð íå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè 14 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðèñ. 1.6. Ïðèìåð îòîáðàæåíèÿ, íå ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé Îòîáðàæåíèå, ïîêàçàííîå íà ðèñ. 1.6, íå ÿâëÿåòñÿ; ôóíêöèåé ñðàçó ïî äâóì ïðè÷èíàì. Âî-ïåðâûõ, îäíîìó èç ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà À ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå äâà ýëåìåíòà ìíîæåñòâà Â, è, âîâòîðûõ, äðóãîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À âîîáùå íè÷åãî íå ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå. Åñëè ôóíêöèÿ f äåéñòâóåò èç À â Â, f : A → B, è ýëåìåíò õ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À, õ ∈ À, òî ïîñòàâëåííûé â ñîîòâåòñòâèå õ ýëåìåíò ìíîæåñòâà  îáîçíà÷àåòñÿ f (õ). Òàêèì îáðàçîì, f (x) ∈ Â. Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî ïàð (õ, f (õ)), ãäå õ ∈ À, íàçûâàåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè f. Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà ÷åðåç f (õ) îáîçíà÷àåòñÿ ñàìà ôóíêöèÿ f, à íå ýëåìåíò ìíîæåñòâà çíà÷åíèé. Êàê ïðàâèëî, ýòî íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèÿì, íî, âñòðåòèâ òàêîå âûðàæåíèå, íåîáõîäèìî ïîíÿòü, ÷òî èìååòñÿ â âèäó. Ïðèìåð 1.2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f : R → [1, 1], äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó f (x) = sin x. Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè (òî÷íåå, ÷àñòü ãðàôèêà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 1.7. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè ýòî ìíîæåñòâî, à íå ôóíêöèÿ. Íå ñëåäóåò ïóòàòü ôóíêöèþ ñ åå ãðàôèêîì. 15 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðèñ. 1.7. Ãðàôèê ôóíêöèè f(x) = sin x Åñëè ôóíêöèÿ f : A → R è ôóíêöèÿ g : A → R, òî ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ, ÿâëÿþùóþñÿ ñóììîé ýòèõ äâóõ ôóíêöèé è îáîçíà÷àåìóþ ( f + g) ( f + g) : A → R, êîòîðàÿ êàæäîìó õ ∈ À ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî f (x) + g(x). Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü è ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé. Åñëè ñ ∈ R, òî ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ôóíêöèè cf è ( f + ñ). Ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ â R, ìû áóäåì íàçûâàòü ÷èñëîâûìè ôóíêöèÿìè. 1.2 Ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí  ïðåäèñëîâèè ìû ãîâîðèëè, ÷òî òîëüêî â XX â. òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé áûëà ïðåâðàùåíà â áåçóïðå÷íî ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ, è îêàçàëîñü, ÷òî âñå èñïîëüçóåìûå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîíÿòèÿ àíàëîãè÷íû ïîíÿòèÿì èç äðóãèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Ê ýòîìó âðåìåíè â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëîæèëàñü ñâîÿ òåðìèíîëîãèÿ, êîòîðàÿ îñòàëàñü îáùåïðèíÿòîé, õîòÿ ìîæíî áûëî áû çàìåíèòü ñóùåñòâóþùèå òåðìèíû èõ îáùåìàòåìàòè÷åñêèìè àíàëîãàìè. Íî â ýòîì ñëó÷àå ÿçûê òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñòàë áû ìåíåå ïîíÿòåí â ïðèëîæåíèÿõ. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îñíîâíûìè òåðìèíàìè ïðèâåäåíî â ñëåäóþùåé òàáëèöå. 16 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Îáùåìàòåìàòè÷åñêèé òåðìèí Òåðìèí òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ìíîæåñòâî ñîáûòèé Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ Ýëåìåíò Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå Ïîäìíîæåñòâî Ñîáûòèå Äëèíà, ïëîùàäü, îáúåì ïîäìíîæåñòâà Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ ×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Ïðèâåäåííîå ñîîòâåòñòâèå íóæíî ïîíèìàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Òåðìèíîì ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ìû áóäåì îáîçíà÷àòü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå. Ýëåìåíòû è ïîäìíîæåñòâà ýòîãî ìíîæåñòâà áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî ýëåìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè è ñîáûòèÿìè. Åñëè ïîäìíîæåñòâà ïëîñêîñòè èëè ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè, ôèãóðàìè èëè òåëàìè, òî äëÿ íèõ îïðåäåëåíû äëèíû, ïëîùàäè èëè îáúåìû. Àíàëîãè÷íî êàæäîìó ñîáûòèþ (ò.å. ïîäìíîæåñòâó ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî, íàçûâàåìîå åãî âåðîÿòíîñòüþ. Ýòî ÷èñëî òàê æå, êàê äëèíà, ïëîùàäü èëè îáúåì ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì, è åñëè ðàçäåëèòü íåêîòîðîå ñîáûòèå íà äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñîáûòèÿ, òî âåðîÿòíîñòü èñõîäíîãî ñîáûòèÿ áóäåò ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷åííûõ ÷àñòåé. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ýòî ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå R. Ç à ì å ÷ à í è å. Òî, ÷òî íàçâàíèå ñòîëü âàæíîãî îáúåêòà ñîñòîèò èç äâóõ ñëîâ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à íå èç îäíîãî ñëîâà, î÷åíü íåõîðîøî. Íî íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ýòî íàçâàíèå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (ìíîæåñòâî) ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ãðå÷åñêîé áóêâîé Ω (îìåãà). Ñàìè ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ (ýëåìåíòû ìíîæåñòâà) îáîçíà÷àþòñÿ òîæå áóêâàìè îìåãà, íî íå ïðîïèñíûìè, à ñòðî÷íûìè: ω1, ω2, ... . 17 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ñîáûòèÿ îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè À, Â, ... . Òî åñòü ω ∈ Ω, A ⊂ Ω. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ÷àùå âñåãî îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè X, Y, ... . Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå Ω, âåðíà çàïèñü X : Ω → R. Ìíîæåñòâî Ω ìîæåò áûòü êàê êîíå÷íûì (ò.å. ñîäåðæàòü êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ), òàê è áåñêîíå÷íûì. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìíîæåñòâî Ω ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ìû ïîñòðîèì òåîðèþ ñîâåðøåííî ñòðîãî; äëÿ ñëó÷àÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü çíà÷èòåëüíî áîëåå ñëîæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ íåêîòîðûìè ïîÿñíåíèÿìè è íå áóäåì ïðèâîäèòü âñå íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ. Èòàê, ïóñòü ìíîæåñòâî Ω êîíå÷íî è ñîäåðæèò N ýëåìåíòîâ: Ω = {ω1, ω2, ..., ωN}. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíî N ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë p1, p2, ..., pN , êàæäîå èç êîòîðûõ íå áîëüøå 1. Ïóñòü, êðîìå òîãî, N ∑p i =1 = 1. i ( äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîë Σ, êîòîðûé îáîçíà÷àåò ñóììó, â äàííîì ñëó÷àå, N ÷èñåë.) Èç ïåðå÷èñëåííûõ óñëîâèé ñëåäóåò, ÷òî åñëè N > 1, òî 0 < pi < 1, i = 1, ..., N. ×èñëî pi íàçîâåì âåðîÿòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ωi. Åñëè ñîáûòèå A ⊂ Ω, òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À îïðåäåëèì, êàê P ( A) = ∑p, ωi ∈A i ãäå ñóììèðóþòñÿ âåðîÿòíîñòè òîëüêî òåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ωi, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïîäìíîæåñòâà À. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî P(Ω) = 1. 18 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ïóñòîìó ìíîæåñòâó ïðèïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü 0: P(∅) = 0. Äëÿ ëþáîãî äðóãîãî ñîáûòèÿ À 0 < Ð(À) < 1. Ñëåäóåò ïðèçíàòü, ÷òî â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω àíàëîãèÿ ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè ñîáûòèé è äëèíàìè, ïëîùàäÿìè, îáúåìàìè ïîäìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêîé. Íî íàì íåîáõîäèìî áóäåò ðàññìàòðèâàòü è áåñêîíå÷íûå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, è òîãäà äàííàÿ àíàëîãèÿ áóäåò î÷åíü ïîëåçíà. Ïðèìåð 1.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû äâà ðàçà áðîñàëè ìîíåòó è êàæäûé ðàç ìîã âûïàñòü ëèáî ãåðá, ëèáî ðåøåòêà. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå 4 èñõîäà: ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ, PP. Êàæäûé èç èñõîäîâ íàçîâåì ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì: Ω = {ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ, ÐÐ}. Åñëè ìîíåòà äîáðîêà÷åñòâåííàÿ, òî âåðîÿòíîñòè âñåõ èñõîäîâ ðàâíû: 1 p1 = p2 = p3 = p4 = . 4 Ïóñòü ñîáûòèå À çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî õîòÿ áû îäèí ðàç âûïàë ãåðá, ò.å. À = {ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ}. Òîãäà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À P( A) = ∑p ωi ∈A i = 1 1 1 3 + + = . 4 4 4 4 Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè A ∩ B = ∅, òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Òî æå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñîáûòèé. Åñëè ñîáûòèÿ A1, A2, ..., Ak ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî k P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) = ∑ P ( Ai ). i =1 Äàííîå óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé. 19 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Îñíîâîïîëàãàþùóþ ðîëü â äàëüíåéøåì áóäåò èãðàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ À è  íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè P(A ∩ B) = P(A)P(B). Îòìåòèì, èç îïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ñëåäóåò, ÷òî ñîáûòèå, ÿâëÿþùååñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì, è ëþáîå äðóãîå ñîáûòèå íåçàâèñèìû. Äàííîå îïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü îáîáùåíî íà ëþáîå ÷èñëî ñîáûòèé. Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ A1, A2, ..., Ak íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè k k P ∩ Ai = ∏ P ( A1 ). i =1 i =1 Çäåñü ìû ââåëè ñðàçó äâà íîâûõ îáîçíà÷åíèÿ: k ∩ ïåðåñå÷åíèå k ìíîæåñòâ (ò.å. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ i =1 è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ïåðå÷èñëåííûõ ìíîæåñòâ); k ∏ ïðîèçâåäåíèå k ÷èñåë. i =1 Ç à ì å ÷ à í è å 1. Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå äðóãîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè k ñîáûòèé, êîãäà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïðè ëþáîì m < k ëþáûå m ñîáûòèé èç A1, A2, ..., Ak áûëè íåçàâèñèìûìè. Òî îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè k ñîáûòèé, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ íàìè, ÿâëÿåòñÿ áîëåå øèðîêèì. Ç à ì å ÷ à í è å 2. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé äëÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω. Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð, èç ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè íåñêîëüêèõ ñîáûòèé íå ñëåäóåò èõ íåçàâèñèìîñòü. Ïðèìåð 1.4. Ïóñòü Ω ñîñòîèò èç 4 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è âåðîÿòíîñòü êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà 20 1 . Ïóñòü 4 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé A1 = {ω1, ω2}, A2 = {ω1, ω3}, A3 = {ω1, ω4} Ðèñ. 1.8. Òðè ñîáûòèÿ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íåçàâèñèìû, à âñå âìåñòå îíè íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè (ñì. ðèñ. 1.8). Òîãäà P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) = è 1 2 1 P( A1 ∩ A2 ) = P( A1 ∩ A3 ) = P( A2 ∩ A3 ) = P({ω1}) = , 4 ò.å. ïîïàðíî ìåæäó ñîáîé ëþáûå äâà èç ýòèõ ñîáûòèé íåçàâèñèìû. Íî P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P({ω1}) = 1 1 ≠ = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ). 4 8 Òî åñòü ñîáûòèÿ A1, A2, A3 íå íåçàâèñèìû.  äàëüíåéøåì íàì, â îñíîâíîì, áóäåò íóæíî íå ñàìî îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé, à ïîñòðîåííîå íà íåì îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 21 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà X:Ω→R ïðèíèìàåò k ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé x1, x2, ..., xk è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y:Ω→R ïðèíèìàåò l ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé y1, y2, ..., yl. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî Ω êîíå÷íî è ñîäåðæèò âñåãî N ýëåìåíòîâ, òî k ≤ N, l ≤ N. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ai ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ðàâíà xi. Òàêèì îáðàçîì, k Ω = 7 Ai . i =1 Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bj ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y ðàâíà yj , l Ω = 7B . j j =1 Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íåçàâèñèìû, åñëè ïðè ëþáûõ i è j (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ l ) íåçàâèñèìû ñîáûòèÿ Ai è Bj. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ýòî ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Èñïîëüçîâàíèå â èõ íàçâàíèÿõ îäíîãî è òîãî æå ñëîâà íå ïîìîãàåò óñâîåíèþ ïðåäìåòà, íî ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì. Ïîñêîëüêó î íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè îäíîãî è òîãî æå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, î íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè, îïðåäåëåííûìè íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω. Ïðèìåð 1.5. Äîïóñòèì, ÷òî ìíîæåñòâî Ω ñîñòîèò èç kl òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïëîñêîñòè â ïðÿìîóãîëüíèêå 1 ≤ x ≤ k, 1 ≤ y ≤ l è èìåþùèõ öåëûå êîîðäèíàòû (íà ðèñ. 1.9 èçîáðàæåíî ìíîæåñòâî Ω ïðè k = 7, l = 4). Áóäåì 22 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 1 . Îïðåkl äåëèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X, êàê àáñöèññó òî÷êè, à ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Y êàê îðäèíàòó òî÷êè. ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êàæäîé òî÷êå, ðàâíà Ðèñ. 1.9. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ñîñòîÿùåå èç 28 òî÷åê Ðèñ. 1.10. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ðàçáèòîå íà ïîäìíîæåñòâà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ 23 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Íà ðèñ. 1.10 èçîáðàæåíà ðàçáèâêà ìíîæåñòâà Ω íà ïîäìíîæåñòâà Ai, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X, à íà ðèñ. 1.11 èçîáðàæåíà ðàçáèâêà ìíîæåñòâà Ω, íà ïîäìíîæåñòâà Âj, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y. Ðèñ. 1.11. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ðàçáèòîå íà ïîäìíîæåñòâà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y Òîãäà ïðè ëþáîì i P ( Ai ) = 1 k è ïðè ëþáîì j 1 P( B j ) = . l Íî ìíîæåñòâî Ai ∩ Bj ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè. Ïîýòîìó P ( Ai ∩ B j ) = 1 1 1 = × = P ( Ai ) P ( B j ). kl k l Òî åñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íåçàâèñèìû. Ðàçîáðàííûé ïðèìåð ìîæíî îáîáùèòü, çàäàâ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò àáñöèññû, à ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó 24 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Y êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò îðäèíàòû. Ïðè ýòîì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y ïî-ïðåæíåìó áóäóò íåçàâèñèìûìè, òàê êàê ìíîæåñòâà Ai è Âj áóäóò ñòðîèòüñÿ àíàëîãè÷íî. ×òîáû äàòü ïðèìåð íå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äîïóñòèì, ÷òî â ïðèìåðå 1.5 Õ ïî-ïðåæíåìó ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî îò àáñöèññû òî÷êè, à Y ïðèíèìàåò âî âñåõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà Ω ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà ïðè ëþáîì j ìíîæåñòâî Bj ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, åñëè B1 ýòî ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ëåâóþ íèæíþþ òî÷êó íà ðèñ. 1.9, òî A1 ∩ B1 = B1 è P(A1 ∩ B1) > P(A1)P(B1). Ïðèìåð 1.6. Äâå ñòóäåíòêè, Àíÿ è Áåòòè, õîòÿò âî âðåìÿ 10-ìèíóòíîãî ïåðåðûâà ìåæäó çàíÿòèÿìè ïîçâîíèòü ïî òåëåôîíó ñâîèì çíàêîìûì. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Àíè, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Áåòòè. È òà, è äðóãàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò öåëûå çíà÷åíèÿ îò 0 äî 10. Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìûìè? Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà Àíÿ è Áåòòè ìîãóò èñïîëüçîâàòü òîëüêî îäèí òåëåôîí. Òîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Äåéñòâèòåëüíî, P(X = 6) > 0, P(Y = 6) > 0, íî P((X = 6) ∩ (Y = 6)) = 0. Ïîñëåäíÿÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0, ïîñêîëüêó âî âðåìÿ 10-ìèíóòíîãî ïåðåðûâà ñ îäíîãî è òîãî æå òåëåôîíà íå ìîãóò áûòü ñäåëàíû äâà çâîíêà ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ 6 ìèíóò êàæäûé. À åñëè íàì óäàëîñü íàéòè õîòÿ áû îäíó ïàðó ÷èñåë x è y òàêóþ, ÷òî ñîáûòèÿ X = x è Y = y íå íåçàâèñèìû, òî íå íåçàâèñèìû è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y. Ñîáûòèÿ X = 6 è Y = 6 íå íåçàâèñèìû, ïîñêîëüêó P((X = 6) ∩ (Y = 6)) ≠ P(X = 6) P(Y = 6). Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà Àíÿ è Áåòòè ìîãóò çâîíèòü ñ äâóõ ðàçíûõ òåëåôîíîâ. Òîãäà ïðèâåäåííûå âîçðàæåíèÿ ïðîòèâ òîãî, ÷òîáû ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìûìè, îòïàäàþò. 25 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Àâòîðó íåèçâåñòíû ðåàëüíûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ áûëî áû íóæíî ìîäåëèðîâàòü ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàçãîâîðà ñòóäåíòîê ïî òåëåôîíó â ïåðåðûâå ìåæäó çàíÿòèÿìè ïðè ïîìîùè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äàííûé ïðèìåð, êàê è ìíîãèå äðóãèå ïðèìåðû, ïðèâåäåííûå â ýòîé êíèãå, íîñèò ó÷åáíûé èëè ïîëóó÷åáíûé õàðàêòåð. Íî ñóùåñòâóþò âàæíûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ òå èëè èíûå ÷èñëîâûå ïîêàçàòåëè ìîäåëèðóþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Íàïðèìåð, ýòî çàäà÷è ðàñ÷åòà áåçàðáèòðàæíîé öåíû ôèíàíñîâîãî èíñòðóìåíòà è îïðåäåëåíèÿ ñòðàòåãèè õåäæèðîâàíèÿ. Çäåñü ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ìîäåëèðóþòñÿ öåíû îñíîâíûõ àêòèâîâ, ïðîöåíòíûå ñòàâêè, çíà÷åíèÿ îáìåííûõ êóðñîâ. Äðóãîé ïðèìåð ýòî ìàêðîýêîíîìè÷åñêèå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ èçó÷åíèåì ðîñòà âàëîâîãî âíóòðåííåãî ïðîäóêòà è âûÿâëåíèåì âëèÿíèÿ îòäåëüíûõ ôàêòîðîâ íà åãî èçìåíåíèå. Íî ñëîæíîñòü èñïîëüçóåìîãî äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ àïïàðàòà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íå ïîçâîëÿåò ñîåäèíèòü èçëîæåíèå íà÷àë äàííîãî ðàçäåëà ìàòåìàòèêè ñ ðàññìîòðåíèåì ñåðüåçíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Ïðèâåäåì äðóãîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðè÷åì íå òîëüêî äëÿ äâóõ, íî è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1, X2, ..., Xk, Xi : Ω → R, i = 1, 2, ..., k. Ðàññìîòðèì íàáîð ÷èñåë ai, i = 1, 2, ..., k (äîïóñêàåòñÿ, ÷òîáû ai ïðè íåêîòîðûõ i ïðèíèìàëî çíà÷åíèå ∞) è íàáîð ÷èñåë bi, i = 1, 2, ..., k (äîïóñêàåòñÿ, ÷òîáû bi ïðè íåêîòîðûõ i ïðèíèìàëî çíà÷åíèå ∞) òàêèå, ÷òî ïðè ëþáîì i, 1 ≤ i ≤ k, ∞ ≤ ai ≤ bi ≤ ∞. Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ Ai ⊂ Ω, i = 1, 2, ..., k, ãäå Ai ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ω ∈ Ω, äëÿ êîòîðûõ ai ≤ Xi(ω) ≤ bi. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1, X2, ..., Xk íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ a1, a2, ..., ak è b1, b2, ..., bk, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïðèâåäåííûì âûøå óñëîâèÿì, ñîáûòèÿ A1, A2, ..., Ak íåçàâèñèìû. 26 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ç à ì å ÷ à í è å. Ïåðâîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè, äàííîå äëÿ äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, ìîæíî îáîáùèòü äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1, X2, ..., Xk. Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ êîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ïåðâîå è âòîðîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ýêâèâàëåíòíû. Íî (ýòî áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî) äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω äîïóñòèìî èñïîëüçîâàòü òîëüêî âòîðîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1, X2, ..., Xk ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì. ×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü åãî, ìîæíî ïîðåêîìåíäîâàòü ÷èòàòåëþ îáîáùèòü ïðèìåð 1.6 äëÿ òðåõ ñòóäåíòîê è ðàññìîòðåòü ðàçëè÷íûå âàðèàíòû, ïðè êîòîðûõ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1, X2, X3 ìîãóò áûòü íåçàâèñèìûìè, è ïðè êîòîðûõ îíè íå ìîãóò áûòü íåçàâèñèìûìè. 1.3 Îæèäàåìîå çíà÷åíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìíîæåñòâî Ω êîíå÷íî è ñîäåðæèò N ýëåìåíòîâ: Ω = {ω1, ω2, ..., ωN}. Íàïîìíèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ωi ìû îáîçíà÷àåì pi , ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ýòî ôóíêöèÿ X : Ω → R. Îïðåäåëåíèå. Îæèäàåìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî N E ( X ) = ∑ X ( ωi ) pi . i =1 27 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ïðèìåð 1.7.  ðàçíûå äíè ñòóäåíò çàòðà÷èâàåò ðàçíîå âðåìÿ íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà. Ïóñòü Ω ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç N äíåé, êàæäîìó ýëåìåíòàð1 , i = 1, 2, ..., N . N Ïóñòü Õ ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ îçíà÷àåò âðåìÿ, çàòðà÷åííîå ñòóäåíòîì íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà â êàæäûé èç äíåé. Òîãäà ñðåäíåå âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå ñòóäåíòîì íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà, íîìó ñîáûòèþ, ò.å. êàæäîìó äíþ ïðèïèøåì âåðîÿòíîñòü pi = E( X ) = 1 N N ∑ X (ω ). i i =1 Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàþò åå ñðåäíèì çíà÷åíèåì, èëè îæèäàíèåì, èëè ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Îïðåäåëåíèå. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ( X − E( X )) 2 , êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ D(X). Äðóãèìè ñëîâàìè, N D ( X ) = ∑ ( X (ωi ) − E ( X ) ) pi . 2 i =1 Äèñïåðñèÿ õàðàêòåðèçóåò ðàçáðîñ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ò.å. íàñêîëüêî ñèëüíî â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà Ω ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îòëè÷àåòñÿ îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîñòîÿííà, åå äèñïåðñèÿ ðàâíà íóëþ. Âî âñåõ äðóãèõ ñëó÷àÿõ (íàïîìíèì, ÷òî ðå÷ü èäåò î êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω) äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëîæèòåëüíà. ×àñòî âìåñòî äèñïåðñèè óäîáíî ðàññìàòðèâàòü äðóãóþ ìåðó ðàçáðîñà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îïðåäåëåíèå. Ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàþò êâàäðàòíûé êîðåíü èç åå äèñïåðñèè: σ X = D( X ) (σ ãðå÷åñêàÿ áóêâà ñèãìà). 28 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå 1.7 ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå èçìåðÿåòñÿ â ìèíóòàõ, êàê è ñðåäíåå çíà÷åíèå, à äèñïåðñèÿ â ìèíóòàõ â êâàäðàòå, ÷òî ìåíåå óäîáíî. Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, òî, êàê ãîâîðèëîñü â ïàðàãðàôå 1.1, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óìíîæàòü èõ íà êîíñòàíòû è ïðèáàâëÿòü êîíñòàíòû (êîíñòàíòó òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé). Íàïðèìåð, çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X + Y) â òî÷êå ωi îïðåäåëÿåòñÿ êàê X(ωi ) + Y(ωi ). Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé âèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà c ∈ R ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: Å(ñÕ) = ñÅ(Õ), Å(Õ + ñ) = Å(Õ) + ñ, D(cX) = c 2D(X), D(X + c) = D(X), σcX = cσX, σX + c = σX . Îïðåäåëåíèå. Êîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî Cov ( X , Y ) = E (( X − E ( X ) )(Y − E (Y ) )).  ÷àñòíîñòè, Cov(X, X) =D(X). To, ÷òî â ôîðìóëå äëÿ Cov (X, Y) òðèæäû èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Å, íå äîëæíî âûçûâàòü çàòðóäíåíèé. ( X − E ( X ) )(Y − E (Y ) ) åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëåííàÿ íà òîì æå ñàìîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ÷òî è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y. Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y ïîëîæèòåëüíû, òî êîððåëÿöèåé Õ è Y íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî: 29 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Cor( X , Y ) = Cov( X , Y ) . σ X σY Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà âåëè÷èíó Cor(X, Y) íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y. Ò å î ð å ì à 1.1. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñóììû, ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ñóììå îæèäàåìûõ çíà÷åíèé Å(Õ + Y) = Å(Õ) + E(Y). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. N E ( X + Y ) = ∑ ( X ( ωi ) + Y (ùi ) ) pi = i =1 N N i =1 i =1 = ∑ X ( ωi ) pi + ∑Y ( ωi ) pi = E ( X ) + E (Y ). Çäåñü è äàëåå ñèìâîëîì ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êîíåö äîêàçàòåëüñòâà. Ò å î ð å ì à 1.2. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ îæèäàåìûõ çíà÷åíèé E(XY) = E(X)E(Y). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü êàê è ïðè îïðåäåëåíèè äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå õ1 íà ìíîæåñòâå A1, çíà÷åíèå õ2 íà ìíîæåñòâå À2 , ..., çíà÷åíèå xk íà ìíîæåñòâå Àk ; ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ó1 íà ìíîæåñòâå Â1, çíà÷åíèå ó2 íà ìíîæåñòâå B2, ..., çíà÷åíèå ól íà ìíîæåñòâå Âl. Òîãäà íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî k l E ( X ) = ∑ xi P( Ai ), E (Y ) =∑ y j P ( B j ), i =1 j =1 è k l k l E ( X Y ) = ∑∑ xi y j P ( Ai ∩ B j ) = ∑∑ xi y j P ( Ai ) P ( B j ) = i =1 j =1 i =1 j =1 30 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé k l i =1 j =1 = ∑ xi P ( Ai ) × ∑ y j P ( B j ). Ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåçàâèñèìîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y, èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî Ð(Ài ∩ Âj) = Ð(Ài )P(Âj ). Ò å î ð å ì à 1.3. Äèñïåðñèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíà ñóììå äèñïåðñèé D(X + Y) = D(X) + D(Y). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì µX = E(X), µY = E(Y). (µ ãðå÷åñêàÿ áóêâà ìþ). Ïîëüçóÿñü òåìè æå îáîçíà÷åíèÿìè, ÷òî è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.2, èìååì D ( X + Y ) = ∑∑ ( xi + y j − µ X − µY ) P ( Ai ∩ B j ) = k l 2 i =1 j =1 = ∑∑ ( xi − µ X ) P ( Ai ∩ B j ) + ∑∑ ( y j − µY ) P ( Ai ∩ B j ) + k l k 2 i =1 j =1 l 2 i =1 j =1 + 2∑∑ ( xi − µ X ) ( y j − µY ) P ( Ai ∩ B j ). k l i =1 j =1 Ïîñêîëüêó ïåðâàÿ ñóììà â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ðàâíà k ∑(x i − µ X ) P ( Ai ) = D ( X ) ∑( y j − µY ) P ( B j ) = D (Y ), i =1 2 è âòîðàÿ ñóììà ðàâíà l j =1 2 ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî çàïèñàòü òàê: D(X + Y ) = D(X ) + D(Y ) + 2Cov(X, Y ). 31 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Çàìåòèì, ÷òî äî ñèõ ïîð ìû íå ïîëüçîâàëèñü íåçàâèñèìîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y. Ñ ó÷åòîì íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y k l Cov( X , Y ) = ∑ ( xi − µ X ) P( Ai ) × ∑ ( y j − µY ) P ( B j ) = i =1 j =1 = ∑ xi P ( Ai ) − µ X ∑ y j P( B j ) − µY = 0. i =1 j =1 k l Ò å î ð å ì à 1.4. Êîâàðèàöèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíà 0. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ýòîé òåîðåìû ñîäåðæèòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.3. Èç òåîðåìû 1.4 ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íåçàâèñèìû è σX > 0, σY > 0, òî Ñîr(X, Y ) = 0. Ò å î ð å ì à 1.5. Äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y òàêèõ, ÷òî σX > 0, σY > 0 1 ≤ Cor(X, Y ) ≤ 1. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.3 áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X* è Y* D(X* + Y*) = D(X*) + D(Y*) + 2Cov(X*, Y*). Ïîëîæèì X* = X − E( X ) Y − E (Y ) , Y* = . σX σY Òîãäà ñ ó÷åòîì òåîðåì 1.1 è 1.3 E(X*) = 0, E(Y*) = 0, D(X*) = 1, D(Y*) = 1 è Cov(X*, Y*) = Cor(X, Y ). Èç óñëîâèÿ (ïîñêîëüêó äèñïåðñèÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåîòðèöàòåëüíà) D(X* + Y*) ≥ 0 32 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷àåì èëè 2 + 2Cor(X, Y ) ≥ 0, Cor(X, Y ) ≥ 1. Àíàëîãè÷íî èç óñëîâèÿ D(X* Y*) ≥ 0 ïîëó÷àåì Cor(X, Y ) ≥ 1. Ò å î ð å ì à 1.6. Äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y òàêèõ, ÷òî σX > 0, σY > 0, ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû: 1) äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë à u b, à ≠ 0 X = aY + b; 2) Ñîr (X, Y) ðàâíà 1 èëè 1. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü Õ* è Y* îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.5. Òîãäà, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (1), X* = ò.å. è X − E ( X ) aY + b − aE (Y ) − b a Y − E (Y ) a = = = Y *, σX σY a σY a a X* = Y* ïðè a > 0 X* = Y* ïðè a < 0. Ïîýòîìó ïðè à > 0 0 = D(X* Y*) = D(X*) + D(Y*) 2Cov(X*, Y*) = 2(1 Cor(X, Y )), îòêóäà Cor(X, Y ) = 1. Àíàëîãè÷íî ïðè à < 0 Cor(X, Y ) = 1. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî èç óñëîâèÿ (1) ñëåäóåò óñëîâèå (2). Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ (2) ñëåäóåò óñëîâèå (1). Èç ïðèâåäåííûõ âûêëàäîê ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå 33 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Cor(X, Y ) = 1 âëå÷åò óñëîâèå D(X* Y*) = 0, à óñëîâèå Cor(X, Y ) = 1 âëå÷åò óñëîâèå D(X* + Y*) = 0. Èç ðàâåíñòâà íóëþ äèñïåðñèè ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ (íàïîìíèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω). Ïîýòîìó â ïåðâîì ñëó÷àå X* Y* = c, à âî âòîðîì ñëó÷àå X* + Y* = c, ãäå ñ íåêîòîðîå ÷èñëî. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ïåðâîãî ñëó÷àÿ σ σX Y + − X E (Y ) + σ X c + E ( X ) σY σY è äëÿ âòîðîãî ñëó÷àÿ X = X =− σ σX Y + X E (Y ) + σ X c + E ( X ) . σY σY Ñóùåñòâóåò ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí òàê æå, êàê è ñëó÷àé êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω. Ýòî ñëó÷àé Ω = N. (Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåç N ìû îáîçíà÷àåì ìíîæåñòâî N öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, N = {1, 2, 3...}.) Âìåñòî ñóìì ∑ i =1 íàäî ∞ ðàññìàòðèâàòü ñóììû ∑ i =1 è íàêëàäûâàòü óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå ñõîäèìîñòü ðÿäîâ, ÷òî âûçûâàåò òðóäíîñòè ëèøü òåõíè÷åñêîãî õàðàêòåðà. Ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòîò ñëó÷àé âïëîòü äî ãëàâû 8, ãäå 34 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé îí îêàæåòñÿ íåîáõîäèì äëÿ èçó÷åíèÿ îäíîãî âàæíîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Áîëåå èíòåðåñíûì ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé (õîòÿ è íåäîñòàòî÷íûì äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ ñèòóàöèé) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà Ω = [0, 1]. Îòðåçîê [0, 1] ýòî òîæå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Íî çäåñü îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåëüçÿ â êà÷åñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí áðàòü ëþáûå ôóíêöèè Õ : [0, 1] → R, à â êà÷åñòâå ñîáûòèé ëþáûå ïîäìíîæåñòâà À ⊂ [0, 1]. Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ (åå êîíñòðóêöèÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíà) Õ : [0, 1] → R, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì. Äëÿ ëþáîãî îòðåçêà [à, b] ⊂ [0, 1], ãäå à < b, è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñ ∈ R ñóùåñòâóåò òî÷êà z ∈ [à, b] òàêàÿ, ÷òî X(z) = ñ. Òî åñòü ýòà ôóíêöèÿ íà ëþáîì ñêîëü óãîäíî ìàëîì îòðåçêå ïðèíèìàåò ëþáûå çíà÷åíèÿ. Êîíå÷íî, ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé. Èñïîëüçîâàíèå ïîäîáíûõ ôóíêöèé â êà÷åñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðèâåëî áû ê íåïðåîäîëèìûì òðóäíîñòÿì, íàïðèìåð îêàçàëîñü áû, ÷òî äëÿ ñîáûòèé {ω ∈ [0, 1] : X(ω) ≤ c}, ãäå ñ íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü. Íî â òî æå âðåìÿ ÷ðåçìåðíîå ñóæåíèå êëàññà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ïðèâîäèò ê íåâîçìîæíîñòè ïîñòðîèòü ñîäåðæàòåëüíóþ òåîðèþ. Åùå îäíà íåïðèÿòíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Åñëè ñîáûòèå ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì, ïðèíàäëåæàùèì [0, 1] (à òàêèå ñîáûòèÿ ðàññìàòðèâàòü ìîæíî), òî â êà÷åñòâå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ íàèáîëåå åñòåñòâåííî âçÿòü äëèíó îòðåçêà. Òîãäà âåðîÿòíîñòü îòäåëüíîé òî÷êè ðàâíà íóëþ. Íî â òàêîì ñëó÷àå, êàêèì äîëæåí áûòü àíàëîã òåîðåìû î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé, âåäü îáúåäèíåíèå âñåõ òî÷åê ñîâïàäàåò ñ [0, 1] è èìååò âåðîÿòíîñòü 1?  ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω â êà÷åñòâå ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîäìíîæåñòâà è ÷èñëîâûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì. 35 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ôîðìóëèðîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèé äîñòàòî÷íî ñëîæíû, è ìû ïðèâîäèòü èõ íå áóäåì. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî ïðè Ω = [0, 1] 1) â ÷èñëî ñîáûòèé âõîäÿò ëþáûå îòðåçêè, ïðèíàäëåæàùèå [0, 1], è îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà òàêèõ îòðåçêîâ; 2) â ÷èñëî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âõîäÿò âñå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè Õ : [0, 1] → R è âñå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå ôóíêöèè. Ñíà÷àëà îïðåäåëèì îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé. Ïóñòü îòðåçîê [0, 1] ðàçáèò íà N îòðåçêîâ äëèíîé p1, p2 , ..., pN, íå èìåþùèõ ïîïàðíî îáùèõ òî÷åê, êðîìå êîíöîâ. Òàêèì îáðàçîì, N ∑p i =1 i = 1. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Õ : Ω → R, êîòîðàÿ ïîñòîÿííà âíóòðè êàæäîãî èç ýòèõ îòðåçêîâ è íåïðåðûâíà ñïðàâà (ñì. ðèñ. 1.12). Ðèñ. 1.12. Ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ÿâëÿþùåéñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé 36 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îáîçíà÷èì õ1, x2, ..., xN . Îæèäàåìîå çíà÷åíèå äàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå N E ( X ) = ∑ xi pi . i =1 Çàìåòèì, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå î÷åíü ïîõîæå íà îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç ωi ñåðåäèíó i-ãî îòðåçêà, à âåðîÿòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ñ÷èòàòü äëèíó äàííîãî îòðåçêà, òî îïðåäåëåíèå áóäåò ñîâïàäàòü â òî÷íîñòè. Îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ÿâëÿþùåéñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé íà [0, 1], ìîæíî çàïèñàòü è â äðóãîì âèäå: 1 E ( X ) = ∫ X (ω)d ω. 0 Äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèè çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà è ñóììû ñîâïàäàþò. Íî ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà îæèäàåìîå çíà÷åíèå ìîæíî îïðåäåëèòü íå òîëüêî äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèè Õ(ω), íî è äëÿ ôóíêöèé áîëåå îáùåãî âèäà, íàïðèìåð, êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ (ñì. ðèñ. 1.13). Ïîñêîëüêó äëèíà îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíà 1, òî òàê îïðåäåëåííîå îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ýòî â íåêîòîðîì ñìûñëå ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè X íà îòðåçêå [0, 1]. Ðèñ. 1.13. Ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ÿâëÿþùåéñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé 37 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Åñëè îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïðåäåëåíî, òî äèñïåðñèÿ, êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïî òåì æå ôîðìóëàì, ÷òî è â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.  êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà áåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω âîçüìåì åäèíè÷íûé êâàäðàò (ñì. ðèñ. 1.14). Ðèñ. 1.14. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ÿâëÿþùååñÿ åäèíè÷íûì êâàäðàòîì, è ñîáûòèå À ⊂ Ω " "! Ðèñ. 1.15. Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ À è  â ñëó÷àå, êîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì êâàäðàòîì 38 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ýòî ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Íà ðèñ. 1.15 èçîáðàæåíû íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ À è Â. Äåéñòâèòåëüíî, ïëîùàäü ìíîæåñòâà À ðàâíà à ´ 1 = a; ïëîùàäü ìíîæåñòâà  ðàâíà 1 ´ b = b; ïëîùàäü ìíîæåñòâà A ∩ B ðàâíà a ´ b, ò.å. óñëîâèå íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé Ð(À ∩ Â) = Ð(À) Ð(Â) âûïîëíåíî. Ðàññìàòðèâàÿ åäèíè÷íûé êâàäðàò Ω = [0, 1]2, ãäå [0, 1]2 = {(x1, x2) : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1}, â êà÷åñòâå ñîáûòèé ìû äî ñèõ ïîð áðàëè òîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêè ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Íî ìîæíî â êà÷åñòâå ñîáûòèé ðàññìàòðèâàòü ëþáûå ïîäìíîæåñòâà åäèíè÷íîãî êâàäðàòà, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíà ïëîùàäü, è ïðèíèìàòü ýòó ïëîùàäü çà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ. Òîãäà ñîáûòèÿìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, êðóãè, òðåóãîëüíèêè, ïàðàëëåëîãðàììû. Áîëåå òîãî, ê ñîáûòèÿì âîçìîæíî îòíåñòè è íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ ïëîùàäü (â îáû÷íîì ñìûñëå) íå îïðåäåëåíà. Ïðèìåðîì òàêîãî ìíîæåñòâà ìîæåò áûòü ∞ Ñ = ∪ Km , m =1 1 1 1 , ãäå Km êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå (ðà ðàäèóñà 3m( m + 1) 2m 2m äèóñû âûáðàíû òàê, ÷òîáû êðóãè íå ïåðåñåêàëèñü). Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ C ÿâëÿåòñÿ ñóììà ðÿäà, m-é ÷ëåí êîòîðîãî ýòî ïëîùàäü êðóãà Km. Åñëè ìíîæåñòâà A è B ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿìè, òî ñîáûòèåì ÿâëÿåòñÿ è îáúåäèíåíèå ýòèõ ìíîæåñòâ, ïðè÷åì äëÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèÿ èìååò ìåñòî âûðàæåíèå P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A ∩ B). Ïóñòü òåïåðü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ýòî åäèíè÷íûé êóá 39 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà [0, 1]3 = {(x1, x2, x3) : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, 0 ≤ x3 ≤ 1}. Åñëè â êà÷åñòâå ñîáûòèÿ ðàññìîòðåòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ω, ÿâëÿþùååñÿ ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàëëåëåïèïåäîì ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò, A = {(x1, x2, x3) : a1 ≤ x1 ≤ b1, a2 ≤ x2 ≤ b2, a3 ≤ x3 ≤ b3}, òî çà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ìîæíî ïðèíÿòü îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 3 P( A) = ∏ (bi − ai ). i =1  êà÷åñòâå ñîáûòèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è äðóãèå ïîäìíîæåñòâà åäèíè÷íîãî êóáà, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåí îáúåì, íàïðèìåð øàðû, òåòðàýäðû, íåïðÿìîóãîëüíûå ïàðàëëåëåïèïåäû, è ïðèíèìàòü ýòîò îáúåì çà âåðîÿòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáûòèÿ. Ê ñîáûòèÿì âîçìîæíî îòíåñòè è íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ îáúåì (â îáû÷íîì ñìûñëå) íå îïðåäåëåí, íàïðèìåð ìíîæåñòâà òîãî æå âèäà, ÷òî è ðàññìîòðåííîå âûøå ìíîæåñòâî C, òîëüêî ìíîæåñòâà Km òåïåðü íå êðóãè, à øàðû. Àíàëîãè÷íî ïðè ëþáîì n ∈ N â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ìîæíî ðàññìîòðåòü Ω = [0, 1]n, ãäå [0, 1]n = {(x1, x2, ..., xn) : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, ..., 0 ≤ xn ≤ 1}. Òàêîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûì åäèíè÷íûì êóáîì. Äàííîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω äîñòàòî÷íî äëÿ òåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â ýòîé êíèãå.  êà÷åñòâå ñîáûòèé ìîãóò áûòü âçÿòû, â ÷àñòíîñòè, n-ìåðíûå ïàðàëëåëåïèïåäû ñî ñòîðîíàìè ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò, A = {(x1, x2, ..., xn) : a1 ≤ x1 ≤ b1, a2 ≤ x2 ≤ b2, an ≤ xn ≤ bn}. Çà âåðîÿòíîñòü P(A) òàêîãî ñîáûòèÿ ïðèíèìàåòñÿ n-ìåðíûé îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà n P( A) = ∏ (bi − ai ). i =1 Íî òàêèìè ïàðàëëåëåïèïåäàìè, êàê ýòî âèäíî èç äâóìåðíîãî è òðåõìåðíîãî ñëó÷àåâ, íå èñ÷åðïûâàåòñÿ íàáîð âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω = [0, 1]n, êîòîðûå âîçìîæíî îòíåñòè ê ñîáûòèÿì. 40 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ X : [0, 1]n → R íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ R ìíîæåñòâî A ⊂ [0, 1]n, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ω ∈ [0, 1]n, äëÿ êîòîðûõ X(ω) ≤ x, ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ íà [0, 1]n ôóíêöèÿ X ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. (Çäåñü íåîáõîäèìî, ÷òîáû ÷èòàòåëü âåðíóëñÿ ê ñëó÷àþ n = 1, íàðèñîâàë ãðàôèê íåêîòîðîé ôóíêöèè X è ïîñìîòðåë, êàêèìè ïðè ðàçëè÷íûõ x ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿ A = {ω ∈ [0, 1] : X(ω) ≤ x}.  äàëüíåéøåì òàêèå ñîáûòèÿ ÷àñòî áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ñîêðàùåííî X ≤ x). Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X : [0, 1] → R îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îïðåäåëÿëîñü, êàê èíòåãðàë îò ýòîé ôóíêöèè ïî îòðåçêó [0, 1]. Àíàëîãè÷íî ïðè n = 2 îæèäàåìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ äâîéíîé èíòåãðàë îò ôóíêöèè X(ω) ïî åäèíè÷íîìó êâàäðàòó [0, 1]2, ïðè n = 3 òðîéíîé èíòåãðàë ïî åäèíè÷íîìó êóáó [0, 1]3. Ïðè ïðîèçâîëüíîì n îæèäàåìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ n-êðàòíûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè X(ω) ïî n-ìåðíîìó åäèíè÷íîìó êóáó [0, 1]n. Íî åñëè äëÿ êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ëþáàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X:Ω→R èìååò îæèäàåìîå çíà÷åíèå, òî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ñóùåñòâóþò ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ó êîòîðûõ íåò îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ. Åñëè âñå îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ ñóùåñòâóþò, òî òåîðåìû 1.11.6 îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó÷àå, êîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω áåñêîíå÷íî. Îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è ôîðìóëû Å(ñÕ) = ñÅ(Õ), Å(Õ + ñ) = Å(Õ) + ñ, à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äëÿ äèñïåðñèé è ñòàíäàðòíûõ îòêëîíåíèé, ïðèâåäåííûå â íà÷àëå ïàðàãðàôà. 41 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 1.4 Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Ïóñòü Ω ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X:Ω→R è õ ∈ R. ×åðåç À îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ω ∈ Ω òàêèõ, ÷òî X(ω) ≤ x. Ïîëîæèì F(x) = P(A). Ôóíêöèÿ F : R → [0, 1] íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Ç à ì å ÷ à í è å. Ïðàâèëüíåå (íî áîëåå ãðîìîçäêî) áûëî áû îáîçíà÷èòü ýòó ôóíêöèþ íå F(x), à FX (x), ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü åå ñâÿçü ñî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X. ßñíî, ÷òî F íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè õ1 < õ2, òî äëÿ ìíîæåñòâ À1 = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x1} è À2 = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x2} èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå À1 ⊂ À2. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Ð(À1) ≤ Ð(À2) è, çíà÷èò, F(x1) ≤ F(x2). Ïîñìîòðèì, êàê óñòðîåíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω, Ω = {ω1, ω2, ..., ωN}, è âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàâíû p1, p2, ..., pN . 42 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ïóñòü X(ωi ) = xi , i = 1, 2, ..., N, ïðè÷åì x1 < x2 < ... < xN . Òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1.16; çíà÷åíèå ôóíêöèè F ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õi, âîçðàñòàåò íà pi. Ðèñ. 1.16. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà Ω êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, F ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé. Ïîëåçíî ñðàâíèòü ðèñ. 1.16 ñ ðèñ. 1.12. Íà ðèñ. 1.12 îñü õ ðàñïîëîæåíà âåðòèêàëüíî, à íà ðèñ. 1.16 ãîðèçîíòàëüíî. Ïî âåðòèêàëüíîé îñè íà ðèñ. 1.16 îòêëàäûâàåòñÿ ñóììà äëèí îòðåçêîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1.12, íà êîòîðûõ X(ω) ≤ õ. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åñëè äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëåííûå íà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ Ω , èìåþò îäèíàêîâûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñîâïàäàþò. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåðæèò âñþ èíôîðìàöèþ î çíà÷åíèÿõ, ïðèíèìàåìûõ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, è î âåðîÿòíîñòÿõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáûòèé. Åñëè ìíîæåñòâî Ω áåñêîíå÷íî, òî ôóíêöèÿ F(x) ìîæåò áûòü êàê íåïðåðûâíîé (è äàæå äèôôåðåíöèðóåìîé), òàê è ðàçðûâíîé.  ëþáîì ñëó÷àå îíà îñòàåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé (ñì. ðèñ.1.17). 43 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðèñ. 1.17. Äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé áåñêîíå÷íî) Ïðèìåð 1.8. Òðè ñòóäåíòà, Àíòîí, Áîðèñ è Âàëåðèé, ïî-ðàçíîìó èñïîëüçîâàëè 5-ìèíóòíûé ïåðåðûâ ìåæäó çàíÿòèÿìè. Àíòîí ïîçâîíèë ïî òåëåôîíó. Áîðèñ ïîäîøåë ê ïðåïîäàâàòåëþ è ïîïðîñèë åùå ðàç îáúÿñíèòü íåïîíÿòûé èì ìàòåðèàë. Âàëåðèé ðåøèë ïîïèòü ÷àþ â áóôåòå. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Àíòîíà ïî òåëåôîíó, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Áîðèñà ñ ïðåïîäàâàòåëåì, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Z äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âðåìåíè, êîòîðîå Âàëåðèé ïðîâåë â áóôåòå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X, Y è Z ïðèíèìàþò ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ îò 0 ìèíóò äî 5 ìèíóò. Ìîæíî ïðèíÿòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé îòäåëüíûõ ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X, Y è Z. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X P(X ≤ 0) = 0; P(X ≤ 1) = 0,2; P(X ≤ 2) = 0,4; P(X ≤ 3) = 0,6; P(X ≤ 4) = 0,8; P(X ≤ 5) = 1. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y P(Y ≤ 0) = 0; P(Y ≤ 1) = 0,5; P(Y ≤ 2) = 0,8; P(Y ≤ 3) = 0,9; P(Y ≤ 4) = 0,95; P(Y ≤ 5) = 1. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z P(Z ≤ 0) = 0; P(Z ≤ 1) = 0; P(Z ≤ 2) = 0,1; P(Z ≤ 3) = 0,2; P(Z ≤ 4) = 0,5; P(Z ≤ 5) = 1. 44 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y è Z òîãäà ìîãóò èìåòü âèä, ïðèâåäåííûé íà ðèñ.1.18. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåðæèò â ñåáå çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü èíôîðìàöèè î ïîâåäåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íî, çíàÿ îòäåëüíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, íåëüçÿ îòâåòèòü, íàïðèìåð, íà âîïðîñ, áóäóò ëè ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìûìè. Åñëè ôóíêöèÿ F â êàæäîé òî÷êå x ∈ R èìååò ïðîèçâîäíóþ F′(x) = f (x), ãäå f íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Ïðè ëþáîì õ ∈ R f (x) ≥ 0, ïîñêîëüêó F (x) ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé. Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà Ëåéáíèöà ïîëó÷àåì b F (b) − F (a ) = ∫ f ( x )dx a âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À, ñîñòîÿùåãî èç òåõ ýëåìåíòîâ ω ∈ Ω, äëÿ êîòîðûõ à ≤ Õ(ω) ≤ b. Èç ñîîòíîøåíèé lim F ( x ) = 0, lim F ( x ) = 1 x →− ∞ x →∞ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè f (õ) ∞ ∫ f ( x )dx = 1 −∞ è x F ( x) = ∫ f ( y )dy. −∞ Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè, òî, êîíå÷íî, ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω, êàê ìû óñòàíîâèëè âûøå, ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé íà âñåé ïðÿìîé. 45 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà à) Ãðàôèê ôóíêöèè FX á) Ãðàôèê ôóíêöèè FY â) Ãðàôèê ôóíêöèè FZ Ðèñ. 1.18. Ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y è Z 46 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ò å î ð å ì à 1.7. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè f, òî îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé E( X ) = ∞ ∫ u f (u)du. −∞  êîíöå ïàðàãðàôà 1.3 ìû îïðåäåëèëè îæèäàåìîå çíà÷åíèå äëÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X : [0, 1] → R, êàê 1 E ( X ) = ∫ X (ω)d ω. 0 Êàê óæå ãîâîðèëîñü â ïàðàãðàôå 1.3, îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáùåãî âèäà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì äàííîãî îïðåäåëåíèÿ. Òåîðåìó 1.7 ìû ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà: ýòî îäèí èç òðóäíûõ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.  äàëüíåéøåì, îïåðèðóÿ îæèäàåìûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ëèáî âûðàæåíèåì äëÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èç òåîðåìû 1.7 (åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè), ëèáî íåïîñðåäñòâåííî îïðåäåëåíèåì îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ (åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω). Äðóãèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì (çà èñêëþ÷åíèåì ãëàâû 8, ãäå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà Ω = N, íî ýòîò ñëó÷àé, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ Ω ). Ò å î ð å ì à 1.8. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè f, òî äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: D( X ) = ∞ ∫ (u − E ( X ) ) 2 f (u )du. −∞ Òåîðåìà 1.8 (êîòîðóþ ìû òàêæå íå áóäåì äîêàçûâàòü) è òåîðåìà 1.7 ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îäíîé òåîðåìû îá îæèäàåìîì çíà÷å47 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà íèè ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (íàïîìíèì, ÷òî D(X) = Å((Õ Å(Õ))2)). Ìû îãðàíè÷èëèñü èçëîæåíèåì ýòèõ äâóõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, ïîñêîëüêó îáùèé ðåçóëüòàò â äàëüíåéøåì â ýòîé êíèãå íå ïîíàäîáèòñÿ. Ç à ì å ÷ à í è å. ×òîáû áûòü ñòðîãèìè, â ôîðìóëèðîâêàõ òåîðåì 1.7 è 1.8 ñëåäîâàëî ïîòðåáîâàòü ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåãðàëîâ. Åñëè èíòåãðàë, ó÷àñòâóþùèé â îïðåäåëåíèè îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èëè äèñïåðñèè ðàñõîäèòñÿ, òî íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå ôóíêöèè ïëîòíîñòè, êîíå÷íîãî îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èëè êîíå÷íîé äèñïåðñèè ó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåò. Ìû íå ñòàëè óïîìèíàòü îá ýòîì òðåáîâàíèè ðàíüøå, ÷òîáû íå óòÿæåëÿòü ôîðìóëèðîâêè òåîðåì.  äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, èíòåãðàëû áóäåì ñ÷èòàòü ñõîäÿùèìèñÿ. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà ∞ ∫ f ( x )dx, −∞ âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà ∞ ∫ x f ( x )dx. −∞ Ïóñòü, íàïðèìåð, 0 ïðè x < 1 f ( x) = 1 x 2 ïðè x ≥ 1. Òîãäà ∞ ∫ −∞ ∞ f ( x )dx = ∫ 1 1 dx = 1, x2 íî ∞ ∞ 1 ∫−∞ x f ( x )dx = ∫1 x dx = ∞. 48 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð ôóíêöèè ïëîòíîñòè âàæåí äëÿ íàñ åùå â îäíîì îòíîøåíèè. Ôóíêöèÿ x F ( x) = ∫ f ( y )dy −∞ íå äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x = 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìàëüíî ìû íå èìåëè äàæå ïðàâà íàçûâàòü f ôóíêöèåé ïëîòíîñòè. Íî ýòî âîçðàæåíèå ëåãêî îáõîäèòñÿ, åñëè â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè ïëîòíîñòè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû f áûëà íå íåïðåðûâíà, à êóñî÷íî-íåïðåðûâíà, à ðàâåíñòâî F ′( x ) = f ( x ) áûëî ñïðàâåäëèâî äëÿ òåõ òî÷åê x ∈ R, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà. Ïðè òàêîì îáîáùåíèè ïîíÿòèÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîõðàíÿþòñÿ âñå åå ñâîéñòâà (ðàçóìååòñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì íåïðåðûâíîñòè) è âñå ïðèâåäåííûå âûøå ñîîòíîøåíèÿ.  ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ýòî áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè ïëîòíîñòè áåç ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê. Ç à ì å ÷ à í è å. Íà èíòóèòèâíîì óðîâíå ïîíÿòü òåîðåìó 1.7 äîñòàòî÷íî ëåãêî. Âûáåðåì ÷èñëà a0 è ak òàê, ÷òî ∞ ak −∞ a0 ∫ x f ( x )dx ≈ ∫ x f ( x )dx.  äàííîì ñëó÷àå ñèìâîë ≈ íå èìååò ñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ñìûñëà è îçíà÷àåò ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî. Ðàçîáüåì îòðåçîê [a0, ak ] íà k ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè a1, ..., ak1; a0 < a1 < a2 < ... < ak 1 < ak. ×åðåç Ai îáîçíà÷èì ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå èç òåõ ω ∈ Ω, äëÿ êîòîðûõ ai1 ≤ X(ω) < ai; i = 1, 2, ..., k. Òîãäà 49 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà P( Ai ) = ai ∫ f ( x )dx. ai −1 Ïîëîæèì xi = Òîãäà ak k ∫ x f ( x )dx = ∑ a0 ai ∫ i =1 ai −1 ai −1 + ai . 2 k ai i =1 a i −1 x f ( x )dx ≈∑ xi ∫ k f ( x )dx = ∑ xi P ( Ai ), i =1 ÷òî àíàëîãè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω. Èç òåîðåì 1.7 è 1.8 ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èìåþò îäèíàêîâûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî îíè èìåþò îäèíàêîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è îäèíàêîâûå äèñïåðñèè. Âûøå ìû óñòàíîâèëè òàêîé æå ðåçóëüòàò äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòîò ðåçóëüòàò îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ìîãóò èìåòü îäèíàêîâûå îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ è îäèíàêîâûå äèñïåðñèè, íî ñîâåðøåííî ðàçíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Èíîãäà âìåñòî ñëîâ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò çàäàííóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå èëè çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè f (õ). Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü 0 < ð < 1. Òî÷êà xp íàçûâàåòñÿ êâàíòèëüþ ïîðÿäêà ð ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, åñëè xp ∫ f ( y )dy = p. −∞ Ïîíÿòèå êâàíòèëè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì ïðè ïðîâåðêå ðàçëè÷íûõ ãèïîòåç. Êâàíòèëü ïîðÿäêà 0,5 íàçûâàåòñÿ ìåäèàíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ. 50 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ ìîäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, åñëè â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f (õ) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì. Íà ðèñ. 1.19 ïîêàçàíû ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êâàíòèëü ïîðÿäêà ð è ìîäà. Çäåñü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò îäíó ìîäó; â ïðèíöèïå ìîä ìîæåò áûòü è áîëüøå. Îäíàêî ÷àùå èñïîëüçóþòñÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ îäíîé ìîäîé. Ðèñ. 1.19. Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: x0 ìîäà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû; xp êâàíòèëü ïîðÿäêà ð; ð ïëîùàäü ôèãóðû, ëåæàùåé ñëåâà îò ïðÿìîé x = xp; (1 p) ïëîùàäü ôèãóðû, ëåæàùåé ñïðàâà îò ïðÿìîé x = xp 1.5 Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà Áàéåñà Ïóñòü ñîáûòèÿ À è Í ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ïðè÷åì Ð(Í) > 0. Îïðåäåëåíèå. ×èñëî 51 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà P( A H ) = P( A ∩ H ) P( H ) íàçûâàåòñÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè Í (ïðè ãèïîòåçå Í). Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî îïðåäåëåíèå äëÿ òðåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. 1) Åñëè À ∩ Í = ∅ (ðèñ. 1.20), òî Ð(À | H) = 0. Ðèñ. 1.20. Íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ À è Í è 2) Åñëè H ⊂ A (ñì. ðèñ. 1.21), òî À∩Í=Í Ð(À | H) = 1. Ñëó÷àè (1) è (2) ÿâëÿþòñÿ êðàéíèìè.  ñëó÷àå (1), åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå Í, òî ñîáûòèå À ïðîèçîéòè íå ìîæåò íèêàê, è âåðîÿòíîñòü A ïðè óñëîâèè H ðàâíà 0.  ñëó÷àå (2), åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå Í, òî çàâåäîìî ïðîèçîøëî è À, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü À ïðè óñëîâèè Í ðàâíà 1. Âîîáùå æå 0 ≤ Ð(À | H) ≤ 1, ïîñêîëüêó À ∩ Í ⊂ H. Óïîòðåáëÿÿ ñëîâîñî÷åòàíèå ïðîèçîøëî ñîáûòèå, ìû ãîâîðèì íà ïîâñåäíåâíîì ÿçûêå, ïîìîãàþùåì ïîíÿòü, îòêó52 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äà âçÿëîñü îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè, à íå íà ÿçûêå ñòðîãîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè. Ðèñ. 1.21. Ñîáûòèå À ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñîáûòèÿ Í è 3) Åñëè ñîáûòèÿ À è Í íåçàâèñèìû, òî P(À ∩ Í) = Ð(À) × Ð(H) Ð(À | H) = Ð(À). Ïðèìåð 1.9. Îäèíàêîâû ëè îòâåòû íà ñëåäóþùèå âîïðîñû. 1. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ? 2. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ, ïðè óñëîâèè, ÷òî îí ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé? Ïî-âèäèìîìó, âî âòîðîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü âûøå.  äàííîì ñëó÷àå ñîáûòèå À ñîñòîèò â òîì, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ, à ñîáûòèå Í ñîñòîèò â òîì, ÷òî òîâàð ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé (ñì. ðèñ. 1.22).  ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.22, ñîáûòèå À ∩ Í (òîâàð ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé è áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ) ïî÷òè ÷òî ñîâïàäàåò ñ ñîáûòèåì Í, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü P( A H ) = P( A ∩ H ) P( H ) áëèçêà ê 1.  òî æå âðåìÿ âåðîÿòíîñòü Ð(À) çíà÷èòåëüíî ìåíüøå 1. 53 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðèñ. 1.22. Ñîáûòèÿ À è Í, îáëàäàþùèå òåì ñâîéñòâîì, ÷òî âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè Í áëèçêà ê 1 Ïóñòü ñîáûòèÿ H1, H2, ..., Hk ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è k 7H i =1 i =Ω (ñì. ðèñ. 1.23, ãäå k = 4). Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A ⊂ Ω ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà k A = 7 ( A ∩ H i ). i =1 Ïîñêîëüêó ñîáûòèÿ À ∩ Íi ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ïî òåîðåìå î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé k P ( A) = ∑ P ( A ∩ H i ). i =1 Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî Ð(À ∩ Íi) = Ð(À | Íi) Ð(Íi), ïîëó÷àåì k P ( A) = ∑ P ( A H i ) P ( H i ). i =1 Äàííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ýòà ôîðìóëà îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ïîëåçíîé â ðÿäå ñëó÷àåâ. 54 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðèñ. 1.23. Ðàçáèâêà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω íà ïîïàðíî íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ H1, H2, H3, H4 Ïðèìåð 1.10. Ïðè áðîñàíèè ìîíåòû ñ âåðîÿòíîñòüþ ð âûïàäàåò ãåðá è ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 1 ð âûïàäàåò ðåøåòêà. Èãðîê, èìåþùèé ò ðóá., ïðè êàæäîì áðîñêå ëèáî âûèãðûâàåò 1 ðóá., åñëè âûïàäàåò ãåðá, ëèáî ïðîèãðûâàåò 1 ðóá., åñëè âûïàäàåò ðåøåòêà. Öåëü èãðîêà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óâåëè÷èòü ñâîé êàïèòàë äî Ì ðóá. Èãðà ïðåêðàùàåòñÿ ëèáî êîãäà êàïèòàë èãðîêà ñîñòàâèò Ì ðóá. (èãðîê âûèãðàë), ëèáî êîãäà êàïèòàë èãðîêà ñîñòàâèò 0 ðóá. (èãðîê ïðîèãðàë). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èãðîê ïðîèãðàåò? Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: π (k) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èìåÿ k ðóá., èãðîê ïðîèãðàåò (ãðå÷åñêàÿ áóêâà ïè); Í1 ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðè ïåðâîì áðîñêå âûïàë ãåðá; Í2 ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðè ïåðâîì áðîñêå âûïàëà ðåøåòêà; À ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî èãðîê ïðîèãðàë. Òîãäà Ð(À | Í1) = π (ò + 1), Ð(À | Í2) = π (m 1) è ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè π (m) = π (m + 1) p + π (m 1)q. Çàìåòèì, ÷òî π (0) = 1, π (M) = 0. 55 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 1 , òî çàäà÷à äîïóñêàåò 2 òî÷íîå ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå π ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò ò, òàê êàê òî÷êà (ò, π (ò)) ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà ñ êîíöàìè â òî÷êàõ (ò 1, π (ò 1)) è (ò + 1, π (m + 1)). Äåéñòâèòåëüíî, Åñëè ìîíåòà äîáðîêà÷åñòâåííàÿ, ò.å. p = q = è 1 1 m = ( m − 1) + ( m + 1) 2 2 1 1 π(m ) = π(m − 1) + π(m + 1) . 2 2 Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ôóíêöèè π íà êîíöàõ îòðåçêà [0, Ì] èçâåñòíû, íàõîäèì m . M Âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà íàéäåíà. Åñòåñòâåííî, ÷òî îíà òåì áîëüøå, ÷åì ìåíüøå îòíîøåíèå ò ê Ì. Êàê ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà íàéäåííàÿ âåðîÿòíîñòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàèáîëåå âûãîäíîãî ðóáåæà M? Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ îçíà÷àåò âûèãðûø èãðîêà. Òîãäà íà ïîäìíîæåñòâå À ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïðèíèìàåò çíà÷åíèå (ò), à íà îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé çíà÷åíèå (Ì ò). Îæèäàåìîå çíà÷åíèå âûèãðûøà π( m ) = 1 − m m = 0. E ( X ) = ( − m ) 1 − + ( M − m) M M Òî åñòü ïðè äîáðîêà÷åñòâåííîé ìîíåòå âûáîð ðóáåæà Ì íå âëèÿåò íà îæèäàåìîå çíà÷åíèå âûèãðûøà. Ïóñòü òåïåðü ð íå îáÿçàòåëüíî ðàâíî q. Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé π( m − 1) q − π( m) + π( m + 1) p = 0, 0 < m < M π(0) = 1, π( M ) = 0 ìîæåò áûòü ðåøåíà ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà.  ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíû ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïðîèãðûøà π (m) ïðè M = 10, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíîìó êàïèòàëó â ò ðóáëåé (0 ≤ ò ≤ 10) è âåðîÿòíîñòÿì âûïàäåíèÿ ãåðáà ð, ðàâíûì 0,6; 0,55; 0,52; 0,5; 0,48; 0,45; 0,4. Âñå âåðîÿòíîñòè ïðèâåäåíû ñ òî÷íîñòüþ äî äâóõ äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ. 56 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé p m 0,60 0,55 0,52 0,50 0,48 0,45 0,40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,66 0,79 0,86 0,90 0,93 0,97 0,99 0,43 0,62 0,73 0,80 0,86 0,92 0,98 0,28 0,48 0,61 0,70 0,78 0,87 0,96 0,18 0,36 0,50 0,60 0,69 0,81 0,93 0,12 0,27 0,40 0,50 0,60 0,73 0,88 0,07 0,19 0,31 0,40 0,50 0,64 0,82 0,04 0,13 0,22 0,30 0,39 0,52 0,72 0,02 0,08 0,14 0,20 0,27 0,38 0,57 0,01 0,03 0,07 0,10 0,14 0,21 0,34 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ð = 0,5 ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ñîâïàäàþò ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè èç òî÷íîé ôîðìóëû m . M Èíòåðåñíî, ÷òî óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãåðáà âñåãî ñ ð = = 0,52 äî ð = 0,48 óâåëè÷èâàåò âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà ïðè m = 9 ïðèìåðíî â äâà ðàçà, à óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãåðáà ñ ð = 0,6 äî ð = 0,4 ïðèìåðíî â òðèäöàòü ðàç. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ð = 0,6 è ð = 0,55 âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà ìåíüøå 0,5 äàæå ïðè ò = 2 è ò = 3 ñîîòâåòñòâåííî. π( m ) = 1 − Çàêîí÷èâ ñ ïðèìåðîì 1.10, ñíîâà âåðíåìñÿ ê ôîðìóëàì P( A H i ) = P( A ∩ H i ) , P( H i ) ãäå ñîáûòèÿ H1, H2, ..., Ík ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è ïðè îáúåäèíåíèè äàþò âñå ìíîæåñòâî Ω. Çàìåòèì, ÷òî åñëè Ð(À) > 0, òî P( H i A) = P( A ∩ H i ) . P( A) Òàê êàê P(À ∩ Íi ) = Ð(À | Íi)P(Hi), ïîëó÷àåì P ( H i A) = P( A H i ) P( H i ) . P ( A) Âûðàæàÿ P(A) ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì 57 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà P ( H i A) = P( A H i ) P( H i ) k ∑ P( A H j =1 j . ) P( H j ) Äàííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Áàéåñà. Ïðèìåð 1.11.  íà÷àëå ãîäà àíàëèòèê ðåêîìåíäîâàë íåêîòîðûå àêöèè äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ. Ïî ðåçóëüòàòàì ãîäà îïðåäåëèëîñü, ÷òî äëÿ 40% îò îáùåãî ÷èñëà àêöèé äîõîäíîñòü îêàçàëàñü âûøå, ÷åì ñðåäíÿÿ ïî ðûíêó, à äëÿ 60% îò îáùåãî ÷èñëà àêöèé äîõîäíîñòü îêàçàëàñü íèæå, ÷åì ñðåäíÿÿ ïî ðûíêó. Óñëîâèìñÿ íàçûâàòü ïåðâûå àêöèè àêöèÿìè ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ, à âòîðûå àêöèè àêöèÿìè ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ. 20% èç ÷èñëà àêöèé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ áûëè ðåêîìåíäîâàíû àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ è 5% èç ÷èñëà àêöèé ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ áûëè ðåêîìåíäîâàíû àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî àêöèÿ, ðåêîìåíäîâàííàÿ àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ, îêàçàëàñü àêöèåé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ? Ïóñòü À ìíîæåñòâî àêöèé, ðåêîìåíäîâàííûõ àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ; H1 ìíîæåñòâî àêöèé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ; H2 ìíîæåñòâî àêöèé ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ. Òîãäà P(H1) = 0,4 P(H2) = 0,6, P(A | H1) = 0,2 P(A | H2) = 0,05. Ïîýòîìó P( H1 A) = P( A H1 ) P( H1 ) 0, 2 × 0, 4 8 = = . P( A H1 ) P( H1 ) + P( A H 2 ) P( H 2 ) 0, 2 × 0, 4 + 0,5 × 0,6 11 Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X:Ω→R ïðèíèìàåò k ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé x1, x2, ..., xk. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ai ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ðàâíà xi ; k Ω = 7 Ai . i =1 Èç îïðåäåëåíèÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî 58 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé k E ( X ) = ∑ xi P ( Ai ). i =1 Ïóñòü H ⊂ Ω è P(H) > 0. Îïðåäåëåíèå. Óñëîâíûì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè çàäàííîì H íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî k E ( X H ) = ∑ xi P ( Ai H ). i =1 Ïðèìåð 1.12. Äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ìîæåò áûòü ëèáî 5%, ëèáî 20%. Äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ìîæåò áûòü ëèáî 0%, ëèáî 10%. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äîõîäíîñòåé äâóõ àêòèâîâ ïðèâåäåíî â ñëåäóþùåé òàáëèöå. 0% 10% 5% 20% 0,1 0,4 0,3 0,2 Êàêîâà îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ïðè óñëîâèè, ÷òî äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ðàâíà 0%? Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ. À1 äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ðàâíà 5%; À2 äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ðàâíà 20%; H äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ðàâíà 0%. Òîãäà, ïîñêîëüêó P(H) = P(A1 ∩ H) + P(A2 ∩ H) = 0,1 + 0,3 = 0,4, èìååì P( A 1 H ) = P( A 1 ∩ H ) 0,1 = = 0, 25, P( H ) 0, 4 P( A 2 H ) = P( A 2 ∩ H ) 0,3 = = 0,75 P( H ) 0, 4 è E(X | H) = 5 × 0,25 + 20 × 0,75 = 13,75%.  òî æå âðåìÿ E(X) = 5 × 0,5 + 20 × 0,5 = 7,5%. 59 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 1.6 Çàäà÷à êàâàëåðà äå Ìåðå Ýòà çàäà÷à çàñëóæèâàåò ïîäðîáíîãî èçëîæåíèÿ ïî äâóì ïðè÷èíàì. Âî-ïåðâûõ, îíà âîøëà â èñòîðèþ ìàòåìàòèêè, êàê îäíà èç ïåðâûõ çàäà÷ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé1. Âî-âòîðûõ, îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñîâñåì íåî÷åâèäíîé ïðèêëàäíîé çàäà÷è, õîòÿ è îòíîñÿùåéñÿ ê îáëàñòè àçàðòíûõ èãð. Êàâàëåð äå Ìåðå íå áûë ìàòåìàòèêîì. Îí áûë çàÿäëûì èãðîêîì. Åãî ëþáèìàÿ èãðà (íàçîâåì åå èãðîé ¹ 1) ñîñòîÿëà â ñëåäóþùåì. Êàâàëåð äå Ìåðå è åãî ïàðòíåð áðîñàþò êîñòü 4 ðàçà. Åñëè õîòÿ áû îäèí ðàç âûïàäàåò øåñòåðêà, âûèãðûâàåò êàâàëåð äå Ìåðå. Åñëè íåò åãî ïàðòíåð. Êàâàëåð äå Ìåðå íå ìîã îáúÿñíèòü â ÷åì äåëî, íî çíàë, ÷òî ýòà èãðà (õîòÿ è íå î÷åíü çàìåòíî) èäåò íà ïîëüçó åãî êîøåëüêó. Îäíàêî ñî âðåìåíåì è äðóãèå èãðîêè çàìåòèëè, ÷òî ýòà èãðà èäåò íà ïîëüçó êîøåëüêó êàâàëåðà äå Ìåðå áîëüøå, ÷åì èõ ñîáñòâåííûì, ïîýòîìó íàõîäèëîñü âñå ìåíüøå æåëàþùèõ èãðàòü ñ íèì. Òîãäà êàâàëåð äå Ìåðå ïðèäóìàë èãðó ¹ 2. Äâå êîñòè áðîñàþòñÿ 24 ðàçà, è åñëè õîòü ðàç âûïàäàþò äâå øåñòåðêè ïîáåæäàåò êàâàëåð äå Ìåðå, åñëè íåò åãî ïàðòíåð. Óâåëè÷èâ ÷èñëî áðîñêîâ â øåñòü ðàç, êàâàëåð äå Ìåðå ñ÷èòàë, ÷òî îí ïðîñòî èãðàåò â èãðó ¹ 1 øåñòü ðàç ïîäðÿä. Îäíàêî ñèòóàöèÿ ñ êîøåëüêàìè èçìåíèëàñü íà ïðîòèâîïîëîæíóþ. Ðàññòðîåííûé êàâàëåð äå Ìåðå îáðàòèëñÿ ê ìàòåìàòèêó Ïàñêàëþ çà ðàçúÿñíåíèÿìè. Ïàñêàëü ðåøèë ýòó çàäà÷ó è îáúÿñíèë, ïî÷åìó âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà â ïåðâîé èãðå áîëüøå 1/2, à âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà âî âòîðîé èãðå ìåíüøå 1/2, îáåññìåðòèâ òåì ñàìûì èìÿ äå Ìåðå è ñäåëàâ âàæíûé øàã â ðàçâèòèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Èãðà ¹ 1. Ìíîæåñòâî Ω ñîñòîèò èç 64 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé: (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), ...., (1, 1, 1, 6), Ñì.: Íèêèôîðîâñêèé Â.À, Ôðåéìàí Ë.Ñ. Ðîæäåíèå íîâîé ìàòåìàòèêè. Ì.: Íàóêà, 1976. Ñ. 116117. 1 60 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (1, 1, 2, 1), ..., (6, 6, 6, 5), (6, 6, 6, 6), ãäå äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ðåçóëüòàò ïåðâîãî áðîñêà, íà âòîðîì âòîðîãî, íà òðåòüåì òðåòüåãî, íà ÷åòâåðòîì ÷åòâåðòîãî. Ïðè ýòîì ñîáûòèå À (êàâàëåð äå Ìåðå ïðîèãðàë) ñîäåðæèò 54 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, òàê êàê íåáëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ïðè êàæäîì áðîñêå ìîæåò áûòü ïÿòü. Ïîýòîìó 54 625 1 = ≈ 0, 491 < . 4 6 1296 2 Èãðà ¹ 2. Èñõîäÿ èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé, ÷òî è â èãðå ¹ 1, â ýòîì ñëó÷àå P( A) = 24 35 P ( A) = . 36 ×òîáû ñðàâíèòü ýòî ÷èñëî ñ 1/2, ñëåäóåò ïåðåéòè ê ëîãàðèôìàì. Îòâåò ñëåäóåò èç öåïî÷êè íåðàâåíñòâ 24 36 36 < 0,68 < ln 2, ln = 24ln 35 35 ïîýòîìó 24 36 <2 35 è 1 P( A) > . 2 à èìåííî Ð(À) ≈ 0,509. Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ ïðè÷èíà íåóäà÷ êàâàëåðà äå Ìåðå. 61 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ø 34 Øâåäîâ, À. Ñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà [Òåêñò] : ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ / À. Ñ. Øâåäîâ; Ãîñ. óí-ò Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè. 2-å èçä., ïåðåðàá. è äîï. Ì.: Èçä. äîì ÃÓ ÂØÝ, 2005. 254, [I, II] ñ. (Ó÷åáíèêè Âûñøåé øêîëû ýêîíîìèêè). Ëèòåðàò.: ñ. 247249. Ïðåäì. óêàç.: ñ. 250253. 3000 ýêç. ISBN 5-7598-0214-3 (â ïåð.). Êíèãà ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíûì ïîñîáèåì ïî êóðñó Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Èçëîæåíèå âåäåòñÿ â äîñòóïíîé ôîðìå, ïðè ýòîì ïîíÿòèÿ ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èñïîëüçóþòñÿ â òîì æå ñìûñëå, ÷òî è â íàó÷íûõ òðóäàõ ïî ìàòåìàòèêå.  ïîñîáèå âêëþ÷åíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðèìåðîâ, ïîçâîëÿþùèõ ïîíÿòü ïðèíöèïû ïðèìåíåíèÿ ìíîãèõ ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè äëÿ ðåøåíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ è äðóãèõ çàäà÷. Äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ñïåöèàëüíîñòåé Ýêîíîìèêà è Ìåíåäæìåíò, äðóãèõ ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, à òàêæå äëÿ èíòåðåñóþùèõñÿ âîçìîæíîñòÿìè ïðèìåíåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè â óñëîâèÿõ ðûíî÷íîé ýêîíîìèêè. ÓÄÊ 519.2(075) ÁÁÊ 22.17 Ó÷åáíîå èçäàíèå Øâåäîâ Àëåêñåé Ñåðãååâè÷ Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðåäàêòîð Å.À. Ðÿçàíöåâà Õóäîæåñòâåííûé ðåäàêòîð À.Ì. Ïàâëîâ Êîððåêòîð Å.Å. Àíäðååâà Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà è ãðàôèêà Í.Å. Ïóçàíîâà ËÐ ¹ 020832 îò 15 îêòÿáðÿ 1993 ã. ïðîäëåíà äî 14 îêòÿáðÿ 2003 ã. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 15.11.2004. Ôîðìàò 60×88 1/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ãàðíèòóðà Times New Roman. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Òèðàæ 3000 ýêç. Óñë. ïå÷. ë. 15,46. Ó÷.-èçä. ë. 7,57. Çàêàç ¹ . Èçä. ¹ 254 ÃÓ ÂØÝ. 125319, Ìîñêâà, Êî÷íîâñêèé ïðîåçä, 3 Òåë.: (095) 134-16-41; 134-08-77 Ôàêñ: (095) 134-08-31 62