Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ÃÓ) Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2013 Ïðîãðàììà êóðñà Âñå ìàòåðèàëû ïî êóðñó âûêëàäûâàþòñÿ íà ñàéòàõ dm.fizteh.ru è ru.discrete-mathematics.org. Îñíîâíûå öåëè è çàäà÷è êóðñà: • Âûðàáîòàòü íàâûê ñòðóêòóðèðîâàííîãî ëîãè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ. • Îñâîèòü îáùåìàòåìàòè÷åñêóþ òåðìèíîëîãèþ (ìíîæåñòâà, îòíîøåíèÿ, ôóíêöèè). • Íàó÷èòüñÿ äàâàòü ôîðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ è ïðèâîäèòü ïðèìåðû îïðåäåëÿåìûõ îáúåêòîâ. • Íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü ôîðìàëüíûå çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé è èõ äîêàçàòåëüñòâ è ðàáîòàòü ñ ýòèìè çàïèñÿìè. • Íàó÷èòüñÿ ïðîâîäèòü ìàòåìàòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ, íå îñíîâàííûå íà êîíêðåòíûõ ñâîéñòâàõ ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâ. Îñíîâíûå òåìû êóðñà: 1. Ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà è ïîäìíîæåñòâà, ïðîñòåéøèå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè. Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû è êîðòåæè, äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå. Îòîáðàæåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ. Ïîíÿòèÿ îáðàçà è ïðîîáðàçà. Èíúåêöèè, ñþðúåêöèè è áèåêöèè. Êîìïîçèöèÿ è îáðàòíîå îòîáðàæåíèå. Ñðàâíåíèå ìîùíîñòåé è ïîíÿòèå ðàâíîìîùíîñòè. Òåîðåìà Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà. Ñ÷¼òíûå è íåñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà, èõ ñâîéñòâà. Òåîðåìà Êàíòîðà. Îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâàõ. Ñâîéñòâà áèíàðíûõ îòíîøåíèé. Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, òåîðåìà î êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè. Îòíîøåíèÿ ÷àñòè÷íîãî è ëèíåéíîãî ïîðÿäêà. Ìèíèìàëüíûå/ìàêñèìàëüíûå è íàèìåíüøèå/íàèáîëüøèå ýëåìåíòû. Ñâîéñòâà óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Îïåðàöèè íàä óïîðÿäî÷åííûìè ìíîæåñòâàìè. Èçîìîðôèçìû óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. 2. Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé. Áóëåâû ïåðåìåííûå è ôóíêöèè. Ïîñòðîåíèå ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ ôîðìóëû íà íàáîðå çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Òàáëèöû èñòèííîñòè. Òàâòîëîãèè è ïðîòèâîðå÷èÿ. Ïðèâåäåíèå ôîðìóë ê ÊÍÔ è ÄÍÔ. Ìíîãî÷ëåíû Æåãàëêèíà. Ïîëíûå ñèñòåìû ñâÿçîê, òåîðåìà Ïîñòà. 3. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. Àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Êîððåêòíîñòü èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ëåììà î äåäóêöèè. Ïîëíîòà èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Íåïðîòèâîðå÷èâûå è ñîâìåñòíûå ñåìåéñòâà ôîðìóë. Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë. 4. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïîíÿòèå ñèãíàòóðû. Ïîñòðîåíèå ôîðìóë ïåðâîãî ïîðÿäêà: òåðìû, àòîìàðíûå ôîðìóëû, ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè è êâàíòîðû. Ïàðàìåòðû ôîðìóëû. Ïîíÿòèå çàìêíóòîé ôîðìóëû. Èíòåðïðåòàöèÿ ñèãíàòóðû. Èñòèííîñòü ôîðìóëû â äàííîé èíòåðïðåòàöèè íà äàííîé îöåíêå. Âûïîëíèìîñòü è îáùåçíà÷èìîñòü ôîðìóë ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàìåíà ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé. Ïðåäâàð¼ííàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà. Âûðàæåíèå ïðåäèêàòîâ â äàííîé èíòåðïðåòàöèè ôîðìóëàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Èçîìîðôèçìû è àâòîìîðôèçìû èíòåðïðåòàöèé. Ïðèìåðû íåâûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ. Ìåòîä ýëèìèíàöèè êâàíòîðîâ. Ýëåìåíòàðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü èíòåðïðåòàöèé. Èãðû Ýðåíôîéõòà. Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ. 5. Àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Ïðàâèëî îáîáùåíèÿ. Ëåììà î äåäóêöèè äëÿ èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Êîððåêòíîñòü èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Íåïðîòèâîðå÷èâûå è ñîâìåñòíûå òåîðèè. Òåîðèè è ìîäåëè. Ïîëíûå è ýêçèñòåíöèàëüíî ïîëíûå òåîðèè. Òåîðåìà üäåëÿ î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Ñåìàíòè÷åñêîå ñëåäîâàíèå. Òåîðåìà Ìàëüöåâà î êîìïàêòíîñòè. Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ è òåîðèÿ ìîäåëåé. Ëèòåðàòóðà: 1. Âåðåùàãèí Í.Ê., Øåíü À. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. ×àñòü I. Íà÷àëà òåîðèè ìíîæåñòâ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2002. (Ýëåêòðîííàÿ âåðñèÿ äîñòóïíà íà ñòðàíèöå http://www.mccme.ru/free-books) 2. Âåðåùàãèí Í.Ê., Øåíü À. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. ×àñòü II. ßçûêè è èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2002. (Ýëåêòðîííàÿ âåðñèÿ äîñòóïíà íà ñòðàíèöå http://www.mccme.ru/free-books) 3. Ìåíäåëüñîí Ý. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ì.: Íàóêà, 1984. 4. Óñïåíñêèé Â.À., Âåðåùàãèí Í.Ê., Ïëèñêî Â.Å. Ââîäíûé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004 5. Ëàâðîâ È.À., Ìàêñèìîâà Ë.Ë. Çàäà÷è ïî òåîðèè ìíîæåñòâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è òåîðèè àëãîðèòìîâ. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2002. 6. Ïåíòóñ Ì.Ð. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Êîíñïåêò ëåêöèé íà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ, âåñíà 2006. http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/mehmat/vmlk06le.pdf 7. Ïëèñêî Â.Å. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Êîíñïåêò. http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.pdf 8. Bilaniuk, S., A Problem Course in Mathematical Logic. http://euclid.trentu.ca/math/sb/pcml Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà: 9. Êëèíè Ñ.Ê. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: Ìèð, 1973. 10. Ñìàëëèàí Ð. Êàê æå íàçûâàåòñÿ ýòà êíèãà? Ì.: Ìèð, 1981. 11. Ëèíäîí Ð. Çàìåòêè ïî ëîãèêå. Ì.: Ìèð, 1968. 12. Ìàíèí Þ.È. Äîêàçóåìîå è íåäîêàçóåìîå. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1979. 13. Õîôøòàäòåð Ä. üäåëü, Ýøåð, Áàõ: ýòà áåñêîíå÷íàÿ ãèðëÿíäà. Ñàìàðà: Áàõðàõ-Ì, 2001. ïðîõîäÿò ïî ñðåäàì â 15:30 â àóäèòîðèè 113 ÃÊ, ÷èòàåò Ìóñàòîâ Ä.Â. Ñåìèíàðû ïðîõîäÿò ïî ïîíåäåëüíèêàì è ñðåäàì, èõ âåäóò Êóäèíîâ À. Â. (ïí, àóä. 422ÃÊ; ãð. 392, 12:20; ãð. 391, 13:55), Ñîðîêèí À.À. (ãð. 293, ñð, àóä. 416à ÃÊ, 17:05) è Äàéíÿê À.Á. ( ãð. 398, ñð, àóä. 422ÃÊ, 17:05). Íà ñåìèíàðàõ ðàçáèðàþòñÿ çàäà÷è è ñëîæíûå ìîìåíòû èç òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà. Ðàñøèðåííûå ñïèñêè çàäà÷ ãîòîâÿòñÿ ïî êàæäîé ñåìèíàðñêîé òåìå è ïóáëèêóþòñÿ íà ñòðàíèöå êóðñà. Ñàìîñòîÿòåëüíûå ðàáîòû íà 1015 ìèíóò ïðîâîäÿòñÿ íà ñåìèíàðàõ. Ýòè ðàáîòû íå âëèÿþò íà èòîãîâûå îöåíêè, íî ñëóæàò äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà. Äîìàøíèå çàäàíèÿ âûäàþòñÿ è ïðîâåðÿþòñÿ ïî óñìîòðåíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ, âåäóùåãî ñåìèíàðû. Êîíòðîëüíûå ðàáîòû è çà÷¼ò.  òå÷åíèå ñåìåñòðà ïðîâîäÿòñÿ òðè êîíòðîëüíûå ðàáîòû (ïðåäâàðèòåëüíûå äàòû: 7/9 îêòÿáðÿ, 18/20 íîÿáðÿ, 16/18 äåêàáðÿ), íà êàæäîé äà¼òñÿ 4 îáû÷íûå çàäà÷è è 2 çàäà÷è ïîâûøåííîé òðóäíîñòè. Êàæäàÿ çàäà÷à îöåíèâàåòñÿ èç 10 áàëëîâ. Ïîñëå êàæäîé êîíòðîëüíîé äà¼òñÿ ñïèñîê äîïîëíèòåëüíûõ çàäà÷, êîòîðûå ìîæíî ñäàâàòü â òå÷åíèå ñåìåñòðà èëè íà çà÷¼òå èñõîäÿ èç 5 áàëëîâ çà çàäà÷ó. Ïðè ýòîì çàñ÷èòûâàåòñÿ íå áîëåå 4 çàäà÷ ïî êàæäîé êîíòðîëüíîé, áàëëû ñêëàäûâàþòñÿ ñ îöåíêîé çà êîíòðîëüíóþ, íî ñóììàðíûé áàëë ïî êàæäîé çàäà÷å íå ìîæåò ïðåâûøàòü 10.  èòîãå ïî êàæäîé êîíòðîëüíîé èìååòñÿ îöåíêà: x1 , x2 , x3 . Îöåíêà çà äèôôåðåíöèðîâàííûé çà÷¼ò ñòàâèòñÿ ïî ôîðìóëå: Ëåêöèè max{1, min{10, 0.1(x1 + x2 + x3 ) − 2, 0.5 · min{x1 , x2 , x3 } − 5}} Íàïðèìåð, ÷òîáû ïîëó÷èòü îòë(8), íóæíî â ñóììå çà 3 êîíòðîëüíûå íàáðàòü íå ìåíüøå 100 áàëëîâ, à çà êàæäóþ îòäåëüíóþ êîíòðîëüíóþ íå ìåíüøå 26. Ýêçàìåí ïðîéä¼ò âåñíîé ïî ãîäîâîìó êóðñó. Ïî òåìàì ïåðâîãî ñåìåñòðà áóäóò äàíû îäèí òåîðåòè÷åñêèé âîïðîñ è îäíà çàäà÷à. Ðåøåíèåì ïðåïîäàâàòåëÿ ñòóäåíò ìîæåò áûòü îñâîáîæä¼í îò çàäà÷è ïî èòîãàì ðàáîòû íà ñåìèíàðàõ, âûïîëíåíèÿ äîìàøíèõ çàäàíèé, ðåøåíèÿ çàäà÷, íàïèñàíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíûõ è êîíòðîëüíûõ.