Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ÃÓ) Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, îñåíü 2011 Âîïðîñû è çàäà÷è ê ýêçàìåíó  êàæäîì áèëåòå áóäåò äâà òåîðåòè÷åñêèõ âîïðîñà è òðè çàäà÷è ðàçíîé ñëîæíîñòè. Ïî ðåçóëüòàòàì çà÷¼òà ìîæíî îñâîáîäèòüñÿ îò îäíîé (ë¼ãêîé) èëè äâóõ (ë¼ãêîé è ñðåäíåé) çàäà÷. Îñîáî îòëè÷èâøèåñÿ ïîëó÷àþò ïðàâî ðàññêàçàòü çàðàíåå âûáðàííûé äîïîëíèòåëüíûé âîïðîñ. Îñíîâíûå âîïðîñû 1. Ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû: ïðàâèëà ïîñòðîåíèÿ, ïðèìåðû. Ëåììà î ñêîáî÷íîì èòîãå è òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà. 2. Áóëåâû ôóíêöèè. Ïðèìåðû. Âû÷èñëåíèå èñòèííîñòíîãî çíà÷åíèÿ. Òàâòîëîãèè è ïðîòèâîðå÷èÿ. Ïðèìåðû. 3. Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû. Ïîëèíîìû Æåãàëêèíà. Ïîñòðîåíèå íîðìàëüíûõ ôîðì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè. 4. Ïîëíûå è íåïîëíûå ñèñòåìû ñâÿçîê. Ïðèìåðû. Òåîðåìà Ïîñòà. 5. Àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ïîíÿòèÿ âûâîäà è âûâîäèìîé ôîðìóëû. Êîððåêòíîñòü èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. 6. Âûâîä ôîðìóëû A → A â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé. Ëåììà î äåäóêöèè è ñëåäñòâèÿ èç íå¼. 7. Ïðèìåðû âûâîäîâ â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé: çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ, çàêîí êîíòðàïîçèöèè, çàêîíû äå Ìîðãàíà, ïðàâèëî ñèëëîãèçìà. 8. Ëåììà î âûâîäèìîñòè ôîðìóëû èëè å¼ îòðèöàíèÿ èç ëèòåðàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿì ïåðåìåííûõ. Ïîëíîòà èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. 9. Ñîâìåñòíûå è íåïðîòèâîðå÷èâûå ñåìåéñòâà ôîðìóë. Ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëèðîâêè òåîðåì î êîððåêòíîñòè è ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. 10. Ìíîæåñòâî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë ñîâìåñòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî íåïðîòèâîðå÷èâî. 11. Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. 12. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà: ñèãíàòóðà, ïîñòðîåíèå òåðìîâ è ôîðìóë. Ñâîáîäíûå è ñâÿçàííûå âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ïàðàìåòðû ôîðìóëû. 13. Èíòåðïðåòàöèÿ ÿçûêà ïåðâîãî ïîðÿäêà. Îïðåäåëåíèå èñòèííîñòè ôîðìóëû. Èñòèííîñòü ôîðìóëû çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèé å¼ ïàðàìåòðîâ. 14. Ïîíÿòèÿ âûïîëíèìîé è îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëû. Ïðèìåðû. 15. Çàìåíà ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé. Òåîðåìà î ïðèâåäåíèè ôîðìóëû ê ïðåäâàð¼ííîé íîðìàëüíîé ôîðìå. 16. Âûðàçèìîñòü ïðåäèêàòîâ: îïðåäåëåíèå, ïðèìåðû. ðàçèìîñòè. Òðàíçèòèâíîå ñâîéñòâî âû- 17. Âûðàæåíèå ïðåäèêàòà y = x + N â èíòåðïðåòàöèè hN, =, Si ôîðìóëîé äëèíû ïîðÿäêà log N . 18. Âûðàçèìîñòü ïðåäèêàòîâ â àðèôìåòèêå: ïðîñòåéøèå ïðèìåðû, êîäèðîâàíèå Ñìàëëèàíà. 19. Âûðàçèìîñòü ïðåäèêàòîâ â àðèôìåòèêå: ïðèìåíåíèå êîäèðîâàíèÿ Ñìàëëèàíà äëÿ âûðàæåíèÿ ïðåäèêàòîâ x ñòåïåíü 4, x = 4k . 20. Èçîìîðôèçìû è àâòîìîðôèçìû èíòåðïðåòàöèé. Ïðèìåðû. Ñîõðàíåíèå âûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ ïðè àâòîìîðôèçìå. Ïðèìåðû íåâûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ. 21. Ìåòîä ýëèìèíàöèè êâàíòîðîâ. Ïðèìåíåíèå ê èíòåðïðåòàöèè hZ, 0, =, Si. 22. Ìåòîä ýëèìèíàöèè êâàíòîðîâ. Ïðèìåíåíèå ê èíòåðïðåòàöèè hQ, <, =i. 23. Ýëåìåíòàðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü èíòåðïðåòàöèé. Èãðû Ýðåíôîéõòà: îïðåäåëåíèå, ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû, âûèãðûøíûå ñòðàòåãèè äëÿ ïàð N è Z, Z è Q, Q è R, Z è Z + Z. 24. Åñëè èíòåðïðåòàöèè ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû, òî â èãðå Ýðåíôîéõòà âûèãðûâàåò Êîíñåðâàòîð. 25. Åñëè èíòåðïðåòàöèè íå ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû, òî â èãðå Ýðåíôîéõòà âûèãðûâàåò Íîâàòîð. 26. Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ: àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà. Ïðàâèëî îáîáùåíèÿ. 27. Ïðèìåðû âûâîäîâ â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ: ÷àñòíûå ñëó÷àè ïðîïîçèöèîíàëüíûõ òàâòîëîãèé, èçìåíåíèå ïîðÿäêà êâàíòîðîâ, ïðîíîñ îòðèöàíèÿ ÷åðåç êâàíòîð. 28. Ïðèìåðû âûâîäîâ â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ: çàìåíà ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé, çàìåíà ïîäôîðìóëû íà ýêâèâàëåíòíóþ. 29. Ëåììà î äåäóêöèè äëÿ èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. 30. Êîððåêòíîñòü èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. 31. Òåîðèè è ìîäåëè. Íåïðîòèâîðå÷èâûå è ñîâìåñòíûå òåîðèè. Íåïðîòèâîðå÷èâîñòü ëþáîé ñîâìåñòíîé òåîðèè, ñâÿçü ñ êîððåêòíîñòüþ èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. 32. Ïîëíûå è ýêçèñòåíöèàëüíî ïîëíûå òåîðèè. Ëþáóþ íåïðîòèâîðå÷èâóþ òåîðèþ ìîæíî ðàñøèðèòü äî ïîëíîé è ýêçèñòåíöèàëüíî ïîëíîé. 33. Ñóùåñòâîâàíèå ìîäåëè èç çàìêíóòûõ òåðìîâ ó íåïðîòèâîðå÷èâîé, ïîëíîé è ýêçèñòåíöèàëüíî ïîëíîé òåîðèè. 34. Òåîðåìà üäåëÿ î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ â ñèëüíîé è ñëàáîé ôîðìå. Ïîíÿòèå ñåìàíòè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ è åãî ðàâíîñèëüíîñòü ïîíÿòèþ âûâîäèìîñòè. 35. Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Íåâîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ àêñèîìàòèêè êîíå÷íîãî ïîëÿ. 36. Àêñèîìû ðàâåíñòâà. Íîðìàëüíûå ìîäåëè. Ñóùåñòâîâàíèå íîðìàëüíîé ìîäåëè ó íåïðîòèâîðå÷èâîé òåîðèè ñ ðàâåíñòâîì. Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ íîðìàëüíûõ ìîäåëåé. Äîïîëíèòåëüíûå âîïðîñû  ñêîáêàõ ïðèâåäåíû ññûëêè, ïî êîòîðûì ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè òåìàìè. Ðàçóìååòñÿ, ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ëþáûìè äðóãèìè èñòî÷íèêàìè. Åñëè òåìà îáú¼ìíàÿ, òî íóæíî âûäåëèòü ãëàâíîå è ïîäãîòîâèòü ðàññêàç íà 2030 ìèíóò. 1. Ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. ([1], 2546) 2. Èñ÷èñëåíèå ñåêâåíöèé. ([1], 6368) 3. Èíòóèöèîíèñòñêîå èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. ([1], 6986) 4. Àðèôìåòèêà Ïðåñáóðãåðà. ([1], 119122) 5. Òåîðåìà ÒàðñêîãîÇàéäåíáåðãà. ([1], 123135) 6. Òåîðåìà ˼âåíãåéìà-Ñêîëåìà îá ýëåìåíòàðíîé ïîäìîäåëè. ([1], 149155) 7. Òåîðåìà Ýðáðàíà. ([1], 195197) 8. Ïîëíûå òåîðèè. Êðèòåðèé ËîñÿÂîîòà. Ïðèìåðû. ([1], 211224) 9. Òåîðåìà ×ýíàËîñÿÑóøêî. ([1], 234242) 10. Òåîðåìà Ëîñÿ îá óëüòðàïðîèçâåäåíèÿõ. ([1], 243251) 11. Íåñòàíäàðòíûé àíàëèç. ([1], 252269) 12. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ëåììà Êðýéãà. ([8], 105107) 13. Òåîðåìà Áåòà. ([8], 107108) 14. Îñíîâû ìîäàëüíîé ëîãèêè. ([9], ñì. òàêæå [11]) 15. Êîíå÷íûå àâòîìàòû. ([10], 124143) 16. Êîíòåêñòíî-ñâîáîäíûå ãðàììàòèêè. ([10], 163188) ˼ãêèå çàäà÷è 1. Âåðíà ëè òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà äëÿ ïðàâèëüíûõ ñêîáî÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé? 2. Ïîñòðîéòå êàê ìîæíî áîëåå êîðîòêóþ ôîðìóëó îò òð¼õ ïåðåìåííûõ, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò òîæå çíà÷åíèå, ÷òî è áîëüøèíñòâî ïåðåìåííûõ. 3. Äîêæèòå, ÷òî åñëè A è B → ¬A ñóòü òàâòîëîãèè, òî ¬B òàâòîëîãèÿ. 4. Äîêàæèòå, ÷òî àññîöèàòèâíîñòü äèçúþíêöèè (A ∨ (B ∨ C)) ↔ ((A ∨ B) ∨ C) âûâîäèòñÿ â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé. 5. Äîêàæèòå, ÷òî ýêâèâàëåíòíîñòü (A → B) ↔ (¬A ∨ B) âûâîäèòñÿ â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé. 6. Äîêàæèòå, ÷òî çàêîí Ïèðñà ((A → B) → A) → A âûâîäèòñÿ â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé. 7. ßâëÿåòñÿ ëè îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëà ∀x∃y∀zA(x, y, z) → ∀z∃y∀xA(x, y, z)? 8. ßâëÿåòñÿ ëè îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëà ∃x∀y∃zA(x, y, z) → ∃z∀y∃xA(x, y, z)? 9. Âûðàçèòå ïðåäèêàò x ïëåìÿííèê y â hP; M, E, P i, ãäå P ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé, M (x) îçíà÷àåò x ÿâëÿåòñÿ ìóæ÷èíîé, E(x, y) îçíà÷àåò x è y ñóïðóãè, P (x, y) îçíà÷àåò x ðîäèòåëü y . 10. Âûðàçèòå ïðåäèêàò x åñòü îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî â h2A , ⊂i, ãäå A íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. 11. Âûðàçèòå ïðåäèêàò |xy| = 2 â hR2 , Ei, ãäå E(x, y) âûïîëíåíî, åñëè |xy| = 1. 12. Îïèøèòå âñå àâòîìîðôèçìû èíòåðïðåòàöèè hZ, <, =i. 13. Äîêàæèòå, ÷òî ïðåäèêàò x = 1/2 íå âûðàæàåòñÿ â èíòåðïðåòàöèè hR, <, =, 0, 1i. 14. Ïðèäóìàéòå çàìêíóòóþ ôîðìóëó ïåðâîãî ïîðÿäêà, âåðíóþ â îäíîì èç óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ N è N + N, è íåâåðíóþ â äðóãîì. 15. Äîêàæèòå, ÷òî òåîðèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç òð¼õ ôîðìóë ∀x¬A(x, x), ∀x∃yA(x, y) è ∀x∀y∀z((A(x, y) ∧ A(y, z)) → A(x, z)) ñîâìåñòíà, íî íå èìååò êîíå÷íûõ ìîäåëåé. 16. ßâëÿåòñÿ ëè îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëà (ϕ → ψ) → (∃xϕ → ∃xψ)? 17. Íå îïèðàÿñü íà òåîðåìó î ïîëíîòå, äîêàæèòå âûâîäèìîñòü ôîðìóëû ∃x(ϕ ∧ ψ) → (∃xϕ ∧ ∃xψ) â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ. 18. Íå îïèðàÿñü íà òåîðåìó î ïîëíîòå, äîêàæèòå âûâîäèìîñòü ôîðìóëû (∀xϕ∨∀xψ) → ∀x(ϕ ∨ ψ) â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ. Çàäà÷è ñðåäíåé ñëîæíîñòè 1. Âåðíà ëè òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà, åñëè îòêðûâàþùèå è çàêðûâàþùèå ñêîáêè îáîçíà÷àþòñÿ îäíèì è òåì æå ñèìâîëîì? 2. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ ìîíîòîííóþ ôóíêöèþ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç 0, 1, ∧, ∨. 3. Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ èç ñâÿçîê ↔ è ¬, ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ, à òàêæå çíàê îòðèöàíèÿ âñòðå÷àþòñÿ â íåé ÷¼òíîå ÷èñëî ðàç. 4. Äîêàæèòå, ÷òî àêñèîìà 10 èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé âûâîäèòñÿ èç âñåõ îñòàëüíûõ. 5. Äîêàæèòå, ÷òî çàêîí èñêëþ÷¼ííîãî òðåòüåãî âûâîäèòñÿ èç àêñèîì 110 è çàêîíà ñíÿòèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ. 6. Ïðèäóìàéòå ïðîòèâîðå÷èâîå ñåìåéñòâî èç òð¼õ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë, ëþáûå äâå ôîðìóëû èç êîòîðîãî íå ïðîòèâîðå÷èâû. 7. ßâëÿåòñÿ ëè îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëà ∃x∀y∃zA(x, y, z) ↔ ∃x(∀y(∃zA(x, y, z) → P (x, y)) → ∀yP (x, y))? Åñëè íåò, òî âåðíà ëè èìïëèêàöèÿ õîòÿ áû â îäíó ñòîðîíó? 8. Ïðèäóìàéòå äâå íåýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëû ϕ è ψ , òàêèå ÷òî ôîðìóëû ∀xϕ è ∀xψ ýêâèâàëåíòíû. (Ýêâèâàëåíòíîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê îáùåçíà÷èìîñòü ýêâèâàëåíöèè, íà àêñèîìû ðàâåíñòâà è êîíêðåòíûå èíòåðïðåòàöèè îïèðàòüñÿ íåëüçÿ.) 9. Âûðàçèòå ïðåäèêàò x äâîþðîäíûé áðàò y â hP; M, E, P i, ãäå P ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé, M (x) îçíà÷àåò x ÿâëÿåòñÿ ìóæ÷èíîé, E(x, y) îçíà÷àåò x è y ñóïðóãè, P (x, y) îçíà÷àåò x ðîäèòåëü y ; 10. Âûðàçèòå ïðåäèêàò Ìíîæåñòâà x, y è z ïåðåñåêàþòñÿ ïîïàðíî, íî îáùåå ïåðåñå÷åíèå ïóñòî â h2A , ⊂i, ãäå A íåêîòîðîå ìíîæåñòâî. 11. Âûðàçèòå â àðèôìåòèêå ïðåäèêàò x n-îå ÷èñëî Ôèáîíà÷÷è. 12. Âûðàçèòå ïðåäèêàò x åñòü N -ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî â èíòåðïðåòàöèè h2A , ⊂i ôîðìóëîé äëèíû O(log N ). . 13. Äîêàæèòå, ÷òî ïðåäèêàò x < y íåëüçÿ âûðàçèòü â èíòåðïðåòàöèè hN, ..i. 14. Ïðîâåäèòå ýëèìèíàöèþ êâàíòîðîâ â èíòåðïðåòàöèè hM, =i. ãäå M íåêîòîðîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Îïèøèòå ìíîæåñòâî âûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ â ýòîé èíòåðïðåòàöèè. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîé âûðàçèìûé äâóìåñòíûé ïðåäèêàò îáÿçàí áûòü ëèáî ðåôëåêñèâíûì, ëèáî àíòèðåôëåêñèâíûì. 15. Ïðèäóìàéòå çàìêíóòóþ ôîðìóëó ïåðâîãî ïîðÿäêà, âåðíóþ â îäíîì èç óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ hN \ {0}, |i è hÌíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ N, ⊂i, è íåâåðíóþ â äðóãîì. 16. Ïðèäóìàéòå ñîâìåñòíóþ òåîðèþ ñ îäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè, âñå ìîäåëè êîòîðîé ñîñòîÿò õîòÿ áû èç 6 ýëåìåíòîâ. Êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ïðåäèêàòîâ âàì ïîíàäîáèòñÿ? 17. Ñïåêòðîì òåîðèè ñ ðàâåíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ìîùíîñòåé âñåõ å¼ êîíå÷íûõ ìîäåëåé. Ïðèäóìàéòå òåîðèþ, ñïåêòð êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ÷¼òíûõ ÷èñåë, íå äåëÿùèõñÿ íà 4. 18. Íå îïèðàÿñü íà òåîðåìó î ïîëíîòå, äîêàæèòå âûâîäèìîñòü ôîðìóëû ∀y∃x(A(x) ∨ B(y)) → ∃x∀y(A(x) ∨ B(y)) â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ. Ñëîæíûå çàäà÷è 1. Âåðíà ëè òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà äëÿ ñëåäóþùåãî ïðàâèëà íàïèñàíèÿ ôîðìóë: ïåðåìåííàÿ åñòü ôîðìóëà; åñëè ϕ è ψ ôîðìóëû, òî |ϕ|ψ| ôîðìóëà? 2. Âåðíà ëè òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà äëÿ ñëåäóþùåãî ïðàâèëà íàïèñàíèÿ ôîðìóë: ïåðåìåííàÿ åñòü ôîðìóëà; åñëè ϕ è ψ ôîðìóëû, òî |ϕ|ψ| è |ϕ||ψ| ôîðìóëû? 3. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ ñàìîäâîéñòâåííóþ ôóíêöèþ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ¬ è maj. 4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A → B åñòü òàâòîëîãèÿ, òî íàéä¼òñÿ ôîðìóëà C , çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ïåðåìåííûõ, îáùèõ äëÿ A è B , òàêàÿ ÷òî A → C è C → B ñóòü òàâòîëîãèè. 5. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äâå ôîðìóëû, âûðàæåííûå òîëüêî ÷åðåç çíàêè ¬, ∨ è ∧, ýêâèâàëåíòíû, òî îíè îñòàíóòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè çàìåíèòü âñå çíàêè ∨ íà ∧, è íàîáîðîò. 6. Ðàññìîòðèì èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ñî ñõåìàìè àêñèîì A → (B → A), (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) è (¬B → ¬A) → (A → B) è ïðàâèëîì âûâîäà modus ponens. Çàìåíèì âî âñåõ ôîðìóëàõ A ∧ B íà ¬(A → ¬B), à A ∨ B íà ¬A → B . Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëå òàêîé çàìåíû àêñèîìû 111 îáû÷íîãî èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé âûâîäèìû â îïèñàííîì. 7. Çàäàí íåêîòîðûé íàáîð êâàäðàòèêîâ, ñòîðîíû êîòîðûõ ïîêðàøåíû â íåêîòîðûå öâåòà. Ó÷àñòîê ïëîñêîñòè ñ÷èòàåòñÿ êîððåêòíî çàìîù¼ííûì, åñëè êâàäðàòèêè ñîïðèêàñàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì ñòîðîíàìè îäèíàêîâûõ öâåòîâ. Èçâåñòíî, ÷òî íàáîðîì êâàäðàòèêîâ ìîæíî çàìîñòèòü ëþáîé êâàäðàò N × N . (Ëþáîé êâàäðàòèê èìååòñÿ â íåîãðàíè÷åííîì ÷èñëå øòóê, íî êâàäðàòèêè íåëüçÿ ïîâîðà÷èâàòü èëè ïåðåâîðà÷èâàòü). Äîêàæèòå, ÷òî íàáîðîì êâàäðàòèêîâ ìîæíî çàìîñòèòü âñþ ïëîñêîñòü. 8. Âûðàçèòå ïðåäèêàò ∠xyz = 36◦ â hR2 , Ci, ãäå C(x, y, z) âûïîëíåíî, åñëè ðàññòîÿíèå îò x äî y ðàâíÿåòñÿ ðàññòîÿíèþ îò x äî z (|xy| = |xz|). 9. Âûðàçèòå ïðåäèêàò |xy| = √ 1+ 5 2 â hR2 , Ei, ãäå E(x, y) âûïîëíåíî, åñëè |xy| = 1. 10. Âûðàçèòå â àðèôìåòèêå ïðåäèêàò x è y äðóæåñòâåííûå ÷èñëà. 11. Âûðàçèòå ïðåäèêàò Ëþáûå òðè ìíîæåñòâà èç x1 , x2 , . . . , xN èìåþò ïóñòîå îáùåå ïåðåñå÷åíèå â èíòåðïðåòàöèè h2A , ⊂i ôîðìóëîé äëèíû O(N ); 12. Ïðèäóìàéòå èíòåðïðåòàöèþ è òðè ïðåäèêàòà â íåé, òàêèå ÷òî êàæäûé ïðåäèêàò âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äâà äðóãèõ, íî íè îäèí ïðåäèêàò íå âûðàæàåòñÿ íè ÷åðåç îäèí äðóãîé. 13. Ïðîâåäèòå ýëèìèíàöèþ êâàíòîðîâ â èíòåðïðåòàöèè hQ, +, =i. Îïèøèòå ìíîæåñòâî âûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ â ýòîé èíòåðïðåòàöèè. Äîêàæèòå íåâûðàçèìîñòü ïðåäèêàòà áûòü áîëüøå ïî ìîäóëþ. 14. Ïðèäóìàéòå çàìêíóòóþ ôîðìóëó ïåðâîãî ïîðÿäêà, âåðíóþ â îäíîì èç óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ hR2 , 6stand i è hR3 , 6stand i, è íåâåðíóþ â äðóãîì. 15. Äîêàæèòå, ÷òî àáåëåâû ãðóïïû Z è Zk ïîïàðíî íå ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû äëÿ ðàçëè÷íûõ k , íî ëþáàÿ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, èñòèííàÿ â Z, èñòèííà â Zk ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k . 16. Ïóñòü V ìíîæåñòâî âåðøèí íåêîòîðîãî ãðàôà, äâóìåñòíûé ïðåäèêàò e îçíà÷àåò, ÷òî âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì. Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò çàìêíóòîé ôîðìóëû, âåðíîé äëÿ âñåõ ñâÿçíûõ ãðàôîâ è íåâåðíûõ äëÿ âñåõ íåñâÿçíûõ. 17. Ñïåêòðîì òåîðèè ñ ðàâåíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ìîùíîñòåé âñåõ å¼ êîíå÷íûõ ìîäåëåé. Ïðèäóìàéòå òåîðèþ, ñïåêòð êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ñîñòàâíûõ ÷èñåë. 18. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âûâîäèìûõ â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ôîðìóë íå èçìåíèòñÿ, åñëè çàìåíèòü äâà ïðàâèëà Áåðíàéñà íà ïðàâèëî îáîáùåíèÿ è äâå àêñèîìû ∀x(ψ → ϕ) → (ψ → ∀xϕ) è ∀x(ϕ → ψ) → (∃xϕ → ψ), ãäå ôîðìóëà ψ íå çàâèñèò îò x. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Âåðåùàãèí Í.Ê., Øåíü À. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. ×àñòü II. ßçûêè è èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2002. (Ýëåêòðîííàÿ âåðñèÿ äîñòóïíà íà ñòðàíèöå http://www.mccme.ru/free-books) [2] Ìåíäåëüñîí Ý. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ì.: Íàóêà, 1984. [3] Óñïåíñêèé Â.À., Âåðåùàãèí Í.Ê., Ïëèñêî Â.Å. Ââîäíûé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004 [4] Ëàâðîâ È.À., Ìàêñèìîâà Ë.Ë. Çàäà÷è ïî òåîðèè ìíîæåñòâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è òåîðèè àëãîðèòìîâ. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2002. [5] Ïåíòóñ Ì.Ð. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Êîíñïåêò ëåêöèé íà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ, âåñíà 2006. http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/mehmat/vmlk06le.pdf [6] Ïëèñêî Â.Å. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Êîíñïåêò. http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.pdf [7] Bilaniuk, S. A Problem Course http://euclid.trentu.ca/math/sb/pcml in Mathematical Logic. [8] Êåéñëåð Ã., ×ýí ×.×., Òåîðèÿ ìîäåëåé, Ì.: Ìèð, 1977 [9] Hedin A., Modal Logic (Lecture Notes for Applied Logic), 2008 http://www2.math.uu.se/~hedin/TillLog/LectureNotesAL.pdf [10] Àõî À., Óëüìàí Äæ. Òåîðèÿ ñèíòàêñè÷åñêîãî àíàëèçà, ïåðåâîäà è êîìïèëÿöèè. Ò. 1: Ñèíòàêñè÷åñêèé àíàëèç. Ì.: Ìèð, 1978. [11] Ôåéñ Ð., Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà, Ì.: Íàóêà, 1975. [12] Ïåíòóñ À.Å., Ïåíòóñ Ì.Ð., Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ, Ì.: Èíòåðíåò-óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé; ÁÈÍÎÌ. Ëàáîðàòîðèÿ çíàíèé, 2006. [13] Êëèíè Ñ.Ê. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: Ìèð, 1973. [14] Ñìàëëèàí Ð. Êàê æå íàçûâàåòñÿ ýòà êíèãà? Ì.: Ìèð, 1981. [15] Ëèíäîí Ð. Çàìåòêè ïî ëîãèêå. Ì.: Ìèð, 1968. [16] Ìàíèí Þ.È. Äîêàçóåìîå è íåäîêàçóåìîå. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1979. [17] Õîôøòàäòåð Ä. üäåëü, Ýøåð, Áàõ: ýòà áåñêîíå÷íàÿ ãèðëÿíäà. Ñàìàðà: Áàõðàõ-Ì, 2001.