4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1 Определение интеграла Пусть функция f задана на [a, b]. Разобьем этот отрезок на части точками xk : a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Положим ∆xk = xk+1 − xk ; λ = max ∆xk . k=0,n−1 Возьмем в каждом из отрезков [xk , xk+1 ] по точке γk и составим сумму σ= n−1 X f (γk )(xk+1 − xk ) k=0 Говорят, что сумма σ при λ → 0 имеет (конечный) предел J, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что неравенство λ < δ влечет неравенство |σ − J| < ε (при любом выборе точек xk и γk ). Записывают это так: J = lim σ . λ→0 Определение 1. Конечный limλ→0 σ называется определенным интеграRb лом функции f (в смысле Римана) на отрезке [a, b] и обозначается a f (x)dx. В случае существования такого предела функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке . 4.2 Обобщенная теорема о среднем значении Теорема 1. Пусть 1. f и g интегрируемы на [a, b], 2. m 6 f (x) 6 M для всех x ∈ [a, b], 3. функция g на [a, b] не меняет знака (g(x) 6 0 или g(x) > 0 для любого x ∈ [a, b]). Тогда существует γ ∈ [m, M ] такое, что Z b Z f (x)g(x)dx = γ a g(x)dx a 1 b (1) При доказательстве теоремы 1 будут использоваться следующие свойства интеграла: 1. Если f и g интегрируемы на [a, b], то функция f g тоже интегрируема; 2. Если f интегрируема на [a, b], k ∈ R, то b Z b Z f (x)dx ; k f (x)dx = k a a 3. Если f и g интегрируемы на [a, b] и f (x) 6 g(x) при x ∈ [a, b], то b Z b Z f (x)dx 6 a g(x)dx ; a 4. Если f интегрируема на [a, b] и неотрицательна, то Rb a f (x)dx > 0. Доказательство. Пусть сначала g(x) > 0. Тогда имеем m g(x) 6 f (x)g(x) 6 M g(x) при x ∈ [a, b]. На основании свойств 2 и 3 получаем Z m b Z g(x)dx 6 a b Z f (x)g(x)dx 6 M a b g(x)dx (2) a Rb В силу свойства 4 имеем a g(x)dx > 0. Если он равен нулю, то из нераRb венств (2) следует, что и a f (x)g(x)dx = 0, и утверждение теоремы очевидно. Если этот интеграл больше нуля, то, разделив на него обе части неравенства (2) и полагая Rb γ= a f (x)g(x)dx , Rb g(x)dx a придем к требуемому соотношению (1). От предположения g(x) > 0 легко перейти к предположению g(x) 6 0, так как изменение знака g(x) не нарушит равенства. Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 функция f непрерывна, то формула (1) может быть записана в виде Z b Z f (x)g(x)dx = f (C) a b g(x)dx , (3) a где C - некоторая точка отрезка [a, b]. Доказательство. Если считать, что m и M наименьшее и наибольшее значение f на [a, b], то по теореме Больцано-Коши о промежуточном значении f (C) = γ в некоторой точке C ∈ [a, b] 2 Замечание 1 Теорема 1 и следствие 1 часто используются, когда g(x) ≡ 1 на [a, b] В этом смысле теорема 1 называется теоремой о среднем значении для определенного интеграла. 4.3 Определенный интеграл с переменным верхним пределом Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда она интегрируемаRна любом отрезке x [a, x], где a 6 x 6 b, т.е. для любого x ∈ [a, b] существует a f (t)dt. Рассмотрим функцию Z x f (t)dt . (4) F (x) = a Эта функция, определенная на [a, b] называется интегралом с переменным верхним пределом. Теорема 2. (непрерывность интеграла по верхнему пределу) Если f интегрируема на [a, b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке. Доказательство. Пусть x ∈ [a, b], x + ∆x ∈ [a, b]. Тогда из (4) следует Z F (x+∆x) = x+∆x Z f (t)dt = a x Z x+∆x f (t)dt+ a Z x+∆x f (t)dt = F (x)+ x f (t)dt x Поэтому Z x+∆x ∆F (x) = F (x + ∆x) − F (x) = f (t)dt (5) x Так как функция f интегрируема на [a, b], то она ограничена на нем, т.е. существует число M > 0 такое, что |f (x)| 6 M для любого x ∈ [a, b]. Учитывая этот факт имеем Z Z x+∆x x+∆x |∆F (x)| = f (t)dt 6 |f (t)|dt 6 M |∆x| . x x Следовательно, lim∆x→0 ∆F (x) = 0 для любого x ∈ [a, b], а это и означает непрерывность F (x) в каждой точке x ∈ [a, b]. Теорема 3. (теорема Барроу) Если f интегрируема на [a, b] и непрерывна в точке x0 ∈ [a, b], то функRx ция F (x) = a f (t)dt дифференцируема в точке x0 и F 0 (x0 ) = f (x0 ). 3 Доказательство. Покажем что ∆F (x0 ) = f (x0 ) , ∆x→0 ∆x lim где ∆F (x) = F (x0 + ∆x) − F (x0 ) , x0 + ∆x ∈ [a, b] . Так как 1 ∆x Z x0 +∆x dx = 1, то f (x0 ) = x0 1 ∆x Z x0 +∆x f (x0 )dx . x0 Имеем Z Z x0 +∆x x0 +∆x ∆F (x0 ) 1 1 = 6 − f (x ) (f (t) − f (x ))dt |f (t) − f (x )|dt 0 0 0 ∆x ∆x x0 |∆x| x0 Пусть задано ε > 0. В силу непрерывности функции f в точке x0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что если |x−x0 | < δ, x ∈ [a, b], то |f (x)−f (x0 )| < ε. Пусть |∆x| < δ, тогда |f (t) − f (x0 )| < ε для всех t, принадлежащих промежутку с концами x0 , x0 + ∆x и, следовательно, имеем Z x0 +∆x ∆F (x0 ) ε dt = ε . ∆x − f (x0 ) < |∆x| x0 Это и означает, что lim ∆x→0 ∆F (x0 ) = f (x0 ) . ∆x В случае, когда x0 совпадает с одним из концов отрезка [a, b] под F 0 (x) следует понимать соответствующую одностороннюю производную F . Следствие 2. Непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет первообразную. Доказательство. Из непрерывности f на [a, b] следует, что f интегрируема на [a, b] и согласно теореме R x Барроу ее первообразной на [a, b] является, например, функция F (x) = a f (t)dt. 4 4.4 Формула Ньютона-Лейбница Теорема 4. (Формула Ньютона-Лейбница) Пусть f непрерывна на [a, b]. Если функция Φ является ее первообразной на [a, b], то b Z f (t)dt = Φ(b) − Φ(a) . (6) a Доказательство. Положим Z x f (t)dt . F (x) = a Функция F является первообразной для f на [a, b]. Так как F и Φ две первообразные одной и той же функции f на [a, b], то F (x) = Φ(x) + C при a 6 x 6 b, где C - постоянная и, следовательно, Z x f (t)dt = Φ(x) + C . a Отсюда при x = a получаем C = −Φ(a). Следовательно, Z x f (t)dt = Φ(x) − Φ(a) . a Полагая здесь x = b, получаем (6). Для краткости записи часто употребляют следующее обозначение b Φ(x)|a := Φ(b) − Φ(a) . 4.5 Формула замены переменной и интегрирование по частям Теорема 5. (формула замены переменной) Пусть f непрерывна на отрезке X с концами a и b; функция ϕ имеет непрерывную производную на отрезке Y с концами α и β, причем ϕ(Y ) ⊂ X, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Тогда Z b Z β f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt . f (x)dx = a (7) α Доказательство. Пусть Φ - первообразная f на X. Тогда при t ∈ Y имеет смысл сложная функция Φ(ϕ(t)), которая является первообразной для функции f (ϕ(t))ϕ0 (t). По формуле Ньютона-Лейбница Z b f (x)dx = Φ(b) − Φ(a) , a 5 β Z f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt = Φ(ϕ(β)) − Φ(ϕ(α)) = Φ(b) − Φ(a) α Отсюда и следует формула (7). Теорема 6. (интегрирование по частям) Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на [a, b], то Z a b b u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x)|a − b Z v(x)u0 (x)dx (8) a или коротко Z b b uv|a udv = a Z b − vdu . a Доказательство. Имеем Z b (uv)0 dx = b Z Z udv + a b vdu . a a Все эти интегралы существуют, ибо подинтегральные функции непрерывны. По формуле Ньютона-Лейбница b Z b (uv) dx = uv . 0 a a Следовательно, 4.6 b Z b uv|a = Z udv + b vdu . a a Некоторые неравенства для интегралов Теорема 7. (неравенство Гёльдера) Пусть p, q ∈ (1, ∞), p1 + 1q = 1, функции f и g интегрируемы на [a, b], тогда Z b Z |f (x)g(x)|dx 6 a ! p1 b |f (x)|p dx Z a a 6 b ! q1 |g(x)|q dx . Теорема 8. (неравенство Милковского) Пусть f и g интегрируемы на [a, b], p > 1. Тогда Z ! p1 b p |f (x) + g(x)| dx Z ! p1 b p |f (x)| dx 6 Z p |g(x)| dx + a a ! p1 b . a Теорема 9. (неравенство Чебышёва) Пусть f и g заданы на [a, b], причем f возрастает, а g убывает на [a, b]. Тогда Z b f (x)g(x)dx 6 a 1 b−a 7 Z b Z a b g(x)dx . f (x)dx a