Исследование функций 10 класс Р.О. Калошина, ГБОУ лицей №533 План урока y • Производная и экстремумы • Вторая производная • Исследование функций • Выпуклость графика функции f’’(x)>0 . М f’’(x)<0 О C X Производная и экстремумы Теорема: В точке экстремума производная функции либо равна нулю, либо не существует. Теорема: Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то среди её значений есть наибольшее и наименьшее. Правило отыскания наименьшего и наибольшего значения непрерывной функции на отрезке 1. Найти производную функции; 2. Приравнять производную 0 и найти корни 3. 4. 5. 6. этого уравнения; Найти точки, в которых функция не имеет производной; Вычислить значения функции на концах отрезка; Вычислить значения функции в точках, найденных в п. 2 и 3; Выбрать из них наибольшее и наименьшее. Сопротивление изгибу балки прямоугольного сечения пропорционально ее ширине х и квадрату ее высоты у : Р = kxy2 Какое сечение должна иметь балка наибольшего сопротивления изгибу, вырезанная из цилиндрического бревна радиуса R? ПРИМЕР R ● x y y 4R x 2 ПРИМЕР - решение 2 Р = k x y2 = k x (4R2 – x2) Т.О. надо найти наибольшее значение функции P(x) = k x (4R2 – x2) на отрезке [0;R]. P’(x)=4kR2 – 3kx2; P’(x)=0; 4kR2 – 3kx2=0; k(4R2 – 3x2)=0; 4R2 = 3x2; 2R x 3 R ● y x 2R x 3 [0;R] ПРИМЕР - решение Сравним значения функции P(x) = k x (4R2 – x2) 2R при х = 0; х = R; x 3 R P(0)=0; P (R)=0; 2R 2R 2 y P( ) 3 3 Т.о. должно выполняться условие: ● x y 7 2 x 5 y Вторая производная • Пусть функция f(x) имеет производную f’. • Эта производная является функцией от х, и если она дифференцируема, то её производную наз. второй производной от f : Пример: f’’ = (f’)’ f(x) = x4 + 3x2 f’’(x) = (4x3 + 6x)’ = 12x2 + 6 Исследование функций Теорема: • Если f(x) непрерывна на промежутке и f’(x) >0 на этом промежутке, то f(x) – возрастает на этом промежутке; • если f’(x) <0, то f(x) – убывает на этом промежутке. Исследование функций Теорема: Если f(x) непрерывна в точке c и слева от нее f’(x) >0 , а справа от c f’(x) <0 , то c – точка максимума f(x) Теорема: Если f(x) непрерывна в точке c и слева от нее f’(x) <0 , а справа от c f’(x) >0 , то c – точка минимума f(x) Пример: f(x) = x2 +2x +1 f’(x) = 2x +2 f’(x)<0; 2x +2 < 0 f’(x)>0; 2x +2 > 0 x<-1 x>-1 f’(x) f(x) – + x 8 fx = x2+2x+1 -1 6 4 Точка -1 является точкой минимума 2 -10 -5 -1 5 -2 Выпуклость графика функции Теорема: Если на отрезке [a;b] функция f(x) непрерывна и f’’(x) >0 (соответственно f’’(x) <0), то график функции f(x) – обращен на этом отрезке выпуклостью вниз (соответственно вверх) f’’(x)>0 a b f’’(x)<0 a b Точки перегиба графика Теорема: Если функция f(x) имеет вторую производную в окрестности точки с, и f’’(x) меняет знак при переходе через эту точку, то М(с; f(c)) – точка перегиба графика функции f(x). y f’’(x)>0 . М f’’(x)<0 О C X