Е.М.Дынькин О РОСТЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ВБЛИЗИ МНОЖЕСТВА ЕЕ ОСОБЫХ ТОЧЕК Пусть С - комплексная плоскость, Е. - замкнутое множество на вещественной оси R, , И - убывающая положительная функция на С0, + о о ) , М > е . причем (*•) Рассмотрим совокупность J v ( М ) в с е х функций .f , опреде­ ленных и аналитических в Q, \£_ , и таких, 4To|^(X)|4M(IIrrv2l) » %К Е • Пусть также <£_ (|V|) = \J. <j£ ( с М) .Согласно теореме НЛевинсона (см., например,^-/)]с>0) м н о ж е с т в о 9 v ( M ) н о р м а л ь н о , то есть при 8>0 dej Мс5)^бор{1к2)14^ЕСМ), j>c2.E)>6] < + о о ; здесь J)(2,EV расстояние от точки2,2€.С до множества Е . Други­ ми словами, М - наименьшая функция, для которой|^(Х)|4М*(рй£)) 2 к- Е ПРИ в с е х ^ ^ - ^ F CM) • Возникает вопрос о б эффек­ тивной оценке мажорантыМ • Некоторые неравенства для М неявно содержатся в [ 2 ] и[з] (см.также абзац после следствия к теореме I ) . Рассмотрим следующий чертеж, симметричный относительно веще­ ственной оси: Здесь О А Н , А_В - ДУга окружности с центром О, «С <-jr , Д - кон­ тур класса Q , Д - симметричный относительно R контур и [P,GL]u[R S ] c A n A * Пусть W=X(2)- конформное отображение вну­ тренности ' на единичный круг Q=^2:|'XK / j] . Пусть при этом уча­ сток QAR, переходит в дугу f 1 , PQARS - » 1 а • В работе [4] доказано, что при условии ( •*• ) для любого 0>0 158 существует функция 4L непрерывная вместе со СВОИМИ частными производными в круге Р С Р * £-С 1 °) . и такая, что it а^Се^И « I , , %Ce°V0 внв1й,'04^(е*)4Г б ) | | ^ | 4 с [ М (?(Н*П)]" Щ« 121 4.1 Наименьшее возможное значение постоянной С обозначим через Н (<!))• Теорема I. П р и н е к о т о р о м ( 1 > 0 : М^)=0[Мс^)4-Нк^)]7 5-+0 . Доказательство. Если функция ^f~ удовлетворяет условиям а) и б) с постоянной С = 2 Н(б), то функция Gi»^,, ^ равна I HaQ/\R,, О BHePQAR/S и внутри контура Д |||^C,H(5)[M(C 2 5lb2l)f <**> По симметрии б*, продолжается внутрь контзграЛ • Полагая&Н в за­ штрихованной области и 6 ^ = 0 в остальной части плоскости, мы не нарушим условий (•# #•) и 6$€-С" Пусть точка % такова, что О С£, Е.)=^> 11пгй1<0 5uv<=6 и \ - ближайшая к % точка Е • Тогда 2„ - конец смежного к интервала длины не менее 28СОбХ .Подвергнем чертеж подобному пре­ образованию так, чтобы точка 0 перешла в %0 , а 2 попала на дугу Д ( 5 . Функция б / С, перейдет в функцию , для которой IIIHHIWMOI^D] 4 Применяя формулу Коши-Грина к внешнему обводу Д {JД, мы получим для любой $ - € l P ! ( M ) Но 0 ( 3 0 = 1 . _ Наконец, если Цщ/^1 >Р(Х,Е)SubX, то | J(3t)l*М[р&,Ь)Ь(л4 Теорема доказана. Следствие. Е с л и | \ | - л ю б а я другая фун­ кция, удовлетворяющая у с л о в и ю (-Х-), то Доказательство следствия, основанное н§, иных идеях, неявно содержится в [2] . Частей случал М ( Й = 5 ,М*(0)=0(<Г) 159 известен как "лемма Домара", см.[5]. П р е д п о л о ж и м теперь дополнительно, ч т о фун­ к ц и я pi л о г а р и ф м и ч е с к и выпукла и растет о к о л о Ь-0 б ы с т р е е любой от е п е н и , М(д)" = О(Х/*) , Х/~>0. при всех 1г>0« Свяжем с последовательность \т i°° .полагая ты = Млр (г [ 1 h а ) iv>o Аналогично [4] можно показать, что при условии (•*• ) класс Карлемана CCNV) неквазианалитичен (определения см. в [ б ] ) . Положим дляw S>0 r-Pcft'.AUfil^HfeC^a-UD.r^Uw,, . . Cf (0)=0 при всех У1>0] . Теорема 2. I. П р и н е к о т о р о м 0 >0 ' |М U)) = 2. М\8)>Р\2S),5>0. Доказательство. I. Из результатов работы [4] вытекает оцен­ ка Цсб) = 0 ( Р " С^£)) • остальное следует из теоремы I. _, 2. Воспользуемся двойственностью В.И.Мацаева [7] о . Ясно, что £<0iCM).- банахово пространство с единичным шаром^0.(|V]).Фун­ кционал ф : J -* 5-(5), 5 > 0 , непрерывен B ^ L J C M ) " ||ф|| ^ М*с5). Так как^. (М) C^-Q-H] СМ). т ° Ф без увеличения нормы продолжа­ ется на все Ч ,(№)'• положим Ц ? сЪ=<Ф, (t-2') H > H*tw4. Тогда ^ £ C ^ f l | i f ^ i ) k l 0 l l a i ( t - i r " 4 | 4 n u l l , M * ( f t f - U U * . С другой стороны, Я* (.0) = иД (,~§) при всех п, . Пусть tCtH-^CtXt-xS) . тогда |Vp"| 4 2 ш л М Ч Л ,^С0)=О при всех(г>0и W)=4 • Поэтому М*С<5) >Р" ( 2 5 ) • Теорема доказана. Из теоремы Банаха-Штейнгауза вытекает Следствие. Если ОсДЭ^ОСР ( 2 £)), <$>•*()» то существует £ £е.?ГЛМ) . такая« что k^)^OCQ(izO) при 1X1-^0- 1ЙТЕРАТУРА 1. Levinsoa N.. Gap and density theorems, AMS, 1940. 2 . Domar Y., Arkiv for Uat.,3.№ 5, 1958, 429-440. 3. Гурарий В.П., Записки научн.семин.ЛОМИ, 19,1970,215-220. 4. Дынькин Е.М., Записки научн.семинЛОШ, 19, 1970, 221-226. 5. Taylor B.A., Williams D.L., Canad.T.Matb. ,22,» 6,1970,1266-1283. 6. Мандельбройт С , Примыкающие ряды, ИД, 1955. 7. Мацаев В.И., Теоремы единственности, полноты и компактности, / связанные с классической квазианалитичностьюДисс.Харьков, : 1964. 160