20. Топологические пространства и пределы В конце прошлой лекции мы определили метрические пространства. На каждом метрическом пространстве можно естественным способом ввести топологию. Обозначение 20.1. Пусть X | метрическое пространство с метрикой ; тогда для точки x ∈ X и числа " > 0 положим B" (x) = {y ∈ X | (x; y ) < "} : Множество B" (x) называется открытым шаром с центром x и радиусом ". Пусть X | метрическое пространство. Подмножество U ⊂ X называется открытым, если для всякой точки x ∈ U существует открытый шар с центром в x, содержащийся в U (т. е. существует такое " > 0, что B" (x) ⊂ U ). Определение 20.2. Очевидно, что так определенный набор открытых множеств удовлетворяет аксиомам топологического пространства. Проверьте самостоятельно, что топология, задаваемая на R метрикой, совпадает со стандартной топологией. Покажем для примера, что открытый шар в метрическом пространстве является открытым множеством, и тем самым такое употребление слова «открытый» не является двусмысленным. В самом деле, пусть y ∈ B" (x); положим r = (x; y ) и = " − r > 0. Тогда B (y ) ⊂ B" (x): в самом деле, если z ∈ B (y ), то есть (y; z ) < , то ввиду неравенства треугольника имеем (z; x) 6 (x; y ) + (y; z ) < r + = "; то есть z ∈ B" (x). Важным примером метрического пространства является пространство Rn . По определению, это множество упорядоченных наборов из n действительных чисел («координат») (x1 ; : : : ; xn ); это множество называется n-мерным координатным пространством (или просто n-мерным пространством, если не грозит путаница). При n = 2 это плоскость, при n = 3 | «обычное» (трехмерное) пространство. На Rn можно ввести (среди прочих) такие метрики. Lp -метрика: если p x = (x1 ; : : : ; xn ) и y = (y1 ; : : : ; yn ), то положим p (x; y ) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 . 1 L∞ -метрика: если x = (x1 ; : : : ; xn ) и y = (y1 ; : : : ; yn ), то положим ∞ (x; y ) = max(|x1 − y1 |; |x2 − y2 |; : : : ; |xn − yn |). Можно сказать еще так. Дляpвектора x = (x1 ; : : : ; xn ) определим L2 x21 + : : : + x2n и L∞ -норму по формуле норму по формуле kxk2 = kxk∞ = max{|x1 |; : : : ; |xn |}. Из аксиом метрического пространства неочевидно только неравенство треугольника. Если обозначить через k · k любую из указанных норм, то неравенство треугольника вытекает из неравенства ku + v k 6 kv k + kv k: (20.1) В самом деле, если неравенство (20.1) установлено, то (x; z ) = kx − z k = k(x − y ) + (y − z )k 6 kx − y k + ky − z k = (x; y ) + (y; z ): Для L∞ -нормы проверка неравенства (20.1) тривиальна. Для L2 -нормы доказательство этого неравенства немного сложнее; вы узнаете его в курсе алгебры. Различные метрики могут задавать одну и ту же топологию на данном множестве X . Вот важный пример. Пример 20.3. же топологию. Все L2 -метрика и L∞ -метрика задают на Rn одну и ту Доказательство. неравенства Легко видеть, что для любых x; y ∈ Rn выполнены ∞ (x; y ) 6 2 (x; y ) 6 √ n · ∞ (x; y ): Из этого неравенства вытекает, что для всякого x ∈ Rn и всякого " > 0 имеем B";2 (x) ⊂ B";∞ (x) ⊂ B"√n;2 (x); так что подмножество в Rn является открытым относительно L2 метрики, тогда и только тогда, когда оно открыто относительно L∞ метрики. Вот еще одно простое, но фундаментальное определение. Пусть X | топологическое пространство. Подмножество F ⊂ X называется замкнутым, если его дополнение X \ F ⊂ X открыто. Определение 20.4. Следующее утверждение мгновенно вытекает из определения 19.6. 2 Предложение 20.5. Пусть X | топологическое пространство. То- гда: 1) Само пространство X и пустое подмножество ∅ являются за- мкнутыми множествами. 2) Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто. 3) Объединение двух замкнутых множеств замкнуто. Пусть X | топологическое пространство и M ⊂ X | произвольное подмножество. Тогда замыканием множества M называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих M . Определение 20.6. — . Ввиду пункта (2) Замыкание множества M обычно обозначается M предыдущего предложения замыкание любого множества будет замкнуто. Неформальный смысл понятия замыкания таков: при переходе от — мы добавляем к множеству M все множества M к его замыканию M те точки x, которые сами в M не лежат, но, тем не менее, «сколь угодно близко от x» точки множества M имеются; если таких точек x не найдется, то множество M является замкнутым. Точный смысл предыдущему абзацу придает следующее Предложение 20.7. Пусть X | топологическое пространство и — состоит из всех точек x ∈ X , обладающих слеM ⊂ X . Тогда M дующим свойством: Для всякого открытого подмножества U 3x имеем U ∩M 6 = ∅. ( ∗) — ; по определению, это равносильно тому, Пусть x ∈ M что для всякого замкнутого множества F ⊃ M имеем F 3 x. Поскольку замкнутые множества | это дополнения открытых, последнее условие можно, обозначая U = X \ F , переписать так: для всякого открытого подмножества U ⊂ X такого, что U ∩ M = ∅, имеем U 63 x, или, эквивалентно: если открытое множество U содержит x, то U ∩ M 6= ∅. Но это и есть условие (∗). Доказательство. Перейдем теперь к общему определению предела. Пусть X | топологическое пространство. Точка a ∈ X называется неизолированной, если всякая окрестность U 3 a содержит точку, отличную от a. В противном случае точка a называется Определение 20.8. изолированной. 3 По-другому можно сказать так: точка a ∈ X изолирована тогда и только тогда, когда множество {a} открыто. Пусть X и Y | топологические пространства, a ∈ X | неизолированная точка, и пусть f | отображение из X \ {a} в Y . Говорят, что точка b ∈ Y является пределом f при x, стремящемся к a, если функция f~: X → Y , определенная по правилу Определение 20.9. f~(z ) = ( f (z ); z 6= a; b; z = a: является непрерывной в точке a. Обозначение: b = limx→a f (x). Иными словами, b = limx→a f (x), если для всякой окрестности U 3 b существует такая окрестность V 3 a, что f (V \ {a}) ⊂ U . В эту же схему вписывается и предел последовательности. Именно, — = N ∪ {∞} и введем на N — топологию, в которой подмножеположим N — открыто тогда и только тогда, когда оно либо содержит ∞ ство U ⊂ N и все натуральные числа, начиная с некоторого N ∈ N, либо не содержит ∞. Последовательность точек xn ∈ X , где X | топологическое пространство | не что иное, как функция f : N → X , для которой f (n) = — \ {∞}, то определение 20.9 примеxn . Если теперь отождествить N и N нимо и к этому случаю, и последовательность {xn } сходится к x, если для всякой окрестности U 3 x существует такое N > 0, что при всех n > N имеем xn ∈ U | в полном согласии с обычным определением предела последовательности. Легко видеть (проверьте!), что в случае, когда X | метрическое пространство, равенство limn→∞ xn = x равносильно следующему: для всякого " > 0 существует такое N ∈ N, что при всех n > N имеем (xn ; x) < " (это уже совсем похоже на привычное определение предела последовательности!). Определение предела функции при стремлении переменной к +∞ или −∞ аналогичным образом — из предыдущей сводится к определению 20.9 с помощью пространства R лекции. Как известно, если предел числовой последовательности или функции существует, то он единствен. Для наших общих определений аналогичный факт верен не всегда (глупый пример: если в топологическом пространстве X открытыми являются только пустое множество и все X | что аксиомами топологического пространства не запрещено, | то всякая точка x ∈ X будет пределом всякого отображения в X ). Чтобы отсечь такую патологию, введем следующий важный класс топологических пространств. 4 20.10. Топологическое пространство X называется (или отделимым ), если для любых двух различных точек x; y ∈ X существуют такие открытые подмножества U 3 x и V 3 y , что U ∩ V = ∅. Определение хаусдорфовым Сразу же заметим, что всякое метрическое пространство хаусдорфово: в качестве открытых множеств U 3 x и V 3 y можно взять открытые шары Bd=2 (x) и Bd=2 (y ), где d | расстояние между x и y (то, что они не пересекаются, следует из неравенства треугольника). Все топологические пространства, с которыми мы будем иметь дело в курсе, будут хаусдорфовыми. Нехаусдорфовы пространства в жизни тоже встречаются (например, они существенно используются в алгебраической геометрии). Предложение 20.11. Пусть X и Y | топологические пространства; предположим, что пространство Y хаусдорфово. Тогда для всякого отображения f : X \ {a} → Y предел limx→a f (x) единствен (если он существует). Пусть, от противного, пределами f (x) при x, стремящемся к a, будут две разные точки b1 и b2 . Поскольку Y хаусдорфово, в нем существуют непересекающиеся открытые множества V1 3 b1 и V2 3 b2 . Согласно определению предела, в пространстве X существуют такие открытые подмножества U1 и U2 , содержащие a, что f (U1 \ {a}) ⊂ V1 и f (U2 \ {a}) ⊂ V2 . Так как точка a неизолирована, открытое множество U1 ∩ U2 содержит по крайней мере одну точку a0 6= a. Тогда f (a0 ) ∈ V1 ∩ V2 , что противоречит тому, что V1 и V2 не пересекаются. Доказательство. 5