Лекция 23

23. Полнота (продолжение)
Завершим доказательство теоремы 22.15. Именно, покажем, что i(X )
— . Так как пространства, о которых идет речь, | метриплотно в X
— является
ческие, нам достаточно проверить, что всякий элемент их X
пределом последовательности элементов из i(X ).
— представлен фундаментальной
∈ X
последовательностью {xn } элементов из X . Тогда = limn→∞ i(Xn ).
Лемма 23.1. Пусть элемент Доказательство. Так как последовательность {xn } фундаментальна,
для всякого " > 0 существует такое N ∈ N, что
(xn ; xm ) 6 "
при m > n > N :
(23.1)
Поскольку —(i(xn ); ) = limm→∞ (xn ; xm ), переходя в неравенстве (23.1)
к пределу при m → ∞, получаем, что —(i(xn ); ) 6 " при n > N . Ввиду
произвольности выбора " все доказано.
— . Это делается слеОстается установить полноту пространства X
дующим образом. Пусть {n } | фундаментальная последовательность
— ; покажем, что она сходится. Для этого зададимся какой-нибудь
в X
последовательностью чисел "n > 0, стремящейся к нулю (можно, например, взять "n = 1=n, но точна формула неважна). В силу леммы 23.1,
для всякого n ∈ N существует такая точка xn ∈ X , что —(i(xn ); n ) 6 "n .
Заметим, что для любых m; n ∈ N выполнено неравенство
(xm ; xn ) = —(i(xm ); i(xn )) 6 —(i(xm ); m ) + —(m ; n ) + —(n ; i(xn ));
из него сразу следует, что последовательность {xn } фундаментальна (в
самом деле, если для данного " > 0 выбрать такое N , что "n 6 "=3 при
n > N и —(m ; n ) 6 "=3 при m; n > N , то (xm ; xn ) 6 " при m; n > N ).
— | элемент, представляемый этой последовательностью.
Пусть ∈ X
Имеем
—(; n ) 6 —(; i(xn )) + —(i(xn ); n ):
В правой части первое слагаемое стремится к нулю по лемме 23.1, а
второе | поскольку —(i(xn ); n ) 6 "n . Стало быть, (; n ) → 0, то есть
limn→∞ n = . Теорема 22.15 доказана.
Следствие
23.2. Всякое компактное метрическое пространство
является полным.
1
Пусть X | компактное метрическое пространство;
вложим его в пополнение X . Тогда X замкнуто в X ввиду компактности, так что X , будучи замыканием X , обязано с X совпадать. Следовательно, X = X полно.
Доказательство.
На самом деле пополнение метрического пространства не только
всегда существует, но и единственно. Точный смысл утверждению о
единственности придает следующее предложение.
Предложение 23.3. Пусть X | метрическое пространство. Пред-
—1 и X
—2, а
положим, что существуют метрические пространства X
также инъективные отображения i1 : X
— 1 и i2 : X → X
— 2 со следу→X
ющими свойствами:
—1 и X
— 2 полны;
{ пространства X
{ отображения i1 и i2 сохраняют расстояния;
— 1 , а i2 (X ) плотно в X
—2.
{ i1 (X ) плотно в X
—
> X 1
i1 }}} }
}}
. }}
'
p
XB
BB
BBi2 BB B X2
(23.2)
Тогда существует и единственно сохраняющая расстояния биекция
—1 → X
— 2 , для которой ' ◦ i1 = i2 .
': X
Иными словами: если в диаграмме (23.2) даны стрелки i1 и i2 (со
свойствами, перечисленными в условии предложения), то существует и
единственна пунктирная стрелка, делающая диаграмму коммутативной
(и являющаяся биекцией, сохраняющей расстояния).
Чем разбирать чье-то доказательство, проще и полезней доказать
это предложение самостоятельно. Ограничимся указанием относитель— 1 является предено построения отображения ': если точка ∈ X
лом последовательности {i1 (xn )}, где все xn лежат в X , то положим
'( ) = limn→∞ i2 (xn ). Дальнейшее | несложные, но скучные проверки.
Для полных метрических пространств существует аналог «принципа
стягивающихся отрезков». Сформулируем его и докажем.
Пусть (X; ) | метрическое пространство, x ∈ X
и r > 0. Замкнутым шаром радиуса r с центром в точке x называется
Определение 23.4.
2
множество
—r (x) = {y ∈ X | (y; x) 6 r}:
B
Заметим, что замкнутый шар действительно является замкнутым
—r (x), то есть (z; x) > r, и если положить " =
множеством: если z ∈
= B
—r (x) =
(z; x)−r , то из неравенства треугольника вытекает, что B" (z )∩B
—
—
∅, или B" (z ) ⊂ X \ Br (x), а это и означает, что X \ Br (x) открыто и
—r (x) замкнуто.
тем самым B
Стоит также заметить, что замкнутый шар не обязательно совпадает с замыканием открытого шара с теми же центром и радиусом: на
следующей лекции мы увидим содержательный пример метрического
пространства, в котором замыкание шара Br (x) не совпадает с шаром
—r (x) для некоторых r и x.
B
Предложение 23.5
(лемма о замкнутых шарах). Пусть
—r (x1 ) ⊃ B
—r (x2 ) : : : B
—rn (xn ) ⊃ : : :
B
1
2
| бесконечная последовательность вложенных замкнутых шаров в
полном метрическом пространстве. Тогда пересечение всех этих шаров непусто.
—rn (xn ).
Положим для краткости Bn = B
Покажем, что последовательность {xn } фундаментальна. В самом
деле, если m > n, то xm ∈ Bn , откуда (xm ; mn ) 6 rn . Если теперь
N ∈ N таково, что rk 6 " при k > N , то при m > n > N имеем
(xm ; mn ) 6 rn 6 ", и фундаментальность последовательности установлена. Ввиду полноты пространства X отсюда вытекает, что существует предел limn→∞ xn = x. Так как xm ∈ Bn при m > n и множество
Bn замкнуто, получаем, что и x = limm→∞ xm = limk→∞ xn+k лежит в
Bn . Ввиду произвольности выбора n получаем, что x лежит в каждом
Bn .
Доказательство.
В доказательстве предложения 23.5 существенно использовалось,
что радиусы вложенных шаров стремятся к нулю. Без этого условия
предложение было бы неверным. Приведем соответствующий (довольно
глупый) пример.
Пример 23.6.
трику:
Введем на множестве N натуральных чисел такую ме(m; n) =
(
1+
1
;
min(m;n)
0;
m 6= n
m = n:
3
Нетрудно видеть, что все аксиомы метрического пространства выполнены; далее, поскольку расстояние между двумя различными точками
всегда больше единицы, всякая фундаментальная последовательность
{xk } обладает тем свойством, что начиная с какого-то места все ее
члены совпадают, и такая последовательность очевидным образом сходится; значит, наше пространство полно. Имеем, наконец,
— 1 (n) = {m ∈ N | m > n};
B
1+ n
—3=2 (2) ⊃ B
—4=3 (3) ⊃ : : :, пересечение всех шаров
и невзирая на то, что B
—
B 1 (n) пусто.
1+ n
В качестве приложения леммы о замкнутых шарах докажем так называемую теорему Бэра, играющую важную роль в некоторых вопросах
анализа. Начнем с определений.
Пусть X | топологическое пространство и Y ⊂
X . Точка y ∈ Y называется внутренней, если существует такое открытое множество U ⊂ X , что U 3 y и Y ⊂ Y .
Определение 23.7.
Иными словами, точка является внутренней, если она содержится
в подмножестве вместе с некоторой своей окрестностью. Например,
подмножество в топологическом пространстве открыто тогда и только
тогда, когда каждая его точка является внутренней (если дляSвсякой
y ∈ Y имеется окрестность Uy 3 y , содержащаяся в Y , то Y = y∈Y Uy
открыто как объединение открытых множеств).
Пусть X | топологическое пространство и Y ⊂ X . Тогда следующие два условия эквивалентны:
(1) замыкание множества Y не содержит внутренних точек;
(2) во всяком непустом открытом подмножестве U ⊂ X существует
такое непустое открытое подмножество V ⊂ U , что V ∩ Y = ∅.
Подмножество Y ⊂ X , удовлетворяющее этим условиям, называется
нигде не плотным.
Предложение-определение 23.8.
(1) ⇒ (2). Пусть Y— не имеет внутренних точек и
— . Если x ∈ U \ X
—,
U ⊂ X | непустое открытое множество; тогда U 6⊂ X
то существует окрестность точки x, не пересекающаяся с Y ; теперь в
качестве искомого V можно взять пересечение этой окрестности с U .
(2) ⇒ (1). Рассуждая от противного, пусть выполнено условие (2),
но Y— содержит внутренние точки; это значит, что существует непустое
открытое множество U ⊂ Y— . Если теперь V ⊂ U | непустое открытое
Доказательство.
4
подмножество, то выберем произвольную точку x ∈ V ; поскольку x ∈ Y—
и V | окрестность x, имеем V ∩ Y 6= ∅ | противоречие.
Теорема 23.9. Полное метрическое пространство нельзя предста-
вить в виде объединения (не более чем) счетного семейства нигде не
плотных множеств.
Пусть полное метрическое пространство X является
объединением счетного семейства нигде не плотных множеств YN , где
n ∈ N. Так как Y1 нигде не плотно, существует открытый шар B" (x1 ), не
—" (x1 ) ∩
пересекающийся с Y1 ; полагая "1 = min(1; "=2), получаем, что B
1
Y1 = ∅. Далее, поскольку Y2 нигде не плотно, в открытом шаре B"1 (x1 )
содержится открытый шар B"0 (x2 ), не пересекающийся с Y2 ; полагая
—" (x2 ) ⊂ B
—" (x1 ) и B
—2 ("2 ) ∩ Y2 = ∅.
"2 = min("0 =2; 1=2), получаем, что B
2
1
Продолжая, получим последовательность вложенных замкнутых шаров
Доказательство.
—" (x1 ) ⊃ B
—" (x2 ) ⊃ : : : ⊃ B
—"n (xn ) ⊃ : : : ;
B
1
2
—"n (xn ) ∩ Yn = ∅ и "n 6 1=n (так что limn→∞ "n = 0).
для которой B
Теперь по лемме о замкнутых шарах (предложение 23.5) получаем, что
—"n (xn ); эта точка не лежит
существует точка x ∈ XS
, лежащая во всех B
ни в одном Yn , так что n Yn 6= X , в противоречие с условием.
Подмножество в данном топологическом пространстве, представимое в виде счетного объединения нигде не плотных множеств, называется множеством первой категории ; подмножество, не являющееся
множеством первой категории, называется подмножеством второй категории. (Эти термины крайне неудачны, но общеприняты; иногда еще
множества первой категории называют тощими.) Например, подмножество Q ⊂ R является тощим (как и всякое счетное подмножество в
R или Rn : оно является счетным объединением одноточечных подмножеств, каждое из которых нигде не плотно). Из определения ясно, что
счетное объединение тощих множеств также является тощим.
«Идеологический» смысле теоремы Бэра таков. Многие интересные
топологические пространства тощими не являются: по теореме Бэра таковы все полные метрические пространства, но также, например, и все
пространства, гомеоморфные полным метрическим (пример: интервал
(0; 1) ⊂ R с естественной метрикой неполон, но гомеоморфен R, так
что для него также верна теорема Бэра). Если для пространства X
выполнена теорема Бэра (т. е. X не является тощим), то можно рассматривать тощие подмножества в X как «маленькие», «пренебрежимые»;
5
если какое-то свойство выполняется для всех точек пространства X ,
кроме лежащих в некотором тощем подмножестве, то можно считать,
что оно выполнено для «почти всех» точек (еще говорят: «для точек общего положения»)1 О такого рода приложениях речь пойдет позже, а
пока что докажем одно простое следствие теоремы Бэра.
Предложение 23.10. Полное метрическое пространство без изоли-
рованных точек является несчетным.
Напомним, что точка x топологического пространства X называется изолированной, если множество {x} открыто (равносильно: если у
нее существует окрестность, не содержащая других точек, кроме x).
Для всякой точки x ∈ X множество {x} замкнуто;
так как x не является изолированной, множество {x} не содержит внутренних точек; значит, {x} нигде не плотно. Если X счетно, то оно
является объединением счетного семейства своих одноточечных подмножеств; так как все эти подмножества нигде не плотны, получаем
противоречие с теоремой Бэра.
Доказательство.
1
В анализе используются и другие понятия «малости» множества, не эквивалент-
ные свойству «быть тощим».
6