А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О
реклама
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ скалярное произведение ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики – процессов управления Санкт-Петербург — 2013г. ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) 2013г. 1 / 12 Скалярное произведение векторов I Определение → − − Углом между двумя векторами → a и b называется угол, не превосходящий π, → − → − − − между векторами → a 0 и b 0 , равными → a и b соответственно и имеющими общее начало. ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) 2013г. 2 / 12 Скалярное произведение векторов II Определение → − → − − − Скалярным произведением → a · b двух векторов → a и b называется произведение их модулей на косинус угла между ними, т. е. → − → − → − − a · b = |→ a | · | b | cos ϕ. → − → → − → − − − − Если → a = 0 или b = 0 , то → a · b = 0, √ → − − − − − − − − − a ·→ a = |→ a |2 , т. е. |→ a|= → a ·→ a , причём → a ·→ a > 0, если → a — ненулевой вектор. Определение Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) 2013г. 3 / 12 Скалярное произведение векторов III Свойства скалярного произведения 1 2 3 4 → − → − − → − a · b = b ·→ a (коммутативность); → − → − → − − λ( a · b ) = (λ→ a ) · b (ассоциативность относительно числового множителя); → − − → − − − − − (→ a + b )·→ c =→ a ·→ c + b ·→ c (дистрибутивность относительно суммы векторов); → − − − − − − a ·→ a > 0, если → a — ненулевой вектор; → a ·→ a = 0, если → a — нулевой вектор. ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) 2013г. 4 / 12 Скалярное произведение векторов IV Теорема 1. → − − Скалярное произведение двух векторов → a и b , заданных в произвольной → − − → − → − a (x1 , y1 , z1 ) и аффиной системе координат O e 1 e 2 e 3 своими координатами → → − b (x2 , y2 , z2 ), находятся по формуле → − → − − − − − − − − − a · b = x 1 x 2 (→ e 1 ·→ e 1 )+(x1 y2 +x2 y1 )(→ e 1 ·→ e 2 )+y1 y2 (→ e 2 ·→ e 2 )+(x1 z2 +x2 z1 )(→ e 1 ·→ e 3 )+ − − − − +(y1 z2 + y2 z1 )(→ e2·→ e 3 ) + z 1 z 2 (→ e2·→ e 2 ). Определение − − Величины gij = → ei ·→ e j , i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, называются метрическими − − − e 3. e 2→ коэффициентами системы координат O→ e 1→ ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) 2013г. 5 / 12 Скалярное произведение векторов V − Следствие 1. Модуль произвольного вектора → a (x1 , y1 , z1 ) в произвольной аффинной системе координат вычисляется по формуле − |→ a|= √ → − − a ·→ a = q ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) x21 g11 + y12 g22 + z12 g33 + 2x1 y1 g12 + 2x1 z1 g13 + 2y1 z1 g23 . 2013г. 6 / 12 Скалярное произведение векторов VI → − − Следствие 2. Угол ϕ между двумя векторами → a (x1 , y1 , z1 ) и b (x2 , y2 , z2 ) в → − → − → − аффинной системе координат O e 1 e 2 e 3 находится по формуле ϕ = arccos ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) → − → − a · b → − . − |→ a|·| b| 2013г. 7 / 12 Скалярное произведение векторов VII Следствие 3. Для ДПСК справедливы формулы: p → − − − n=3: → a · b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 , |→ a | = x21 + y12 + z12 , x 1 x 2 + y1 y2 + z 1 z 2 p ϕ = arccos p ; x21 + y12 + z12 · x22 + y22 + z22 p → − − − a · b = x1 x2 + y1 y2 , |→ a | = x21 + y12 , n=2: → x 1 x 2 + y1 y2 p ; ϕ = arccos p x21 + y12 · x22 + y22 → − x1 x2 − − a · b = x1 x2 , |→ a | = |x1 |, ϕ = arccos n=1: → . |x1 | · |x2 | Расстояние между двумя точками A(xA , yA , zA ) и B(xB , yB , zB ) в трёхмерном −→ пространстве равно модулю вектора AB(xB − xA , yB − yA , zB − zA ), то в ДПСК получаем следующие формулы: p n = 3 : d(A, B) = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 ; p n = 2 : d(A, B) = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 ; n = 1 : d(A, B) = |xB − xA |. ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) 2013г. 8 / 12 Скалярное произведение векторов VIII Теорема 2. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух ненулевых → − − векторов в трёхмерном пространстве → a (x1 , y1 , z1 ) и b (x2 , y2 , z2 ), заданных в ДПСК своими координатами x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0. ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) 2013г. 9 / 12 Скалярное произведение векторов IX Теорема 3. − Декартовы прямоугольные координаты вектора → a (x1 , y1 , z1 ) равны скалярным произведением этого вектора на соответствующие базисные векторы: → − − x1 = → a · i, ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) → − − y1 = → a · j, → − − z1 = → a · k. 2013г. 10 / 12 Скалярное произведение векторов X −−→ − Рассмотрим в ДПСК вектор OM , приведённый в общее начало с ортом → e. Определение − Косинусы углов α, β, γ, которые составляет орт → e с базисными векторами − −−→ → − → − → i , j , k , называются направляющими косинусами вектора OM . ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) 2013г. 11 / 12 Скалярное произведение векторов XI Теорема 4. Направляющие косинусы векторов суть координаты орта данного вектора. Следствие. Для направляющих косинусов справедливо соотношение cos2 α + cos β + cos2 γ = 1. 2 ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) 2013г. 12 / 12
