3.1. Скалярное произведение векторов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
скалярное произведение
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2015г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2015г.
1 / 10
Скалярное произведение векторов I
Определение
Углом между двумя векторами a и b называется угол, не превосходящий π,
между векторами a0 и b0 , равными a и b соответственно и имеющими общее
начало.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2015г.
2 / 10
Скалярное произведение векторов II
Определение
Скалярным произведением a · b двух векторов a и b называется произведение их
модулей на косинус угла между ними, т. е.
a · b = |a| · |b| cos ϕ.
Если a = 0 или b=0, то a · b = 0,
√
a · a = |a|2 , т. е. |a| = a · a, причём a · a > 0, если a — ненулевой вектор.
Определение
Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное
произведение равно нулю.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2015г.
3 / 10
Скалярное произведение векторов III
Свойства скалярного произведения
1
2
3
4
a · b = b · a (коммутативность);
λ(a · b) = (λa) · b (ассоциативность относительно числового множителя);
(a + b) · c = a · c + b · c (дистрибутивность относительно суммы векторов);
a · a > 0, если a — ненулевой вектор; a · a = 0, если a — нулевой вектор.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2015г.
4 / 10
Скалярное произведение векторов IV
Теорема 1.
Скалярное произведение двух векторов a и b, заданных в произвольной
аффиной системе координат Oe1 e2 e3 своими координатами a(x1 , y1 , z1 ) и
b(x2 , y2 , z2 ), находятся по формуле
a · b = x1 x2 (e1 · e1 ) + (x1 y2 + x2 y1 )(e1 · e2 ) + y1 y2 (e2 · e2 ) + (x1 z2 + x2 z1 )(e1 · e3 )+
+(y1 z2 + y2 z1 )(e2 · e3 ) + z1 z2 (e3 · e3 ).
Определение
Величины gij = ei · ej , i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, называются метрическими
коэффициентами системы координат Oe1 e2 e3 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2015г.
5 / 10
Скалярное произведение векторов V
Следствие 1. Модуль произвольного вектора a(x1 , y1 , z1 ) в произвольной аффинной системе координат вычисляется по формуле
q
√
|a| = a · a = x21 g11 + y12 g22 + z12 g33 + 2x1 y1 g12 + 2x1 z1 g13 + 2y1 z1 g23 .
Следствие 2. Угол ϕ между двумя векторами a(x1 , y1 , z1 ) и b(x2 , y2 , z2 ) в аффинной системе координат Oe1 e2 e3 находится по формуле
ϕ = arccos
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
a·b
.
|a| · |b|
2015г.
6 / 10
Скалярное произведение векторов VI
Следствие 3. Для ДПСК справедливы формулы:
p
n = 3 : a · b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 , |a| = x21 + y12 + z12 ,
x 1 x 2 + y1 y2 + z 1 z 2
p
ϕ = arccos p
;
x21 + y12 + z12 · x22 + y22 + z22
p
n = 2 : a · b = x1 x2 + y1 y2 , |a| = x21 + y12 ,
x 1 x 2 + y1 y2
p
ϕ = arccos p
;
2
x1 + y12 · x22 + y22
x1 x2
n = 1 : a · b = x1 x2 , |a| = |x1 |, ϕ = arccos
.
|x1 | · |x2 |
Расстояние между двумя точками A(xA , yA , zA ) и B(xB , yB , zB ) в трёхмерном
−→
пространстве равно модулю вектора AB(xB − xA , yB − yA , zB − zA ), то в ДПСК
получаем следующие формулы:
p
n = 3 : d(A, B) = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 ;
p
n = 2 : d(A, B) = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 ;
n = 1 : d(A, B) = |xB − xA |.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2015г.
7 / 10
Скалярное произведение векторов VII
Теорема 2.
Необходимым и достаточным условием ортогональности двух ненулевых
векторов в трёхмерном пространстве a(x1 , y1 , z1 ) и b(x2 , y2 , z2 ), заданных в
ДПСК своими координатами
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2015г.
8 / 10
Скалярное произведение векторов VIII
Теорема 3.
Декартовы прямоугольные координаты вектора a(x1 , y1 , z1 ) равны скалярным
произведением этого вектора на соответствующие базисные векторы:
x1 = a · i,
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
y1 = a · j,
z1 = a · k.
2015г.
9 / 10
Скалярное произведение векторов IX
−−→
Пусть в ДПСК задан вектор OM , орт которого обозначим вектором e.
Определение
Косинусы углов α, β, γ, которые составляет орт e с базисными векторами i, j, k,
−−→
называются направляющими косинусами вектора OM .
Теорема 4.
Направляющие косинусы векторов суть координаты орта данного вектора.
Следствие. Для направляющих косинусов справедливо соотношение
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2015г.
10 / 10