1. Магнитостатика 1. 1 Магнитостатика Урок 20 Магнитное поле в среде Закон Био–Савара в среде: dB = µ J [dl × r] µ [j × r] dV µ [v × r] = = dq. 3 3 c r c r cr3 Сила Ампера в среде: J [dl × B] [j × B] dV [v × B] dq = = . c c c Вектор намагниченности M – средний магнитный момент единицы объема dF = dm = MdV, jмол = c rot M; B = H + 4πM. Дифференциальные уравнения Максвела в среде: 4π div B = 0, rot H = j, где H = B − 4πM. c В интегральной форме: ZZ I ZZ 4π ° Bn dS = 0, Hl dl = jn dS. c Граничные условия: 4π [Iпов × n21 ] . c Магнитная проницаемость µ = 1 – вакуум, µ & 1 – парамагнетик, µ . 1 – диамагнетик, µ = 0 – сверхпроводник (эффект Мейснера), µ À 1R– ферромагнетик. µH 2 dV , сила давления магнитного поля Энергия магнитного поля W = 8π R R µH 2 Fn = pdS = dS. 8π Правила Кирхгофа для потока магнитного поля: X X X Φk = 0, EM = Φ k Jk , B1n | = B2n |, H1τ | − H2τ | = где EM = 1.1. (Задача 5.1) В пространстве, 4π JN. c заполненном магнетиком с проницаемостью 2 µ1 , расположен бесконечный прямолинейный проводник с током J вдоль оси Z. Проводящая сфера с центром в начале координат (радиус a ) заменяет соответствующую часть линейного проводника. Внутри сферы – магнетик с проницаемостью µ2 . Найти B и H всюду. Решение В силу осевой симметрии силовые линии магнитного поля имеют только α-тую составляющую т.е. Hz = Hr = 0. Записывая теорему Стокса с использованием интеграла по силовой линии вне сферы и проводника мы получим I 4π Hd` = Hα 2πr = I, c откуда 2J Hα = , Bα = µ1 Hα . cr Внутри сферы H = 0, B = 0. Легко показать, что на сфере выполняются все граничные условия - непрерывность нормальной составляющей B (она равна нулю с обеих сторон поверхности), и граничное условие для Hτ . Покажите это сами. 1.2. (Задача 5.2) Цилиндрический проводник радиуса a проходит перпендикулярно через плоскую границу раздела двух магнетиков с проницаемостями µ1 и µ2 . По проводнику идет постоянный ток J. Найти распределение полей H и B во всем пространстве. Решение Так же как и в предыдущей задаче система осесимметрична, поэтому Hr = Hz = Br = Bz = 0 всюду. Отлична от нуля только α-тая составляющая H и B. Предположим также, что ток распределен равномерно по сечению проводника. Тогда, используя теорему Стокса, мы можем записать внутри проводника r ≤ a I 4π Jπr2 Hd` = Hα 2πr = , c πa2 откуда 2Jr Hα = Bα = 2 , при r ≤ a. ca Снаружи при r > a Hα = 2J 2µ1 J 2µ2 J и Bα = для z > 0 и Bα = для z < 0. cr cr cr 1. Магнитостатика 3 1.3. (Задача 5.3) Прямой провод с постоянным током J проходит по оси симметрии толстой трубы с радиусами a, b (a < b). Одна половина трубы имеет магнитную проницаемость µ1 , вторая – µ2 . Найти B во всем пространстве. Решение Задача решается аналогично предыдущим. Br = Bz = 0 всюду, (Bα )i = µi 2J для cr i = 1, 2 при a ≤ r ≤ b; Bα = 2J в остальном пространстве. cr 1.4. (Задача 5.4) Ток J течет по прямолинейному проводу, совпадающему с осью Z. От оси расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла α1 , α2 , α3 , (α1 + α2 + α3 = 2π). Пространство внутри каждого из углов заполнено однородным магнетиком с магнитными проницаемостями соответственно µ1 , µ2 , µ3 . Определить магнитное поле во всем пространстве. Решение Предположим, что по прежнему имеется только α-ая составляющая векторов B и H. Используя теорему Стокса для окружности с центром на проводе, получим (подразумевая Hi = Hα,i X X 4π Hi rαi = J =r Hi αi . c i i Умножая и деля каждый член под суммой на µi , получим X X µi 4πJ = Hi αi = Hi αi , cr µi i i используя определение Bi = µi Hi и непрерывность нормальных компонент (т.е. Bα ) на каждой из границ, выражение перепишется в виде B1 = B2 = B3 = Bα = 2π 2J . cr (α1 /µ1 + α2 /µ2 + α3 /µ3 ) Hα,i = Bα /µi , i = 1, 2, 3. 1.5. (Задача 5.5) Найти магнитное поле в тонкой плоской щели, если поле в среде (µ) можно считать однородным. Решение Предположим, что поле в среде вдали от щели направлено под углом θ к нормали к щели и обозначим индексом 0 поле в щели, а индексом 1 поле в среде. Тогда из граничных условий можно написать H0n =Bn1 = B cos θ B B1τ = sin θ. H0τ =H1τ = µ µ 4 Это можно записать в векторном виде H0 = n (Bn) + 1 n × [B × n] , µ или используя известное соотношение для двойного векторного произведения, можно это выражение переписать в виде ¶ µ 1 1 (Bn) n. H= B+ 1− µ µ 1.6. (Задача 5.7) В однородное магнитное поле H0 вносится шар радиуса a с магнитной проницаемостью µ1 . Определить результирующее поде, индуцированный магнитный момент шара m и плотность токов jмол , эквивалентных приобретаемой шаром намагниченности. Магнитная проницаемость окружающей среды µ2 . Решение В области, в которой нет токов, магнитное поле определяется системой уравнений rot H = 0; div B = 0; С граничными условиями на границе раздела сред (на границе шар-окружающая среда) H1τ = H2τ ; B1n = B2n . Поскольку rot H = 0, то можно ввести скалярную функцию ψ такую, что H = −∇ψ. Если записать уравнения и граничные условия через потенциал, то мы получим в точности такую же математическую задачу, как и задачу о электростатическом поле при наличии границы раздела двух диэлектриков (задача 2.8а). Тогда, выполнив замену ε1,2 → µ1,2 , E → H, B → D можно записать решение для магнитного поля, используя ранее полученное решение для электростатического поля 3µ2 H0 , µ1 + 2µ2 m 3 (mr) r , H2 =H0 − 3 + r r5 µ1 − µ2 m= H0 a3 . µ1 + 2µ2 H1 = Поскольку поле внутри шара однородное, то намагниченность M= m , 4/3πa3 1. Магнитостатика 5 плотность объемных токов jмол = c rot M = 0, а плотность поверхностных токов iмол = c [n × (M2 − M1 )] , iα = . 3 µ1 − µ2 cH0 sin θ 4π µ1 + 2µ2