Вектор намагниченности M. Спонтанная намагниченность.

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
ЛЕКЦИЯ 4
Магнитное поле в веществе — магнитная индукция B. Вектор
намагниченности M. Спонтанная намагниченность. Ферромагнетизм. Диамагнетики. Левитация в магнитном поле. Парамагнетики. Магнитная восприимчивость. Диамагнетизм. Формула
Ланжевена. Парамагнетизм. Закон Кюри. Методы измерения
статической магнитной восприимчивости. Адиабатическое размагничивание парамагнетиков. Получение сверхнизких температур.
Магнитное поле в веществе — магнитная индукция B
Переходя к рассмотрению магнитных явлений в веществе, начнем прежде всего с введения общепринятых обозначений. Пусть микроскопическое
магнитное поле в среде обозначается через h(r, t). Понятно, что использование этого поля при рассмотрении магнитных явлений в веществе
неудобно. Это величина микроскопическая и очень быстро меняется от
точки к точке и со временем в силу неоднородного микроскопического распределения в пространстве плотности заряда и микроскопических
токов (от движущихся в атоме по своим орбитам электронов).
Поэтому, так же, как мы поступали в электростатике диэлектриков,
введем среднее магнитное поле, усредненное по физически бесконечно
малому объему ∆V (но содержащему большое число частиц — атомов).
По иронии судьбы такое среднее магнитное поле в веществе называется
не магнитным полем, а магнитной индукцией и обозначается буквой
B
Z
1
B=
h(r)dV,
(∆V → 0).
(1)
∆V
∆V
Напомним, что в электростатике за средним значением электрического
поля в веществе было сохранено то же название и та же буква E. А электрическая индукция D = E + 4πP — это совсем другая величина. А вот
с магнитным полем получилась такая неувязка. И, поскольку, это неправильное обозначение широко используется во всем физическом мире уже
очень продолжительное время мы не будем совершать революций и исправлять эту ”ошибку” в обозначениях, а будем следовать тем же путем.
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
Итак, средняя напряженность магнитного поля в веществе называется
магнитной индукцией B.
Вектор намагниченности M. Спонтанная намагниченность. Ферромагнетизм
Описание магнитных явлений в веществе отчасти сходно с описанием явлений электрических. Там, как вы помните, мы вводили понятие вектора
поляризации — электрического дипольного момента единицы объема
вещества P. Аналогичная физическая величина в физике магнетизма
называется намагниченностью и обозначается буквой M. Она представляет собой магнитный дипольный момент единицы объема вещества.
Здесь необходимо сразу же отметить, что в отличие от электрических
явлений в веществе, где в большинстве случаев поляризации P было
достаточно, чтобы характеризовать электрическое состояние вещества,
намагниченность M уже не характеризует полностью магнитное состояние (магнитный порядок) вещества. Однако мы с вами пока не будем
этого обсуждать, а начнем с простейших примеров.
В недалеком прошлом материалом, обладающим наиболее сильными
магнитными свойствами, разумеется, было железо. Подобными же магнитными свойствами обладают еще такие элементы, как никель, кобальт
и (при достаточно низких температурах, ниже 16◦ C) гадолиний и другие
редкоземельные металлы, а также некоторые особые сплавы. Характерной особенностью всех этих веществ является то, что в них существует,
как говорят, спонтанная намагниченность. То есть, намагниченность
M в веществе отлична от нуля и велика даже в отсутствие внешнего
магнитного поля. Такие вещества обычно сами являются источниками
магнитного поля. Из них делают магниты. В настоящее время наиболее
сильные постоянные магниты изготавливают из редкоземельного сплава
неодима, железа и бора, Nd2 Fe14 B — рис. 1. Они применяются в производстве накопителей на жестких дисках для персональных компьютеров
и в магниторезонансных томографах. Их можно также использовать для
развлечений 1 .
Такой вид магнетизма называется ферромагнетизмом. Это достаточно сложное и удивительное явление, к которому мы вернемся позже.
1 см. сайт: http://www.magnitos.ru/index.php?ukey=home и интересные видео:
http://www.youtube.com/watch?v=2yKlUwpHuo0&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=LohMPKPLLE4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=uET76b7GtXU
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
Рис. 1: Шары из NdFeB. Притягиваются друг к другу с силой 5.6 кг. Разъединить два таких шара довольно трудно. Настолько сильны, что могут примагничиваться друг к другу через ладонь
взрослого человека. В связи с этим довольно опасны, так как могут нанести серьезные телесные
повреждения! Обращаться с большой осторожностью!
Сейчас же мы займемся обычными (в магнитном смысле) веществами.
Хотя, магнитные эффекты в них в тысячи или даже в миллионы раз
слабее, чем в ферромагнитных материалах.
Диамагнетики. Левитация в магнитном поле
Этот слабый магнетизм бывает двух сортов. Некоторые материалы притягиваются магнитным полем, другие же отталкиваются им. В этом
заключается отличие от электрического эффекта в веществе, который
всегда приводит к притяжению нейтральных диэлектриков к заряду любого знака. Магнитный эффект имеет таким образом два знака. Это легко продемонстрировать с помощью сильного электромагнита, один из
полюсных наконечников которого заострен (поэтому около него имеется
сильное магнитное поле), а другой плоский — рис. 2. Так, цилиндр, выточенный из висмута, слабо отталкивается заостренным концом, а цилиндр
из алюминия наоборот будет им притягиваться. Все ферромагнитные материалы (если они не намагничены) всегда очень сильно притягиваются
заостренным концом.
Вещества, которые отталкиваются подобно висмуту, называются диамагнетиками. Висмут — один из сильнейших диамагнетиков, но даже
и его магнитный эффект очень слаб. К диамагнетикам относятся вода,
хлористый натрий, кварц, инертные газы, азот, водород, кремний, фосфор, висмут, цинк, медь, свинец, золото, серебро, графит, алмаз, а также многие другие, как органические, так и неорганические, соединения.
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
подвеска
маленький кусочек
материала
S
N
силовые линии
магнитного поля
полюса сильного
электромагнита
Рис. 2: Взаимодействие с магнитным полем парамагнетиков и диамагнетиков.
Человек в магнитном поле ведет себя как диамагнетик. Диамагнетики
способны левитировать 2 в достаточно сильном магнитном поле — рис. 3
и рис. 4.
Рис. 3: Левитация живой (!) лягушки в магнитном поле 16 Тесла.
Парамагнетики. Магнитная восприимчивость
Вещества, которые притягиваются подобно алюминию, называются парамагнетиками. К парамагнетикам относятся алюминий (Al), платина
(Pt), многие другие металлы (щелочные и щелочно-земельные металлы,
а также сплавы этих металлов), кислород (О2 ), оксид азота (NO), оксид
марганца (MnO), хлорное железо (FeCl2 ) и др.
http://netti.nic.fi/~054028/images/Levizo1Koe1.avi,
http://netti.nic.fi/~054028/images/LevitorMK1.0-1.mpg
2
4
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
Рис. 4: Парящий пиролитический углерод.
Разница между этими двумя типами материалов (диамагнитными и
парамагнитными) проявляется, если мы запишем выражение для намагниченности M в магнитном поле B (подобное тому, которое писали для
плотности поляризации P в электрическом поле E)
M = χB.
(2)
Здесь коэффициент пропорциональности χ называется магнитной восприимчивостью 3 . Так вот, у диамагнетиков χ < 0, а у парамагентиков
χ > 0.
Кратко, суть парамагнетизма и диамагнетизма заключается в следующем 4 . Атомы многих веществ не имеют постоянных магнитных моментов, поскольку спиновые и орбитальные моменты количества движения электронов взаимно компенсируют друг друга. Если вы теперь
включаете магнитное поле, то внутри атома по индукции генерируются
слабые дополнительные токи. В соответствие с законом Ленца, эти токи
направлены так, чтобы сопротивляться увеличивающемуся магнитному
полю. Таким образом, наведенный магнитный момент атомов направлен
Необходимо отметить, что наиболее общий вид линейной связи между двумя векторами M и
B выглядит так (в тензорных обозначениях)
3
Mi = χik Bk ,
где тензор 2-го ранга χik называется тензором магнитной восприимчивости. Он симметричен, χik =
χki .
4 Термин «парамагнетизм» ввёл в 1845 году Майкл Фарадей, который разделил все вещества
(кроме ферромагнитных) на диа- и парамагнитные.
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
противоположно приложенному магнитному полю, т. е. χ < 0. В этом
заключается суть явления диамагнетизма.
Однако, существуют и такие вещества, атомы которых обладают магнитным моментом. В них электронные спиновые и орбитальные моменты
количества движения не скомпенсированы. Поэтому, помимо диамагнитного эффекта, который всегда присутствует, существует еще возможность выстраивания индивидуальных атомных магнитных моментов в
одном направлении, по направлению внешнего магнитного поля (т. к.
энергия при этом минимальна). Очевидно, что в этом случае будет χ > 0.
Необходимо отметить, что парамагнетизм, вообще говоря, достаточно
слаб (а диамагнетизм еще слабее). Поэтому магнитная восприимчивость
диа и парамагнетиков χ ¿ 1. Тепловое движение стремиться разрушить
упорядоченное выстраивание атомных магнитиков. Отсюда так же следует, что парамагнитный вклад в χ обычно очень чувствителен к температуре. Парамагнитный эффект тем сильнее, чем ниже температура. У
любого вещества с ненулевыми магнитными моментами есть как диамагнитный, так и парамагнитный эффекты, причем парамагнитный эффект
обычно доминирует.
Вещество He
Si
H2
Ge
N2 H2 O NaCl Bi
C
χ · 106
-2.02 -3.1 -4
-7.7 -12 -13.3 -30.3 -170 -450
Вещество Mg
Na Rb
K
Cs
Ca
Sr
U
Pu
χ · 106
13.25 16.1 18.2 21.35 29.9 44.0 91.2 414 627
Таблица 1: Магнитная восприимчивость некоторых диамагнетиков и парамагнетиков.
Диамагнетизм. Формула Ланжевена
Количественное описание магнитных явлений начнем с явления диамагнетизма. Рассмотрим электрон, движущийся по круговой орбите вокруг
атома — рис. 5. Поместим его во внешнее магнитное поле. Тогда на электрон, помимо силы притяжения со стороны ядра, будет еще действовать
сила Лоренца со стороны этого поля
e
(3)
F = [v × B].
c
Это приведет к увеличению угловой скорости движения электрона по орбите (т. к. нужно удержаться на той же орбите, а центростремительная
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
B
F
e
v
Рис. 5: Электрон, движущийся по круговой орбите внутри атома.
сила стала больше, следовательно должна возрастать и скорость). Достаточно легко рассчитать требуемое увеличение угловой скорости вращения электрона по орбите, но мы поступим несколько по-другому и
получим ее практически мгновенно, вспомнив теорему Лармора.
Согласно последней, движение электрона в магнитном поле эквивалентно движению в неинерциальной системе отсчета без магнитного поля с частотой
eB
ΩL =
.
(4)
2mc
Но это значит, что сам электрон получает приращение угловой скорости
eB
∆ω = −ΩL = −
(5)
2mc
в результате прикладывания магнитного поля. Это изменение угловой
скорости влечет за собой изменение момента импульса этого электрона
на величину
∆J = I∆ω
(6)
где I = mρ2 ≡ m(x2 + y 2 ) — момент инерции электрона, а ρ — радиус
окружности по которой вращается электрон. В свою очередь, изменение
момента импульса влечет за собой изменение магнитного момента
µ
¶
e
eB
e2 ρ2
2
∆µ = γ∆J =
mρ −
B.
(7)
=−
2mc
2mc
4mc2
В результате получаем, что внешнее магнитное поле вызывает появление
дополнительного магнитного момента в расчете на один электрон
e2 ρ2
B.
(8)
∆µ = −
4mc2
Однако, согласно квантовой механике, не существует определенного ρ
для электрона в атоме. Есть лишь вероятность, что электрон находится
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
на том или ином расстоянии от ядра. Поэтому, полученный результат
необходимо усреднить. Учитывая,что в нашем случае ρ2 = x2 + y 2 и, что
в случае сферического атома
­ 2® ­ 2® ­ 2® 1 ­ 2®
x = y = z =
r ,
(9)
3
® 2­ 2
® 2 ­ 2®
­ 2® ­ 2
ρ = x + y2 =
(x + y 2 + z 2 ) =
r ,
(10)
3
3
изменение магнитного момента
­ ®
e2 r 2
∆µ = −
B.
(11)
6mc2
Суммируя по всем электронам в атоме Z, и умножая на количество атомов в единице объема вещества n, мы получим намагниченность M слева, а справа магнитное поле B умножается на диамагнитную восприимчивость
­ ®
e2 Zn r2
χd = −
.
(12)
6mc2
Это есть формула Ланжевена (P. Langevin, 1905) 5 . По порядку величины диамагнитная восприимчивость равна
¡
¢2
¡
¢2
5 · 10−10 · 30 · 1022 · 10−8
χd ' −
' −10−6
(13)
−27
10
2
6 · 10 · (3 · 10 )
— типичный порядок величины для диамагнитной восприимчивости.
Парамагнетизм. Закон Кюри
В отличие от диамагнетиков, в парамагнетиках для вычисления парамагнитной восприимчивости χp необходим термодинамический подход.
Тепловое движение атомов оказывает чрезвычайно сильное влияние на
величину парамагнитной восприимчивости, уменьшая ее в сотни и тысячи раз по сравнению со значением при низких температурах, когда
тепловое движение заморожено.
Итак, наша задача найти величину χp
M = χp B
(14)
Поль Ланжевен (фр. Paul Langevin; 23 января 1872, Париж — 19 декабря 1946, там же, прах
перенесён в Пантеон) — французский физик и общественный деятель. Создатель теории диамагнетизма и парамагнетизма (1903-1905). Иностранный член-корреспондент Российской АН (1924) и
почетный член АН СССР (1929). Вот, что про Ланжевена говорил нобелевский лауреат П.Л.Капица:
http://vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/KAPITZA/KAP_15.HTM
5
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
Рис. 6: Поль Ланжевен (Франция), 1872-1946.
для ансамбля одинаковых (тождественных) магнитных диполей числом
N , обладающих магнитным моментом µ. Как известно, каждый такой
диполь в магнитном поле обладает энергией
U = −µ · B.
(15)
Здесь имеется полная аналогия с электростатикой (диполь в электрическом поле). Поэтому, выражение дифференциала для свободной энергии
в единице объема имеет вид
dF = −SdT − M · dB.
Отсюда намагниченность определяется формулой
¶
µ
∂F
M=−
,
∂B T
(16)
(17)
а для вычисления магнитной восприимчивости надо продифференцировать еще раз
¯
∂ 2 F ¯¯
χαβ = −
.
(18)
∂Bα ∂Bβ ¯B=0
Как известно из термодинамики, для вычисления свободной энергии
необходимо подсчитать статистическую сумму
X
Z=
e−En /T ,
(19)
n
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
где суммирование проводится по всем различным квантовым состояниям
системы. Тогда свободная энергия запишется в виде
F = −T ln Z.
(20)
Если пренебречь взаимодействием между отдельными диполями, то
энергия системы выражается в виде суммы энергий отдельных диполей
X
X
X
E=
Ei =
Ui =
(−µi · B).
(21)
i
i
i
Степень свободы, по которой нужно суммировать (а точнее интегрировать) есть углы θ и ϕ между направлением B и µ каждого отдельного
диполя. Поэтому
µZ
¶N
−Ei /T
Z=
e
dΩ
.
(22)
Здесь N — есть число диполей (в единице объема), Ei = −µi B cos θ и
элемент телесного угла dΩ = sin θdθdϕ — рис. 7.
Z || B
m
q
Y
j
X
Рис. 7: Ориентация диполя µ в магнитном поле B.
В результате статистическая сумма
 2π
N
µ
¶
Z
Zπ
µB cos θ
Z =  dϕ exp
sin θdθ .
T
0
(23)
0
Интегрируя по ϕ и по θ, получаем
µ
4πT
µB
F = −N T ln
sh
µB
T
10
¶
.
(24)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
Очевидно, что намагниченность M будет параллельна магнитному полю
B, а ее величина определяется выражением
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂F
µB
T
µB
M =−
= N µ cth
−
= Nµ L
,
(25)
∂B T,N
T
µB
T
где L(x) — есть функция Ланжевена
1
L(x) = cth x − .
(26)
x
Эту формулу можно получить также, используя распределение Гиббса
(смотри Приложение).
При малых x ¿ 1 (µB ¿ T ) — слабые магнитные поля (или высокие
температуры) можно разложить функцию Ланжевена в ряд
x
L(x) ≈ , x ¿ 1,
(27)
3
тогда
µB
N µ2
M = Nµ
=
B.
(28)
3T
3T
Отсюда получаем парамагнитную восприимчивость
N µ2
C
χp =
≡ .
3kT
T
(29)
Это есть закон Кюри для парамагнетиков, открытый впервые французским физиком Пьером Кюри (1895) экспериментально. Величина C
называется постоянной Кюри. Таким образом, мы видим, что парамагнитная составляющая магнитной восприимчивости зависит от температуры, уменьшаясь с ростом последней. Оценим величину χp
N ' 1023 см−3 ,
µ ' µB =
эрг
e~
' 0.93 · 10−20
,
2mc
гс
T ' 300 K,
(30)
1023 · 10−40
χp '
' 10−4 .
(31)
−16
3 · 1.4 · 10 · 300
Таким образом, даже при комнатной температуре (при условии, что каждый атом является парамагнитным) парамагнитная восприимчивость
оказывается существенно больше диамагнитной.
При больших x À 1 (µB À T ) — сильные магнитные поля (или низкие температуры), L(x) = 1 и намагниченность в этом случае равна:
M = N µ, т. е. все магнитные диполи оказываются выстроенными в направлении магнитного поля.
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
Очевидно, что полная магнитная восприимчивость среды будет складываться из двух слагаемых
χ = χd + χp .
(32)
При этом парамагнитная часть χp легко может быть выделена по температурной зависимости.
Методы измерения статической магнитной восприимчивости
Если поместить магнитное вещество в магнитное поле, то плотность
энергии (энергии, приходящейся на единицу объема тела) выразится
формулой
Z
Z
1
(33)
u = − B · dM = −χ B · dB = − χB 2 .
2
При этом мы использовали, что M = χB. Энергия же системы выразится в виде интеграла по объему тела
Z
Z
1
U = udV = − χ B 2 dV.
(34)
2
V
V
Отсюда мы видим, что если магнитное поле в веществе неоднородно, то
на единицу объема вещества будет действовать сила
1
f = −grad u = χ grad B 2 .
(35)
2
Полная, действующая на вещество сила будет равна интегралу по объему
от этой величины
Z
1
F = χ dV grad B 2 .
(36)
2
V
Таким образом, сила на образец будет действовать только в том случае, если поле B неоднородно в месте расположения образца. На этом
и базируются основные методы измерения магнитной восприимчивости.
Рассмотрим один из них, называемый методом Гуи (Гюи) или методом
длинного образца.
Исследуемый образец в виде длинного тонкого цилиндра с площадью
поперечного сечения s помещается между полюсами магнита так, что
один его конец находится между полюсами, а второй вне магнита. Образец подвешивается к одному из коромысел весов и в отсутствие поля весы
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
B2
N
S
Z
B1
Рис. 8: Метод Гуи измерения магнитной восприимчивости.
уравновешиваются. При включении поля на образец будет действовать
сила (берем только вертикальную проекцию на ось Z)
1
Fz = χs
2
Z
∂B 2
1
dz = χs
∂z
2
ZB1
dB 2
(37)
B2
(мы считаем, что по сечению образца поле однородно). В результате
1
(38)
Fz = χs(B12 − B22 ).
2
Если B2 ≈ 0, то получим
1
Fz = χs · B12 .
(39)
2
Если магнитная восприимчивость положительна, то сила направлена по градиенту магнитного поля и образец будет втягиваться в зазор
магнита. Если же χ < 0, то образец будет выталкиваться из зазора магнита. Величина силы Fz определяется путем уравновешивания весов при
включенном поле, а восприимчивость при этом равна
2Fz
.
(40)
χ=
sB12
Т. е. метод позволяет определить знак и величину магнитной восприимчивости при известных Fz , s и B1 .
Адиабатическое размагничивание парамагнетиков. Получение
сверхнизких температур
Рассмотрим еще один термодинамический аспект задачи: поведение парамагнитного вещества в магнитном поле. Определим зависимость энтропии парамагнетика от магнитного поля и температуры. При этом по
13
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
прежнему будем счиатать µB ¿ kT . Как известно из термодинамики
энтропия системы определяется выражением
µ
¶
∂F
S=−
.
(41)
∂T V, B
При этом, наряду с объемом, постоянным также следует считать магнитное поле B. Свободная энергия парамагнетика, как нами было показано
может быть записана в виде
µ
¶¸
·
µB
4πT
sh
.
(42)
F = −N T ln
µB
T
Разлагая гиперболический синус в ряд (µB << T ), получим
Ã
"
µ
¶3 !#
1 µB
4πT µB
+
=
F = −N T ln
µB
T
3! T
"
Ã
1
= −N T ln 4π 1 +
6
1
= −N T ln(4π) − N T
6
Отсюда энтропия
µ
∂F
S=−
∂T
¶
= N ln(4π) −
B
µ
µB
T
µ
¶2 !#
µB
T
=
¶2
.
N µ2 B 2
CB 2
=
S
−
,
0
6T 2
2T 2
(43)
(44)
где S0 = N ln(4π), а C = N µ2 /3 — постоянная в законе Кюри (χ = C/T ).
Таким образом, энтропия парамагнетика понижается с увеличением магнитного поля (упорядочение в ориентации магнитных моментов) и повышается с увеличением температуры (разупорядочение).
Рассмотрим теперь процесс адиабатического размагничивания
парамагнетика, помещенного во внешнее магнитное поле. Напомним, что
адиабатическим называется процесс при котором тело теплоизолировано, а внешние условия меняются настолько медленно, что система в каждый момент времени находится в состоянии термодинамического равновесия. Одной из характерных особенностей адиабатического процесса
является постоянство энтропии. Поэтому из условия S = const для парамагнетика следует, что
B
= const
(45)
T
14
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
и, следовательно,
Лекция 4
Bнач
Bкон
=
,
Tнач
Tкон
или
(46)
Bкон
.
(47)
Bнач
Таким образом, мы видим, что если в некотором поле Bнач охладить
образец до температуры Tнач и затем медленно уменьшать поле, то температура парамагнетика начнет падать. Предпочтительнее на практике
оказывается другой путь: при некоторой температуре Tнач образец из
состояния А (T = Tнач , B = 0) изотермически переводится в состояние Б (T = Tнач , B = Bнач ). При этом энтропия понижается. Затем
контакт с термостатом размыкается и производится адиабатическое размагничивание (т. е. медленное уменьшение магнитного поля) до Bкон при
постоянстве энтропии и система переводится в состояние В — рис.9.
Tкон = Tнач
А
адиабатическое
размагничивание
В
SB
Tкон
Температура
изотермическое
намагничивание
Энтропия S
S0
Б
Sреш
1K
Рис. 9: Зависимость энтропии от температуры в нулевом магнитном поле (S0 ) и в магнитном поле
отличном от нуля (SB ).
Можно оценить температуру до которой возможно охлаждение. Достаточно просто получить температуру порядка 1 K путем откачки жидкого гелия. Если выбрать парамагнетик с |M| = max при B = 104 Гс
(1 Тесла), то понижая магнитное поле до 1 Гс (магнитное поле Земли
≈ 1 Гс) возможно охлаждение до 10−4 К.
В приведенном выше простом рассмотрении при B = 0, S = const.
Однако, реально при T = 0 энтропия равна нулю. Ход ее температурной
зависимости в нулевом и ненулевом магнитном поле приведен на рис. 9.
Используя затем ядерное адиабатическое размагничивание можно получить температуру порядка миллионных долей градуса Кельвина!
15
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
Приложение
Среднюю намагниченность можно вычислить также используя распределение Гиббса. Вероятность того, что дипольный момент µ ориентирован
под углом θ к магнитному полю B определяется выражением
µ
¶
µ
¶
U
µB cos θ
w = A exp −
= A exp
.
(48)
T
T
Здесь A — нормировочная постоянная, определяемая из уравнения
1
=
A
Z2π
Zπ
dϕ
0
0
µ
µB cos θ
dθ sin θ exp
T
¶
(49)
Величина намагниченности M определяется средней проекцией дипольного момента µ cos θ на направление магнитного поля B, умноженной на
число диполей в единице объема N
Z2π
M = NA
Zπ
dϕ
0
0
µ
µB cos θ
dθ sin θ exp
T
¶
µ cos θ.
Вычисляя простые интегралы, приходим к формуле (25)
µ
¶
µB
M = N µL
.
T
(50)
(51)
Поль Ланжевен
Поль Ланжевен (фр. Paul Langevin; 23 января 1872, Париж — 19 декабря 1946, там
же, прах перенесён в Пантеон) — французский физик и общественный деятель, создатель теории диамагнетизма и парамагнетизма.
Член Парижской Академии наук (1934), член-корреспондент Российской академии наук (1924) и почётный член Академии наук СССР (1929), иностранный член
Лондонского королевского общества (1928).
Биография
Ланжевен родился в Париже в семье рабочего. Учился в Высшей школе промышленной физики и химии (ESPCI), затем в Высшей нормальной школе, по окончанию
которой учился и работал в Кембридже, в Кавендишской лаборатории под руководством сэра Дж. Дж. Томсона. Занимался изучением электропроводности газов.
После возвращения в Сорбонну он в 1902 году под научным руководством Пьера
Кюри получил докторскую степень. В 1904 году стал профессором физики в Коллеж
де Франс. В 1926 году Поль Ланжевен возглавил Высшую школу промышленной
16
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
физики и химии, в которой получил образование. В 1934 году становится членом
Академии наук.
Известен своими работами по парамагнетизму и диамагнетизму, он разработал современную интерпретацию этого явления с точки зрения спинов электронов в атомах.
Его самая известная работа заключалась в применении ультразвука с использованием пьезоэлектрического эффекта Пьера Кюри. Во время Первой мировой войны он
работал над обнаружением подводных лодок с помощью этих звуков. За свою карьеру Поль Ланжевен многое сделал и для распространения теории относительности во
Франции, а также сформулировал Парадокс близнецов.
Общественная деятельность
Один из активных участников созданной в 1898 году Лиги прав человека, президентом которой являлся в конце жизни. В молодости принимал активное участие в защите Дрейфуса, с чем и было связано его первое политическое выступление. Поддержал
Октябрьскую революцию, в 1919 году был в числе основателей Кружка друзей новой России. Выступал за амнистию морякам французской эскадры, участвовавшим в
восстании на флоте на Чёрном море и сорвавшим интервенцию сил Франции во время Гражданской войны в России. В том же 1920 году, являясь профессором высшего
учебного заведения, осудил использование студентов в качестве штрейкбрехеров во
время транспортной забастовки в Париже.
Занимался антифашистской деятельностью: выступал свидетелем на процессе Шварцбарда (1927), был одним из руководителей организованного в 1933 году Амстердамского антифашистского комитета, в 1934 году возглавлил Комитет бдительности
интеллигентов-антифашистов. Поддерживая Социалистическую партию (СФИО), выступал как активный сторонник Народного фронта с коммунистами и партией радикалов, а также противник Мюнхенского пакта. В 1939 году основал и возглавил
прогрессивный общественно-политический журнал «Пансе» («La Pensee»). 20 марта
1940 года выступил в защиту незаконно арестованных 44 депутатов от Французской
коммунистической партии на заседании военного трибунала.
Ланжевен был ярым противником нацизма, за что был снят с поста директора ESPCI правительством Виши после оккупации Франции нацистской Германией
(восстановлен в должности в 1944 году). Имел возможность покинуть страну по
приглашению советского физика П. Л. Капицы, но задержался, чтобы воспрепятствовать антисемитской кампании в Парижском университете. В октябре 1940 года
был арестован фашистскими оккупантами, в декабре 1940 года выслан под надзор
полиции в Труа, где занял место преподавателя физики в средней женской школе.
Семья Ланжевена принимала активное участие в Движении Сопротивления. Дочь
Ланжевена была арестована и отправлена в Освенцим, где пробыла всю войну. Муж
дочери, Соломон, известный коммунист и антифашист, был расстрелян немцами в
1942 году. Узнав о расстреле своего зятя, Ланжевен написал Жаку Дюкло письмо,
в котором просил зачислить его в коммунистическую партию на то место, которое
занимал Соломон.
Самому Ланжевену, жизни которого также угрожала опасность, удалось, несмотря на преклонный возраст, бежать через Альпы в Швейцарию с помощью участников
Сопротивления в мае 1944 года. По возвращении в сентябре 1944 года в освобожденную Францию официально вступил в ряды ФКП. Совместно с психологом Анри
Валлоном, также вступившим в компартию в годы войны, возглавил парламентскую
комиссию по реформе системы образования. Бывал в СССР, где посещал Москву,
17
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 4
Харьков, Тбилиси. Первый председатель общества «Франция — СССР» (1946).
Педагогическая деятельность
Был научным руководителем Луи де Бройля. Диссертация Луи де Бройля, которую
тот защищал в Сорбонне в 1924 году не была понята до конца комиссией из крупнейших учёных, в которую входил и Ланжевен. Однако именно Ланжевен послал
диссертацию Луи де Бройля Эйнштейну.
Задачи
1. Выведите формулу (51), вычислив простые интегралы. ,
18