27. Энергетический метод исследования колебаний В статье

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Óòâåðæäåíèå çàäà÷è ëåãêî äîêàçàòü ïî èíäóêöèè. Îäíàêî
âîïðîñ î òîì, íàñêîëüêî ìîæíî óìåíüøèòü ÷èñëî 2N ,
çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå. Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåð òóðíèðà 7
ó÷àñòíèêîâ, íèêàêèå 4 èç êîòîðûõ íå îáðàçóþò òðàíçèòèâíîãî ïîäòóðíèðà. Íî â ëþáîì òóðíèðå ñ 15 ó÷àñòíèêàìè
íàéäóòñÿ 5, êàæäûé èç êîòîðûõ ïîáåäèë âñåõ ïîñëåäóþùèõ.
Ïðè êàêîì ìàêñèìàëüíîì ÷èñëå ó÷àñòíèêîâ ñóùåñòâóåò
òóðíèð áåç òàêèõ öåïî÷åê äëèíû k, íåèçâåñòíî.
Çàäà÷à 33.  êðóãîâîì òóðíèðå ó÷àñòâîâàëè n ñïîðòñìåíîâ, èìåâøèõ íîìåðà îò 1 äî n. Ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì 1 ñäåëàë
1 íè÷üþ, ñ íîìåðîì 2 ñäåëàë 2 íè÷üèõ, ..., ó÷àñòíèê ñ
íîìåðîì n – 1 ñäåëàë n – 1 íè÷üþ. Ñêîëüêî íè÷üèõ ñäåëàë
ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì n?
Îòâåò. [n/2].
Ðåøåíèå. Ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì n – 1 ñûãðàë âíè÷üþ ñî
âñåìè îñòàëüíûìè ñïîðòñìåíàìè. Òàê êàê 1-é ñäåëàë ëèøü
îäíó íè÷üþ, òî îí íå ñûãðàë âíè÷üþ íè ñ êåì, êðîìå
(n – 1)-ãî. Ó÷àñòíèê n –2 íå ñäåëàë íè÷üþ ëèøü ñ îäíèì
ñïîðòñìåíîì, è ïî äîêàçàííîìó ýòî 1-é. Çíà÷èò, 2-é ñûãðàë âíè÷üþ è ñ (ï – 1)-ì, è ñ (n – 2)-ì (åñëè òîëüêî îí íå
ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç íèõ, ò.å. åñëè n > 4; ñëó÷àé ìàëûõ ï
ëåãêî ðàçáèðàåòñÿ, è îòâåò áóäåò àíàëîãè÷íûì). Òàê êàê ó
2-ãî ó÷àñòíèêà âñåãî 2 íè÷üè, òî áîëüøå îí íè ñ êåì íå
ñûãðàë âíè÷üþ. Èç ñêàçàííîãî âèäíî, ÷òî (ï – 1)-é è
(n – 2)-é ó÷àñòíèêè ñäåëàëè íè÷üþ ñ n-ì, à 2-é íå ñäåëàë.
Ïðîäîëæàÿ â òîì æå äóõå, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè i £ n - 1 2
ó÷àñòíèê i ñûãðàë âíè÷üþ ñ ó÷àñòíèêàìè n – 1,..., n – i, à
ó÷àñòíèê n – i ñûãðàë âíè÷üþ ñ ó÷àñòíèêàìè îò i äî n
(ðàçóìååòñÿ, íå ñ÷èòàÿ ñåáÿ). Ýòèì ðåøåíà çàäà÷à äëÿ
íå÷åòíîãî n: ñ n-ì ó÷àñòíèêîì ñäåëàëè íè÷üè (ï – 1)/2 =
%
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
= [n/2] ñïîðòñìåíîâ. Ïðè ÷åòíîì n îñòàëîñü ðàññìîòðåòü
ó÷àñòíèêà n/2.  ñèëó ñêàçàííîãî âûøå, ìåíüøèå íîìåðà
íå ñäåëàëè ñ íèì íè÷üèõ. Òàê êàê âñåãî îí ñäåëàë n/2
íè÷üèõ, òî îí ñûãðàë âíè÷üþ ñî âñåìè ïîñëåäóþùèìè
íîìåðàìè, âêëþ÷àÿ n. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó÷àñòíèê n ñäåëàë
n/2 = [n/2] íè÷üèõ.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî òóðíèð îáëàäàåò ñâîéñòâîì Pk , åñëè
äëÿ ëþáûõ k ó÷àñòíèêîâ íàéäåòñÿ ó÷àñòíèê, ïîáåäèâøèé èõ
âñåõ.
Çàäà÷à 34 (À.Òîëïûãî).
à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè â ëþáîì òóðíèðå, îáëàäàþùåì
ñâîéñòâîì Pk , ó÷àñòâóþò íå ìåíåå ï èãðîêîâ, òî â ëþáîì
òóðíèðå, îáëàäàþùåì ñâîéñòâîì Pk +1 , ó÷àñòâóþò íå ìåíåå 2n + 1 èãðîêîâ.
á) Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì ï ñóùåñòâóåò òóðíèð n
èãðîêîâ ñî ñâîéñòâîì P2 ? (Îòâåò. n = 7.)
â) Ïîñòðîéòå òóðíèð 19 èãðîêîâ ñî ñâîéñòâîì P3 .
(Îòâåò. Çàíóìåðóåì èãðîêîâ ÷èñëàìè îò 0 äî 18, è ïóñòü
èãðîê i âûèãðûâàåò ó èãðîêà j òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
i - j º l 2 mod 19 .)
ã) Äîêàæèòå, ÷òî òóðíèðû ñî ñâîéñòâîì Pk ñóùåñòâóþò äëÿ ëþáîãî k. (Óêàçàíèå. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
â òóðíèðå n ó÷àñòíèêîâ äàííûå k íå èìåþò îáùåãî ïîáåäèòåëÿ.)
Îòâåò íà âîïðîñ, ïðè êàêîì ìèíèìàëüíîì n ñóùåñòâóåò
òóðíèð n ó÷àñòíèêîâ ñî ñâîéñòâîì Pk , íåèçâåñòåí äàæå ïðè
k = 3. Èç ïóíêòîâ à), á), î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî n ³ 15 , à èç
ïóíêòà â) – ÷òî n £ 19 . Äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé k íåèçâåñòíû
äàæå ïðèáëèçèòåëüíûå îöåíêè.
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ýíåðãåòè÷åñêèé
ìåòîä
èññëåäîâàíèÿ
êîëåáàíèé
À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ
Î
ÄÍÀ ÈÇ ÂÀÆÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÒÅÎÐÈÈ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ – ÍÀÉ-
òè ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû
îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Â øêîëüíîì êóðñå ôèçèêè
êîëè÷åñòâåííî ðàññìàòðèâàþòñÿ êîëåáàíèÿ ñèñòåì òîëüêî ñ
îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû (ïîëîæåíèå êîòîðûõ çàäàåòñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì – ñìåùåíèåì, óãëîì îòêëîíåíèÿ è ò.ä.) è
ïðîèñõîäÿùèå áåç ïîòåðü ýíåðãèè. Ïðîñòåéøèå ïðèìåðû
òàêèõ ñèñòåì – ãðóç íà ïðóæèíå è ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê.
Îáû÷íî êîëåáàíèÿ òàêèõ ñèñòåì èçó÷àþòñÿ äèíàìè÷åñêèì
ìåòîäîì. Ýòîò ìåòîä ñîñòîèò â ïðèâåäåíèè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû (âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà) ê âèäó, ñîîòâåòñòâó-
þùåìó óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
x ¢¢ + ω2 x = 0 ,
(1)
ãäå x¢¢ – âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïàðàìåòðà x ïî âðåìåíè.
Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ øêîëüíèêó îêàçûâàåòñÿ ñëîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ. Ýòî îòíîñèòñÿ â ïåðâóþ
î÷åðåäü ê ñèñòåìàì ñ ðàñïðåäåëåííîé ìàññîé. Íàïðèìåð, äëÿ
ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ïðîòÿæåííîãî òâåðäîãî
òåëà – ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà – íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå
äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, íî åãî â øêîëå íå
èçó÷àþò. È òóò, êàê âñåãäà, íà ïîìîùü ïðèõîäèò çàêîí
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ðàñøèðèòü êðóã çàäà÷, äîñòóïíûõ äëÿ ðåøåíèÿ øêîëüíûìè ìåòîäàìè.
 ÷åì æå çàêëþ÷àåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ
êîëåáàíèé? Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îí ñîñòîèò â ñîïîñòàâëåíèè
ýíåðãèè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû ñ ýíåðãèåé ïðîñòåéøåãî
ìàÿòíèêà – ãðóçà ìàññîé m íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k. Åñëè
âûðàæåíèå äëÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû, îòêëîíåíèå
êîòîðîé îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì
x, óäàëîñü ïðèâåñòè ê âèäó
mýô x ¢2 kýô x2
,
(2)
+
E=
2
2
òî ñèñòåìà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ
x = A cos ωt + ϕ0 ,
öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîòîðûõ ðàâíà
ω=
kýô
mýô
.
(3)
&
ÊÂÀÍT 2007/¹2
Êîýôôèöèåíò mýô â âûðàæåíèè äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
íàçûâàþò ýôôåêòèâíîé ìàññîé (÷àñòî îíà ñîâïàäàåò ñ
ìàññîé ñèñòåìû), à êîýôôèöèåíò kýô â âûðàæåíèè äëÿ
ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè – ýôôåêòèâíîé æåñòêîñòüþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñîõðàíÿåòñÿ,
ïðîèçâîäíàÿ îò íåå ïî âðåìåíè ðàâíà íóëþ:
E ¢ t = 0 = mýô x ¢x ¢¢ + kýô xx ¢
è âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé (1):
x ¢¢ +
kýô
mýô
x = 0.
Äëÿ ïðèìåðà òîãî, êàê ðàáîòàåò ýíåðãåòè÷åñêèé ìåòîä,
ïîêàæåì, êàê ñ åãî ïîìîùüþ íàéòè öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó
êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ ìàññîé ãðóçà m è
äëèíîé íèòè l.  êà÷åñòâå ïàðàìåòðà x âûáåðåì ñìåùåíèå
ãðóçà ìàÿòíèêà âäîëü äóãè îêðóæíîñòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà ðàâíà mx¢2 2 , ò.å.
ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ðàâíà ìàññå ãðóçà. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äëÿ ìàëûõ îòêëîíåíèé ( x = l ) ðàâíà
α
α2 mg x 2
Eï = mgh = mgl 1 - cos α = 2mgl sin2 = mgl
=
,
2
2
l 2
(4)
ãäå α = x l – óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà. Òàêèì îáðàçîì,
ýôôåêòèâíàÿ æåñòêîñòü ðàâíà mg l , à öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà
kýô
g
.
êîëåáàíèé ñîñòàâëÿåò ω =
=
mýô
l
Òåïåðü ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷ ñ ïðîòÿæåííûìè
òåëàìè.
Çàäà÷à 1. Ñòåðæåíü äëèíîé l = 40 ñì èçîãíóëè ïî äóãå
îêðóæíîñòè â âèäå ïîëóêîëüöà è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö
ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð
îêðóæíîñòè. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ïîëóêîëüöà îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, åñëè îñü
âðàùåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà åãî ïëîñêîñòè. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 9,8 ì ñ2 .
 êà÷åñòâå ïàðàìåòðà x, îïðåäåëÿþùåãî ïîëîæåíèå ñèñòåìû, âûáåðåì ñìåùåíèå òî÷åê ñòåðæíÿ âäîëü äóãè îêðóæíîñòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ðèñ.1). Òîãäà êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà
ðàâíà mx¢2 2 , ò.å. ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ðàâíà ìàññå
ñòåðæíÿ. Ðàñ÷åò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñòåðæíÿ íà
ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ
ñëîæíîé çàäà÷åé – âåäü ìû
Ðèñ. 1
íå çíàåì ïîëîæåíèå öåíòðà
òÿæåñòè. Îäíàêî ñóùåñòâóåò ïðîñòîå ðàññóæäåíèå, îñíîâàííîå íà ñèììåòðèè ñòåðæíÿ. Ïðè ïîâîðîòå ñòåðæíÿ íà óãîë
α = x R (çäåñü R – ðàäèóñ êîëüöà) áóëüøàÿ åãî ÷àñòü
ïåðåéäåò ñàìà â ñåáÿ, è äëÿ ïîäñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
ìîæíî áóäåò ñ÷èòàòü, ÷òî ìû ïåðåíåñëè êóñî÷åê äëèíîé x è
ìàññîé mx l ñ îäíîãî êîíöà ñòåðæíÿ íà äðóãîé (ýòî õîðîøî
âèäíî íà ðèñóíêå 1). Ïðè ýòîì öåíòð êóñî÷êà ñìåñòèòñÿ
ââåðõ íà x, ò.å. èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñòåðæíÿ
ñîñòàâèò
Eï =
mx
2mg x2
gx =
l
l 2
(5)
(ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ âñåãäà ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé íóëþ). Çíà÷èò,
ýôôåêòèâíàÿ æåñòêîñòü ñèñòåìû ñîñòàâëÿåò kýô = 2mg l , à
öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà ìàëûõ êîëåáàíèé ðàâíà
ω=
kýô
=
mýô
2g
= 7 c -1 .
l
Çàäà÷à 2.  U-îáðàçíóþ òðóáêó ñå÷åíèåì S = 10 ñì2
íàëèëè m = 400 ã âîäû. Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéäèòå
öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó âåðòèêàëüíûõ êîëåáàíèé æèäêîñòè
â òðóáêå. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 9,8 ì ñ2 .
Ïîñêîëüêó âîäà â ðàçíûõ êîëåíàõ òðóáêè äâèæåòñÿ â
ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ, íå î÷åíü ÿñíî, êàê êîððåêòíî çàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ æèäêîñòè. Ïðîùå íàéòè ýíåðãèþ
æèäêîñòè. Åñëè âîäà ñìåñòèëàñü íà x èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî, êàê è â ïðåäûäóùåé
çàäà÷å, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòîëáèê âîäû äëèíîé x è ìàññîé
ρSx ïåðåìåñòèëñÿ èç îäíîãî
êîëåíà â äðóãîå (ðèñ.2). Èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
âîäû ðàâíî
x2
Eï = ρSx gx = 2ρgS
,
2
Ðèñ. 2
3
ãäå ρ = 1 ã ñì – ïëîòíîñòü
âîäû. Èòàê, ýôôåêòèâíàÿ æåñòêîñòü ðàâíà kýô = 2ρgS ,
ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ðàâíà ìàññå âîäû, à öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà
êîëåáàíèé ñîñòàâëÿåò
ω=
kýô
mýô
=
2ρgS
= 7 c -1 .
m
Çàäà÷à 3. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü èçîãíóëè â âèäå äóãè,
ñîñòàâëÿþùåé 1/3 äëèíû îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 5 ñì,
è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé
îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî
åå ïëîñêîñòè. Ê êîíöàì ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè äâà îäèíàêîâûõ ãðóçà. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 .
 êà÷åñòâå ïàðàìåòðà, îïðåäåëÿþùåãî îòêëîíåíèå ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïðèìåì (äëÿ ðàçíîîáðàçèÿ)
ìàëûé óãîë îòêëîíåíèÿ α . Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû
ðàâíà
Eê = 2
mv2 2mR2ω2
α¢2
=
= 2mR2
,
2
2
2
ò.å. ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ðàâíà mýô = 2mR2 (çäåñü m – ìàññà
ãðóçà). Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ óäîáíî âûðàçèòü ÷åðåç
èçìåíåíèå âûñîòû öåíòðà òÿæåñòè, êîòîðûé ðàñïîëîæåí
ïîñåðåäèíå ìåæäó ãðóçàìè íà ðàññòîÿíèè l = R cos 60o = R 2
ïîä òî÷êîé ïîäâåñà:
Eï = 2mgl 1 - cos α = 2mgl
α2
α2
= mgR
.
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî, ýôôåêòèâíàÿ æåñòêîñòü ðàâíà kýô = mgR , è
öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà ìàëûõ êîëåáàíèé ñîñòàâëÿåò
ω=
kýô
mýô
=
g
= 10 ñ -1 .
2R
Ïîïðîáóéòå äëÿ óïðàæíåíèÿ ïîëó÷èòü ýòîò îòâåò, âûáðàâ
â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà íå óãîë α , à áîëåå ïðèâû÷íîå ñìåùåíèå
ãðóçîâ x = Rα .
Çàäà÷à 4. Ñòåðæåíü ìàññîé M = 20 ã è äëèíîé l =
= 118 ñì èçîãíóëè â ôîðìå ïîëóêîëüöà è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
÷åðåç öåíòð êîëüöà ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ïëîñêîñòè. Ê
ñåðåäèíå ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè ãðóç ìàññîé m = 100 ã.
Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé
ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 ; ÷èñëî π = 3,14.
Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ñ÷èòàòü îáúåäèíåíèåì ïðèìåðà ñ ìàòåìàòè÷åñêèì ìàÿòíèêîì è çàäà÷è 1 ñ ïîëóêîëüöîì. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè íàäî ïðèìåíÿòü è ìåòîä âû÷èñëåíèÿ âûñîòû ïðè ìàëîì óãëå îòêëîíåíèÿ (ôîðìóëà (4)), è ìåòîä «ïåðåìåùåíèÿ êóñî÷êà» èç
çàäà÷è 1 (ôîðìóëà (5)):
Mx
gx =
l
mg x 2 2Mg x 2 πm + 2M g x 2
+
=
=
.
2
2
R 2
l
l
Ïîñêîëüêó êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíà
Eï = mgR 1 - cos α +
Eê = m + M x ¢2
,
2
äëÿ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé ïîëó÷àåì
ω=
kýô
mýô
=
πm + 2M g
= 5 c -1.
m+M l
Çàäà÷à 5. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 3,5 ì ìîæåò
ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäèí èç åãî êîíöîâ. Ê
ñâîáîäíîìó êîíöó ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè ãðóç ìàññîé m, à ê ñåðåäèíå
ñòåðæíÿ – ãðóç ìàññîé 3m. Íàéäèòå
öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ g = 9,8 ì ñ2 .
 êà÷åñòâå ïàðàìåòðà îòêëîíåíèÿ
âûáèðàåì ñìåùåíèå x íèæíåãî ãðóçà
âäîëü äóãè îêðóæíîñòè (ðèñ.3). Ñìåùåíèå âåðõíåãî ãðóçà ïðè ýòîì ñîñòàâëÿåò x 2 , à êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû ðàâíà
mx ′2 3m ( x ′ 2)
x ′2
,
+
= 1,75m
2
2
2
2
Eê =
Ðèñ. 3
ò.å. ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ñèñòåìû äëÿ
ýòîãî ïàðàìåòðà îòêëîíåíèÿ ñîñòàâëÿåò mýô = 1,75m . Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíà
Eï = mgl (1 − cos α ) + 3mg
l
2,5mg x2
1 − cos α ) =
,
(
2
2
l
ò.å. kýô = 2,5mg l . Äëÿ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé ïîëó÷àåì
ω=
k'ýô
=
m'ýô
10 g
= 2 ñ −1 .
7 l
 êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ïîïðîáóéòå ïîëó÷èòü ýòîò æå
îòâåò, âûáðàâ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà îòêëîíåíèÿ óãîë α = x l .
Çàäà÷à 6. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 50 ñì ìîæåò
ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäèí èç åãî êîíöîâ. Ê ñâîáîäíîìó êîíöó ñòåðæíÿ
ïðèêðåïèëè ãðóç ìàññîé m = 0,5 êã, à ñåðåäèíó ñòåðæíÿ ñ
ïîìîùüþ ãîðèçîíòàëüíîé ïðóæèíû æåñòêîñòüþ
k = 32 Í ì ñîåäèíèëè ñ âåðòèêàëüíîé îïîðîé. Ïðè âåðòèêàëüíîì ðàñïîëîæåíèè ñòåðæíÿ ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé
'
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ
g = 10 ì ñ2 .
Çà ïàðàìåòð îòêëîíåíèÿ âîçüìåì
ñìåùåíèå ãðóçà x èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âäîëü äóãè îêðóæíîñòè (ðèñ.
4). Ïðè òàêîì ñìåùåíèè äåôîðìàöèÿ
ïðóæèíû ðàâíà x 2 , è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû èìååò âèä
2
Eï =
mg x2
x 2 = æ mg + k ö x2
+k
.
çè
÷
l 2
l
2
4ø 2
Î÷åâèäíî, ÷òî ýôôåêòèâíàÿ ìàññà
ðàâíà ìàññå ãðóçà. Òîãäà öèêëè÷åñêàÿ
÷àñòîòà ìàëûõ êîëåáàíèé ðàâíà
ω=
kýô
=
mýô
g
k
+
= 6 ñ −1.
l 4m
Ðèñ. 4
Çàäà÷à 7. Îêîëî äíà ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîãî öèëèíäðà
êàòàåòñÿ âçàä-âïåðåä ìàëåíüêîå òîíêîå êîëå÷êî, îñòàâàÿñü âñå âðåìÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
îñè öèëèíäðà. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó òàêîãî êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ. Âíóòðåííèé ðàäèóñ öèëèíäðà R =
= 1,25 ì, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 .
Ïðè êà÷åíèè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ òðåíèå ïîêîÿ ðàáîòó íå
ñîâåðøàåò, è ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñîõðàíÿåòñÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íàäî çíàòü, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
êàòÿùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ v êîëå÷êà (îáðó÷à, òîíêîñòåííîãî
öèëèíäðà) ìàññîé m ðàâíà
Eê = mv2 .
Ýòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îáùåé òåîðåìû î òîì, ÷òî
êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ëþáîé ñèñòåìû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â
âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ: êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïîñòóïàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ ñèñòåìû êàê öåëîãî ñî ñêîðîñòüþ öåíòðà ìàññ è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ öåíòðîì ìàññ:
Eê =
mvö2
+ Eîòí .
2
 ñëó÷àå êàòÿùåãîñÿ êîëå÷êà îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ÷èñòîå âðàùåíèå êîëå÷êà âîêðóã ñâîåé îñè. Èç óñëîâèÿ
îòñóòñòâèÿ ïðîñêàëüçûâàíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðàâíà vö , ò.å. êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òàêîãî âðàùåíèÿ åñòü
Eîòí = mvö2 2 .
Âïðî÷åì, ìîæíî âûâåñòè èñõîäíîå óòâåðæäåíèå ñïåöèàëüíî äëÿ
êîëå÷êà, íå îïèðàÿñü íè íà êàêèå äîïîëíèòåëüíûå òåîðåìû. Äëÿ
ýòîãî íàäî ðàññìîòðåòü äâà ìàëåíüêèõ äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ ýëåìåíòà êîëüöà ìàññîé
∆m êàæäûé, âû÷èñëèòü èõ ñêîðîñòè ïî çàêîíó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (ñ ïîìîùüþ òåîðåìû
êîñèíóñîâ) è óáåäèòüñÿ, ÷òî èõ
ïîëíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
ðàâíà 2∆mvö2 .
Åñëè â êà÷åñòâå ïàðàìåò- Ðèñ. 5
ðà îòêëîíåíèÿ âûáðàòü ñìåùåíèå x êîëå÷êà îò íèæíåé òî÷êè ïî äóãå îêðóæíîñòè
(ðèñ.5), òî ýíåðãèÿ êîëå÷êà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
x ′2 mg x2
E = 2m
+
2
R 2
(ñì. ôîðìóëó (4)). Öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ êîëå÷êà ðàâíà
ω=
g
= 2 ñ −1.
2R
!
ÊÂÀÍT 2007/¹2
Ñëåäóþùèå òðè çàäà÷è ïîêàçûâàþò, êàê ðàáîòàåò ýíåðãåòè÷åñêèé ìåòîä â òîì ñëó÷àå, êîãäà âçàèìîäåéñòâèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèìè ñèëàìè.
Çàäà÷à 8. Ñòåðæåíü ìàññîé m = 30 ã èçîãíóëè â ôîðìå
äóãè, ñîñòàâëÿþùåé 1/6 äëèíû îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R =
= 0,1 ì, è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê îñè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå
ïëîñêîñòè. Íà êîíöàõ ñòåðæíÿ çàêðåïèëè îäèíàêîâûå ïîëîæèòåëüíûå òî÷å÷íûå çàðÿäû âåëè÷èíîé q = 0,1 ìêÊë
êàæäûé. Ñòåðæåíü íàõîäèòñÿ â ïîëå íåïîäâèæíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà Q = 0,2 ìêÊë, ðàñïîëîæåííîãî ïîñåðåäèíå
ìåæäó êîíöàìè ñòåðæíÿ. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó
ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Ñèëó òÿæåñòè íå ó÷èòûâàòü.
 êà÷åñòâå ïàðàìåòðà
îòêëîíåíèÿ âûáåðåì
ñìåùåíèå x êàæäîãî èç
çàðÿäîâ q âäîëü äóãè
îêðóæíîñòè (ðèñ.6;
çäåñü ϕ = 30° ). ÊèíåÐèñ. 6
òè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñâîäèòñÿ ê êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñòåðæíÿ:
mx ¢2
Eê =
.
2
Èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïðè ìàëîì ñìåùåíèè ñòåðæíÿ ñ çàðÿäàìè ðàâíî
Eï = k
qQ
qQ
qQ
+k
- 2k
=
R sin ϕ + x cos ϕ
R sin ϕ - x cos ϕ
R sin ϕ
= 2k
= 2k
qQR sin ϕ
2
2
4
4
- 2k
qQ
=
R sin ϕ
R sin ϕ - x cos ϕ
2
2
qQR sin ϕ R sin ϕ + x cos ϕ R sin ϕ
- x cos ϕ
= 4k
- 2k
qQ
=
R sin ϕ
qQ cos2 ϕ x2
qQ x2
= 24k 3
,
3
3
R sin ϕ 2
R 2
ãäå k = 9 × 109 H × ì Êë2 – ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Äëÿ
öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé ïîëó÷àåì
ω = 24k
qQ
= 12 c -1.
mR3
Çàäà÷à 9. Ñòåðæåíü ìàññîé m = 25 ã èçîãíóëè â âèäå
äóãè, ñîñòàâëÿþùåé 1/3 äëèíû îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R =
= 60 ñì, è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê îñè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå
ïëîñêîñòè. Ñòåðæåíü ðàâíîìåðíî çàðÿæåí ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ λ = 2 ìêÊë/ì è íàõîäèòñÿ â ïîëå íåïîäâèæíîãî îòðèöàòåëüíîãî òî÷å÷íîãî
çàðÿäà Q = –6 ìêÊë, ðàñïîëîæåííîãî ïîñåðåäèíå ìåæäó
êîíöàìè ñòåðæíÿ. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ
êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû
îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñèëó òÿæåñòè íå ó÷èòûâàòü.
 êà÷åñòâå îòêëîíÿþùåãî ïàðàìåòðà x âûáåðåì
ñìåùåíèå òî÷åê ñòåðæíÿ èç
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
âäîëü äóãè îêðóæíîñòè
Ðèñ. 7
(ðèñ.7; çäåñü ϕ = 60° ).
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñòåðæíÿ ðàâíà mx¢2 2 . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðèìåíèì ìåòîä «ïåðåìåùåíèÿ
ìàëîãî êóñî÷êà», êîòîðûé ìû èñïîëüçîâàëè â çàäà÷àõ 1 è 2:
Eï = k
= −k
λx ⋅ Q
λx ⋅ Q
−k
=
x
x
R sin ϕ + cos ϕ
R sin ϕ − cos ϕ
2
2
λx ⋅ Q ⋅ x cos ϕ
x
( R sin ϕ )2 −  2 cos ϕ 
2
=−
2kλQ cos ϕ x2
4 kλ Q x2
=
.
2 2
3
R2 2
( R sin ϕ )


Öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà ìàëûõ êîëåáàíèé ðàâíà
4kλ Q
ω=
3mR2
= 4 c −1.
Çàäà÷à 10. Íà êîíöàõ íåâåñîìîãî ñòåðæíÿ äëèíîé l =
= 10 ñì çàêðåïëåíû ìàëåíüêèå øàðèêè ìàññîé m = 9 ã
êàæäûé. Íà øàðèêè íàíîñÿò ðàçíîèìåííûå çàðÿäû îäèíàêîâîé âåëè÷èíû q = 3 ìêÊë è ïîìåùàþò ýòó ñèñòåìó
â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ E =
= 600 Â/ì. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñèëó òÿæåñòè
íå ó÷èòûâàòü.
Ïîñêîëüêó ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó, ðàâíà
íóëþ, ñèñòåìà îòñ÷åòà öåíòðà ìàññ èíåðöèàëüíàÿ, è ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî ñåðåäèíà
ñòåðæíÿ íåïîäâèæíà. Çà
ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé îòêëîíåíèå ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïðèìåì óãîë ïî- Ðèñ. 8
âîðîòà ñòåðæíÿ α
(ðèñ.8). Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû èìååò âèä
m (α′l 2 )
ml2 α′2
,
=
2
2 2
2
Eê = 2
ò.å. ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ðàâíà mýô = ml 2 2 . Èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðè ïîâîðîòå íà ìàëûé óãîë α ðàâíî
ðàáîòå ïîëÿ, âçÿòîé ñ îáðàòíûì çíàêîì:
Eï = 2qE
α2
l
,
1 − cos α ) = qEl
(
2
2
ò.å. ýôôåêòèâíàÿ æåñòêîñòü ðàâíà kýô = qEl . Äëÿ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé ïîëó÷àåì
ω=
kýô
mýô
=
2qE
= 2 c -1.
ml
 ïîñëåäíåé çàäà÷å ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà êîëåáàíèÿ êàê òàêîâûå îòñóòñòâóþò, ïîñêîëüêó äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â îäíîì íàïðàâëåíèè, áåç âîçâðàòà íàçàä. Îäíàêî
îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî òàêîìó æå
çàêîíó ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, êàê è äâèæåíèå ìàÿòíèêà
(â ôàçå ðàçãîíà èëè òîðìîæåíèÿ).
Çàäà÷à 11. Äëèííóþ
òðóáêó ñîãíóëè ïîä ïðÿìûì óãëîì è óñòàíîâèëè
òàê, ÷òî îäíî èç êîëåí
ñìîòðèò âåðòèêàëüíî
ââåðõ. Â âåðòèêàëüíîì
êîëåíå óäåðæèâàþò âåðåâêó äëèíîé l = 90 ñì òàêèì îáðàçîì, ÷òî îíà äîõîäèò äî ìåñòà ñãèáà.
×åðåç êàêîå âðåìÿ (â ìñ)
ïîñëå òîãî, êàê âåðåâêó Ðèñ. 9
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
îòïóñòÿò, îíà íàïîëîâèíó ñîñêîëüçíåò â ãîðèçîíòàëüíîå
êîëåíî? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ
g = 10 ì ñ2 ; ÷èñëî π = 3,14.
Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t äëèíà âåðåâêè, îñòàâøåéñÿ â
âåðòèêàëüíîì êîëåíå, ðàâíà x (ðèñ.9), òî ýíåðãèÿ ñèñòåìû
èìååò âèä
E=
mx ¢2 mx x mx ¢2 mg x2
+
+
g =
,
2
2
2
l
l 2
ãäå mx l – ìàññà êóñêà âåðåâêè â âåðòèêàëüíîì êîëåíå, x 2
– âûñîòà öåíòðà òÿæåñòè ýòîãî êóñêà. Ïîñêîëüêó ýòî âûðàæåíèå èäåíòè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ ýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêèõ
êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòîé ω = g l , à íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàâíà
íóëþ, òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó
x = l cos ωt
(â íà÷àëüíûé ìîìåíò x0 = l ). Ýòà ôîðìóëà äåéñòâóåò òîëüêî
â òå÷åíèå ÷åòâåðòè ïåðèîäà, ïîêà x íå îáðàòèòñÿ â íîëü, ò.å.
ïîêà âñÿ âåðåâêà íå ñîñêîëüçíåò â ãîðèçîíòàëüíîå êîëåíî.
×òîáû íàéòè èñêîìîå âðåìÿ, íàäî ïîäñòàâèòü x = l 2 . Ðåøèâ
óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
π
π l
t=
=
= 314 ìñ.
3ω 3 g
Óïðàæíåíèÿ
1. Ñòåðæåíü äëèíîé l = 20 ñì èçîãíóëè â ôîðìå äóãè, ñîñòàâëÿþùåé 1/6 äëèíû îêðóæíîñòè, è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö
ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïëîñêîñòè. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
( g = 9,8 ì ñ2 .)
2. Òîíêîå êîëåñî ìàññîé M = 400 ã ñ íåâåñîìûìè ñïèöàìè ìîæåò
ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Íà êîëåñå çàêðåïèëè ìàëåíüêèé ãðóç ìàññîé m = 100 ã. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó
ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Ðàäèóñ êîëåñà R = 50 ñì. ( g = 10 ì ñ2 .)
3. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 2,5 ì ñîãíóëè ïîñåðåäèíå ïîä
óãëîì 120o , ïðèêðåïèëè ê åãî êîíöàì îäèíàêîâûå ãðóçû è ïîâåñèëè
ìåñòîì ñãèáà íà òîíêèé ãâîçäü, âáèòûé â ñòåíó. Ïðåíåáðåãàÿ
òðåíèåì, íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé
ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 10 ì ñ2 .)
4. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 40 ñì ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäèí èç åãî
êîíöîâ. Ê ñåðåäèíå ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè ãðóç ìàññîé m = 0,5 êã, à
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
!
íèæíèé êîíåö ñòåðæíÿ ñ ïîìîùüþ ãîðèçîíòàëüíîé ïðóæèíû
æåñòêîñòüþ k = 30 Í ì ñîåäèíèëè ñ âåðòèêàëüíîé îïîðîé.
Ïðè âåðòèêàëüíîì ðàñïîëîæåíèè ñòåðæíÿ ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ.
( g = 9,8 ì ñ2 .)
5. Ñòåðæåíü ìàññîé m = Ðèñ. 10
= 0,5 êã è äëèíîé l = 40 ñì
èçîãíóëè ïî äóãå îêðóæíîñòè â âèäå ïîëóêîëüöà è ñ ïîìîùüþ
íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè (ðèñ.10). Ê îäíîìó èç êîíöîâ ñòåðæíÿ
ïðèêðåïèëè âåðòèêàëüíóþ íåäåôîðìèðîâàííóþ ïðóæèíó æåñòêîñòüþ k = 16 Í ì , âåðõíèé êîíåö êîòîðîé çàêðåïëåí. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ, åñëè îñü âðàùåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ïîëóêîëüöà. ( g = 9,8 ì ñ2 .)
6. Òîíêîå êîëüöî ðàäèóñîì R = 0,1 ì ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóã
ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäíó èç òî÷åê êîëüöà
ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ïëîñêîñòè. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó
ìàëûõ êîëåáàíèé îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 9,8 ì ñ2 .)
Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòå òîò ôàêò, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
êîëüöà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé ðàâíà mvö2 , ãäå vö – ñêîðîñòü
öåíòðà êîëüöà.
7. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü èçîãíóëè â âèäå äóãè, ñîñòàâëÿþùåé
1/3 äëèíû îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 5 ñì, è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
öåíòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïëîñêîñòè. Ê êîíöàì ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè äâà îäèíàêîâûõ ãðóçà ìàññîé m = 40 ã êàæäûé.
Ñòåðæåíü ðàâíîìåðíî çàðÿæåí ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ λ = 1ìêÊë ì
è íàõîäèòñÿ â ïîëå íåïîäâèæíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà Q = 5 ìêÊë,
ðàñïîëîæåííîãî ïîä îñüþ âðàùåíèÿ íà îäíîì óðîâíå ñ êîíöàìè
ñòåðæíÿ. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé
ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 10 ì ñ2 .)
8. Òîíêóþ öåïî÷êó äëèíîé l = 45 ñì óäåðæèâàþò çà âåðõíèé
êîíåö íà ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé óãîë α = 30o
ñ ãîðèçîíòîì. ×åðåç êàêîå âðåìÿ (â ìñ) ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ öåïî÷êè
îíà ïîëíîñòüþ ïîêèíåò íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, åñëè âíà÷àëå åå
íèæíèé êîíåö íàõîäèëñÿ ó êðàÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè? ( g = 10 ì ñ2 ;
π = 3,14.)
!
ÊÎËËÅÊÖÈß ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ
Êîëå÷êî íà âåòêå
(Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñ. îáëîæêè)
Íà êàæäîé âñòðå÷å èçîáðåòàòåëåé ãîëîâîëîìîê îáÿçàòåëüíî çâó÷èò ôðàçà: «Ñëîæíóþ ãîëîâîëîìêó ïðèäóìàòü ëåãêî,
âû ïîïðîáóéòå èçîáðåñòè ïðîñòóþ…» Ïàðàäîêñ ýòèõ ñëîâ
ëèøü êàæóùèéñÿ – èçîáðåòàòåëè ãîâîðÿò íå î òðóäíîñòè
ðåøåíèÿ çàäà÷è, îíà ïîäðàçóìåâàåòñÿ îáÿçàòåëüíîé, à ïðî
ñëîæíîñòü êîíñòðóêöèè.
Èìåííî òàêóþ ãîëîâîëîìêó ïðèäóìàë ìîñêâè÷ Êèðèëë
Ãðåáíåâ, íåäàâíèé âûïóñêíèê Ðîññèéñêîãî õèìèêî-òåõíîëîãè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ä.È.Ìåíäåëååâà. Åãî èçîáðåòåíèå ñîñòîèò âñåãî èç äâóõ âåòî÷åê.
Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ãîëîâîëîìêè ïîäîéäóò ñó÷êè ëþáîãî
äåðåâà èëè êóñòàðíèêà, íî ëó÷øå âçÿòü èõ îò äóáà – åãî âåòêè
ñèëüíî êóñòÿòñÿ è ïðè÷óäëèâî èçîãíóòû. Ãîëîâîëîìêè ïîëó-
÷àþòñÿ íåïîõîæèìè äðóã íà äðóãà, áîëåå çàïóòàííûìè è
òðóäíûìè â ðåøåíèè.
Íà ñúåçäå ëþáèòåëåé ãîëîâîëîìîê â Õåëüñèíêè, ãäå Êèðèëë âïåðâûå ïîêàçàë ñâîå èçîáðåòåíèå, îíî áûëî ïðèçíàíî
ñàìûì îðèãèíàëüíûì è èíòåðåñíûì. Äàæå çíàòîêè êðóòèëè
âåòî÷êè â ðóêàõ ïî íåñêîëüêó ìèíóò, íå ïîíèìàÿ, êàê ìîæíî
îòöåïèòü êîëå÷êî. Ëþáîïûòíî, ÷òî ýòó æå ãîëîâîëîìêó, íî
ñäåëàííóþ èç ïðîâîëîêè, îíè ðåøàëè ìãíîâåííî. Íà îáëîæêå ïðèâåäåíà òàêæå ñõåìà ïðîâîëî÷íîé ìîäåëè, íî íå äëÿ
òîãî, ÷òîáû âû åå èçãîòîâèëè, à ñ öåëüþ ïîìî÷ü âûáðàòü
âåòêè ïðàâèëüíîé êîíôèãóðàöèè.
Æåëàåì óñïåõà è ñîîáùàåì, ÷òî äðóãèå ãîëîâîëîìêè
Êèðèëëà Ãðåáíåâà (íå ìåíåå èíòåðåñíûå) îïóáëèêîâàíû â
«Êâàíòå» ¹1 çà 2007 ãîä è ¹3 çà 2005 ãîä.
À.Êàëèíèí