ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ îòïóñòÿò, îíà íàïîëîâèíó ñîñêîëüçíåò â ãîðèçîíòàëüíîå êîëåíî? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 ; ÷èñëî π = 3,14. Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t äëèíà âåðåâêè, îñòàâøåéñÿ â âåðòèêàëüíîì êîëåíå, ðàâíà x (ðèñ.9), òî ýíåðãèÿ ñèñòåìû èìååò âèä E= mx ¢2 mx x mx ¢2 mg x2 + + g = , 2 2 2 l l 2 ãäå mx l ìàññà êóñêà âåðåâêè â âåðòèêàëüíîì êîëåíå, x 2 âûñîòà öåíòðà òÿæåñòè ýòîãî êóñêà. Ïîñêîëüêó ýòî âûðàæåíèå èäåíòè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ ýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòîé ω = g l , à íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ, òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó x = l cos ωt (â íà÷àëüíûé ìîìåíò x0 = l ). Ýòà ôîðìóëà äåéñòâóåò òîëüêî â òå÷åíèå ÷åòâåðòè ïåðèîäà, ïîêà x íå îáðàòèòñÿ â íîëü, ò.å. ïîêà âñÿ âåðåâêà íå ñîñêîëüçíåò â ãîðèçîíòàëüíîå êîëåíî. ×òîáû íàéòè èñêîìîå âðåìÿ, íàäî ïîäñòàâèòü x = l 2 . Ðåøèâ óðàâíåíèå, ïîëó÷èì π π l t= = = 314 ìñ. 3ω 3 g Óïðàæíåíèÿ 1. Ñòåðæåíü äëèíîé l = 20 ñì èçîãíóëè â ôîðìå äóãè, ñîñòàâëÿþùåé 1/6 äëèíû îêðóæíîñòè, è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïëîñêîñòè. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 9,8 ì ñ2 .) 2. Òîíêîå êîëåñî ìàññîé M = 400 ã ñ íåâåñîìûìè ñïèöàìè ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Íà êîëåñå çàêðåïèëè ìàëåíüêèé ãðóç ìàññîé m = 100 ã. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ðàäèóñ êîëåñà R = 50 ñì. ( g = 10 ì ñ2 .) 3. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 2,5 ì ñîãíóëè ïîñåðåäèíå ïîä óãëîì 120o , ïðèêðåïèëè ê åãî êîíöàì îäèíàêîâûå ãðóçû è ïîâåñèëè ìåñòîì ñãèáà íà òîíêèé ãâîçäü, âáèòûé â ñòåíó. Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 10 ì ñ2 .) 4. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 40 ñì ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäèí èç åãî êîíöîâ. Ê ñåðåäèíå ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè ãðóç ìàññîé m = 0,5 êã, à ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ ! íèæíèé êîíåö ñòåðæíÿ ñ ïîìîùüþ ãîðèçîíòàëüíîé ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k = 30 Í ì ñîåäèíèëè ñ âåðòèêàëüíîé îïîðîé. Ïðè âåðòèêàëüíîì ðàñïîëîæåíèè ñòåðæíÿ ïðóæèíà íå äåôîðìèðîâàíà. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 9,8 ì ñ2 .) 5. Ñòåðæåíü ìàññîé m = Ðèñ. 10 = 0,5 êã è äëèíîé l = 40 ñì èçîãíóëè ïî äóãå îêðóæíîñòè â âèäå ïîëóêîëüöà è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè (ðèñ.10). Ê îäíîìó èç êîíöîâ ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè âåðòèêàëüíóþ íåäåôîðìèðîâàííóþ ïðóæèíó æåñòêîñòüþ k = 16 Í ì , âåðõíèé êîíåö êîòîðîé çàêðåïëåí. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, åñëè îñü âðàùåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ïîëóêîëüöà. ( g = 9,8 ì ñ2 .) 6. Òîíêîå êîëüöî ðàäèóñîì R = 0,1 ì ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäíó èç òî÷åê êîëüöà ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ïëîñêîñòè. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 9,8 ì ñ2 .) Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòå òîò ôàêò, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êîëüöà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé ðàâíà mvö2 , ãäå vö ñêîðîñòü öåíòðà êîëüöà. 7. Íåâåñîìûé ñòåðæåíü èçîãíóëè â âèäå äóãè, ñîñòàâëÿþùåé 1/3 äëèíû îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 5 ñì, è ñ ïîìîùüþ íåâåñîìûõ ñïèö ïðèêðåïèëè ê ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïëîñêîñòè. Ê êîíöàì ñòåðæíÿ ïðèêðåïèëè äâà îäèíàêîâûõ ãðóçà ìàññîé m = 40 ã êàæäûé. Ñòåðæåíü ðàâíîìåðíî çàðÿæåí ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ λ = 1ìêÊë ì è íàõîäèòñÿ â ïîëå íåïîäâèæíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà Q = 5 ìêÊë, ðàñïîëîæåííîãî ïîä îñüþ âðàùåíèÿ íà îäíîì óðîâíå ñ êîíöàìè ñòåðæíÿ. Íàéäèòå öèêëè÷åñêóþ ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. ( g = 10 ì ñ2 .) 8. Òîíêóþ öåïî÷êó äëèíîé l = 45 ñì óäåðæèâàþò çà âåðõíèé êîíåö íà ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåé óãîë α = 30o ñ ãîðèçîíòîì. ×åðåç êàêîå âðåìÿ (â ìñ) ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ öåïî÷êè îíà ïîëíîñòüþ ïîêèíåò íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, åñëè âíà÷àëå åå íèæíèé êîíåö íàõîäèëñÿ ó êðàÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè? ( g = 10 ì ñ2 ; π = 3,14.) ! ÊÎËËÅÊÖÈß ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ Êîëå÷êî íà âåòêå (Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñ. îáëîæêè) Íà êàæäîé âñòðå÷å èçîáðåòàòåëåé ãîëîâîëîìîê îáÿçàòåëüíî çâó÷èò ôðàçà: «Ñëîæíóþ ãîëîâîëîìêó ïðèäóìàòü ëåãêî, âû ïîïðîáóéòå èçîáðåñòè ïðîñòóþ » Ïàðàäîêñ ýòèõ ñëîâ ëèøü êàæóùèéñÿ èçîáðåòàòåëè ãîâîðÿò íå î òðóäíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è, îíà ïîäðàçóìåâàåòñÿ îáÿçàòåëüíîé, à ïðî ñëîæíîñòü êîíñòðóêöèè. Èìåííî òàêóþ ãîëîâîëîìêó ïðèäóìàë ìîñêâè÷ Êèðèëë Ãðåáíåâ, íåäàâíèé âûïóñêíèê Ðîññèéñêîãî õèìèêî-òåõíîëîãè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ä.È.Ìåíäåëååâà. Åãî èçîáðåòåíèå ñîñòîèò âñåãî èç äâóõ âåòî÷åê. Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ãîëîâîëîìêè ïîäîéäóò ñó÷êè ëþáîãî äåðåâà èëè êóñòàðíèêà, íî ëó÷øå âçÿòü èõ îò äóáà åãî âåòêè ñèëüíî êóñòÿòñÿ è ïðè÷óäëèâî èçîãíóòû. Ãîëîâîëîìêè ïîëó- ÷àþòñÿ íåïîõîæèìè äðóã íà äðóãà, áîëåå çàïóòàííûìè è òðóäíûìè â ðåøåíèè. Íà ñúåçäå ëþáèòåëåé ãîëîâîëîìîê â Õåëüñèíêè, ãäå Êèðèëë âïåðâûå ïîêàçàë ñâîå èçîáðåòåíèå, îíî áûëî ïðèçíàíî ñàìûì îðèãèíàëüíûì è èíòåðåñíûì. Äàæå çíàòîêè êðóòèëè âåòî÷êè â ðóêàõ ïî íåñêîëüêó ìèíóò, íå ïîíèìàÿ, êàê ìîæíî îòöåïèòü êîëå÷êî. Ëþáîïûòíî, ÷òî ýòó æå ãîëîâîëîìêó, íî ñäåëàííóþ èç ïðîâîëîêè, îíè ðåøàëè ìãíîâåííî. Íà îáëîæêå ïðèâåäåíà òàêæå ñõåìà ïðîâîëî÷íîé ìîäåëè, íî íå äëÿ òîãî, ÷òîáû âû åå èçãîòîâèëè, à ñ öåëüþ ïîìî÷ü âûáðàòü âåòêè ïðàâèëüíîé êîíôèãóðàöèè. Æåëàåì óñïåõà è ñîîáùàåì, ÷òî äðóãèå ãîëîâîëîìêè Êèðèëëà Ãðåáíåâà (íå ìåíåå èíòåðåñíûå) îïóáëèêîâàíû â «Êâàíòå» ¹1 çà 2007 ãîä è ¹3 çà 2005 ãîä. À.Êàëèíèí