Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2011 Çàäà÷è ïðî îòíîøåíèÿ Ïðåäèêàòîì âàëåíòíîñòè n A n íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî . Ïðåäèêàòû âàëåíòíîñòè 1 íàçûâàþòñÿ ñâîéñòâàìè, âàëåíòíîñòè 2 îòíîøåíèÿìè. 1. ×òî òàêîå ïðåäèêàò âàëåíòíîñòè 0? Ñêîëüêî èõ? 2. Ïóñòü ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç k Îòíîøåíèé? Ïðåäèêàòîâ âàëåíòíîñòè ýëåìåíòîâ. Ñêîëüêî íà í¼ì ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ? n? x Äëÿ çàïèñè òîãî, ÷òî äâà ýëåìåíòà ïèøóò xRy . y è ëåæàò â îòíîøåíèè R Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ ðåôëåêñèâíûì, åñëè âñåãäà âûïîëíåíî xRy øåíèå íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè èç âàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, åñëè èç xRy è yRz âñåãäà ñëåäóåò âñåãäà ñëåäóåò xRz . yRx. (x, y) ∈ R xRx. Îòíî- âìåñòî Îòíîøåíèå íàçû- Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè, åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî. 3. Äîêàæèòå, ÷òî íè îäíî òðåáîâàíèå â îïðåäåëåíèè îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ ëèøíèì: íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íîå, òðàíçèòèâíîå, íî íå ðåôëåêñèâíîå îòíîøåíèå. Îñíîâíàÿ òåîðåìà îá îòíîøåíèÿõ ýêâèâàëåíòíîñòè ãëàñèò, ÷òî åñëè íà ìíîæåñòâå çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, òî âñ¼ ìíîæåñòâî ðàçáèâàåòñÿ íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. (Ò.å. ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ, òàê ÷òî äâà ýëåìåíòà ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëåæàò â îäíîì è òîì æå ïîäìíîæåñòâå.) 4. ßâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè? Åñëè äà, òî óêàæèòå, íà êàêèå êëàññû ðàçáèâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà: a) b) c) d) . |x − y|..k íà ìíîæåñòâå Z, ãäå k ∈ N, k > 0; {((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) | x1 − x2 = y1 − y2 } íà ïëîñêîñòè; |x − y| < 1 íà R; {(AB, CD) | ABDC ïàðàëëåëîãðàìì, âîçìîæíî, âûðîæäåííûé} (íà ìíîæåñòâå íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ, âîçìîæíî âûðîæäåííûõ, íà ïëîñêîñòè) e) f) g) h) i) j) xky íà ìíîæåñòâå âñåõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè; xky èëè x = y íà ìíîæåñòâå âñåõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè; x ãîìîòåòè÷åí y íà ìíîæåñòâå âñåõ òðåóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè; x ïîäîáåí y íà ìíîæåñòâå âñåõ òðåóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè; Èç x ñóùåñòâóåò ïóòü â y íà ìíîæåñòâå âñåõ âåðøèí íåêîòîðîãî ãðàôà; Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü an −bn áåñêîíå÷íî ìàëà (íà ìíîæåñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë); k) f è l) f è g g ðàâíû â íóëå íà ìíîæåñòâå âñåõ ôóíêöèé èç â R; ðàâíû â íåêîòîðîé òî÷êå íà ìíîæåñòâå âñåõ ôóíêöèé èç 5. Èçâåñòíî, ÷òî Ìîæåò ëè R R R R â R? îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå èç 5 ýëåìåíòîâ. ñîäåðæàòü (êàê ïîäìíîæåñòâî A × A) 1 16 ïàð? À 17? 6. Ïóñòü RèS ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A. ßâëÿþòñÿ R∪S è R∩S ? Åñëè äà, òî êàê ñâÿçàíû êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ íèõ ñ êëàññàìè äëÿ R è S ? Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì, åñëè èç aRb è aRc âñåãäà ñëåäóåò bRc. ëè òàêîâûìè îòíîøåíèÿ 7. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ðåôëåêñèâíî è åâêëèäîâî. 8. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ñèììåòðè÷íîãî è åâêëèäîâà, íî íåðåôëåêñèâíîãî îòíîøåíèÿ íà N. Ìîæåòå ëè âû îïèñàòü âñå òàêèå îòíîøåíèÿ? Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íûì, åñëè èç xRy è yRx ñëåäóåò x = y. Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì (÷àñòè÷íîãî) ïîðÿäêà, åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, àíòèñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî. Ïîðÿäîê íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè, êðîìå òîãî, ëþáûå äâà ýëåìåíòà ñðàâíèìû (äëÿ ëþáûõ xèy âåðíî xRy èëè yRx). (×àñòè÷íî) óïîðÿäî÷åí- íûì ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ñ çàäàííûì íà í¼ì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà. Îáîçíà÷åíèå: hA, Ri. Åñëè ïîðÿäîê ëèíååí, òî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî óïîðÿäî- ÷åííûì. 9. Ïðîâåðüòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ óïîðÿäî÷åííûìè. Êàêèå èç íèõ óïîðÿäî÷åíû ëèíåéíî? a) b) c) hA, =i, hA, 6i, hA, >i, ãäå ãäå A A A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî; îäíî èç ìíîæåñòâ N, Z, Q, R; N, Z, Q, R; ãäå îäíî èç ìíîæåñòâ . . d) hN, .i; A e) h2 , ⊂i, ãäå A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî; 2 f ) hR , 6lex i, ãäå (x1 , y1 ) 6lex (x2 , y2 ), åñëè x1 < x2 èëè x1 2 g) hR , 6i, ãäå (x1 , y1 ) 6 (x2 , y2 ), åñëè x1 6 x2 è y1 6 y2 . = x2 è y1 < y2 ; 10. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ñ÷¼òíîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ìîæíî äîóïîðÿäî÷èòü R ëèíåéíî. (Ò.å. äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà ðÿäêà S, òàêîå ÷òî R ⊂ S .) 6. x6y Ïóñòü äàíî îòíîøåíèå ïîðÿäêà ðÿäêà < ñóùåñòâóåò îòíîøåíèå ëèíåéíîãî ïî- ïî ïðàâèëó: x < y, åñëè Ïî íåìó îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîè x 6= y . 11. Ñôîðìóëèðóéòå àêñèîìû ñòðîãîãî ïîðÿäêà, ò.å. íàáîð åãî ñâîéñòâ, ýêâèâàëåíò- íûé ðåôëåêñèâíîñòè, àíòèñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ 6. 12. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå íåñòðîãîãî ïîðÿäêà ÷åðåç îòíîøåíèå ñòðîãîãî. Ïóñòü íà R2 çàäàíî îòíîøåíèå (x1 , x2 ) < (y1 , y2 ), åñëè x1 < y1 è x2 < y2 . Êàêîìó îòíîøåíèþ íåñòðîãîãî ïîðÿäêà îíî ñîîòâåòñòâóåò? Ñîâïàäàåò ëè ýòî îòíîøåíèå ñ îòíîøåíèåì èç çàäà÷è 9g? hA, 6A i è hB, 6B i íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè f : A → B , òàêàÿ ÷òî x 6A y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f (x) 6B Äâà óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ f (y). 13. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò íåèçîìîðôíûõ ïîðÿäêîâ íà ìíîæåñòâå èç 3 ýëåìåíòîâ? Èç 4 ýëåìåíòîâ? 2 x óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà hA, 6A i íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì, åñëè äëÿ y ∈ A âûïîëíåíî x 6A y , è ìèíèìàëüíûì, åñëè íåò y ∈ A, òàêîãî ÷òî y <A x. Ýëåìåíò ëþáîãî Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íàèáîëüøèé è ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíòû. 14. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìíîæåñòâà, â êîòîðîì äâà ìèíèìàëüíûõ ýëåìåíòà. Ìîæåò ëè â ìíîæåñòâå áûòü äâà íàèìåíüøèõ ýëåìåíòà? 15. Äîêàæèòå, ÷òî íàèìåíüøèé ýëåìåíò âñåãäà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ìèíèìàëü- íûì ýëåìåíòîì. 16. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìíîæåñòâà, â êîòîðîì åäèíñòâåííûé ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò íå ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì. 17. Äîêàæèòå, ÷òî â ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâàõ ìèíèìàëüíûé è íàèìåíü- øèé ýëåìåíò ýòî îäíî è òî æå. 18. Äîêàæèòå, ÷òî â èçîìîðôíûõ ìíîæåñòâàõ êîëè÷åñòâà ìèíèìàëüíûõ è íàèìåíü- øèõ ýëåìåíòîâ ñîâïàäàþò. Ñóììîé A+B äî÷åííîå ìíîæåñòâî è x 6A y ; x, y ∈ B hA, 6A i è hB, 6B i íàçûâàåòñÿ óïîðÿx 6C y â îäíîì èç òð¼õ ñëó÷àåâ: x, y ∈ A äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ è hC, 6C i, ãäå C = A t B , a x 6B y èëè x ∈ A è y ∈ B . 19. Äîêàæèòå, ÷òî ñëîæåíèå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ àññîöèàòèâíî, íî íå êîììó- òàòèâíî. 20. Ïóñòü A + N èçîìîðôíî N. Äîêàæèòå, ÷òî A êîíå÷íîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. hA, 6A i è hB, 6B i íàçûâàåòñÿ hC, 6C i, ãäå C = A×B , à (x1 , y1 ) 6C (x2 , y2 ), åñëè x1 <A x2 èëè x1 = x2 è y1 6B y2 . Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì A × B äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ hA, 6A i è hB, 6B i íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî hC, 6C i, ãäå C = A × B , à (x1 , y1 ) 6C (x2 , y2 ), åñëè x1 6A x2 è y1 6B y2 . Ïðîèçâåäåíèåì A·B äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî 21. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå àññîöèàòèâíû, íî íå êîì- ìóòàòèâíû. Âåðíû ëè äëÿ íèõ ïðàâàÿ è ëåâàÿ äèñòðèáóòèâíîñòè? 22. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè B + B + · · · + B (k A êîíå÷íî è ñîñòîèò èç k ýëåìåíòîâ, òî A·B èçîìîðôíî ðàç). 23. Ïðèäóìàéòå ïîäìíîæåñòâî R, N · N. ìíîæåñòâà Q, Q ∩ (0, 1), Q ∩ (0, ∞) êîòîðîìó èçîìîðôíî 24. Ïîñòðîéòå ïîïàðíûå èçîìîðôèçìû ìåæäó è Q2 = { 2kn | k ∈ Z, n ∈ N }. Ïîðÿäîê íàçûâàåòñÿ ïëîòíûì, åñëè äëÿ âñåõ x<y íàéä¼òñÿ z , òàêîå ÷òî x < z < y . 25. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáûå äâà ñ÷¼òíûõ ïëîòíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà áåç íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî ýëåìåíòîâ èçîìîðôíû. A, A · A? 26. Ìîæåò ëè ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ìåíòà, áûòü èçîìîðôíûì A + A? À èçîìîðôíûì â êîòîðîì áîëüøå îäíîãî ýëå- 27. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáûå äâà ñ÷¼òíûõ ïëîòíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà ñ íàèìåíüøèì è íàèáîëüøèì ýëåìåíòàìè èçîìîðôíû. 28. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå ñ÷¼òíîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî èçîìîðôíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. 29. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâà R, R + R è 3 R·R ïîïàðíî íå èçîìîðôíû.