П «Л », Линейные операторы.

–1–
ПРОГРАММА
«ЛИНЕЙНАЯ И ОБЩАЯ АЛГЕБРА»,
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА. 2 СЕМЕСТР, 2013/2014 УЧ. ГОД.
Линейные операторы. Определение линейного оператора, примеры, простейшие
свойства. Действия над линейными операторами, их свойства. Матрица линейного
оператора, связь координат образа и прообраза. Свойства матрицы линейного оператора.
Определитель линейного оператора. Примеры.
Ядро и образ линейного оператора, свойства. Связь размерностей ядра и образа.
Ранг линейного оператора, связь с рангом его матрицы.
Обратимый линейный оператор, его обратный. Критерии обратимости, общий и
конечномерный, критерий необратимости.
Спектральная теория линейных операторов. Собственный вектор, собственное
значение (число). Примеры. Спектр конечномерного линейного оператора. Критерий
принадлежности числа спектруХарактеристический многочлен и его свойства, примеры.
Алгебраическая кратность собственного значения. Собственное подпространство,
геометрическая кратность. Связь алгебраической и
геометрической кратностей.
Простейшие теоремы о не пустоте спектра. Теорема Гамильтона-Кэли.
Операторы простой структуры, критерий. Линейная независимость системы
собственных векторов, отвечающих различным собственным числам. Достаточное
условие и критерий для оператора простой структуры.
Жорданова клетка и жорданова нормальная форма матрицы. Жорданов базис.
Цепочки векторов. Критерий линейной независимости семейства цепочек. Элементарные
преобразования цепочек векторов, их простейшие свойства. Существование базиса,
состоящего из цепочек векторов в случае единственного корня характеристического
многочлена. Единственность жордановой нормальной формы, связь числа жордановых
клеток с рангами степеней матриц линейного оператора, теорема Жордана.
Инвариантное подпространство, примеры инвариантных подпространств.
Существование инвариантных подпространств в комплексном и вещественном случае.
Следствие о паре векторов, отвечающих невещественному корню характеристического
многочлена. Индуцированный оператор, примеры.
Корневое
подпространство.
Свойства
корневых
подпространств
и
индуцированного оператора. Теорема Жордана (Все без доказательства).
Линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженный оператор,
матричное условие самосопряженности. Свойства самосопряженного оператора: о корнях
характеристического многочлена; о собственных векторах самосопряженного оператора;
об индуцированном операторе; об ортогональном дополнении к инвариантному
подпространству. Спектральная теорема для самосопряженного оператора, ее матричная
формулировка. Приведение квадратичной формы к главным осям, пример. Пример
преобразования уравнения линии и поверхности второго порядка к канонической форме.
Общая алгебра. Бинарная (алгебраическая) операция, ее форма записи. Таблица
Кэли. Группоид. Полугруппа. Примеры. Обобщенная ассоциативность. Нейтральный
элемент, моноид, примеры. Обратимый элемент. Группа, абелева группа, примеры.
Подгруппа. Циклическая группа. Изоморфизм групп. Теорема единственности
циклических групп. Нормальный делитель, классы смежности. Теорема Лагранжа.
Фактор-группа, определение, свойства, примеры.
КУРСА
–2–
Кольцо, определения, примеры. Кольцо (Zm, , ) классов вычетов по модулю m.
Делители нуля и обратимые элементы, их свойства. Тело, тело кватернионов. Поле, поле
классов вычетов, примеры полей.
ЛИТЕРАТУРА
1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры, изд. 6–11. М.: Наука, 1958–1975.
2. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977; Физ.-мат. лит., 2000, часть 1-3.
3. И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971-2001.
4. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра, изд. 1–3. М.: Наука, 1974–1984.
5. Л.А. Калужнин. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1977.
6. А.В. Козак, В.С. Пилиди. Линейная алгебра. М. Вузовская книга, 2001.
7. В.Д. Кряквин. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006,
2007.