Программа курса :«Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Группа АМ-05-6, 2 семестр.

Программа курса :«Линейная алгебра и аналитическая
геометрия»
Группа АМ-05-6, 2 семестр.
1. Линейный оператор. Действия над операторами. Пространство операторов. Образ и
ядро оператора (подпространства). Ранг и дефект. Их свойства.(Сумма ранга и
дефекта- размерность пространства, неравенства, связанные с рангом произведения. )
2. Обратный оператор. Условия существования обратного оператора.( Нулевое ядро,
ранг равен размерности пространства , невырожденность ).
3. Линейный оператор в конечномерном пространстве . Матричное представление
линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при смене
базиса. Подобные матрицы.
4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Собственные
подпространства. Линейная независимость собственных векторов с разными
собственными значениями. Оператор простой структуры.
5. Характеристический многочлен линейного оператора. Его коэффициенты ( при двух
старших степенях и свободный член ). Инвариантность характеристического
многочлена, определителя и следа матрицы оператора относительно выбора базиса.
Характеристическое уравнение . Нахождение собственных значений и собственных
векторов оператора.
6. Инвариантные подпространства . Примеры инвариантных подпространств ( включая
Ker Pn(A) и ImPn(A)) . Теорема о характеристическом многочлене сужения оператора
на инвариантное подпространство .Матрица линейного преобразования клеточнодиагональна т. и т.т., когда базис есть объединение базисов инвариантных
подпространств.
7. Если операторы А и В перестановочны, то ядро и образ одного из них инвариантны
относительно другого.
8. Связь кратности корня характеристического уравнения и размерности
соответствующего собственного подпространства.
9. Линейный оператор диагонализуем т. и т.т. , когда р(А)=0 , где р(t) – некоторый
многочлен без кратных ( а для действительного линейного пространства и без
комплексных ) корней, причем все собственные значения оператора – корни
многочлена.
10. Теорема Гамильтона-Кэли.
11. Теорема о разложении комплексного линейного пространства в прямую сумму
корневых подпространств оператора А .Обоснование названия ; «корневое
подпространство». Вложение собственного подпространства в соответствующее
корневое подпространство.
12. Строение корневого подпространства. Нильпотентные операторы, показатель
нильпотентности. Высота вектора. Присоединенные вектора. Жорданова цепочка.
Циклические подпространства. Жорданов базис корневого подпространства.
Жорданов базис всего пространства. Жорданова клетка. Жордановы форма матрицы.
Теорема Жордана.
13. Приведение к жордановой форме.
14. Теорема о существовании базиса комплексного линейного пространства , в котором
матрица оператора верхнетреугольна ..
15. Аналог жордановой формы в действительном линейном пространстве.
16. Унитарное (эрмитово) пространство. Сопряженный оператор ( его существование и
единственность ).
17. Свойства сопряженного оператора. Матрица сопряженного оператора ( в
произвольном базисе ).
18. Сопряженный оператор для оператора проектирования.
19. Нормальный оператор. Характеристическое свойство нормального оператора.
Матрица нормального оператора.
20. Унитарный оператор и унитарная матрица. Эквивалентные определения.
21. Эрмитов оператор и его собственные значения. Эрмитова матрица. Положительные
операторы. Квадратный корень из неотрицательного оператора. Полярное разложение
оператора .
22. Операторы в евклидовом пространстве. Канонический вид матрицы нормального
оператора.
23. Ортогональные операторы и матрицы. Эквивалентные определения.
24. Симметричные операторы. Свойства . Матрица симметричного оператора.
25. Билинейные формы. Представление билинейной формы в виде суммы симметричной и
кососимметричной . Преобразование матрицы билинейной формы при смене базиса.
26. Квадратичные формы. Их связь с билинейными формами(Полярная билинейная
форма. Связь со скалярным произведением .) Матрица квадратичной формы.
27. Канонический вид квадратичной формы . Приведение квадратичной формы к
каноническому виду методом Лагранжа .
28. Канонический вид квадратичной формы .Приведение квадратичной формы к
каноническому виду методом Якоби.
29. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции.
30. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
31. Связь множества всех линейных форм на евклидовом пространстве Е с самим
пространством Е. Связь пространства линейных операторов на Е с множеством
билинейных форм. Теорема о приведении к главным осям.
32. Теорема о приведении к каноническому виду пары форм.
33. Кривые и поверхности второго порядка. Приведение уравнения поверхности (кривой)
к каноническому виду ( без уравнений центра).
34. Кривые и поверхности второго порядка. Центр поверхности. Уравнения центра.
Центральные поверхности.
35. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Конические и
цилиндрические поверхности. Прямолинейные образующие однополостного
гиперболоида и гиперболического параболоида.
36. Инварианты кривых и поверхностей второго порядка.
Список литературы.
1. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк Аналитическая геометрия.
2. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк .Линейная алгебра.
3. В.Т.Харин, Ю.И.Сухарев . Линейная алгебра и аналитическая
геометрия.
4. А.И.Кострикин. Линейная алгебра ( Введение в алгебру , т.2).
5. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.
6. Винберг Э.Б. Курс алгебры.
7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.
8. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры.
9. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.
10. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.
11. И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре.
12. Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии.
13. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре.