1 семестр - НФИ КемГУ
реклама
Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета Кафедра математики и математического моделирования Факультет информационных технологий РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины ЕН.Ф «ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА» (шифр и наименование дисциплины по рабочему учебному плану ООП) для специальности (080801)«Прикладная информатика в экономике» (шифр и название специальности) для ____очной, заочной формы обучения Составитель(и)/разработчик(и) программы Эптешева С.В., ст. преподаватель (Ф.И.О., должность и степень) Новокузнецк Рабочая программа учебной дисциплины составлена на основании требований государственного образовательного стандарта высшего образования по специальности 080801 «Прикладная информатика в экономике» (название типовой программы, дата ее утверждения УМО по специальности) Рабочая программа учебной дисциплины обсуждена на заседании кафедры математики и математического моделирования факультета информационных технологий Протокол № 1 от « 28 » _____08______2006г. Зав. кафедрой ___________________ ___________Казаков С.П. (подпись) Рабочая программа учебной дисциплины согласована с выпускающей кафедрой Кафедра Специальность Ф.И.О. заведуСогласовано ющего кфедрой Дата Подпись Информацинных Прикладная информа-Каледин В.О. систем и управле- тика в экономике ния Одобрено методической комиссией факультета информационных технологий Протокол № 1 от « 06 » ________09________ 2006г. Председатель методической комиссии _____________________________Ермак Н.Б. (подпись) Учебно-методическое обеспечение дисциплины Основная и дополнительная учебная литература Лист-вкладка рабочей программы учебной дисциплины Геометрия и алгебра, ЕН, федеральный название дисциплины, цикл, компонент Список основной учебной литературы *Указания о контроле на момент переутверждения программы Дата Внесение, продление или исключение / Подпись отв. за метод работу 1 2 Внесение Наименование, гриф Автор 3 1. Аналитическая геометрия: учебник. – М.: Академия, 2007. – 272 с. Рекомендовано УМО 4 Канатников А.Н., Крищенко А.П. 5 2007 Соответствие ГОС (для федеральных дисциплин) или соответствия требованиям ООП (для региональных и вузовских) - указание на недостаточно отраженные в учебнике разделы 6 Соответствует ГОС 2. Линейная алгебра. – Издание 6-е, стереотипное. – М.: Физматлит, 2007. – 280 с. – Курс высшей математики и математической физики. Гриф МО «Рекомендовано» Ильин В.А. 2007 Соответствует ГОС Сведения об учебниках Год издания Количество экземпляров в библиотеке на момент переутверждения программы 50 7 40 СОДЕРЖАНИЕ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1 Пояснительная записка 1.2 Виды занятий, формы контроля 1.3 Уровни освоения дисциплины и критерии оценки на экзамене и зачете 1.4 Материалы, определяющие порядок и содержание проведения промежуточных и итоговых аттестаций в соответствии с требованиями ГОС 1.5 Учебно-тематический план 1.6 Содержание разделов дисциплины 1.7 Средства обучения 1.8 Методические рекомендации преподавателям 2 ТЕМАТИКА И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ СТУДЕНТУ ПО ПОДГОТОВКЕ К СЕМИНАРСКИМ И ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ 2.1 Тематика практических занятий 2.2 Методические указания студенту по подготовке к практическим занятиям 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ СТУДЕНТУ ПО ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ График самостоятельной работы студентов 3.1 Указания по выполнению самостоятельной работы 3.2 Указания по оформлению работ 3.3 Формы текущего, промежуточного и итогового контроля 3.4 Требования к уровню освоения программы 4 ЗАДАНИЯ ПО УСТАНОВЛЕННЫМ ФОРМАМ КОНТРОЛЯ 4.1 Задания к практическим занятиям (1 семестр) для очной формы обучения 4.2 Задания к практическим занятиям (2 семестр) для очной формы обучения 4.3 Задания к практическим занятиям для заочной формы обучения 4.4 Семестровые задания 4.5 Контрольная работа для заочной формы обучения 4.6 Вопросы и задачи для подготовки к экзамену 5 БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» 1.1 Пояснительная записка Дисциплина «Геометрия и алгебра» для студентов специальности 080801 «Прикладная информатика в экономике» входит в состав Государственного Образовательного Стандарта Высшего Профессионального Образования (ГОС ВПО). Ее место – в ряду общих математических и естественнонаучных дисциплин федерального компонента учебного плана. Изучение дисциплины «Геометрия и алгебра» для специальности «Прикладная информатика в экономике» проводится на первом курсе. Это обусловлено тем, что данный курс является основой для успешного освоения последующих общематематических дисциплин. Выписка из ГОС ВПО специальности «Прикладная математика в экономике» ЕН.Ф. Геометрия и алгебра Алгебраические структуры, векторные пространства, линейные отображения; аналитическая геометрия, многомерная геометрия кривых и поверхностей. 190 Целью изучения курса «Геометрия и алгебра» является отработать навыки геометрического и оперативного представления аналитических задач (и наоборот) с точки зрения приложений, а более того – как базу для дальнейшего изучения задач и представлений в линейных пространствах более сложного строения (унитарных, функциональных), а также новых типов исчислений (алгебра операторов, прикладные методы общей алгебры и теории групп и др.). Она является составной частью общей цели ООП – подготовить высококвалифицированных специалистов – информатиков для работы в отраслях народного хозяйства, научных и учебных заведениях соответствующего профиля. Содержание курса требует знания школьной программы общематематических дисциплин (алгебры и начала анализа, геометрии, стереометрии) и существенно расширяет и углубляет знания, полученные студентами при изучении этой дисциплины. В задачи курса входит изучение основ алгебры и геометрии. В результате изучения теоретического курса студент должен знать и уметь использовать: основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов, аналитическое решение алгебраических уравнений, методику построения алгебраических структур, внутреннюю логику, связывающую линейную алгебру и аналитическую геометрию; приобрести навыки исследования и решения задач алгебры и аналитической геометрии. После изучения курса студент должен уметь исследовать и решать задачи алгебры и аналитической геометрии. 1.2 Виды занятий, формы контроля Курс «Геометрия и алгебра» для специальности «Прикладная информатика в экономике» состоит из теоретических и практических занятий. Теоретические занятия проводятся в форме лекций. Практические занятия проводятся в формах – групповое и индивидуальное решение задач по темам курса. Самостоятельная работа студентов осуществляется в выполнении семестровых заданий, приведенных в методических указаниях к практическим занятиям. По дисциплине осуществляется текущий контроль в форме проверки контрольных вопросов и работ Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» по практическим занятиям, а также промежуточный контроль в виде тестирования после изучения очередной темы. Семестр 1 2 Семестр 1 2 Виды учебных занятий (ПИЭ, ПИЭС) Аудиторные Внеаудиторные Лекции Практика Контроль- Курсовая Самостояная тельная работа 36 36 23 16 18 61 - Форма контроля Виды учебных занятий (ПИЭЗ) Аудиторные Внеаудиторные Лекции Практика Контроль- Курсовая Самостояная тельная работа 4 6 85 6 8 81 + - Форма контроля экзамен экзамен экзамен экзамен Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» ПРИЛОЖЕНИЕ Изменения в учебном плане группы ПИЭ-07 Семестр 1 2 Семестр 1 2 Виды учебных занятий (ПИЭ, ПИЭС) Аудиторные Внеаудиторные Лекции Практика Контроль- Курсовая Самостояная тельная работа 36 36 58 16 18 26 - Форма контроля Виды учебных занятий (ПИЭЗ) Аудиторные Внеаудиторные Лекции Практика Контроль- Курсовая Самостояная тельная работа 6 6 118 6 8 46 + - Форма контроля экзамен экзамен экзамен экзамен Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» 1.3 Уровни освоения дисциплины и критерии оценки на экзамене и зачете Для успешного использования аппарата Геометрии и алгебры в практической деятельности студент должен усвоить дисциплину в объеме тематического плана и получить практические навыки решения задач аналитической геометрии и линейной алгебры. Удовлетворительным является уровень освоения дисциплины, при котором студент усваивает: - теоретические сведения: система линейных алгебраических уравнений и ее решение (метод Крамера и схема Гаусса), линейное пространство (определение), скалярное произведение в пространстве с единичной метрикой, понятие линейного оператора, евклидова норма, понятие линейного функционала, билинейного функционала, методы приведения квадратичного функционала к каноническому виду, кривые и поверхности второго порядка. - практические навыки решения систем линейных алгебраических уравнений, определение линейной независимости системы векторов, решение задач аналитической геометрии в пространстве с единичной метрикой. Хорошим является уровень освоения дисциплины, при котором студент дополнительно усваивает: - теоретические сведения: схема Гаусса решения СЛАУ при ненулевом дефекте, примеры линейных пространств, скалярное произведение в линейных пространствах, сопряженное линейное пространства, взаимный базис, связь между линейным функционалом и билинейным. - практические навыки вычисления нормы элемента, критерии линейной независимости системы векторов в конкретных линейных пространствах, построение взаимного базиса. Отличным является уровень освоения дисциплины, при котором студент показывает знакомство с дополнительной литературой и способность применять аппарат Геометрии и алгебры для решения задач аналитической геометрии в пространстве с неединичной метрикой. Настоящая рабочая программа предусматривает межсессионную аттестацию, выполнение семестровой работы к зачетной неделе (с защитой), текущее тестирование после изучения темы и экзамен. Критерием оценки в межсессионную аттестацию является выполнение «пятиминуток» по контрольным вопросам и практических работ, а также тестирование по пройденным темам. Критерий оценки на экзамене складывается из следующих показателей: - уровень усвоения теоретических знаний, показанный при ответе на вопросы по билету (применяются критерии, указанные выше); - уровень практических навыков, контролируемый качеством выполнения практических заданий, предложенных на экзамене. Оценка «Отлично» на экзамене ставится при отличном ответе на теоретические вопросы при условии успешной защиты семестровой работы, предусмотренной данной рабочей программой. Оценка «Хорошо» ставится, если студент показывает хорошие теоретические знания при отличных или хороших практических навыках и при условии успешной защиты семестровой работы, предусмотренных данной рабочей программой. Оценка «Удовлетворительно» ставится, если теоретическая или практическая подготовка студента соответствует удовлетворительному уровню, при условии защиты семестровой работы, предусмотренной данной рабочей программой. Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» Оценка «Неудовлетворительно» ставится, если теоретическая или практическая составляющая ниже удовлетворительного уровня, а также в случае наличия незащищенной семестровой работы, предусмотренной данной рабочей программой. 1.4 Материалы, определяющие порядок и содержание проведения промежуточных и итоговых аттестаций в соответствии с требованиями ГОС Материалы, определяющие порядок и содержание проведения промежуточных и итоговых аттестаций, соответствуют требованиям ГОС, приказам, распоряжениям и рекомендациям МО РФ, учебно-методического управления КемГУ и учебнометодического отдела НФИ КемГУ. Материалы, определяющие порядок и содержание промежуточной и итоговой аттестаций, включают: 1. График самостоятельной работы, определяющий сроки и форму текущих и промежуточных аттестаций. 2. Расписание зачетов и экзаменов, определяющее сроки итоговой аттестации. 3. Материалы, определяющие содержание аттестации, включающие: - Вопросы на экзамен; - Задания для самостоятельной практической работы по темам; - Промежуточное тестирование; - Экзаменационные билеты и задачи на экзамен. Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» 1.5 Учебно-тематический план рабочей программы учебной дисциплины Объем часов Примечания, дополнительные Аудиторная работа указания, методиНазвание и содерСамоЛабоческие материалы, № жание разделов, ОбстояПракти- ратортехнические средЛектем, модулей щий тельная ства и др., необхоческие ные ции работа занятия занядимые для учебной работы тия 1 2 3 4 5 6 7 8 Очная форма обучения (ПИЭ, ПИЭС) 1 семестр Тема 1 Алгебраические структуры 1.1 Алгебраические структуры: группа, поле, кольцо 5 2 2 - 1 2 2 2 2 4 2 - 2 3 2 2 - - - 4 2 2 - - 6 2 2 - 2 3 2 - - 1 5 2 - 2 - 1 Тема 2 Аналитическая геометрия 2.1 2.2 2.3 Матричное исчисление Определители СЛАУ 4 8 7 Тема 3 Векторные пространства 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Линейные пространства Линейная независимость Скалярное произведение Базисы и координаты Векторное произведение Смешанное произведение Линейное многообразие. Типовые задачи линейной геометрии 2 4 2 5 2 2 - 1 8 2 2 - 4 Тема 4 Линейные отображения (операторы) 4.1 Линейные операторы 4.2 Алгебра линейных операторов Собственные числа и собственные векторы линейного оператора Преобразование базиса Нормированные и метрические пространства. Норма линейного оператора Линейный функционал на линейном пространстве. Сопряженное пространство 4.3 4.4 4.5 4.6 Итого по 1 семестру: 5 2 2 - 1 2 2 - - - 5 2 2 - 1 6 2 4 - - 7 2 4 - 1 9 2 4 - 3 95 36 36 - 23 Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» 2 семестр Тема 5 Билинейные и квадратичные формы 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Билинейные функционалы Квадратичный функционал Метод Лагранжа приведения квадратичного функционала к каноническому виду Квадратичный функционал в главных осях (в собственном базисе) Кривые и поверхности второго порядка 15 2 4 - 9 13 2 2 - 9 13 2 2 - 9 13 2 2 - 9 13 2 2 - 9 Тема 6 Многомерная геометрия кривых и поверхностей 6.1 6.2 6.3 Элементы дифференциальной геометрии кривых Сопровождающий базис Элементы дифференциальной геометрии поверхностей 6 2 - - 4 11 2 4 - 5 9 2 2 - 5 Итого по 2 семест95 16 18 61 ру: Итого по курсу 190 52 54 84 Рекомендации к перезачету и переаттестации при обучении в сокращенные сроки (дисциплина в целом, разделы и темы) Применяются общие требования к перезачету и переаттестации Формы контроля Промежуточное тестирование Экзамен – 1 семестр. Экзамен – 2 семестр Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» Заочная форма обучения (ПИЭЗ) 1 семестр 1 2 Алгебраические структуры. Аналитическая геометрия Векторные пространства Итого по 1 семестру: 2 семестр 1 Линейные операторы 2 Билинейные функционалы. Квадратичные формы Многомерная геометрия кривых и поверхностей 3 36 2 2 - 32 59 2 4 - 53 95 4 6 - 85 15 2 2 - 22 13 2 4 - 37 13 2 2 - 22 Итого по 2 семест95 6 8 81 ру: Итого по курсу 190 10 14 166 Рекомендации к перезачету и переаттестации при обучении в сокращенные сроки (дисциплина в целом, разделы и темы) Применяются общие требования к перезачету и переаттестации Формы контроля Промежуточное тестирование Экзамен – 1 семестр. Экзамен, контрольная работа – 2 семестр Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» ПРИЛОЖЕНИЕ Изменения в учебно-тематическом плане рабочей программы учебной дисциплины для группы ПИЭ-07 Объем часов Примечания, дополнительные Аудиторная работа указания, методиНазвание и содерСамоЛабоческие материалы, № жание разделов, ОбстояПракти- ратортехнические средЛектем, модулей щий тельная ства и др., необхоческие ные ции работа занятия занядимые для учебной работы тия 1 2 3 4 5 6 7 8 Очная форма обучения (ПИЭ, ПИЭС) 1 семестр Тема 1 Алгебраические структуры 1.1 Алгебраические структуры: группа, поле, кольцо 6 2 2 - 2 2 2 2 2 4 2 - 2 4 4 3 2 - - 2 6 2 2 - 2 9 2 2 - 5 5 2 - - 3 8 2 - 5 - 4 Тема 2 Аналитическая геометрия 2.1 2.2 2.3 Матричное исчисление Определители СЛАУ 6 10 8 Тема 3 Векторные пространства 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Линейные пространства Линейная независимость Скалярное произведение Базисы и координаты Векторное произведение Смешанное произведение Линейное многообразие. Типовые задачи линейной геометрии 2 7 2 8 2 2 - 4 10 2 2 - 6 Тема 4 Линейные отображения (операторы) 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Линейные операторы Алгебра линейных операторов Собственные числа и собственные векторы линейного оператора Преобразование базиса Нормированные и метрические пространства. Норма линейного оператора Линейный функционал на линейном пространстве. Сопряженное пространство Итого по 1 семестру: 6 2 2 - 2 3 2 - - 1 7 2 2 - 3 7 2 4 - 2 9 2 4 - 3 10 2 4 - 4 130 36 36 - 58 Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» 2 семестр Тема 5 Билинейные и квадратичные формы 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Билинейные функционалы Квадратичный функционал Метод Лагранжа приведения квадратичного функционала к каноническому виду Квадратичный функционал в главных осях (в собственном базисе) Кривые и поверхности второго порядка 9 2 4 - 3 7 2 2 - 3 7 2 2 - 3 7 2 2 - 3 9 2 2 - 4 Тема 6 Многомерная геометрия кривых и поверхностей 6.1 6.2 6.3 Элементы дифференциальной геометрии кривых Сопровождающий базис Элементы дифференциальной геометрии поверхностей 5 2 - - 3 9 2 4 - 3 9 2 2 - 4 Итого по 2 семест60 16 18 26 ру: Итого по курсу 190 52 54 84 Рекомендации к перезачету и переаттестации при обучении в сокращенные сроки (дисциплина в целом, разделы и темы) Применяются общие требования к перезачету и переаттестации Формы контроля Промежуточное тестирование Экзамен – 1 семестр. Экзамен – 2 семестр Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» Заочная форма обучения (ПИЭЗ) 1 семестр 1 2 3 Алгебраические структуры. Аналитическая геометрия Линейное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Прямая, плоскость. Типовые задачи линейной геометрии Итого по 1 семестру: 2 семестр 1 Линейные операторы 2 Билинейные функционалы. Квадратичные формы Многомерная геометрия кривых и поверхностей 3 42 2 2 - 38 44 2 2 - 38 44 2 2 130 6 6 - 118 18 2 2 - 12 22 2 4 - 22 20 2 2 - 12 42 Итого по 2 семест60 6 8 46 ру: Итого по курсу 190 12 14 164 Рекомендации к перезачету и переаттестации при обучении в сокращенные сроки (дисциплина в целом, разделы и темы) Применяются общие требования к перезачету и переаттестации Формы контроля Промежуточное тестирование Экзамен – 1 семестр. Экзамен, контрольная работа – 2 семестр Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» 1.6 Содержание разделов дисциплины 1 семестр: Тема 1 Алгебраические структуры Алгебраические структуры: группа, поле, кольцо. Понятие алгебраической структуры, группы, поля, кольца. Примеры. Тема 2 Аналитическая геометрия Матрицы и матричные вычисления. Определители. Конечномерная линейная задача (элементарная теория). Понятие матрицы, операции над матрицами. Разложение определителя по столбцу, свойства определителей. Обратная матрица. Крамеровские системы линейных уравнений. Линейная задача. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Схема Гаусса. Тема 3 Векторные пространства Линейные пространства. Линейная независимость. Скалярное произведение. Базисы и координаты. Векторное произведение. Смешанное произведение. Линейное многообразие. Типовые задачи линейной геометрии. Понятие линейного пространства, примеры линейных пространств, изоморфизм линейных пространств. Определение линейной независимости, линейная независимость в конкретных линейных пространствах. Определение скалярного произведения. Метрика линейного пространства, матрица Грама. Базис линейного пространства, координаты. Векторное произведение. Смешанное произведение. Линейное многообразие, вектор – функция, прямая, плоскость. Типовые задачи линейной геометрии. Тема 4 Линейные отображения Линейные преобразования. Алгебра линейных преобразований. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. Преобразование базиса. Нормированные и метрические пространства. Норма линейного оператора. Линейный функционал на линейном пространстве. Сопряженное пространство. Понятие оператора, линейного оператора. Примеры линейных операторов в конкретных линейных пространствах. Метрические свойства и тензор линейного оператора. Вычисление матрицы линейного оператора. Определение алгебры. Линейные операции над линейными операторами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Преобразование базиса, матрица перехода, координаты вектора в новом базисе, матрица линейного оператора в новом базисе. Подобие матриц. Примеры норм, их эквивалентность, нормальная метрика. Норма линейного оператора, понятие сходимости, ограниченные операторы. Тензор линейного функционала. Базисные функционалы. Взаимный базис, вычисление координат, соотношения Гиббса. 2 семестр: Тема 5 Билинейные и квадратичные формы Билинейный функционал. Квадратичный функционал. Кривые и поверхности второго порядка. Билинейный функционал, присоединенный линейный оператор. Сопряженный и самосопряженный линейные операторы. Квадратичный функционал. Метод Лагранжа приведения квадратичного функционала к каноническому виду. Квадратичный функционал в главных осях. Общее уравнение кривой второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение поверхности второго порядка. Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» Тема 6 Многомерная геометрия кривых и поверхностей Элементы дифференциальной геометрии кривых. Сопровождающий базис. Элементы дифференциальной геометрии поверхностей. Геометрия кривых. Вектор – функция. Натуральное уравнение вектор – функции. Сопровождающий базис кривой. Элементы геометрии поверхности. 1.7 Средства обучения Средством обеспечения дисциплины является практикум к изучению курса «Геометрия и алгебра» автор: Эптешева С. В. Средства обучения математике обычно стандартны: базовые учебники, иллюстрация зависимостей на доске, карточки с индивидуальными заданиями, раздаточный наглядный материал и т.п. 1.8 Методические рекомендации преподавателям Курс «Геометрия и алгебра» входит в список обязательных курсов для специальности «Прикладная информатика в экономике» и является федеральным компонентом учебных планов специальности. В рамках этого курса изучаются такие основы как методы решения систем линейных алгебраических уравнений, методы приведения квадратичных функционалов к каноническому базису, сопровождающий базис кривой, что служит основой для последующего изучения других курсов, в том числе специализированных. При подготовке лекционного материала рекомендуется обращаться к литературе из основного списка. Учебным пособием, соответствующим данной рабочей программе, может служить практикум к изучению курса «Геометрия и алгебра», автор Эптешева С.В. Методы обучения Обучение студентов осуществляется по традиционной технологии (лекции, практики и лабораторные работы). С точки зрения используемых методов лекции подразделяются следующим образом: информационно-объяснительная лекция, повествовательная, лекция-беседа, проблемная лекция, лекция вдвоем, лекция с заранее запланированными ошибками и т. д. Наибольший эффект в преподавании «Геометрии и алгебры» достигается при использовании информационно-объяснительной лекции и лекции-беседы. Методика чтения лекций. Методика чтения учебной лекции включает ряд практически важных вопросов, касающихся формы изложения материала: способ его подачи, темп чтения лекции, язык и словарный запас лектора, освещение дискуссионных вопросов. Для лекций по «Геометрии и алгебры» наиболее приемлемым следует признать средний темп изложения материала, так как это связано с новизной понятий дисциплины и множеством формул, которые студент должен записать. Также необходимо делать отступления по ходу лекции с целью приведения практических примеров. Что касается манеры изложения, то наиболее приемлемой является так называемый академический стиль, для которого характерна четкость и ясность формулировок, хорошая литературная форма, владение голосом, хорошая дикция, умение держаться перед аудиторией и устанавливать с ней контакт, поддержание дисциплины. Практические занятия по «Геометрии и алгебре» наиболее целесообразно проводить по схеме: Устный или письменный опрос по теории в начале занятия (целесообразно использовать контрольные вопросы из практикума «Геометрия и алгебра»); Рабочая программа дисциплины «Геометрия и алгебра» Решение типовых примеров по теме занятия; Самостоятельное решение студентами заданий на изучаемую тему. Рекомендуется проводить тестирование, после изучения каждой новой темы; а также выдать семестровую (контрольную) работу, общий текст и варианты которой приведены в п. 4.5 (п. 4.6). Цель практического занятия – научить студентов применять теоретические знания при решении практических задач. На практических занятиях должны преобладать следующие методы: а) практические (письменные задания, групповые задания и т. п.); б) вербальные (преобладающим методом должно быть объяснение). Подготовка преподавателя к проведению занятия имеет первостепенное значение. Каким бы опытом преподаватель не обладал, он все равно должен готовиться к каждому практическому занятию. Во-первых, преподавателю необходимо проработать тему занятия. Во-вторых, преподаватель должен решить все заданные задачи и проблемные ситуации, предусмотреть, чтобы избежать неожиданностей, возможные варианты, которые могут предложить слушатели. Преподаватель должен быть готов ответить на любые вопросы, относящиеся к содержанию каждой задачи. В-третьих, желательно, готовясь к занятию, наметить, кого из студентов следует спросить по данной теме, имея в виду обеспечение равномерного участия всех студентов в работе и проверку уровня их подготовки к занятиям. Проработать содержание опроса знаний и методику ее проведения (в случае необходимости). Для контроля уровня усвоения материала дисциплины в течение семестра наиболее целесообразно проводить контрольные работы по решению практических задач и тестовые опросы по теории. Средства обучения математике обычно стандартны: базовые учебники, иллюстрация зависимостей на доске, раздаточный наглядный материал, карточки с индивидуальными заданиями и т.п. Тематика и метод. указания студенту по подготовке к практическим занятиям 2 Тематика и методические указания студенту по подготовке к практическим занятиям 2.1 Тематика практических занятий для очной формы обучения * 1 семестр: 4.1.1 Алгебраические структуры. 4.1.2 Матричные вычисления. 4.1.3 Определители. 4.1.4. Обратная матрица и ранг матрицы. 4.1.5 СЛАУ, метод Крамера, схема Гаусса. 4.1.6 Линейная независимость. Базис и размерность. 4.1.7 Скалярное произведение. 4.1.8 Векторное и смешанное произведение векторов. 4.1.9 Прямая. 4.1.10 Плоскость. 4.1.11 Матрица линейного оператора. 4.1.12 Собственные вектора и собственные значения линейного оператора. 4.1.13 Преобразование базиса. 4.1.14 Подобие матриц. 4.1.15 Вычисление норм. 4.1.16 Линейный функционал. 4.1.17 Взаимный базис. 2 семестр: 4.2.1 Построение взаимного базиса. 4.2.2 Билинейный функционал. 4.2.3 Сопряженный оператор. 4.2.4 Квадратичный функционал. Метод Лагранжа. 4.2.5 Квадратичный функционал в главных осях. 4.2.6 Кривые второго порядка. 4.2.7 Геометрия кривых. Сопровождающий базис. 4.2.8 Геометрия поверхностей. Примечание: * – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.1, п. 4.2 для заочной формы обучения * 1 семестр 4.3.1 Алгебраические структуры. Аналитическая геометрия 4.3.2 Линейное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов 2 семестр 4.3.3 Линейные операторы 4.3.4 Билинейные функционалы. Квадратичные формы 4.3.5 Многомерная геометрия кривых и поверхностей Примечание: * – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.3 Тематика и метод. указания студенту по подготовке к практическим занятиям 2.2 Методические указания студентам Наиболее удобным учебником по геометрии и алгебре для студентовматематиков является практикум к изучению курса «Геометрия и алгебра», автор С. В. Эптешева. Изложение в практикуме ведется соответственно тематического плана лекционного материала (1 семестр). В практикуме даны разработки практических занятий для студентов. Вначале рассматривается цель занятия, обсуждаются теоретические вопросы, необходимые для решения практических задач. Затем приведены общий текст заданий и варианты для самостоятельной работы. Практикум содержит текст заданий и варианты для семестровой работы. Приведены типовые задачи линейной геометрии и указания к их решению. В конце практикума даны билеты по алгебре и геометрии и приведен список литературы, рекомендуемый студентам при подготовке к практическим занятиям и экзамену по данному курсу. Приступая к подготовке к практическому занятию, прежде всего, следует повторить теоретический материал и ответить на контрольные вопросы по теме. Условием успешного освоения теории и практики является координация всех составляющих учебной работы студента: изучения теории, решения практических задач. На занятиях постоянно происходит обращение к основным понятиям: алгебраические структуры, линейное пространство, вектор, базис линейного пространства, системы линейных алгебраических уравнений. Эти понятия должны быть прочно усвоены. При изучении всех последующих тем следует обращать внимание на аксиоматику рассматриваемой теории, важнейшие логические следствия из неё. Практическое изучение темы «Основные алгебраические структуры» необходимо для понимания структуры построения множества с введенными на нем операциями и она является подготовительной к изучению линейного пространства. Необходимо при подготовке к занятию повторить определения группы, кольца, поля. В теме «Аналитическая геометрия» рассматриваются правила умножения матрицы на столбец, умножения матриц, вычисление обратной матрицы. При подготовке к занятиям следует повторить основные определения, свойства определителя, критерий совместности системы, а также структуру общего решения СЛАУ. Целью изучения данной темы является решение СЛАУ с нулевым и ненулевым дефектом. При изучении темы «Векторные (линейные) пространства» внимание акцентируется на линейной независимости системы векторов линейного пространства, вычислении координат вектора в заданном базисе, а также на решении типовых задач. При подготовке к практическим занятиям следует вспомнить определение линейной независимости векторов, базиса линейного пространства, посмотреть критерии линейной независимости в конкретных линейных пространствах, а также определения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, что является результатом произведений, их геометрический и физический смысл. В ходе занятия от преподавателя требуется выработать у студентов умение раскладывать вектор в линейную комбинацию базисных векторов и строить базис по заданному метрическому тензору. Необходимо постоянно обращать внимание студентов на то, какая метрика линейного пространства задана. Целью изучения темы «Линейные отображения (операторы)» является нахождение матрицы линейного оператора, собственных векторов и собственных чисел линейного оператора. Эта цель достигается путем вывода первой формулы действия линейного оператора, а также алгоритма нахождения собственных векторов линейного оператора. Здесь же показывается, что матрица оператора меняется при переходе к новому базису. От преподавателя требуется выработать у студентов навык по- Тематика и метод. указания студенту по подготовке к практическим занятиям строения взаимного базиса, для этого необходимо прочно усвоить определение взаимного базиса, а также рекомендуется выписать соотношения Гиббса. В теме «Билинейные и квадратичные формы» необходимо выработать навык нахождения матрицы билинейного оператора, матриц присоединенного и сопряженного операторов. Для того чтобы привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, необходимо повторить алгоритмы Лагранжа, приведения к главным осям. Рекомендуется отдельно выписать уравнения кривых второго порядка в каноническом виде. Тема «Многомерная геометрия кривых и поверхностей» завершает курс. В ней рассматриваются вектор – функции кривой и поверхности. Целью изучения данной темы является построение сопровождающего базиса кривой. Метод. указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине 3 Методические указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине График организации самостоятельной работы студентов Очная форма обучения (ПИЭ-06, ПИЭС-06) 1 семестр Общее кол-во часов – 95 часов. 72 часа Аудиторная работа 23 часов Самостоятельная работа Формы аудиторных учебных занятий (час.) Виды самостоятельной учебной работы (час.) № недели 36 часа Лекции № и тема лекции Тема 1 Основные алгебраические структуры 1 Алгебраические структуры 2 Тема 2 Аналитическая геометрия Матрицы и матричные вы2 числения Определители, обратная 3 матрица 6 4 СЛАУ (метод Крамера, схема Гаусса) Тема 3 Векторные пространства 2 36 час Практические занятия * 2 2 ч. – № 4.1.1 8 4час. 10 час. 6 час. Изучение Решение Решение теоретическо- задач практи- семестровой го материала ческих заняработы тий 4 час. Подготовка к тестированию по теме - - - 1 - - - 1 1 3 - 1 2 2 ч. – № 4.1.2 - - - - 2 2 ч. – № 4.1.3 2 ч – № 4.1.4 - 2 - - 2 2 ч. – № 4.1.5 1 1 - 1 16 10 1 3 6 1 - - - - - 5 Линейные пространства 2 6 Линейная независимость 2 2 ч. – № 4.1.6 - - - - 7 Скалярное произведение 2 2 ч. – № 4.1.7 - 1 1 - 8 Базисы и координаты 2 - - 1 - 9 Векторное произведение 2 - 1 1 - 10 Смешанное произведение 2 - - 1 - 11 Линейное многообразие 2 2 ч. – № 4.1.9 - - 1 - 2 2 ч. – № 4.1.10 1 1 1 1 12 16 1 4 - 1 2 2 ч. – № 4.1.11 - 1 - - 2 - - - - - 2 2 ч. – № 4.1.12 - 1 - - 2 2 ч. – № 4.1.13 2 ч. – № 4.1.14 - - - - 2 4 ч. – № 4.1.15 - 1 - - 2 2 ч. – № 4.1.16 2 ч. – № 4.1.17 1 1 - 1 ИТОГО 36 36 3 10 Примечание: * – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.1 6 4 Типовые задачи линейной геометрии Тема 4 Линейные отображения (операторы) 12 13. 14 15 16 17 18 Линейные операторы Алгебра линейных преобразований Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Преобразование базиса Нормированные и метрические пространства. Норма линейного оператора Линейный функционал на линейном пространстве. Сопряженное пространство 2 ч. – № 4.1.8 Метод. указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине 2 семестр Общее кол-во часов - 95 часа. 34 часа Аудиторная работа 61 час Самостоятельная работа Виды самостоятельной учебной работы Формы аудиторных учебных занятий (час.) (час.) № недели 16 часов Лекции 18 часов Практические занятия * № и тема лекции 16 час. 18 час. 20 час. 7 час. Изучение теоретического материала Решение задач практических занятий Решение семестровой работы Подготовка к тестированию по теме Тема 5 Билинейные и квадратичные формы 10 12 10 10 20 5 1. Билинейный функционал 2 2 ч. – № 4.2.1 2 ч. – № 4.2.2 2 2 4 1 2 2 ч. – № 4.2.3 2 2 4 1 2 2 ч. – № 4.2.4 2 2 4 1 2 2 ч. – № 4.2.5 2 2 4 1 2 2 ч. – № 4.2.6 2 2 4 1 6 6 6 6 - 2 1 2. Квадратичный функционал 3. Метод Лагранжа приведе3 ния к каноническому виду 4. Квадратичный функци4 онал в главных осях (в собственном базисе) 5. Кривые второго поряд5 ка Тема 6 Многомерная геометрия кривых и поверхностей 2 Элементы дифференциальной геометрии кривых Сопровождающий базис 6 7 Элементы дифференциальной геометрии поверхностей 8 ИТОГО 2 - 2 2 - 2 4 ч. – № 4.2.7 2 2 1 2 2 ч. – № 4.2.8 2 2 1 16 18 16 18 Примечание: * – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.2 20 7 Метод. указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине Заочная форма обучения (ПИЭЗ-06) 1 семестр Общее кол-во часов по учебному плану - 95 часов. 10 часов Аудиторная работа 85 часов Самостоятельная работа Формы аудиторных учебных занятий (час.) Виды самостоятельной учебной работы (час.) № недели 4 час. 6 час. 8 час. 65 час. 12 час. Лекции Практические занятия * Изучение теоретического материала Решение практических задач Подготовка контрольных вопросов № и тема лекции 1. Алгебраическая структура. Аналитическая геометрия 2. Векторные (линейные) пространства 1 2 ИТОГО 2 2 ч. – № 4.3.1 4 24 4 ч. – № 4.3.1 2 4 ч. – № 4.3.2 4 41 8 ч. – № 4.3.2 4 6 8 12 2 семестр Общее кол-во часов по учебному плану - 95 часов. 14 часов Аудиторная работа 81 час Самостоятельная работа Формы аудиторных учебных занятий (час.) Виды самостоятельной учебной работы (час.) № недели № и тема лекции 1. Линейные операторы 1 2. Билинейные функционалы. Квадратичные формы Многомерная геометрия кривых и поверхностей 2 3 ИТОГО 6 час. 8 час. 12 час. 32 час. 29 час. 8 час. Лекции Практические занятия * Изучение теоретического материала Решение практических задач Решение контрольной работы Подготовка контрольных вопросов 2 2 ч. – № 4.3.3 4 8 8 2 ч. – № 4.3.3 2 4 ч. – № 4.3.4 4 16 13 4 ч. – № 4.3.4 2 2 ч. – № 4.3.5 4 8 8 2 ч. – № 4.3.5 12 32 29 8 6 8 Примечание: * – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.3 Метод. указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине ПРИЛОЖЕНИЕ Изменения в графике организации самостоятельной работы студентов Очная форма обучения (ПИЭ-07, ПИЭС-07) 1 семестр Общее кол-во часов – 130 часов. 72 часа Аудиторная работа 58часов Самостоятельная работа Формы аудиторных учебных занятий (час.) Виды самостоятельной учебной работы (час.) № недели № и тема лекции 36 часа Лекции Тема 1 Основные алгебраические структуры 1 Алгебраические структуры 2 Тема 2 Аналитическая геометрия Матрицы и матричные вы2 числения Определители, обратная 3 матрица СЛАУ (метод Крамера, схе4 ма Гаусса) 6 Тема 3 Векторные пространства 16 2 36 час Практические занятия * 2 2 ч. – № 4.1.1 8 32час. 10 час. 12 час. Изучение Решение Решение теоретическо- практических семестровой го материала задач работы 4 час. Индивидуальные задания 1 - - 1 1 - - 1 6 3 - 1 2 2 ч. – № 4.1.2 2 - - - 2 2 ч. – № 4.1.3 2 ч – № 4.1.4 2 2 - - 2 2 ч. – № 4.1.5 2 1 - 1 10 15 3 12 1 - 2 - - - 5 Линейные пространства 2 6 Линейная независимость 2 2 ч. – № 4.1.6 2 - - - 7 Скалярное произведение 2 2 ч. – № 4.1.7 2 1 2 - 8 Базисы и координаты 2 1 - 2 - 9 Векторное произведение 2 2 1 2 - 10 Смешанное произведение 2 2 - 2 - 11 Линейное многообразие 2 2 ч. – № 4.1.9 2 - 2 - 2 2 ч. – № 4.1.10 2 1 2 1 12 16 10 4 - 1 2 2 ч. – № 4.1.11 1 1 - - 2 - 1 - - - 2 2 ч. – № 4.1.12 2 1 - - 2 2 ч. – № 4.1.13 2 ч. – № 4.1.14 2 - - - 2 4 ч. – № 4.1.15 2 1 - - 2 2 ч. – № 4.1.16 2 ч. – № 4.1.17 2 1 - 1 12 4 Типовые задачи линейной геометрии Тема 4 Линейные отображения (операторы) 12 13. 14 15 16 17 18 Линейные операторы Алгебра линейных преобразований Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Преобразование базиса Нормированные и метрические пространства. Норма линейного оператора Линейный функционал на линейном пространстве. Сопряженное пространство 2 ч. – № 4.1.8 ИТОГО 36 36 32 10 Примечание: * – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.1 Метод. указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине 2 семестр Общее кол-во часов - 60 часа. 34 часа Аудиторная работа 26 часов Самостоятельная работа Виды самостоятельной учебной работы Формы аудиторных учебных занятий (час.) (час.) № недели 16 часов Лекции 18 часов Практические занятия * № и тема лекции 16 час. 8 час. 0 час. 2 час. Изучение теоретического материала Решение практических задач Решение семестровой работы Индивидуальные задания Тема 5 Билинейные и квадратичные формы 10 12 10 5 0 1 1. Билинейный функционал 2 2 ч. – № 4.2.1 2 ч. – № 4.2.2 2 1 - - 2 2 ч. – № 4.2.3 2 1 - - 2 2 ч. – № 4.2.4 2 1 - - 2 2 ч. – № 4.2.5 2 1 - - 2 2 ч. – № 4.2.6 2 1 - 1 6 6 6 3 0 1 1 2. Квадратичный функционал 3. Метод Лагранжа приведе3 ния к каноническому виду 4. Квадратичный функци4 онал в главных осях (в собственном базисе) 5. Кривые второго поряд5 ка Тема 6 Многомерная геометрия кривых и поверхностей 2 Элементы дифференциальной геометрии кривых Сопровождающий базис 6 7 Элементы дифференциальной геометрии поверхностей 8 ИТОГО 2 - 2 1 - - 2 4 ч. – № 4.2.7 2 1 - - 2 2 ч. – № 4.2.8 2 1 - 1 16 18 16 8 0 2 Примечание: * – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.2 Метод. указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине Заочная форма обучения (ПИЭЗ-07) 1 семестр Общее кол-во часов по учебному плану - 130 часов. 12 часов Аудиторная работа 118 часов Самостоятельная работа Формы аудиторных учебных занятий (час.) Виды самостоятельной учебной работы (час.) № недели 6 час. 6 час. 12 час. 94 час. 12 час. Лекции Практические занятия * Изучение теоретического материала Решение практических задач Подготовка контрольных вопросов № и тема лекции 1. Алгебраическая структура. Аналитическая геометрия 2. Линейное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов 3. Прямая, плоскость. Типовые задачи линейной геометрии 1 2 ИТОГО 2 2 ч. – № 4.3.1 4 30 4 ч. – № 4.3.1 2 2 ч. – № 4.3.2 4 30 4 ч. – № 4.3.2 2 2 ч. – № 4.3.2 4 34 4 ч. – № 4.3.2 6 6 12 12 2 семестр Общее кол-во часов по учебному плану - 60 часов. 14 часов Аудиторная работа 46 часов Самостоятельная работа Формы аудиторных учебных занятий (час.) Виды самостоятельной учебной работы (час.) № недели № и тема лекции 1. Линейные операторы 1 2. Билинейные функционалы. Квадратичные формы Многомерная геометрия кривых и поверхностей 2 3 ИТОГО 6 час. 8 час. 6 час. 16 час. 16 час. 8 час. Лекции Практические занятия * Изучение теоретического материала Решение практических задач Решение контрольной работы Подготовка контрольных вопросов 2 2 ч. – № 4.3.3 2 4 4 2 ч. – № 4.3.3 2 4 ч. – № 4.3.4 2 8 8 4 ч. – № 4.3.4 2 2 ч. – № 4.3.5 2 4 4 2 ч. – № 4.3.5 6 16 16 8 6 8 Примечание: * – номер соответствует номеру Задания к практическим занятиям п. 4.3 Метод. указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине 3.1 Указания по выполнению самостоятельной работы Самостоятельная работа студентов состоит в выполнении семестровой (контрольной) работы. Ее своевременное выполнение является предпосылкой к обоснованию возможности допуска студента к экзаменам и оценки результатов итогового контроля. Семестровая (контрольная) работа должна быть выполнены не позднее, чем за 2 недели до начала зачетной недели. Выполненная работа сдается лектору или ассистенту, ведущему практические занятия. 3.2 Указания по оформлению работ Порядок оформления практических и семестровых работ: – работы по практическим занятиям выполняются на скрепленных двойных тетрадных листах (или листках формата А4); – зачеркивания и исправления допускаются (в пределах приличий); – семестровая работа выполняется либо в тетради, либо на листках формата А4. На титульном листе необходимо указать название дисциплины, ФИО лектора и ФИО и группу автора семестровой (контрольной) работы. Проверка самостоятельных работ осуществляется в течение недели, выставляется балл. Работа зачтена, если студент набрал хотя бы половину от максимального балла. Если работа не зачтена, то студент должен отработать эту тему на консультации (теория и практические задачи по этой теме). Проверка семестровой работы осуществляется следующим образом. Семестровая работа зачтена при условии правильного выполнения всех заданий. Если семестровая работа не зачтена, то она возвращается студенту для корректировки. После доработки проверка работ повторяется. Для разъяснения непонятных вопросов лектором курса еженедельно проводятся консультации, о времени которых группы извещаются заранее. Кроме того, в НФИ КемГУ существует практика индивидуально-аудиторных занятий по выполнению самостоятельных работ, при которой студентам назначается аудитория и время, где и когда они могут выполнять работы в присутствии ассистентов или студентов старших курсов, дающих им консультации. 3.3 Формы текущего, промежуточного и итогового контроля Текущий контроль освоения программы оценивается по результатам выполнения студентами практических работ. Студенты выполняют практические работы по каждой теме. График выполнения практических работ формируется исходя из следующих требований: – к началу экзаменационной сессии каждый студент обязан выполнить все задания по практическим занятиям, предусмотренные программой курса; – к началу аттестации студент обязан выполнить те задачи по практическим занятиям, которые предусмотрены в уже пройденных темах по дисциплине. Каждый студент обязан сдать соответствующие домашние задачи к началу следующей пары. «Работа над ошибками» проводится во время еженедельных консультаций, назначаемых на кафедре. График организации самостоятельной работы студентов представлен выше. Также проводится краткий письменный опрос студентов в начале занятия по контрольным вопросам к теме. Промежуточный контроль освоения программы осуществляется в виде тестирования по пройденным темам во время семестра. Метод. указания студенту по организации самостоятельной работы по дисциплине Итоговый контроль осуществляется в форме экзамена. Вопросы и задачи для экзамена приведены в разделе 4. В экзаменационном билете 3 теоретических вопроса и 2 задачи. 3.4 Требования к уровню освоения программы Уровень освоения программы оценивается своевременностью и качеством сдачи экзамена. При этом на экзамене дается три теоретических вопроса и две задачи. При сдаче экзамена каждая позиция (вопрос, задача) оцениваются баллами: 3 балла – решение правильное; 2 балла – решение правильное, но с недочетами; 1 балл – путь решения правильный; 0 балл – решение неправильное, или отсутствует. При сдаче экзамена можно получить в сумме от нуля до 15 баллов. Предварительная оценка «отлично» на экзамене считается, если количество набранных баллов – от 13 до 15, «хорошо» – от 10 до 12, «удовлетворительно» – от 7 до 9 баллов. Конечная оценка, которая ставится в ведомость и студенту – в зачетку, зависит и от его работы в течение семестра, т. е., результатов промежуточной аттестации. В случае претензий к оценке знаний студентам предлагается ознакомиться с ее критериями (см. выше). Примечание. Студентам, получившим 0 баллов по аттестации или при явной пассивности на практических занятиях, дается дополнительная задача. Задания по установленным формам контроля 4 Задания по установленным формам контроля 4.1 Задания к практическим занятиям (1 семестр) 4.1.1 Алгебраические структуры Контрольные вопросы 1. Что называется полугруппой, моноидом, группой? 2. Дайте определение кольца. 3. Дайте определение поля. (2 ч.) Общий текст заданий 1. Показать, что множество Z с операцией o : n o m n m nm (1 n)(1 m) 1 , является коммутативным моноидом. Что служит в Z, o нейтральным элементом? Найти в Z, o все обратимые элементы. 2. Группа – это моноид G , в котором уравнения вида ax b и ya b однозначно разрешимы при любых a, b G . Доказать это утверждение. 3. Элемент x 0 кольца K называется нильпотентным, если x n 0 для некоторого n . Показать, что нильпотентность элемента x влечет обратимость элемента 1 x в любом кольце с единицей. 4. Пусть K – произвольное ассоциативное кольцо с единицей 1 и a, b K . Показать, что (1 ab)c 1 c(1 ab) (1 ba)d 1 d (1 ba) , где d 1 bca , т.е. обратимость 1 ab в K влечет обратимость 1 ba . Чему равен элемент 1 adb ? 4.1.2 Матричные вычисления (2 ч.) Контрольные вопросы 4. Что называется матрицей? 5. Что называют матрицей-строкой? Матрицей-столбцом? 6. Что называют квадратной матрицей? 7. Что называют диагональной матрицей? Единичной матрицей? 8. Что называют противоположной матрицей? 9. Что называют транспонированной матрицей? 10. Определение симметрической матрицы? 11. Определены ли A B, AB, BA , если A – матрица-столбец, а B – матрица-строка? 12. Чему равно транспонированное произведение двух матриц AB T ? 13. Что является элементарными преобразованиями матриц? 14. Для каких матриц A и B выполнено равенство ( A B)2 A2 2 AB B2 . Общий текст заданий Даны матрицы A, B, C . 1). Вычислить AB, A(B BT ), ( AC)T A, BAT , CT B, AT AB, CT BAT 2CT AT , 3ABC AC . 2). Вычислить значение квадратного трехчлена p( x) 4x2 2x 3 для матрицы B . 3). При помощи элементарных преобразований привести матрицу B к ступенчатому виду. Задания по установленным формам контроля 1 Вариант 1 2 1 1 1 2 4 , B 2 3 2 , C 1 . A 3 1 0 0 1 1 3 3 Вариант 1 1 1 5 5 3 1 , B 1 0 1 , C 7 . A 1 2 1 2 1 0 3 5 Вариант 1 3 3 3 0 1 3 , B 3 0 1 , C 4 . A 4 3 0 3 1 1 8 7 Вариант 1 2 1 1 1 2 4 A , B 2 3 2, C 1 . 3 1 0 0 1 1 3 9 Вариант 5i 3 1 A , 1 2 1 1 1 1 5 B 1 0 1 , C 7 . 2 1 0 3 11 Вариант 0 1 3 A , 4 3 0 1 3 3 3 B 3 0 1 , C 4 3 1 1 1 2 Вариант 2 1 2 1 1 1 1 , B 3 1 3 , C 1 . A 0 1 0 0 1 1 1 4 Вариант 1 2 3 1 1 2 3 , B 2 1 1, C 2 . A 4 5 1 0 5 2 6 6 Вариант 4 3 0 6 1 1 1 , B 2 3 1 , C 1 . A 5 2 3 3 1 1 3 8 Вариант 2 1 2 1 1 1 1 A , B 3 1 3, C 1 . 0 1 0 0 1 1 1 10 Вариант 1 2 3 A , 4 5 1 1 2 3 1 B 2 1 1 , C 2 0 5 2 6 12 Вариант 0 1 1 A , 5 2 3 4 3 0 6 B 2 3 1 , C 1 . 3 1 1 3 4.1.3 Определители (2 ч.) Контрольные вопросы и задачи 1. Что называется определителем матрицы? 2. Что называют минором, соответствующим элементу матрицы? 3. Что называют алгебраическим дополнением, соответствующим элементу матрицы? 4. Как изменится определитель при транспонировании матрицы? 5. Чему равен определитель с пропорциональными строками? 6. Как изменится определитель, если строку (столбец) умножить на некоторое число? Если матрицу умножить на некоторое число? 7. Как изменится определитель, если в матрице поменять местами две строки (столбца)? 8. Чему равен определитель треугольной матрицы? Диагональной? 9. Найти все кососимметрические матрицы второго порядка с нулевым определителем. Задания по установленным формам контроля Общий текст заданий ( n 1..5 – номер варианта) 1). Вычислить определители: 2 4 , 3 n 2 0 2 3 1 27 3n 1 n 1 2 , 4 n 1 0 0 0 0 1 0 1 5n 2 n 3 2n 8 6 1 0 , 4 n/2 8 2 6 4 4n 2 1 1 2 1 1 3 n , 0 3 2 2 0 0 0 0 1 0 1 5n , 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5n , . 2). Вычислить определители, используя разложение по строке (столбцу): 0 0 1 0 2 0 1 0 2 3 2 n4 2 3 2 n4 1 n 1 n 3 n 1 1 1 1 , 1 0 0 3 n 1 1 1 5 . 3). Не раскрывая определители (используя свойства), доказать равенства: 3 1 2 a) det A det B 2 det A , где A , B 2 3 5 1 1 2 3 b) det A det B 0 , где A 4 5 6 , B 2 3 7 8 9 2 ; 3 4 7 5 8 . 6 9 4). Вычислить det AB , det A det B , det CD , det C det D : 3 5 n , A 4 2n n n 1 , B 4 3 2 2 n C 3 n 3 1 , 1 2 1 1 1 1 D 3 1 2 n . n 2 2 1 4.1.4 Обратная матрица и ранг матрицы (2 ч.) Контрольные вопросы и задачи 1. Что называют обратной матрицей, как ее обозначают? 2. Записать необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы. 3. Что называется невырожденной матрицей? 1 4. Пусть A и B – невырожденные матрицы. Чему равна AT , AB 1 ? 5. Для матрицы второго порядка записать обратную. 6. det A 3 . Найдите det A1 . 7. Что называют минором порядка k матрицы типа m n ? 8. Что называют рангом матрицы? 9. Как изменится ранг при транспонировании матрицы? При элементарных преобразованиях ее строк и столбцов? 10. Чему равен ранг диагональной матрицы? Ступенчатой матрицы? 11. Что называют базисным минором? Общий текст заданий ( n 1..5 – номер варианта) 1). Выяснить, существует ли обратная матица, и если существует, найти ее: 1 n , 3 3n 1 1 , n 1 n 2 1 1 1 n2 n 1 . n 1 n 2 (n 2)2 (n 1)2 Задания по установленным формам контроля 2). Решить матричные уравнения элементарными преобразованиями. Сделать проверку, используя обратную матрицу: a) AX B, где b) XA B, где 2 n 2 n 2 A , B . 3 n 4 3 n 3 1 1 1 1 A , B . n 1 n 2 n 1 n 2 3). Методами окаймляющих миноров и элементарных преобразований найти ранг матриц: 3 1 n 5 4 1 2 2 5 3 0 1 1 , 0 2 1 n 2 n n n n n 0 n 3 n . n n 4). Найти определитель матрицы A , если известно, что AT A 4 A1 AT . Зависит ли он от порядка матрицы A ? Привести пример матрицы второго (n-го) порядка, удовлетворяющей указанному равенству. 5). Доказать, что если невырожденная матрица A перестановочна с матрицей B , то и матрица A1 перестановочна с B . 4.1.5 СЛАУ, метод Крамера, схема Гаусса (2 ч.) Контрольные вопросы 1. Что называют системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными? 2. Что называют однородной СЛАУ? Неоднородной СЛАУ? 3. Что называют решением СЛАУ? Частным решением? 4. Что называют совместной СЛАУ? Несовместной? 5. Что называют определенной СЛАУ? Неопределенной? 6. Что называется матрицей СЛАУ? 7. Что называется расширенной матрицей СЛАУ? 8. Записать критерий совместности СЛАУ (теорема Кронекера – Капелли). 9. Для каких СЛАУ применимы формулы Крамера? 10. Сколько решений может иметь неоднородная (однородная) СЛАУ, если столбцы ее матрицы линейно независимы? 11. В чем заключается метод Гаусса? Общий текст заданий ( n 1..5 – номер варианта) 1). Решить системы уравнений по правилу Крамера. Сделать проверку, используя обратную матрицу: 3 x n 6 n , a) n 1 n 2 y 3(n 1) n 1 x 2n 1 , b) 1 2 n y 2n 2 n 1 x 1 n . c) 1 n y 1 n 2). Решить системы уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса: n 1 n 2 x 2 1 a) n 1 1 1 y n 1 , 1 n 2 n 3 z 2 3 n 1 x 0 n 2 b) n 1 n 1 n 2 y n 1 3 n2 3 z n 2 3). Решить системы уравнений методом Гаусса: n 1 x n 2 1 a) n 1 n y 1 , 1 1 n z n nx (n 1) y (n 2) z n 1, ny (n 1) z (n 2)t n 1, b) (n 2) x nz (n 1)t n 1, (n 1) x (n 2) y nt n 1. Задания по установленным формам контроля 4.1.6 Линейная независимость. Базис и размерность (2 ч.) Контрольные вопросы 1. Что называется линейным пространством? 2. Примеры линейных пространств. 3. Что называется подпространством? 4. Что называется линейно независимой системой векторов? 5. Как определить линейную независимость в арифметическом пространстве R n ? В функциональном пространстве? 6. Что называется изоморфизмом линейных пространств? Общий текст заданий ( n 1..5 – номер варианта) 1). Определить, является ли система векторов b линейно зависимой: 1 2 n a ) b 1 , b 2 ; 1 n n n 2 n 1 2 b ) b n , b 4 ; 1 3 1 3 n 1 1 2 3 c ) b n , b 2 , b 0 ; 0 n 1 7 d ) b1 (t ) 1 n t 2 , b2 (t ) (n 1) n t 2 , b3 (t ) n t (n 1) t 2 , t 0;1 . 2). Определить, является ли система векторов b линейно зависимой. Разложить вектор a в линейную комбинацию по данной системе: 1 2 e) b 1 , b 3 , a 1 . Изобразить a в ортонормированном базисе e и ко n n n сом базисе b . 2 n n 2 1 2 3 f ) b 3 , b 2 , b 2 , a 1 . n 2 n 2 4.1.7 Скалярное произведение (2 ч.) Контрольные вопросы и задачи 1. Что такое скалярное произведение? Что является его результатом? 2. Что такое норма? Как нормировать элемент линейного пространства? 3. Как вычислить угол между двумя элементами линейного пространства? 4. Что называется матрицей Грама? 5. Как вычислить проекцию x на направление, заданное элементом y? Длину проекции? 6. Найти значения параметра t , при которых векторы c=a- t b и d=a+ t b имеют одинаковую длину. 7. Найти угол между векторами a и b, если они имеют одинаковую длину, а векторы c=a+2b и d=3a-b ортогональны. 8. Вектора a и b разнонаправлены, при этом длина a равна 2, а длина b равна 1. Найти скалярное произведение векторов a и b. Общий текст заданий ( n 1..5 – номер варианта) В единичной метрике и в метрике тензора g ik : а) нормировать векторы; б) вычислить проекцию y на направление x и длину проекции. Задания по установленным формам контроля в) найти угол между y и x ; г) найти cos(x b1 ) : n 3 n2 n / 2 . Изобразить 1 n2 n / 2 0 g ik n / 2 1 1 ; 0 1 4 ik 1). y , x , g 3 n 1 n / 2 n 2 2). y 0, x n 1 , 1 n 3). графически; 1 1 n n y , x . n 1 0 1 n 4.1.8 Векторное и смешанное произведения векторов (2 ч.) Контрольные вопросы 1. Что является результатом векторного произведения? 2. Как привести вектор – функцию плоскости к нормальной форме? 3. Как найти проекцию точки на плоскость, используя векторное произведение? 4. Как определить, является ли система векторов линейно зависимой, используя смешанное произведение? 5. Чему равна площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b ? 6. Как найти расстояние точки от плоскости, используя смешанное произведение векторов? 7. Чему равен объем пирамиды, построенной на векторах a , b и c ? Общий текст заданий ( n 1..5 – номер варианта) Даны точки A, B, C и D , и плоскость : x 0 0 n 1 A (n, 0, 1), B (1, n, 1), C (0, 1, n), D (n, n 1, n), : y 0 3 t 2 . z 3 n 0 1). Определить координаты нормали к плоскости . 2). Найти проекцию точки A на плоскость и вычислить расстояние от точки A до 3). 4). 5). 6). 7). данной плоскости. Найти площадь грани ABC . Найти объем пирамиды ABCD . Найти расстояние между прямыми AB и CD . Найти расстояние от точки D до плоскости ABC (2 способами). Определить, является ли линейно зависимой система векторов 1 n 1 0 b1 n , b2 1 , b3 2 . 1 1 n 1 4.1.9 Прямая Контрольные вопросы 1. Что называется линейным многообразием? 2. Что называется вектор – функцией? 3. Что называется линейным многообразием ранга 1? 4. Нормаль многообразия. (2 ч.) Задания по установленным формам контроля 5. Представить уравнение прямой, заданной в векторной форме, в параметрической форме, в канонической форме. 6. Размерность линейного многообразия. 7. Взаимное расположение прямых на плоскости и в пространстве. Общий текст заданий ( n 1..5 – номер варианта) Даны точки A, B, C и вектор a : n a). A(n,0), B(n, n 2), C (n 3,1), a ; n 1 b). A(n,1, 2n), B(n, 2n, 1), C (n 1, n 2, n 1), a n 1 . n 1 1). Отрезок AB поделен на 5 равных частей. Найти координаты точек деления. 2). Провести прямую l1 через точки A и B . 3). 4). 5). 6). 7). 8). Провести прямую l 2 через точку A параллельно a . Найти угол между прямыми l1 и l 2 . Провести прямую l 3 через точку C и перпендикулярно прямой l1 . Найти точку пересечения прямых l 2 и l 3 , при условии, что они пересекаются. Найти расстояние от точки C до прямой l 2 . Найти расстояние между прямой l 2 и прямой, проходящей через точку B параллельно a . 4.1.10 Плоскость (2 ч.) Контрольные вопросы 1. Дано уравнение плоскости в векторном виде. Представить его в виде линейной задачи. 2. Взаимное расположение плоскостей. 3. Расстояние точки от плоскости. 4. Проекция на плоскость точки, прямой. Общий текст задания ( n 1..5 – номер варианта) Даны точки A, B, C , и векторы a и N : 1 A (n, 1, 2n), B (n, 2n, 1), C (n 1, n 2, n 1), a n 1 , n 1 n N n . n 1 1). Провести плоскость 1 через заданные точки A, B, C . 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). Провести плоскость 2 через точки A, B параллельно вектору a . Провести плоскость 3 через точку A перпендикулярно N . Определить координаты нормалей к плоскостям 1 , 2 . Найти проекцию точки C на плоскость 3 . Найти расстояние от точки B до плоскости 3 . Найти прямую пересечения плоскостей 2 и 3 . Провести прямую через точку C перпендикулярно плоскости 2 . Задания по установленным формам контроля 4.1.11 Матрица линейного оператора Контрольные вопросы 1. Какой оператор называется линейным? 2. Как вычислить матрицу оператора в заданном базисе? 3. Матрица перехода. 4. Какой вид имеет матрица линейного оператора в собственном базисе? 5. Спектр линейного оператора. (2 ч.) Общий текст заданий ( n 1..5 – номер варианта) 1). Выяснить, являются ли линейными отображения. а) V 3 : x x, n (a , n ) a , где a , n – фиксированные ненулевые векторы; б) A : R3 R3 , если Ax 0, x1 3x2 , x22 , где x x1, x2 , x3 T . T в) пространства V3 : x 3 x , x x ; г) V 3 : x x , a a a 2 , где a – фиксированный ненулевой вектор; д) A : R3 R3 , если Ax 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 , где x x1, x2 , x3 T ; 2). Вычислить матрицу линейного преобразования. а) Ax a x , б) Ax ( x a ) b , где a, b – фиксированные векторы. 3). В пространстве R 3 с базисом e1, e 2 , e 3 линейный оператор A переводит векторы T 1 0 n 1 1 n 1 a1 n , a2 1 , a3 1 соответственно в векторы b1 1, b2 1 , b3 0 . 1 n 1 1 3 n 1 1 2 3 Найти матрицу оператора A в базисе e , e , e . 4). В пространстве квадратных матриц порядка 2 фиксирован базис, состоящий из 1 0 0 1 0 0 0 0 2 3 4 , e , e , e . 0 0 0 0 1 0 0 1 матриц e1 Записать в этом базисе мат- рицу оператора транспонирования, т.е. оператора, который каждой матрице A ставит в соответствие транспонированную матрицу. Задания по установленным формам контроля 4.1.12 Собственные числа и собственные векторы линейного оператора (2 ч.) Контрольные вопросы: 1. Что называется собственным вектором и собственным числом линейного оператора? 2. Что называется собственным базисом линейного оператора? 3. Какой вид имеет матрица линейного оператора в собственном базисе? 4. Алгоритм вычисления собственных значений. Общий текст заданий (варианты , ) 1). Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу A . Построить базис из собственных векторов и записать матрицу линейного оператора в этом базисе: 1 3 1 . A 3 5 1 . 3 3 1 2 2 0 . A 2 1 2 . 0 2 0 2). Пусть линейный оператор, действующий в n – мерном пространстве, имеет в некотором базисе матрицу A . Пусть 1, 2 ,n – собственные значения этого опера- тора. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в том же базисе является B : . B A 2 . . B A 1 . 3). Доказать, что характеристический многочлен транспонированной матрицы AT совпадает с характеристическим многочленом матрицы A . 4.1.13 Преобразование базиса Контрольные вопросы: 1. Что называется матрицей перехода? 2. Как преобразуются координаты вектора в новом базисе? 3. Как преобразуется матрица линейного оператора в новом базисе? (2 ч.) Общий текст заданий ( n 1..5 – номер варианта) 1). Линейный оператор имеет в базисе e 1 , e 2 , e 3 матрицу A . Найти матрицу этого оператора в базисе b 1 , b 2 , b 3 : 15 11 5 A n 15 8 , b 1 ne 1 (n 1)e 2 e 3 , b 2 (n 1)e 1 (n 2)e 2 e 3 , b 3 e 1 n e 2 ne 3 . 8 n 1 6 2). Найти матрицу линейного оператора дифференцирования, действующего в линейном пространстве многочленов степени не выше двух, в базисе e 1 1, e 2 x, e 3 x2 . Используя матрицу перехода, найти матрицу этого оператора в базисе f 1 1, f 2 x 1, f 3 ( x 1)2 / 2 . 3). В базисе 1, t , t 2 пространства многочленов степени не выше 2 оператор A задан 0 0 1 матрицей A 0 1 0 . Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном 1 0 0 многочленами 3t 2 2t , 5t 2 3t 1, 7t 2 5t 3 . Задания по установленным формам контроля 4.1.14 Подобие матриц Контрольные вопросы 1. Какой оператор называется линейным? 2. Какой вид имеет матрица линейного оператора в собственном базисе? 3. Как составляется матрица перехода от одного базиса к другому? 4. Спектр линейного оператора. 5. Какие матрицы называются подобными? 6. Как связаны между собой определители подобных матриц? 7. Как связаны характеристические многочлены подобных матриц? (2 ч.) Общий текст заданий 1). Показать, что если матрицы A и B подобны, то подобны матрицы A 2 и B 2 . 2). Доказать, что если матрицы A и B подобны, то всякое собственное значение A является собственным числом и для B , и обратно. Найти связь между собственными векторами матриц A и B . 3). Доказать, что подобные матрицы имеют одинаковый характеристический многочлен. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение: матрицы, имеющие одинаковый характеристический многочлен, подобны – неверно. 4). Пусть линейный оператор, действующий в n-мерном пространстве, имеет в некотором базисе матрицу A . Пусть 1 , 2 ,... n – собственные значения этого оператора. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в том же базисе является A n . 4.1.15 Вычисление норм Контрольные вопросы 1. Что называется нормой элемента? 2. Приведите примеры норм в координатном пространстве. 3. Приведите примеры норм в функциональном пространстве. 4. Определение эквивалентных норм. 5. Что называется евклидовой нормой? 6. Определение метрического пространства. 7. Что называется нормальной метрикой? Общий текст заданий В нормах 0 , 1 , 2E , 2G вычислить и показать на рисунках: 1). нормы a , b , c ; 2). выполнение неравенств Минковского: a b a b ; a b a b ; 3). нормальные расстояния (a, b); (a, c); (b, c) ; 4). выполнение неравенств треугольника: (a, b) (a, c) (c, b) , (a, b) (a, c) (c, b) ; (b, c) (b, a) (a, c) , (b, c) (b, a) (a, c) ; 5). шары ( x, a) 2; ( y, b) 1; ( z, c) 1/ 2 . 1 вариант V2 : a 2b b ; 1 2 1 2 b 0b 2b ; 1 2 c b 2b ; C[0;1]: a(t ) t 2 ; b(t ) 1 t ; c(t ) 1 t . 4 1 G . 1 1 (4 ч.) Задания по установленным формам контроля 2 вариант V2 : a 2b b ; 1 1 2 2 b 2b 0b ; 1 2 c b 2b ; 1 1 G . 1 4 C[0;1]: a(t ) t ; b(t ) t t 2 ; c(t ) t . 3 вариант V2 : a b 2b ; 1 2 1 2 b 0b 2b ; 1 2 c 2b b ; 4 1 G . 1 1 C[0;1]: a(t ) 1 t ; b(t ) t ; c(t ) 1 t 2 . 4 вариант V2 : a b 2b ; 1 1 2 2 b 2b 0b ; 1 2 c 2b b ; 1 1 G . 1 4 C[0;1]: a(t ) t ; b(t ) 1 t ; c(t ) t t 2 . 4.1.16 Линейный функционал Контрольные вопросы 1. Что называется функционалом? Линейным функционалом? 2. Тензор линейного функционала. 3. Базисные функционалы. 4. Связь между линейными операторами и линейными функционалами. (2 ч.) Общий текст заданий 1). Вычислить значение линейного функционала f ( x) . 2). Вычислить значение линейного функционала f ( x) , записать формулу f ( x) в тензорной форме. 3). Записать все линейные функционалы, для которых выполняются равенства. 4). Изобразить поверхности уровня для линейных функционалов f ( x) x1 2 x2 . 5). Даны линейные функционалы f1 ( x), f 2 ( x), f3 ( x) . Определить, зависимы ли они. Если да, то выразить f1 ( x) через другие. Можно ли выразить базисные функционалы через f1 ( x), f 2 ( x), f3 ( x) ? 1 вариант 1. x [b1 2. 3. 4. 5. 2 вариант 4 b 2 ] , f (b1 ) 2, f (b 2 ) 3 . 5 f (2b1 3b 2 ) 4, f (b1 b 2 ) 2 , x 3b1 7b2 . f (b1 2b 2 3b3 ) 6, f (2b1 b 2 b3 ) 4 . f ( x) 2, f ( x) 1 . f1 ( x) P1 ( x) 2P2 ( x) 0P3 ( x) , 2. 3. 4. 2. 3. 4. 5. f (3b1 2b 2 ) 3, f (b1 2b 2 ) 4 , x 5b1 4b2 . f (b1 b 2 2b3 ) 2, f (b1 3b 2 5b3 ) 1 . f ( x) 1, f ( x) 2 . f1 ( x) 3P1 ( x) 2P2 ( x) 1P3 ( x) , f 2 ( x) 5P1 ( x) 0P2 ( x) P3 ( x) , f 2 ( x) 1P1 ( x) 0P2 ( x) 2 P3 ( x) , f3 ( x) 4P1 ( x) 2P2 ( x) 1P3 ( x) . f3 ( x) 1P1 ( x) 2P2 ( x) 5P3 ( x) . 3 вариант 1. 3 2 1. x [b1 b 2 ] , f (b1 ) 3, f (b 2 ) 1 . 4 вариант 1 x [b1 b 2 ] , f (b1 ) 2, f (b 2 ) 1 . 3 1 2 f (b 3b ) 3, f (5b1 b 2 ) 1 , x 7b1 2b2 . f (b 3b b ) 2, f (5b b 2b ) 7 . 1 2 f ( x) 2, 3 f ( x) 1 . 1 2 3 7 1. x [b1 b 2 ] , f (b1 ) 5, f (b 2 ) 3 . 2 2. 3. 4. f (5b b ) 9, f (2b1 7b 2 ) 11 , x 3b1 4b2 . 1 2 f (3b1 2b 2 b3 ) 6, f (b1 2b 2 b3 ) 2 . f ( x) 0, f ( x) 2 . Задания по установленным формам контроля 5. f1 ( x) P1 ( x) P2 ( x) P3 ( x) , 5. f1 ( x) 2P1 ( x) P2 ( x) 3P3 ( x) , f 2 ( x) 2P1 ( x) P2 ( x) 3P3 ( x) , f 2 ( x) P1 ( x) 0P2 ( x) 2P3 ( x) , f3 ( x) 0P1 ( x) 3P2 ( x) 5P3 ( x) . f3 ( x) 3P1 ( x) P2 ( x) P3 ( x) . 4.1.17 Взаимный базис Контрольные вопросы 1. Что называется сопряженным пространством? 2. Что называется взаимным базисом? Как его построить? 3. Соотношения Гиббса. 4. Контра- и ковариантные координаты. (2 ч.) Общий текст заданий Задана матрица перехода от базиса e1 e 2 к базису b1 b 2 и дан вектор x . 1. Построить взаимный базис e1 e2 . 2. Построить базис b1 b 2 и взаимный к нему b1 b2 . 3. Найти координаты вектора x в базисах [e i ] , [bi ] , [ei ] и [bi ] . 1 вариант 1 1 1 2 2 0 1 , e , e , x 1 1 3 1 2 3 вариант 1 1 1 1 2 0 2 , e , e , x . 2 1 2 1 1 2 вариант 1 1 1 1 2 1 4 , e , e , x . 1 0 1 1 1 4 вариант 1 1 1 3 2 1 1 , e , e , x . 2 1 1 1 1 Задания по установленным формам контроля 4.2 Задания к практическим занятиям (2 семестр) 4.2.1 Построение взаимного базиса Контрольные вопросы 1. Что называется сопряженным пространством? 2. Что называется взаимным базисом? Как его построить? 3. Соотношения Гиббса. 4. Контра- и ковариантные координаты. (2 ч.) Общий текст заданий Дан метрический тензор g i k . Вычислить и изобразить: 1). (а, б) геометрический базис b i , имеющий метрику g i k ; 2). (а, б) базис bк , взаимный базису b i ; 3). (а, б) метрический тензор g ks взаимного базиса; 4). (а) эвклидово расстояние между функционалами f (x ) и g (x ) ; 5). (б) контра- и ковариантные координаты x ; 6). (а) линию в ковариантных координатах. 1 вариант 1), 2), 3): 4 2 а) gi k ; 2 2 2 вариант 1, 2, 3: 4 0 3 б) gik 0 1 0 . 3 0 3 f ( x ) 2 x1 x2 , g ( x ) x1 x2 . 4). 5). x b1 b 2 . 6). 4( x1 ) 2 ( x2 ) 2 1 . 3 вариант 1, 2, 3: 2 2 а) gi k ; 2 4 3 0 3 б) gik 0 1 0 . 3 0 4 f ( x ) x1 2 x2 , g ( x ) x1 x2 . 4). 5). x b 2 b1 . 6). ( x1 ) 2 4( x2 ) 2 1 . 4 вариант 1, 2, 3: 4 0 2 а) g б) g 0 1 0 . 2 0 2 1). f ( x) 2 x1 x2 , g ( x) x1 x2 . 2 0 2 а) g б) g 0 1 0 . 2 0 4 4). f ( x) x1 2 x2 , g ( x) x1 x2 . 2). x b1 b 2 . 3). ( x1 ) 2 9( x2 ) 2 1 . 5). x b 2 b1 . 6). 9( x1 ) 2 ( x2 ) 2 1 . k i 4 3 ; 3 3 k i k i 3 3 ; 3 4 k i 4.2.2 Билинейный функционал Контрольные вопросы 1. Что называется билинейным функционалом? 2. Тензор билинейного функционала. 3. Инвариантное и координатное задание билинейного функционала. 4. Что называется присоединенным линейным оператором? 5. Матрица присоединенного оператора. 6. Симметричный билинейный функционал. 7. Сопряженный и самосопряженный линейные операторы. (2 ч.) Задания по установленным формам контроля Общий текст заданий В R 2 с метрикой g i k дан билинейный функционал f ( x , y ) . Вычислить: 1). матрицу H [hi k ] тензора hik ; матричный вид f ( x , y ) x T Hy ; 2). линейные функционалы ( x ) f ( x , y 0 ), ( y ) f ( x 0 , y ), 3). матрицу A присоединенного линейного оператора ( Ax, y) f ( x , y ), 4). матрицу A * сопряженного линейного оператора ( x, A* y ) f ( x , y ), 5). формулу f ( x , y ) в новом базисе b1 , b 2 , 6). формулу f ( x , y ) в ковариантных координатах. 1 вариант 2 gi k 1 2 x0 , 0 1 : 1 2 вариант f ( x , y ) 2 x1 y1 2 x1 y2 4 x2 y1 ; 1 y 0 ; b1 2b1 b 2 , b 2 b1 b 2 . 1 1 1 gi k : f ( x , y ) 2 x1 y2 4 x2 y1 2 x2 y2 ; 1 2 0 1 x 0 , y 0 ; b1 b1 2b 2 , b 2 b1 b 2 . 2 1 3 вариант 4 вариант 2 1 gi k : f ( x , y ) 4 x1 y2 2 x2 y1 2 x2 y2 ; 1 1 1 1 x 0 , y 0 ; b1 2b1 b 2 , b 2 b1 b 2 . 0 1 1 1 gi k : f ( x , y ) 2 x1 y1 4 x2 y1 2 x1 y2 ; 1 2 0 1 x 0 , y 0 ; b1 b1 2b 2 , b 2 b1 b 2 . 1 1 4.2.3 Сопряженный оператор Контрольные вопросы 1. Что называется сопряженным оператором? 2. Матрица сопряженного оператора. 3. Свойства сопряжения. 4. Самосопряженный оператор и его матрица. 5. Свойства самосопряженного линейного оператора. (2 ч.) Общий текст заданий (варианты , ) 7). Доказать равенство: . ( A B)* A* B* . . ( A B )* B* A* . 8). Вектор a V3 порождает линейный оператор A : V3 V3 согласно формуле. Найти оператор A* , сопряженный к оператору A : . Ax a x . . Ax (a, x )a . 1 2 3 9). В базисе b b b линейного арифметического пространства R 3 дана матрица 1 2 3 A 2 1 2 линейного оператора A . Найти матрицу сопряженного оператора A* в 3 4 1 том же базисе b1 b 2 b3 . В пространстве R 3 предполагается стандартное скалярное произведение: 1 1 1 2 3 . b 1 , b 1 , b 0 . 1 0 1 1 1 1 1 2 3 . b 0 , b 1 , b 1 . 0 0 1 1 Задания по установленным формам контроля 4.2.4 Квадратичный функционал. Метод Лагранжа Контрольные вопросы 1. Что называется квадратичным функционалом? 2. Способы записи матрицы квадратичного функционала. 3. Канонический вид квадратичного функционала. 4. Что называется каноническим базисом? 5. В чем заключается метод Лагранжа? 6. Что называется индексом квадратичного функционала? 7. Закон инерции. 8. Тип квадратичного функционала. (2 ч.) Общий текст заданий Привести квадратичный функционал q( x ) , где x x y z T , к сумме квадратов. Записать приводящую подстановку и переход к каноническому базису. Определить тип квадратичного функционала q( x ) . Вычислить уровни q( x ) 0 , q( x ) 1 . 1 вариант 1). q( x ) 2 x 2 3 y 2 6 x ; 2). q( x ) x 2 3 y 2 6 xy ; 3). q( x ) 2 x 2 y 2 6 xy 2 x 3 y ; 4). q( x ) x 2 2 y 2 6 xy 4 yz ; 5). q( x ) 2 x 2 3z 2 6 xy 4 x z . 3 вариант 1). q( x ) 2 x 2 3 y 2 6 y ; 2). q( x ) x 2 2 y 2 6 xy ; 3). q( x ) 3x 2 y 2 6 xy 2 x 3 y ; 4). q( x ) x 2 3 y 2 6 xy 3 yz ; 5). q( x ) 2 y 2 3z 2 6 xy y 2 x . 2 вариант 1). q( x ) 3x 2 2 y 2 6 x ; 2). q( x ) 3x 2 y 2 6 xy ; 3). q( x ) x 2 2 y 2 6 xy 3x 2 y ; 4). q( x ) 2 x 2 y 2 6 xy 2 xz ; 5). q( x ) 2 x 2 3 y 2 6 xz 2 x 4 z . 4 вариант 1). q( x ) 3x 2 2 y 2 6 x ; 2). q( x ) 2 x 2 y 2 6 xy ; 3). q( x ) x 2 3 y 2 6 xy 2 x 2 y ; 4). q( x ) 2 x 2 y 2 4 xy 6 xz ; 5). q( x ) 2 x 2 3z 2 6 xy 2 y z . 4.2.5 Квадратичный функционал в главных осях Контрольные вопросы 1. Свойства самосопряженного оператора. 2. Какой вид имеет матрица линейного оператора в собственном базисе? 3. Что называется ортогональным преобразованием? 4. Алгоритм приведения квадратичного функционала к главным осям. (2 ч.) Общий текст заданий T Привести квадратичный функционал q( x ) , где x x y z , к главным осям. Вычертить графики квадрик q( x ) q0 . 1 вариант 1. q( x ) x 2 4 xy y 2 ; q0 1 , q0 9 ; 2. q( x ) x 2 2 xy y 2 2 x ; q0 0 , q0 5 ; 3. q( x ) 2 x 2 xy 2 y 2 ; q0 1 , q0 4 ; 4. q( x ) 8 x 2 4 y 2 5 z 2 4 xz 44 x 2 z ; q0 29 . 2 вариант 1. q( x ) x 2 4 xy y 2 ; q0 1 , q0 4 ; 2. q( x ) x 2 2 xy y 2 2 x ; q0 0 , q0 5 ; 3. q( x ) 2 x 2 xy 2 y 2 ; q0 1 , q0 9 ; 4. q( x ) 4 x 2 6 y 2 5 z 2 4 xz 8 y 4 z ; q0 3 . Задания по установленным формам контроля 3 вариант 1. q( x ) x 2 4 xy y 2 ; q0 1 , q0 4 ; 2. q( x ) x 2 2 xy y 2 2 y ; q0 0 , q0 5 ; 3. q( x ) 4 x 2 xy 4 y 2 ; q0 1 , q0 9 ; 4. q( x ) x 2 2 y 2 2 z 2 4 yz 2 x 8z ; q0 6 . 4 вариант 1. q( x ) x 2 4 xy y 2 ; q0 1 , q0 9 ; 2. q( x ) x 2 2 xy y 2 2 y ; q0 0 , q0 5 ; 3. q( x ) 4 x 2 xy 4 y 2 ; q0 1 , q0 4 , 4. q( x ) 2 x 2 3 y 2 z 2 4 xy 4 xz 12 x 6 z ; q0 4 . 4.2.6 Кривые второго порядка Контрольные вопросы 1. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. 2. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. 3. Уравнение асимптот гиперболы. 4. Каноническое уравнение параболы. 5. Определение эксцентриситета эллипса, гиперболы. (2 ч.) Общий текст заданий 1. Эллипс проходит через точку M (4; 21) и имеет эксцентриситет 3/ 4 . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки M . 2. На эллипсе 9 x 2 25 y 2 225 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в четыре раза больше расстояния ее от левого фокуса. 3. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в верx2 y 2 шинах эллипса 1. 25 9 4. Написать уравнения касательных к гиперболе x 2 4 y 2 16 , проведенных из точки A(0; 2) . 5. Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ox и что точка пересечения прямых y x и x y 2 лежит на параболе. 6. Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр зеркала 80 см, а глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы? 4.2.7 Геометрия кривых. Сопровождающий базис Контрольные вопросы 6. Что называют кривой? 7. Что называют вектор – функцией? 8. Натуральный параметр и натуральное уравнение вектор – функции. 9. Что называют нормалью и кривизной кривой? 10. Что называют сопровождающим базисом кривой? 11. Формулы Френе. Общий текст заданий 1). Для плоской кривой y f ( x) вычислить и нарисовать: 1.1 сопровождающий базис [, n, b ] в точках y0 , y1 или x0 , x1 ; 1.2 центр и радиус наибольшей кривизны. (4 ч.) Задания по установленным формам контроля 2). Для пространственной кривой f ( x, y, z) вычислить: 2.1 сопровождающий базис [, n, b ] в точках x0 , y0 , z0 ; 2.2 уравнение касательной к кривой в точках x0 , y0 , z0 ; 2.3 уравнение нормали к кривой в точках x0 , y0 , z0 ; 2.4 траекторию точек пересечения касательных с плоскостью Oxy ; 2.5 траекторию центров кривизны (эволюту) кривой; 2.6 точки, центры и радиусы наибольшей и наименьшей кривизны. Метрику базиса полагать единичной. 1 вариант 1). y a ln x , y0 0, y1 1 . 2 вариант 1). y a e x , x0 0, x1 1 . x 2 y 2 z 2 4a 2 , x 2 y 2 z 2 4a 2 , 2). f ( x, y, z ) 2). f ( x, y, z ) x0 2a, x0 y, 2 2 x y 2ax. y0 x, z0 2a . 3 вариант 1). y ln(ax) , y0 0, y1 1 . 2 2 x y 2ay. y0 2a, z0 2a . 4 вариант 1). y e ax , x0 0, x1 1 . x 2 y 2 z 2 4a 2 , x 2 y 2 z 2 4a 2 , 2). f ( x, y, z ) 2). f ( x, y, z ) x0 z, x0 0, 2 2 x z 2ax. y0 2a, z0 0 . 2 2 x z 2az. y0 2a, z0 x . 4.2.8 Геометрия поверхностей Контрольные вопросы 1. Что называется поверхностью? 2. Направляющие векторы поверхности. 3. Первая квадратичная форма поверхности. 4. Нормаль. Касательная плоскость. (2 ч.) Общий текст заданий 1). Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 y 2 в ее точке M (2; 1; 1) ; 2 3xyz z 3 a 3 в точках, для которых x 0, а). z б). 2). В каких точках эллипсоида 2 2 ya. 2 x y z 1 нормаль к нему образует равные углы с a 2 b2 c 2 осями координат? 3). К поверхности x 2 2 y 2 3z 2 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x 4 y 6z 0 . 4). К эллипсоиду x2 y 2 z 2 1 провести касательные плоскости, отсекающие на коa 2 b2 c 2 ординатных осях равные по величине отрезки. 5). Под каким углом пересекаются цилиндр x 2 y 2 R 2 и сфера ( x R)2 y 2 z 2 R 2 в R R 3 точке M ; ; 0 ? 2 2 Задания по установленным формам контроля 4.3 Задания к практическим занятиям для заочной формы обучения 1 семестр 4.3.1 Алгебраические структуры. Аналитическая геометрия Контрольные вопросы (4 ч.) 1. Что называется полугруппой, моноидом, группой? 2. Дайте определение кольца. 3. Дайте определение поля. 4. Что называется матрицей? 5. Что называют матрицей-строкой? Матрицей-столбцом? 6. Что называют квадратной матрицей? Что называют диагональной матрицей? Единичной матрицей? 7. Что называют противоположной матрицей? Что называют транспонированной матрицей? 8. Определены ли A B, AB, BA , если A – матрица-столбец, а B – матрица-строка? 9. Чему равно транспонированное произведение двух матриц AB T ? 10. Что является элементарными преобразованиями матриц? 11. Что называется определителем матрицы? 12. Что называют минором, алгебраическим дополнением соответствующим элементу матрицы? 13. Свойства определителя. 14. Чему равен определитель треугольной матрицы? Диагональной? 15. Найти все кососимметрические матрицы второго порядка с нулевым определителем. 12. Что называют обратной матрицей, как ее обозначают? 13. Записать необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы. 1 14. Пусть A и B – невырожденные матрицы. Чему равна AT , AB 1 ? 15. Для матрицы второго порядка записать обратную. 16. det A 3 . Найдите det A1 . 17. Что называют рангом матрицы? 18. Как изменится ранг при транспонировании матрицы? При элементарных преобразованиях ее строк и столбцов? 12. Что называют системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными? 13. Что называют однородной СЛАУ? Неоднородной СЛАУ? 14. Что называют решением СЛАУ? Частным решением? 15. Что называют совместной СЛАУ? Несовместной? 16. Что называют определенной СЛАУ? Неопределенной? 17. Что называется матрицей СЛАУ? 18. Что называется расширенной матрицей СЛАУ? 19. Записать критерий совместности СЛАУ (теорема Кронекера – Капелли). 20. Для каких СЛАУ применимы формулы Крамера? В чем заключается метод Гаусса? 21. Сколько решений может иметь неоднородная (однородная) СЛАУ, если столбцы ее матрицы линейно независимы? Практические задания (2 ч.) 1. Показать, что множество Z с операцией o : n o m n m nm (1 n)(1 m) 1 , является коммутативным моноидом. Что служит в Z, o нейтральным элементом? Найти в Z, o все обратимые элементы. Задания по установленным формам контроля 2. Вычислить значение квадратного трехчлена p( x) 4x2 2x 3 для матрицы 1 1 0 B 2 0 1. 3 1 2 3. Вычислить определитель 0 0 1 0 2 3 2 4 1 1 3 1 . 3 1 1 1 4. Решить системы уравнений по правилу Крамера, методом Гаусса, матричным ме1 1 2 x 2 тодом: 1 1 1 y 1 . 1 2 3 z 2 Задания для самостоятельного решения ( n 1..6 – номер варианта) (24 ч.) 1). Группа – это моноид G , в котором уравнения вида ax b и ya b однозначно разрешимы при любых a, b G . Доказать это утверждение. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------2). Вычислить AB, A(B BT ), ( AC)T A, BAT , CT B, AT AB, CT BAT 2CT AT , 3ABC AC . 3). Вычислить значение квадратного трехчлена p( x) 4x2 2x 3 для матрицы B . Варианты заданий 1). Вариант 2). Вариант 1 2 1 1 1 2 4 , B 2 3 2 , C 1 . A 3 1 0 0 1 1 3 2 1 2 1 1 1 1 , B 3 1 3 , C 1 . A 0 1 0 0 1 1 1 3). Вариант 4). Вариант 1 1 1 5 5 3 1 , B 1 0 1 , C 7 . A 1 2 1 2 1 0 3 1 2 3 1 1 2 3 , B 2 1 1, C 2 . A 4 5 1 0 5 2 6 5). Вариант 6). Вариант 1 3 3 3 0 1 3 , B 3 0 1 , C 4 . A 4 3 0 3 1 1 8 4 3 0 6 1 1 1 , B 2 3 1 , C 1 . A 5 2 3 3 1 1 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------4). Вычислить определители, используя правило треугольника. 2 4 , 3 n n 1 2 , 4 n 1 2 n 3 2n 8 6 1 0 , 4 n/2 8 2 6 4 4n 2 1 1 . 5). Вычислить определитель: 0 0 1 0 2 3 2 n4 1 n 1 n 3 n 1 1 1 1 , 2 0 1 0 2 3 2 n4 1 0 0 3 n 1 1 1 5 , 2 0 2 3 1 27 3n 1 0 0 0 0 1 0 1 5n 2 1 1 3 n , 0 3 2 2 0 0 0 0 1 0 1 5n Задания по установленным формам контроля 6). Вычислить det AB , det A det B , det CD , det C det D : 3 5 n , A 4 2n n n 1 , B 4 3 2 2 n C 3 n 3 1 , 1 2 1 1 1 1 D 3 1 2 n n 2 2 1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------7). Решить системы уравнений по правилу Крамера. Сделать проверку, используя обратную матрицу. 3 x n 6 n , a) n 1 n 2 y 3(n 1) n 1 x 2n 1 , b) 1 2 n y 2n 2 n 1 x 1 n . c) 1 n y 1 n 8). Решить системы уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса. n 1 n 2 x 2 1 a) n 1 1 1 y n 1 , 1 n 2 n 3 z 2 3 n 1 x 0 n 2 b) n 1 n 1 n 2 y n 1 . 3 n2 3 z n 2 9). Решить системы уравнений методом Гаусса. n 1 x n 2 1 a) n 1 n y 1 , 1 1 n z n nx (n 1) y (n 2) z n 1, ny (n 1) z (n 2)t n 1, b) (n 2) x nz (n 1)t n 1, (n 1) x (n 2) y nt n 1. 4.3.2 Векторные (линейные) пространства Контрольные вопросы (8 ч.) 1. Что такое скалярное произведение? Что является его результатом? 2. Что такое норма? Как нормировать элемент линейного пространства? 3. Как вычислить угол между двумя элементами линейного пространства? 4. Как вычислить проекцию x на направление, заданное элементом y? Длину проекции? 5. Найти значения параметра t , при которых векторы c=a- t b и d=a+ t b имеют одинаковую длину. 6. Найти угол между векторами a и b, если они имеют одинаковую длину, а векторы c=a+2b и d=3a-b ортогональны. 7. Вектора a и b разнонаправлены, при этом длина a равна 2, а длина b равна 1. Найти скалярное произведение векторов a и b. 8. Условие ортогональности и коллинеарности векторов. 8. Что является результатом векторного произведения? 9. Как найти проекцию точки на плоскость, используя векторное произведение? 10. Как определить, является ли система векторов линейно зависимой, используя смешанное произведение? 11. Чему равна площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b ? 12. Как найти расстояние точки от плоскости, используя смешанное произведение векторов? 13. Чему равен объем пирамиды, построенной на векторах a , b и c ? 14. Расстояние точки от плоскости. 15. Проекция на плоскость точки, прямой. 16. Дайте определение линейно – независимой системы векторов. 17. Критерий линейной – независимости векторов. Задания по установленным формам контроля Практические задания (4 ч.) 1 1 2 3 2 1 1 1. Определить, является ли система векторов e) b 1 , b 2 , b 3 0 линейно 2. 2 зависимой. Разложить вектор a 3 в линейную комбинацию по данной системе 0 Вычислить длину проекции и проекцию вектора y на направление x : 2 2 y , 3 3. 3 x . 1 x 0 0 1 Дана плоскость : y 0 3 t 2 и точка A(1, 2, 3) . Вычислить коор z 3 2 0 динаты нормали к плоскости . Провести перпендикуляр к плоскости, проходящий через точку A . Вычислить проекцию точки A на плоскость. Задания для самостоятельного решения ( n 1..10 – номер варианта) 1. В единичной метрике 1). Нормировать векторы. 2). Найти косинус угла между y и x . 3). Вычислить проекцию y на направление x и длину проекции: n 3 a) y , x . 3 n 1 Изобразить графически. (41 ч.) n 2 b) y 0 , x n 1 . 1 n ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------2. Даны точки A, B, C и D , вектор a и плоскость . 1). Найти проекцию точки A на плоскость и вычислить расстояние точки A от данной плоскости. Изобразить. 2). Найти проекцию прямой, проходящей через точки A и B , на плоскость . 3). Найти координаты нормали к плоскости . 4). Найти площадь грани ABC . 5). Найти объем пирамиды ABCD . 6). Найти расстояние между прямыми AB и CD . 7). Найти расстояние от точки D до плоскости ABC (2 способами). 8). Провести прямую l1 через точки A и B . 9). Провести прямую l 2 через точку A и параллельно a . 10). Найти угол между прямыми l1 и l 2 . 11). Провести плоскость 1 через три заданные точки. 12). Провести плоскость 2 через точки A, B и параллельно a . 13). Найти прямую пересечения плоскостей 2 и 3 : A (n, 0, 1), B (1, n, 1), C (0, 1, n), D (n, n 1, n), 1 a n 1 , n 1 : x 0 0 n 1 y 0 3 t 2 . z 3 n 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Определить, является ли система векторов b линейно зависимой. Разложить вектор a в линейную комбинацию по данной системе: Задания по установленным формам контроля 1 2 a) b 1 , b 3 , a 1 . n n n 2 n n 2 1 2 3 b) b 3 , b 2 , b 2 , a 1 . n 2 n 2 2 семестр 4.3.3 Линейные операторы Контрольные вопросы: (2 ч.) 1. Что называется оператором? 2. Что называется линейным оператором? 3. Как вычислить матрицу оператора в заданном базисе? 4. Действие оператора на вектор. 6. Какой вид имеет матрица линейного оператора в собственном базисе? 7. Матрица перехода от старого базиса к новому. 4. Как преобразуются координаты вектора в новом базисе? 8. Как преобразуется матрица линейного оператора в новом базисе? 9. Спектр линейного оператора. 10. Что называется собственным вектором и собственным числом линейного оператора? 11. Что называется собственным базисом линейного оператора? 12. Какой вид имеет матрица линейного оператора в собственном базисе? 13. Алгоритм вычисления собственных значений. Практические задания 1. Выяснить, являются ли линейными отображения: а) пространства V3 : x 3 x , x x ; 2. 3. (2 ч.) б) A : R3 R3 , если Ax x1 x3 , 2 x2 x3 , x1 , где x x1, x2 , x3 T . Вычислить матрицу линейного преобразования Ax a x . Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, имею 1 3 1 щего в некотором базисе матрицу A 3 5 1 . Построить базис из собствен 3 3 4. 1 ных векторов и записать матрицу линейного оператора в этом базисе. Найти матрицу линейного оператора дифференцирования, действующего в линейном пространстве многочленов степени не выше двух, в базисе e 1 1, e 2 x, e 3 x2 . Используя матрицу перехода, найти матрицу этого оператора в базисе f 1 1, f 2 x 1, f 3 ( x 1)2 / 2 . Задания для самостоятельного решения ( n 1..6 – номер варианта) 1). Выяснить, являются ли линейными отображения: а) пространства V3 : x x a b , где a, b – фиксированные векторы; (8 ч.) б) A : R3 R3 , если Ax sin x1,0, x3 , где x x1, x2 , x3 T . 2). В пространстве квадратных матриц порядка 2 фиксирован базис, состоящий из 1 0 0 1 0 0 0 0 2 3 4 , e , e , e . 0 0 0 0 1 0 0 1 матриц e1 Записать в этом базисе мат- рицу оператора транспонирования, т.е. оператора, который каждой матрице A ставит в соответствие транспонированную матрицу. 3). Вычислить матрицу линейного преобразования Ax ( x a ) b , где a, b – фиксированные векторы. Задания по установленным формам контроля 1 n 1 2 3 4). a n , a 1 , a 1 соответственно в векторы 1 3 n 1 1 0 n 1 1 2 3 b 1 , b 1 , b 0 . Найти матрицу оператора A в базисе e 1, e 2 , e 3 . 1 n 1 1 5). Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, имею 2 2 0 щего в некотором базисе матрицу A 2 1 2 . Построить базис из собствен 0 2 0 ных векторов и записать матрицу линейного оператора в этом базисе. 6). Пусть линейный оператор, действующий в n – мерном пространстве, имеет в некотором базисе матрицу A . Пусть 1, 2 ,n – собственные значения этого оператора. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в том же базисе является B : а) B A 2 б) B A 1 7). Линейный оператор имеет в базисе e1, e 2 , e 3 матрицу A . Найти матрицу этого оператора в базисе f 1, f 2 , f 3 : 15 11 5 A n 15 8 , 8 n 1 6 f 1 ne 1 (n 1)e 2 e 3 , f 2 (n 1)e 1 (n 2)e 2 e 3 , f 3 e 1 n e 2 ne 3 . 8). В базисе 1, t , t 2 пространства многочленов степени не выше 2 оператор A задан 0 0 1 матрицей A 0 1 0 . Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном 1 0 0 2 многочленами nt 2t , (n 2)t 2 3t 1, 7t 2 (n 2)t 3 . 4.3.4 Билинейный функционал. Квадратичные формы Контрольные вопросы 6. Что называется билинейным функционалом? 7. Тензор билинейного функционала. 8. Инвариантное и координатное задание билинейного функционала. 9. Что называется присоединенным линейным оператором? 10. Матрица присоединенного оператора. 11. Симметричный билинейный функционал. 12. Сопряженный и самосопряженный линейные операторы. 13. Что называется сопряженным оператором? 14. Матрица сопряженного оператора. 15. Свойства сопряжения. 16. Самосопряженный оператор и его матрица. 17. Свойства самосопряженного линейного оператора. 18. Что называется квадратичным функционалом? 19. Способы записи матрицы квадратичного функционала. 20. Канонический вид квадратичного функционала. 21. Что называется каноническим базисом? 22. В чем заключается метод Лагранжа? 23. Что называется индексом квадратичного функционала? (2 ч.) Задания по установленным формам контроля 24. Закон инерции. 25. Тип квадратичного функционала. 26. Что называется ортогональным преобразованием? 27. Алгоритм приведения квадратичного функционала к главным осям. Практические задания (2 ч.) k 2 1. В R с метрикой g i дан билинейный функционал f ( x , y ) 2 x1 y1 2 x1 y2 6 x2 y1 . Вычислить: а) матрицу H [hi k ] тензора hik ; матричный вид f ( x , y ) x T Hy ; б) линейные функционалы ( x ) f ( x , y 0 ), ( y ) f ( x 0 , y ), в) матрицу A присоединенного линейного оператора ( Ax, y) f ( x , y ), г) матрицу A * сопряженного линейного оператора ( x, A* y ) f ( x , y ), д) формулу f ( x , y ) в новом базисе b1 , b 2 , е) формулу f ( x , y ) в ковариантных координатах. 2. Доказать равенство ( A* )* A 3. Привести квадратичный функционал q( x ) x 2 3 y 2 6 xy , где x x y z , к сумме квадратов. Записать приводящую подстановку и переход к каноническому базису. Определить тип квадратичного функционала q( x ) . Вычислить уровни q( x ) 0 . T 4. Привести квадратичный функционал q( x ) x 2 3 y 2 6 xy , где x x y z , к главным осям. Вычертить графики квадрик q( x ) 0 . T Задания для самостоятельного решения (16 ч.) k 2 1). В R с метрикой g i дан билинейный функционал f ( x , y ) 2 x1 y1 2 x1 y2 6 x2 y1 . Вычислить: а) матрицу H [hi k ] тензора hik ; матричный вид f ( x , y ) x T Hy ; б) линейные функционалы ( x ) f ( x , y 0 ), ( y ) f ( x 0 , y ), в) матрицу A присоединенного линейного оператора ( Ax, y) f ( x , y ), г) матрицу A * сопряженного линейного оператора ( x, A* y ) f ( x , y ), д) формулу f ( x , y ) в новом базисе b1 , b 2 , е) формулу f ( x , y ) в ковариантных координатах. 1 вариант 2 вариант 2 1 gi k : f ( x , y ) 2 x1 y1 2 x1 y2 4 x2 y1 ; 1 1 2 1 x 0 , y 0 ; b1 2b1 b 2 , b 2 b1 b 2 . 0 1 1 1 gi k : f ( x , y ) 2 x1 y2 4 x2 y1 2 x2 y2 ; 1 2 0 1 x 0 , y 0 ; b1 b1 2b 2 , b 2 b1 b 2 . 2 1 3 вариант 4 вариант 2 1 gi k : f ( x , y ) 4 x1 y2 2 x2 y1 2 x2 y2 ; 1 1 1 1 x 0 , y 0 ; b1 2b1 b 2 , b 2 b1 b 2 . 0 1 1 1 gi k : f ( x , y ) 2 x1 y1 4 x2 y1 2 x1 y2 ; 1 2 0 1 x 0 , y 0 ; b1 b1 2b 2 , b 2 b1 b 2 . 1 1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2). Доказать равенство: . ( A B)* A* B* . . ( A B )* B* A* . Задания по установленным формам контроля 3). Вектор a V3 порождает линейный оператор A : V3 V3 согласно формуле. Найти оператор A* , сопряженный к оператору A : . Ax a x . . Ax (a, x )a . 1 2 3 4). В базисе b b b линейного арифметического пространства R 3 дана матрица 1 2 3 A 2 1 2 линейного оператора A . Найти матрицу сопряженного оператора A* 3 4 1 в том же базисе b1 b 2 b3 : 1 1 1 2 3 . b 1 , b 1 , b 0 . 0 1 1 1 1 1 1 2 3 . b 0 , b 1 , b 1 . 0 0 1 1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------T 5). Привести квадратичный функционал q( x ) , где x x y z , к сумме квадратов. Записать приводящую подстановку и переход к каноническому базису. Определить тип квадратичного функционала q( x ) . Вычислить уровни q( x ) 0 , q( x ) 1 . 1 вариант 1). q( x ) 2 x 2 3 y 2 6 x ; 2). q( x ) x 2 3 y 2 6 xy ; 3). q( x ) 2 x 2 y 2 6 xy 2 x 3 y ; 4). q( x ) x 2 2 y 2 6 xy 4 yz ; 5). q( x ) 2 x 2 3z 2 6 xy 4 x z . 3 вариант 1). q( x ) 2 x 2 3 y 2 6 y ; 2). q( x ) x 2 2 y 2 6 xy ; 3). q( x ) 3x 2 y 2 6 xy 2 x 3 y ; 4). q( x ) x 2 3 y 2 6 xy 3 yz ; 5). q( x ) 2 y 2 3z 2 6 xy y 2 x . 2 вариант 1). q( x ) 3x 2 2 y 2 6 x ; 2). q( x ) 3x 2 y 2 6 xy ; 3). q( x ) x 2 2 y 2 6 xy 3x 2 y ; 4). q( x ) 2 x 2 y 2 6 xy 2 xz ; 5). q( x ) 2 x 2 3 y 2 6 xz 2 x 4 z . 4 вариант 1). q( x ) 3x 2 2 y 2 6 x ; 2). q( x ) 2 x 2 y 2 6 xy ; 3). q( x ) x 2 3 y 2 6 xy 2 x 2 y ; 4). q( x ) 2 x 2 y 2 4 xy 6 xz ; 5). q( x ) 2 x 2 3z 2 6 xy 2 y z . T 6). Привести квадратичный функционал q( x ) , где x x y z , к главным осям. Вычертить графики квадрик q( x ) q0 . 1 вариант 5. q( x ) x 2 4 xy y 2 ; q0 1 , q0 9 ; 6. q( x ) x 2 2 xy y 2 2 x ; q0 0 , q0 5 ; 7. q( x ) 2 x 2 xy 2 y 2 ; q0 1 , q0 4 ; 8. q( x ) 8 x 2 4 y 2 5 z 2 4 xz 44 x 2 z ; q0 29 . 2 вариант 5. q( x ) x 2 4 xy y 2 ; q0 1 , q0 4 ; 6. q( x ) x 2 2 xy y 2 2 x ; q0 0 , q0 5 ; 7. q( x ) 2 x 2 xy 2 y 2 ; q0 1 , q0 9 ; 8. q( x ) 4 x 2 6 y 2 5 z 2 4 xz 8 y 4 z ; q0 3 . 3 вариант 5. q( x ) x 2 4 xy y 2 ; q0 1 , q0 4 ; 6. q( x ) x 2 2 xy y 2 2 y ; q0 0 , q0 5 ; 7. q( x ) 4 x 2 xy 4 y 2 ; q0 1 , q0 9 ; 8. q( x ) x 2 2 y 2 2 z 2 4 yz 2 x 8z ; q0 6 . 4 вариант 5. q( x ) x 2 4 xy y 2 ; q0 1 , q0 9 ; 6. q( x ) x 2 2 xy y 2 2 y ; q0 0 , q0 5 ; 7. q( x ) 4 x 2 xy 4 y 2 ; q0 1 , q0 4 , 8. q( x ) 2 x 2 3 y 2 z 2 4 xy 4 xz 12 x 6 z ; q0 4 . Задания по установленным формам контроля 4.3.5 Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей Контрольные вопросы 1. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. 2. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. 3. Уравнение асимптот гиперболы. 4. Каноническое уравнение параболы. 5. Определение эксцентриситета эллипса, гиперболы. 1. Что называют кривой? 2. Что называют вектор – функцией? 3. Натуральный параметр и натуральное уравнение вектор – функции. 4. Что называют нормалью и кривизной кривой? 5. Что называют сопровождающим базисом кривой? 6. Формулы Френе. 7. (2 ч.) Практические задания (2 ч.) 2 2 1. На эллипсе 9 x 25 y 225 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в четыре раза больше расстояния ее от левого фокуса. 2. Написать уравнения касательных к гиперболе x 2 4 y 2 16 , проведенных из точки A(0; 2) . x 2 y 2 z 2 4a 2 , 3). Для пространственной кривой f ( x , y , z ) вычислить: 2 2 x y 2 ay . 3.1 сопровождающий базис [ , n , b ] в точках x0 y , y0 2a , z0 2a ; 3.2 уравнение касательной к кривой в точках x0 , y0 , z0 ; 3.3 уравнение нормали к кривой в точках x0 , y0 , z0 ; 3.4 траекторию точек пересечения касательных с плоскостью Oxy ; 3.5 траекторию центров кривизны (эволюту) кривой; 3.6 точки, центры и радиусы наибольшей кривизны. Задания для самостоятельного решения (8 ч.) 1). Эллипс проходит через точку M (4; 21) и имеет эксцентриситет 3/ 4 . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки M . 2). Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в верx2 y 2 шинах эллипса 1. 25 9 3). Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ox и что точка пересечения прямых y x и x y 2 лежит на параболе. 4). Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр зеркала 80 см, а глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы? x 5). Для плоской кривой y a e вычислить и нарисовать: а) сопровождающий базис [ , n , b ] в точках x0 0 , x1 1, x2 1 ; б) центр и радиус наибольшей кривизны. Задания по установленным формам контроля 6). Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 y 2 в ее точке M (2; 1; 1) ; 2 3xyz z 3 a 3 в точках, для которых x 0, а) z б) 7). В каких точках эллипсоида 2 2 ya. 2 y x z 2 2 1 нормаль к нему образует равные углы с 2 a b c осями координат? 8). К поверхности x 2 2 y 2 3z 2 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x 4 y 6z 0 . 9). К эллипсоиду x2 y 2 z 2 1 провести касательные плоскости, отсекающие на коa 2 b2 c 2 ординатных осях равные по величине отрезки. 10). Под каким углом пересекаются цилиндр x 2 y 2 R 2 и сфера ( x R )2 y 2 z 2 R 2 в R R 3 точке M ; ; 0 ? 2 2 Задания по установленным формам контроля 4.4 Семестровые работы для очной формы обучения 1 семестр В R 3 со стандартным базисом даны 4 точки A, B, C, D . Вычислить и показать графически: 1. пирамиду ABCD; 2. векторы b AB, c AC , d AD; длины AB, AC, AD и углы BAC, BAD, CAD ; 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. p b c, площадь грани ABC ; объем тетраэдра ABCD ; уравнение перпендикуляра из D на грань ABC , его длину и точку падения на ABC ; уравнение перпендикуляра из A на прямую BC , его длину и точку падения на BC ; угол между прямой AC и гранью BCD ; угол между гранями ABC и BCD ; уравнение биссектрисы угла BAC , точку ее падения на BC . bc d , Варианты семестровых работ даны в таблице: № A B C D № 1. 2; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 2; 2; 0 15. 1; 0; 0 0; 1; 0 0; 1; 1 3; 1; 0 2. 1; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 2 2; 0; 2 16. 3; 0; 1 0; 1; 0 1; 0; 0 1; 0; 3 3. 2; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 1 0; 2; 2 17. 1; 1; 1 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 4. 2; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 1 2; 0; 2 18. 1; 1; 1 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 5. 1; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 2 2; 2; 0 19. 1; 1; 1 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 6. 2; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 1 0; 2; 4 20. 1; 3; 1 1; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 3 7. 2; 0; 2 0; 1; 0 0; 0; 3 0; 2; 2 21. 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 3 1; 3; 1 8. 1; 0; 1 0; 2; 0 0; 0; 2 2; 2; 0 22. 1; 0; 0 0; 3; 0 0; 0; 2 2; 1; 3 9. 4; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 2; 0; 2 23. 2; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 1; 2; 1 10. 0; 4; 1 0; 1; 0 1; 0; 4 2; 0; 0 24. 1; 3; 1 1; 0; 0 0; 2; 0 0; 1; 1 11. 5; 0; 0 0; 3; 0 1; 1; 0 0; 3; 1 25. 1; 3; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 2; 1; 3 12. 0; 5; 0 3; 1; 0 0; 0; 1 0; 5; 0 26. 1; 0; 0 1; 0; 2 0; 1; 0 1; 1; 3 13. 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 3; 3; 0 27. 1; 0; 1 2; 0; 0 0; 3; 0 0; 0; 2 14. 1; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 1; 1; 1 28. 0; 3; 1 1; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 A B C D Задания по установленным формам контроля 2 семестр В R 3 с метрическим тензором g ik даны 4 точки A, B, C, D . Вычислить и показать графически: 1. базис V3 с метрическим тензором g ik ; пирамиду ABCD в этом базисе; 2. тензоры векторного irs и смешанного irs g ik krs произведений; 3. тензоры bi , ci , di векторов b AB, c AC , d AD; длины AB, AC, AD и углы BAC, BAD, CAD ; 4. тензор pi вектора p b c, площадь грани ABC ; 5. смешанное произведение bc d , объем тетраэдра ABCD ; 6. уравнение перпендикуляра из D на грань ABC , его длину и точку падения на ABC ; 7. уравнение перпендикуляра из A на прямую BC , его длину и точку падения на BC ; 8. угол между прямой AC и гранью BCD ; 9. угол между гранями ABC и BCD ; 10. уравнение биссектрисы угла BAC , точку ее падения на BC . Варианты семестровых работ даны в таблице: № 1. 2. 3. 4. 5. 11. 12. 13. g ik № 1 0 0 0 4 1 0 1 1 6. 3 0 3 0 1 0 3 0 4 7. 2 0 1 0 4 0 1 0 2 8. 4 1 0 1 1 0 0 0 1 9. 1; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 2 2; 2; 0 4 0 2 0 4 0 2 0 2 10. 2; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 1 0; 2; 4 4 1 0 1 1 0 0 0 1 21. 4 0 0 0 4 1 0 1 1 22. 4 0 1 0 1 0 1 0 1 23. A, B, C , D 2; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 2; 2; 0 1; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 2 2; 0; 2 2; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 1 0; 2; 2 2; 0; 0 0; 2; 0 0; 0; 1 2; 0; 2 2; 0; 2 0; 1; 0 0; 0; 3 0; 2; 2 1; 0; 1 0; 2; 0 0; 0; 2 2; 2; 0 A, B, C , D 1; 0; 0 0; 1; 0 0; 1; 1 3; 1; 0 3; 0; 1 0; 1; 0 1; 0; 0 1; 0; 3 1; 1; 1 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 1; 1; 1 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 1; 1; 1 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 1; 3; 1 1; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 3 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 3 1; 3; 1 1; 0; 0 0; 3; 0 0; 0; 2 2; 1; 3 g ik 2 2 0 2 4 0 0 0 4 4 0 3 0 4 0 3 0 3 1 1 0 1 4 0 0 0 4 4 0 0 0 2 2 0 2 4 3 0 3 0 1 0 3 0 4 1 0 1 0 1 0 1 0 4 4 1 0 1 1 0 0 0 4 4 0 3 0 4 0 3 0 3 Задания по установленным формам контроля 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 4; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 2; 0; 2 3 3 0 3 4 0 0 0 1 24. 0; 4; 1 0; 1; 0 1; 0; 4 2; 0; 0 1 1 0 1 4 0 0 0 4 25. 5; 0; 0 0; 3; 0 1; 1; 0 0; 3; 1 2 0 1 0 4 0 1 0 2 26. 3 0 3 0 4 0 3 0 4 27. 2 0 1 0 4 0 1 0 2 28. 1 0 4 0 0 4 0 1 1 0 0 4 29. 0; 5; 0 3; 1; 0 0; 0; 1 0; 1; 1 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 3; 3; 0 1; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 1; 1; 1 3; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 1; 0; 3 1 1 0 1 0 1 30. 2; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 1 1; 2; 1 1; 3; 1 1; 0; 0 0; 2; 0 0; 1; 1 1; 3; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 2; 1; 3 4 0 0 0 4 2 0 2 2 4 0 3 0 1 0 3 0 3 4 0 0 0 1 1 0 1 4 1; 0; 0 1; 0; 2 0; 1; 0 1; 1; 3 3 3 0 3 4 0 0 0 1 1; 0; 1 2; 0; 0 0; 3; 0 0; 0; 2 4 0 1 0 1 0 1 0 1 0; 3; 1 1; 0; 0 0; 1; 0 0; 0; 2 1; 0; 1 0; 1; 2 2; 2; 0 1; 2; 3 2 0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 1 Задания по установленным формам контроля 4.5 Контрольная работа для очно – заочной формы обучения Задание №1. Даны векторы a , b, c, d в некотором базисе. Показать, что векторы a , b, c образуют базис, и представить вектор d в виде линейной комбинации базисных векторов. Задание №2. Даны координаты вершин пирамиды A1 , A2 , A3 , A4 . Найти: а) длину ребра A1 A2 ; б) площадь грани A1 A2 A3 ; в) объём пирамиды; г) уравнения прямой A1 A2 ; д) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; е) уравнения прямой, проходящей через вершину A4 перпендикулярно грани A1 A2 A3 . Вариант Координаты векторов и координаты точек 1 a (1; 2; 3), b (1; 3; 2), c (7; 3; 5), d (6; 10; 17) . A1 (4; 2; 5), A2 (0; 7; 2), A3 (0; 2; 7), A4 (1; 5; 0) 2 a (4; 7; 8), b (9; 1; 3), c (2; 4; 1), d (1; 13; 13) . A1 (4; 4; 10), A2 (4; 10; 2), A3 (2; 8; 4), A4 (9; 6; 4) 3 a (8; 2; 3), b (4; 6; 10), c (3; 2; 1), d (7; 4; 11) . A1 (4; 6; 5), A2 (6; 9; 4), A3 ( 2; 10; 10), A4 (7; 5; 9) 4 a (10; 3; 1), b (1; 4; 2), c (3; 9; 2), d (19; 30; 7) . A1 (3; 5; 4), A2 (8; 7; 4), A3 (5; 10; 4), A4 (4; 7; 8) 5 a (2; 4; 1), b (1; 3; 6), c (5; 3; 1), d (24; 20; 6) . A1 (10; 6; 6), A2 ( 2; 8; 2), A3 (6; 8; 9), A4 (7; 10; 3) 6 a (1; 7; 3), b (3; 4; 2), c (4; 8; 5), d (7; 32; 14) . A1 (1; 8; 2), A2 (5; 2; 6), A3 (5; 7; 4), A4 ( 4; 10; 9) 7 a (1; 2; 3), b (4; 7; 2), c (6; 4; 2), d (14; 18; 6) . A1 (6; 6; 5), A2 (4; 9; 5), A3 ( 4; 6; 11), A4 (6; 9; 3) 8 a (1; 4 3), b (6; 8; 5), c (3; 1; 4), d (21; 18; 33) . A1 (7; 2; 2), A2 (5; 7; 7), A3 (5; 3; 1), A4 (2; 3; 7) 9 a (2; 7; 3), b (3; 1; 8), c (2; 7; 4), d (16; 14; 27) . A1 (8; 6; 4), A2 (10; 5; 5), A3 (5; 6; 8), A4 (8; 10; 7) 10 a (7; 2; 1), b (4; 3; 5), c (3; 4; 2), d (2; 5; 13) . A1 (7; 7; 3), A2 (6; 5; 8), A3 (3; 5; 8), A4 (8; 4; 1) 11 a (1; 2; 3), b (1; 3; 2), c (7; 3; 5), d (6; 10; 17) . A1 (4; 2; 5), A2 (0; 7; 2), A3 (0; 2; 7), A4 (1; 5; 0) 12 a (4; 7; 8), b (9; 1; 3), c (2; 4; 1), d (1; 13; 13) . A1 (4; 4; 10), A2 (4; 10; 2), A3 (2; 8; 4), A4 (9; 6; 4) 13 a (8; 2; 3), b (4; 6; 10), c (3; 2; 1), d (7; 4; 11) . A1 (4; 6; 5), A2 (6; 9; 4), A3 ( 2; 10; 10), A4 (7; 5; 9) 14 a (10; 3; 1), b (1; 4; 2), c (3; 9; 2), d (19; 30; 7) . A1 (3; 5; 4), A2 (8; 7; 4), A3 (5; 10; 4), A4 (4; 7; 8) 15 a (2; 4; 1), b (1; 3; 6), c (5; 3; 1), d (24; 20; 6) . A1 (10; 6; 6), A2 ( 2; 8; 2), A3 (6; 8; 9), A4 (7; 10; 3) 16 a (1; 7; 3), b (3; 4; 2), c (4; 8; 5), d (7; 32; 14) . A1 (1; 8; 2), A2 (5; 2; 6), A3 (5; 7; 4), A4 ( 4; 10; 9) 17 a (1; 2; 3), b (4; 7; 2), c (6; 4; 2), d (14; 18; 6) . A1 (6; 6; 5), A2 (4; 9; 5), A3 ( 4; 6; 11), A4 (6; 9; 3) Задания по установленным формам контроля 18 a (1; 4; 3), b (6; 8; 5), c (3; 1; 4), d (21; 18; 33) . A1 (7; 2; 2), A2 (5; 7; 7), A3 (5; 3; 1), A4 (2; 3; 7) 19 a (2; 7; 3), b (3; 1; 8), c (2; 7; 4), d (16; 14; 27) . A1 (8; 6; 4), A2 (10; 5; 5), A3 (5; 6; 8), A4 (8; 10; 7) 20 a (7; 2; 1), b (4; 3; 5), c (3; 4; 2), d (2; 5; 13) . A1 (7; 7; 3), A2 (6; 5; 8), A3 (3; 5; 8), A4 (8; 4; 1) 21 a (1; 2; 3), b (1; 3; 2), c (7; 3; 5), d (6; 10; 17) . A1 (4; 2; 5), A2 (0; 7; 2), A3 (0; 2; 7), A4 (1; 5; 0) 22 a (4; 7; 8), b (9; 1; 3), c (2; 4; 1), d (1; 13; 13) . A1 (4; 4; 10), A2 (4; 10; 2), A3 (2; 8; 4), A4 (9; 6; 4) 23 a (8; 2; 3), b (4; 6; 10), c (3; 2; 1), d (7; 4; 11) . A1 (4; 6; 5), A2 (6; 9; 4), A3 ( 2; 10; 10), A4 (7; 5; 9) 24 a (10; 3; 1), b (1; 4; 2), c (3; 9; 2), d (19; 30; 7) . A1 (3; 5; 4), A2 (8; 7; 4), A3 (5; 10; 4), A4 (4; 7; 8) 25 a (2; 4; 1), b (1; 3; 6), c (5; 3; 1), d (24; 20; 6) . A1 (10; 6; 6), A2 ( 2; 8; 2), A3 (6; 8; 9), A4 (7; 10; 3) 26 a (1; 7; 3), b (3; 4; 2), c (4; 8; 5), d (7; 32; 14) . A1 (1; 8; 2), A2 (5; 2; 6), A3 (5; 7; 4), A4 ( 4; 10; 9) 27 a (1; 2; 3), b (4; 7; 2), c (6; 4; 2), d (14; 18; 6) . A1 (6; 6; 5), A2 (4; 9; 5), A3 ( 4; 6; 11), A4 (6; 9; 3) 28 a (1; 4; 3), b (6; 8; 5), c (3; 1; 4), d (21; 18; 33) . A1 (7; 2; 2), A2 (5; 7; 7), A3 (5; 3; 1), A4 (2; 3; 7) 29 a (2; 7; 3), b (3; 1; 8), c (2; 7; 4), d (16; 14; 27) . A1 (8; 6; 4), A2 (10; 5; 5), A3 (5; 6; 8), A4 (8; 10; 7) 30 a (7; 2; 1), b (4; 3; 5), c (3; 4; 2), d (2; 5; 13) . A1 (7; 7; 3), A2 (6; 5; 8), A3 (3; 5; 8), A4 (8; 4; 1) Задание № 3 1. Уравнение одной из сторон квадрата x 3 y 5 0 . Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если P(1; 0) – точка пересечения его диагоналей. 2. Даны уравнения одной из сторон ромба 2x y 5 0 и одной из его диагоналей y 1 0 ; диагонали ромба пересекаются в точке P(3; 1) . Найти уравнения остальных сторон ромба. 3. Уравнения двух сторон параллелограмма x 2 y 2 0 и x y 0 , а уравнение одной из его диагоналей x 2 0 . Найти координаты вершин параллелограмма. 4. Даны две вершины A(3; 3) и B(5; 1) , и точка D(4; 3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. 5. Даны вершины A(1; 1) , B(2; 3) , C(4; 1) трапеции ABCD ( AD || BC) . Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. 6. Даны уравнения двух сторон треугольника 5x 4 y 15 0 и 4x y 9 0 . Его медианы пересекаются в точке P(0; 2) . Составить уравнение третьей стороны треугольника. Задания по установленным формам контроля 7. Даны две вершины A(2; 2) , B(3; 1) и точка P(1; 0) пересечения медиан треугольника ABC . Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину C . 8. Даны уравнения двух высот треугольника x 2 y 1 0 , y 1 0 и одна из его вершин A(1; 3) . Составить уравнения его сторон. 9. Даны уравнения двух медиан треугольника x 2 y 1 0 , y 1 0 и одна из его вершин A(1; 3) . Составить уравнения его сторон. 10. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x 2 y 8 0 , 3x 2 y 8 0 , а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. 11. Уравнение одной из сторон квадрата x 3 y 5 0 . Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если P(1; 0) – точка пересечения его диагоналей. 12. Даны уравнения одной из сторон ромба 2x y 5 0 и одной из его диагоналей y 1 0 ; диагонали ромба пересекаются в точке P(3; 1) . Найти уравнения остальных сторон ромба. 13. Уравнения двух сторон параллелограмма x 2 y 2 0 и x y 0 , а уравнение одной из его диагоналей x 2 0 . Найти координаты вершин параллелограмма. 14. Даны две вершины A(3; 3) и B(5; 1) , и точка D(4; 3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. 15. Даны вершины A(1; 1) , B(2; 3) , C(4; 1) трапеции ABCD ( AD || BC) . Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. 16. Даны уравнения двух сторон треугольника 5x 4 y 15 0 и 4x y 9 0 . Его медианы пересекаются в точке P(0; 2) . Составить уравнение третьей стороны треугольника. 17. Даны две вершины A(2; 2) , B(3; 1) и точка P(1; 0) пересечения медиан треугольника ABC . Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину C . 18. Даны уравнения двух высот треугольника x y 4 , y 2x и одна из его вершин A(0; 2) . Составить уравнения его сторон. 19. Даны уравнения двух медиан треугольника x 2 y 1 0 , y 1 0 и одна из его вершин A(1; 3) . Составить уравнения его сторон. 20. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x 2 y 8 0 , 3x 2 y 8 0 , а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. 21. Уравнение одной из сторон квадрата x 3 y 5 0 . Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если P(1; 0) – точка пересечения его диагоналей. 22. Даны уравнения одной из сторон ромба 2x y 5 0 и одной из его диагоналей y 1 0 ; диагонали ромба пересекаются в точке P(3;1) . Найти уравнения остальных сторон ромба. Задания по установленным формам контроля 23. Уравнения двух сторон параллелограмма x 2 y 2 0 и x y 0 , а уравнение одной из его диагоналей x 2 0 . Найти координаты вершин параллелограмма. 24. Даны две вершины A(3; 3) и B(5; 1) , и точка пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. 25. Даны вершины A(1; 1) , B(2; 3) , C(4; 1) трапеции ABCD ( AD || BC) . Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. 26. Даны уравнения двух сторон треугольника 5x 4 y 15 0 и 4x y 9 0 . Его медианы пересекаются в точке P(0; 2) . Составить уравнение третьей стороны треугольника. 27. Даны две вершины A(2; 2) , B(3; 1) и точка P(1; 0) пересечения медиан треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину C . 28. Даны уравнения двух высот треугольника x y 4 , y 2x и одна из его вершин A(0; 2) . Составить уравнения его сторон. 29. Даны уравнения двух медиан треугольника x 2 y 1 0 , y 1 0 и одна из его вершин A(1; 3) . Составить уравнения его сторон. 30. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x 2 y 8 0 , 3x 2 y 8 0 , а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Задание № 4 Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей A . 0 1. А 3 2 5 4. А 1 1 7 7. А 10 12 0 10. А 0 1 1 0 4 0 1 2 6 3 0 1 2 1 0 0 19 10 24 13 7 4 1 0 13 0 4 5 7 13. А 1 4 9 4 0 5 1 3 2. А 2 6 1 4 4 5 5. А 5 7 6 9 1 3 8. А 4 1 4 8 0 1 11. А 3 4 2 1 3 13 8 2 3 4 0 0 2 0 0 2 5 6 3 14. А 1 0 1 1 2 1 4 5 7 3. А 1 4 9 4 0 5 2 1 2 6. А 5 3 3 1 0 2 1 3 4 9. А 4 7 8 6 7 7 1 3 3 12. А 2 6 13 1 4 8 4 5 2 15. А 5 7 3 6 9 4 Задания по установленным формам контроля 2 1 2 16. А 5 3 3 1 0 2 1 3 4 19. А 4 7 8 6 7 7 1 3 3 22. А 2 6 13 1 4 8 4 5 2 25. А 5 7 3 6 9 4 1 0 3 28. А 4 1 0 4 8 2 0 0 7 17. А 10 19 10 12 24 13 0 7 4 20. А 0 1 0 1 13 0 4 5 7 23. А 1 4 9 4 0 5 2 1 2 26. А 5 3 3 1 0 2 1 3 4 29. А 4 7 8 6 7 7 1 0 3 18. А 4 1 0 4 8 2 0 1 0 21. А 3 4 0 2 1 2 3 5 6 24. А 1 0 1 1 2 1 0 0 7 27. А 10 19 10 12 24 13 0 7 4 30. А 0 1 0 1 13 0 Задание № 5 Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместимость и решить матричным способом и методом Гаусса. 3x1 2 x2 x3 5, 1. 2 x1 3x2 x3 1, x1 2 x2 3x3 6, 2. 2 x1 3x2 4 x3 20, 2 x x 3x 11. 3 1 2 x x 2 x 1 2 3 1, 4. 2 x1 x2 2 x3 4, 4 x x 4 x 2. 3 1 2 x1 x2 x3 1, 7. 8 x1 3x2 6 x3 2, 4 x x 3x 3. 3 1 2 x1 2 x2 4 x3 31, 10. 5 x1 x2 2 x3 20, 3x x x 9. 3 1 2 4 x1 3x2 2 x3 9, 13. 2 x1 5x2 3x3 4, 5 x 6 x 2 x 18. 2 3 1 3x 2 x 5 x 6. 2 3 1 2 x x x 1 2 3 4, 5. 3x1 4 x2 2 x3 11, 3x 2 x 4 x 11. 2 3 1 x1 4 x2 2 x3 3, 8. 3x1 x2 x3 5, 3x 5 x 6 x 9. 2 3 1 3x1 2 x2 x3 5, 11. 2 x1 3x2 x3 1, 2 x x 3x 11. 3 1 2 x1 x2 2 x3 1, 14. 2 x1 x2 2 x3 4, 4 x x 4 x 2. 3 1 2 3x1 4 x2 2 x3 8, 16. 2 x1 x2 3x3 4, x 5 x x 0. 2 3 1 x1 x2 x3 1, 17. 8 x1 3x2 6 x3 2, 4 x x 3x 3. 2 3 1 x1 2 x2 4 x3 31, 20. 5 x1 x2 2 x3 20, 3x x x 9. 3 1 2 7 x1 5 x2 31, 19. 4 x1 11x3 43, 2 x 3x 4 x 20. 2 3 1 4 x1 3x2 2 x3 9, 3. 2 x1 5x2 3x3 4, 6. 9. 12. 15. 5 x 6 x 2 x 18. 2 3 1 3 x 4 x 2 x 1 2 3 8, 2 x1 x2 3x3 4 x 5 x x 0. 2 3 1 7 x1 5 x2 31, 4 x1 11x3 43, 2 x 3x 4 x 20. 2 3 1 x1 2 x2 3x3 6, 2 x1 3x2 4 x3 20, 3x 2 x 5 x 6. 2 3 1 2 x1 x2 x3 4, 3x1 4 x2 2 x3 11, 3x 2 x 4 x 11. 2 3 1 x1 4 x2 2 x3 3, 18. 3x1 x2 x3 5, 3x 5 x 6 x 9. 2 3 1 3x1 2 x2 x3 5, 21. 2 x1 3x2 x3 1, 2 x x 3x 11. 3 1 2 Задания по установленным формам контроля x1 2 x2 3x3 6, 22. 2 x1 3x2 4 x3 20, 3x 2 x 5 x 6. 2 3 1 2 x1 x2 x3 4, 25. 3x1 4 x2 2 x3 11, 3x 2 x 4 x 11. 2 3 1 x1 4 x2 2 x3 3, 28. 3x1 x2 x3 5, 3x 5 x 6 x 9. 2 3 1 4 x1 3x2 2 x3 9, 23. 2 x1 5x2 3x3 4, 5 x 6 x 2 x 18. 2 3 1 3x1 4 x2 2 x3 8, 26. 2 x1 x2 3x3 4, x 5 x x 0. 2 3 1 7 x1 5 x2 31, 29. 4 x1 11x3 43, 2 x 3x 4 x 20. 2 3 1 x1 x2 2 x3 1, 24. 2 x1 x2 2 x3 4, 4 x x 4 x 2. 3 1 2 x1 x2 x3 1, 27. 8 x1 3x2 6 x3 2, 4 x x 3x 3. 3 1 2 x1 2 x2 4 x3 31, 30 5 x1 x2 2 x3 20, 3x x x 9. 3 1 2 Задания по установленным формам контроля 4.6 Вопросы и задачи для подготовки к экзамену 4.6.1 Вопросы к экзамену 4.6.1.1 Первый семестр Тема 1 Основные алгебраические структуры 1. Понятие полугруппы, моноида. 2. Определение группы. Примеры. 3. Определение кольца, поля. Примеры. Тема 2 Аналитическая геометрия 4. Определение матрицы, операции над матрицами. 5. Определитель, свойства определителя. 6. Минор элемента матрицы, алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке (столбцу). 7. Вычисление обратной матрицы. 8. Система линейных алгебраических уравнений. 9. Ранг, дефект матрицы. Критерий совместности СЛАУ. 10. Решение Крамера системы уравнений. 11. Схема Гаусса. Общее решение СЛАУ. 12. Нетривиальные решения однородной СЛАУ. Тема 3 Векторные (линейные) пространства 13. Понятие линейного пространства. Примеры. 14. Линейная комбинация системы векторов. Линейная оболочка. 15. Критерий линейной независимости в конкретных линейных пространствах. 16. Базис линейного пространства. Координаты вектора. Единственность координат. 17. Линейные операции над векторами. 18. Скалярное произведение. Скалярное произведение в координатном пространстве с единичной метрикой. Скалярное произведение в координатном пространстве с неединичной метрикой. Скалярное произведение в геометрическом пространстве. 19. Неравенство Коши – Буняковского. Норма вектора. Угол между векторами. Единичный вектор; нормирование. 20. Матрица Грама, метрика базиса. 21. Нулевая линейная комбинация. Линейная независимость системы векторов. Матрица Грама линейно зависимой системы векторов. Критерий линейной независимости данной системы векторов 22. Вычисление координат, система Грама. 23. Проекция вектора на направление. Проекция вектора на подпространство. 24. Векторное произведение. Смешенное произведение векторов. 25. Плоскость, проходящая через три заданные точки. Плоскость, проходящая через данную прямую и точку. 26. Нормальный вектор плоскости. 27. Плоскость, перпендикулярная данной прямой. 28. Точка пересечения двух прямых. Точка пересечения прямой и плоскости. 29. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. 30. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Расстояние между прямыми. 31. Проекция точки на прямую. Проекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость. 32. Площадь треугольника с заданными вершинами. Задания по установленным формам контроля 33. Объем тетраэдра с заданными вершинами. 34. Все векторы, ортогональные данному вектору в 35. Общий перпендикуляр двух прямых. Rn . Тема 4 Линейные отображения (операторы) 36. Линейное отображение, линейный оператор. Действие линейного оператора на вектор. 37. Сумма линейных операторов. Суперпозиция линейных операторов. Группа линейных преобразований. Основные подгруппы линейных преобразований. Линейное пространство линейных операторов. 38. Матрица линейного оператора. 39. Собственные направления линейного оператора. Собственные значения линейного оператора. Собственные подпространства линейного оператора. 40. Спектр линейного оператора. Собственный базис линейного оператора. Приведение матрицы к собственному базису. 41. Характеристический многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона – Кэли. 42. Преобразование базиса. 43. Координаты линейного оператора в новом базисе. Координаты вектора в новом базисе. 44. Подобие матриц. Инварианты подобия матриц. 45. Регулярная функция линейного оператора. 46. Нормированные и метрические пространства. Евклидова норма, нормальная метрика. Примеры норм. 47. Норма линейного оператора. 48. Линейный функционал. Тензорная форма линейного функционала. 49. Линейное пространство линейных функционалов. Сопряженное пространство. 50. Линейно независимые линейные функционалы. 51. Взаимный базис. Построение взаимного базиса. 4.6.1.2 Второй семестр Тема 5 Билинейные и квадратичные формы: 1. Билинейный функционал. Матрица билинейного функционала. Симметричный билинейный функционал. Тензорная форма билинейного функционала. 2. Сопряженный оператор. 3. Самосопряженный оператор. Собственные векторы самосопряженного оператора. 4. Ортогональный оператор. 5. Квадратичный функционал. 6. Главные оси квадратичного функционала. 7. Канонический вид квадратичного функционала. Канонический базис квадратичного функционала. Приведение квадратичного функционала к канонической форме. 8. Приведение квадратичного функционала к главным осям. 9. Индекс квадратичного функционала. Закон инерции. 10. Типы квадратичного функционала. 11. Ковариантные координаты. 12. Гипербола. Фокусы гиперболы. Фокальное свойство гиперболы. Параметрические уравнения гиперболы. Гипербола со смещенным центром. 13. Парабола. Фокальное свойство параболы. 14. Эллипс. Фокусы эллипса. Фокальное свойство эллипса. Эллипс со смещенным центром. Параметрические уравнения эллипса. Задания по установленным формам контроля Тема 6 Многомерная геометрия кривых и поверхностей 15. Натуральное уравнение вектор – функции. Нормаль и кривизна. 16. Сопровождающий базис кривой. 17. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль. 4.6.2 Задачи к экзамену 4.6.2.1 Первый семестр 2 1 1. В R 2 с метрическим тензором g ik вычислить площадь треугольника с 1 2 вершинами A(1; 2), B(2; 1) C (3; 2) . 2 1 2. В R 2 с метрическим тензором g ik вычислить расстояние от точки 1 2 A(1; 1) до многообразия 2 x1 x2 2 . 2 1 3. В R 2 с метрическим тензором g ik вычислить проекцию точки A(0; 2) 1 2 до многообразия x1 2 x2 2 . 2 1 0 4. В R 3 с метрическим тензором g ik 1 2 0 вычислить расстояние от начала ко0 0 1 x1 x2 3, x1 x2 1. ординат до многообразия 2 1 0 5. В R с метрическим тензором g 1 2 0 вычислить ортогональную проек0 0 1 цию точки A(2; 0; 1) на ось Ox1 . 3 ik 1 0 1 6. В R 3 с метрическим тензором g ik 0 1 0 вычислить расстояние между 1 0 4 точками A(0; 1; 2) , B (2; 0; 1) . 1 0 1 3 ik 7. В R с метрическим тензором g 0 1 0 вычислить проекцию точки 1 0 4 A(0; 0; 4) на многообразие x1 x2 x3 0 . 1 0 1 8. В R с метрическим тензором g 0 1 0 вычислить все векторы, ортого 1 0 4 1 нальные вектору x 0 . 1 3 ik Задания по установленным формам контроля 4 0 1 9. В R с метрическим тензором g 0 1 0 вычислить угол между векторами 1 0 1 2 1 x 0; y 2 . 1 0 3 ik 4 0 1 10. В R с метрическим тензором g 0 1 0 вычислить угол между направле 1 0 1 нием Ox1 и многообразием x1 x3 2 . 3 ik 4 x y 2 z 2, 11. Дана линейная задача в R : 2 x 3 y 4 z 4, 3x y z 1. 4 Вычислить: а) общее решение; б) два какие-либо частные решения; в) частное решение, у которого x 1 . 4.6.2.2 Второй семестр 1. Находятся ли линейные функционалы f ( x ) 2 x1 3x2 x3 , g ( x ) x2 3x3 , h( x ) x1 x2 x3 в линейной зависимости? Если да, то в какой? 2. Привести к главным осям квадратичное уравнение x 2 3 xy 2 . Представить его геометрический образ. 2 1 3. В R 2 с метрическим тензором g ik записать уравнение оси Ox1 во взаим1 2 ном базисе. 4 1 0 ik 3 4. В R с метрическим тензором g 1 1 0 записать уравнение плоскости 0 0 1 Ox1 x2 во взаимном базисе. 2 x y 0, 5. Дана линейная задача в R : x 2 y 0, 3 x y z 1. 4 Вычислить: а) общее решение; б) два какие-либо частные решения; в) частное решение, у которого x 1 . База тестовых заданий по дисциплине «Геометрия и алгебра» 5. ТЕСТЫ ДЛЯ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ 5.1 ТЕСТОВЫЙ МАТЕРИАЛ ПО 1 СЕМЕСТРУ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ ТЕМА «ТЕОРИЯ МАТРИЦ» Комплексные числа 1. Модулем комплексного числа z a bi называется число… 1. z a 2 b 2 2. z a 2 b2 3. z a 2 b 2 2. Вещественной частью комплексного числа z a bi является… 3. Мнимой частью комплексного числа z a bi является… 4. Сопряженным числом к комплексному числу z a bi называется число… 5. Тригонометрической формой комплексного числа z называется 6. Представьте в алгебраической . 25cos225 i sin135 7. Представьте 4 8i sin60 в форме тригонометрической число 1. 3. 1. 3. 1. 3. 1. 4. z a 2 b 2 2. 4. 2. 4. 2. 4. 2. a b a b z a bi z a bi z a bi 3. z z ei( 2 k ) a bi a bi z a bi z ai b z z (cos i sin ) ln z i( 2k ) 4. z e 25 2 2 25 2 2 2. i i 2 2 2 2 25 2 2 25 2 2 3. 4. i i 2 2 2 2 форме число 1. 4 cos i sin 2. 4 cos i sin 3 3 6 6 3. 8 cos i sin 4. 8 cos i sin 3 3 3 3 Матрицы и матричное исчисление 1. 8. Впишите в утверждение недостающее слово: _____________ размерности n m называется прямоугольная таблица, содержащая n строк и m столбцов. 1 2 1 1 9. Если A и B , то матрица C 2 A B 4 5 0 2 имеет вид … 10. Какая из матриц не имеет обратной? 1 3 1 2 0 3 1. 2. 3. 2 4 2 1 2 4 1 3 1. . 8 8 1 3 3. . 4 3 0 1 2. . 8 8 1 3 4. . 8 8 1. 3 . 2. 3. 2 . 4. 3 5 4. 2 1 3 1 11. Матрица A вырождена при , равном … 3 1 8 . 3 8 . 3 12. Если AXB C , где A, B, C, X – матрицы, то 1. X A1CB1 2. X CA1 B1 3. X B1 A1C 4. X A1 B1C i 3 i 13. Матрица, транспонированная к матрице A , име5 2 ет вид… i 1. AT 3 i i 3. AT 3 i i 3 i 14. Матрица, противоположная к матрице A , имеет 5 2 вид… i 1. 3 i i 3. 3 i 15. ( AB)T равно… 1. A B 2 5 2 5 2 5 2 5 i 3 i 2. AT 5 2 2 i 4. AT 3 i 5 i 3 i 2. 5 2 i 3 i 4. 5 2 2. B A База тестовых заданий по дисциплине «Геометрия и алгебра» 16. det( A ) равен… T 1 det A 2. 8 4. -8 1. det A 1 17. Минор элемента a в определителе 4 2 3 2 3 0 5 2 4 равен 2. 1. 11 3. 16 3 18. Какие матрицы нельзя перемножить? 1 2 3 3. 2 6 4 3 2 1 3 0 5 19. Определена ли матрица A B , если A – матрица-строка, B – матрица-столбец? 20. Если A – матрица размерности k n , B – матрица размерности n m , то какой размерности матрица AB ? 21. Если определено произведение матрицы на столбец, то результатом произведения является… 22. Результатом произведения строки 1 n на матрицу n m является… 23. Результатом произведения строки 1 n на столбец n 1 является… 24. Результатом произведения столбца на строку является… 3 1. 1 2 4 1 4 0 6 2. 3 2 3 2 25. Определитель – это числовая характеристика матрицы. 3 2 2 4. 1 5 1 1. Да. 1. m k 3. n n 1. Число. 3. Строка. 1. Число. 4. Матрица. 1. Число. 4. Матрица. 1. Число. 4. Матрица. 2. Нет. 2. k m . 4. Произведение не определено. 2. Столбец. 4. Матрица. 2. Столбец. 3. Строка. 5. Не определено. 2. Вектор. 3. Строка. 5. Не определено. 2. Вектор. 3. Строка. 5. Не определено. 1.Прямоугольной. 3. Круговой. 2. Нулевой. 4. Квадратной. 26. Впишите в утверждение недостающую фразу: ________________ элемента aij матрицы называется его минор, взятый со знаком ( 1 )i j . 27. Впишите в утверждение недостающее слово: Матрица называется ________________, если ее определитель равен нулю. 28. Впишите в утверждение недостающее слово: Для любой невырожденной матрицы существует _____________матрица. 29. Впишите в утверждение недостающее слово: ______________ квадратной матрицы называется сумма элементов главной диагонали матрицы. 30. Впишите в утверждение недостающее слово: При транспонировании квадратной матрицы ее __________________ не меняется. 31. Матрица называется невырожденной, если ее определитель… 32. Пусть det A 3 . Найдите det( A1 ) . 33. Вычислите det A det B , если 1 4 7 B 2 5 8 . 3 6 9 2 1 1 34. Определитель 3 2 1 равен … 0 1 2 3 A 4 5 6 , 7 8 9 1. Равен нулю. 2. Не равен нулю 1. 9 2. 3. 3 1 3 4. -3 1. 0 3. 2 2. 1 4. 3 1. 1. 3. 5. 2. -5. 4.-1. 1 0 35. Вычислить определитель n-го порядка 1 2 3 n 0 2 3 n 0 0 3 . . . 0 0 0 36. Ранг матрицы – это … 1. 1. 3. n! . 2. n . 4. nn . n . . n 1. Порядок наибольшего минора, отличного от нуля. База тестовых заданий по дисциплине «Геометрия и алгебра» 2. 3. Наибольший порядок минора, отличного от нуля. Минор, отличный от нуля. 1. 1 2. 2 1 1 2 3. 3 4. 4 37. Найдите ранг матрицы 2 1 1 . 1 0 1 38. Установите соответствия между названиями квадратных матриц M и определениями. Впишите букву рядом с цифрой: 1. симметрическая; А. M M T E ; 2. ортогональная; Б. M M T 0 ; 3. невырожденная; В. M M T ; 4. кососимметрическая; Г. det M 0 . Ответы: 1 _____ ; 2 _____ ; 3 _____ ; 4 _____ . 39. Установите соответствия между названиями матриц A и B и определениями. Впишите букву рядом с цифрой: 1. подобные; А. A B ; 2. противоположные; Б. A B B A E ; 3. коммутативные; В. A C 1BC , где C – невырожденная матрица; 4. обратные; Г. AB BA . Ответы: 1 _____ ; 2 _____ ; 3 _____ ; 4 _____ . ТЕМА «СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ» 40. Система линейных алгебраических уравнений называется 1. Имеет хотя бы одно решение. определенной, если… 2. Имеет единственное решение. 3. Имеет тривиальное решение. 4. Правая часть системы равна нулю. 41. Система линейных алгебраических уравнений называется 1. Имеет хотя бы одно решение. однородной, если… 2. Имеет единственное решение. 3. Имеет тривиальное решение. 4. Правая часть системы равна нулю. 42. Система линейных алгебраических уравнений называется 1. Имеет хотя бы одно решение. совместной, если… 2. Имеет единственное решение. 3. Имеет тривиальное решение. 4. Правая часть системы равна нулю. 43. Впишите в утверждение недостающие слова: Система линейных уравнений совместна, если ______________ матрицы системы равен ______________ расширенной матрицы системы. 44. Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, то 1. Не имеет решений. система … 2. Имеет единственное решение. 3. Имеет бесконечное множество решений. 45. Система линейных однородных уравнений всегда … 1. Совместна. 2. Определена. 3. Несовместна. 46. В системе уравнений 1. x4 , x5 x1 3x2 x3 2 x4 x5 0 2. x5 x x 2 x x 0 3. x1 , x2 , x3 2 3 4 5 2 x x 4 x 0 4. x1 , x2 , x3 , x4 , x5 4 5 3 независимыми (свободными) переменными можно считать… 47. Впишите в утверждение недостающие слова: Общее решение системы линейных уравнений равно сумме _________________________ соответствующей ей однородной системы и ____________________________ рассматриваемой системы. 2 48. Система уравнений 2ax y a 2a , 2 10 x ( a 6 ) y 10 a 5a не имеет решения, если параметр a равен … 49. Решить матричное уравнение 1 3 2 3 Х 4 5 5 9 50. Сколько решений может иметь неоднородная система линейных алгебраических уравнений, если столбцы ее матрицы линейно независимы? 1. 1 и 5. 3. –5. 1. 1 2 . 3 4 3. 1 0 . 0 1 2. –1. 4. –1 и –5. 2. 1 4 . 2 3 4. 1 1 . 3 2 1. Множество решений. 2. Единственное решение. 3. Не имеет решения. База тестовых заданий по дисциплине «Геометрия и алгебра» 51. Сколько решений может иметь однородная СЛАУ, если столбцы ее матрицы линейно зависимы? 1. Множество решений. 2. Единственное решение. 3. Не имеет решения. 1. Да. 2. Нет. 52. Может ли неоднородная СЛАУ быть неопределенной, если столбцы ее матрицы линейно независимы? 53. Может ли неоднородная СЛАУ быть неопределенной, если 1. Да. столбцы ее матрицы линейно зависимы? 54. Может ли неоднородная СЛАУ быть неопределенной, если 1. Да. соответствующая однородная СЛАУ является определенной? 55. Может ли неоднородная СЛАУ быть неопределенной, если 1. Да. соответствующая однородная СЛАУ является неопределенной? 56. Впишите в утверждение недостающие слова: Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет ______________________________________. 2. Нет. 2. Нет. 2. Нет. ТЕМА «ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА» Линейная независимость векторов 57. Система векторов называется линейно независимой, если… 1. Ни один вектор системы нельзя выразить через другие. 2. Один вектор системы можно выразить через другие. 3. Только тривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору. 58. Впишите в утверждение недостающее слово: Векторы a , b , c называются линейно ___________________, если существуют такие числа x, y , z , не равные одновременно нулю, что xa yb z c 0 . 59. Впишите в утверждение недостающее слово: ___________ пространства – это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. 60. Определите линейную зависимость системы векторов 1. Система зависима. 2. Система векторов независима. 1 3 1 b1 2 , b2 2 , b3 0 0 3 7 ТЕМА «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Скалярное произведение векторов 61. Результатом скалярного произведения является … 1 4 62. Скалярное произведение векторов a 3 и b 3 рав2 2 но… 63. Найдите значения параметра t , при которых векторы c a t b и d a t b имеют одинаковую длину. 64. Вычислите косинус угла между векторами a и b , если они имеют одинаковую длину, а векторы c a 3b и d 2 a b ортогональны. 65. Какие из следующих пар векторов ортогональны (скалярное произведение предполагается стандартным)? 1. Вектор. 3. Функция. 1. 10 3. -9 2.Число. 4. Натуральное число. 2. 9 4. -10 1. 1 3. -1 1. 1/5 3. -1/5 2. 2 4. 0 2. 2 4. 0 1. ( 4; 4; 0 ), ( 1; 1; 1) . 3. ( 0; 4; 0 ), ( 1; 0; 7 ) . 66. Скалярное произведение в арифметическом пространстве с неединичной метрикой имеет вид… 1. ( x , y ) xT y 2. ( 4; 1; 1), ( 0; 1; 1) . 4. ( 1; 0; 0 ), ( 1; 1; 9 ) . 2. ( x , y ) x y cos( x y ) b 3. ( x , y ) x( t ) y( t )dt 4. ( x , y ) xT Gy a 67. Скалярное произведение в геометрическом пространстве имеет вид… 1. ( x , y ) x y T 2. ( x , y ) x y cos( x y ) b 3. ( x , y ) x( t ) y( t )dt 4. ( x , y ) xT Gy a 68. Длины диагоналей параллелограмма, построенного на век- 1. 113, 21 2. 113, 12 База тестовых заданий по дисциплине «Геометрия и алгебра» 1 1 3. 111, 4. 111, 21 12 торах a 3 и b 4 равны 2 6 69. Впишите в утверждение недостающее слово: ______________ пространством называется такое линейное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов. 70. Впишите в утверждение недостающее слово: _____________ пространством называется такое линейное пространство, в котором задана норма элементов. 71. Сопоставим произвольной паре векторов x , y смешанное произведение n,x, y , 1. Да. 2. Нет. где n – фиксированный ненулевой вектор в геометрическом пространстве. Можно ли такую функцию принять за скалярное произведение? Векторное и смешанное произведения векторов 72. Результатом векторного произведения является… 73. Результатом смешанного произведения векторов является… 74. Смешанное произведение линейно зависимых векторов равно… 75. Расставьте знаки в смешанном произведении векторов a ,b ,c . 1. Вектор. 2.Число. 3. Функция. 4. Натуральное число. 1. Вектор. 2.Число. 3. Функция. 4. Натуральное число. 1. Объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. 2. Площади параллелограмма. 3. Нулю. a b c 3. a b ,c a ,b ,c 4. a ,b c 1. 2. Типовые задачи аналитической геометрии 76. В пространстве R n прямая задается… 77. В пространстве R n плоскость задается… 78. Если прямые на плоскости перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением … 79. Найдите координаты нормали к плоскости x 3 y z 6 0 . 80. Вычислите площадь треугольника с вершинами A( 0; 0 ), B( 1; 1) C( 2; 6 ) . 81. Даны точки A(2; 3) и B(6; 5) . Тогда координаты середины отрезка AB равны … 82. Даны точки A( 1; 2 ), B( 6; 8 ) . Найдите координаты точки C , которая делит отрезок AB в отношении 2 : 3 . 83. Даны точки M ( 2; 2 ) и N ( 5; 2 ) . На оси абсцисс найдите точку P , чтобы MPN был прямым. 84. Какова минимальная площадь треугольника, если координаты вершин – целые числа? 85. Найдите точку пересечения медиан треугольника с вершинами A( 0; 5 ), B( 1; 1) C( 2; 6 ) . 86. Определите координаты концов A и B отрезка, который точками P( 2; 2 ) и Q( 1;5 ) разделен на три равные части. 87. Какой угол образует с положительным направлением оси Ox прямая x y 4 0 ? 88. Угол между биссектрисами координатных углов XOY и YOZ равен (в градусах) 89. Прямая, проходящая через точки A( 1; 2 ), B( 1; 3 ) , имеет 1. 3. 1. 3. 1. n -уравнениями. 2. n 2 -уравнениями. 4. n -уравнениями. 2. n 2 -уравнениями. 4. 2. k1 k2 3. k1 1 k2 1 1. n 3 1 n 1 -уравнением. n 1 -уравнением. n 1 -уравнением. n 1 -уравнением. k1 k2 4. k1 1 k2 1 1 2. n 3 3. n 3 1 1 1. 1. 3. 3. 2. 2. 4. 4. 1. (-2; 4). 3. (-4; 1). 1. (1; 2). 3. (2; 0). 2. (-4; 8). 4. (-2; 8). 2.(3; 2). 4. (3; 6). 1. P( 1;0 ) или P( 6;0 ) . 2. P( 1;0 ) . 3. P( 6;0 ) или P( 5;0 ) . 4. P( 6;0 ) . 1. 2. 2. 1 / 2 . 3. 1. 4. 3/2. 1. (4; 4). 2.(4; 1). 3. (1; 4). 4. (1; 1). 1. (3; -1) и (4; 4). 3. (2; 2) и (1; 4). 2. (0; 8) и (4; 1). 4. (3; -1) и (0; 8). 1. 60 . 3. 135 . 1. 30 . 3. 60 . 1. x 2 y 3 . 2. 45 . 4. 30 . 2. 45 . 4. 90 . 2. x y 3 . База тестовых заданий по дисциплине «Геометрия и алгебра» уравнение … 90. Прямая проходит через точки O(0; 0) и B(2;1) . Тогда ее угловой коэффициент равен … 91. Уравнение прямой, проходящей через точку A(1; 3) парал1 лельно прямой y x 1 имеет вид … 3 92. Привести к каноническому виду уравнения прямой x 2 y 3 z 4 0, x y z 2 0. 3. x 2 y 5 . 4. 2 x y 4 . 1 . 2 3. 2 . 1 . 2 4. 2 . 1 10 x . 3 3 10 3. y 3 x . 3 1 10 2. y x . 3 3 10 4. y 3x . 3 2. 1. 1. y 2. x y 2 z . 1. x y z . 1 1 1 3. x y 2 z . 1 2 1 93. Найти расстояние от точки M ( 4; 3; 1) до оси OZ . 94. Точка M ( 2; 1; 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Найти уравнение этой плоскости. 95. Лежат ли точки 6;1;2 , 2;3;1 , 3;4;1 , 6;2;2 на одной плоскости? 1. 1. 3. 3. 1. x 2 y z 3 . 3. 2 x 2 y z 5 . 1. Да. 1 1 1 1 2 1 4. x y 2 z . 2. 5. 4. 4. 2. 2 x y z 4 . 4. 2 x y z 6 . 2. Нет. 96. Установите соответствия между расположением двух прямых и коэффициентами уравнений этих прямых a1 x b1 y c1 0 и a2 x b2 y c2 0 , впишите букву рядом с цифрой: 1. параллельные; 2. пересекающиеся; А. a1a2 b1b2 0 ; Б. a1b2 b1a2 ; В. a1b2 b1a2 ; 4. совпадающие; Г. a1b2 b1a2 и c1b2 b1c2 . Ответы: 1 _____ ; 2 _____ ; 3 _____ ; 4 _____ . перпендикулярные; 3. 97. Установите соответствия между названиями и уравнениями прямой, впишите букву рядом с цифрой: 1. общее уравнение; А. y kx b ; 2. каноническое; Б. a x b y c 0 ; 3. в отрезках на осях; В. x x0 y y0 ; с угловым коэффициентом; Г. x y 1 . a b p 4. Ответы: q 1 _____ ; 2 _____ ; 3 _____ ; 4 _____ . 98. Установите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве 1. 2 x 3z 5 0 А. проходит через начало координат; 2. 4 y z 3 0 Б. проходит через ось y ; 3. 5x 2 y 9 0 В. параллельна оси z ; 4. x 7 y 2z 0 Г. параллельна оси y ; Д. параллельна оси z . Ответы: 1 _____ ; 2 _____ ; 3 _____ ; 4 _____ 99. Найдите координаты нормали к плоскости x 3 y z 6 0 1 0 0 ik в метрике тензора g 0 1 1 . 0 1 4 1 1. n 3 1 1 1 2. n 11 / 3 3. n 4 2 / 3 7 1 1 В R 2 с метрическим тензором g ik вычисли 1 4 те расстояние между точками A( 0; 1) , B( 2; 3 ) . 1. 2 2 1 1 В R 2 с метрическим тензором g ik вычисли 1 4 2 те все векторы y x , ортогональные вектору x . y 3 1. x 10 y 0 3. 11x 5 y 0 100. 101. 2. 2 3 3. 2 5 2. 2 x 3 y 0 4. 5 x 3 y 0 База тестовых заданий по дисциплине «Геометрия и алгебра» 1 1 В R 2 с метрическим тензором g ik вычисли 1 4 2 1 те косинус угла между векторами x ; y . 1 2 102. 1. 0 2. 21 14 3. 21 14 ТЕМА «ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ» Линейные преобразования 103. Оператор A называется линейным, если выполняются 1. A( x y ) Ax Ay . свойства… 2. A( x ) A( x ) . 3. A1 A( x ) E( x ) . 4. ( A B )x Ax Bx . 104. Матрица линейного оператора в новом базисе определяется формулой … ( B – матрица перехода от старого базиса к новому) 105. Найдите матрицу линейного оператора в базисе q1 b1 b 2 , q 2 b1 b 2 , если в базисе b1 , b 2 линейный опе1 2 ратор имеет матрицу . 0 1 1. A BAB 1 3. A B 1 AB 2. A BT AB 4. A B 1 ABT 1 2 1. 0 1 1 0 3. 2 1 1 2 2. 0 1 1 0 4. 2 1 106. Впишите в утверждение недостающее слово: Оператор называется ______________, если для него выполняются свойства аддитивности и однородности. 107. Впишите в утверждение недостающее слово: Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из собственных векторов этого оператора, является ______________. 108. Выясните, является ли оператор линейным, если он действует по правилу Ax a x . 109. Выясните, является ли линейным отображение пространства V3 : x 3 x , x x . 1. Да. 2. Нет. 1. Да. 2. Нет. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора 110. Собственный вектор оператора A - это ненулевой век1. Меняет направление под действием оператора. 2. Сохраняет направление под действием оператора. тор x , который … 3. Под действием оператора переходит в нуль-вектор. 111. Собственные значения линейного оператора A , имею1. 1 и 1. 2. 1 и 2. 3. 1и 3. 4. 1 и 0. 1 4 щего матрицу A , равны… 2 5 112. Если 1 , 2 , n – собственные значения линейного оператора A , действующего в n – мерном пространстве, то линейный оператор A 2 имеет собственные значения… 113. Какой вид имеет матрица линейного оператора в собственном базисе? 1. 1 , 2 , n . 2. 12 , 22 , 2n . 1 1 1 3. . , , 1 2 n 1. Матрица прямоугольная. 2. Матрица треугольная. 3. Матрица диагональная. 1. а = 1. 2. а > 1. 3. а < 0. 4. а < 1. 114. Неравенство x2 2 x a 2 0 выполняется для всех вещественных x , если параметр a удовлетворяет условию 115. Найдите многочлен f ( t ) второй степени такой, что f ( 1) 2, f ( 2 ) 3, f ( 3 ) 6 . Дополнительная часть 5.2 ТЕСТОВЫЙ МАТЕРИАЛ ПО 2 СЕМЕСТРУ ЗАДАНИЯ 1. 2. ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ ТЕМА «ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР» Ядро линейной задачи – это… 1. Множество всех решений исходной задачи. 2. Множество все решений одноименной однородной задачи. x y 1 1 1 1 Найдите ядро линейной задачи Ax b : . 1. ker A c1 c2 . 2. ker A c1 . 2 x 2 y 2 1 1 1 1 3. ker A c1 . 1 3. Линейная задача Ax b является совместной, если … 4. ker A . 1. r ( A) r ( A b ) . 2. r ( A) r ( A b ) . 3. r ( A) r ( A b ) . 4. r ( A) r ( A b ) . 91. Впишите в утверждение недостающее слово: ______________ пространством называется такое линейное пространство, в котором задана норма вектора. 5. Впишите в утверждение недостающие слова: Евклидовым пространством называется такое линейное пространство, в котором задано ____________________векторов 6. В координатном пространстве найдите абсолютную норму 1. x 5 . 2. x 8 . элемента xT 1 2 5. 3. x 30 . 4. x 4 . 7. В координатном пространстве найдите модульную норму элемента xT 1 2 5. 8. В координатном пространстве найдите пифагорову норму элемента xT 1 2 5. 1. x 5 . 2. x 8 . 3. x 30 . 4. x 4 . 1. x 5 . 2. x 8 . 3. x 30 . 4. x 4 . 9. В пространстве функций найдите абсолютную норму элемента x(t ) t 2 t, t 0;1 . 1. x 0 . 2. x 1/ 4 . 3. x 1/ 6 . 4. x 1/ 2 . 10. Норма оператора поворота равна … 1. 1 . 2. . 3. 1 / 4 . 4. 1 / 2 . 1. D 1 . 2. D . 3. D 1 / 4 . 4. D 1 / 2 . 12. Функционал f – это отображение типа … 1. f : L L L . 2. f : R L . 13. Является ли линейным функционал f ( x) x ? 3. f : L L . 1. Да. 4. f : L R . 2. Нет. 1. Да. 2. Нет. 1. f ( x) 8 . 3. f ( x) 23 . 2. f ( x) 15 . 4. Нет верного ответа. 11. Норма оператора дифференцирования D равна … 14. Является ли линейным функционал f ( x) (h, x) , где h – некоторый постоянный вектор. 15. Вычислите значение линейного функционала f (x) , если x 4b 5b , f (b ) 2, f (b ) 3 . 1 1 2 2 1 2 16. Для линейного преобразования A с матрицей A 4 3 вычислить Q 1 A Q , где Q – матрица перехода к собственному базису. 5 0 1. . 0 1 13 0 3. . 0 5 1 2 17. Для линейного преобразования A с матрицей A 4 3 вычислить Q1 A 1 Q , где Q – матрица перехода к собственному базису. 5 0 1. . 0 1 13 0 3. . 0 5 0 . 1 25 0 2. . 0 1 1 / 5 0 4. . 0 1 1 2 18. Для линейного преобразования A с матрицей A 4 3 вычислить Q1 2E 3 A Q , где Q – матрица перехода к собственному базису 5 0 1. . 0 1 13 0 3. . 0 5 25 2. 0 1 / 5 4. 0 25 2. 0 1 / 5 4. 0 0 . 1 0 . 1 0 . 1 Дополнительная часть 19. Пусть b 1 1, b 2 2, b1 b 2 ский тензор. 20. Пусть b 1 1, b 2 2, b1 b 2 ский тензор взаимного базиса. 2 . Вычислите метриче3 2 . Вычислите метриче3 1 1 1 21. В R 2 с метрическим тензором g ik вектор x . 1 4 2 Вычислите его координаты во взаимном базисе. 1 1. 1 1 4 3. 3 1 1 . 4 1 4 1 . 3 1 1 4 1 4. . 1 1 2. 1 . 1 1 1 1. . 1 4 1 4 1 3. . 3 1 1 3 1. . 9 1 4 1 . 3 1 1 4 1 4. . 1 1 2. 2. 1 3. . 3 2 4. . 1 ТЕМА «БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ» 22. Билинейный функционал – это функционал типа … 1. f : L L R . 23. Является ли билинейным функционал f ( x, y) x y ? 1 2 . 3 1 3. f : L L . 1. Да. 2. f : R L . 4. f : L R . 2. Нет. 1. Да. 2. Нет. 24. Является ли билинейным функционал f ( x, y) ( x, y) ? 25. Установите соответствия между названиями операторов и определениями. Впишите букву рядом с цифрой: 1. сопряженные; А. ( Ax, y) ( x, A* y) ; 2. самосопряженный; 3. обратные; Б. A ( A ) ; В. ( Ax, y) ( x, Ay) ; 4. противоположные; Г. A A1 A1 A E . Ответы: 1 _____ ; 2 _____ ; 3 _____ ; 4 _____ . 25. Инвариантное задание билинейного функционала имеет вид 1. … 3. 26. Координатное задание билинейного функционала имеет 1. вид … 3. 27. Найдите сопряженный оператор A* к оператору A , кото рый действует по формуле Ax a x , a - фиксированный вектор. 28. Найдите сопряженный оператор A* к оператору A , кото рый действует по формуле Ax (a, x )a , a - фиксированный вектор 29. Линейный оператор A называется ортогональным, если… f ( x, y) ( Ax, y) . 2. f ( x, y) ( x, y) . f ( x, y) x T H y . 4. f ( x, y) x T G y . f ( x, y) ( Ax, y) . 2. f ( x, y) ( x, y) . f ( x, y) x H y . 4. f ( x, y) x T G y . T 1. A* A . 3. A* A1 . 2. A* A . 4. Нет верного ответа. 1. A* A . 3. A* A1 . 2. A* A . 4. Нет верного ответа. 1. ( Ax, y) ( x, y) . 3. ( Ax, Ay) ( x, y) . 2. ( x, Ay) ( A x, y) . 4. Нет верного ответа. 1. det A 1. 2. det A 1. 3. det A 1. 4. det A 0 . 31. Установите соответствия между типами квадратичных функционалов и определениями. Впишите букву рядом с цифрой: 1. эллиптический тип; А. знакопеременный квадратичный функционал; 2. гиперболический тип; Б. положительно (отрицательно) определенный; 3. параболический; В. вырожденный квадратичный функционал. Ответы: 1 _____ ; 2 _____ ; 3 _____ 32. Квадратичный функционал q(x ) называется положительно 1. q( x ) 0, x 0 . 2. q( x ) 0, x 0 . определенным, если … 3. x 0 : q( x ) 0 . 4. x , y 0 : q( x ) 0, q( y ) 0 30. Определитель матрицы ортогонального оператора A равен… 33. Квадратичный функционал q(x ) называется вырожденным, если … 1. q( x ) 0, x 0 . 2. q( x ) 0, x 0 . 3. x 0 : q( x ) 0 . 4. x , y 0 : q( x ) 0, q( y ) 0 34. Квадратичный функционал q(x ) называется знакопеременным, если … 1. q( x ) 0, x 0 . 2. q( x ) 0, x 0 . 3. x 0 : q( x ) 0 . 4. x , y 0 : q( x ) 0, q( y ) 0 36. Установите соответствия между типами квадратичных функционалов и собственными значениями присоединенного оператора: 1. эллиптический тип; А. все собственные значения одного знака; Дополнительная часть 2. гиперболический тип; 3. параболический тип; Ответы: 1 _____ ; 2 _____ ; 3 _____ 37. Каков тип квадратичного 2 2 q( x ) x 4xy y ? 38. Каков тип квадратичного 2 2 q( x ) x 4xy y ? 39. Каков тип квадратичного q( x ) x 2 4xy 5 y 2 ? 40. Определите индекс квадратичного 2 2 q( x ) x 4xy y . 41. Определите индекс q( x ) x2 4xy 5 y 2 . квадратичного Б. существует собственное значение, равное нулю; В. собственные значения разных знаков. функционала 1. Эллиптический. 3. Гиперболический. 2. Параболический. функционала 1. Эллиптический. 3. Гиперболический. 2. Параболический. функционала 1. Эллиптический. 3. Гиперболический. 2. Параболический. функционала 1. 1;1 . 2. 1; 1 . 3. 0; 1 . 4. 1; 0 . 1. 1;1 . 2. 1; 1 . функционала 3. (0;2) . 4. (2; 0) . 42. Установите соответствия между типами линий и уравнениями, впишите букву рядом с цифрой: 1. эллипс; А. 2 x 2 3 x 2 y 2 y 0 ; 2. гипербола; Б. x 2 2 x 2 y 2 3 y 0 ; 3. прямые; В. x 2 2 x y 2 2 y 1 ; 4. окружность; Г. x 2 2 x y 2 2 y 0 . Ответы: 1 _____ ; 2 _____ ; 3 _____ ; 4 _____ . 43. Каков тип линии 2-го порядка 4 xy 3 y 2 36 ? 44. Асимптоты гиперболы x2 y 2 1 имеют вид … 16 4 1. Эллипс. 3. Гипербола. 1 1. y x . 2 2. Парабола. 4.Окружность. 3. y 4x . 4. y 2. y 2x . 1 x. 4 ТЕМА «ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ» 45. Вектор-функция r n -аргументов – это отображение ви1. r : L L R . 2. r : R n L . да… n n 3. r : R L . 4. r : Ln R .
