Прогревочная олимпиада 2.09.06 Серия 1. Стартовая. Серия 2
реклама
Ïðîãðåâî÷íàÿ îëèìïèàäà 2.09.06
1.Íàéäèòå íàèìåíüøåå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ öèôð, äåëÿùååñÿ íà ñóììó ñâîèõ öèôð.
2. Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà 3, 6 è 9 â ñóììå äàþò 11. Êàêîé îñòàòîê îò äåëåíèÿ äàííîãî ÷èñëà íà 18?
(Íàéäèòå âñå âîçìîæíûå îòâåòû è äîêàæèòå, ÷òî äðóãèõ íåò.)
3. A = (16a + 17b)(17a + 16b) äåëèòñÿ íà 11. Äîêàæèòå, ÷òî A äåëèòñÿ íà 121.
4. Ìàíüÿê Âàñÿ ïî îäíîé ïåðåðåçàåò âåðåâî÷êè âîëåéáîëüíîé ñåòêè, èìåþùåé âèä ïðÿìîóãîëüíèêà m×n. Êàêîå íàèáîëüøåå
÷èñëî âåðåâî÷åê ìîæåò îí ðàçðåçàòü äî òîãî, êàê ñåòêà ðàñïàäåòñÿ íà êóñêè?
Ñåðèÿ 1. Ñòàðòîâàÿ.
1. Â ïðóäó âûðîñëà íîâàÿ âîäîðîñëèíà, êîòîðàÿ âñåì ìåøàëà ïëàâàòü. Ãîëîâàñòèê Ñàøà è êàðï Äèìà ðåøèëè èçáàâèòü
íàñåëåíèå ïðóäà îò òàêîé íåïðèÿòíîñòè è íà÷àëè èçâîäèòü ðàñòåíèå. Ïðè ýòîì ãîëîâàñòèê Ñàøà ðâàë êàæäûé ïîïàäàþùèéñÿ
åìó êóñîê âîäîðîñëèíû íà 7 ÷àñòåé, à êàðï Äèìà íà 10. Ìîãëî ëè ÷åðåç ïàðó ÷àñîâ â ïðóäó íàõîäèòñÿ 1995 êóñî÷êîâ
âîäîðîñëèíû?
2. Âäîëü îêðóæíîñòè íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà ñòîÿò 99 òî÷åê, à ðÿäîì âèñÿò äâà âåäðà ñ êðàñêîé: êðàñíîé
è ñèíåé. Äâà ìàëÿðà ïî î÷åðåäè êðàñÿò ïî îäíîé òî÷êå â îäèí èç öâåòîâ. Ïðîèãðûâàåò ìàëÿð, ïîñëå õîäà êîòîðîãî ïîÿâÿòñÿ
äâå ñîñåäíèå òî÷êè îäíîãî öâåòà. Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå ?
3. ×òî áîëüøå: 2300 èëè 3200 ?
4.Åñòü ïÿòü ìîíåò äîñòîèíñòâîì â 1, 2, 3, 5 è 10 ïèàñòðîâ. Îäíà èç íèõ ôàëüøèâàÿ. Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ ÷àøå÷íûõ âåñîâ
áåç ãèðü îïðåäåëèòü ôàëüøèâóþ ìîíåòó, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âåñ íàñòîÿùåé ìîíåòû ðàâåí åå äîñòîèíñòâó, à âåñ ôàëüøèâîé íåò?
5. Ïðÿìîóãîëüíèê ðàçðåçàëè íà íåñêîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêîâ 1 × 4 è íåñêîëüêî êâàäðàòîâ 2 × 2. Ïîòîì õóëèãàí Ñåðåæà óåë
îäèí êâàäðàò. Êîãäà åãî ñòóêíóëè ïî ãîëîâå áîëüíî îí âåðíóë îäèí ïðÿìîóãîëüíèê 1 × 4. Ìîæíî ëè òåïåðü ñëîæèòü èñõîäíûé
ïðÿìîóãîëüíèê?
6. êëàññå íèêòî íå íîñèò ÷åòíîãî êîëè÷åñòâà ðàçíîâèäíîñòåé øíóðêîâ. Ñèíèå øíóðêè íîñèò 13 ÷åëîâåê, çåëåíûå 10, à
êðàñíûå 12 ÷åëîâåê. Ìîæåò ëè âñåãî â êëàññå áûòü 24 ÷åëîâåêà?
7. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî: (x2 + y 2 ≥ 2xy . Ïîäñêàçêà : a2 ≥ 0.
8. Ñêîëüêî äèàãîíàëåé â âûïóêëîì n-óãîëüíèêå?
Ñåðèÿ 2. ×åòâåðòûå ñòåïåíè è êðîêîäèëû.
1. Íà ïðÿìîé ðàñïîëîæåíî ïÿòü òî÷åê A, B, C, D, E (èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå). Èçâåñòíî, ÷òî AB = 19 ñì., CE = 97 ñì.,
AC = BD. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà DE .
2. Ìîæíî ëè èç ïîëîñîê 1 × 1, 1 × 2, . . ., 1 × 13 ñëîæèòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè áîëüøå 1?
3. Ãîâîðÿò, ÷òî ïðîñòûå p è q áëèçíåöû, åñëè îíè ðàçëè÷àþòñÿ íà 2. (Ïðèìåð: 239 è 241 áëèçíåöû). Íàéòè âñå ïðîñòûå
÷èñëà, èìåþùèå áîëåå îäíîãî áëèçíåöà.
4. Ìàðñèàíèí Âàñÿ, èìåþùèé, êàê è îñòàëüíûå ìàðñèàíå, òðè ðóêîíîæêè, ñîáèðàåòñÿ íà áàíêåò. Â òåìíîì øêàôó ëåæàò
åãî íîñêîïåð÷àòêè: 10 áåëûõ, 10 êðàñíûõ è 10 çåëåíûõ. Ñêîëüêî íîñêîïåð÷àòîê åìó íàäî âûíóòü, ÷òîáû â ëþáîì ñëó÷àå
íàäåòü íà ñåáÿ äâå áåëûõ è îäíó êðàñíóþ íîñêîïåð÷àòêó? (Ó ìàðñèàí íåò ëåâûõ èëè ïðàâûõ ðóêîíîæåê îíè ó íèõ
îäèíàêîâûå!)
5. Çà êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ðàçëîìîâ ìîæíî ðàçäåëèòü øîêîëàäêó 5 × 5 íà 25 îäèíî÷íûõ äîëåê ? (íàêëàäûâàòü
êóñî÷êè äðóã íà äðóãà è ëîìàòü èõ âìåñòå ðàçðåøàåòñÿ).
6. Êðîêîäèëîì íàçûâàåòñÿ ôèãóðà, õîä êîòîðîé çàêëþ÷àåòñÿ â ïðûæêå íà êëåòêó, â êîòîðóþ ìîæíî ïîïàñòü ñäâèãîì íà
îäíó êëåòêó ïî âåðòèêàëè èëè ãîðèçîíòàëè, à çàòåì íà N êëåòîê â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè (ïðè N = 2 êðîêîäèë
ýòî øàõìàòíûé êîíü). Ïðè êàêèõ N êðîêîäèë ìîæåò ïðîéòè ñ ëþáîé êëåòêè áåñêîíå÷íîé øàõìàòíîé äîñêè íà ëþáóþ
äðóãóþ?
7. Èìåþòñÿ äâå êó÷êè êàìíåé: â îäíîé 30, à â äðóãîé - 20 êàìíåé. Çà õîä ðàçðåøàåòñÿ âçÿòü ëþáîå ÷èñëî êàìíåé, íî èç
îäíîé êó÷êè. Ïðîèãðûâàåò òîò, êîìó íå÷åãî áðàòü. Êòî âûèãðûâàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå?
áåðåì 10 èç áîëüøåé, äàëåå - ñèììåòðèÿ.
8.Äîêàæèòå, ÷òî a4 − b4 = (a − b)(a + b)(a2 + b2 )
9.Ïðè êàêèõ öåëûõ a è b ÷èñëî a4 − b4 ÿâëÿåòñÿ à) ïðîñòûì ÷èñëîì á) êâàäðàòîì ïðîñòîãî ÷èñëà?
10. Äîêàæèòå, ÷òî (a + b)2 ≥ 4ab.
Ñåðèÿ 3, ñ íàëåòîì êîíñòðóêòèâèçìà.
1. Ðàññòàâüòå ïî êðóãó ÷èñëà 14, 27, 36, 57, 178, 467, 590, 2345 òàê, ÷òîáû ëþáûå äâà ñîñåäíèõ ÷èñëà èìåëè îáùóþ öèôðó.
2. Â òóðíèðå ïî îëèìïèéñêîé ñèñòåìå(òî åñòü, â êàæäîì òóðå îñòàâøèåñÿ èãðîêè ðàçáèâàþòñÿ íà ïàðû, è ïðîèãðàâøèå
âûáûâàþò) èãðàëè 512 ÷åëîâåê. Êàæäîìó ïðèñâîèëè êâàëèôèêàöèîííûé íîìåð - îò 1 äî 512. Ïàðòèÿ íàçûâàåòñÿ íåèíòåðåñíîé,
åñëè ðàçíîñòü íîìåðîâ ó÷àñòíèêîâ áîëüøå 30. Ìîæåò ëè â òóðíèðå íå áûòü íåèíòåðåñíûõ ïàðòèé?
3. Ìîæíî ëè â òàáëèöå 3 × 3 òàê ðàññòàâèòü ÷èñëà 3, 4, 5, . . . , 11, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë ïåðâîé ñòðîêè áûëî ðàâíî
ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë ïåðâîãî ñòîëáöà, ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë âòîðîé ñòðîêè áûëî ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë âòîðîãî ñòîëáöà, è
, íàêîíåö, ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë òðåòüåé ñòðîêè áûëî ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë òðåòüåãî ñòîëáöà?
3. Íà äîñêå âûïèñàëè â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå ÷èñëà îò 1 äî 10000, à ïîòîì ñòåðëè òå, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íè íà 4, íè
íà 11. Êàêîå ÷èñëî îêàæåòñÿ 1994-ûì?
4. Íà êâàäðàòíîé äîñêå 10 × 10 êëåòîê ðàññòàâëåíû øàøêè, ïðè÷åì íà âñåõ âåðòèêàëÿõ ñòîèò ðàçíîå(âîçìîæíî, íóëåâîå)
÷èñëî øàøåê, è íà âñåõ ãîðèçîíòàëÿõ ñòîèò ðàçíîå(âîçìîæíî, íóëåâîå) ÷èñëî øàøåê. Ñêîëüêî âñåãî øàøåê ìîæåò áûòü íà
äîñêå?
5. Ïóñòü x2 + y 2 = 3z 2 . Äîêàæèòå, ÷òî à) x á) z äåëèòñÿ íà 3.
6.  ìàðñèàíñêîì àëôàâèòå k áóêâ, è äâà ñëîâà íàçûâàþòñÿ ïîõîæèìè, åñëè â íèõ îäèíàêîâîå ÷èñëî áóêâ è îíè îòëè÷àþòñÿ
ëèøü â îäíîì ìåñòå (íàïðèìåð, ÒÐÈÊÑ è ÒÐÓÊÑ). Äîêàæèòå, ÷òî âñå à) äâóõáóêâåííûå á) òðåõáóêâåííûå ñëîâà â ÿçûêå
ìîæíî ðàçáèòü íà k ãðóïï, â êàæäîé èç êîòîðûõ âñå ñëîâà íå ïîõîæè äðóã íà äðóãà.
7. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî a a + a1 ≥ 2.
8. Äîêàæèòå, ÷òî a2 + 4 ≥ 2a.
Ñåðèÿ 4. Ïðîâîëî÷íàÿ.
1. Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x2 = 2y 2 .
2. ßâíî îïèøèòå âñå íàòóðàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x2 = 2y 3 .
3. Äîêàæèòå, ÷òî à)a4 + b4 ≥ 2a2 b2 á)a4 + b4 + c4 + d4 ≥ 4abcd.
4. Âàñÿ êóïèë 40 ìåòðîâ êîëþ÷åé ïðîâîëîêè. Åìó ðàçðåøèëè îãîðîäèòü ýòîé ïðîâîëîêîé êàêîé-íèáóäü ïðÿìîóãîëüíûé
êóñîê çåìëè. Êàêîé ìàêñèìàëüíîé ïëîùàäè ó÷àñòêà ìîæåò äîáèòüñÿ Âàñÿ?
5. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ÷àñòåé, íà êîòîðûå äåëÿò ïëîñêîñòü n ïðÿìûõ îáùåãî ïîëîæåíèÿ (ëþáûå äâå ïåðåñåêàþòñÿ, è
íèêàêèå òðè íå ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíó òî÷êó) ðîâíî 2n áåñêîíå÷íûõ.
6. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè â ãðàôñòâå 2n + 1 óñàäüáà, è èç êàæäîé âûõîäèò õîòÿ áû n äîðîã, òî èç ëþáîé óñàäüáû ìîæíî
äîåõàòü äî ëþáîé äðóãîé.
7. à) Ìîæíî ëè èç êóñêà ïðîâîëîêè äëèíîé 12 äì, íå ëîìàÿ åãî íà êóñêè, ñîãíóòü êàðêàñ êóáà ñ ðåáðîì 1 äì?
á) Íà êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî êóñêîâ íóæíî åãî ðàçëîìàòü, ÷òîáû ýòî ñòàëî âîçìîæíî?
8. Íà ýêðàíå êàëüêóëÿòîðà íàáðàíî ÷èñëî 1. Ðàç â ñåêóíäó êàëüêóëÿòîð ïðîèçâîäèò ñëåäóþùåå äåéñòâèå : åñëè ÷èñëî íà
ýêðàíå äåëèòñÿ íà 2k , òî êàëüêóëÿòîð ïðèáàâëÿåò ê íåìó ëþáîå ÷èñëî îò 1 äî (k + 1).Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ñòåïåíü äâîéêè
êîãäà-íèáóäá îáÿçàòåëüíî ïîÿâèòñÿ íà ýêðàíå.
9.Âäîëü çàáîðà ðàñòóò 8 êóñòîâ ìàëèíû. ×èñëî ÿãîä íà ñîñåäíèõ êóñòàõ îòëè÷àþòñÿ íà 1. Ìîæåò ëè íà âñåõ êóñòàõ âìåñòå
áûòü 225 ÿãîä?
Ñåðèÿ 5. Ïðî ïðèêîëèñòîâ.
Îïðåäåëåíèå: Ãðàô íàçûâàåòñÿ ýéëåðîâûì, åñëè â íåì åñòü ýéëåðîâ öèêë, ò.å. ìîæíî îáîéòè âñå åãî ðåáðà ðîâíî ïî îäíîìó
ðàçó è âåðíóòüñÿ â èñõîäíóþ òî÷êó.
1. Äîêàæèòå, ÷òî ãðàô ýéëåðîâ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ñâÿçåí è ñòåïåíè âñåõ âåðøèí â íåì ÷åòíû.
2.  ðÿä âäîëü àëëåè ðàñòåò n äåðåâüåâ. Íåêòî õî÷åò ñðóáèòü k èç íèõ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îí ìîæåò ýòî ñäåëàòü?
3. Âäîëü øåñòèäåñÿòîé ïàðàëëåëè ðàñòóò äåðåâüÿ îäèíàêîâîé âûñîòû. Åñëè âñå îíè óïàäóò íà çàïàä, òî îáùàÿ äëèíà
ó÷àñòêîâ øåñòèäåñÿòîé ïàðàëëåëè, çàâàëåíííûõ áîëåå ÷åì ïÿòüþ äåðåâüÿìè ñîñòàâèòü 100 êì. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âñå äåðåâüÿ
óïàäóò íà âîñòîê, òî îáùàÿ äëèíà áîëåå ÷åì ïÿòèêðàòíî çàâàëåíííûõ ó÷àñòêîâ øåñòèäåñÿòîé ïàðàëëåëè òîæå ñîñòàâèò 100
êì.
4. Äîêàæèòå, ÷òî a2 + 4 ≥ 4a.
5. Ìîæíî ëè íàïèñàòü 2003 íåñêîëüêî ðàç ïîäðÿä òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííîå ÷èñëî äåëèëîñü à) íà 6; á) íà 9; â) èìåëî îñòàòîê
4 îò äåëåíèÿ íà 9 ?
6.  êðóæêå ïðèêëàäíîãî ïðèêàëûâàíèÿ 14 ÷åëîâåê ïðèêàëûâàþòñÿ êíîïêàìè, 13 - çíà÷êàìè è 13 - áóëàâêàìè. Âñåãî â
êðóæêå 20 ïðèêîëèñòîâ è êàæäûé èç íèõ ïðèêàëûâàåòñÿ íå ìåíåå ÷åì äâóìÿ ïðåäìåòàìè. Ñêîëüêî êðóæêîâöåâ ïðèêàëûâàþòñÿ
êíîïêàìè, áóëàâêàìè è çíà÷êàìè îäíîâðåìåííî?
7. Ïëîñêîñòü ïîêðàøåíà â 2 öâåòà. Äîêàæèòå, ÷òî åñòü äâå òî÷êè îäíîãî öâåòà íà ðàññòîÿíèè 1.
8. Äàíî 62 ëþäîåäà. Èíîãäà îäèí èç íèõ ñúåäàåò äðóãîãî. Øëî âðåìÿ, â êîíöå êîíöîâ îñòàëñÿ òîëüêî îäèí ëþäîåä, ïðè÷åì
çà âñå âðåìÿ íèêòî èç ëþäîåäîâ íå ñúåë áîëåå äâóõ ñâîèõ ñîáðàòüåâ. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ "ìàòðåøêà"õîòÿ áû èç ïÿòè
ëþäîåäîâ (ò.å. òàêèå ïÿòü ëþäîåäîâ Ô, Ñ, Ï, Ð, Ò, ÷òî Ð ñúåë Ò, Ï ñúåë Ð, ... Ô ñúåë Ñ).
9. Õóëèãàí Ïûøêèí çàäóìàë ïîëå øàõìàòíîé äîñêè. Êñþøà îòãàäûâàåò ýòî ïîëå, çàäàâàÿ âîïðîñû, íà êîòîðûå Ïûøêèí
îòâå÷àåò äà èëè íåò. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî âîïðîñîâ íóæíî çàäàòü, ÷òîáû íàâåðíÿêà óãàäàòü çàãàäàííîå ïîëå?
Ñåðèÿ 6, ñ áîëüøèì âñòóïëåíèåì.
1. Ìèëûå äåòè! Ó íåðàâåíñòâ åñòü ìíîãî èíòåðåñíûõ è êàæóùèõñÿ î÷åâèäíûìè ñâîéñòâ, êîòîðûå íà ñàìîì äåëå íàäî
äîêàçûâàòü. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îäíî ÷èñëî áîëüøå äðóãîãî, åñëè èõ ðàçíîñòü ïîëîæèòåëüíà (a > b, åñëè a−b ïîëîæèòåëüíî).
Ñîîòâåòñòâåííî, a < b, åñëè a − b îòðèöàòåëüíî; a ≥ b, åñëè a − b íåîòðèöàòåëüíî è a ≤ b, åñëè a − b íåïîëîæèòåëüíî. Ìû
çíàåì, ÷òî ñóììà äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë òàêæå ïîëîæèòåëüíî.
Ïîëüçóÿñü ýòèì ñâîéñòâîì äîêàæèòå, ÷òî :
à) åñëè a > b è c > d, òî a + b > c + d;
á) åñëè a > b è b > c, òî a > c; (ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíîñòüþ)
â) åñëè a > b è c > 0, òî ac > bc;
ã) åñëè a > b è c < 0, òî ac < bc;
ä) äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, c, d åñëè a > b è c > d, òî ab > cd.
2. Äîêàæèòå, ÷òî 4n2 + 1 ≥ 4n.
3. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x2 = y 2 + 2y + 13.
4. Îïèøèòå âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ó êîòîðûõ ðîâíî 3 íàòóðàëüíûõ äåëèòåëÿ.
5. Çà ñòîëîì ñèäåëè 24 ìàëü÷èêà è 25 äåâî÷åê, à íà ñòîëå íà òàðåëêå ëåæàëî íåñêîëüêî áóëî÷åê. Êàæäàÿ èç äåâî÷åê äàëà
ïî áóëî÷êå (ñ òàðåëêè) êàæäîìó çíàêîìîìó ìàëü÷èêó. Çàòåì êàæäûé ìàëü÷èê äàë ïî áóëî÷êå (ñ òàðåëêè) êàæäîé íåçíàêîìîé
åìó äåâî÷êå. ïîñëå ýòîãî òàðåëêà îïóñòåëà. Ñêîëüêî áûëî áóëî÷åê íà òàðåëêå?
6. Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò äåñÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà, êîòîðîå ïðè ïåðåñòàíîâêå ïåðâîé è ïîñëåäíåé öèôð óâåëè÷èòñÿ
ðîâíî â 5 ðàç.
7. Ïðÿìàÿ ðàñêðàøåíà â 2 öâåòà. Äîêàæèòå, ÷òî à) åñòü òðè òî÷êè îäíîãî öâåòà, îäíà èç êîòîðûõ ëåæèò ðîâíî ïîñåðåäèíå
ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè, á) åñòü áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ òðîåê òî÷åê.
√
Ñåðèÿ 7. Êîðíåâàÿ.
√
Îïðåäåëåíèå.
èç
÷èñëà
a
(îáîçíà÷åíèå
a
)
íàçûâàåòñÿ
òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå äàåò â êâàäðàòå a. Íàïðèìåð,
q
16 = 4,
9
25
= 35 .
√
√
1. Äîêàæèòå, ÷òî 10 ≥ 3, 10 ≥ 99.
√
2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ó ÷èñëà n íåò íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé ìåíüøå à) n2 + 1 á) n + 1 , òî îíî ïðîñòîå.
√
√
3. Äîêàæèòå, ÷òî 2 - èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ò.å. íå ñóùåñòâóåò òàêèõ öåëûõ p, q , ÷òî 2 = pq .
4. Âèííè-Ïóõ, Ñîâà, Êðîëèê è Ïÿòà÷îê ñúåëè 70 áàíàíîâ, ïðè÷åì êàæäîìó äîñòàëîñü õîòÿ áû ïî îäíîìó áàíàíó. Âèííè-Ïóõ
ñúåë áîëüøå, ÷åì êàæäûé èç îñòàëüíûõ, Ñîâà è Êðîëèê âìåñòå ñúåëè 45 áàíàíîâ. Ñêîëüêî áàíàíîâ ñúåë Ïÿòà÷îê?
5. Íà äîñêå íàïèñàíî ÷èñëî 23. Êàæäóþ ìèíóòó ÷èñëî ñòèðàþò ñ äîñêè è çàïèñûâàþò íà åãî ìåñòî ïðîèçâåäåíèå åãî öèôð,
óâåëè÷åííîå íà 12. ×òî îêàæåòñÿ íà äîñêå ÷åðåç ÷àñ?
6. Êàê ðàçðåçàòü êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 4 ñì íà ïðÿìîóãîëüíèêè, ñóììà ïåðèìåòðîâ êîòîðûõ ðàâíà 25 ñì?
7. Ìîæíî ëè òàê ðàññòàâèòü ïî êðóãó âñå öåëûå ÷èñëà îò -7 äî 7(âêëþ÷àÿ 0), ÷òîáû ó êàæäîãî ÷èñëà ïðîèçâåäåíèå åãî
ñîñåäåé áûëî íåîòðèöàòåëüíûì?
8. Ìîæíî ëè ïîäîáðàòü òàêèå ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, ÷òîáû ñóììà ëþáûõ äâóõ èç íèõ áûëà ñòåïåíüþ
÷èñëà 5?
Ñåðèÿ 8. Âîñïîìèíàíèÿ î êîìáèíàòîðèêå.
n!
Íàïîìèíàíèå : k! = 1 · 2 · 3 . . . k , 0! = 1. Cnk = k!(n−k)!
. Êðîìå òîãî, Cnk - ýòî êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ âûáðàòü k ïðåäìåòîâ èç
n, íå ó÷èòûâàÿ ïîðÿäêà èõ âûáîðà.
k−1
k
0. Äîêàæèòå, ÷òî à) Cnk = Cnn−k ; á) Cnk = Cn−1
+ Cn−1
.
k−1
1. Äîêàæèòå, ÷òî Cnk · k = n · Cn−1
.
2. Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå xy + yz + zx = xyz .
3. Âàñÿ ïðèîáðeë ïðÿìîóãîëüíûé ó÷àñòîê ïëîùàäè 100ì2 . Äîêàæèòå, ÷òî åìó íå õâàòèò 39ì êîëþ÷åé ïðîâîëîêè, ÷òîáû
îãîðîäèòü åãî îò çëûõ çàéöåâ.
4. Èç ïðÿìîóãîëüíèêà íà êëåò÷àòîé áóìàãó ìîæíî âûðåçàòü (ïî êëåòî÷êàì) 360 êâàäðàòîâ 2 × 2. Äîêàæèòå, ÷òî èç íåãî
ìîæíî âûðåçàòü 200 ïðÿìîóãîëüíèêîâ 1 × 7.
5. Äåòè, ïîñòðîåííûå ïàðàìè, âûõîäÿò èç ëåñó, ãäå îíè ñîáèðàëè îðåõè.  êàæäîé ïàðå èäóò ìàëü÷èê è äåâî÷êà, ïðè÷åì
ó ìàëü÷èêà îðåõîâ ëèáî âäâîå áîëüøå, ëèáî âäâîå ìåíüøå, ÷åì ó äåâî÷êè. Ìîãëî ëè òàê ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ó âñåõ âìåñòå 1000
îðåõîâ?
6. Ìîæíî ëè ðàññòàâèòü â êëåòêàõ øàõìàòíîé äîñêè 8 × 8 íàòóðàëüíûå ÷èñëà òàê, ÷òîáû ëþáûå äâà ÷èñëà, ñòîÿùèå â
ñîñåäíèõ (ïî ñòîðîíå) êëåòêàõ, îòëè÷àëèñü íà 1, à ëþáûå äâà ÷èñëà, ñòîÿùèå â êëåòêàõ, ñâÿçàííûõ õîäîì êîíÿ, îòëè÷àëèñü
íà 3?
7. Äâîå÷íèê Ôåäÿ âûñòàâëÿåò (ïî îäíîé) øàøêè íà êëåòêè äîñêè 10 × 10 äëÿ ñòîêëåòî÷íûõ øàøåê. Äîêàæèòå, ÷òî â
êàêîé-òî ìîìåíò îäíà èç øàøåê ñìîæåò ñúåñòü äðóãóþ øàøêó.
Ñåðèÿ 9. Money, money...
1. Â Àíòèäåöèìàëèè èìåþò õîæäåíèå êóïþðû â 1, 2, 4, . . . 2n ìàðîê. Ó Âàñè, ïðèåõàâøåãî â ýòó ñòðàíó êóëüòóðíî îòäûõàòü,
èìååòñÿ ðîâíî ïî îäíîé êóïþðå êàæäîãî âèäà. Äîêàæèòå, ÷òî îí à) ñìîæåò îïëàòèòü ëþáóþ ïîêóïêó, ñòîèìîñòüþ íå âûøå
2n+1 − 1 ìàðîê, á) ñìîæåò ñäåëàòü ýòî åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì.
2. Â Äóîìîíåòèè èìåþòñÿ â îáðàùåíèè òîëüêî ìîíåòû â 4 è 7 ïåñî. Ñêîëüêî ìîæåò ñòîèòü ïèñòîëåò ñèñòåìû Ìàêàðîâà â
ýòîé çàãàäî÷íîé ñòðàíå? (Ëþáóþ ïîêóïêó ìîæíî îïëàòèòü, èñïîëüçóÿ òîëüêî ýòè ìîíåòû.)
3. Â ïðÿìîóãîëüíèêå 3 × n (3 ñòðîêè, n ñòîëáöîâ) ðàññòàâëåíû ôèøêè òðåõ öâåòîâ ïî n øòóê êàæäîãî öâåòà. Äîêàæèòå,
÷òî ïåðåñòàâëÿÿ ôèøêè â ñòðî÷êàõ, ìîæíî ñäåëàòü òàê, ÷òîáû â êàæäîì ñòîëáöå áûëè ôèøêè âñåõ òðåõ öâåòîâ.
4. Ïóñòü a, b - ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. à). Äîêàæèòå, ÷òî (a + b)2 ≥ a2 + b2 . á) Äîêàæèòå, ÷òî (a + b)3 ≥ a3 + b3 . â) Äîêàæèòå,
÷òî (a + b)n ≥ an + bn .
5. Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x2 = y 2 + 36.
6.Ìîæíî ëè ðàññòàâèòü â êëåòêàõ êâàäðàòà 4 × 4 ÷èñëà îò 1 äî 16 òàê, ÷òîáû ÷èñëî â êàæäîé êëåòêå áûëî èëè ìåíüøå
âñåõ ÷èñåë, ñòîÿùèõ â ñîñåäíèõ ïî ñòîðîíå êëåòêàõ, èëè áîëüøå ýòèõ ÷èñåë?
7. Ïðèäóìàéòå âîñüìèçíà÷íîå ÷èñëî, âñå öèôðû êîòîðîãî ðàçëè÷íû, òàêîå, ÷òî ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ ëþáûõ äâóõ åãî öèôð
îñòàåòñÿ ñîñòàâíîå ÷èñëî.
Ñåðèÿ 10, ñ èíîðîäíûìè âêðàïëåíèÿìè.
k−1
k
+ Cn−1
8.0 Äîêàæèòå, ÷òî à) Cnk = Cnn−k ; á) Cnk = Cn−1
.
k−1
k
8.1 Äîêàæèòå, ÷òî Cn · k = n · Cn−1 .
1. Ê íàòóðàëüíîìó ÷èñëó, íàïèñàííîìó íà äîñêå êàæäóþ ñåêóíäó ïðèáàâëÿþò îäíó ñåäüìóþ åãî òåêóùåãî çíà÷åíèÿ.
Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî êîãäà-òî ïåðåñòàíåò áûòü öåëûì.
2. Íà äîñêå íàïèñàíî ÷èñëî. Êàæäóþ ñåêóíäó Ìàøà ãîâîðèò êàêîå-òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî (ñêàæåì, n) è òîãäà Âàñÿ âû÷èòàåò
èç ÷èñëà, íàïèñàííîãî íà äîñêå îäíó n-òóþ åãî çíà÷åíèÿ è ïèøåò ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî íà äîñêó. Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå áû ÷èñëà
Ìàøà íè ãîâîðèëà, ÷èñëî íà äîñêå ðàíî èëè ïîçäíî ñòàíåò íåöåëûì.
3. Íà äîñêå íàïèñàíî 10 äâîåê. Ðàçðåøàåòñÿ ñòåðåòü ëþáûå äâà ÷èñëà è çàïèñàòü íà äîñêó èõ ñóììó èëè èõ ïðîèçâåäåíèå.
Ìîæåò ëè ïîñëå íåñêîëüêèõ òàêèõ îïåðàöèé íà äîñêå îñòàòüñÿ ÷èñëî 1002?
4. Äîêàæèòå, ÷òî (1 + x + x2 + . . . + xn−1 )(x − 1) = xn − 1.
5.  Ñòðàíå Äóðàêîâ èìåþò õîæäåíèå ìîíåòû â 1 çîëîòîé è 1 ãðîø, ïðè÷åì çîëîòîé ðàâåí 1001 ãðîøó. Ó Áóðàòèíî åñòü
2005 çîëîòûõ, à áèëåò ëîòåðåè êîòà Áàçèëèî ñòîèò 2006 ãðîøåé. Ìîæåò ëè Áóðàòèíî êóïèòü íåñêîëüêî áèëåòîâ áåç ñäà÷è (íå
îáÿçàòåëüíî íà âñå ñâîè äåíüãè)?
6. Ïóñòü x1 ≥ x2 , y1 ≥ y2 - ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî x1 y1 + x2 y2 ≥ x1 y2 + x√
2 y1 .
7. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ a è b âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: a + b ≥ 2 ab.
8. Â ñòðàíå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ãîðîäàìè åñòü ëèáî æåëåçíîäîðîæíîå, ëèáî àâèàöèîííîå ñîîáùåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî
ìîæíî îáúåõàòü âñå ãîðîäà, ïîëüçóÿñü òîëüêî îäíèì âèäîì òðàíñïîðòà (ïðè ýòîì ðàçðåøàåòñÿ ïðîåçæàòü ÷åðåç îäèí è òîò
æå ãîðîä ìíîãî ðàç).
Ñåðèÿ 11. Ãäå-òî ìû ýòî óæå âèäåëè...
Íàïîìèíàíèå : Cnk - êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ âûáðàòü k ïðåäìåòîâ èç n áåç ó÷åòà ïîðÿäêà.
1.  êîìïàíèè, ñîñòîÿùåé èç ïÿòè ÷åëîâåê, ñðåäè ëþáûõ òðåõ ÷åëîâåê íàéäóòñÿ äâîå çíàêîìûõ è äâîå íåçíàêîìûõ äðóã
ñ äðóãîì. Äîêàæèòå, ÷òî êîìïàíèþ ìîæíî ðàññàäèòü çà êðóãëûì ñòîëîì òàê, ÷òîáû ïî îáå ñòîðîíû îò êàæäîãî ÷åëîâåêà
ñèäåëè åãî çíàêîìûå.
2.  íåêîòîðîì ãîñóäàðñòâå ñèñòåìà àâèàëèíèé óñòðîåíà òàê, ÷òî ëþáîé ãîðîä ñîåäèíåí àâèàëèíèÿìè íå áîëåå, ÷åì ñ òðåìÿ
äðóãèìè è èç ëþáîãî ãîðîäà â ëþáîé äðóãîé ìîæíî ïåðåëåòåòü, ñäåëàâ íå áîëåå îäíîé ïåðåñàäêè. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî
ãîðîäîâ ìîæåò áûòü â ýòîì ãîñóäàðñòâå?
3.  òåííèñíîì òóðíèðå êàæäûé èãðîê êîìàíäû ¾ñèíèõ¿ âñòðå÷àåòñÿ ñ êàæäûì èãðîêîì êîìàíäû ¾êðàñíûõ¿. ×èñëî
èãðîêîâ â êîìàíäàõ îäèíàêîâî è íå áîëüøå âîñüìè. ¾Ñèíèå¿ âûèãðàëè â ÷åòûðå ðàçà áîëüøå âñòðå÷, ÷åì ¾êðàñíûå¿. Ñêîëüêî
÷åëîâåê â êàæäîé èç êîìàíä?
4. Íà îêðóæíîñòè îòìåòèëè n òî÷åê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïðîâåñòè äâå íåïåðåñåêàþùèåñÿ õîðäû ñ âåðøèíàìè â
ýòèõ òî÷êàõ?
5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äàåò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 9 è îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 13. Êàêîé îñòàòîê îíî äàåò ïðè äåëåíèè
íà 117?
6. Àíäðåé Àëåêñàíäðîâè÷-Àíàòîëüåâè÷ ïîëó÷èë íà ïîëäíèê äëÿ äåòåé âåäðî, â êîòîðîì n êîíôåò. Äåòÿì ïîëàãàåòñÿ áðàòü
ïî k êîíôåò. Ê ñîæàëåíèþ, îäíà èç êîíôåò îòðàâëåíà. a) Êàêèì êîëè÷åñòâîì ñïîñîáîâ Ñåðåæå ìîæíî âûäàòü ïîëäíèê ñ
îòðàâëåííîé êîíôåòîé?
á) Êàêèì êîëè÷åñòâîì ñïîñîáîâ Ìàøà ìîæåò âûáðàòü ñåáå ïîëäíèê áåç îòðàâëåííîé êîíôåòû.
â) Ñêîëüêèìè cïîñîáàìè Èãîðü ìîæåò ñúåñòü k êîíôåò íà ïîëäíèê è îñòàòüñÿ â æèâûõ, åñëè îí íå÷óâñòâèòåëåí ê ÿäó?
7. Ãîðîä Êàëèíèíãðàä, ýêîíîìè÷åñêèé è êóëüòóðíûé öåíòð Çóëóñèè, èìååò â ïëàíå âèä ïðÿìîãî óãëà, ðàçäåëåííîãî íà
êâàðòàëû óëèöàìè, ïàðàëëåëüíûìè îäíîé åãî ñòîðîíå (êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ 0-é óëèöåé) èëè ïðîñïåêòàìè, ïàðàëëåëüíûìè
äðóãîé ñòîðîíå (ïðîñïåêòó N0). Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïðîåõàòü îò ìîíóìåíòà Måäíûé Çóëóñ (êîòîðûé ñòîèò íà ïëîùàäè, â ïðîñòîðå÷èè íàçûâàåìîé Äâà Hóëÿ) íà óãîë m-îé óëèöû è n-ãî ïðîñïåêòà? (Äâèãàòüñÿ ìîæíî â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ:
âïåðåä è âïðàâî).
Ñåðèÿ 12. Ïî ãîðÿ÷èì ñëåäàì.
1. Êðàñÿùèé õàìåëåîí ñêàçî÷íàÿ øàõìàòíàÿ ôèãóðà, êîòîðàÿ ñ ëþáîãî ïîëÿ õîäèò íà ñîñåäíåå ïî âåðòèêàëè èëè ãîðèçîíòàëè ïîëå. Ïðè ýòîì, ïîïàäàÿ íà íåêîòîðîå ïîëå, õàìåëåîí ëèáî êðàñèò ýòî ïîëå â ñâîé öâåò, ëèáî ïåðåêðàøèâàåò ñåáÿ â
öâåò ýòîãî ïîëÿ. Íà øàõìàòíóþ äîñêó, âñå ïîëÿ êîòîðîé ñèíèå, ïîñòàâèëè çåëåíîãî õàìåëåîíà. Âñÿêóþ ëè ðàñêðàñêó äîñêè â
ñèíèé è çåëåíûé öâåòà ìîæíî ïîëó÷èòü ñ åãî ïîìîùüþ?
2. Íà äîñêå âûïèñàíû âñå öåëûå ÷èñëà îò 1 äî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà n. Ïåòÿ ïîñ÷èòàë êîëè÷åñòâî âûïèñàííûõ öèôð, è
îêàçàëîñü, ÷òî îíî çàïèñûâàåòñÿ òåìè æå öèôðàìè, ÷òî è n, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Íàéäèòå âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ n.
3.  äåñÿòè÷íîé çàïèñè êâàäðàòà íåêîòîðîãî ÷èñëà, ñîäåðæàùåé áîëåå îäíîãî çíàêà, ÷èñëî äåñÿòêîâ ðàâíî 7. Êàêîé öèôðîé
îêàí÷èâàåòñÿ êâàäðàò ýòîãî ÷èñëà?
4. Íà êëåò÷àòîé äîñêå 100 × 100 çàêðàñèëè n ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ñîñòàâëåííûõ èç äâóõ êëåòîê êàæäûé. Îêàçàëîñü, ÷òî â
êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå åñòü õîòÿ áû îäíà çàêðàøåííàÿ êëåòêà. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì n ýòî âîçìîæíî?
Íàïîìèíàíèå : Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî a ≡ b (mod p) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a−b = kp(Çäåñü a, b, k - öåëûå, p - íàòóðàëüíîå).
5. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a ≡ b (mod p) è c ≡ d (mod p)), òî a à) a + c ≡ b + d (mod p), á)ac ≡ bd (mod p).
6. à) Äîêàæèòå, ÷òî an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + . . . + bn−1 ).
á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a ≡ b (mod p), òî an ≡ bn (mod p).
Ñåðèÿ 13, ñî÷èíåííàÿ â ïÿòíèöó, 13
0. Íàéäèòå ïîñëåäíþþ öèôðó ÷èñëà 1134212n − 765452n ,
1. Äîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèå
A = 2903n − 803n − 464n + 261n
ïðè ëþáûõ íàòóðàëüíûõ n äåëèòñÿ íà 1897.
2.  âåðøèíàõ øåñòèóãîëüíèêà âûïèñàíû ÷èñëà, à íà êàæäîé ñòîðîíå ñóììà ÷èñåë â åå êîíöàõ. Íàçîâåì îêðóãëåíèåì
çàìåíó íåöåëîãî ÷èñëà íà îäíî èç äâóõ áëèæàéøèõ öåëûõ (ñ íåäîñòàòêîì èëè ñ èçáûòêîì), à öåëîå ïóñòü ïðè îêðóãëåíèè íå
ìåíÿåòñÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âñå 12 ÷èñåë îêðóãëèòü òàê, ÷òîáû ïî-ïðåæíåìó íà êàæäîì ðåáðå ñòîÿëà ñóììà ÷èñåë â åãî
êîíöàõ.
3. Íàðèñóéòå êàðòó ñòðàíû, â êîòîðîé 10 ãîðîäîâ, èç êàæäîãî âûõîäèò ïî òðè äîðîãè, è îò ëþáîãî ãîðîäà äî ëþáîãî
äðóãîãî ìîæíî äîåõàòü, ïî ïóòè çàåçæàÿ íå áîëåå, ÷åì â îäèí ãîðîä.
4. Âñå öåëûå ÷èñëà îò 1 äî 2000 çàïèñàëè â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå: ñïåðâà çàïèñàëè â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå ÷èñëà, ñóììà
öèôð êîòîðûõ ðàâíà 1. Çàòåì âñå ÷èñëà ñ ñóììîé öèôð 2 (òàêæå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ), ïîòîì âñå ÷èñëà ñ ñóììîé öèôð
3 (òàêæå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ) è ò. ä. Íà êàêîì ìåñòå îêàçàëîñü ÷èñëî 1997?
5. Íà äîñêå 4 × 4 ðàññòàâëÿþòñÿ øåñòíàäöàòü øàõìàòíûõ êîíåé ÷åòûðåõ ìàñòåé ÷åòûðå âîðîíûõ, ÷åòûðå ñîëîâûõ,
÷åòûðå ãíåäûõ è ÷åòûðå êàóðûõ. Ñóùåñòâóåò ëè òàêàÿ ðàññòàíîâêà êîíåé, â êîòîðîé âîðîíûå íå áüþò ñîëîâûõ, ñîëîâûå ãíåäûõ, ãíåäûå êàóðûõ, à êàóðûå âîðîíûõ?
6. Ïóñòü n = 2p−1 (2p − 1), ãäå 2p − 1 ïðîñòîå ÷èñëî. Äîêàçàòü, ÷òî ñóììà âñåõ äåëèòåëåé ÷èñëà n, îòëè÷íûõ îò ñàìîãî n,
â òî÷íîñòè ðàâíà n.
7. Íà ïàëüìå ñèäåëî ìíîãî ìàðòûøåê. Äâàäöàòü èç íèõ ïîëó÷èëè ïî ïèíêó. Ïíóòàÿ ìàðòûøêà ñðûâàåò ñ ïàëüìû òðè
ôèíèêà è ðàçäàåò ïîäðóæêàì. Ìàðòûøêà, ïîëó÷èâøàÿ äâà ôèíèêà, ñúåäàåò èõ è ïèíàåò äðóãóþ ìàðòûøêó. Ïîñëå òîãî, êàê
ïðîèçîøëî 30 íîâûõ ïèíêîâ, ìàðòûøêè óñïîêîèëèñü. Ñêîëüêî ôèíèêîâ îñòàëîñü ó ìàðòûøåê?
8. ×åðåç êëåò÷àòûé êâàäðàò 1000 × 1000 ïðîâåäåíî ïî ëèíèÿì ñåòêè íåñêîëüêî ïðÿìûõ. Îáðàçîâàâøèåñÿ ïðè ýòîì ïðÿìîóãîëüíûå ÷àñòè ðàñêðàøåíû â øàõìàòíîì ïîðÿäêå â ÷åðíûé è áåëûé öâåòà. Äîêàæèòå, ÷òî êîëè÷åñòâî ÷åðíûõ êëåòî÷åê
÷åòíî.
Ñåðèÿ 14. Ïðî êðóæêè.
1. Ìàëûø è Êàðëñîí èãðàþò â òàêóþ èãðó : îíè áåðóò øîêîëàäêó 1001 × 1001 è ïî î÷åðåäè âûêóñûâàþò èç íåå ïî
êëåòî÷êàì êóñî÷êè (íå îáÿçàòåëüíî ñ êðàþ) : Êàðëñîí - 2 × 2, Ìàëûø - 1 × 1. Åñëè íå îñòàëîñü íè îäíîãî êóñî÷êà 2 × 2, òî
âñå îñòàëüíûå êóñî÷êè äîñòàþòñÿ Ìàëûøó. Âûèãðûâàåò òîò, êòî ñúåñò áîëüøå øîêîëàäà. Ïåðâûé õîä äåëàåò Ìàëûø. Êòî
âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå?
2.  êðóæêå 30 ÷åëîâåê. Ó êàæäîãî êðóæêîâöà íå áîëåå òðåõ çàêëÿòûõ âðàãîâ. Äîêàæèòå, ÷òî êðóæîê ìîæíî òàêèì
ñïîñîáîì ðàçäåëèòü íà äâå êîìàíäû, ÷òî ó êàæäîãî êðóæêîâöà áóäåò íå áîëåå îäíîãî âðàãà â åãî êîìàíäå.
3. Êàæäûé ðåáåíîê èç 4-÷àñîâîãî êðóæêà äðóæèò íå ìåíåå, ÷åì ñ ïîëîâèíîé äåòåé èç 6-÷àñîâîãî êðóæêà, à êàæäûé ðåáåíîê
èç 6-÷àñîâîãî êðóæêà äðóæèò íå áîëåå, ÷åì ñ ïîëîâèíîé 4-÷àñîâîãî êðóæêà. Äîêàæèòå, ÷òî êàæäûé ðåáåíîê èç 4-÷àîîâîãî
êðóæêà äðóæèò ðîâíî ñ ïîëîâèíîé äåòåé èç 6-÷àñîâãî êðóæêà.
4. Íà øàõìàòíîé äîñêå ïîìåòèëè 16 èç 64 êëåòîê, ïðè÷åì òàê, ÷òî íà êàæäîé èç 8 ãîðèçîíòàëåé è êàæäîé èç 8 âåðòèêàëåé
îêàçàëîñü ïî 2 ïîìå÷åííûõ êëåòêè. Äîêàçàòü, ÷òî íà ïîìå÷åííûõ êëåòêàõ ìîæíî ðàññòàâèòü 8 ÷åðíûõ è áåëûõ ôèãóð (ïî
îäíîé ôèãóðå íà êàæäîé ïîìå÷åííîé êëåòêå) òàê, ÷òîáû íà êàæäîé ãîðèçîíòàëè è êàæäîé âåðòèêàëè ñòîÿëî ïî 1 áåëîé è 1
÷åðíîé ôèãóðå.
5. Íà âûïóñêíîì áàëó êàæäûé þíîøà òàíöåâàë ïî êðàéíåé ìåðå ñ îäíîé äåâóøêîé, íî íèêòî èç þíîøåé íå òàíöåâàë ñî
âñåìè äåâóøêàìè, à êàæäàÿ äåâóøêà òàíöåâàëà ïî êðàéíåé ìåðå ñ îäíèì þíîøåé, íî íèêòî èç äåâóøåê íå òàíöåâàë ñî âñåìè
þíîøàìè. Äîêàçàòü, ÷òî ñðåäè ïðèñóòñòâîâàâøèõ íà áàëó ìîæíî íàéòè äâóõ þíîøåé è äâóõ äåâóøåê òàê, ÷òî êàæäûé èç
äâóõ þíîøåé òàíöåâàë ëèøü ñ îäíîé èç äâóõ äåâóøåê, à êàæäàÿ èç ýòèõ äâóõ äåâóøåê òàíöåâàëà ëèøü ñ îäíèì èç ýòèõ äâóõ
þíîøåé.
6. Íàéäèòå âñå âîçìîæíûå îñòàòêè îò äåëåíèÿ n5 îò äåëåíèÿ íà 11, (n-íàòóðàëüíîå), è äîêàæèòå, ÷òî äðóãèõ íåò.
7. Ïåòÿ âûïèñûâàåò íà äîñêó âñå ÷èñëà îò 1 äî à)10 á)30 êîòîðûå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðàçíîñòè äâóõ êóáîâ öåëûõ ÷èñåë
(ò.å. â âèäå x3 − y 3 , ãäå x, y - öåëûå.) Çà êàæäîå ïðàâèëüíî âûïèñàííîå ÷èñëî Ïåòÿ ïîëó÷àåò ôóíò ñòåðëèíãîâ, çà êàæäîå
íåïðàâèëüíîå - ùåë÷îê ïî íîñó. Ïîìîãèòå Ïåòå ïîëó÷èòü êàê ìîæíî áîëüøå äåíåã è êàê ìîæíî ìåíüøå ùåë÷êîâ ïî íîñó.
Ñåðèÿ 15. Èíäóêòèâíàÿ.
Îïðåäåëåíèå : ×èñëàìè Ôèáîíà÷÷è íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòû ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè : F0 = 1, F1 = 1, Fn+1 = Fn +
Fn−1 .
1. Íàéäèòå ïåðâûå 15 ÷èñåë Ôèáîíà÷÷è, è ïðîâåðüòå äëÿ íèõ óòâåðæäåíèÿ âòîðîé è òðåòüåé çàäà÷è.
2. Äîêàæèòå ñëåäóþùåå òîæäåñòâî äëÿ ÷èñåë Ôèáîíà÷÷è : F0 + F1 + F2 + . . . + Fn−1 = Fn+1 − 1
3. a1 = 1, an+1 = 1 + a1 + . . . + an . Íàéäèòå ÿâíóþ ôîðìóëà äëÿ an áåç ìíîãîòî÷èé.
4. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíî íåñêîëüêî ìíîãîóãîëüíèêîâ. Äîêàæèòå, ÷òî ÷àñòè, íà êîòîðûå îíè äåëÿò ïëîñêîñòü, ìîæíî
ïðàâèëüíûì îáðàçîì ðàñêðàñèòü â øàõìàòíîì ïîðÿäêå, ò.å. òàê, ÷òîáû ñîñåäíèå îáëàñòè áûëè ïîêðàøåíû ïî-ðàçíîìó.
5. Ìîæåò ëè ñóììà òðåõ íå÷åòíûõ êâàäðàòîâ áûòü êâàäðàòîì?
6. Íà äîñêå íàðèñîâàí êâàäðàò 4 × 4.  åãî ëåâîì âåðõíåì óãëó ñòîèò ÷èñëî −1, à â îñòàëüíûõ êëåòêàõ ñòîÿò åäèíèöû.
Ó÷èòåëüíèöà ðàçðåøèëà Ìàøå èçìåíÿòü çíàê ó âñåõ ÷èñåë, ñòîÿùèõ â îäíîé ñòðîêå, èëè ó âñåõ ÷èñåë, ñòîÿùèõ â îäíîì
ñòîëáöå.
?
à) Ñìîæåò ëè Ìàøà ïðè ïîìîùè òàêèõ îïåðàöèé ñäåëàòü âñå ÷èñëà ðàâíûìè 1 ?
á) À ñìîæåò ëè îíà äîáèòüñÿ, ÷òîáû −1 ïåðååõàëà â ïðàâûé íèæíèé óãîë, à âñå îñòàëüíûå êëåòêè áûëè çàíÿòû åäèíèöàìè
7. Ãëóáîêî â äæóíãëÿõ, â êàïèùå áîãà Èíâàðèàíòà âèñèò ïî êðóãó 12 áóòûëîê. Îäíà èç íèõ ðàñïîëîæåíà ãîðëûøêîì
âíèç, à îñòàëüíûå ãîðëûøêîì ââåðõ. Æðåöû ñ÷èòàþò, ÷òî åñëè âìåñòî íåå îêàæåòñÿ ïåðåâåðíóòîé ñîñåäíÿÿ áóòûëêà, òî
ýòî ïðèâåäåò ê ñåðüåçíûì ïîñëåäñòâèÿì.
à) Åñëè âðàæäåáíûé ÷óæåñòðàíåö äîáüåòñÿ ýòîãî, ïåðåâîðà÷èâàÿ ïî òðè áóòûëêè ïîäðÿä, òî îí âûçîâåò ãðîì;
á) ïî 4 çåìëåòðÿñåíèå; â) ïî 6 êîíåö ñâåòà.
Êàêèõ áåäñòâèé ìîæíî íå îïàñàòüñÿ ?
8. Íàéäèòå âñå òàêèå x, ÷òî x2 + 2x + 2 = 0.
9. Ìîæíî ëè ðàñïîëîæèòü íà ïëîñêîñòè ñòîëà íåñêîëüêî ïÿòàêîâ, ÷òîáû êàæäûé èç íèõ êàñàëñÿ ðîâíî òðåõ äðóãèõ?
Ñåðèÿ 16. Áåç âòîðîé çàäà÷è è ïî÷òè âñÿ ñïåöèàëüíî äëÿ ïÿòèêëàññíèêîâ.
1.  îäíîì ÿùèêå ëåæàò áåëûå øàðèêè, â äðóãîì ÷åðíûå, à â òðåòüåì áåëûå è ÷åðíûå âïåðåìåøêó. Õóëèãàí Ñàøà ïîâåñèë
íà ÿùèêàõ òàáëè÷êè áåëûå ÷åðíûå ñìåñü"è ñ ãîðäîñòüþ ñîîáùèë ïðèÿòåëþ Äèìå, ÷òî íàäïèñè ïåðåïóòàíû è íè îäíà èç íèõ
íå ñîîòâåòñòâóåò ïðàâäå. Êàê Äèìå, âûòàùèâ íàîùóïü âñåãî îäèí øàðèê èç êàêîãî-íèáóäü ÿùèêà, îïðåäåëèòü, â êàêîì ÿùèêå
ëåæàò áåëûå øàðèêè, â êàêîì ÷åðíûå, à â êàêîì ñìåñü?
3.  êëåòêàõ òàáëèöû 3 × 3 ñòîÿò íóëè. Ìîæíî âûáðàòü ëþáîé êâàäðàò 2 × 2 è óâåëè÷èòü íà åäèíèöó âñå ñòîÿùèå â íåì
÷èñëà. Ìîæíî ëè çà íåñêîëüêî òàêèõ îïåðàöèé ïîëó÷èòü òàáëèöó, èçîáðàæåííóþ íèæå?
4
9
5
10 18 12
6 13 7
4. Ñóùåñòâóþò ëè ïÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 10000, à ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 10000001?
5. Çà ñòîëîì ñèäåëè 5 ìàëü÷èêîâ è 6 äåâî÷åê, à íà ñòîëå íà òàðåëêå ëåæàëî íåñêîëüêî áóëî÷åê. Êàæäàÿ èç äåâî÷åê äàëà ïî
áóëî÷êå (ñ òàðåëêè) êàæäîìó çíàêîìîìó ìàëü÷èêó. Çàòåì êàæäûé ìàëü÷èê äàë ïî áóëî÷êå (ñ òàðåëêè) êàæäîé íåçíàêîìîé
åìó äåâî÷êå. Ïîñëå ýòîãî òàðåëêà îïóñòåëà. Ñêîëüêî áûëî áóëî÷åê?
6. Àðòèñòû Àðíîëüä, Ñèëüâåñòð è Æàí ñíÿëèñü â îäèíàêîâîì êîëè÷åñòâå ôèëüìîâ. Âñåãî ñ èõ ó÷àñòèåì áûëî ñíÿòî 59
ôèëüìîâ, ïðè÷åì íè â îäíîì èç íèõ îíè íå ñíèìàëèñü âòðîåì.
Ôèëüìîâ, â êîòîðûõ Àðíîëüä ñíèìàëñÿ âìåñòå ñ Æàíîì, â 5 ðàç ìåíüøå, ÷åì ôèëüìîâ, â êîòîðûõ îí ñíèìàëñÿ âìåñòå ñ
Ñèëüâåñòðîì. Ôèëüìîâ, â êîòîðûõ Æàí ñíèìàëñÿ âìåñòå ñ Àðíîëüäîì, â 5 ðàç áîëüøå, ÷åì ôèëüìîâ, â êîòîðûõ îí ñíèìàëñÿ
ñ Ñèëüâåñòðîì. Â ñêîëüêèõ ôèëüìàõ ñíÿëñÿ Æàí?
7. Äèìå ïîäàðèëè 68 ìîíåò, ðàçíûõ ïî âåñó. Ó íåãî åñòü âåñû, ïðè ïîìîùè êîòîðûõ ìîæíî ñðàâíèòü âåñà, ëåæàùèå íà
äâóõ ÷àøêàõ. Êàê Äèìå çà 100 âçâåøèâàíèé íàéòè ñàìóþ òÿæåëóþ è ñàìóþ ëåãêóþ ìîíåòû?
8. Êâàäðàò 8 × 8 ðàçðåçàëè íà 32 ïðÿìîóãîëüíèêà 1 × 2. Íåêîòîðûå èç ïîëó÷èâøèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîâ îêàçàëèñü ðàñïîëîæåíû âåðòèêàëüíî, à íåêîòîðûå ãîðèçîíòàëüíî. Äîêàæèòå, ÷òî êîëè÷åñòâî âåðòèêàëüíûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ÷åòíî.
9. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò n − ÷èñåë, ñîñòîÿùèõ èç öèôð 1,2 è 3, â êîòîðûõ êàæäà èç ýòèõ öèôð âñòðå÷àåòñÿ õîòÿ áû ïî
îäíîìó ðàçó?
10. à) Ãîðîä Óñòü-Óðþïèíñê, èìååò â ïëàíå âèä ïðÿìîãî óãëà, ðàçäåëåííîãî íà êâàðòàëû óëèöàìè, ïàðàëëåëüíûìè îäíîé
åãî ñòîðîíå (êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ 0-é óëèöåé) èëè ïðîñïåêòàìè, ïàðàëëåëüíûìè äðóãîé ñòîðîíå (ïðîñïåêòó íîìåð 0). Ñ äðóãîé
ñòîðîíû ãîðîä îãðàíè÷åí n-íîé óëèöåé è n-íûì ïðîñïåêòîì. Íà ïåðåêðåñòêå m-îé óëèöû è k -îãî ïðîñïåêòà ñòîèò ñòàòóÿ
Íèêèòû Ñåðãååâè÷à. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïðîåõàòü èç ëåâîãî íèæíåãî óãëà ãîðîäà â ïðîòèâîïîëîæíûé, äâèãàÿñü
ââåðõ è âïåðåä è âîçëîæèâ ïî äîðîãå öâåòû ê ïîñòàìåíòó ñòàòóè?
n
.
á) Äîêàæèòå, ÷òî Cn0 · Cnn + Cn1 · Cnn−1 + Cn2 · Cnn−2 + . . . + Cnn · Cn0 = C2n
n
n 2
1 2
0 2
â) Äîêàæèòå, ÷òî (Cn ) + (Cn ) + . . . + (Cn ) = C2n .
Ñåðèÿ 17. Íà êàíèêóëû
1. Ïÿòèçíà÷íîå ÷èñëî 42 ∗ 4∗ äåëèòñÿ íà 72. Êàêèå öèôðû ìîãóò ñòîÿòü íà ìåñòå çâåçäî÷åê?
2. Ìîæíî ëè ÷èñëà îò 1 äî 21 ðàçáèòü íà íåñêîëüêî ãðóïï, â êàæäîé èç êîòîðûõ èìååòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ñóììå âñåõ
îñòàëüíûõ?
3.  ÷èñëå k , ñîñòàâëåííîì ëèøü èç åäèíèö è äâîåê, åäèíèö â 4 paçà áîëüøå, ÷åì äâîåê. Äîêàæèòå, ÷òî k + 6 ñîñòàâíîå
÷èñëî.
4. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ëþáûõ äåâÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë åñòü ÷èñëî, âçàèìíî ïðîñòîå ñ îñòàëüíûìè.
5. Ìîæíî ëè ðàçìåíÿòü 5 ðóáëåé íà 20 ìîíåò ïî 5, 20 è 50 êîïååê?
6. Â ìàãàçèí ïðèâåçëè ìóêó â ìåøêàõ. Èçâåñòíî, ÷òî â ïåðâîì, âòîðîì è òðåòüåì ìåøêàõ íå ìåíåå 60 êã ìóêè, ïåðâîì,
âòîðîì è ÷åòâåðòîì íå áîëåå 50 êã ìóêè, ïåðâîì, òðåòüåì è ÷åòâåðòîì íå áîëåå 40 êã ìóêè, à âî âòîðîì, òðåòüåì è
÷åòâåðòîì íå áîëåå 30 êã ìóêè. Ñêîëüêî ìóêè áûëî â êàæäîì ìåøêå?
7. Èìååòñÿ êâàäðàòíûé ó÷àñòîê ëåñà ñî ñòîðîíîé 1 êì. Ëåñ ñîñòîèò èç äåðåâüåâ äèàìåòðîì 50 ñì. Òàíÿ âûÿñíèëà, ÷òî
÷åðåç ýòîò ëåñ íåëüçÿ ïðîéòè íè ïî êàêîé ïðÿìîé ñ îäíîé ñòîðîíû íà ïðîòèâîïîëîæíóþ. Äîêàçàòü, ÷òî â ëåñó íå ìåíåå äâóõ
òûñÿ÷ äåðåâüåâ.
8. Ñðåäíèé âîçðàñò îäèííàäöàòè èãðîêîâ ôóòáîëüíîé êîìàíäû 22 ãîäà. Âî âðåìÿ ìàò÷à îäèí èç èãðîêîâ ïîëó÷èë òðàâìó
è óøåë ñ ïîëÿ. Ñðåäíèé âîçðàñò îñòàâøèõñÿ íà ïîëå èãðîêîâ ñòàë ðàâåí 21 ãîäó. Ñêîëüêî ëåò ôóòáîëèñòó, ïîëó÷èâøåìó
òðàâìó?
9. Êàêîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî ðàâíî êóáó ÷èñëà, çàïèñûâàåìîãî ïîñëåäíåé öèôðîé, è îäíîâðåìåííî êâàäðàòó ÷èñëà, çàïèñûâàåìîãî âòîðîé è ïåðâîé öèôðîé?
10. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò n-çíà÷íûõ ÷èñåë, ñîñòîÿùèõ ëèøü èç öèôð 1, 2, 3, â çàïèñè êîòîðûõ êàæäàÿ èç òðåõ öèôð
âñòðå÷àåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ðàç?
11. Äàíî 101 ðàçëè÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ëþáûõ äåñÿòè ÷èñåë - öåëîå ÷èñëî.
Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû îäíî èç èñõîäíûõ ÷èñåë áîëüøå 1000.
Ñåðèÿ 18. Õðåáòîâàÿ
1. Íàçîâåì òðåõçíà÷íîå ÷èñëî õðåáòîâûì, åñëè ñðåäíÿÿ öèôðà â åãî äåñÿòè÷íîé çàïèñè áîëüøå, ÷åì êðàéíèå, è îâðàæíûì,
åñëè åãî ñðåäíÿÿ öèôðà ìåíüøå êðàéíèõ. Êàêèõ ÷èñåë áîëüøå : õðåáòîâûõ èëè îâðàæíûõ?
2. Íà ïëîñêîñòè îòìå÷åíû n òî÷åê (n > 1) è ðàññìàòðèâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå îòðåçêè ñ êîíöàìè â ýòèõ òî÷êàõ. Íàçîâåì
îòðåçîê ÷åòíûì , åñëè íà íåì ëåæèò ÷åòíîå êîëè÷åñòâî îòìå÷åííûõ òî÷åê, è íå÷åòíûì , åñëè íà íåì ëåæèò íå÷åòíîå
êîëè÷åñòâî îòìå÷åííûõ òî÷åê. Êàêèõ îòðåçêîâ áîëüøå : ÷åòíûõ èëè íå÷åòíûõ?
3. Öåëûå ÷èñëà x, y , z òàêîâû, ÷òî ÷èñëà xy +1, yz +1 è zx+1 ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè êâàäðàòàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå
xyz äåëèòñÿ íà 8.
4. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êîðîëåé ìîæíî ðàññòàâèòü íà øàõìàòíîé äîñêå òàê, ÷òîáû ðîâíî ïîëîâèíà èç íèõ íå
óãðîæàëà íèêîìó èç îñòàëüíûõ?
5. à)  êëàññå 35 ÷åëîâåê. Êàæäûé ìàëü÷èê ïîæàë ðóêó êàæäîé äåâî÷êå. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ðóêîïîæàòèé
ìîãëî áûòü ñîâåðøåíî? á) Äîêàæèòå, ÷òî x(y − x) ≤ ( x2 )2 .
6.  òàáëèöå 4 × 4 ïî ãëàâíîé äèàãîíàëè, èäóùåé ñëåâà íàïðàâî ñâåðõó âíèç, íàïèñàíû ÷åòûðå åäèíèöû. Âñå îñòàëüíûå
÷èñëà òàáëèöû íóëè. Çà îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ ïðèáàâèòü èëè âû÷åñòü 1 â äâóõ ñîñåäíèõ êëåòêàõ. Ìîæíî ëè ÷åðåç íåñêîëüêî
òàêèõ îïåðàöèé ïîëó÷èòü ÷åòûðå åäèíèöû â äðóãîé ãëàâíîé äèàãîíàëè?
7. 20 ôóòáîëüíûõ êîìàíä ïðîâîäÿò ïåðâåíñòâî. Â ïåðâûé äåíü âñå êîìàíäû ñûãðàëè ïî îäíîé èãðå. Âî âòîðîé äåíü òàêæå
âñå êîìàíäû ñûãðàëè ïî îäíîé èãðå. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëå âòîðîãî äíÿ ìîæíî óêàçàòü òàêèå 10 êîìàíä, ÷òî íèêàêèå äâå èç
íèõ íå èãðàëè äðóã ñ äðóãîì.
8. Ðàçðåæüòå êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 8 ñì íà âîñåìü ìíîãîóãîëüíèêîâ, äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ îòíîøåíèå åãî ïëîùàäè ê
ïåðèìåòðó ðàâíî 0,5 ñì.
9. Íàçîâåì äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà äâîéíèêàìè, åñëè ñóììû èõ öèôð ðàâíû äðóã äðóãó è ïðîèçâåäåíèÿ èõ öèôð òàêæå
ðàâíû äðóã äðóãó (íàïðèìåð, 124 è 2212 äâîéíèêè). Íàéäèòå âñå ÷èñëà, ó êîòîðûõ íåò äâîéíèêîâ.
10. Øåñòèçíà÷íûé íîìåð íàçûâàåòñÿ ïî÷òè ñ÷àñòëèâûì, åñëè ñóììà òðåõ êàêèõ-òî åãî öèôð ðàâíà ñóììå òðåõ îñòàëüíûõ.
Êîñòÿ âçÿë â àâòîáóñå äâà áèëåòà ïîäðÿä. Èõ íîìåðà îêàçàëèñü ïî÷òè ñ÷àñòëèâûìè. Äîêàæèòå, ÷òî îäèí èç ýòèõ íîìåðîâ
îêàí÷èâàåòñÿ íà 0.
Ñåðèÿ 19. Çàéìåìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëèçîì.
0.(Ïðèíèìàåòñÿ ÒÎËÜÊÎ ïèñüìåííî è òîëüêî â íà÷àëå çàíÿòèÿ. Ò.å. íàïèñàòü ðåøåíèå çàäà÷è íàäî åùå äîìà.) Âàñÿ êóïèë íåñêîëüêî
áóëîê (ñòîèìîñòüþ 5 ðóáëåé êàæäàÿ) è íåñêîëüêî ïèðîæíûõ (öåíîé 3 ðóáëÿ êàæäîå). Âñåãî îí êóïèë 6 õëåáîáóëî÷íûõ èçäåëèé, çàïëàòèâ
ïðè ýòîì 22 ðóáëÿ. Ñêîëüêî îí êóïèë áóëîê? Íàéäèòå âñå îòâåòû è äîêàæèòå, ÷òî äðóãèõ íåò.
1. Ïðè êàêèõ x (íå îáÿçàòåëüíî öåëûõ! ) âûðàæåíèå (x − 3)(x + 1) íåîòðèöàòåëüíî?
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ íàçûâàþò ÷èñëî, êîòîðîå îáðàùàåò óðàâíåíèå â âåðíîå ðàâåíñòâî. Íàïðèìåð, 5 - ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
x3 − 20x − 25 = 0, ò.ê. 53 − 20 · 5 − 25 = 0.
2. Äàíî óðàâíåíèå x3 − 2x2 + x = 0 à) Íàéäèòå õîòÿ áû îäíî åãî ðåøåíèå. á) Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x2 − 4x + 4 = 0
è äîêàæèòå, ÷òî äðóãèõ íåò.
3. Íàðèñóéòå âîñåìü òî÷åê è ñîåäèíèòå èõ îòðåçêàìè òàê, ÷òîáû îòðåçêè íå ïåðåñåêàëèñü è êàæäàÿ òî÷êà áûëà áû âåðøèíîé
ðîâíî ÷åòûðåõ îòðåçêîâ.
4. Æèòåëè ãîðîäà À ãîâîðÿò òîëüêî ïðàâäó, æèòåëè ãîðîäà Â - òîëüêî ëîæü, à æèòåëè ãîðîäà Ñ - ïîïåðåìåííî ïðàâäó è
ëîæü (ò. å. èç äâóõ âûñêàçàííûõ èìè óòâåðæäåíèé îäíî èñòèííî, à äðóãîå ëîæíî).  ïîæàðíóþ ÷àñòü ñîîáùèëè ïî òåëåôîíó:
"Ó íàñ ïîæàð, ñêîðåå ïðèåçæàéòå!Ãäå? ñïðîñèë äåæóðíûé ïî ÷àñòè. " ãîðîäå Ñ - îòâåòèëè åìó.  êàêîé ãîðîä äîëæíà
ïðèåõàòü ïîæàðíàÿ ìàøèíà?
5. Â êîëîíèþ, ñîñòîÿùóþ èç äâóõñîò áàêòåðèé, ïîïàäàåò îäèí âèðóñ. Â ïåðâóþ ìèíóòó îí óíè÷òîæàåò îäíó áàêòåðèþ,
çàòåì äåëèòñÿ íà äâà íîâûõ âèðóñà, è îäíîâðåìåííî êàæäàÿ èç îñòàâøèõñÿ áàêòåðèé òîæå äåëèòñÿ íà äâå íîâûå. Â ñëåäóþùóþ
ìèíóòó âîçíèêøèå äâà âèðóñà óíè÷òîæàþò äâå áàêòåðèè, è çàòåì êàæäûé èç îñòàâøèõñÿ âèðóñîâ è êàæäàÿ èç îñòàâøèõñÿ
áàêòåðèé ñíîâà äåëÿòñÿ ïîïîëàì è òàê äàëåå. Áóäåò ëè ýòà êîëîíèÿ æèòü áåñêîíå÷íî äîëãî èëè, åñëè îíà â êîíöå êîíöîâ
ïîãèáíåò, òî ÷åðåç êàêîå âðåìÿ ýòî ïðîèçîéäåò?
6. ×òî áîëüøå: 5050 èëè 21633 ?.
7. à)  âåðøèíàõ 100-óãîëüíèêà ðàññòàâëåíû ÷èñëà òàê, ÷òî êàæäîå åñòü ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ñâîèõ ñîñåäåé. Äîêàæèòå,
÷òî âñå ýòè ÷èñëà ðàâíû.
á)  êëåòêàõ øàõìàòíîé äîñêè ðàññòàâëåíû ÷èñëà òàê, ÷òî êàæäîå åñòü ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ñâîèõ ñîñåäåé. Äîêàæèòå,
÷òî âñå ýòè ÷èñëà ðàâíû.
1
1
n
8. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n n1 + (n+1)
+ . . . + 2n−1)
áîëüøå, ÷åì 2n
.
Ñåðèÿ 20. Çàéìåìñÿ ãåîìåòðèåé + ïîâòîðèì òî, ÷òî âñå çàáûëè.
0(ïèñüìåííî, äî çàíÿòèÿ). Â êâàäðàòå 10 × 10 çàêðàñèëè ìåíåå 50 êëåòîê. Äîêàæèòå, ÷òî èç êâàäðàòà ìîæíî âûðåçàòü
äîìèíîøêó, îáå êëåòêè êîòîðîé íå çàêðàøåíû.
1. Íà áåñêîíå÷íî ëèñòå êëåò÷àòîé áóìàãè îòìåòèëè 1000 êëåòîê. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ îòìå÷åííàÿ êëåòêà, ó êîòîðîé
à) íå áîëåå äâóõ îòìå÷åííûõ ñîñåäåé ïî ñòîðîíå; á) íå áîëåå ÷åòûðåõ îòìå÷åííûõ ñîñåäåé ïî ñòîðîíå èëè óãëó.
2. Íà êâàäðàòíîé ïëîùàäè ñî ñòîðîíîé 1 êì ñòîèò 51 ïàìÿòíèê Ï.Ã.Ë.Äèðèõëå. Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå-òî òðè ïàìÿòíèêà
ïîìåùàþòñÿ íà êâàäðàòíîì ó÷àñòêå ñî ñòîðîíîé 200 ì.
3.  ïðÿìîóãîëüíèêå 10 × 21 ïðîâåëè äèàãîíàëü. ×åðåç ñêîëüêî êëåòîê îíà ïðîøëà?
4. Îïÿòü íà äîñêå 5 × 5 ïîñåëèëèñü òàðàêàíû (â êàæäîé êëåòêå ïî øòóêå).  î÷åðåäíîé ðàç íàñòàëè õîëîäà è êàæäûé
òàðàêàí ïåðåïîëç íà ñîñåäíþþ ïî äèàãîíàëè êëåòêó. a) Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå-òî ïÿòü êëåòîê äîñêè îïóñòåëî. b) Äîêàæèòå,
÷òî åùå äî òîãî êàê òàðàêàíû íà÷àëè ïåðåïîëçàòü, ìîæíî óêàçàòü òàêèå ÷åòûðå êëåòêè äîñêè, íà êîòîðûõ ïîñëå òàðàêàíüèõ
ïåðåïîëçàíèé èõ áóäåò ñòîÿòü ðîâíî 9.
5. Íà êëåò÷àòîì ëèñòå îòìåòèëè 5 óçëîâ. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè íèõ åñòü äâà òàêèõ, ÷òî ñåðåäèíà ñîåäèíÿþùåãî èõ îòðåçêà
òîæå óçåë.
6. Íà ïëîñêîñòè ëåæàò 100 òî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ, ïî êàæäóþ ñòîðîíó îò êîòîðîé ëåæèò ðîâíî 50 èç
ýòèõ òî÷åê.
7. 100 ÷åðíûõ è 100 êðàñíûõ øàðîâ âûëîæåíû â ðÿä. Ñàìûé ëåâûé è ñàìûé ïðàâûé øàðû ÷åðíûå. Äîêàæèòå, ÷òî
ìîæíî âûáðàòü íåñêîëüêî (ìåíüøå 200) øàðîâ, ëåæàùèõ ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ñàìîãî ëåâîãî, òàê, ÷òî ñðåäè íèõ êîëè÷åñòâî
êðàñíûõ ðàâíî êîëè÷åñòâó ÷åðíûõ.
8. Ó âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà íàðóæó ðàñòóò âîëîñû. Â íåì ïðîâåëè íåñêîëüêî äèàãîíàëåé, âîëîñàòûõ â îäíó ñòîðîíó.
Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ìíîãîóãîëüíèêîâ áåç äèàãîíàëåé âíóòðè, ñòîðîíàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ñòîðîíû è äèàãîíàëè èñõîäíîãî
ìíîãîóãîëüíèêà, åñòü ìíîãîóãîëüíèê ñ âîëîñàìè íàðóæó.
Ñåðèÿ 21. Çàéìåìñÿ òåîðèåé ÷èñåë.
0. (Êàê âñåãäà, òîëüêî ïèñüìåííî). Êàæäûé ïîëèòèê - äóðàê, ëæåö èëè èíòðèãàí. Äóðàêè âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó, ëæåöû
âñåãäà ëãóò, èíòðèãàíû ãîâîðÿò òàê, êàê èì âûãîäíåå. Òðåíèðîâî÷íûé âîïðîñ: â îäíîé ðå÷è ×àâåñ íàçâàë Áóøà ëæåöîì, à â
äðóãîé èíòðèãàíîì. ×òî èç ýòîãî ìîæíî çàêëþ÷èòü?
1. Èç ÷åòûðåõ ïîëèòèêîâ äâîå èíòðèãàíû, îäèí äóðàê è îäèí ëæåö. Âñå îíè çíàþò, êòî åñòü êòî, à âû õîòèòå óçíàòü, çàäàâàÿ
èì âîïðîñû íà "äà-íåò". Äîêàæèòå, ÷òî èíòðèãàíû ìîãóò äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî íè ïðî îäíîãî èç ÷åòâåðûõ âû íå ñìîæåòå óçíàòü,
êòî îí.
2.à) Íàéäèòå îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷èñëà 146 íà 3, 6, 9, 18. á) Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà 3, 6 è 9 â ñóììå
äàþò 11. Êàêîé îñòàòîê îò äåëåíèÿ äàííîãî ÷èñëà íà 18?
3.à) Ïóñòü p > 3 ïðîñòîå ÷èñëî. Äîêàæèòå, ÷òî p2 − 1 äåëèòñÿ íà 24. á) Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ (íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûõ) ïðîñòûõ.
4. Ïðÿìîóãîëüíèê ìîæíî ðàçðåçàòü íà óãîëêè èç òðåõ êëåòîê. Äîêàæèòå, ÷òî åãî ìîæíî ðàçðåçàòü íà ïðÿìîóãîëüíèêè
1 × 3.
5. Äîêàæèòå, ÷òî â èãðå "êðåñòèêè-íîëèêè"íà áåñêîíå÷íîé äîñêå ó íîëèêîâ îòñóòñòâóåò âûèãðûøíàÿ ñòðàòåãèÿ.
39n+7
6. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n äðîáü 65n+12
íåñîêðàòèìà.
7. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî à) 100020001, á) 899999999 ñîñòàâíîå.
8. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî M ñîñòîèò èç 1980 åäèíèö è 1983 äâîåê, à îñòàëüíûå öèôðû íóëè. Ìîæåò ëè ýòî ÷èñëî áûòü
òî÷íûì êóáîì?
Ñåðèÿ 22. Çàéìåìñÿ ãðàôàìè.
0.  ìàãàçèíå åñòü ñèíèå, áåëûå è ÷åðíûå êðóæêè, êðàñíûå, ÷åðíûå è æåëòûå ëîæêè è áåëûå, êðàñíûå è æåëòûå áëþäöà.
Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ñîñòàâèòü íàáîð äëÿ ÷àÿ (êðóæêà, ëîæêà è áëþäöå), ÷òîáû â íåì íå áûëî ïðåäìåòîâ îäíîãî
öâåòà?
1.  îäíîé èç êëåòîê äîñêè 8 × 8 ñòîèò 1, à â îñòàëüíûõ íóëè. Ðàçðåøàåòñÿ ïðèáàâèòü ïî 1 ê ÷èñëàì, ñòîÿùèì â ëþáûõ
äâóõ êëåòêàõ, èìåþùèõ îáùóþ ñòîðîíó. Äîêàæèòå, ÷òî òàêèìè îïåðàöèÿìè íåëüçÿ ïîëó÷èòü òàáëèöó, â êîòîðîé âñå ÷èñëà
äåëÿòñÿ íà 3.
2. Â ãðàôå ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû íå áîëåå 100. Äîêàæèòå, ÷òî åãî ìîæíî ïðàâèëüíûì îáðàçîì (ò.å. òàê, ÷òîáû âåðøèíû,
ñîåäèíåííûå ðåáðîì, áûëè ðàçíîãî öâåòà) ðàñêðàñèòü â 101 öâåò.
3. Ïóòåøåñòâåííèê ì-ð Òðåñïàññåð îáíàðóæèë, ÷òî èç óñàäüáû ëþáîãî ëèïøèðñêîãî äæåíòëüìåíà ìîæíî äîáðàòüñÿ äî
ëþáîé äðóãîé (âîçìîæíî, çàåçæàÿ â êàêèå-íèáóäü óñàäüáû ïî äîðîãå), à èç óñàäüáû ëîðäà Õîëäåðíåññà ìîæíî ïðîåõàòü â
óñàäüáó ñýðà Íàéäæåëà äàæå ïî äâóì ðàçíûì ìàðøðóòàì (ïðîõîäÿùèì, âîçìîæíî, ÷åðåç óñàäüáû äðóãèõ äæåíòëüìåíîâ).
Äîêàæèòå, ÷òî â ãðàôñòâå åñòü äîðîãà, êîòîðóþ ìîæíî çàêðûòü íà ðåìîíò òàê, ÷òîáû ïî-ïðåæíåìó îò ëþáîãî äæåíòëüìåíà
ìîæíî áûëî ïðîåõàòü ê ëþáîìó äðóãîìó.
4. Â ïàðëàìåíòñêîì îêðóãå Ðîòòåí-Áîðî êàæäàÿ äîðîãà ñîåäèíÿåò óñàäüáó äæåíòëüìåíà-âèãà ñ óñàäüáîé äæåíòëüìåíà-òîðè.
Èçâåñòíî, òåì íå ìåíåå, ÷òî êàæäûé äæåíòëüìåí ìîæåò äîåõàòü ïî äîðîãàì äî ëþáîãî ñâîåãî ïîëèòè÷åñêîãî åäèíîìûøëåííèêà. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîé äæåíòëüìåí ìîæåò ïðîåõàòü âîîáùå ê ëþáîìó äðóãîìó äæåíòëüìåíó.
Ïëàíàðíûì íàçûâàåòñÿ ãðàô, êîòîðûé ìîæíî èçîáðàçèòü íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òîáû åãî ðåáðà ïåðåñåêàëèñü òîëüêî â âåðøèíàõ.
5. Íàðèñóéòå ïëàíàðíûé ãðàô, â êîòîðîì 7 âåðøèí è 10 ðåáåð.
6. Ìîæíî ëè ðàçðåçàòü êâàäðàò íà äâàäöàòü øåñòü ïðÿìîóãîëüíèêîâ òàê, ÷òîáû êàæäûé èç íèõ ãðàíè÷èë ïî îòðåçêó à)
ðîâíî ñ ÷åòûðüìÿ äðóãèìè? á) ðîâíî ñ òðåìÿ äðóãèìè.
7. Õóëèãàí Âàñÿ êóïèë øîêîëàäêó 4 × 4 è ïðèíÿëñÿ ëîìàòü åå íà ÷àñòè. Çà îäèí ðàç îí ìîæåò íàëîæèòü íåñêîëüêî èç óæå
íàëîìàííûõ êóñêîâ äðóã íà äðóãà è ñëîìàòü èõ âìåñòå âäîëü ïðÿìîé áîðîçäêè. Çà êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ðàçëîìîâ îí
ñìîæåò ðàçëîìàòü åå íà åäèíè÷íûå êâàäðàòèêè ?
8. à) Ïðèâåäèòå ïðèìåð òàêîé ðàññòàíîâêè íåíóëåâûõ ÷èñåë â êëåòêàõ òàáëèöû 4 × 4, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë, ñòîÿùèõ â óãëàõ
êàæäîãî êâàäðàòà 2 × 2, 3 × 3 è 4 × 4, áûëà ðàâíà íóëþ.
á) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé òàêîé ðàññòàíîâêè ñóììà ÷èñåë, ñòîÿùèõ â êàæäîì ñòîëáöå, ðàâíà íóëþ.
Ñåðèÿ 23. Áîòèíêè êîìàðà.
0. Ñêîëüêî ñëîâ (íå îáÿçàòåëüíî îñìûñëåííûõ) ìîæíî ïîëó÷èòü, ïåðåñòàâëÿÿ áóêâû â ñëîâå ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÀ?
1. à) Íà ñòîëå â ðÿä ëåæàò n îäèíàêîâûõ øàðîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìåæäó íèìè ìîæíî ðàññòàâèòü k ïåðåãîðîäîê, åñëè
ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ïåðåãîðîäêàìè äîëæåí áûòü õîòÿ áû îäèí øàð (c êðàþ îò øàðîâ ïåðåãîðîäêè ñòàâèòü íåëüçÿ)?
á) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàçëîæèòü n îäèíàêîâûõ øàðîâ ïî k êîðîáêàì, òàê ÷òîáû â êàæäîé êîðîáêå áûë õîòÿ áû
îäèí øàð?
â) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷èñëî n â âèäå ñóììû k íàòóðàëüíûõ ñëàãàåìûõ (íàáîðû ñëàãàåìûõ, îòëè÷àþùèåñÿ ïîðÿäêîì ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷íûìè)?
2. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûëîæèòü â ðÿä 10 êðàñíûõ è 5 ñèíèõ øàðîâ òàê, ÷òîáû íèêàêèå äâà ñèíèõ øàðà íå
ëåæàëè ðÿäîì?
á) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûëîæèòü â ðÿä 5 êðàñíûõ, 5 ñèíèõ è 5 áåëûõ øàðîâ òàê, ÷òîáû íèêàêèå äâà ñèíèõ øàðà
íå ëåæàëè ðÿäîì?
3. Àíòîí Ñåðãååâè÷ è Íèêèòà Ñåðãååâè÷ ðåøèëè ïîäåëèòü 65 äåòåé íà 3 êðóæêà. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü,
åñëè à) êðóæêè ìîãóò áûòü ïóñòûìè á) â êàæäîì êðóæêå äîëæåí áûòü õîòÿ áû 1 ðåáåíîê.
4. Êîðîëü-èíâàëèä, êîòîðûé óìååò õîäèòü òîëüêî ââåðõ è âïðàâî, ñòîèò â ëåâîì íèæíåì óãëó äîñêè 9 × 9. Ñêîëüêèìè
ñïîñîáàìè îí ìîæåò ïåðåáðàòüñÿ â ïðàâûé âåðõíèé óãîë äîñêè, åñëè êëåòêè, îáå êîîðäèíàòû êîòîðûõ ÷åòíû, çàìèíèðîâàíû,
è ïî íèì õîäèòü íåëüçÿ.
5. Êàæäûé èç 450 äåïóòàòîâ Ãîñóäàðñòâåííîé Äóìû îáëèë ñîêîì ðîâíî îäíîãî èç ñâîèõ êîëëåã. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî
âûáðàòü 150 äåïóòàòîâ, ñðåäè êîòîðûõ íèêòî íèêîãî íå îáëèë.
6. Îòëè÷íèöà Ìàøà ïåðåìíîæèëà öèôðû íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïîëó÷èëà 2002. Äîêàæèòå, ÷òî îíà îáñ÷èòàëàñü.
7. Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå: xy + x + y = 45.
Ñåðèÿ 24. Âîñïîëüçóéñÿ ñòðàòåãèåé âðàãà!
0. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî x2 ≥ 6x − 9.
1. Â ëåâîì íèæíåì óãëó ïðÿìîóãîëüíîé äîñêè m×n ñòîèò êîðîëü-èíâàëèä, êîòîðûé óìååò õîäèòü òîëüêî ââåðõ èëè âïðàâî.
Ðîìà è Êîñòÿ äåëàþò õîäû ïî î÷åðåäè, ïðè ýòîì Ðîìà, êîòîðûé õîäèò ïåðâûì, ìîæåò ïðîïóñêàòü õîä, à Êîñòÿ íåò. Âûèãðàåò
òîò, êòî çàãîíèò êîðîëÿ â ïðàâûé âåðõíèé óãîë. Êòî âûèãðàåò, Ðîìà èëè Êîñòÿ?
2.  ýòî âðåìÿ äåâî÷êà Ñàøà è ìàëü÷èê Ñàøà èãðàþò â äðóãóþ èãðó. Íà äîñêå íàïèñàíû ÷èñëà îò 1 äî 1000. Çà îäèí
õîä ðàçðåøàåòñÿ ñòåðåòü êàêîå-òî ÷èñëî è âñå åãî äåëèòåëè. Ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå ìîæåò ñäåëàòü õîä. Êòî âûèãðàåò ïðè
ïðàâèëüíîé èãðå?
3. Ïðîèçâåäåíèå 25 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ íà 25. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè íèõ íàéäåòñÿ 3 ÷èñëà, ïðîèçâåäåíèå
êîòîðûõ òîæå îêàí÷èâàåòñÿ íà 25.
4. Ãðèá íàçûâàåòñÿ ïëîõèì, åñëè â íåì áîëåå 11 ÷åðâÿêîâ. ×åðâÿê òîùèé, åñëè îí ñúåë íå áîëåå 15 ñâîåãî ãðèáà. ×åòâåðòü
âñåõ ãðèáîâ â ëåñó ïëîõèå. Äîêàæèòå, ÷òî íå ìåíåå òðåòè âñåõ ÷åðâÿêîâ òîùèå.
5. Êâàäðàò 8 × 8 ðàñ÷åð÷åí ïî êëåòî÷êàì. Ñêîëüêî êâàäðàòîâ (âñåõ ðàçìåðîâ) íàðèñîâàíî?
6. Íà êîøà÷üåé âûñòàâêå â ðÿä ñèäèò 10 êîòîâ è 19 êîøåê, ïðè÷åì ðÿäîì ñ ëþáîé êîøêîé ñèäèò áîëåå òîëñòûé êîò.
Äîêàæèòå, ÷òî ðÿäîì ñ ëþáûì êîòîì ñèäèò êîøêà, êîòîðàÿ òîíüøå åãî.
7. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò 4-çíà÷íûõ ÷èñåë, â çàïèñè êîòîðûõ åñòü õîòÿ áû îäíà äåâÿòêà?
8. Ìîæåò ëè 25-çâåííàÿ ëîìàíàÿ ïåðåñåêàòü êàæäîå ñâîå çâåíî ðîâíî òðè ðàçà?
Ñåðèÿ 25. Íàñòóïèëà çèìà.
0. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x2 − 7x + 12 = 0
1. à) Ðåøèòå â ïðîñòûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå pq = 7(p + q). á) Ðåøèòå â ïðîñòûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå pqr = 7(p + q + r).
2. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x2 = y 2 + 2y + 13.
3. Âûâåäèòå ôîðìóëó äëÿ à) (a + b + c)2 ; á) (a − b + c)2 .
4. Çà êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî âûñòðåëîâ ìîæíî íàâåðíÿêà ïîïàñòü â ëèíêîð 1 × 4 íà äîñêå 10 × 10 äëÿ èãðû â ìîðñêîé
áîé?
5. Åñòü òðè âåðòèêàëüíûõ ïàëî÷êè. Íà îäíó èç íèõ îäåòî n êîëå÷åê ðàçíîãî äèàìåòðà ïî óáûâàíèþ ñíèçó ââåðõ. Äîêàæèòå,
÷òî ìîæíî ïåðåëîæèòü âñå êîëå÷êè íà äðóãóþ ïàëî÷êó â òîì æå ïîðÿäêå, ïåðåêëàäûâàÿ çà ðàç îäíî êîëå÷êî è íå êëàäÿ
áîëüøåå íà ìåíüøåå.
6. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷åòûðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë, óâåëè÷åííîå íà åäèíèöó òî÷íûé êâàäðàò.
7. Äîêàæèòå, ÷òî 3099 + 61100 äåëèòñÿ íà 31.
8. Äàíà êëåò÷àòàÿ äîñêà 100 × 100. Äâîå èãðàþò â ñëåäóþùóþ èãðó: çà õîä ðàçðåøàåòñÿ çàêðàñèòü ÷åðíîé êðàñêîé ëþáîé
ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè, èäóùèìè ïî ëèíèÿì ñåòêè, ó êîòîðîãî ëåâàÿ íèæíÿÿ âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ ëåâîé íèæíåé
âåðøèíîé èñõîäíîé äîñêè, ïðè÷åì íóæíî, ÷òîáû õîòÿ áû îäíà èç íåçàêðàøåííûõ äî ýòîãî êëåòîê ñòàëà çàêðàøåííîé. Òîò,
êòî çàêðàøèâàåò ïðàâóþ âåðõíþþ êëåòêó äîñêè, ïðîèãðûâàåò. Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå?
Ñåðèÿ 26. Ïîçäðàâëÿåì âàñ ñ íà÷àëîì îáó÷åíèÿ ãåîìåòðèè.
0. Äîêàæèòå, ÷òî äâå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ íå áîëåå, ÷åì â îäíîé òî÷êå.
1. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷èñëî n â âèäå ñóììû k öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ (íàáîðû
ñëàãàåìûõ, îòëè÷àþùèåñÿ ïîðÿäêîì ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷íûìè)?
á) Íà ñòîëå â ðÿä ëåæàò n îäèíàêîâûõ øàðîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìåæäó íèìè ìîæíî ðàññòàâèòü k ïåðåãîðîäîê, åñëè
ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ïåðåãîðîäêàìè íå îáÿçàòåëüíî äîëæåí áûòü õîòÿ áû îäèí øàð (c êðàþ ïåðåãîðîäêè ñòàâèòü ìîæíî)?
â) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàçëîæèòü n îäèíàêîâûõ øàðîâ ïî k êîðîáêàì, åñëè ìîãóò áûòü ïóñòûìè.
2. Ëàäüÿ ñòîèò íà êðàéíåì ëåâîì ïîëå êëåò÷àòîé ïîëîñêè 1 × 30 è çà îäèí õîä ìîæåò ñäâèíóòüñÿ íà ëþáîå êîëè÷åñòâî
êëåòîê âïðàâî. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îíà ìîæåò äîáðàòüñÿ äî êðàéíåãî ïðàâîãî ïîëÿ? á) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îíà ìîæåò
äîáðàòüñÿ äî êðàéíåãî ïðàâîãî ïîëÿ ðîâíî çà 7 õîäîâ?
3. Ó÷èòåëüíèöà äàëà îòëè÷íèöå Äóñå ÷åòûðå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëà. Äóñÿ íàïèñàëà íà äîñêå ÷èñëà 3, 4 è 7 è ñêàçàëà, ÷òî
êàæäîå èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé êàêèõ-òî òðåõ èç ÷åòûðåõ äàííûõ åé ÷èñåë. Äîêàæèòå, ÷òî Äóñÿ îøèáëàñü.
4. Â ñâÿçíîì ãðàôå ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ðàâíû 100. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè âûêèäûâàíèè ëþáîãî ðåáðà ñâÿçíîñòü íå íàðóøèòñÿ.
5. Äîêàæèòå, ÷òî x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + xz .
Ñåðèÿ 27. Ãåîìåòðèÿ ïðîäîëæàåòñÿ.
0. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûëîæèòü â ðÿä 20 øàðîâ, ñðåäè êîòîðûõ 5 ñèíèõ, 5 êðàñíûõ, 5 áåëûõ è 5 ÷åðíûõ òàê,
÷òîáû ÷åðíûå øàðû íå ëåæàëè ðÿäîì.
1.à) Ê äâóçíà÷íîìó ÷èñëó x ïðèïèñàëè ñçàäè äâóçíà÷íîå ÷èñëî 99 − x. Äîêàæèòå, ÷òî ïîëó÷åííîå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî
äåëèòñÿ íà 11.
á) Ê òðåõçíà÷íîìó ÷èñëó x ïðèïèñàëè òðåõçíà÷íîå ÷èñëî 999 − x. Äîêàæèòå, ÷òî ïîëó÷åííîå øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî äåëèòñÿ
íà 37.
2.  íàòóðàëüíîì ÷èñëå êàê-òî ïåðåñòàâèëè öèôðû, ïîñëå ÷åãî îíî óìåíüøèëîñü âòðîå. Äîêàæèòå, ÷òî ýòî ÷èñëî äåëèëîñü
íà 27.
3. Â ñòðàíå 100 ãîðîäîâ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ ñîåäèíåíû äîðîãîé. Ñîëîâåé-Ðàçáîéíèê ñî ñâîèìè ñîëîâüÿòàìè ïåðåêðûë
98 äîðîã. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëå ýòîãî âñå ðàâíî ìîæíî ïðîåõàòü èç ëþáîãî ãîðîäà â ëþáîé äðóãîé.
4. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê À è  åñòü òî÷êà ìåæäó íèìè.
5. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ëþáûõ òðåõ òî÷åê íà ïðÿìîé åñòü îäíà, íàõîäÿùàÿñÿ ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè.
Ñåðèÿ 28. À òåïåðü äîêàæèòå ÷òî-íèáóäü èç ãåîìåòðèè ñàìè.
0. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî 3x2 + 3y 2 ≥ 6xy .
1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî 2x2 + 5y 2 ≥ 6xy .
Ôàêò. Ëþáûå ÷åòûðå òî÷êè íà ïðÿìîé ìîæíî óïîðÿäî÷èòü, ò.å. îáîçíà÷èòü çà A, B , C è D òàê, ÷òîáû òî÷êà B íàõîäèëàñü
áû ìåæäó A è C , à òàêæå ìåæäó A è D, à òî÷êà C ìåæäó A è D à òàêæå ìåæäó B è D.
2. Äîêàæèòå, ÷òî n ≥ 3 òî÷åê íà ïðÿìîé ìîæíî óïîðÿäî÷èòü, ò.å. çàíóìåðîâàòü ÷èñëàìè îò 1 äî n òàê, ÷òîáû åñëè ÷èñëî
j íàõîäèòñÿ ìåæäó ÷èñëàìè i è k , òî è j -àÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ ìåæäó i-îé è k -îé.
3. Äîêàæèòå, ÷òî íà ïðÿìîé ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òî÷åê.
4. Â ìàãàçèíå ïðîäàåòñÿ øîêîëàä â âèäå áóêâ àíãëèéñêîãî àëôàâèòà. Îäèíàêîâûå áóêâû ñòîÿò îäèíàêîâî, à ðàçíûå èìåþò
ðàçëè÷íûå öåíû. Èçâåñòíî, ÷òî ñëîâî ONE ñòîèò $6, ñëîâî TWO ñòîèò $9, à ñëîâî ELEVEN ñòîèò $16. Ñêîëüêî ñòîèò ñëîâî
TWELVE?
5. Ó Êñþøè áûëî 80 ðóáëåé, à ó Äàøè - 64 ðóáëÿ. Êàæäàÿ èç äåâî÷åê çàõîòåëà êóïèòü êàê ìîæíî áîëüøå øîêîëàäîê.
Êñþøà ïîëó÷èëà 8 ðóáëåé ñäà÷è, à Äàøà - 10. Ñìîãóò ëè äåâî÷êè, ñëîæèâøèñü, êóïèòü åùå îäíó øîêîëàäêó?
Ñåðèÿ 29, ñ çàäà÷åé ïðî äèêèõ ìàòåìàòèêîâ.
0. Òóðíèð ïî ¾×òî? Ãäå? Êîãäà?¿ ñîñòîèò èç 4 òóðîâ ïî 15 âîïðîñîâ â êàæäîì. Íà êàðòî÷êå ñ îòâåòîì íåîáõîäèìî óêàçàòü
íîìåð êîìàíäû è íîìåð âîïðîñà. Íîìåð òóðà ïèñàòü íå íàäî. Ñêîëüêî åäèíèö íàïèøåò çà òóðíèð êàïèòàí êîìàíäû íîìåð 11?
1. à) Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ íå ìîæåò ïåðåñåêàòü îäíîâðåìåííî îòðåçêè AB , BC è AC âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ.
á) Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè òàêèå, ÷òî äâå òî÷êè, ëåæàùèå â îäíîé ÷àñòè ñîåäèíåíû îòðåçêîì,
íå ïåðåñåêàþùèì ýòó ïðÿìóþ, à äâå òî÷êè, ëåæàùèå â ðàçíûõ ÷àñòÿõ - ïåðåñåêàþùèì.
2. Êîðïóñ, â êîòîðîì æèâåò îòðÿä ìàòåìàòèêîâ, èìååò â ïëàíå âèä êâàäðàòà ñ öåëîé ñòîðîíîé. Äèêèå ìàòåìàòèêè ðàçãîðîäèëè åãî íà êâàäðàòíûå ïàëàòû (âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíîãî ðàçìåðà) ñ öåëûìè ñòîðîíàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììàðíàÿ äëèíà
ïåðåãîðîäîê äåëèòñÿ íà 4.
3. x, y íàòóðàëüíûå ÷èñëà, x2 = y 3 . Äîêàæèòå, ÷òî xy ïÿòàÿ ñòåïåíü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.
4. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ÷èñëà ðÿäà 16, 1156, 111556, ... (êàæäîå ÷èñëî, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ïîëó÷àåòñÿ âïèñûâàíèåì ñ ñåðåäèíó
÷èñëà 15) ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòàìè öåëûõ ÷èñåë.
5. Ïî êðóãó ñèäÿò 2001 ðûöàðåé è ëæåöîâ. Êàæäûé çàÿâèë, ÷òî åãî ñîñåäè - ëæåö è ðûöàðü, íî äâà ðûöàðÿ ïðè ýòîì
îøèáëèñü. Ñêîëüêî ñðåäè íèõ ëæåöîâ?
Îòäîõíåì îò ãåîìåòðèè.
0. Íà ñòîëå ëåæèò áîëüøàÿ ñòîïêà ðàâíîñòîðîííèõ òðåãîëüíèêîâ. Åñòü òðè öâåòà - ñèíèé, æåëòûé è êðàñíûé. Äèìà è Ìàøà
èãðàþò â ñëåäóþùóþ èãðó : ïî î÷åðåäè áåðóò òðåóãîëüíèêè èç ñòîïêè è êðàñÿò âñå òðè èõ âåðøèíû, èñïîëüçóÿ äàííûå òðè
öâåòà(íå îáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü âñå òðè öâåòà!). Íåëüçÿ ïðè ýòîì ïîëó÷àòü òðåóãîëüíèê, ïîêðàøåííûé òàê æå, êàê êàêîé-òî
èç ïðåäûäóùèõ (åñëè ïîêðàñêè îòëè÷àþòñÿ ïîâîðîòîì èëè ñèììåòðèåé, òî îíè ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè). Ïðîèãðûâàåò òîò,
êòî íå ìîæåò ñäåëàòü õîä. Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå?
1. Ó ÷èñåë a è 2a îäèíàêîâûå ñóììû öèôð. Äîêàæèòå, ÷òî a äåëèòñÿ íà 9.
2. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 997 · 998 · 999 · 1000 · 1001 + 1002 · 1003 · 1004 · 1005 · 1006 äåëèòñÿ íà 2003.
3.  ñòðàíå êàæäûå äâà èç n ãîðîäîâ ñîåäèíåíû äîðîãîé ñ îäíîñòîðîííèì äâèæåíèåì. Äîêàæèòå, ÷òî áðîäÿ÷èé òîðãîâåö
ìîæåò, âûåõàâ èç íåêîòîðîãî ãîðîäà, îáúåõàòü ïî îäíîìó ðàçó âñå n ãîðîäîâ, íå íàðóøèâ ïðàâèë äâèæåíèÿ.
4. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äàþùåå ïðè äåëåíèè íà 2 îñòàòîê 1, ïðè äåëåíèè íà 3 îñòàòîê 2, ïðè äåëåíèè
íà 4 îñòàòîê 3, ïðè äåëåíèè íà 5 îñòàòîê 4, ïðè äåëåíèè íà 6 îñòàòîê 5.
5. a è b äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñëà, à c èõ ïðîèçâåäåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî a2 + b2 + c2 êâàäðàò íåêîòîðîãî íå÷åòíîãî
÷èñëà.
√
√
6. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî à) 3; á) 6 èððàöèîíàëüíî.
7. Äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ a, b, c, d âåðíî ðàâåíñòâî a2 + b2 = 3(c2 + d2 ). Äîêàæèòå, ÷òî âñå ÷èñëà a, b, c, d ðàâíû íóëþ.
8. à)  ëàãåðå 100 ÷åëîâåê, êàæäûé çíàåò íå ìåíåå 51. Äîêàæèòå, ÷òî åñòü òðîå ïîïàðíî çíàêîìûõ. á) Íà ñîáðàíèè 100
÷åëîâåê, ó êàæäîãî èç íèõ íå ìåíüøå 67 çíàêîìûõ. Äîêàæèòå, ÷òî åñòü ÷åòâåðî ïîïàðíî çíàêîìûõ.
Ñåðèÿ 31. Ñòàðîíîâîãîäíÿÿ.
0. Âû÷èñëèòå: à) 53 + 35 ; á) 79 + 97 ;
1. Äîêàæèòå, ÷òî à) ïðè íàòóðàëüíûõ a è n an − 1 äåëèòñÿ íà a − 1;
á) Ïðè íàòóðàëüíîì a è íå÷åòíîì n an + 1 äåëèòñÿ íà a + 1;
2. à) Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 28 + 25 · 56 + 512 ñîñòàâíîå.
á) Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 210 + 512 ñîñòàâíîå.
3. Äîêàæèòå, ÷òî ìîíåòàìè äîñòîèíñòâîì 1, 2, 4, . . . , 2n ôðàíêîâ ìîæíî çàïëàòèòü ëþáóþ ñóììó îò 1 äî 2n+1 − 1 ôðàíêîâ
ðîâíî îäíèì ñïîñîáîì.
4. Êëåò÷àòûé êâàäðàò 1997 × 1997 ðàçðåçàëè íà íåñêîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêîâ (ïî ãðàíèöàì êëåòîê). Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè
íèõ íàéäåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê, ïåðèìåòð êîòîðîãî êðàòåí ÷åòûðåì.
5. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè íàòóðàëüíîì n > 2 2n > 2n + 1.
6. Ìîæíî ëè íàéòè áîëüøå 1000 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàêèõ, ÷òî èõ ñóììà áûëà ðàâíà èõ ïðîèçâåäåíèþ ?
2
÷àñòåé.
7. Äîêàæèòå, ÷òî n ïðÿìûõ îáùåãî ïîëîæåíèÿ äåëÿò ïëîñêîñòü íà n +n+2
2
8. Íàéäèòå âñå íàòóðàëüíûå n òàêèå, ÷òî n2 + 3n òî÷íûé êâàäðàò.
9. à) Ôåäåðàòèâíàÿ Ðåñïóáëèêà Ïóøêîðÿíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ ôåäåðàëüíûõ çåìåëü Ïóøêèÿ è Ðÿíèÿ, è äîðîãè â ýòîé
ñòðàíå ñîåäèíÿþò òîëüêî ãîðîäà èç ðàçíûõ çåìåëü. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîé çàìêíóòûé òóðèñòè÷åñêèé ìàðøðóò ïî Ïóøêîðÿíèè
ïðîõîäèò ÷åðåç ÷åòíîå ÷èñëî ãîðîäîâ.
á)  Êîðå-Íåâñêîì óåçäå âñå äîìà ñîåäåíèíû äîðîãàìè òàê, ÷òî ëþáîé çàìêíóòûé ìàðøðóò â ýòîì óåçäå ïðîõîäèò ÷åðåç
÷åòíîå ÷èñëî äîìîâ. Äîêàæèòå, ÷òî Êîðå-Íåâñêèé óåçä ìîæíî ðàçáèòü íà äâå äåðåâíè Êîðû è Íåâöû òàê, ÷òî äîðîãè
áóäóò ñîåäèíÿòü òîëüêî äîìà èç ðàçíûõ äåðåâåíü.
Ñåðèÿ, êîìó 32-àÿ, à êîìó 13-àÿ. Èç ðàéîííûõ îëèìïèàä.
1. Ó ðîìàøêè 8 ëåïåñòêîâ. Ðàññòàâüòå íà ëåïåñòêàõ ðîìàøêè 8 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 25, òàê,
÷òîáû ÷èñëà íà ñîñåäíèõ ëåïåñòêàõ îòëè÷àëèñü íà 5 èëè íà 7.
2. Ó êîòà Ìàòðîñêèíà íà òåëüíÿøêå 40 ïîëîñîê: 20 ÷åðíûõ è 20 áåëûõ. Îí ìîæåò ïåðåêðàñèòü ëþáóþ ïîëîñêó â ïðîòèâîïîëîæíûé öâåò (îò ýòîãî íåêîòîðûå ïîëîñêè ñëèâàþòñÿ è ñòàíîâÿòñÿ òîëùå). Ìîæåò ëè ïîñëå 13 ïåðåêðàøèâàíèé îñòàòüñÿ
ðîâíî 12 ïîëîñîê? Íå çàáóäüòå îáîñíîâàòü ñâîé îòâåò.
3. Îëÿ çàäóìàëà ÷èñëî. Îñòàòîê çàäóìàííîãî ÷èñëà ïðè äåëåíèè íà 9 ðàâåí íåïîëíîìó ÷àñòíîìó. Êðîìå òîãî, îñòàòîê
çàäóìàííîãî ÷èñëà ïðè äåëåíèè íà 14 òîæå ðàâåí íåïîëíîìó ÷àñòíîìó. Êàêîå ÷èñëî çàäóìàëà Îëÿ? Íàéäèòå âñå âîçìîæíûå
îòâåòû è äîêàæèòå, ÷òî äðóãèõ íåò.
4. Ìîæíî ëè ðàññòàâèòü â òàáëèöå 5 × 5 ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà òàê, ÷òîáû ðàçíîñòü ëþáûõ äâóõ ñîñåäíèõ áûëà
ðàâíà ëèáî 4, ëèáî 7? (×èñëà â òàáëèöå ñ÷èòàþòñÿ ñîñåäíèìè, åñëè îíè ñòîÿò ðÿäîì â îäíîé ñòðîêå èëè â îäíîì ñòîëáöå. Ïðè
âû÷èñëåíèè ðàçíîñòè èç áîëüøåãî ÷èñëà âû÷èòàåòñÿ ìåíüøåå.)
5. Íà êîíòðîëüíîé ðàáîòå ïî ïåðåêðàøèâàíèþ þíûé õàìåëåîí ïåðåêðàøèâàëñÿ èç êðàñíîãî öâåòà â æåëòûé, èç æåëòîãî â çåëåíûé, èç çåëåíîãî â ñèíèé, èç ñèíåãî â ôèîëåòîâûé, à èç ôèîëåòîâîãî îïÿòü â êðàñíûé. Õàìåëåîí ïåðåêðàñèëñÿ
2007 ðàç è ñòàë èç çåëåíîãî æåëòûì. Èçâåñòíî, ÷òî îí äîïóñòèë îäíó îøèáêó, èç-çà êîòîðîé ïîêðàñíåë, êîãäà íå äîëæåí áûë
ýòîãî äåëàòü. Êàêîãî öâåòà îí áûë ïåðåä ýòèì ïîêðàñíåíèåì?
6.  êëàññå ó÷àòñÿ ìàëü÷èêè è äåâî÷êè. Ñðåäíèé âåñ ìàëü÷èêîâ ðàâåí 42 êã, äåâî÷åê 27 êã, à âñåõ øêîëüíèêîâ 35,5 êã.
Äîêàæèòå, ÷òî êîëè÷åñòâî ìàëü÷èêîâ äåëèòñÿ íà 17.
7. Ó Äèìû åñòü êëåò÷àòûé êâàäðàòíûé ëèñò 20 × 20. Âíà÷àëå âñå åãî êëåòêè ïîêðàøåíû â áåëûé öâåò. Äèìà ìîæåò
ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì âûäåëèòü êëåò÷àòûé êâàäðàò 11×11 íà ñâîåì ëèñòå è ïåðåêðàñèòü âñå êëåòêè ýòîãî êâàäðàòà: áåëûå â ÷åðíûé öâåò, à ÷åðíûå â áåëûé öâåò. Ñìîæåò ëè Äèìà ñ ïîìîùüþ íåñêîëüêèõ òàêèõ îïåðàöèé ïîëó÷èòü øàõìàòíóþ
ðàñêðàñêó êëåòîê ëèñòà 20 × 20 (ò. å. ðàñêðàñêó, â êîòîðîé ëþáûå äâå ñîñåäíèå ïî ñòîðîíå êëåòêè ïîêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà)?
Ñòîðîíà êëåòêè ðàâíà 1.
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ñåðèÿ 33. Áîãàòûðÿ.
Ðàñêðîéòå ñêîáêè è ïðèâåäèòå îäèíàêîâûå ÷ëåíû (x1 + yx1 + y + 1)2
Äîêàæèòå, ÷òî (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 )
Äîêàæèòå, ÷òî (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
2
Äîêàæèòå, ÷òî ( a+b
2 ) ≥ ab.
Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå à) x3 − y 3 = 43, á) x3 − y 3 = 86, â) x2 − y 2 = 78.
Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå a2 + b2 = 7(c2 + d2 )
Äëÿ êàêèõ íàòóðàëüíûõ n âåðíî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî : 2n ≥ n2 ?
Ñåðèÿ 34.
1. Ïðèâåäèòå ïðèìåð äâóçíà÷íîãî ÷èñëà, ó êîòîðîãî ïðîèçâåäåíèå öèôð, óìíîæåííîå íà ñóììó öèôð, ðàâíî 84.
2. Äîêàæèòå ïî èíäóêöèè, ÷òî 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ;
3.Íà äîñêå íàïèñàíî òðè äâóçíà÷íûõ ÷èñëà, îäíî èç êîòîðûõ íà÷èíàåòñÿ íà 5, âòîðîå íà 6, à òðåòüå íà 7. Ó÷èòåëü
ïîïðîñèë òðåõ ó÷åíèêîâ, ÷òîáû êàæäûé èç íèõ âûáðàë êàêèå-íèáóäü äâà èç ýòèõ ÷èñåë è ñëîæèë èõ. Ó ïåðâîãî ó÷åíèêà
ïîëó÷èëîñü 147, îòâåòû âòîðîãî è òðåòüåãî ðàçëè÷íûå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, íà÷èíàþùèåñÿ íà 12. Êàê òàêîå ìîãëî áûòü?
4. Äîêàæèòå, ÷òî (2n − 1)n − 3 äåëèòñÿ íà 2n − 3.
5.  ñâÿçíîì ãðàôå n âåðøèí, ïðè÷åì â íåì ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé öèêë. Ñêîëüêî â íåì ìîæåò áûòü ðåáåð ?
6. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ òðåõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 16, òî êàæäîå èç ýòèõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 4.
7. Åñòü òðè âåðòèêàëüíûõ ïàëî÷êè. Íà îäíó èç íèõ îäåòî n êîëå÷åê ðàçíîãî äèàìåòðà ïî óáûâàíèþ ñíèçó ââåðõ. Äîêàæèòå,
÷òî ìîæíî ïåðåëîæèòü âñå êîëå÷êè íà äðóãóþ ïàëî÷êó â òîì æå ïîðÿäêå, ïåðåêëàäûâàÿ çà õîä îäíî êîëå÷êî è íå êëàäÿ
áîëüøåå íà ìåíüøåå.
Ñåðèÿ 35. Ãåîìåòðèÿ íàíîñèò îòâåòíûé óäàð.
Íàïîìèíàíèå. Äâà òðåóãîëüíèêà ABC è A1 B1 C1 íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè AB = A1 B1 , AC = A1 C1 , BC = B1 C1 , óãîë
ABC ðàâåí óãëó A1 B1 C1 è äâà îñòàâøèõñÿ óãëà òîæå ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû.
Ïåðâûé ïðèçíàê ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ (ïî äâóì ñòîðîíàì è èãëó ìåæäó íèìè) Åñëè â òðåóãîëüíèêàõ ABC è A1 B1 C1
îäíîâðåìåííî AB = A1 B1 , AC = A1 C1 è óãîë BAC ðàâåí óãëó B1 A1 C1 , òî òðåóãîëüíèêè ðàâíû.
Ïîëüçóÿñü ýòèì ïðèçíàêîì ðåøèòå ñëåäóþùèå çàäà÷è: 1. Äàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD, â íåì AB = BC , óãîë CBD ðàâåí
óãëó ABD. Äîêàæèòå, ÷òî AD = CD.
Îïðåäåëåíèå.  òðåóãîëüíèêå ABC îòðåçîê AM , ãäå M ñåðåäèíà îòðåçêà B (ò.å. òàêàÿ òî÷êà, ÷òî BM = M C ) íàçûâàåòñÿ
ìåäèàíîé.
2. Â òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåëè ìåäèàíó AM , è îêàçàëîñü, ÷òî óãîë AM B ðàâåí óãëó AM C . Äîêàæèòå ÷òî à)AB = AC
(ò.å. òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîáåäðåííûé) á) óãîë ABC ðàâåí óãëó ACB .
3. Äîêàæèòå, ÷òî (2n − 1)n − 3 äåëèòñÿ íà 2n − 3.
4. Â îòðÿäå ìàòåìàòèêîâ ó 16 äåòåé íåò ñòûäà, ó 19 äåòåé íåò ñîâåñòè, à ó 23 äåòåé îòñóòñòâóåò çäðàâûé ñìûñë. Ïðè ýòîì
ó 8 äåòåé íåò íè ñòûäà, íè ñîâåñòè, ó 9 äåòåé íåò íè ñòûäà, íè çäðàâîãî ñìûñëà, è ó 7 äåòåé íåò íè ñîâåñòè, íè çäðàâîãî
ñìûñëà. Íàêîíåö, ó 3 äåòåé íåò íè îäíîãî èç ýòèõ êà÷åñòâ. Êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ÷åëîâåê â ýòîì îòðÿäå?
5. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè âñåõ n, íå äåëÿùèõñÿ íà äâà, n3 + 3n2 − n − 3 äåëèòñÿ íà 48.
6. Ñëóæèòåëü öèðêà äîëæåí âûâåñòè íà àðåíó à) 4 ëüâîâ è 4 òèãðîâ; á) 4 ëüâîâ è 6 òèãðîâ. Â öåëÿõ áåçîïàñíîñòè, ëüâû íå
äîëæíû âûõîäèòü ïîäðÿä. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü?
Ñåðèÿ. Äëÿ êîãî 36, äëÿ êîãî 17.
1. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ïÿòèçíà÷íîå ÷èñëî, âñå öèôðû êîòîðîãî ðàçëè÷íû, è êîòîðîå äåëèòñÿ íà 71 áåç îñòàòêà.
2. Êîñòÿ çàäóìàë íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïåðåìíîæèë âñå åãî öèôðû è ðåçóëüòàò óìíîæèë íà çàäóìàííîå ÷èñëî. Ïîëó÷èëîñü
1716. Êàêîå ÷èñëî çàäóìàë Êîñòÿ? Íàéäèòå âñå âîçìîæíûå îòâåòû è äîêàæèòå, ÷òî äðóãèõ îòâåòîâ íåò.
3. Âäîëü ïðàâîé ñòîðîíû äîðîãè ïðèïàðêîâàíî 100 ìàøèí. Ñðåäè íèõ 30 êðàñíûõ, 20 æåëòûõ è 20 ðîçîâûõ ìåðñåäåñîâ.
Èçâåñòíî, ÷òî íèêàêèå äâà ìåðñåäåñà ðàçíîãî öâåòà íå ñòîÿò ðÿäîì. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà êàêèå-òî òðè ìåðñåäåñà, ñòîÿùèå
ïîäðÿä, îäíîãî öâåòà.
4. Ïî êðóãó ðàññòàâëåíû 14 ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë (íå îáÿçàòåëüíî öåëûõ). Ñóììà ëþáûõ ÷åòûðåõ ÷èñåë, ñòîÿùèõ ïîäðÿä,
ðàâíà 30. Äîêàæèòå, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ÷èñåë ìåíüøå 15.
5.  êëåòêàõ êâàäðàòíîé òàáëèöû 10 × 10 ñòîÿò íåíóëåâûå öèôðû.  êàæäîé ñòðî÷êå è â êàæäîì ñòîëáöå èç âñåõ ñòîÿùèõ
òàì öèôð ñîñòàâëåíî 10-çíà÷íîå ÷èñëî. Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî èç ïîëó÷èâøèõñÿ 20 ÷èñåë ðîâíî îäíî íå äåëèòñÿ íà 3?
6. Èìååòñÿ 21 êàðòî÷êà ñ ÷èñëàìè: 4 êàðòî÷êè ñ åäèíèöåé, 2 êàðòî÷êè ñ äâîéêîé, 7 êàðòî÷åê ñ òðîéêîé è 8 ñ ÷åòâåðêîé.
Êîñòÿ ñëîæèë èç äâàäöàòè êàðòî÷åê ïðÿìîóãîëüíèê 4 × 5. Èçâåñòíî, ÷òî ñóììû ÷èñåë âî âñåõ âåðòèêàëüíûõ ðÿäàõ ýòîãî
ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû ìåæäó ñîáîé, è ñóììû ÷èñåë âî âñåõ ãîðèçîíòàëüíûõ ðÿäàõ òîæå ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Êàêàÿ êàðòî÷êà
îñòàëàñü ó Êîñòè?
7. Ó áåäíîãî äåõêàíèíà áûëî 70 ëîøàäåé è 6 âåðáëþäîâ. Îí ïðîäàë íåñêîëüêî âåðáëþäîâ è íà ÷àñòü âûðó÷åííûõ äåíåã
êóïèë 10 ëîøàäåé. Ìîã ëè îí âìåñòî ýòîãî ïðîäàòü âñå, äîáàâèòü åùå 15 çîëîòûõ è êóïèòü 50 âåðáëþäîâ? (Ëîøàäü è âåðáëþä
ñòîÿò öåëîå ÷èñëî çîëîòûõ.)
8. Ìîæíî ëè ñîñòàâèòü òðè íåñîêðàòèìûå äðîáè, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ðàâíî 1, èñïîëüçîâàâ â êà÷åñòâå ÷èñëèòåëåé è
çíàìåíàòåëåé ýòèõ äðîáåé øåñòü ÷èñåë èç íàáîðà
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ?
(Êàæäîå ÷èñëî ìîæíî èñïîëüçîâàòü îäèí ðàç èëè íå èñïîëüçîâàòü âîâñå.)
9. 100 ãðóñòíûõ ìàðòûøåê êèäàþòñÿ äðóã â äðóãà îäíèì êîêîñîâûì îðåõîì. Ãðóñòíàÿ ìàðòûøêà, ïîïàâøàÿ îðåõîì â
äðóãóþ ãðóñòíóþ ìàðòûøêó, ñòàíîâèòñÿ âåñåëîé è áîëüøå óæå íå ãðóñòíååò. Ìàðòûøêà, â êîòîðóþ ïîïàëè, âûáûâàåò èç èãðû.
Êàêèõ ìàðòûøåê áîëüøå âûáûëî èç èãðû âåñåëûõ èëè ãðóñòíûõ ê ìîìåíòó, êîãäà â èãðå îñòàëàñü îäíà ìàðòûøêà?
Ñåðèÿ 37. Ïî ìîòèâàì ëàãåðÿ.
0. Ðàñêðîéòå ñêîáêè â âûðàæåíèè (x + y − z − t)(x + y + z + t).
Ïåðâûé ïðèçíàê ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ (ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè) Åñëè â òðåóãîëüíèêàõ ABC è A1 B1 C1
AB = A1 B1 , AC = A1 C1 è óãîë BAC ðàâåí óãëó B1 A1 C1 , òî òðåóãîëüíèêè ðàâíû.
1. Â òðåóãîëüíèêå ABC AB = 5, AC = 10. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë ABM ðàâåí óãëó AM B , ãäå M - ñåðåäèíà AC .
2.  ÷åòûðeõóãîëüíèêå ABCD AB = BD = DC óãîë ABD ðàâåí óãëó BDC . Äîêàæèòå, ÷òî óãîë BAD ðàâåí óãëó DBC .
3. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè p ïðîñòîå, à x2 ≡ y 2 (mod p), òî x ≡ y (mod p) èëè x ≡ −y (mod p).
4. Äîêàæèòå, ÷òî |a − b| = max(a − b, b − a), ãäå max(x, y)- ýòî íàèáîëüøåå èç ÷èñåë x è y .
5. Íà áåñêîíå÷íîé áåëîé êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè çàêðàøåí ÷åðíîé êðàñêîé êâàäðàò 2 × 3. Ðàçðåøàåòñÿ áðàòü ëþáîé êâàäðàò
2 × 2 è ïåðåêðàøèâàòü âñå åãî êëåòêè â ïðîòèâîïîëîæíûé öâåò. Ìîæíî ëè ïåðåêðàñèòü âñþ ïëîñêîñòü â áåëûé öâåò?
6. Â ãðàôå ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû íå áîëüøå d. Äîêàæèòå, ÷òî ýòîò ãðàô ìîæíî ïîêðàñèòü â d2 + 1 öâåò ìåãàïðàâèëüíî
(ò.å. òàê, ÷òîáû ñîñåäíèå âåðøèíû è âåðøèíû, ó êîòîðûõ åñòü îáùèé ñîñåä, áûëè ïîêðàøåíû â ðàçíûé öâåò).
Òåîðåìà.(Ìàëàÿ Òåîðåìà Ôåðìà, äîêàçàíà â ëàãåðå) Åñëè a íå äåëèòñÿ íà ïðîñòîå p, òî ap−1 ≡ 1 (mod p). Ýêâèâàëåíòíûå
ôîðìóëèðîâêè: 1) ap ≡ a (mod p) ïðè ëþáîì a; 2) ap−1 − 1 äåëèòñÿ íà p ïðè a íå äåëÿùåìñÿ íà p.
7. Ïðè ïðîñòîì p, íå ðàâíîì 2 è 3, äîêàæèòå, ÷òî 6p−2 + 3p−2 − 2p−2 äåëèòñÿ íà p.
Ñåðèÿ 38. Âñÿêàÿ äà ãîðîäñêàÿ.
1
1
+ x+1
0. Ïðèâåäèòå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ è ñëîæèòå äðîáè: x−1
1. Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ABC îòìå÷åíà òî÷êà P , óãîë ABP ðàâåí óãëó CBP è AB = BC . Äîêàæèòå, ÷òî óãîë CAP ðàâåí
óãëó ACP .
2.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD O - òî÷êà ïåðåñå÷åíèé äèàíîíàëåé â íåì. Ïóñòü OB = OD, OA = OC . Äîêàæèòå, ÷òî
AD = BC .
3. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáûõ x, y âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 4x2 + y 2 ≥ 4xy .
4. Ïî êðóãó ñòîÿò 22 ÷åëîâåêà, êàæäûé èç íèõ ðûöàðü (êîòîðûé âñåãäà ãîâîðèò òîëüêî ïðàâäó) èëè ëæåö (êîòîðûé
âñåãäà ëæåò). Êàæäûé èç íèõ ïðîèçíåñ ôðàçó: ñëåäóþùèå 10 ÷åëîâåê ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ïîñëå ìåíÿ ëæåöû. Ñêîëüêî
ñðåäè ýòèõ 22 ëþäåé ëæåöîâ?
5. Èç êðàñíûõ è ñèíèõ îòðåçêîâ ñîñòàâèëè ôèãóðó èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå. Äëÿ êàæäîãî êðàñíîãî îòðåçêà ïîäñ÷èòàëè,
ñêîëüêî ñèíèõ îòðåçêîâ èìåþò ñ íèì îáùèå êîíöû. Ìîæåò ëè ñóììà ïîäñ÷èòàííûõ ÷èñåë áûòü ðàâíà 25?
Òóò êàðòèíêà
6. Íà êîëüöåâîì øîññå äëèíîé 100 êì íàõîäèòñÿ 10 ñòîëáîâ. Íà êàæäîì ñòîëáå íàïèñàíî ðàññòîÿíèå â êèëîìåòðàõ ïî
øîññå äî áëèæàéøåãî ñòîëáà. Îêàçàëîñü, ÷òî ñóììà äåñÿòè íàïèñàííûõ íà ñòîëáàõ ÷èñåë ðàâíà 20. Äîêàæèòå, ÷òî íà øîññå
åñòü ó÷àñòîê äëèíîé 16 êì, íà êîòîðîì íåò íè îäíîãî ñòîëáà.
7. Íà äîñêå ïèøóò ÷èñëà. Çà îäíó îïåðàöèþ ìîæíî äîïèñàòü ñðàçó äâà ÷èñëà 2 · A è 3 · A, åñëè íà äîñêå óæå íàïèñàíî
÷èñëî A. Ìîæíî ëè, íà÷àâ ñ íåêîòîðîãî ÷èñëà è äîïèñûâàÿ ÷èñëà ïî óêàçàííîìó ïðàâèëó, äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ñóììà âñåõ
÷èñåë íà äîñêå ñòàëà ðàâíà 2007?
8. Âàñÿ è Ïåòÿ ïîëó÷èëè îò ñâîèõ ðîäèòåëåé ïî 100 ðóáëåé è ðåøèëè ïîêàòàòüñÿ ïî ãîðîäó. Âàñÿ êàòàëñÿ íà ìàðøðóòêàõ
çà 17 ð è çà 10 ð, à Ïåòÿ íà àâòîáóñàõ çà 12 ð. Ê âå÷åðó îêàçàëîñü, ÷òî îíè ïîåçäèëè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ðàç è ïîòðàòèëè
îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî äåíåã. Ñêîëüêî ó íèõ îñòàëîñü?
Ñåðèÿ 39. Ñ âèäó êîðîòêàÿ
0. Âîñïîëüçóéòåñü Ìàëîé Òåîðåìîé Ôåðìà è íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ (6p − 4p )p íà p.
1. Íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû AB òðåóãîëüíèêà ABC çà òî÷êó B îòìå÷åíà òî÷êà B1 , à íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû AC çà
òî÷êó C îòìå÷åíà òî÷êà C1 òàê, ÷òî AB = AC , AB1 = AC1 . Äîêàæèòå, ÷òî óãîë AB1 C ðàâåí óãëó AC1 B .
2.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD òî÷êà O òî÷êà ïåðå÷åíèÿ äèàãîíàëåé, ïðè÷åì OA = OC , OB = OD. Äîêàæèòå, ÷òî
AB = CD.
3. Â øàõìàòíîì òóðíèðå êàæäûé ñûãðàë ðîâíî 6 ïàðòèé. Ìîãëî ëè áûòü ñûãðàíî âñåãî à) 20 ïàðòèé á) 21 ïàðòèÿ?
4. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè ab äåëèòñÿ íà 60, à b âçàèìíî ïðîñòî ñ 10, òî a äåëèòñÿ íà 20?
5. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå x3 − 2y 3 − 4z 3 = 0 íå èìååò ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ, îòëè÷íûõ îò ðåøåíèÿ x = y = z = 0.
6. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå 19x3 − 84y 2 = 1984.
7. Ìîæåò ëè ñóììà òðåõ íå÷åòíûõ êâàäðàòîâ áûòü êâàäðàòîì?
8. Íàéäèòå âñå ïðÿìîóãîëüíèêè ñ íàòóðàëüíûìè ñòîðîíàìè, ïëîùàäü êîòîðûõ ÷èñëåííî ðàâíà ïåðèìåòðó.
Ñåðèÿ 40.  îáùåì çà÷åòå - ñîòàÿ.
0. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå: (x − 1)4 − (x + 1)4 .
1. Íà äîñêå íàïèñàíû n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a1 , a2 , . . . , an . Æåíå ðàçðåøàåòñÿ ïîä êàæäûì èç ýòèõ ÷èñåë íàïèñàòü íå
ïðåâîñõîäÿùå åãî íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ñêîëüêî âñåãî ðàçëè÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ìîæåò ïîëó÷èòñÿ ó Æåíè?
2. Ôàëüøèâîìîíåò÷èê áåðåò êóïþðó è ïðèðèñîâûâàåò ê íåé ñïðàâà íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî íóëåé. Ìîæåò ëè îí ïðèðèñîâàòü
íà íåñêîëüêèõ êóïþðàõ âñåãî 239 íóëåé òàê, ÷òîáû îáùàÿ ñóììà âîçðîñëà â 1000 ðàç? B îáðàùåíèè íàõîäÿòñÿ êóïþðû â 5,
10, 50, 100, 500, 1000 è 5000 ðóá. (À ó ôàëüøèâîìîíåò÷èêà ìîãóò ïîëó÷àòüñÿ è êóïþðû áîëüøåãî äîñòîèíñòâà.)
3. Êíèãà èìååò 120 ñòðàíèö, 3 èç íèõ îòâåäåíû ïîä îãëàâëåíèå, àííîòàöèþ è òèòóëüíûé ëèñò. Íà îñòàëüíûõ íàïå÷àòàíû
ñêàçêè, ïðè÷åì êàæäàÿ ñêàçêà íà÷èíàåòñÿ ñ íîâîé ñòðàíèöû. Ñóììà íîìåðîâ ñòðàíèö, ñ êîòîðûõ ñêàçêè íà÷èíàþòñÿ, â 5 ðàç
ìåíüøå ñóììû íîìåðîâ ñòðàíèö, íà êîòîðûõ îíè çàêàí÷èâàþòñÿ. Ñêîëüêî ñêàçîê â êíèãå?
4. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êóáîì.
5. Â ðÿä ñòîÿò 30 ñàïîã: 15 ëåâûõ è 15 ïðàâûõ. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè íåêîòîðûõ äåñÿòè ïîäðÿä ñòîÿùèõ ñàïîã ëåâûõ è
ïðàâûõ ïîðîâíó.
6. Ñðåäè ÷èñåë a, b, c, d, e, f íåò ðàâíûõ íóëþ. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ÷èñåë ab, cd, ef, −ac, −be, −df åñòü è ïîëîæèòåëüíûå è
îòðèöàòåëüíûå.
7. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè â òðåóãîëüíèêå äâà óãëà ðàâíû, òî îí ðàâíîáåäðåííûé.
8. Ñ ïîìîùüþ ïåðâîãî ïðèçíàêà ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ äîêàæèòå, âòîðîé ïðèçíàê ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ: åñëè
6 BAC = 6 B1 A1 C1 , 6 ABC = 6 A1 B1 C1 , è AB = A1 B1 , òî ∆ABC = ∆A1 B1 C1 .
Ñåðèÿ 41. Âûäàííàÿ íà ÷àñ ðàíüøå, ÷åì íàäî áû, â ñâÿçè ñ êîðîòêèì äíåì.
0. Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî 1967k + 3 ïðè ëþáîì öåëîì k íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êóáîì.
1.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O, ïðè ýòîì äèàãîíàëü AC äåëèòñÿ ýòîé òî÷êîé ïîïîëàì.
Òàêæå èçâåñòíî, ÷òî 6 BAC = 6 DCA. Äîêàæèòå, ÷òî âòîðàÿ äèàãîíàëü òàêæå äåëèòñÿ ïîïîëàì òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ.
2.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå îäíà èç äèàãîíàëåé äåëèò ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïîïîëàì (ò.å. íà äâà ðàâíûõ óãëà êàæäûé).
Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå-òî ñòîðîíû ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà
ðàâíû.
.
3. x, y íàòóðàëüíûå ÷èñëà, x2 + y 2 .. xy . Äîêàæèòå, ÷òî x = y .
4. Íà øàõìàòíóþ äîñêó âûëîæèëè 8 äîìèíîøåê. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ êâàäðàò 2 × 2, íè îäíà êëåòêà êîòîðîãî íå
çàêðûòà äîìèíîøêîé.
5. Íà äîñêå âûïèñàíû 17 äâóçíà÷íûõ ÷èñåë. Îäíî èç íèõ âîçâåëè â ñîòóþ ñòåïåíü. Îêàçàëîñü, ÷òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî
äåëèòñÿ íà ëþáîå èç âûïèñàííûõ. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà îíî äåëèòñÿ è íà ïðîèçâåäåíèå âñåõ âûïèñàííûõ ÷èñåë.
6. à) Èìååòñÿ êâàäðàò ðàçìåðîì 10 × 10, ñîñòîÿùèé èç ìàëåíüêèõ åäèíè÷íûõ êâàäðàòèêîâ.  öåíòðå O îäíîãî èç óãëîâûõ
êâàäðàòèêîâ ñòîèò êóçíå÷èê. Îí ìîæåò ïðûãàòü â öåíòð êâàäðàòèêà, èìåþùåãî îáùóþ ãðàíü ñ òåì, â êîòîðîì êóçíå÷èê
íàõîäèòñÿ â äàííûé ìîìåíò; ïðèòîì òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå äî òî÷êè O óâåëè÷èâàëîñü. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè êóçíå÷èê ìîæåò
äîïðûãàòü äî êâàäðàòèêà, ïðîòèâîïîëîæíîãî èñõîäíîìó?
á) Èìååòñÿ êóá ðàçìåðîì 10 × 10 × 10, ñîñòîÿùèé èç ìàëåíüêèõ åäèíè÷íûõ êóáèêîâ.  öåíòðå O îäíîãî èç óãëîâûõ
êóáèêîâ ñòîèò êóçíå÷èê. Îí ìîæåò ïðûãàòü â öåíòð êóáèêà, èìåþùåãî îáùóþ ãðàíü ñ òåì, â êîòîðîì êóçíå÷èê íàõîäèòñÿ â
äàííûé ìîìåíò; ïðèòîì òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå äî òî÷êè O óâåëè÷èâàëîñü. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè êóçíå÷èê ìîæåò äîïðûãàòü
äî êóáèêà, ïðîòèâîïîëîæíîãî èñõîäíîìó?
7. Íà ïðÿìîé ðàñïîëîæåíû êðàñíàÿ è ñèíÿÿ ôèøêè (êðàñíàÿ ëåâåå). Ðàçðåøàåòñÿ ñòàâèòü äâå îäíîöâåòíûå ôèøêè ïîäðÿä
(ñ êðàþ èëè ìåæäó äâóìÿ ôèøêàìè) èëè âûíóòü äâå îäíîöâåòíûå ôèøêè, ìåæäó êîòîðûìè íåò äðóãèõ ôèøåê. Ìîæíî ëè ñ
ïîìîùüþ òàêèõ îïåðàöèé ïîëó÷èòü íà ïðÿìîé äâå ðàçíûå ôèøêè, ïðè÷åì êðàñíàÿ ïðàâåå ñèíåé?
Ñåðèÿ 42. Â îæèäàíèè âåñíû.
√
1
0. Äîêàæèòå, ÷òî √2−1
= 2+1
1.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD óãîë BAC ðàâåí óãëó DAC , à óãîë BCA ðàâåí óãëó DCA. Äîêàæèòå, ÷òî AB = AD.
2. Â òðåóãîëüíèêå ABC îòðåçîê AM ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé (ò.å. óãîë BAM ðàâåí óãëó CAM ) è âûñîòîé (ò.å. óãîë AM C
ðàâåí óãëó AM B ). Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîáåäðåííûé.
Íàïîìèíàíèå. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà:
Äëÿ ëþáûõ òðåõ òî÷åê ïëîñêîñòè A, B , C èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî |AC| ≤ |AB| + |BC|.
(Â òðåóãîëüíèêå êàæäàÿ ñòîðîíà ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ.)
3. Äîêàæèòå, ÷òî â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ñóììà äëèí äèàãîíàëåé ìåíüøå ïåðèìåòðà.
4. Êâàäðàò ÷èñëà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ åäèíèö è îäíîé äâîéêè. Äîêàæèòå, ÷òî ýòî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 11.
5. Ïî êðóãó çàïèñàíû 8 ÷èñåë òàê, ÷òî êàæäîå èç íèõ ðàâíî ñóììå òðåõ ñëåäóþùèõ çà íèì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. à) Äîêàæèòå,
÷òî ñóììà âñåõ ÷èñåë ðàâíà íóëþ. á) Äîêàæèòå, ÷òî âñå ÷èñëà ðàâíû íóëþ.
1√
1√
6. Âû÷èñëèòå: √1+
+ √2+
+ . . . + √9999+1√10000 .
2
3
7. à) Ðàññòàâüòå íà ÷åðíûõ ïîëÿõ äîñêè 8 × 8 ïî 8 ÷åðíûõ, áåëûõ, òåìíî-ñåðûõ è ñâåòëî-ñåðûõ ïåøåê òàê, ÷òîáû íè îäíà
ïåøêà íå âèäåëà íè îäíîé òàêîé æå, êàê îíà (òî åñòü íà ëèíèè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ïåøêàìè îäíîãî öâåòà äîëæíà íàõîäèòñÿ
êëåòêà ñ ïåøêîé äðóãîãî öâåòà).
á) Èç 32 îäèíàêîâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ 1×2 ñëîæèëè êâàäðàò. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî ïîêðàñèòü ïî âîñåìü ïðÿìîóãîëüíèêîâ
êðàñíîé, ñèíåé, æåëòîé è çåëåíîé êðàñêàìè òàê, ÷òî ëþáûå äâà ïðÿìîóãîëüíèêà, èìåþùèå îáùóþ ãðàíèöó (íåíóëåâîé äëèíû),
áóäóò îêðàøåíû ðàçëè÷íî.
Ñåðèÿ 43. Íàïðî÷ü ãåîìåòðè÷åñêàÿ .
0. Ïðèâåäèòå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ñëîæèòå è êàê ìîæíî ñèëüíåå ñîêðàòèòå äðîáè:
a+b
a−b
+
(a − b)(a2 + b2 ) (a + b)(a2 + b2 )
1. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè AB = A1 B1 , BC = B1 C1 è 6 BAC = 6 B1 A1 C1 , òî ∆ABC = ∆A1 B1 C1 .
2. Z1 è Z2 - äâå òî÷êè, ëåæàùèå ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè X è Y . Ïðè÷åì XZ1 = XZ2 ,
Y Z1 = Y Z2 . Äîêàæèòå, ÷òî óãëû 6 XZ1 Y è 6 XZ2 Y ðàâíû.
3. Äîêàæèòå òðåòèé ïðèçíàê ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ (ïî òðåì ñòîðîíàì) Ïóñòü â òðåóãîëüíèêàõ ABC è A1 B1 C1
âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà AB = A1 B1 , AC = A1 C1 , BC = B1 C1 . Äîêàæèòå, ÷òî ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû.
4. à) Ïóñòü a1 ≥ a2 , b1 ≥ b2 . Äîêàæèòå, ÷òî a1 b1 + a2 b2 ≥ a1 b2 + a2 b1 .
á) Ïóñòü a1 ≥ a2 ≥ a3 , b1 ≥ b2 ≥ b3 . Äîêàæèòå, ÷òî a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ≥ a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 ≥ a1 b3 + a2 b2 + a3 b1 , ãäå c1 , c2 , c3
êàêàÿ-òî ïåðåñòàíîâêà ÷èñëå b1 , b2 , b3 .
5. Åñòü 5 ÷èñåë, äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âûáðàòü äâà èç íèõ, ñóììà èëè ðàçíîñòü êîòîðûõ äåëèòñÿ íà 7.
6.  ëåâîì íèæíåì óãëó øàõìàòíîé äîñêè ñòîèò õðîìàÿ ëàäüÿ, êîòîðàÿ õîäèò òîëüêî ââåðõ è âïðàâî. Äâîå ïî î÷åðåäè
äåëàþò õîä ýòîé ëàäüåé, ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå ìîæåò ñäåëàòü õîä. Êòî âûèãðàåò?
7. Ìåíþ â øêîëüíîì áóôåòå ïîñòîÿííî è ñîñòîèò èç 10 ðàçíûõ áëþä. ×òîáû ðàçíîîáðàçèòü ñâîå ïèòàíèå, Ïåòÿ ðåøèë
êàæäûé äåíü âûáèðàòü ñåáå çàâòðàê ïî-íîâîìó. à) Ñêîëüêî äíåé åìó óäàñòñÿ ýòî äåëàòü? á) Ñêîëüêî áëþä îí ñúåñò çà ýòî
âðåìÿ?
8. Ñðåäè 16 îäèíàêîâûõ áóëî÷åê îäíà ðàäèîàêòèâíàÿ. Àïïàðàò óìååò îïðåäåëÿòü åñòü ëè ñðåäè äàííûõ òðåõ áóëî÷åê
ðàäèîàêòèâíàÿ. Êàê çà 6 ïðîâåðîê íàéòè èñïîð÷åííóþ áóëî÷êó?
Ñåðèÿ 44. À ìû ñ âàìè óâèäèìñÿ ðîâíî ÷åðåç íåäåëþ...
0. Ïåðâîå çàêëèíàíèå ìîæåò óâåëè÷èòü ñëèòîê çîëîòà â äâà ðàçà, âòîðîå â 3 ðàçà, òðåòüå â 4 ðàçà. Êàæäîå çàêëèíàíèå
Ðîìå ìîæíî ïðèìåíèòü òîëüêî ê îäíîìó ñëèòêó. Ó íåãî åñòü òðè ñëèòêà â 10, 11 è 13 êèëîãðàììîâ ñîîòâåòñòâåííî. Êàêîå
íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî çîëîòà îí ìîæåò ïîëó÷èòü ïîñëå ïðèìåíåíèÿ çàêëèíàíèé?
1. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè AB = A1 B1 , 6 BAC = 6 B1 A1 C1 6 BCA = 6 B1 C1 A1 , òî ∆ABC = ∆A1 B1 C1 .
2. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà äëèí äèàãîíàëåé âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà à) áîëüøå åãî ïåðèìåòðà; á) ìåíüøå óäâîåííîãî
ïåðèìåòðà.
3. Ñêîëüêî ñëàãàåìûõ ñîäåðæèò âûðàæåíèå, ïîëó÷åííîå èç ïðîèçâåäåíèÿ (a1 + b1 )(a2 + b2 ) . . . (an + bn ) ïîñëå ðàñêðûòèÿ
ñêîáîê?
4. Äîêàæèòå, ÷òî â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà 111
. . 111} · 111
. . 111} íàéäåòñÿ öèôðà, êîòîðàÿ âñòðå÷àåòñÿ íå ìåíåå 400 ðàç.
| .{z
| .{z
1995 öèôð 1996 öèôð
5. Äàíû øåñòü öèôð: 0, 1, 2, 3, 4, 5. à) Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, çàïèñàííûõ ïðè ïîìîùè ýòèõ öèôð
(öèôðû â ÷èñëå ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ).
á) Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷åòíûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, çàïèñàííûõ òàêèì îáðàçîì
6. Â ñòðàíå 100 ãîðîäîâ, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ñîåäèíåíû äîðîãàìè. Èçâåñòíî, ÷òî èç ëþáîãî ãîðîäà ìîæíî ïîïàñòü â
ëþáîé äðóãîé. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî îáúåõàòü âñå ãîðîäà, ïðîåõàâ íå áîëåå ÷åì à) 198; á) 196 äîðîã.
7. Ó âõîäà â áèáëèîòåêó âèñÿò äâå äîñêè. Êàæäûé ÷åëîâåê, âõîäÿ â áèáëèîòåêó, ñ÷èòàåò êîëè÷åñòâî óæå íàõîäÿùèõñÿ òàì
ëþäåé è çàïèñûâàåò ðåçóëüòàò íà ïåðâóþ äîñêó; âûõîäÿ èç áèáëèîòåêè êàæäûé çàïèñûâàåò íà âòîðóþ äîñêó êîëè÷åñòâî òåõ,
êòî åùå îñòàëñÿ â áèáëèîòåêå. Äîêàæèòå, ÷òî íàáîðû ÷èñåë, ïîÿâèâøèåñÿ íà äîñêàõ â òå÷åíèå äíÿ, îäèíàêîâû.
Ñåðèÿ 45. Ðîìà ïðîäîëæàåò ðàáîòó ñî ñëèòêàìè.
0. Ïåðâîå çàêëèíàíèå ìîæåò óâåëè÷èòü ñëèòîê çîëîòà â äâà ðàçà, âòîðîå â 3 ðàçà, òðåòüå â 4 ðàçà. Êàæäîå çàêëèíàíèå Ðîìå
ìîæíî ïðèìåíèòü òîëüêî ê îäíîìó ñëèòêó. Ó íåãî åñòü òðè ñëèòêà â 10, 11 è 13 êèëîãðàììîâ ñîîòâåòñòâåííî. Ê êàæäîìó ñëèòêó
ìîæíî ïðèìåíèòü òîëüêî îäíî çàêëèíàíèå. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî çîëîòà Ðîìà ìîæåò ïîëó÷èòü ïîñëå ïðèìåíåíèÿ
çàêëèíàíèé?
1. Òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîñòîðîííèì, åñëè ó íåãî âñå ñòîðîíû ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
à) Äîêàæèòå, ÷òî â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå óãëû ðàâíû.
á) ∆ABC è ∆A1 B1 C1 ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè. AB = A1 B1 . Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèêè ðàâíû.
2. Â òðåóãîëüíèêå ABC îòðåçîê AM ÿâëÿåòñÿ ìåäèàíîé (ò.å. BM = CM ) è âûñîòîé (ò.å. 6 AM C = 6 AM B ). Äîêàæèòå,
÷òî òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîáåäðåííûé.
3. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà äëèí äèàãîíàëåé âûïóêëîãî 239-óãîëüíèêà ìåíüøå åãî ïåðèìåòðà, óìíîæåííîãî íà 7139.
4. à) Äîêàæèòå, ÷òî íè îäíî èç ÷èñåë âèäà 33n+1 íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ òî÷íûõ êóáîâ. á) Äîêàæèòå, ÷òî íè
îäíî èç ÷èñåë âèäà 103n+1 íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ. òî÷íûõ êóáîâ.
.
5. Öåëûå ÷èñëà a, b è c óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ a + b + c .. 30. Äîêàæèòå, ÷òî a5 + b5 + c5 .. 30.
6.  íåêîòîðîì ãîñóäàðñòâå êàæäûé ãîðîä ñîåäèíåí ñ êàæäûì äîðîãîé. Ñóìàñøåäøèé êîðîëü õî÷åò ââåñòè íà äîðîãàõ
îäíîñòîðîííåå äâèæåíèå òàê, ÷òîáû âûåõàâ èç ëþáîãî ãîðîäà, â íåãî íåëüçÿ áûëî âåðíóòüñÿ. Ìîæíî ëè òàê ñäåëàòü?
7. Åñòü 20 ãèðü. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäàÿ âåñèò öåëîå ÷èñëî ãðàììîâ, à ñóììà èõ âåñîâ íå áîëüøå òîííû. Äîêàæèòå, ÷òî èç
íèõ ìîæíî âûáðàòü íåñêîëüêî ãèðü (âîçìîæíî, âñå) è ïîëîæèòü èõ íà äâå ÷àøêè âåñîâ òàê, ÷òîáû âåñû óðàâíîâåñèëèñü.
Ñåðèÿ 46. Ãðàôû ïðîòèâ ãåîìåòðèè.
0.  ãàëàêòèêå èì. ïîëêîâîäöà Ñóâîðîâà 100 ïëàíåò è ëþáûå äâå ïëàíåòû ñîåäèíåíû åäèíñòâåííûì òåëåïîðòîì. ×àñòü
òåëåïîðòîâ äëÿ ñâîèõ íóæä çàõâàòèëî ðåâîëþöèîííîå ïðàâèòåëüñòâî, ïðè÷åì ïîëüçóÿñü èìè ìîæíî äîáðàòüñÿ îò ëþáîé
ïëàíåòû äî ëþáîé. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî íå çàõâà÷åííûõ ðåâîëþöèîííûì ïðàâèòåëüñòâîì òåëåïîðòîâ ìîãëî îñòàòüñÿ
â ãàëàêòèêå?
1. ABCD âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, ïðè÷åì 6 ACB = 6 DBC è AC = BD. Äîêàæèòå, ÷òî 6 ABD = 6 ACD.
2. A òî÷êà âíå ïðÿìîé l, H áëèæàéøàÿ ê A òî÷êà íà l. Äîêàæèòå, ÷òî AH⊥l, ò.å. óãîë ìåæäó AH è l ïðÿìîé.
3. Êëåò÷àòûé êâàäðàò 2007 × 2007 ðàçáèò íà êâàäðàòèêè 1 × 1 è 2 × 2. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ñòðîêà èñõîäíîãî êâàäðàòà,
ïåðåñåêàþùàÿ íå÷åòíîå êîëè÷åñòâî êâàäðàòèêîâ ðàçáèåíèÿ.
4.  ãðóïïå èç 200 ÷åëîâåê âûïîëíÿåòñÿ òàêîå ñâîéñòâî: äëÿ ëþáûõ äâîèõ, íå çíàêîìûõ ìåæäó ñîáîé, êàæäûé èç îñòàëüíûõ
ëèáî çíàêîì ñ íèìè îáîèìè, ëèáî íåçíàêîì ñ íèìè îáîèìè. Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîé ãðóïïå ìîæíî íàéòè ëèáî 15 ïîïàðíî
çíàêîìûõ, ëèáî 15 ïîïàðíî íåçíàêîìûõ ìåæäó ñîáîé ëþäåé.
5. à) Äàí ñâÿçíûé ãðàô. Äîêàæèòå, ÷òî â íåì ìîæíî âûêèíóòü íåñêîëüêî ðåáåð òàê, ÷òî ïîëó÷èòñÿ äåðåâî. ( Òàêîå äåðåâî
íàçûâàåòñÿ îñòîâíûì äåðåâîì ãðàôà. )
á)  ñòðàíå 100 ãîðîäîâ è 199 äîðîã. (Êàæäàÿ äîðîãà ñîåäèíÿåò äâà ãîðîäà, ëþáûå äâà ãîðîäà ñîåäèíåíû íå áîëåå ÷åì
îäíîé äîðîãîé.) Èç ëþáîãî ãîðîäà ìîæíî äîåõàòü ïî äîðîãàì â ëþáîé äðóãîé. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî çàêðûòü íåñêîëüêî äîðîã,
îáðàçóþùèõ çàìêíóòûé ìàðøðóò, òàê, ÷òîáû ïî îñòàâøèìñÿ äîðîãàì ïî-ïðåæíåìó ìîæíî áûëî äîåõàòü èç ëþáîãî ãîðîäà
â ëþáîé äðóãîé.
6. à) Â ãðàôñòâå Ëèïøèð íåêîòîðûå óñàäüáû ñîåäèíåíû äîðîãàìè. Äîêàæèòå, ÷òî â íåì åñòü äâå óñàäüáû, èç êîòîðûõ
âûõîäèò ïîðîâíó äîðîã.
á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè åñòü òîëüêî îäíà òàêàÿ óñàäüáà, òî â ãðàôñòâå èìååòñÿ ëèáî õóòîð (óñàäüáà, ê êîòîðîé íå âåäåò íè
îäíà äîðîãà), ëèáî óñàäüáà, ñîåäèíåííàÿ äîðîãàìè ñî âñåìè îñòàëüíûìè.
7. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ïÿòè òî÷íûõ äåñÿòûõ ñòåïåíåé ñòåïåíåé íå ìîæåò áûòü ðàâíà 1122334455667788776655443322119.
Ñåðèÿ 47. À ñîðîê-òî ñåìü.
0. Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Åâêëèäà íàéäèòå ÍÎÄ(4636,2007).
1. Ðîìáîì íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû. à) Äîêàæèòå, ÷òî ïðîòèâîïîëîæíû óãëû ðîìáà
ðàâíû. á) Äîêàæèòå, ÷òî äèàãîíàëè ðîìáà ïåðåñåêàþòñÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì è äåëÿòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïîïîëàì.
3. Â êîìïàíèè èç 100 äæåíòëüìåíîâ ó ëþáîãî äæåíòëüìåíà ïî êðàéíåé ìåðå 50 çíàêîìûõ. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âûáðàòü
÷åòûðåõ èç íèõ è ðàññàäèòü çà êðóãëûé ñòîë òàê, ÷òîáû êàæäûé ñèäåë ìåæäó äâóìÿ çíàêîìûìè.
4. Â êàæäîé êëåòêå äîñêè ðàçìåðîì 16×30 ñèäèò ïî æóêó. Ìîãóò ëè æóêè ïåðåëåòåòü íà äîñêó ðàçìåðîì 15×32, â êàæäóþ
êëåòêó ïî îäíîìó æóêó, ÷òîáû æóêè, áûâøèå ñîñåäÿìè íà äîñêå 16 × 30, îêàçàëèñü ñîñåäÿìè è íà íîâîé äîñêå? (Ñîñåäè æóêè, ñèäÿùèå â êëåòêàõ ñ îáùåé ñòîðîíîé.)
5. Èç øàõìàòíîé äîñêè âûðåçàëè ñâÿçíóþ ôèãóðó, â êîòîðîé áåëûõ êëåòîê íå ìåíüøå, ÷åì ÷åðíûõ. Âåðíî ëè, ÷òî íà ýòîé
ôèãóðå ìîæíî ðàçìåñòèòü ñòîëüêî äîìèíîøåê, ñêîëüêî â íåé ÷åðíûõ êëåòîê?
6. Óëèöû ãîðîäà ïðîõîäÿò ëèáî ñ ñåâåðà íà þã, ëèáî ñ çàïàäà íà âîñòîê. Ñ îäíîãî ïåðåêðåñòêà âûåçæàþò òðè âåëîñèïåäèñòà:
íà ñåâåð, íà âîñòîê è íà þã. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ îíè âñòðå÷àþòñÿ íà äðóãîì ïåðåêðåñòêå, ïðè÷åì êàæäûé âûåçæàåò íà
íåãî â òîì æå íàïðàâëåíèè, â êîòîðîì îí âûåõàë ñ ïåðâîãî ïåðåêðåñòêà. Äîêàæèòå, ÷òî îäèí èç âåëîñèïåäèñòîâ ïåðåñåê
òðàåêòîðèþ äðóãîãî.
7. Êâàäðàò íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ñîäåðæèò íåñêîëüêî åäèíèö è îäíó äâîéêó. à) Äîêàæèòå, ÷òî äâîéêà ñòîèò íà ïðåäïîñëåäíåì
ìåñòå. á) Äîêàæèòå, ÷òî ýòîò êâàäðàò äåëèòñÿ íà 11.
Ñåðèÿ 48. Íå ïðî Ðîìó, à ïðî ¾Ðîìó¿.
0. ×åòûðå ôóòáîëüíûå êîìàíäû ñûãðàëè äâóõêðóãîâîé òóðíèð, ò.å. êàæäàÿ ñ êàæäîé ñûãðàëà ïî 2 ðàçà. Çà ïîáåäó äàâàëîñü
3 î÷êà, çà íè÷üþ îäíî. Ó ¾Ðîìû¿ â èòîãå îêàçàëîñü 11 î÷êîâ, 3 çàáèòûõ ìÿ÷à è 4 ïðîïóùåííûõ. Âîññòàíîâèòå ðåçóëüòàòû
âñåõ ìàò÷åé ¾Ðîìû¿.
1. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà äëèí äèàãîíàëåé øåñòèóãîëüíèêà ìåíüøå, ÷åì åãî ïåðèìåòð, óìíîæåííûé íà òðè ñ ïîëîâèíîé.
2.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëè AC è BD ðàâíû è ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O. Îòðåçîê OM âûñîòà
òðåóãîëüíèêà ∆AOD, îòðåçîê ON áèññåêòðèñà â òðåóãîëüíèêå ∆BOC , ïðè ýòîì òî÷êà O äåëèò îòðåçîê M N ïîïîëàì.
Äîêàæèòå, ÷òî BN = M D.
3. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå x4 + 4x = p íå èìååò ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ äëÿ ïðîñòûõ p > 5.
4. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñåõ öåëûõ n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî n4 + 4n ≥ 2n+1 n2 .
5.  êëåòêàõ øàõìàòíîé äîñêè ñòîÿò íàòóðàëüíûå ÷èñëà òàê, ÷òî êàæäîå ðàâíî ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ñâîèõ ñîñåäåé
(ïî ñòîðîíå). Ñóììà ÷èñåë, ñòîÿùèõ â óãëàõ äîñêè ðàâíà 16. Íàéäèòå ÷èñëî, ñòîÿùåå íà ïîëå e2.
6. à)  êëåò÷àòîì êâàäðàòå 19×19 çàêðàñèëè 95 êëåòîê. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê 3×5, â êîòîðîì çàêðàøåíî
íå áîëåå òðåõ êëåòîê. á) Ïîêàæèòå, ÷òî ìîæíî çàêðàñèòü 96 êëåòîê òàê, ÷òî â ëþáîì ïðÿìîóãîëüíèêå 3 × 5 áóäåò çàêðàøåíî
íå ìåíåå ÷åòûðåõ êëåòîê.
7. à) Â îçåðå æèâåò 100 ùóê. Ùóêà íàçûâàåòñÿ ñûòîé, åñëè ó íåe â æåëóäêå íàõîäÿòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâå äðóãèå ùóêè.
Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ñûòûõ ùóê ìîæåò áûòü â îçåðå? (Ñúåäåííûå ùóêè òàêæå ìîãóò áûòü ñûòûìè.) á) Òà æå çàäà÷à, íî
äâå ùóêè äîëæíû íàõîäèòüñÿ íåïîñðåäñòâåííî â æåëóäêå ó ñûòîé (ùóêè, ñúåäåííûå ñúåäåííûìè åþ, íå ó÷èòûâàþòñÿ).
Ñåðèÿ 49. Ïî ñëåäàì ìàòáîÿ.
0. Ïåòÿ, Êàòÿ è Ñàøà ïîøëè íà áàë-ìàñêàðàä. Âî âðåìÿ ðàçäà÷è ïðèçîâ êîðîëåâà áàëà ïîïðîñèëà êàæäîãî èç íèõ ñêàçàòü,
ìàëü÷èê îí èëè äåâî÷êà.  îòâåò äâàæäû ïðîçâó÷àëî: "ß - ìàëü÷èê"è îäèí ðàç: "ß - äåâî÷êà". Ïîòîì îêàçàëîñü, ÷òî äâà èç
ýòèõ îòâåòîâ âåðíû, à îäèí - íåò. Íàçîâèòå ïîëíîå èìÿ Ñàøè. Îòâåò îáîñíóéòå.
1. Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ÷åòûðåõ òî÷åê íà ïëîñêîñòè, âñå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîòîðûìè ðàâíû.
2. à) Ïî ðàçíûå ñòîðîíû; á) ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîëèíåéíîé æåëåçíîé äîðîãè íàõîäÿòñÿ äåðåâíè Ïûøêèíî è Ìûøêèíî.
ÌÏÑ ðåøèëî ïîñòðîèòü ðÿäîì ñ ýòèìè äåðåâíÿìè ñòàíöèþ ¾239 êèëîìåòð¿. Êàê íàäî ðàçìåñòèòü åå íà æåëåçíîé äîðîãå, ÷òîáû
ñóììà ðàññòîÿíèé äî äåðåâåíü áûëà ìèíèìàëüíîé?
3. Íàçîâåì äðîáü ïîìåõîóñòîé÷èâîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äâóçíà÷íûå ÷èñëà, è åñëè ó ýòèõ ÷èñåë ñòåðåòü
ïåðâûå öèôðû, òî ïîëó÷èòñÿ äðîáü, ðàâíàÿ èñõîäíîé. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ó ïîìåõîóñòîé÷èâîé äðîáè ïîìåíÿòü ìåñòàìè öèôðó
åäèíèö ÷èñëèòåëÿ è öèôðó äåñÿòêîâ çíàìåíàòåëÿ, òî ïîëó÷èâøàÿñÿ äðîáü òàêæå áóäåò ïîìåõîóñòîé÷èâîé.
3. Ïåòÿ âûïèñàë ïî êðóãó â íåêîòîðîì ïîðÿäêå öåëûå ÷èñëà îò 1 äî 10 è çàòåì îòìåòèë òå èç íèõ, êîòîðûå ðàâíû ñóììå
äâóõ ñâîèõ ñîñåäåé. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë ìîãëî áûòü îòìå÷åíî?
4.  äîñêó âáèòû 1997 ãâîçäåé. Äâîå ïî î÷åðåäè äåëàþò õîäû. Õîä ñîñòîèò â òîì, ÷òî èãðàþùèé ñîåäèíÿåò ïðîâîäîì êàêèåëèáî äâà ãâîçäÿ, íå ñîåäèíåííûõ ðàíåå. Ïðîèãðûâàåò òîò, ïîñëå õîäà êîòîðîãî âïåðâûå ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì äîáðàòüñÿ ïî
ïðîâîäàì îò ëþáîãî ãâîçäÿ äî ëþáîãî äðóãîãî. Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå: òîò, êòî äåëàåò ïåðâûé õîä, èëè åãî
ïàðòíåð?
5.  êëàññå 28 ó÷åíèêîâ, êîòîðûå ñèäÿò ïî äâîå çà ïàðòàìè. Êàæäûé äåíü ó÷èòåëü ïåðåñàæèâàåò ó÷åíèêîâ òàê, ÷òîáû âñå
îáðàçîâàâøèåñÿ ïàðû áûëè íîâûìè (ðàíüøå ðÿäîì íå ñèäåëè). Ìîæåò ëè îí äåëàòü ýòî â òå÷åíèå 27 äíåé?
7. Íàéäèòå âñå òàêèå ïàðû (x, y) öåëûõ x è y , òàêèõ, ÷òî 2x + 3y = 1. (Îïèøèòå èõ êàêèì-íèáóäü ðàçóìíûì îáðàçîì)
Ñåðèÿ 50. Þáèëåéíàÿ, áåç ãåîìåòðèè.
0. Äîêàæèòå, ÷òî 2( p + 1) − 4 äåëèòñÿ íà p, ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî.
1. Ê ïðîèçâîëüíîìó ÷èñëó ñïðàâà ïðèïèñûâàþò à) ñåìåðêè; á) òðîéêè. Äîêàæèòå, ÷òî êîãäà-íèáóäü ïîëó÷èòñÿ ñîñòàâíîå
÷èñëî.
2. Íàéäèòå âñå ÷èñëà,êîòîðûå ðîâíî â 100 ðàç áîëüøå ñóììû ñâîèõ öèôð.
3. Â ñâÿçíîì ãðàôå ñòåïåíü îäíîé èç âåðøèí ðàâíà 100, à âñåõ îñòàëüíûõ 10. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî óáðàòü 50 ðåáåð,
âûõîäÿùèõ èç îäíîé âåðøèíû, òàê, ÷òî ãðàô îñòàíåòñÿ ñâÿçíûì.
4. Ñåìåðî êîçëÿò çàäóìàëè ïî òðåõçíà÷íîìó ÷èñëó. Çàòåì êàæäûå äâîå ñûãðàëè â òàêóþ èãðó: îíè ñðàâíèëè ïåðâûå öèôðû
ñâîèõ ÷èñåë, è òîò, ó êîãî öèôðà áîëüøå, äàë äðóãîìó ñòîëüêî ùåë÷êîâ, íà ñêîëüêî áîëüøå åãî öèôðà; ïîòîì ïðîäåëàëè òî
æå ñàìîå ñî âòîðûìè è òðåòüèìè öèôðàìè. Ìîãëî ëè ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî âñåãî îíè ïðîáèëè 217 ùåë÷êîâ?
5.  ìàðñèàíñêîì àëôàâèòå k áóêâ, è äâà ñëîâà íàçûâàþòñÿ ïîõîæèìè, åñëè â íèõ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî áóêâ, è îíè
îòëè÷àþòñÿ ëèøü â îäíîì ìåñòå (íàïðèìåð, ÒÐÈÊÑ è ÒÐÓÊÑ). Äîêàæèòå, ÷òî âñå ñëîâà â ìàðñèàíñêîì ÿçûêå ìîæíî ðàçáèòü
íà k ãðóïï, â êàæäîé èç êîòîðûõ âñå ñëîâà íå ïîõîæè äðóã íà äðóãà.
6. Èç èíòåðâàëà îò 1 äî 2n − 1 âûáðàëè n + 1 ÷èñëî. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ýòèõ ÷èñåë åñòü ÷èñëî, ðàâíîå ñóììå äâóõ äðóãèõ
âûáðàííûõ ÷èñåë.
7. 9 òî÷åê ðàñïîëîæåíû â ïðîñòðàíñòâå òàê, ÷òî íèêàêèå òðè íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Êàæäàÿ òî÷êà ñîåäèíåíà îòðåçêàìè
ñ 4 äðóãèìè. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ òðè îòðåçêà, îáðàçóþùèå òðåóãîëüíèê.
Ñåðèÿ 51. Â ïðåääâåðèè 300-ëåòèÿ Ýéëåðà.
Íàïîìèíàíèå : Ïðÿìîé óãîë - ýòî óãîë, ðàâíûé ñâîåìó ñìåæíîìó.
Îïðåäåëåíèå : Îñòðûé óãîë - ýòî óãîë, ìåíüøèé ïðÿìîãî, òóïîé óãîë - óãîë, áîëüøèé ïðÿìîãî.
Î÷åâèäíî, ÷òî óãîë, ñìåæíûé óãîë ñ òóïûì, îñòðûé, è íàîáîðîò.
Ïóñòü äàí òðåóãîëüíèê ABC è òî÷êà D íà ïðÿìîé AC çà òî÷êó C . Òîãäà óãîë BCD - âíåøíèé ê òðåóãîëüíèêó. Èíà÷å
ãîâîðÿ, âíåøíèé óãîë ê òðåóãîëüíèêó - ýòî ñìåæíûé óãîë ê êàêîìó-òî èç âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà.
Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî â òðåóãîëüíèêå âíåøíèé óãîë áîëüøå ëþáîãî èç âíóòðåííèõ, íå ñìåæíûõ ñ íèì, äîêàæèòå:
1. Åñëè â òðåóãîëüíèêå îäèí óãîë ïðÿìîé èëè òóïîé, òî äâà äðóãèå óãëà îñòðûå.
2. Èç äàííîé òî÷êè (M) íà äàííóþ ïðÿìóþ (AB) ìîæíî îïóñòèòü òîëüêî îäèí ïåðïåíäèêóëÿð, ò.å. íà ïðÿìîé AB ñóùåñòâóåò
íå áîëåå îäíîé òàêîé òî÷êè Ñ, ÷òî MC ïåðïåíäèêóëÿðíî AB,ò.å. óãîë MCA - ïðÿìîé.
3. Âî âñÿêîì òðåóãîëüíèêå âåðíû ñîîòíîøåíèÿ : à) ïðîòèâ ðàâíûõ ñòîðîí ëåæàò ðàâíûå óãëû á) ïðîòèâ áîëüøåé ñòîðîíû
ëåæèò áîëüøèé óãîë. (Â òðåóãîëüíèêå ABC ïðîòèâ óãëà C ëåæèò ñòîðîíà AB, ïðîòèâ óãëà B - ñòîðîíà AC) â) íàîáîðîò,
ïðîòèâ ðàâíûõ óãëîâ ëåæàò ðàâíûå ñòîðîíû, à ïðîòèâ áîëüøåãî óãëà ëåæèò áÎëüøàÿ ñòîðîíà.
4.à) Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC AB<BC<AC. Íàéäèòå íà ïðîäîëæåíèè AB çà òî÷êó B òàêóþ òî÷êó D, ÷òî BD=BC(äðóãèìè
ñëîâàìè, îòëîæèòå ñòîðîíó BC íà ïðîäîëæåíèè AB çà òî÷êó B). À âîò òåïåðü, ñîâåðøèâ òðèâèàëüíîå íàáëþäåíèå äîêàæèòå,
÷òî AB+BC > AC. á) Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà.
5. Íà 44 äåðåâüÿõ, ðàññòàâëåííûõ ïî îêðóæíîñòè, ñèäÿò ÷èæè (ïî îäíîìó íà êàæäîì äåðåâå). Åñëè îäèí ÷èæ ïåðåëåòàåò
íà îäíî äåðåâî â îäíó ñòîðîíó, òî îäíîâðåìåííî äðóãîé ïåðåëåòàåò íà îäíî äåðåâî â äðóãóþ ñòîðîíó. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èæè íå
ìîãóò îêàçàòüñÿ íà îäíîì äåðåâå.
6. Àíÿ è Äàøà èãðàþò â ìîðñêîé áîé íà ïîëå ðàçìåðîì 8×8 ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì: Àíÿ ðàññòàâëÿåò 16 îäíîêëåòî÷íûõ
êîðàáëåé òàê, ÷òîáû îíè íå ñîïðèêàñàëèñü (äàæå óãëàìè). Êàæäûì õîäîì Äàøà íàçûâàåò îäíó èç êëåòîê ïîëÿ è, åñëè íà
ýòîé êëåòêå ñòîèò êîðàáëü, òî êîðàáëü ñ÷èòàåòñÿ óíè÷òîæåííûì. Äîêàæèòå, ÷òî íåçàâèñèìî îò ðàññòàíîâêè êîðàáëåé Äàøà
çà 4 õîäà ñìîæåò óíè÷òîæèòü õîòÿ áû îäèí êîðàáëü.
7. Äâóì êîìàíäàì íà ìàòáîå áûëî ïðåäëîæåíî 4 çàäà÷è. Èçâåñòíî, ÷òî îäíó çàäà÷ó ðåøèëè îáå êîìàíäû, îäíó çàäà÷ó
òîëüêî ïåðâàÿ êîìàíäà, îäíó çàäà÷ó òîëüêî âòîðàÿ, à îñòàâøóóñÿ çàäà÷ó íå ðåøèë íèêòî. Âàøà êîìàíäà òîëüêî ÷òî
âûèãðàëà êîíêóðñ êàïèòàíîâ. Êàê íàäî äåéñòâîâàòü äàëüøå, ÷òîáû âûèãðàòü ìàòáîé?
(Íàïîìíèì ïðàâèëà. Âàøà êîìàíäà ìîæåò âûáèðàòü: âûçûâàòü èëè áûòü âûçâàííîé. Åñëè îäíà êîìàíäà âûçûâàåò äðóãóþ
íà çàäà÷ó êîòîðàÿ òà ðåøèëà, âòîðàÿ êîìàíäà ïîëó÷àåò äâåíàäöàòü áàëëîâ è âûçîâ ïåðåõîäèò ê íåé. Åñëè îäíà êîìàíäà
âûçûâàåò äðóãóþ íà çàäà÷ó êîòîðàÿ òà íå ðåøèëà, ïðîèñõîäèò ïðîâåðêà êîððåêòíîñòè. Åñëè ïåðâàÿ êîìàíäà ðåøèëà ýòó
çàäà÷ó, îíà ïîëó÷àåò äâåíàäöàòü áàëëîâ, à âûçîâ ïåðåõîäèò êî âòîðîé êîìàíäå. Åñëè æå îíà åå íå ðåøèëà, âòîðàÿ êîìàíäà
ïîëó÷àåò 6 î÷êîâ, à âûçûâàåò îïÿòü ïåðâàÿ êîìàíäà.)
8. Èìååòñÿ à) ÷åòûðå êèðïè÷à á) øåñòü êèðïè÷åé, ñðåäè êîòîðûõ ðîâíî äâà ðàäèîàêòèâíûõ. Ó âàñ åñòü ñ÷åò÷èê Ãåéãåðà,
êîòîðûé ìîæåò äåëàòü òàêóþ îïåðàöèþ: åñëè âû ïîäíåñåòå åãî ê ïðîèçâîëüíîé ãðóïïå êèðïè÷åé, òî îí ñîîáùàåò êîëè÷åñòâî
ðàäèîàêòèâíûõ êèðïè÷åé â ýòîé ãðóïïå. Äåëèòü êèðïè÷è íà ãðóïïû è âñÿ÷åñêè ïåðåêëàäûâàòü èõ âû ìîæåòå ïðîèçâîëüíûì
îáðàçîì. Êàê à) çà òðè á) çà ÷åòûðå èçìåðåíèÿ âû÷èñëèòü îáà ðàäèîàêòèâíûõ êèðïè÷à.
Îëèìïèàäêà
1.  êëàññå 30 ó÷åíèêîâ. Îíè ñèäÿò çà 15 ïàðòàìè òàê, ÷òî ðîâíî ïîëîâèíà âñåõ äåâî÷åê êëàññà ñèäÿò ñ ìàëü÷èêàìè.
Äîêàæèòå, ÷òî èõ íå óäàñòñÿ ïåðåñàäèòü (çà òå æå 15 ïàðò) òàê, ÷òîáû ðîâíî ïîëîâèíà âñåõ ìàëü÷èêîâ êëàññà ñèäåëè ñ
äåâî÷êàìè.
2.Êîñòÿ çàäóìàë ïÿòèçíà÷íîå ÷èñëî, ïîòîì âû÷åðêíóë îäíó èç åãî öèôð è ïîëó÷åííîå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî ñëîæèë ñ
èñõîäíûì ïÿòèçíà÷íûì. Ïîëó÷èëîñü 41751. Íàéäèòå çàäóìàííîå ÷èñëî. Íå çàáóäüòå îáîñíîâàòü îòâåò.
3. Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x + y 1 0 = HOK(x, y). (ÍÎÊ(x,y) - ýòî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë x è
y).
4. Ñàøà íàïèñàë 26 ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è âûáðàë 10 èç íèõ. Ñóììà âûáðàííûõ ÷èñåë îêàçàëàñü ïðîñòûì
÷èñëîì. Ìîæåò ëè òàê áûòü, ÷òî ñóììà îñòàëüíûõ 16 ÷èñåë - òîæå ïðîñòîå ÷èñëî?
Ñåðèÿ 52. Óãîëüíàÿ.
0. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïåðåñòàâèòü áóêâû â ñëîâå ÎÁÎÐÎÍÎÑÏÎÑÎÁÍÎÑÒÜ? Îáîñíóéòå ñâîé îòâåò.
1.à) Èìååòñÿ óãîëüíèê ñ óãëîì â 70. Êàê ïîñòðîèòü ñ åãî ïîìîùüþ óãîë â 40?
á) Èìååòñÿ óãîëüíèê ñ óãëîì 19. Êàê ïîñòðîèòü ñ åãî ïîìîùüþ óãîë â 1?
2. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà äåëèò åãî íà äâà òðåóãîëüíèêà, ïåðèìåòðû êîòîðûõ ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé.
3. Äîêàæèòå, ÷òî â ðàâíûõ òðåóãîëüíèêàõ ñîîòâåòñòâóþùèå ìåäèàíû ðàâíû.
4. Ñòîðîíû ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà äåëÿòñÿ òî÷êàìè K,L,M â îäíîì è òîì æå îòíîøåíèè (ñ÷èòàÿ ïî ÷àñîâîé
ñòðåëêå). Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê KLM òîæå ðàâíîñòîðîííèé.
5. Ýêñöåíòðè÷íûé äæåíòëüìåí ìèñòåð Äîäæñîí ïîñòðîèë â ñàäó ìîäåëü ãðàôñòâà Ëèïøèð ïîä íàçâàíèåì "Çàçåðêàëüå".
Åñëè äâå óñàäüáû â ãðàôñòâå ñîåäèíåíû äîðîãîé, òî â Çàçåðêàëüå íåò, è íàîáîðîò. Èç óñàäüáû A íåëüçÿ ïðîåõàòü â óñàäüáó
, çàåõàâ ïî äîðîãå ìåíåå, ÷åì ê äâóì äæåíòëüìåíàì. Äîêàæèòå, ÷òî â Çàçåðêàëüå ìîæíî ïðîåõàòü èç ëþáîé óñàäüáû â ëþáóþ,
çàåõàâ ïî äîðîãå íå áîëåå, ÷åì â äâå ÷óæèõ óñàäüáû.
6. Êàêèõ 6-çíà÷íûõ íîìåðîâ àâòîáóñíûõ áèëåòîâ áîëüøå: ñ ñóììîé öèôð 20 èëè ñ ñóììîé öèôð 34? (íîìåðà ìîãóò íà÷èíàòüñÿ ñ íóëÿ)
7. Èìåþòñÿ ÷åòûðå ïðåäìåòà ïîïàðíî ðàçëè÷íîãî âåñà. Êàê ñ ïîìîùüþ ÷àøå÷íûõ âåñîâ áåç ãèðü ïÿòüþ âçâåøèâàíèÿìè
ðàñïîëîæèòü âñå ýòè ïðåäìåòû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âåñîâ?
Ñåðèÿ 53. Íàì ïîëòîðà ãîäèêà.
0. Äîêàæèòå, ÷òî 47600 − 1 äåëèòñÿ íà 1001.
1. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå: x2 + y 2 + z 2 = 22003 .
2. Äåëèòåëü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì, åñëè îí íå ðàâåí ýòîìó ÷èñëó è åäèíèöå. Íàéäèòå âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ó êîòîðûõ ñàìûé áîëüøîé ñîáñòâåííûé äåëèòåëü â òðè ðàçà áîëüøå ñàìîãî ìàëåíüêîãî.
3.  íåêîòîðîì ãîñóäàðñòâå 2007 ãîðîäîâ, ïðè÷åì ëþáûå äâà ãîðîäà ñîåäèíåíû ïðÿìûì ðåéñîì àâòîáóñà èëè ïîåçäà.
Ïîëüçóÿñü òîëüêî îäíèì èç ýòèõ äâóõ âèäîâ òðàíñïîðòà íåâîçìîæíî îáúåõàòü 16 ãîðîäîâ, ïîáûâàâ â êàæäîì ðîâíî îäèí ðàç,
è âåðíóòüñÿ îáðàòíî. à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïîëüçóÿñü òîëüêî îäíèì âèäîì òðàíñïîðòà ìîæíî îáúåõàòü 17 ãîðîäîâ, ïîáûâàâ
â êàæäîì ðîâíî îäèí ðàç, è âåðíóòüñÿ îáðàòíî, òîãäà òî æå ñàìîå ìîæíî ñäåëàòü ïîëüçóÿñü òîëüêî äðóãèì âèäîì òðàíñïîðòà.
á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïîëüçóÿñü òîëüêî îäíèì âèäîì òðàíñïîðòà ìîæíî îáúåõàòü êàêèå-òî 17 ãîðîäîâ, ïîáûâàâ â êàæäîì
ðîâíî îäèí ðàç, è âåðíóòüñÿ îáðàòíî, òî ïîëüçóÿñü òîëüêî îäíèì âèäîì òðàíñïîðòà ìîæíî îáúåõàòü 14 ãîðîäîâ, ïîáûâàâ â
êàæäîì ðîâíî îäèí ðàç, è âåðíóòüñÿ îáðàòíî. â) Äîêàæèòå, ÷òî ïîëüçóÿñü òîëüêî îäíèì âèäîì òðàíñïîðòà íåëüçÿ îáúåõàòü
17 ãîðîäîâ.
4. Ãàëÿ èäåò ïî ëåñòíèöå, ïîäíèìàÿñü êàæäûé ðàç íà îäíó ñòóïåíüêó, èëè ïðûãàÿ ÷åðåç îäíó. Äîêàæèòå, ÷òî êîëè÷åñòâî
ñïîñîáîâ òàêèì ñïîñîáîì ïîäíÿòüñÿ íà ëåñòíèöó èç n ñòóïåíåé ðàâíî Fn , ãäå Fn - ÷èñëî Ôèáîíà÷÷è.
5. Èìååòñÿ âîñåìü êèðïè÷åé, ñðåäè êîòîðûõ ðîâíî äâà ðàäèîàêòèâíûõ. Ó âàñ åñòü ñ÷åò÷èê Ãåéãåðà, êîòîðûé ìîæåò äåëàòü
òàêóþ îïåðàöèþ: åñëè âû ïîäíåñåòå åãî ê ïðîèçâîëüíîé ãðóïïå êèðïè÷åé, òî îí ñîîáùàåò êîëè÷åñòâî ðàäèîàêòèâíûõ êèðïè÷åé
â ýòîé ãðóïïå. Äåëèòü êèðïè÷è íà ãðóïïû è âñÿ÷åñêè ïåðåêëàäûâàòü èõ âû ìîæåòå ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Êàê çà ïÿòü
èçìåðåíèé âû÷èñëèòü îáà ðàäèîàêòèâíûõ êèðïè÷à? (ñì. çàäà÷ó 51.8)
6. Êàæäûé ñîòðóäíèê êîìïàíèè Ñòðóéíûå ìîçãè, èìåþùèé ÷åòíîå ÷èñëî çíàêîìûõ ñðåäè ñîòðóäíèêîâ, ïîñëàë èì ïî
ïèñüìó, à êàæäûé èç îñòàëüíûõ ñîòðóäíèêîâ êîìïàíèè ïîñëàë ïî ïèñüìó âñåì íåçíàêîìûì. Òåääè ïîëó÷èë 99 ïèñåì. Äîêàæèòå, ÷òî îí ïîëó÷èò åùå õîòÿ áû îäíî ïèñüìî.
7. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ÷èñëà 10017, 100117, 1001117, 10011117, . . . äåëÿòñÿ íà 53.
Ñåðèÿ 54, â êîòîðîé ââîäèòñÿ îïðåäåëåíèå ñèììåòðèè.
0. Íà ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû ÷åòûðå òî÷êè A, B , C è D òàê, ÷òî AB = 1, BC = 2, AD = 5, DC = 8. Íàéäèòå AC .
1. p ïðîñòîå ÷èñëî, p > 5. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî, äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü êîòîðîãî ñîñòîèò èç p − 1 åäèíèöû, äåëèòñÿ íà p.
2
2. à) Äîêàæèòå, ÷òî 522 − 1 äåëèòñÿ íà 46. á) Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ 175 2 íà 47.
3. Èçâåñòíî, ÷òî a + b = 239, ab = 642. ×åìó ðàâíî a2 + b2
4. x, y è z âåùåñòâåííûå ÷èñëà, òàêèå ÷òî x + y + z = 0. Äîêàæèòå, ÷òî xy + yz + xz ≤ 0.
5.à)  ÷èñëå a 50 öèôð, à â ÷èñëå b 70. Ñêîëüêî öèôð ìîæåò áûòü â èõ ïðîèçâåäåíèè?
á) Íà äîñêå çàïèñàëè ïîäðÿä ñíà÷àëà 21 00, à çàòåì 51 00. Ñêîëüêî öèôð â âûïèñàííîì ÷èñëå?
Öåííîå çíàíèå : Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ïðÿìîé l ðàâíî äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç A íà l.
6.à) Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âíóòðåííèõ òî÷åê óãëà, ðàâíîóäàëåííûõ îò åãî ñòîðîí. á) Äîêàæèòå, ÷òî áèññåêòðèñû(ò.å. ïðÿìûå, êîòîðûå äåëÿò óãëû ïîïîëàì) òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Îïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå, íàçûâàåìîå ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A. Ïðîâåäåì
÷åðåç A ïðÿìóþ m, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ l. Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ îáîçíà÷èì D. Íàéäåì íà m òî÷êó A1 , òàêóþ, ÷òî
AD = A1 D. Òîãäà òî÷êà A1 íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé A îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l.
Ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, åñëè âìåñòå ñ êàæäîé òî÷êîé X îíà ñîäåðæèò è ñèììåòðè÷íóþ
åå òî÷êó îòíîñèòåëüíî l.
7. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó ÿâëÿåòñÿ åãî îñüþ ñèììåòðèè.
Ñåðèÿ 55. Ïåðâîìàéñêàÿ äåìîíñòðàöèÿ.
0. Íàéäèòå ñóììó óãëîâ ÷åòûðåõóãîëüíèêà.
1. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. à) Óãëû 1 è 5 íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè. Äîêàæèòå, ÷òî îíè
ðàâíû. á) Óãëû 3 è 6 íàçûâàþòñÿ îäíîñòîðîííèìè. Äîêàæèòå, ÷òî èõ ñóììà 180 ãðàäóñîâ. â) Äîêàæèòå, ÷òî âñå óãëû ñ
íå÷åòíûìè íîìåðàìè ðàâíû äðóã äðóãó, âñå óãëû ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè ðàâíû äðóã äðóãó, à ñóììà óãëà ñ ÷åòíûì íîìåðîì è
óãëà ñ íå÷åòíûì íîìåðîì 180 ãðàäóñîâ.
1
4
5
8
2
3
6
7
2. Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ñ óãëîì ïðè îñíîâàíèè 70 ãðàäóñîâ ïðîâåäåíà ìåäèàíà ê îñíîâàíèþ. Íàéäèòå âñå óãëû,
êîòîðûå îíà îáðàçóåò ñî ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà.
3. Èìååòñÿ ïÿòü êèðïè÷åé, ñðåäè êîòîðûõ ðîâíî äâà ðàäèîàêòèâíûõ. Ó âàñ åñòü ñ÷åò÷èê Ãåéãåðà, êîòîðûé ìîæåò äåëàòü
òàêóþ îïåðàöèþ: åñëè âû ïîäíåñåòå åãî ê ïðîèçâîëüíîé ãðóïïå êèðïè÷åé, òî îí ñîîáùàåò êîëè÷åñòâî ðàäèîàêòèâíûõ êèðïè÷åé
â ýòîé ãðóïïå. Äåëèòü êèðïè÷è íà ãðóïïû è âñÿ÷åñêè ïåðåêëàäûâàòü èõ âû ìîæåòå ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Êàê çà òðè
èçìåðåíèÿ âû÷èñëèòü îáà ðàäèîàêòèâíûõ êèðïè÷à? (ñì. çàäà÷ó 51.8)
4.à) Åñòü íàáîð ãèðü âåñîì 2, 4, 8, . . . , 2n ãðàììîâ. Ìîæíî ëè èõ ðàçëîæèòü íà äâå êó÷êè îäèíàêîâîãî âåñà?
á) Ìîæíî ëè âûêèíóòü ÷àñòü ãèðü, à îñòàâøèåñÿ ðàçëîæèòü íà äâå êó÷êè îäèíàêîâîãî âåñà?
5. Ñêîëüêî îæåðåëèé ìîæíî ñîñòàâèòü èç 7 ðàçëè÷íûõ áóñèí, åñëè îæåðåëüÿ îòëè÷àþùèåñÿ ïîâîðîòîì è ïåðåâîðà÷èâàíèåì,
íå ðàçëè÷àþòñÿ?
6. a) Íà êàêèå ÷èñëà ìîæåò áûòü ñîêðàòèìà äðîáü 7n−2
4n−3 (â çàâèñèìîñòè îò n)?
á) Äîêàæèòå, ÷òî äðîáü
a4 +3a2 +1
a3 +2a
íåñîêðàòèìà ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ a.
7. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî êîðîëåé íóæíî âçÿòü, ÷òîáû ïîñëå èõ ïðîèçâîëüíîé ðàññòàíîâêè íà øàõìàòíîé äîñêå 8 × 8
îáÿçàòåëüíî íàøëèñü áû äâà êîðîëÿ, áüþùèå îäíî ïîëå?
Ñåðèÿ 56. Ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ãåîìåòðèè.
Íàïîìèíàíèå : Îòðåçîê AM â òðåóãîëüíèêå ∆ABC ÿâëÿåòñÿ ìåäèàíîé, åñëè äåëèò BC ïîïîëàì; âûñîòîé, åñëè îáðàçóåò
ñî ñòîðîíîé BC ïðÿìîé óãîë; áèññåêòðèñîé, åñëè äåëèò 6 ABC íà äâà ðàâíûõ óãëà.
0. Äîêàæèòå, ÷òî ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê îñíîâàíèþ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ åãî áèññåêòðèñîé è âûñîòîé.
1.  òðåóãîëüíèêå ∆ABC ÷åðåç òî÷êó A1 , ëåæàùóþ íà ñòîðîíå AB ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ AC , êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò BC â òî÷êå C1 . Èçâåñòíî, ÷òî óãëû A è B â òðåóãîëüíèêå ðàâíû 70. Íàéäèòå óãîë 6 BC1 A1 .
2. Ìåäèàíà AM òðåóãîëüíèêà ABC ïåðïåíäèêóëÿðíà åãî áèññåêòðèñå BK. Íàéäèòå AB, åñëè BC = 12.
3. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç âåðøèíó A òðåóãîëüíèêà ∆ABC ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ìåäèàíå BD, äåëèò ýòó ìåäèàíó
ïîïîëàì. Íàéäèòå îòíîøåíèå ñòîðîí AB è AC .
4.Äîêàæèòå ÷òî äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ ðàâíûìè ñòîðîíàìè ïåðïåíäèêóëÿðíû.
5. Íà äîñêå áûëî íàïèñàíî 5 ÷èñåë. Ñëîæèâ èõ ïîïàðíî, ïîëó÷èëè ñëåäóþùèå 10 ÷èñåë: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15. à)
Íàéäèòå ñóììó âñåõ ïÿòè ÷èñåë. á) Êàêèå ÷èñëà áûëè íàïèñàíû?
6.  ôóòáîëüíîì òóðíèðå ó÷àñòâóþò 36 êîìàíä, ïðè÷åì êàæäûå äâå äîëæíû ñûãðàòü ìåæäó ñîáîé ïî îäíîìó ðàçó. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäàÿ êîìàíäà ñûãðàëà íå ìåíåå 34 èãð. Äîêàæèòå, ÷òî êîìàíäû ìîæíî ðàçáèòü à) íà äâå ãðóïïû ïî 18 êîìàíä;
á) íà òðè ãðóïïû ïî 12 êîìàíä òàê, ÷òî âíóòðè êàæäîé ãðóïïû âñå èãðû óæå ñûãðàíû.
7. Ìîæåò ëè m! + n! îêàí÷èâàòüñÿ íà 1990?
Ñåðèÿ 57. Íåâèäèìàÿ
0. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïåðåñòàâèòü áóêâû â ñëîâå INVISIBILITY?
1. à) Äîêàæèòå, ÷òî [a,b]=ÍÎÊ(a, b) (ò.å. òàêîå èõ îáùåå êðàòíîå, íà êîòîðîå äåëÿòñÿ âñå èõ îñòàëüíûå îáùèå êðàòíûå)
max(k1 ,m1 ) max(k2 ,m2 )
max(kn ,mn )
mn
1 m2
ðàâíî p1
p2
. . . pn
, ãäå a = pk11 pk22 . . . pknn , b = pm
1 p2 . . . pn .
á) Äîêàæèòå, ÷òî [a, b] · (a, b) = ab.
2. Íà ïëîñêîñòè äàíà 11-çâåííàÿ çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ. Äîêàæèòå, ÷òî íå ìîæåò áûòü, ÷òîáû êàæäîå çâåíî ýòîé ëîìàíîé
ïåðåñåêàëîñü âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ðîâíî ñ îäíèì äðóãèì çâåíîì.
á) Äîêàæèòå, ÷òî íèêàêàÿ ïðÿìàÿ íå ïåðåñåêàåò âñå çâåíüÿ ýòîé ëîìàíîé âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ.
3.  íàòóðàëüíîì ÷èñëå ïåðåñòàâèëè öèôðû è ðåçóëüòàò ñëîæèëè ñ èñõîäíûì ÷èñëîì. Ìîãëî ëè ïîëó÷èòüñÿ ÷èñëî 999. . . 999
(101 äåâÿòêà)?
4. Åñòü 10 ìîíåò, ñðåäè íèõ ðîâíî äâå ôàëüøèâûå. Äåòåêòîð R7 çà îäíó îïåðàöèþ èññëåäóåò òðè ìîíåòû è óêàçûâàåò íà
îäíó èç íèõ. Èçâåñòíî, ÷òî äåòåêòîð íå ìîæåò óêàçàòü íà íàñòîÿùóþ ìîíåòó, åñëè ñðåäè òåñòèðóåìûõ ìîíåò åñòü õîòÿ áû
îäíà ôàëüøèâàÿ. Êàê çà øåñòü òåñòîâ âûÿâèòü îáå ôàëüøèâûå ìîíåòû?
5. Ïóñòü
1
1
1
Sn =
+
+ ... +
.
n+1 n+2
2n
Äîêàæèòå, ÷òî: à) Sn < Sn+1 . á) Sn íå ìåíüøå 1/2;
6.  òåëåâèçîðå áîëüøå âèíòîâ, ÷åì â õîëîäèëüíèêå, íî â 45 òåëåâèçîðàõ âèíòîâ ìåíüøå, ÷åì â 47 õîëîäèëüíèêàõ. Ïðè
êàêîì íàèìåíüøåì êîëè÷åñòâå âèíòîâ â òåëåâèçîðå òàêîå âîçìîæíî?
7.  óíèâåðìàãå ãîðîäà Ãàéäàðîâñêà 1 ÿíâàðÿ 1992 ãîäà ïðîäàâàëèñü 9 âèäîâ òîâàðîâ ïî öåíå 1 ðóáëü êàæäûé. Íà÷èíàÿ
ñî 2 ÿíâàðÿ, åæåäíåâíî öåíà êàæäîãî òîâàðà óâåëè÷èâàëàñü â 2 èëè â 3 ðàçà. Èçâåñòíî, ÷òî 1 ôåâðàëÿ âñå òîâàðû èìåëè
ðàçëè÷íûå öåíû. Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå-òî äâå èç ýòèõ öåí ðàçëè÷àëèñü ïî êðàéíåé ìåðå â 25 ðàç.
Îëèìïèàäî÷êà 12.05.07
1. Ìîæíî ëè èç ïîëîñîê 1 × 1, 1 × 2, . . . , 1 × 13 ñëîæèòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè, áîëüøèìè 1?
2. Íàéäèòå âñå ïàðû ïðîñòûõ ÷èñåë p è q , äëÿ êîòîðûõ pq + q p òîæå ïðîñòîå ÷èñëî.
3. Íà ñêëàäå ñòåêëîòàðû ìîãóò õðàíèòüñÿ áàíêè èç-ïîä êîíñåðâèðîâàííûõ îâîùåé åìêîñòüþ 0,5 ë, 0,7 ë è 1 ë. Ñåé÷àñ íà
ñêëàäå èìååòñÿ 2500 áàíîê îáùåé âìåñòèìîñòüþ 2007 ë. Äîêàæèòå, ÷òî íà ñêëàäå åñòü õîòÿ áû îäíà ïîëëèòðîâàÿ áàíêà.
4. Ìàêñèì ïî î÷åðåäè äîñòàåò è ñêëàäûâàåò â äâå ñòîïêè ÷åðíûå è êðàñíûå êàðòî÷êè. Êëàñòü êàðòî÷êó íà äðóãóþ êàðòî÷êó
òîãî æå öâåòà çàïðåùåíî. Äåñÿòàÿ è îäèííàäöàòàÿ êàðòî÷êè áûëè êðàñíûå, à äâàäöàòü ïÿòàÿ ÷åðíàÿ. Êàêîãî öâåòà áûëà
äâàäöàòü øåñòàÿ êàðòî÷êà?
Ñåðèÿ 58. Äîëãîæäàííàÿ.
0. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (x − 3)(x − 2)(x − 1) = 0. Îòâåò îáîñíóéòå.
1.  Áðàçèëèè æèâåò î÷åíü ìíîãî äèêèõ îáåçüÿí. Íà÷èíàÿ ñ 2002 ãîäà åæåãîäíî 2 ÿíâàðÿ ïðîâîäÿò ïåðåïèñü âñåõ îáåçüÿí. Êàæäûé ãîä êîëè÷åñòâî äèêèõ îáåçüÿí óâåëè÷èâàëîñü ðîâíî íà 5 ïðîöåíòîâ. Ïî äàííûì ïåðåïèñè 2007 ãîäà, â ñòðàíå
ïðîæèâàëî ìåíåå 5 000 000 äèêèõ îáåçüÿí. Ñêîëüêî äèêèõ îáåçüÿí æèëî â Áðàçèëèè 2 ÿíâàðÿ 2007 ãîäà?
2.  êàæäóþ êëåòêó òàáëèöû 3 × 3 çàïèñàëè ÷èñëî. Ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå ðàâíî 1, à
ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë êàæäîì êâàäðàòèêå 2 × 2 ðàâíî 2. Êàêîå ÷èñëî ñòîèò â öåíòðå?
3. Ëþáûå ÷åòâåðî èç äåñÿòè äåòåé ïåðåâåøèâàþò ëþáûå äðóãèå òðè. Âåðíî ëè, ÷òî ëþáûå òðè ïåðåâåøèâàþò ëþáûå äðóãèå
äâå?
4. Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå ïÿòü ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ íàèáîëüøèõ ðàâíî ñóììå âñåõ ïÿòè
÷èñåë?
5. Çà êðóãëûì ñòîëîì ñèäÿò n ôèçèêîâ è n õèìèêîâ. Èçâåñòíî, ÷òî êîëè÷åñòâî ôèçèêîâ-ëæåöîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó õèìèêîâ
ëæåöîâ. Íà âîïðîñ: Êòî Âàø ñîñåä ñïðàâà? âñå ñèäÿùèå çà ñòîëîì îòâåòèëè: Õèìèê!. Äîêàæèòå, ÷òî n ÷åòíî.
6. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ x2 + y 2 + z 2 + t2 + u2 = 2 â öåëûõ ÷èñëàõ.
7. Äîêàæèòå, ÷òî 2100 + 3100 < 4100 .
8. Êîëîäó êàðòî÷åê ñ ÷èñëàìè îò 1 äî 78 äàþò çðèòåëþ. Òîò åå ïåðåìåøèâàåò, îòáèðàåò 40 êàðòî÷åê, îòäàåò èõ ïåðâîìó
ôîêóñíèêó, à îñòàëüíûå îñòàâëÿåò ñåáå. Ïåðâûé ôîêóñíèê âûáèðàåò èç ïîëó÷åííûõ êàðòî÷åê äâå è âîçâðàùàåò èõ çðèòåëþ.
Çðèòåëü äîáàâëÿåò ê ýòèì êàðòî÷êàì îäíó êàðòî÷êó èç ñâîèõ òðèäöàòè âîñüìè, è, ïåðåìåøàâ, îòäàåò ýòè òðè êàðòî÷êè âòîðîìó
ôîêóñíèêó. Âòîðîé ôîêóñíèê ïîêàçûâàåò, êàêàÿ èç êàðòî÷åê áûëà äîáàâëåíà çðèòåëåì. Îáúÿñíèòå, êàê ìîæåò áûòü ïîêàçàí
òàêîé ôîêóñ.
Ñåðèÿ 59. Ìÿó.
0. Èçâåñòíî, ÷òî x + x1 = 3. Íàéäèòå x2 + x12 .
1. Ìîæíî ëè íàòóðàëüíûå îò 1 äî 20 ðàçáèòü íà äåñÿòü ïàð òàê, ÷òîáû ðàçíîñòü ÷èñåë â ïåðâîé ïàðå áûëà ðàâíà 1, âî
âòîðîé ïàðå 2, . . ., â äåñÿòîé ïàðå 10?
2. Äîêàæèòå, ÷òî ó ëþáîé ñòåïåíè ÷èñëà 19 ñóììà öèôð íå ìåíüøå 10.
3. Ñóììà íåñêîëüêèõ öåëûõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 6. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà èõ êóáîâ òîæå äåëèòñÿ íà 6.
4.  êëåò÷àòîì êâàäðàòå 100 × 100 çàêðàøåíî 2100 êëåòîê. Íèêàêèå äâå çàêðàøåííûå êëåòêè íå èìåþò îáùåé ñòîðîíû.
Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ íåçàêðàøåííàÿ êëåòêà, ê ñòîðîíàì êîòîðîé ïðèìûêàþò íå ìåíåå äâóõ çàêðàøåííûõ.
5.à) Êëåòêè êâàäðàòà 5×5 ïîêðàøåíû â äâà öâåòà. Äîêàæèòå, ÷òî åñòü 4 êëåòêè îäíîãî öâåòà, íàõîäÿùèåñÿ íà ïåðåñå÷åíèè
äâóõ ñòðî÷åê è äâóõ ñòîëáöîâ.
á) Êëåòêè ïðÿìîóãîëüíèêà 5 × 41 ðàñêðàøåíû â äâà öâåòà. Äîêàæèòå, ÷òî åñòü 3 ñòðîêè è 3 ñòîëáöà, íà ïåðåñå÷åíèè
êîòîðûõ ñòîÿò 9 êëåòîê îäíîãî öâåòà.
6.à) Â ñòðàíå ëþáûå äâà ãîðîäà ñîåäèíåíû äîðîãîé ñ îäíîñòîðîííèì äâèæåíèåì. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî ïðîåõàòü ïî âñåì
ãîðîäàì, ïîáûâàâ â êàæäîì ãîðîäå ðîâíî ïî îäíîìó ðàçó.
á) Íåñêîëüêî êîìàíä ñûãðàëè òóðíèð ïî âîëåéáîëó â îäèí êðóã. Äîêàæèòå, ÷òî èõ ìîæíî çàíóìåðîâàòü òàê, ÷òî ïåðâàÿ
êîìàíäà âûèãðàëà ó âòîðîé, âòîðàÿ ó òðåòüåé è ò.ä.
7. Äîêàæèòå, ÷òî äâà ñîñåäíèå ÷èñëà Ôèáîíà÷÷è âçàèìíî ïðîñòû. (Íàïîìèíàíèå: ×èñëàìè Ôèáîíà÷÷è íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòû ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè : F0 = 1, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 .)
Ñåðèÿ 60. Øûèñÿä.
0. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïåðåñòàâèòü áóêâû â ñëîâå ØÅÑÒÜÄÅÑßÒ?
Îïðåäåëåíèå: Ïàðàëëåëîãðàììîì íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû.
1. Äîêàæèòå, ÷òî äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà äåëÿòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïîïîëàì.
2. Èç ÷èñëà 123456789 âû÷åðêèâàåòñÿ ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî öèôð òàê, ÷òîáû îñòàâøååñÿ ÷èñëî äåëèëîñü íà 8. Êàêîå
÷èñëî îñòàíåòñÿ ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ öèôð?
3. Øàõìàòèñòû â òóðíèðå ñûãðàëè 224 ïàðòèè. Êàæäûå äâîå ñûãðàëè äðóã ñ äðóãîì îäíî è òîæå ÷èñëî ïàðòèé. Ñêîëüêî
âñåãî ìîãëî áûòü øàõìàòèñòîâ?
4.  êëåò÷àòîì êâàäðàòå n × n ïðîâåäåíà ãëàâíàÿ äèàãîíàëü. Ñêîëüêî âñåãî ðàçëè÷íûõ òðåóãîëüíèêîâ, ñòîðîíû êîòîðûõ
èäóò ïî ëèíèÿì ïîëó÷èâøåéñÿ ñåòêè?
5. Íàéäèòå íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èç ðàçëè÷íûõ öèôð, ó êîòîðîãî â ëþáîé ïàðå ñîñåäíèõ öèôð îäíà öèôðà
äåëèòñÿ íà äðóãóþ
6. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ñòî ìèëëèîíîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ öåëûõ ÷èñåë, â êàæäîì èç êîòîðûõ
íå áûëî áû íè îäíîãî íóëÿ?
7. Ãýíäàëüô âûäàë ÷åòâåðûì õîááèòàì êîðîáêó, â êîòîðîé íàõîäèëèñü áóòûëêè êåôèðà òðåõ ñîðòîâ: òåìíîãî, ñâåòëîãî è
áåçàëêîãîëüíîãî. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì êîëè÷åñòâå áóòûëîê â êîðîáêå êàæäûé õîááèò ãàðàíòèðîâàíî ìîæåò âûáðàòü ñåáå
2 áóòûëêè îäíî ñîðòà?
8. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî n ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Åñëè îáà ýòèõ ïðîñòûõ ÷èñëà óâåëè÷èòü íà 1, òî èõ
ïðîèçâåäåíèå óâåëè÷èòñÿ íà 100. ×åìó ðàâíî èñõîäíîå n? Íàéäèòå âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû îòâåòà è äîêàæèòå, ÷òî äðóãèõ
íåò.
9. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, ñóììà öèôð êîòîðûõ ÷åòíà?
Ñåðèÿ 61. Ïîñëåäíÿÿ â 6 êëàññå.
√
√
4√
0. Âû÷èñëèòå: 363 − 367 + √367+
363
1. à) Äîêàæèòå, ÷òî èç êóñêà ïðîâîëîêè äëèíîé 12 íåëüçÿ ñîãíóòü êàðêàñ êóáèêà ñî ñòîðîíîé 1. á) Íà êàêîå íàèìåíüøåå
÷èñëî ÷àñòåé íàäî ðàçðåçàòü ïðîâîëîêó, ÷òîáû ýòî ñòàëî âîçìîæíûì?
2. à) Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ x2 + 5 ïðè âåùåñòâåííîì x. á) Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
2
x + 2x + 5 ïðè âåùåñòâåííîì x.
3. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîé ñâÿçíûé ãðàô ìîæíî îáîéòè, ïðîõîäÿ ïî êàæäîìó ðåáðó ðîâíî äâà ðàçà.
4. Íà øàõìàòíîé äîñêå 8 × 8 ñòîÿò 20 ëàäåé, êîòîðûå áüþò âñå ïîëÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî îñòàâèòü 8 èç íèõ òàê, ÷òîáû
îíè ïî-ïðåæíåìó áèëè âñå ïîëÿ.
5. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 11...122...2 (100 åäèíèö, 100 äâîåê) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
6. à) Ó Âàñè â ðóêàõ 10 êàðòî÷åê, íà êàæäîé èç êîòîðûõ íàïèñàíî ÷èñëî 1 èëè -1. Ïåòÿ ìîæåò âûáðàòü ëþáûå òðè
êàðòî÷êè è ñïðîñèòü, ÷åìó ðàâíî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë íà íèõ. Çà êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî âîïðîñîâ îí íàâåðíÿêà ñìîæåò
óçíàòü ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë íà âñåõ êàðòî÷êàõ?
á) À åñëè ó Âàñè 11 êàðòî÷åê?
7. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî n íå äåëèòñÿ íà 101. Äîêàæèòå, ÷òî n50 + 1 èëè n50 − 1 äåëèòñÿ íà 101.
