XXX Турнир городов
реклама
Ë ÈÌ ÌÏ ÏÈ ÄÛ Î ËÎ È ÈÀ À ÄÛ XXX Òóðíèð ãîðîäîâ Çàäà÷è âåñåííåãî òóðà "' ÁÀÇÎÂÛÉ ÂÀÐÈÀÍÒ íèÿ ìåäèàí ïðîòèâîïîëîæíîé ãðàíè. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðå ïîëó÷åííûå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ñ.Ìàðêåëîâ 89 êëàññû ÑËÎÆÍÛÉ ÂÀÐÈÀÍÒ 2 1 (3)1.  âûïóêëîì 2009-óãîëüíèêå ïðîâåäåíû âñå äèàãîíàëè. Ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò 2009-óãîëüíèê, íî íå ïðîõîäèò ÷åðåç åãî âåðøèíû. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò ÷åòíîå ÷èñëî äèàãîíàëåé. Ã.Ãàëüïåðèí 89 êëàññû 2 (4). Ñì. çàäà÷ó Ì2131 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 3 (4). Âîëîäÿ õî÷åò ñäåëàòü íàáîð êóáèêîâ îäíîãî ðàçìåðà è íàïèñàòü íà êàæäîé ãðàíè êàæäîãî êóáèêà ïî îäíîé öèôðå òàê, ÷òîáû ìîæíî áûëî èç ýòèõ êóáèêîâ âûëîæèòü ëþáîå 30çíà÷íîå ÷èñëî. Êàêîãî íàèìåíüøåãî êîëè÷åñòâà êóáèêîâ åìó äëÿ ýòîãî õâàòèò? (Öèôðû 6 è 9 ïðè ïåðåâîðà÷èâàíèè íå ïðåâðàùàþòñÿ äðóã â äðóãà.) Â.Çàìÿòèí 4 (4). Íàòóðàëüíîå ÷èñëî óâåëè÷èëè íà 10% è ñíîâà ïîëó÷èëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ìîãëà ëè ïðè ýòîì ñóììà öèôð óìåíüøèòüñÿ ðîâíî íà 10%? À.Øàïîâàëîâ 5 (5).  ðîìáå ABCD óãîë À ðàâåí 120°. Íà ñòîðîíàõ BC è CD âçÿòû òî÷êè M è N òàê, ÷òî óãîë NAM ðàâåí 30°. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà NAM, ëåæèò íà äèàãîíàëè ðîìáà. Ð.Æåíîäàðîâ 1011 êëàññû 1 (3). Ñì. çàäà÷ó Ì2131 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 2 (4). Ñì. çàäà÷ó Ì2132 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 3. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n îáîçíà÷èì ÷åðåç O ( n) åãî íàèáîëüøèé íå÷åòíûé äåëèòåëü. Äàíû ïðîèçâîëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà x1 = à è x2 = b. Ïîñòðîèì áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïî ïðàâèëó: xn = O ( xn -1 + xn - 2 ) , ãäå n = 3, 4, ... à) (2) Äîêàæèòå, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìåñòà, âñå ÷èñëà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäóò ðàâíû îäíîìó è òîìó æå ÷èñëó. á) (2) Êàê íàéòè ýòî ÷èñëî, çíàÿ ÷èñëà a è b? Ã.Ãàëüïåðèí 4 (4).  ðÿä âûïèñàíû íåñêîëüêî íóëåé è åäèíèö. Ðàññìîòðèì ïàðû öèôð â ýòîì ðÿäó (íå òîëüêî ñîñåäíèõ), ãäå ëåâàÿ öèôðà ðàâíà 1, à ïðàâàÿ 0. Ïóñòü ñðåäè ýòèõ ïàð ðîâíî M òàêèõ, ÷òî ìåæäó åäèíèöåé è íóëåì ýòîé ïàðû ñòîèò ÷åòíîå ÷èñëî öèôð (âîçìîæíî, íè îäíîé), è ðîâíî N òàêèõ, ÷òî ìåæäó åäèíèöåé è íóëåì ýòîé ïàðû ñòîèò íå÷åòíîå ÷èñëî öèôð. Äîêàæèòå, ÷òî M ≥ N . Â.ßñèíñêèé 5 (4). Âíóòðè íåêîòîðîãî òåòðàýäðà âçÿëè ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó X. ×åðåç êàæäóþ âåðøèíó òåòðàýäðà ïðîâåëè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îòðåçêó, ñîåäèíÿþùåìó X ñ òî÷êîé ïåðåñå÷å1 Çäåñü è äàëåå â ñêîáêàõ ïîñëå íîìåðà êàæäîé çàäà÷è óêàçàíî ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî áàëëîâ, ïðèñóæäàâøèõñÿ çà åå ðåøåíèå. 49-58.p65 49 1 (3). Âàñÿ è Ïåòÿ èãðàþò â ñëåäóþùóþ èãðó. Íà äîñêå íàïèñàíû äâà ÷èñëà: 1/2009 è 1/2008. Íà êàæäîì õîäó Âàñÿ íàçûâàåò ëþáîå ÷èñëî x, à Ïåòÿ óâåëè÷èâàåò îäíî èç ÷èñåë íà äîñêå (êàêîå çàõî÷åò) íà x. Âàñÿ âûèãðûâàåò, åñëè â êàêîé-òî ìîìåíò îäíî èç ÷èñåë íà äîñêå ñòàíåò ðàâíûì 1. Ñìîæåò ëè Âàñÿ âûèãðàòü, êàê áû íè äåéñòâîâàë Ïåòÿ? Ä.Áàðàíîâ 2. à) (2) Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ìíîãîóãîëüíèê, êîòîðûé ìîæíî ðàçäåëèòü îòðåçêîì íà äâå ðàâíûå ÷àñòè òàê, ÷òî ýòîò îòðåçîê ðàçäåëèò îäíó èç ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà ïîïîëàì, à äðóãóþ â îòíîøåíèè 1 : 2. á) (3) Íàéäåòñÿ ëè âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê ñ òàêèì ñâîéñòâîì? Ñ.Ìàðêåëîâ 3 (5).  êàæäîé êëåòêå êâàäðàòà 101 ¥ 101 , êðîìå öåíòðàëüíîé, ñòîèò îäèí èç äâóõ çíàêîâ: «ïîâîðîò» èëè «ïðÿìî». Øàõìàòíàÿ ôèãóðà «ìàøèíà» ìîæåò âúåõàòü èçâíå â ëþáóþ êëåòêó íà ãðàíèöå êâàäðàòà (ïîä ïðÿìûì óãëîì ê ãðàíèöå). Åñëè ìàøèíà ïîïàäàåò â êëåòêó ñî çíàêîì «ïðÿìî», òî îíà ïðîäîëæàåò åõàòü â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è åõàëà. Åñëè ïîïàäàåò â êëåòêó ñî çíàêîì «ïîâîðîò», òî ïîâîðà÷èâàåò íà 90° â ëþáóþ ñòîðîíó ïî ñâîåìó âûáîðó. Öåíòðàëüíóþ êëåòêó êâàäðàòà çàíèìàåò äîì. Ìîæíî ëè òàê ðàññòàâèòü çíàêè, ÷òîáû ìàøèíà íå ìîãëà ïîïàñòü â äîì? À.×åáîòàð¸â 4 (5). Äàíà áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé ÷ëåí ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (êðîìå ïåðâîãî) ëèáî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå, ëèáî ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå äâóõ ñîñåäíèõ ñ íèì ÷ëåíîâ. Îáÿçàòåëüíî ëè âñå ÷ëåíû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, òîëüêî ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå ëèáî òîëüêî ñðåäíèå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîèõ ñîñåäåé? À.Ïåðåïå÷êî 5 (6). Ñì. çàäà÷ó Ì2133 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 6 (7). Óãîë B ïðè âåðøèíå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC ðàâåí 120° (ðèñ.1) Èç âåðøèíû B âûïóñòèëè âíóòðü òðåóãîëüíèêà äâà ëó÷à ïîä óãëîì 60° äðóã ê äðóãó, êîòîðûå, îòðàçèâøèñü îò îñíîâàíèÿ AC (ïî çàêîíó «óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ»), ïîïàëè íà áîêî- Ðèñ. 1 âûå ñòîðîíû.  ðåçóëü2  Òóðíèðå ãîðîäîâ ñëîæíûé âàðèàíò âåñåííåãî òóðà íàçíà÷àåòñÿ íà òîò æå äåíü, êîãäà ïðîõîäèò Ìîñêîâñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà, ïîýòîìó â Ìîñêâå âåñåííèé òóð òóðíèðà (ñëîæíûé âàðèàíò) íå ïðîâîäèòñÿ. Òàêàÿ ñèñòåìà ñëîæèëàñü ïîòîìó, ÷òî ñàì Òóðíèð ãîðîäîâ çàìûøëÿëñÿ êàê ðàñïðîñòðàíåíèå Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû ïî äðóãèì ãîðîäàì. Ïîñêîëüêó îáà ñîðåâíîâàíèÿ ïðîõîäÿò â îäèí äåíü, æþðè èìåþò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü íåêîòîðûå çàäà÷è è äëÿ òóðíèðà, è äëÿ îëèìïèàäû. 29.07.09, 18:08 # ÊÂÀÍT 2009/¹4 òàòå èñõîäíûé òðåóãîëüíèê ðàçäåëèëñÿ íà 5 ìåíüøèõ òðåóãîëüíèêîâ. Ðàññìîòðèì òå òðè èç íèõ, êîòîðûå ïðèìûêàþò ê ñòîðîíå AC. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ñðåäíåãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé êðàéíèõ òðåóãîëüíèêîâ. Â.Ïðîèçâîëîâ 7 (9). Ñì. çàäà÷ó Ì2136 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 1011 êëàññû 1 (4). Ïðÿìîóãîëüíèê ðàçáèëè íà íåñêîëüêî ìåíüøèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ìîãëî ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîé ïàðû ïîëó÷åííûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé èõ öåíòðû, ïåðåñåêàåò åùå êàêîé-íèáóäü ïðÿìîóãîëüíèê? Ì.Ìóðàøêèí 2 (4). Ñì. çàäà÷ó 4 äëÿ 89 êëàññîâ. 3 (6). Íà êàæäîé êëåòêå äîñêè 10 ¥ 10 ñòîèò ôèøêà. Ðàçðåøàåòñÿ âûáðàòü äèàãîíàëü, íà êîòîðîé ñòîèò ÷åòíîå ÷èñëî ôèøåê, è ñíÿòü ñ íåå ëþáóþ ôèøêó. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ôèøåê ìîæíî óáðàòü ñ äîñêè òàêèìè îïåðàöèÿìè? Ì.Ìóðàøêèí 4 (6). Ñì. çàäà÷ó Ì2134 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 5 (8). Ñì. çàäà÷ó Ì2136 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 6 (9). Äàíî öåëîå ÷èñëî n > 1. Äâîå ïî î÷åðåäè îòìå÷àþò òî÷êè íà îêðóæíîñòè: ïåðâûé êðàñíûì öâåòîì, âòîðîé ñèíèì. Êîãäà îòìå÷åíî ïî n òî÷åê êàæäîãî öâåòà, èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ. Çàòåì êàæäûé èãðîê íàõîäèò íà îêðóæíîñòè äóãó íàèáîëüøåé äëèíû ñ êîíöàìè ñâîåãî öâåòà, íà êîòîðîé áîëüøå íåò îòìå÷åííûõ òî÷åê. Ó êîãî äëèíà äóãè áîëüøå òîò âûèãðàë (â ñëó÷àå ðàâåíñòâà äëèí äóã, à òàêæå ïðè îòñóòñòâèè òàêèõ äóã ó îáîèõ èãðîêîâ íè÷üÿ). Êòî èç èãðàþùèõ ìîæåò âñåãäà âûèãðûâàòü, êàê áû íè èãðàë ïðîòèâíèê? À.Øàïîâàëîâ 7 (9). Ñì. çàäà÷ó Ì2138 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». ÓÑÒÍÛÉ ÒÓÐ ÄËß 11 ÊËÀÑÑÀ 1. Íà äîñêå íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, , 100. Ðàçðåøàåòñÿ ñòåðåòü äâà ÷èñëà è íàïèñàòü âìåñòî íèõ èõ ñóììó èëè èõ ïðîèçâåäåíèå. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ìîæåò îñòàòüñÿ íà äîñêå ïîñëå 99 òàêèõ îïåðàöèé? È.Áîãäàíîâ 2. Õðîìàÿ ëàäüÿ îáîøëà ÷àñòü øàõìàòíîé äîñêè, íà÷àâ ñâîé ïóòü íà êëåòêå d4 (ðèñ. 2). Èçâåñòíî, ÷òî íè íà êàêîé êëåòêå îíà íå áûëà äâàæäû, ïîñåòèëà âñå ÷åòûðå óãëà äîñêè, ïðè÷åì íà êëåòêó a1 îíà ïîïàëà ñ êëåòêè a2, íà êëåòêó a8 îíà ïîïàëà ñ êëåòêè a7 è íà êëåòêó h8 îíà ïîïàëà ñ êëåòêè h7. Ñ êàêîé êëåòêè îíà ïîïàëà íà êëåòêó h1? (Õðîìàÿ ëàäüÿ õîäèò ïî âåðòèêàëè è ãîðèçîíòàëè íà 1 êëåòêó). À.Òîëïûãî Ðèñ. 2 3. Äàíû n öâåòîâ ñ íîìåðàìè îò 1 äî n. Äëÿ êàæäîãî k îò 1 äî n ïóñòü fk ( n) îáîçíà÷àåò êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ îêðàñèòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî n â ïåðâûå k öâåòîâ (êàæäûé èç ýòèõ öâåòîâ äîëæåí ïðèñóòñòâîâàòü). Äîêàæèòå, ÷òî f1 ( n ) - f2 ( n ) + f3 ( n ) - f4 ( n ) + f5 ( n ) - f6 ( n ) + … = 1 . (Ðàñêðàñêè, îòëè÷àþùèåñÿ ïåðåñòàíîâêîé öâåòîâ, ñ÷èòàþòñÿ ðàçíûìè. Íàïðèìåð, f1 (2) = 1 è f2 (2) = 2 .) Ì.Áåðøòåéí, Ã.Ìåðçîí 4. Ñôåðà êàñàåòñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà ABCD, êðîìå ðåáðà CD. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñôåðà, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ âñåõ ðåáåð ýòîãî òåòðàýäðà, êðîìå ðåáðà AB. Â.Ïðîèçâîëîâ 5. Äàí ìíîãî÷ëåí P ( x ) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n íàéäåòñÿ Ê 1ˆ 1 òàêîå íàòóðàëüíîå k, ÷òî P Á ˜ = . Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ Ë n¯ k òàêèå ÷èñëà c è m, ÷òî P ( x ) = cxm . Ñ.Ñïèðèäîíîâ 6. Äâóì ðàçóìíûì ìóðàâüÿì çàðàíåå îáúÿâèëè, ÷òî èõ íî÷üþ âûñàäÿò îäíîâðåìåííî â äâå âåðøèíû íàõîäÿùåãîñÿ â íåâåñîìîñòè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 1 ¥ 1 ¥ 2 ì . Ìóðàâüè ïîëçàþò òîëüêî ïî ðåáðàì, èõ ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü 1 ì/ìèí. Ìîãóò ëè îíè äîãîâîðèòüñÿ äåéñòâîâàòü òàê, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàííî âñòðåòèòüñÿ ðàíåå ÷åì ÷åðåç 9 ìèíóò ïîñëå âûñàäêè? (Ìóðàâåé çíàåò, ñêîëüêî îí ïðîïîëç.) À.Øàïîâàëîâ Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Ñ.Äîðè÷åíêî Èçáðàííûå çàäà÷è LXXII Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû 1. Ó 2009 ãîäà åñòü òàêîå ñâîéñòâî: ìåíÿÿ ìåñòàìè öèôðû ÷èñëà 2009, íåëüçÿ ïîëó÷èòü ìåíüøåå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî (ñ íóëÿ ÷èñëà íå íà÷èíàþòñÿ).  êàêîì ãîäó ýòî ñâîéñòâî âïåðâûå ïîâòîðèòñÿ ñíîâà? (6) È.Ðàñêèíà  ñêîáêàõ ïîñëå òåêñòà êàæäîé çàäà÷è óêàçàí êëàññ, â êîòîðîì îíà ïðåäëàãàëàñü. 49-58.p65 50 2. Ðàçðåæüòå ôèãóðó íà ðèñóíêå 1 íà 8 îäèíàêîâûõ ÷àñòåé. (6) Ôîëüêëîð 3.  ïàðêå ðîñëè ëèïû è êëåíû. Êëåíîâ ñðåäè íèõ áûëî 60%. Âåñíîé â ïàðêå ïîñàäèëè ëèïû, ïîñëå ÷åãî êëåíîâ ñòàëî 20%. À îñåíüþ ïîñàäèëè êëåíû, è êëå- 29.07.09, 18:08 Ðèñ. 1 # ÎËÈÌÏÈÀÄÛ íîâ ñòàëî ñíîâà 60%. Âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èëîñü êîëè÷åñòâî äåðåâüåâ â ïàðêå çà ãîä? (6) Ä.Øíîëü 4. Ëþáîçíàòåëüíûé òóðèñò õî÷åò ïðîãóëÿòüñÿ ïî óëèöàì Ñòàðîãî ãîðîäà îò âîêçàëà (òî÷êà A íà ïëàíå; ðèñ.2) äî ñâîåãî îòåëÿ (òî÷êà B). Òóðèñò õî÷åò, ÷òîáû åãî ìàðøðóò áûë êàê ìîæíî äëèíÐèñ. 2 íåå, íî äâàæäû îêàçûâàòüñÿ íà îäíîì è òîì æå ïåðåêðåñòêå åìó íåèíòåðåñíî, è îí òàê íå äåëàåò. Íàðèñóéòå íà ïëàíå ñàìûé äëèííûé âîçìîæíûé ìàðøðóò è äîêàæèòå, ÷òî áîëåå äëèííîãî íåò. (6) È.ßùåíêî 5. Ïåòÿ è Âàñÿ æèâóò â ñîñåäíèõ äîìàõ (ñì. ïëàí íà ðèñ. 3). Âàñÿ æèâåò â ÷åòâåðòîì ïîäúåçäå. Èçâåñòíî, ÷òî Ïåòå, ÷òîáû äîáåæàòü äî Âàñè êðàò÷àéøèì ïóòåì (íå îáÿçàòåëüíî èäóùèì ïî ñòîðîíàì êëåòîê), áåçðàçëè÷íî, ñ êàêîé ñòîðîíû îáåãàòü ñâîé äîì. Îïðåäåëèòå, â êàêîì ïîäúåçäå æèâåò Ïåòÿ. (7) À.Õà÷àòóðÿí 6. Ó ïîäâîäíîãî öàðÿ ñëóæàò îñüìèíîãè ñ øåñòüþ, ñåìüþ èëè âîñåìüþ íîãàìè. Òå, ó êîãî Ðèñ. 3 7 íîã, âñåãäà ëãóò, à ó êîãî 6 èëè 8 íîã, âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó. Âñòðåòèëèñü ÷åòûðå îñüìèíîãà. Ñèíèé ñêàçàë: «Âìåñòå ó íàñ 28 íîã», çåëåíûé: «Âìåñòå ó íàñ 27 íîã», æåëòûé: «Âìåñòå ó íàñ 26 íîã», êðàñíûé: «Âìåñòå ó íàñ 25 íîã». Ó êîãî ñêîëüêî íîã? (7) Ä.Øíîëü 7. Ñêóïîé ðûöàðü õðàíèò çîëîòûå ìîíåòû â 77 ñóíäóêàõ. Îäíàæäû, ïåðåñ÷èòûâàÿ èõ, îí çàìåòèë, ÷òî åñëè îòêðûòü ëþáûå äâà ñóíäóêà, òî ìîæíî ðàçëîæèòü ëåæàùèå â íèõ ìîíåòû ïîðîâíó ïî ýòèì äâóì ñóíäóêàì. Ïîòîì îí çàìåòèë, ÷òî åñëè îòêðûòü ëþáûå 3, èëè ëþáûå 4, ..., èëè ëþáûå 76 ñóíäóêîâ, òî òîæå ìîæíî òàê ïåðåëîæèòü ëåæàùèå â íèõ ìîíåòû, ÷òî âî âñåõ îòêðûòûõ ñóíäóêàõ ñòàíåò ïîðîâíó ìîíåò. Òóò åìó ïî÷óäèëñÿ ñòóê â äâåðü, è ñòàðûé ñêðÿãà íå óñïåë ïðîâåðèòü, ìîæíî ëè ðàçëîæèòü âñå ìîíåòû ïîðîâíó ïî âñåì 77 ñóíäóêàì. Ìîæíî ëè, íå çàãëÿäûâàÿ â ñóíäóêè, äàòü òî÷íûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ? (7) È.Ðàñêèíà 8. Íà÷åðòèòå äâà ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â óçëàõ ñåòêè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñëîæèòü à) êàê òðåóãîëüíèê, òàê è ïÿòèóãîëüíèê; á) è òðåóãîëüíèê, è ÷åòûðåõóãîëüíèê, è ïÿòèóãîëüíèê. Ïîêàæèòå, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü. (7) Ä.Øíîëü 9. Íà äîñêå íàïèñàíî:  ýòîì ïðåäëîæåíèè ...% öèôð äåëÿòñÿ íà 2, ...% öèôð äåëÿòñÿ íà 3, à ...% öèôð äåëÿòñÿ è íà 2, è íà 3. Âñòàâüòå âìåñòî ìíîãîòî÷èé êàêèå-íèáóäü öåëûå ÷èñëà òàê, ÷òîáû íàïèñàííîå íà äîñêå óòâåðæäåíèå ñòàëî âåðíûì. (8) À.Øàïîâàëîâ 10. Íà ãèïîòåíóçå AB ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC âûáðàíà òî÷êà K, äëÿ êîòîðîé CK = BC. Îòðåçîê CK 49-58.p65 51 ïåðåñåêàåò áèññåêòðèñó AL â åå ñåðåäèíå. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà ABC. (8) È.Áîãäàíîâ 11. Èçâåñòíî, ÷òî êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ax2 + bx + c = 0 è bx2 + cx + a = 0 (a, b è c îòëè÷íûå îò íóëÿ ÷èñëà) èìåþò îáùèé êîðåíü. Íàéäèòå åãî. (8) Â.Êëåïöûí 12. Äâå òî÷êè íà ïëîñêîñòè íåñëîæíî ñîåäèíèòü òðåìÿ ëîìàíûìè òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü äâà ðàâíûõ ìíîãîóãîëüíèêà (íàïðèìåð, êàê íà ðèñ.4). Ñîåäèíèòå äâå òî÷êè ÷åòûðüìÿ ëîìàíûìè òàê, ÷òîáû âñå òðè ïîëó÷èâøèõñÿ ìíîãîóãîëüíèêà áûëè ðàâíû. (Ëîìàíûå íåñàìîïåðåñåêàþùèåñÿ è íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, êðîìå êîíöîâ.) (8) Ñ.Ìàðêåëîâ 13. Äâîå èãðàþùèõ ïî î÷åðåäè Ðèñ. 4 ïèøóò êàæäûé íà ñâîåé ïîëîâèíå äîñêè ïî îäíîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó (ïîâòîðåíèÿ ðàçðåøàþòñÿ) òàê, ÷òîáû ñóììà âñåõ ÷èñåë íà äîñêå íå ïðåâîñõîäèëà 10000. Ïîñëå òîãî, êàê ñóììà âñåõ ÷èñåë íà äîñêå ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé 10000, èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ ïîäñ÷åòîì ñóììû âñåõ öèôð íà êàæäîé ïîëîâèíå. Âûèãðûâàåò òîò, íà ÷üåé ïîëîâèíå ñóììà öèôð ìåíüøå (ïðè ðàâíûõ ñóììàõ íè÷üÿ). Ìîæåò ëè êòî-íèáóäü èç èãðîêîâ âûèãðàòü, êàê áû íè èãðàë ïðîòèâíèê? (8) À.Øàïîâàëîâ k 14. Ïîñëå óðîêà íà äîñêå îñòàëñÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = x è ïÿòü ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîé y = kx ( k π 0 ). Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå àáñöèññ âñåõ äåñÿòè òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ. (9) À.Áëèíêîâ 15. Íà êîëüöî ñâîáîäíî íàíèçàíî 2009 áóñèíîê. Çà îäèí õîä ëþáóþ áóñèíêó ìîæíî ïåðåäâèíóòü òàê, ÷òîáû îíà îêàçàëàñü ðîâíî ïîñåðåäèíå ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè. Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå èçíà÷àëüíàÿ ðàññòàíîâêà áóñèíîê è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õîäîâ, ïðè êîòîðûõ êàêàÿ-òî áóñèíêà ïðîéäåò õîòÿ áû îäèí ïîëíûé êðóã? (10) È.Øàíèí 16. Ñòîðîíû BC è AC òðåóãîëüíèêà ABC êàñàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé â òî÷êàõ A1 , B1 . Ïóñòü A2 , B2 îðòîöåíòðû òðåóãîëüíèêîâ CAA1 è CBB1 . Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ A2 B2 ïåðïåíäèêóëÿðíà áèññåêòðèñå óãëà C. (10) À.Çàñëàâñêèé 17. Íà ïëîñêîñòè äàíû îñè êîîðäèíàò ñ îäèíàêîâûì, íî íå îáîçíà÷åííûì ìàñøòàáîì è ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x , x Œ (0; α) . Êàê ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ïîñòðîèòü êàñàòåëüíóþ ê ýòîìó ãðàôèêó â çàäàííîé åãî òî÷êå, åñëè: Ê πˆ Êπ ˆ à) α Œ Á ; π˜ ; á) α Œ Á 0; ˜ ? (11) Ë 2¯ Ë2 ¯ À.Ãàëî÷êèí 18. ×åðåç êàæäóþ âåðøèíó ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè. Òðè èç ýòèõ ïðÿìûõ îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ äåëèò ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà íà äâå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè. 29.07.09, 18:08 # ÊÂÀÍT 2009/¹4 a) Äîêàæèòå, ÷òî è ÷åòâåðòàÿ ïðÿìàÿ îáëàäàåò òåì æå ñâîéñòâîì. á) Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü óãëû ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, åñëè îäèí èç íèõ ðàâåí 72°? (11) À.Êàíóííèêîâ 19. Äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî p íàéäèòå íàèáîëüøóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü ÷èñëà p!, íà êîòîðóþ äåëèòñÿ ÷èñëî ( p2 )!. (11) À.Êàíóííèêîâ 20. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè ñòà «äâóçíà÷íûõ» ÷èñåë 00, 01, ..., 99 íà äâå ãðóïïû íåêîòîðûå ÷èñëà õîòÿ áû îäíîé ãðóïïû ìîæíî çàïèñàòü â ðÿä òàê, ÷òîáû ëþáûå äâà ñîñåäíèõ ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà íà 1, 10 èëè 11, è õîòÿ áû â îäíîì èç äâóõ ðàçðÿäîâ (åäèíèö èëè äåñÿòêîâ) âñòðå÷àëèñü âñå 10 ðàçëè÷íûõ öèôð. (11) Î.Êîñóõèí Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Ñ.Äîðè÷åíêî Èçáðàííûå çàäà÷è Ìîñêîâñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû ÏÅÐÂÛÉ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ 7 êëàññ 1. Äâà äðóãà Åãîð è Ïåòÿ óñòðîèëè ãîíêè íà âåëîñèïåäàõ âîêðóã êâàðòàëà â äà÷íîì ïîñåëêå (ðèñ.1). Ñòàðòîâàâ îäíîâðåìåííî èç òî÷êè  â ðàçíûå ñòîðîíû, Åãîð âäîëü óëèöû ÂÀ, Ïåòÿ âäîëü óëèö ÂÑ è ÑÀ, äðóçüÿ âñòðåòèëèñü ÷åðåç 4 ìèíóòû â òî÷êå À è ïðîäîëæèëè ãîíêè ñ ïîñòîÿííûìè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòÿìè, îáúåçæàÿ êâàðòàë ðàç çà ðàçîì â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. ×åðåç êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ïîñëå ïåðâîé âñòðå÷è îíè ñíîâà îêàæóòñÿ âìåñòå â òî÷êå À? Ì.Ñåìåíîâ 2.  ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 2, ìàññà ñàìîãî ïðàâîãî ãðóçà ðàâíà m4 = 1 êã , à ìàññû âñåõ áëîêîâ îäèíàêîâû è ðàâíû m0 = 300 ã . Ñèñòåìà óðàâíîâåøåíà è íåïîäâèæíà. Íàéäèòå ìàññû ãðóçîâ m1 , m2 è m3 . Ìàññîé òðîñà è òðåíèåì â áëîêàõ ïðåíåáðå÷ü. Ì.Ðîìàøêà Ðèñ. 1 Ðèñ. 2 3. Ïÿòèäåñÿòèìåòðîâûé áàññåéí øèðèíîé 20 ì èìååò ïðîôèëü äíà, ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå 3: ÷åðåç êàæäûå 12,5 ì ãëóáèíà áàññåéíà óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1 ì. Ïóñòîé áàññåéí íà÷èíàþò çàïîëíÿòü âîäîé, íàëèâàÿ åå ñî Ðèñ. 3 49-58.p65 52 ñêîðîñòüþ 1000 ëèòðîâ â ìèíóòó. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè âûñîòû h óðîâíÿ âîäû íàä ñàìîé ãëóáîêîé ÷àñòüþ äíà áàññåéíà îò âðåìåíè t è îïðåäåëèòå, ÷åðåç êàêîå âðåìÿ áàññåéí çàïîëíèòñÿ âîäîé äîâåðõó. Ì.Ñåìåíîâ 4. Ó øêîëüíèêà Àíäðåÿ åñòü ñòåêëÿííàÿ ïðîáèðêà ìàññîé M = 80 ã è âìåñòèìîñòüþ V = 60 ìë. Îí îïóñòèë ïðîáèðêó â öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ âîäîé è ïîñòåïåííî íàñûïàë íà äíî ïðîáèðêè ïåñîê äî òåõ ïîð, ïîêà îíà íå ïîãðóçèëàñü â âîäó ïî ãîðëûøêî (ðèñ.4). Çàòåì Àíäðåé èçìåðèë ìàññó ïåñêà, íàõîäèâøåãîñÿ â ïðîáèðêå â ýòîò ìîìåíò, è îíà îêàçàëàñü ðàâíîé m = 12 ã. Âíóòðåííèé ðàäèóñ ñîñóäà, â êîòîðûé îïóùåíà ïðî- Ðèñ. 4 áèðêà, ðàâåí R = 5 ñì. Ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1 ã ñì3 . Îïðåäåëèòå ïî ýòèì äàííûì ïëîòíîñòü ñòåêëà ïðîáèðêè è âû÷èñëèòå, íà ñêîëüêî ïîäíÿëñÿ óðîâåíü âîäû â ñîñóäå â ðåçóëüòàòå ïîãðóæåíèÿ ïðîáèðêè â âîäó. Ì.Ðîìàøêà 8 êëàññ 1. Òàê íàçûâàåìûé «êèòàéñêèé âîðîò» ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâà öèëèíäðè÷åñêèõ âàëà ðàäèóñàìè r è R, íàñàæåííûõ íà îáùóþ îñü, çàêðåïëåííóþ ãîðèçîíòàëüíî (ðèñ.5; âèä ñáîêó). Íà âàëû â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ íàìîòàíà âåðåâêà, íà êîòîðîé âèñèò ïîäâèæíûé áëîê òàêîãî ðàäèóñà, ÷òî ñâîáîäíûå ó÷àñòêè âåðåâêè ïðàêòè÷åñêè âåðòèêàëüíû. Ê îñè áëîêà ïðèêðåïëåí ãðóç ìàññîé m. Âîðîò ñíàáæåí ðó÷êîé, êîíåö êîòîðîé íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 2R îò îñè âîðîòà. 1) Âîðîò âðàùàþò çà ðó÷êó òàê, ÷òî îí äåëàåò n îáîðîòîâ â ñåêóíäó. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïðè ýòîì äâèæåòñÿ ãðóç, åñëè âåðåâêà íèãäå íå ïðîñêàëüçûâàåò? 2) Êàêóþ ñèëó íåîáõîäèìî ïðèêëàÐèñ. 5 äûâàòü ê êîíöó ðó÷êè âîðîòà äëÿ 29.07.09, 18:08 #! ÎËÈÌÏÈÀÄÛ òîãî, ÷òîáû ðàâíîìåðíî ïîäíèìàòü ãðóç, åñëè âåðåâêà è áëîê î÷åíü ëåãêèå, à òðåíèÿ íåò? À.ßêóòà 2. Íàðèñóéòå ñõåìó, ñîñòîÿùóþ èç áàòàðåéêè, äâóõ ïåðåêëþ÷àòåëåé è òðåõ ëàìïî÷åê (ðèñ.6) è èìåþùóþ ïðè ðàçëè÷íûõ ïîëîæåíèÿõ ïåðåêëþ÷àòåëåé ñëåäóþùèå ðåæèìû ðàáîòû: 1) ãîðèò ïåðâàÿ ëàìïà; 2) ãîðèò âòîðàÿ ëàìïà; 3) ãîðèò òðåòüÿ ëàìïà; 4) ãîðÿò âñå òðè ëàìïû.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå êàæäàÿ èç ëàìï äîëæíà ãîðåòü òàê æå ÿðêî, êàê è òîãäà, êîãäà îíà ãîðèò îäíà. Ðèñ. 6 Ä.Õàðàáàäçå 9 êëàññ 1. Ðåçèñòîðû ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 = 10 Îì, R2 = 20 Îì, R3 = 40 Îì è R4 = 80 Îì ïðèïàÿíû ê êëåììàì A, B, C, D è E òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 7. Èìååòñÿ èñòî÷íèê òîêà ñ ÝÄÑ - = 12  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 5 Îì, à òàêæå ìíîãî ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ìàëîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî ïîäêëþ÷àòü ê èñòî÷íèêó è ê ëþáîé Ðèñ. 7 èç êëåìì. Êàê íóæíî ñîåäèíèòü èñòî÷íèê è ðåçèñòîðû, ÷òîáû îáùàÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ íà ðåçèñòîðàõ, áûëà ìàêñèìàëüíîé? ×åìó ðàâíà ýòà ìîùíîñòü? Ì.Ðîìàøêà 2. Ïàëêà, ñòîÿùàÿ âåðòèêàëüíî íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîùàäêå, îñâåùàåìîé ñîëíå÷íûì ñâåòîì, èìååò âûñîòó h = 1,2 ì è îòáðàñûâàåò òåíü äëèíîé L = 0,9 ì. Ïàëêó íà÷èíàþò ìåäëåííî íàêëîíÿòü â íàïðàâëåíèè îòáðàñûâàåìîé åþ òåíè òàê, ÷òî åå íèæíèé êîíåö íå ñäâèãàåòñÿ ñ ìåñòà. Äëèíà òåíè ïðè ýòîì äî îïðåäåëåííîãî ìîìåíòà óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïîòîì íà÷èíàåò óìåíüøàòüñÿ. ×åìó áûëà ðàâíà ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà òåíè îò ïàëêè? Ì.Ðîìàøêà 10 êëàññ 1. Àâòîìîáèëü ñ çàäíèìè âåäóùèìè êîëåñàìè âúåçæàåò ââåðõ ïî ïðÿìîëèíåéíîìó ó÷àñòêó äîðîãè, îáðàçóþùåìó ñ ãîðèçîíòîì óãîë α , è îñòàíàâëèâàåòñÿ. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå ýòîãî âîäèòåëü ðåçêî íàæèìàåò íà ãàç è îäíîâðåìåííî îòïóñêàåò òîðìîç. Ñ êàêèì ìàêñèìàëüíûì óñêîðåíèåì ìîæåò íà÷àòü äâèãàòüñÿ àâòîìîáèëü, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ åãî êîëåñ î äîðîãó µ , à ìîùíîñòü äâèãàòåëÿ äîñòàòî÷íî âåëèêà? Öåíòð òÿæåñòè àâòîìîáèëÿ íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè h îò äîðîãè ïîñåðåäèíå ìåæäó êîëåñàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè ïåðåäíèõ è çàäíèõ êîëåñ 2L. Â.Ïîãîæåâ 2.  öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí îáúåìîì V = 200 ìë è ñå÷åíèåì S = 20 ñì2 , ñòîÿùèé íà ñòîëå è íàõîäÿùèéñÿ ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå tê = 20 ∞C , ïîëîæèëè êóñîê ëüäà ìàññîé m = 100 ã ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 ∞C è íàêðûëè ñòàêàí ïëîòíî ïðèëåãàþùåé êðûøêîé. Îöåíèòå ñèëó, êîòîðàÿ ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû îòîðâàòü êðûøêó îò ñòàêàíà ñðàçó ïîñëå òîãî, êàê ëåä ðàñòàåò. Ñ÷èòàéòå, ÷òî òåïëî ïîñòóïàåò â ñòàêàí òîëüêî ñíèçó, êðûøêó îòðûâàþò ñðàçó ïî âñåìó ïåðèìåòðó, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå pa = 105 Ïà , ïëîòíîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì3 , ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì3 . Þ.Ñòàðîêóðîâ 49-58.p65 53 3. Ïÿòü ñòîðîí ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà îáðàçîâàíû îäèíàêîâûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûìè ïàëî÷êàìè. Ïðè ýòîì â òî÷êå Î, íàõîäÿùåéñÿ â öåíòðå øåñòèóãîëüíèêà, ïîòåíöèàë äàííîé ñèñòåìû çàðÿäîâ ðàâåí ϕ0 , à íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà E0 . Êàêèìè ñòàíóò ïîòåíöèàë ϕ è íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E â òî÷êå Î, åñëè óáðàòü îäíó èç çàðÿæåííûõ ïàëî÷åê? Þ.Ñòàðîêóðîâ, Ì.Ñåìåíîâ 11 êëàññ 1. Îäèí öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ðàäèóñîì R1 óäåðæèâàþò âíóòðè äðóãîãî ñîñóäà ðàäèóñîì R2 òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 8.  äíå ìàëîãî ñîñóäà åñòü îòâåðñòèå ñî âòóëêîé, â êîòîðîå âñòàâëåí äåðåâÿííûé öèëèíäð ðàäèóñîì r è âûñîòîé h = 21 ñì; îí ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ îòíîñèòåëüíî âòóëêè áåç òðåíèÿ òîëüêî ïî âåðòèêàëè.  ìàëûé ñîñóä íàëèòà âîäà äî óðîâíÿ a = 30 ñì, à â áîëüøîé íàëèòî ìàñëî, è ïðè Ðèñ. 8 ýòîì öèëèíäð ïîêîèòñÿ. Ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì3 , ïëîòíîñòü ìàñëà ρì = 790 êã ì3 , ïëîòíîñòü öèëèíäðà ρ = 600 êã ì3 . Êàêàÿ ÷àñòü îáúåìà öèëèíäðà íàõîäèòñÿ â âîäå, à êàêàÿ â ìàñëå? Ïðè êàêîì ñîîòíîøåíèè ìåæäó ρâ , ρì , r, R1 è R2 ðàâíîâåñèå öèëèíäðà áóäåò óñòîé÷èâûì, ò.å. ïðè åãî ñìåùåíèè ââåðõ èëè âíèç áóäóò âîçíèêàòü ñèëû, ñòðåìÿùèåñÿ âåðíóòü åãî îáðàòíî ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ? Ì.Ðîìàøêà 2. Òðè ïðèëåãàþùèå äðóã ê äðóãó ãðàíè êóáèêà çàðÿæåíû ðàâíîìåðíî ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà + σ , à îñòàëüíûå ãðàíè ñ ïëîòíîñòüþ çàðÿäà - σ . Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü E ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â öåíòðå êóáèêà. Ñ.Êðîòîâ ÂÒÎÐÎÉ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ 8 êëàññ 1. Íà ñòîëå ñòîèò öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí ñ âîäîé.  åãî ñåðåäèíó íà÷èíàþò ìåäëåííî íàñûïàòü ìåëêèå ñòåêëÿííûå øàðèêè. Ïðîöåññ íàñûïàíèÿ ïðîäîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî øàðèêîâ íå âûñûïåòñÿ èç ñòàêàíà. Íàðèñóéòå è ïîÿñíèòå, íå ïðîâîäÿ äåòàëüíûõ ðàñ÷åòîâ, ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñóììàðíîé ñèëû F äàâëåíèÿ íà äíî ñòàêàíà îò âåñà p óæå íàñûïàííûõ øàðèêîâ, åñëè âåñ âîäû, çàïîëíÿâøåé ñòàêàí âíà÷àëå ïðèìåðíî íà 3/4 âûñîòû, áûë ðàâåí P, ïëîòíîñòü ñòåêëà ïðèáëèçèòåëüíî â 2,5 ðàçà áîëüøå ïëîòíîñòè âîäû, à òðåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ì.Ñåìåíîâ 2.  òðåõ êàëîðèìåòðàõ íàõîäèòñÿ ïî M = 20 ã âîäû îäíîé è òîé æå òåìïåðàòóðû.  êàëîðèìåòðû ïîãðóæàþò ëüäèíêè, òàêæå èìåþùèå îäèíàêîâûå òåìïåðàòóðû (íî äðóãèå): â ïåðâûé ëüäèíêó ìàññîé m1 = 10 ã, âî âòîðîé ìàññîé m2 = 20 ã, â òðåòèé ìàññîé m3 = 40 ã. Êîãäà â êàëîðèìåòðàõ óñòàíîâèëîñü ðàâíîâåñèå, îêàçàëîñü, ÷òî ìàññà ïåðâîé ëüäèíêè ñòàëà m1¢ = 9 ã, à ìàññà âòîðîé ëüäèíêè îñòàëàñü ïðåæíåé. Êàêîé ñòàëà ìàññà òðåòüåé ëüäèíêè? Î.Øâåäîâ 9 êëàññ 1. Òåëî äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé â îäíîì íàïðàâëåíèè.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè âû÷èñëÿåòñÿ ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü 29.07.09, 18:08 #" ÊÂÀÍT 2009/¹4 äâèæåíèÿ òåëà çà âðåìÿ îò íà÷àëüíîãî äî òåêóùåãî ìîìåíòà. Íà ðèñóíêå 9 ïðèâåäåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè âû÷èñëåííîé òàêèì îáðàçîì ñðåäíåé ñêîðîñòè òåëà vñð îò âðåìåíè t. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ìãíîâåííîé ñêîðîñòè òåëà îò âðåìåíè. Ì.Ðîìàøêà Ðèñ. 9 2.  ñèñòåìå, ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå 10, íåïîäâèæíûé áëîê ïðèêðåïëåí ê ïîòîëêó êîìíàòû, à âñå ãðóçû óäåðæèâàþò íåïîäâèæíûìè òàê, ÷òîáû îòðåçêè ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè, íå ëåæàùèå íà áëîêàõ, áûëè âåðòèêàëüíûìè. Ãðóçû ìàññàìè m2 è m3 ïîäâåøåíû ê îñÿì áëîêîâ íà æåñòêèõ ëåãêèõ ñòåðæíÿõ. Âñå áëîêè ëåãêèå è ìîãóò âðàùàòüñÿ âîêðóã ñâîèõ îñåé áåç òðåíèÿ. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé m2 ïîñëå îäíîâðåìåííîãî îòïóñêàíèÿ âñåõ ãðóçîâ. Â.Ïîãîæåâ 3.  øèðîêîì ñîñóäå ãëóáèíîé 2H íàõîäèòñÿ æèäêîñòü, ïëîòíîñòü ρ êîòîðîé çàâèñèò îò ãëóáèíû x òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 11 (âåëè÷èíà ρ0 Ðèñ. 10 Ðèñ. 11 èçâåñòíà).  ñîñóä àêêóðàòíî îïóñêàþò ïëîñêóþ øàéáó âûñîòîé h < H è ïëîòíîñòüþ ρ1 . Íàéäèòå, íà êàêóþ ãëóáèíó áóäåò ïîãðóæåíî íèæíåå îñíîâàíèå øàéáû ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ åå ðàâíîâåñèÿ. Ñ÷èòàòü, ÷òî îñíîâàíèÿ øàéáû âñå âðåìÿ îñòàþòñÿ ãîðèçîíòàëüíûìè, à ñëîè æèäêîñòè ïðè ïîãðóæåíèè øàéáû íå ïåðåìåøèâàþòñÿ. Å.ßêóòà 10 êëàññ 1. Êàïèòàí êîðàáëÿ çàìåòèë ñòðîãî íà ñåâåðå áåðåãîâîé ìàÿê è ïðèêàçàë äåðæàòü êóðñ íà íåãî.  ýòîò ìîìåíò ðàññòîÿíèå äî áåðåãà ñîñòàâëÿëî s = 30 êì. Êîðàáëü äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî âîäû ñî ñêîðîñòüþ v = 15 êì/÷ è â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè äåðæèò êóðñ íà ìàÿê. Ýêèïàæ íå çíàåò î ïðèñóòñòâèè â ìîðå çàïàäíîãî òå÷åíèÿ, ñêîðîñòü êîòîðîãî âî âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâà è ðàâíà u = 5 êì/÷. Çà êàêîå âðåìÿ êîðàáëü äîïëûâåò äî ìàÿêà? Çà êàêîå âðåìÿ îí äîïëûë áû äî ìàÿêà, äâèãàÿñü ïî êðàò÷àéøåé òðàåêòîðèè? Ì.Ðîìàøêà 2. Íà ðèñóíêå 12 èçîáðàæåí ãðàôèê öèêëè÷åñêîãî ðàâíîâåñíîãî ïðîöåññà, ïðîâîäèìîãî íàä îäíèì ìîëåì èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà. Ïî ãîðèçîíòàëè îòëîæåíà ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ãàçîì ñ ìîìåíòà íà÷àëà ïðîöåññà, ïî âåðòèêàëè îòëîæåíî êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå ãàçîì. Èçîáðàçèòå ãðàôèê ïðîöåññà â (pV)-êîîðäèíàòàõ è îïðåäåëèòå îòíî- 49-58.p65 54 øåíèå ìàêñèìàëüíîé òåìïåðàòóðû ãàçà ê åãî ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóðå. Î.Øâåäîâ 3. Òîíêîå ïðîâîëî÷íîå êîëüöî ðàçîðâàëîñü, êîãäà íàíåñåííûé íà íåãî çàðÿä ïðåâûñèë q1 . Êàêîé çàðÿä ìîæíî íàíåñòè íà âòîðîå êîëüöî, ðàäèóñ êîòîðîãî â n ðàç Ðèñ. 12 áîëüøå, à ïðî÷íîñòü ïðîâîëîêè íà ðàçðûâ â k ðàç âûøå, ÷òîáû âòîðîå êîëüöî íå ðàçîðâàëîñü? Â.Ïîãîæåâ 11 êëàññ 1. Òîíêèé äèñê êàòèòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè áåç ñêîëüæåíèÿ, îïèðàÿñü â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ïî äèàìåòðó ñâîåãî îñíîâàíèÿ íà ãëàäêóþ áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîãî êðóãîâîãî êîíóñà, ñòîÿùåãî íà ýòîé ïëîñêîñòè. Óãîë ïðè âåðøèíå êîíóñà 2α , ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà ðàâåí ðàäèóñó äèñêà (ðèñ.13). Îïðåäåëèòå ñêîðîñòè êðàéíèõ òî÷åê ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà äèñêà, åñëè åãî öåíòð äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. Åñòü ëè íà äèñêå òî÷êè, äâèæóùèåñÿ ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ, ÷åì êðàéíèå òî÷êè ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà? Ñ.Êðîòîâ 2. Èç òîíêîé æåñòêîé ïðîâîëî- Ðèñ. 13 êè èçãîòîâèëè êîëüöî ðàäèóñîì R, êîòîðîå çàêðåïèëè òàê, ÷òîáû åãî ïëîñêîñòü áûëà ãîðèçîíòàëüíîé. Íà êîëüöî íàíåñëè çàðÿä Q. Íà îñè êîëüöà íà âûñîòå h íàä íèì óäåðæèâàþò ìàëåíüêèé øàðèê ìàññîé m, èìåþùèé îäíîèìåííûé ñ êîëüöîì çàðÿä q. Êàêóþ ïî ìîäóëþ ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü øàðèêó, òîëêíóâ åãî ââåðõ, ÷òîáû îí, äâèãàÿñü ïî âåðòèêàëè, ïðîëåòåë â äàëüíåéøåì ñêâîçü êîëüöî? Â.Ïîãîæåâ 3. Íà ãëàäêîì ñòîëå ñòîèò êîðîáêà ìàññîé m. Íà äíå êîðîáêè íàõîäÿòñÿ äâà áðóñêà, ìàññà êàæäîãî èç êîòîðûõ òàêæå ðàâíà m. Òðåíèÿ â ñèñòåìå íåò. Ëåâûé áðóñîê ñîåäèíåí ñî ñòåíêîé êîðîáêè ëåãêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ k. Ïðàâîìó áðóñêó ñîîáùèëè ñêîðîñòü v0 â íàïðàâëåíèè ëåâîãî áðóñêà. Ïðè ñòîëêíîâåíèè áðóñêè ñëèïàþòñÿ è äâèæóòñÿ äàëüøå êàê îäíî öåëîå. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü êîðîáêè è ìàêñèìàëüíîå ñæàòèå ïðóæèíû ïðè äàëüíåéøåì äâèæåíèè. Ì.Ðîìàøêà 4. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F è çåðêàëüíîãî øàðèêà ðàäèóñîì R, öåíòð êîòîðîãî íàõîäèòñÿ íà ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû íà ðàññòîÿíèè l îò íåå. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå d îò ëèíçû äî òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà, ðàñïîëîæåííîãî íà îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû, åñëè èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà â äàííîé ñèñòåìå ñîâïàäàåò ñ ñàìèì èñòî÷íèêîì. Þ.Ñòàðîêóðîâ Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.Ñåìåíîâ, Î.Øâåäîâ, À.ßêóòà 29.07.09, 18:08 ÎËÈÌÏÈÀÄÛ XIII Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» âíîâü ñîáèðàë îäàðåííûõ øêîëüíèêîâ è òàëàíòëèâûõ ñòóäåíòîâ íà ñâîé òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà». Öåëü òóðíèðà ïîääåðæêà òàëàíòëèâîé ìîëîäåæè, ïðîÿâèâøåé èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêå è íîâûì èíôîðìàöèîííûì òåõíîëîãèÿì. Çàäà÷à îðãàíèçàòîðîâ òóðíèðà ñîçäàíèå âðåìåííûõ òâîð÷åñêèõ êîëëåêòèâîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñîâðåìåííûõ íàó÷íûõ ïðîáëåì.  òàêèå êîëëåêòèâû âõîäÿò øêîëüíèêè, ó÷èòåëÿ, ñòóäåíòû, àñïèðàíòû, ó÷åíûå. Òðàäèöèîííî, òóðíèð ïðîâîäèòñÿ â äâà òóðà çàî÷íûé è î÷íûé. Çàî÷íûé òóð XIII Òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» íà÷àëñÿ â ñåíòÿáðå 2008 ãîäà ðàññûëêîé çàäàíèÿ ïî çàÿâêàì â ëèöåè, øêîëû è ãèìíàçèè. (Çàäàíèå çàî÷íîãî òóðà áûëî îïóáëèêîâàíî òàêæå â æóðíàëå «Êâàíò» ¹4 çà 2008 ãîä, ÷òî çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èëî ÷èñëî êîìàíä-ó÷àñòíèö òóðíèðà.) Øåñòü ëó÷øèõ êîìàíä áûëè ïðèãëàøåíû íà ôèíàë î÷íûé òóð ñîðåâíîâàíèé. Î÷íûé òóð XIII Òóðíèðà áûë ïðîâåäåí ñ 1 ïî 8 ôåâðàëÿ 2009 ãîäà â ãîðîäå Ïðîòâèíî íà áàçå Èíñòèòóòà ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé ïðè ó÷àñòèè è ïîääåðæêå ÌÃÓ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, ôîíäà «Äèíàñòèÿ», êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí», «1Ñ», æóðíàëîâ «Êâàíò» è «Ôèçèêà â øêîëå» è Èçäàòåëüñêîãî äîìà «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ». Îðãêîìèòåò òóðíèðà âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü âñåì íàçâàííûì îðãàíèçàöèÿì çà ïîìîùü â ïðîâåäåíèè òóðíèðà è ïîääåðæêó îäàðåííûõ øêîëüíèêîâ è òàëàíòëèâûõ ñòóäåíòîâ. Ïî èòîãàì äâóõ òóðîâ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì XIII Òóðíèðà ñòàëà êîìàíäà Ìåäèêî-òåõíè÷åñêîãî ëèöåÿ ãîðîäà Ñàìàðû, ïîëó÷èâøàÿ ïåðåõîäÿùèé ïðèç «Õðóñòàëüíûé ãëîáóñ» è äèïëîì I ñòåïåíè. Äèïëîìîì I ñòåïåíè è ïàìÿòíûìè çíàêàìè áûëà íàãðàæäåíà òàêæå êîìàíäà ëèöåÿ 1511 ïðè Ìîñêîâñêîì èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêîì èíñòèòóòå. Äèïëîìû II ñòåïåíè ïîëó÷èëè êîìàíäû Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ãîðîäà Ðîñòîâ-íà-Äîíó è ÔÌË 1580 ïðè Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå èì. Í.Ý.Áàóìàíà, à äèïëîìû III ñòåïåíè êîìàíäû Ñàìàðñêîãî ìåæäóíàðîäíîãî àýðîêîñìè÷åñêîãî ëèöåÿ è ëèöåÿ 51 ãîðîäà Òîëüÿòòè. Ó÷àñòíèêàì ñîðåâíîâàíèé áûëî âðó÷åíî ìíîæåñòâî ïðèçîâ îò ñïîíñîðîâ è îðãàíèçàòîðîâ òóðíèðà.  ðàìêàõ òóðíèðà áûë ïðîâåäåí êîíêóðñ êîìïüþòåðíîãî òâîð÷åñòâà, à òàêæå êîíêóðñ «Âèðòóàëüíàÿ ôèçè÷åñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ» (ðàçðàáîòàííûé êîìïàíèåé «Ôèçèêîí»). Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, ãèìíàçèè è øêîëû, ðàáîòàþùèå ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XIV Òóðíèðå «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» â ÿíâàðåôåâðàëå 2010 ãîäà. Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïð., ä.15/2, ÌÈÊ «Ãëþîí» Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227 Å-mail: gluon@yandex.ru Ñàéò äëÿ èíôîðìàöèè: www. gluon.ru Íèæå ïðèâîäèòñÿ çàî÷íîå çàäàíèå XIV Òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà». ÇÀÎ×ÍÛÉ ÒÓÐ «ÏËÀÍÅÒÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ» Ïðîöåññ îáðàçîâàíèÿ ïëàíåòíûõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç öåíòðàëüíûõ â àñòðîôèçèêå. Ïî ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì, ïëàíåòíàÿ ñèñòåìà âîêðóã çâåçäû ôîðìèðóåòñÿ èç ãàçî- 49-58.p65 55 ## Êîìàíäà-ïîáåäèòåëüíèöà XIII Òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» ïûëåâîãî îáëàêà. Ñëîæíûå ìåõàíè÷åñêèå è òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû, îáóñëîâëåííûå äåéñòâèåì ãðàâèòàöèîííûõ ñèë, ñîóäàðåíèÿìè ìåæäó ñîáîé ïûëåâûõ ÷àñòèö è îáðàçóþùèõñÿ èç íèõ òåë, à òàêæå âçàèìîäåéñòâèåì òåë è ïûëè ñ ãàçîì, ïðèâîäÿò ê îáðàçîâàíèþ áîëüøèõ è ìàëûõ ïëàíåò è èõ ðàçìåùåíèþ íà ñòàöèîíàðíûõ îðáèòàõ. Òàê æå ìîãóò îáðàçîâàòüñÿ ñïóòíèêè ïëàíåò, ïûëåâûå êîëüöåâûå ñêîïëåíèÿ è äðóãèå êîìïîíåíòû çâåçäíî-ïëàíåòíîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì ôîðìèðîâàíèå ïëàíåòíîé ñèñòåìû èç îáëàêà ìàëûõ îäèíàêîâûõ øàðîîáðàçíûõ òåë ðàäèóñîì r = 1 ì, íàõîäÿùèõñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ öåíòðàëüíîãî øàðîîáðàçíîãî òåëà ðàäèóñîì R = 103 ì . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâèæåíèå òåë ïðîèñõîäèò â îäíîé ïëîñêîñòè, ïëîòíîñòè ìàëûõ è áîëüøîãî òåë îäèíàêîâû è ðàâíû ρ = 5500 êã ì 3 , ðàäèóñ ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè L = 109 ì . Ïåðâîíà÷àëüíîå ðàñïîëîæåíèå ìàëûõ òåë ðàâíîìåðíîå ïî ïëîñêîñòè, èõ êîíöåíòðàöèÿ −4 −2 ðàâíà n = 10 ì . Îáëàêî ìàëûõ òåë â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âðàùàåòñÿ êàê åäèíîå òåëî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω = 4 ⋅ 10−8 ðàä ñ . Ìàëûå òåëà âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé è ñ öåíòðàëüíûì ìàññèâíûì òåëîì ãðàâèòàöèîííûìè ñèëàìè. Ïîñêîëüêó òåëà ñôåðè÷åñêèå, äëÿ ðàñ÷åòà ñèë ïðèòÿæåíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì mm F = G 12 2 , l ãäå G ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, m1 è m2 ìàññû âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, l ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ýòèõ òåë.  ïðîöåññå äâèæåíèÿ òåëà ìîãóò èñïûòûâàòü ïîïàðíûå óïðóãèå è íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ. Ïðè óïðóãèõ ñòîëêíîâåíèÿõ ñîõðàíÿþòñÿ ñóììàðíûé èìïóëüñ è ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, ïðè íåóïðóãèõ òîëüêî ñóììàðíûé èìïóëüñ, à ñàìè òåëà «ñëèïàþòñÿ» â åäèíîå öåëîå.  íàøåé çàäà÷å áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè íåóïðóãèõ ñîóäàðåíèÿõ ñôåðè÷åñêèõ òåë îáðàçóþòñÿ òàêæå ñôåðè÷åñêèå òåëà. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ñôåðè÷åñêèõ òåë â ìîìåíò ñîóäàðåíèÿ ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, ãäå v10 è v20 ñêîðîñòè òåë 29.07.09, 18:08 #$ ÊÂÀÍT 2009/¹4 äî ñîóäàðåíèÿ, v1 è v2 ïîñëå ñîóäàðåíèÿ. Íàïðàâëåíèå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè âòîðîãî òåëà îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà õàðàêòåðèçóåòñÿ óãëîì α , à íàïðàâëåíèÿ êîíå÷íûõ ñêîðîñòåé òåë îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíûõ óãëàìè β1 è β2 . Ðàññòîÿíèå b ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà è öåíòðîì âòîðîãî òåëà â ìîìåíò ñîóäàðåíèÿ íàçûâàåòñÿ ïðèöåëüíûì ïàðàìåòðîì. Òðàåêòîðèþ j-é äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöû ìîæíî ðàññ÷èòàòü, âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ N d2r m 2 = ∑ Fi , dt i =1,i ≠ j ãäå r ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòè öû, N ÷èñëî òåë â ñèñòåìå, Fi ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ðàññìàòðèâàåìóþ ÷àñòèöó ñî ñòîðîíû i-ãî òåëà, ïðè÷åì èíäåêñ «i» îòíîñèòñÿ êî âñåì îñòàëüíûì òåëàì ñèñòåìû. ×èñëåííîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ñëîæíàÿ ïðîöåäóðà, îäíàêî ìîæíî îäíî óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñâåñòè ê äâóì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ äëÿ îäíîé èç ïðîåêöèé: mv′x = ∑ Fix , x′ = vx , ãäå v ñêîðîñòü ÷àñòèöû, x êîîðäèíàòà ÷àñòèöû. Êîíå÷íî- ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïðîùå, ÷åì äëÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð, êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ñêîðîñòè ïî âðåìåíè âû÷èñëÿåòñÿ êàê v′ = (v − v0 ) ∆t , ãäå v0 ñêîðîñòü ÷àñòèöû â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t0 , v ñêîðîñòü ÷àñòèöû ÷åðåç ìàëûé èíòåðâàë âðåìåíè ∆t . Äëÿ êîîðäèíàòû êîíå÷íîðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî. Çàäàíèå 1. Èññëåäóéòå, ôîðìèðóþòñÿ ëè êîëüöåîáðàçíûå ñêîïëåíèÿ ìåëêèõ ÷àñòèö â ñëó÷àå, êîãäà â ñèñòåìå âñå ñîóäàðåíèÿ ìåëêèõ ÷àñòèö ñ öåíòðàëüíûì ìàññèâíûì òåëîì è äðóã ñ äðóãîì àáñîëþòíî óïðóãèå. 2. Èññëåäóéòå, ôîðìèðóþòñÿ ëè ñòàöèîíàðíûå îðáèòû îáðàçîâàâøèõñÿ êðóïíûõ ÷àñòèö-ïëàíåò â ñëó÷àå, êîãäà â ñèñòåìå ñóùåñòâóþò òîëüêî íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ. 3. Èññëåäóéòå, ôîðìèðóþòñÿ ëè ñòàöèîíàðíûå îðáèòû îáðàçîâàâøèõñÿ êðóïíûõ ÷àñòèö-ïëàíåò â ñëó÷àå, êîãäà â ñèñòåìå ñóùåñòâóþò êàê óïðóãèå, òàê è íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ. Íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ ïðîèñõîäÿò ìåæäó ìåëêèìè ÷àñòèöàìè, ìåëêèìè ÷àñòèöàìè è òåëàìè, îáðàçóþùèìèñÿ èç íèõ, à òàêæå ìåæäó îáðàçóþùèìèñÿ òåëàìè, åñëè â ìîìåíò ñîóäàðåíèÿ ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð b íå ïðåâîñõîäèò òðåòè ðàäèóñà ìåíüøåãî òåëà è óãîë α ìåæäó ñêîðîñòÿìè äî ñîóäàðåíèÿ ìåíüøå 45°. Îñòàëüíûå ñîóäàðåíèÿ àáñîëþòíî óïðóãèå. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Êðàâöîâ Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå Ñ 12 ïî 14 íîÿáðÿ 2008 ãîäà â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå (ÌÃÒÓ) èì. Í.Ý.Áàóìàíà ïðîõîäèëà î÷åðåäíàÿ âñåðîññèéñêàÿ ôèçè÷åñêàÿ îëèìïèàäà ñðåäè ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ. Ïî ðåçóëüòàòàì îëèìïèàäû, â êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÏÓ), íàáðàâøàÿ 151 áàëë, âòîðîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà (109 áàëëîâ), òðåòüå ìåñòî êîìàíäà Áàëòèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÁÃÒÓ) «Âîåíìåõ» èì. Ä.Ô.Óñòèíîâà (101 áàëë).  ëè÷íîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàâîåâàë ßðîñëàâ Áåëüòþêîâ (ÑÏáÃÏÓ), âòîðîå ìåñòî çàâîåâàë Ïàâåë Ìîñòîâûõ (ÁÃÒÓ), òðåòüå ìåñòî Ìàêñèì Ïåñòðåìåíêî (ÑÏáÃÏÓ). ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 1. Òðè æóêà íàõîäÿòñÿ â âåðøèíàõ ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ êàòåòîì à. Ïåðâûé æóê ïîëçåò âäîëü ãèïîòåíóçû èç òî÷êè À ê òî÷êå Â, âòîðîé æóê ñ òàêîé æå ñêîðîñòüþ ïîëçåò èç òî÷êè  ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòîðîíå À â ñòîðîíó òî÷êè Ñ. Îïðåäåëèòå, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïîëçåò òðåòèé æóê è êàêîé ïóòü îí ïðåîäîëååò äî âñòðå÷è, åñëè îí äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî òðåóãîëüíèê, ñîåäèíÿþùèé æóêîâ, âñå âðåìÿ ïîäîáåí èñõîäíîìó. 2. Îðáèòàëüíàÿ îêîëîçåìíàÿ ñòàíöèÿ ìàññîé m íàõîäèòñÿ íà íèçêîé êðóãîâîé îðáèòå. Îïðåäåëèòå, íà êàêîé óãîë ïîâåðíåòñÿ ïëîñêîñòü îðáèòû, åñëè âêëþ÷èòü äâèãàòåëü, 49-58.p65 56 ñèëà òÿãè êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíà ñêîðîñòè è ðàâíà mg, íà âðåìÿ, ðàâíîå 1 4 2 ïåðèîäà îáðàùåíèÿ ñòàíöèè âîêðóã Çåìëè, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñêîðîñòü ñòàíöèè íå èçìåíÿåòñÿ. 3. Ãâîçäü äèàìåòðîì d âáèò â äîñêó íà ãëóáèíó l. Ñèëà òðåíèÿ ìåæäó ãâîçäåì è äîñêîé ïðîïîðöèîíàëüíà äëèíå çàáèòîé ÷àñòè ãâîçäÿ, åå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíî f = kl. Îïðåäåëèòå ðàáîòó ïî âûòÿãèâàíèþ ãâîçäÿ èç äîñêè êëåùàìè, åñëè ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ê äîñêå ñî ñòîðîíû ãâîçäÿ, îãðàíè÷åíà âåëè÷èíîé F < f. 4. Íåâåñîìûé öèëèíäð ðàäèóñîì R ëåæèò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè è íåïîäâèæíî çàêðåïëåí íà íåé. Íà öèëèíäð ïîëîæèëè äîñêó äëèíîé l = 2 3 R òàêèì îáðàçîì, ÷òî åå öåíòð òÿæåñòè ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé êàñàíèÿ äîñêè ñ öèëèíäðîì. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå äîñêè, åñëè ìåæäó äîñêîé, öèëèíäðîì è ïîâåðõíîñòüþ îòñóòñòâóåò òðåíèå. 5. Àêñèàëüíî ñèììåòðè÷íûé ñîñóä âûñîòîé H è ìàêñèìàëüíûì äèàìåòðîì D äîâåðõó íàïîëíåí âîäîé è ïëîòíî çàêðûò êðûøêîé. Ñîñóä âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñèììåòðèè òàêèì îáðàçîì, ÷òî äàâëåíèå âîäû íà ñòåíêè ñîñóäà âî âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâî. Îïðåäåëèòå îáúåì âîäû â ñîñóäå. 6. Òåïëîâàÿ ìàøèíà ðàáîòàåò ñ îäíèì ìîëåì îäíîàòîìíîãî ãàçà ïî öèêëó, ñîñòîÿùåìó èç äâóõ èçîõîð è äâóõ àäèàáàò. Òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ T1 , òåìïåðàòóðà îõëàäèòåëÿ T2 . Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ ðàáîòó, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü âûïîëíåíà â äàííîì öèêëå. 7.  îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ âåðòèêàëüíî îðèåíòè- ( ) 29.07.09, 18:08 #% ÎÍ ËÔ ÈÌ ÏÌ ÈÀÖ ÄÈ Ûß È ÎÐ ðîâàííûì âåêòîðîì èíäóêöèè B íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ëåæèò òåëî ìàññîé m è çàðÿäîì q íà ðàññòîÿíèè R îò îòâåðñòèÿ â ïëîñêîñòè. Ê òåëó ïðèâÿçàíà íèòü, ïðîïóùåííàÿ ÷åðåç ýòî îòâåðñòèå, ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ ìåæäó òåëîì è îòâåðñòèåì è â íà÷àëüíûé ìîìåíò ðàâíà F. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëîì è îòâåðñòèåì â ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ. 8. Ïëîñêàÿ ñòîÿ÷àÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà íàõîäèòñÿ ìåæäó äâóìÿ ïðîâîäÿùèìè ïàðàëëåëüíûìè ïëàñòèíàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî äëèíå âîëíû λ . Îïðåäåëèòå òî÷êè, â êîòîðûõ ñðåäíåå çíà÷åíèå îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âîëíû ìàêñèìàëüíî. 9. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ñ äëèíîé âîëíû λ , ïðîéäÿ ÷åðåç çîííóþ ïëàñòèíêó, ñîçäàåò â òî÷êå íàáëþäåíèÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I0 . Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, åñëè íà çîííóþ ïëàñòèíêó íàêëàäûâàåòñÿ ôàçîâàÿ ïëàñòèíêà, ñîçäàííàÿ äëÿ òîé æå òî÷êè íàáëþäåíèÿ ïðè äëèíå âîëíû, ðàâíîé λ 2 ? Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.ßêîâëåâ, Â.Ãîëóáåâ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Èçáðàííûå çàäà÷è ñîáåñåäîâàíèé â 9 ìàòåìàòè÷åñêèé êëàññ 57 øêîëû Êàæäóþ âåñíó Ìîñêîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà ïðîâîäèò ñîáåñåäîâàíèÿ äëÿ øêîëüíèêîâ, ïîñòóïàþùèõ â 8 è 9 ìàòåìàòè÷åñêèå êëàññû. Íà òàêèõ ñîáåñåäîâàíèÿõ ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è, êàæäûé ãîä íîâûå (íå âñå èç íèõ, ðàçóìååòñÿ, ïðèäóìàíû ñïåöèàëüíî äëÿ ñîáåñåäîâàíèé, íî ïåäàãîãè ñòðåìÿòñÿ ê òîìó, ÷òîáû âîïèþùå èçâåñòíûìè ýòè çàäà÷è íå áûëè). Íåêîòîðûå èç íèõ î÷åíü ïðîñòû, íåêîòîðûå âåñüìà ñëîæíû. Ìû ïðèâîäèì èçáðàííûå çàäà÷è äëÿ ïîñòóïàþùèõ â 9 êëàññ îäíîãî èç òàêèõ ñîáåñåäîâàíèé ïðîøëûõ ëåò. 1. Ïðÿìîóãîëüíèê ñëîæåí èç ïÿòè îäèíàêîâûõ ïàðêåòíûõ ïëèòîê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 1. Íàéäèòå îòíîøåíèå åãî ñòîðîí. Ðèñ. 1 2. Òðè êîëîêîëà íà÷èíàþò áèòü îäíîâðåìåííî. Èíòåðâàëû ìåæäó óäàðàìè ñîñòàâëÿþò 4 ñåêóíäû, 5/3 ñåêóíäû è 2,4 ñåêóíäû ñîîòâåòñòâåííî. Ñîâïàâøèå ïî âðåìåíè óäàðû âîñïðèíèìàþòñÿ êàê îäèí. Ñêîëüêî óäàðîâ áóäåò óñëûøàíî çà ìèíóòó (ñ÷èòàÿ ïåðâûé è ïîñëåäíèé)? 3. Óêàæèòå âñå öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè äåëåíèè íà êîòîðûå ÷èñëà 3213, 3361 è 3583 äàþò îäèíàêîâûå îñòàòêè. 4. Äâà êàðàíäàøà îäèí øåñòèãðàííûé, à âòîðîé ñ êâàäðàòíûì ñå÷åíèåì ïîëîæèëè íà äëèííûé ïèñüìåííûé ñòîë. Îêàçàëîñü, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïðîòèâîïîëîæíûìè ãðàíÿìè ó íèõ ðàâíû (ðèñ.2). Ïåðåêàòûâàÿ ÷åðåç ðåáðà, êàæäûé èç íèõ ïðîêàòèëè îò îäíîãî êðàÿ ñòîëà äî äðóãîãî. Ðèñ. 2 Ðàññìîòðèì òðàåêòîðèþ êàêîé-íèáóäü òî÷êè íà îñè (ãðèôåëå) êàðàíäàøà. à) Äëÿ êàêîãî èç êàðàíäàøåé äëèíà ýòîé òðàåêòîðèè áîëüøå? á) Âî ñêîëüêî (ïðèìåðíî) ðàç? 5. Òðè ëûæíèêà áåãóò ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè. ×åðåç êàæäûé êèëîìåòð ñòîÿò ñóäüè è îòìå÷àþò, êîãäà ìèìî íèõ ïðîáåãàþò. Ïåðâûé ñóäüÿ îòìåòèë ìîìåíòû 12:01, 12:03, 12:07. Âòîðîé ñóäüÿ (÷åðåç êèëîìåòð) îòìåòèë 12:08, 12:10, 12:11, òðåòèé (åùå ÷åðåç êèëîìåòð) îòìåòèë 12:13, 12:15, 12:19. Êàêèå ìîìåíòû îòìåòèë ÷åòâåðòûé ñóäüÿ (åùå ÷åðåç êèëîìåòð)? Óêàæèòå âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû. 49-58.p65 57 6.  âûïóêëîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF âñå âíóòðåííèå óãëû ðàâíû. Èçâåñòíî, ÷òî AB = 2, CD = 5, DE = 7, EF = 1. Íàéäèòå BC è AF. 7. Íàéäèòå âñå x, äëÿ êîòîðûõ Èx˘ Èx˘ Èx˘ ÍÎ 2 ˙˚ + ÍÎ 5 ˙˚ + ÍÎ 6 ˙˚ = 2007 . (Çäåñü êâàäðàòíûìè ñêîáêàìè îáîçíà÷åíà öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà, ò.å íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå äàííîãî; íàïðèìåð, [6/5] = 1.) 8. Íà ñòîëå ëåæàëè 30 ìîíåò ðåøêàìè ââåðõ. Âèòÿ ïîäîøåë ê ñòîëó è ïåðåâåðíóë 25 ìîíåò. Ïîñëå ýòîãî Ñàøà ïîäîøåë ê ñòîëó è ïåðåâåðíóë 24 ìîíåòû (ïðè ýòîì îí ìîã ïåðåâîðà÷èâàòü êàê òå, ÷òî ïåðåâîðà÷èâàë Âèòÿ, òàê è äðóãèå). Êàêèì ìîæåò áûòü ÷èñëî ìîíåò, îêàçàâøèõñÿ ïîñëå ýòîãî ðåøêîé ââåðõ? Óêàæèòå âñå âàðèàíòû. 9. à) Íàðèñóéòå, ãäå ìîæåò íàõîäèòüñÿ öåíòð êðóãà ðàäèóñà 1, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êðóã ïåðåñåêàåòñÿ (èìååò õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó) ñ ãðàíèöåé ïðÿìîóãîëüíèêà 3 ¥ 4 . á) Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îáðàçîâàííîé öåíòðàìè òàêèõ êðóãîâ. 10. à) Êàê ðàçìåñòèòü ãèðè ìàññàìè 101 ã, 201 ã, 301 ã, 401 ã, 501 ã è 601 ã íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ òàê, ÷òîáû ðàçíèöà ìàññ íà ÷àøêàõ áûëà íàèìåíüøåé âîçìîæíîé? Îáîñíóéòå âàø îòâåò. á) Òîò æå âîïðîñ, åñëè äîáàâèòü åùå ãèðþ â 701 ã. 11. Äâà ëûæíèêà ñòàðòîâàëè ñ èíòåðâàëîì â äâå ìèíóòû. Âòîðîé ëûæíèê äîãíàë ïåðâîãî ó îòìåòêè 1 êì (ñ÷èòàÿ îò òî÷êè ñòàðòà). Äîéäÿ äî îòìåòêè 5 êì, âòîðîé ëûæíèê ïîâåðíóë îáðàòíî è ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ âñòðåòèëñÿ ñ ïåðâûì ëûæíèêîì. Ýòà âñòðå÷à ïðîèçîøëà ÷åðåç 20 ìèíóò ïîñëå ñòàðòà ïåðâîãî ëûæíèêà. Íàéäèòå ñêîðîñòü ïåðâîãî ëûæíèêà. (Ñêîðîñòè ëûæíèêîâ ïîñòîÿííû.) 12. Äëÿ âûáîðà ïîáåäèòåëÿ 768 ó÷àñòíèêîâ ëîòåðåè áûëè ðàññòàâëåíû ïî êðóãó. Ñíà÷àëà èç êðóãà âûøåë È.È.Èâàíîâ, çàòåì âûøåë ÷åëîâåê, êîòîðûé ñòîÿë ÷åðåç îäíîãî îò Èâàíîâà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è ò.ä. êàæäûé ðàç âûõîäèë ñòîÿùèé ÷åðåç îäíîãî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå îò âûâåäåííîãî ïåðåä ýòèì. Òàê äåëàëè, ïîêà íå îñòàëñÿ îäèí ÷åëîâåê åãî îáúÿâèëè ïîáåäèòåëåì. Ãäå îí ñòîÿë ñíà÷àëà (ñ÷èòàÿ îò Èâàíîâà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå)? 13. Âàñÿ óáåäèë ó÷èòåëüíèöó ïîâûñèòü åìó îöåíêó çà èòîãîâóþ êîíòðîëüíóþ â ïåðâîé ÷åòâåðòè ñ äâîéêè íà òðîéêó, è åãî ñðåäíèé áàëë çà ïåðâóþ ÷åòâåðòü óâåëè÷èëñÿ íà a. Ïîñëå òîãî, êàê îí ïðîäåëàë òî æå ñàìîå âî âòîðîé ÷åòâåðòè, åãî ñðåäíèé áàëë çà âòîðóþ ÷åòâåðòü óâåëè÷èëñÿ íà b. Íà ñêîëüêî óâåëè÷èëñÿ â ðåçóëüòàòå åãî ñðåäíèé áàëë çà ïåðâîå ïîëóãîäèå? (Ñðåäíèé áàëë ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå îöåíîê.) 29.07.09, 18:08 #& ÊÂÀÍT 2009/¹4 14.  ñòðî÷êó âûïèñàíû åäèíèöû, äâîéêè è òðîéêè, ïðè÷åì åñòü ðîâíî 17 åäèíèö, çà êîòîðûìè ñëåäóþò äâîéêè, è ðîâíî 23 äâîéêè, çà êîòîðûìè ñëåäóþò åäèíèöû. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî òðîåê ìîæåò áûòü â ýòîé ñòðî÷êå? 15. Íà êëåò÷àòîé áóìàãå íàðèñî2 âàëè ãðàôèê ôóíêöèè y = x + cx + + d (ðèñ. 3). Íàéäèòå c è d ñ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå 1. 16. Òðè êîëîäöà âåðøèíû ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé 20. Íàðèñóéòå âñå òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ à) ðàññòîÿíèå äî áëèæàéøåãî êîëîäöà ðàâíî 11; á) ðàññòîÿíèå äî ñàìîãî äàëåêîãî êîëîäöà ðàâíî 20. Ðèñ. 3 17. Ïåøåõîä èäåò âäîëü øîññå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Êàæäûå 6 ìèíóò îí âèäèò ïîïóòíûé àâòîáóñ, à êàæäûå 3 ìèíóòû âñòðå÷íûé. Èçâåñòíî, ÷òî àâòîáóñû åäóò â îáå ñòîðîíû ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ è îòïðàâëÿþòñÿ ñ êîíå÷íûõ ïóíêòîâ ÷åðåç îäèíàêîâûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè. ×åìó ðàâíû ýòè ïðîìåæóòêè? 18.  êëåò÷àòîì êâàäðàòå 100 ¥ 100 íóæíî çàêðàñèòü íåñêîëüêî êëåòîê òàê, ÷òîáû â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå áûëî íå áîëåå äâóõ çàêðàøåííûõ êëåòîê. à) Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî êëåòîê ìîæíî çàêðàñèòü? á) Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî êëåòîê ìîæíî çàêðàñèòü òàê, ÷òîáû íè îäíîé íåëüçÿ áûëî äîáàâèòü ïî èìåþùèìñÿ ïðàâèëàì? 19. Ñêîëüêî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ìîæåò èìåòü îêðóæíîñòü ñ ãðàíèöåé òðåóãîëüíèêà? 20. Êàêîé óãîë îáðàçóþò ÷àñîâàÿ è ìèíóòíàÿ ñòðåëêè ÷àñîâ â 7 ÷àñîâ 38 ìèíóò? 21. Ðàçðåæüòå êâàäðàò íà òðè ÷àñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñëîæèòü íåðàâíîáåäðåííûé íåïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê. 22.  áóòûëêå áûëî íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî äåâÿòèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà óêñóñà. Òóäà äîáàâèëè ñòàêàí âîäû, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ðàñòâîð ñòàë øåñòèïðîöåíòíûì. Êàêèì áóäåò ïðîöåíòíîå ñîäåðæàíèå óêñóñà, êîãäà äîáàâÿò åùå ñòàêàí âîäû? 23. Îñü îò äåòñêîé ìàøèíêè (äèàìåòð ëåâîãî êîëåñà 20 ìì, ïðàâîãî 21 ìì, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîëåñàìè 90 ìì; ðèñ.4) ïîêàòèëè ïî ðîâíîìó ïîëó. ÏîÐèñ. 4 ñêîëüêó êîëåñà ðàçíûå, îñü çàâîðà÷èâàåò ïî êðóãó; ïðè ýòîì êîëåñà îñòàâëÿþò íà ïîëó ñëåäû, ÿâëÿþùèåñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè. Íàéäèòå ðàäèóñû ýòèõ îêðóæíîñòåé. 24.  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1, 10, 101, 10110, êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî ïî òàêîìó ïðàâèëó: 0 çàìåíÿþò íà 1, à 1 íà 10. Ìîãóò ëè â îäíîì èç ÷èñåë â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîÿâèòüñÿ òðè åäèíèöû ïîäðÿä? 25. Ðàññìîòðèì ïåðâîå ÷èñëî â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è, â êîòîðîì íå ìåíüøå òûñÿ÷è öèôð. Êàêèå öèôðû ñòîÿò â ýòîì ÷èñëå íà 998-ì, 999-ì è 1000-ì îò íà÷àëà ìåñòàõ? 26.  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ABC (BC îñíîâàíèå) ïðîâåäåíà áèññåêòðèñà BD (ðèñ.5). Ïðÿìàÿ, ïðîÐèñ. 5 õîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó D ïåð- 49-58.p65 58 ïåíäèêóëÿðíî BD, ïåðåñåêàåò îñíîâàíèå BC â òî÷êå K. Äîêàæèòå, ÷òî BK = 2CD. 27. Äîêàæèòå, ÷òî íè îäíó èç ñòåïåíåé äâîéêè 1, 2, 4, 8,... íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëåå îäíîãî) ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 28. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ ñòåïåíüþ äâîéêè, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 29. Ìîæíî ëè ïîìåñòèòü ïðÿìîóãîëüíèê 3 ¥ 8 âíóòðü ïðÿìîóãîëüíèêà 5 ¥ 6 ? 30. Åñòü ïî îäíîìó ëèòðó ïÿòèïðîöåíòíîãî, ñåìèïðîöåíòíîãî è äåñÿòèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà óêñóñà. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî âîñüìèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà ìîæíî ïîëó÷èòü, ñìåøèâàÿ ýòè ðàñòâîðû? 31. Öåëîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì è íå îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì. Åñëè çà÷åðêíóòü äâå åãî ïîñëåäíèå öèôðû, òîæå ïîëó÷àåòñÿ òî÷íûé êâàäðàò. Íàéäèòå íàèáîëüøåå òàêîå ÷èñëî. 32. Âíóòðè ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC âçÿòà òî÷êà M (ðèñ.6). Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âïèñàòü â òðåóãîëüíèê ABC òðåóãîëüíèê A¢B ¢C ¢ , ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû MA, MB è MC. 33. Âàñÿ íàïèñàë íà äîñêå 100 ðàçëè÷íûõ öåëûõ ïîëîæè- Ðèñ. 6 òåëüíûõ ÷èñåë, à Ïåòÿ íàøåë èõ âñåâîçìîæíûå ïîïàðíûå ñóììû (âêëþ÷àÿ ñóììó êàæäîãî ÷èñëà ñ ñîáîé). Ñðåäè ïîëó÷åííûõ ñóìì îêàçàëîñü ðîâíî 199 ðàçëè÷íûõ ÷èñåë. Êàêèå ÷èñëà áûëè âûïèñàíû Âàñåé, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè íèõ áûëè ÷èñëà 1 è 3, íî íå áûëî ÷èñëà 2? 34.  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíû âûñîòû AA1 è CC1 , ïðè÷åì èõ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ H ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà (ðèñ.7). Èçâåñòíî, ÷òî AH = HA1 , CH = 2HC1 . Íàéäèòå –B . 35.  ñòðî÷êó âûïèñàíû 100 ÷èñåë. Äîêàæèòå, ÷òî ëèáî ìîæíî ðàñêðàñèòü èõ â ÷åòûðå öâåòà òàê, ÷òîáû ÷èñëà êàæäîãî öâåòà âîçðàñòàëè ñëåâà íàïðàâî, ëèáî ñðåäè íèõ ìîæíî âûáðàòü ïÿòü ÷èñåë, Ðèñ. 7 êîòîðûå óáûâàþò ñëåâà íàïðàâî (íàèáîëüøåå ëåâåå âñåõ, ñëåäóþùåå ïî âåëè÷èíå ïðàâåå åãî è ò.ä.). 36. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî äèàãîíàëåé âûïóêëîãî 239-óãîëüíèêà ìîæíî âûáðàòü, åñëè òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ëþáûå äâå èç âûáðàííûõ äèàãîíàëåé èìåëè îáùóþ òî÷êó (âîçìîæíî, âåðøèíó)? 37. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíû íåñêîëüêî òî÷åê, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ñîåäèíåíû îòðåçêàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî ðàñêðàñèòü òî÷êè â äâà öâåòà òàê, ÷òîáû íå ìåíåå ïîëîâèíû îòðåçêîâ èìåëè ðàçíîöâåòíûå êîíöû. 38. Øåñòèóãîëüíèê ðàçðåçàí íà äâà øåñòèóãîëüíèêà òîé æå ôîðìû, íî ïðîïîðöèîíàëüíî ìåíüøèõ (ðèñ.8). Äëèíà åãî âåðõíåé ñòîÐèñ. 8 ðîíû ðàâíà 1. Íàéäèòå äëèíû îñòàëüíûõ ñòîðîí. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ð.Ãîðäèí, Â.Äîöåíêî, À.Øåíü, Ê.Øðàìîâ 29.07.09, 18:08
