1-4.p65 1 28.07.2009, 17:40 2-3.P65 1 29.07.2009, 11:35 ÈÞËÜ ÀÂÃÓÑÒ ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ 2009 © Þ ¹4 ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ  íîìåðå: Ó÷ðåäèòåëè Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ íàóê, Ôîíä ïîääåðæêè ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè è îáðàçîâàíèÿ (Ôîíä Îñèïüÿíà), ÈÔÒÒ ÐÀÍ Èçäàòåëü ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ «Áþðî Êâàíòóì» ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Ñ.Ñ.Êðîòîâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí, Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé, À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ, À.Ð.Çèëüáåðìàí, Â.Â.Êâåäåð (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ï.À.Êîæåâíèêîâ, Â.Â.Êîçëîâ (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷, Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, Â.Ì.Óðîåâ, À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà) % & " & ! !" !" !$ ! !% " ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ À.Â.Àíäæàíñ, Â.È.Àðíîëüä, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé, Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ, Ë.Ä.Ôàääååâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß 1970 ÃÎÄÀ ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ È.Ê.Êèêîèí ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ À.Í.Êîëìîãîðîâ Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí, Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ, Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ, Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé, À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ, Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí,È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð Òîâàðíûé çíàê «Æóðíàë «Êâàíò» ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ «Áþðî Êâàíòóì» © 2009, ÐÀÍ, Ôîíä Îñèïüÿíà, æóðíàë «Êâàíò» 01-19.p65 1 ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ Ëèíåéêà äëèíîé â îäèí íàíîìåòð. È.ßìèíñêèé Ïî÷åìó óãëåðîäíûå òðóáêè ïðî÷íåå ñòàëè? Àðèôìåòèêà ìíîãîãðàííèêîâ. Ã.Ïàíèíà Ðàññêàçû î ñîâðåìåííîé ìåõàíèêå (ïðîäîëæåíèå). Ã.׸ðíûé ÍÀØÈ ÍÀÁËÞÄÅÍÈß Ìàòåìàòèêè è ïðîãðàììèñòû. À.Øåíü ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è Ì2139Ì2145, Ô2145Ô2152 Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2116Ì2123, Ô2130Ô2137 Ê Ì Ø Çàäà÷è Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 68» Îá îäíîé õîðîøî çàáûòîé ñòàðîé çàäà÷å. Â.Äîöåíêî, Ê.Øðàìîâ Ïîáåäèòåëè êîíêóðñà èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 68» 2008/09 ó÷åáíîãî ãîäà ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Ïîä äàííûì óãëîì ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» Äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè è òåîðåìà Øàëÿ. Â.Áóãàåíêî Çàãàäî÷íûå êðóãè è äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè. Ñ.Äîðè÷åíêî, Ñ.Øàøêîâ, À.Øåíü "! ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ» Îïûòû ñ êîìïàêò-äèñêîì. Í.Ðîñòîâöåâ, À.Ñåäîâ "$ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Ìîäóëü ñóììû è ñóììà ìîäóëåé. À.Åãîðîâ "' # # ## #$ #% #' ÎËÈÌÏÈÀÄÛ XXX Òóðíèð ãîðîäîâ Èçáðàííûå çàäà÷è LXXII Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû Èçáðàííûå çàäà÷è Ìîñêîâñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû XIII Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Èçáðàííûå çàäà÷è ñîáåñåäîâàíèé â 9 êëàññ 57 øêîëû Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ Íàì ïèøóò (30) ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ I II III IV Èëëþñòðàöèÿ ê ðóáðèêå «Íàíîòåõíîëîãèè» Êâàíòû Èíòåðíåòà Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé  èçäàíèè æóðíàëà «Êâàíò» ôèíàíñîâîå ó÷àñòèå ïðèíèìàåò ÎÀÎ «ÒÅÕÑÍÀÁÝÊÑÏÎÐÒ» 29.07.09, 17:14 ÊÂÀÍT 2009/¹4 ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ Ëèíåéêà äëèíîé â îäèí íàíîìåòð È.ßÌÈÍÑÊÈÉ Äåâî÷êå Íàíà è ìàëü÷èêó Íîíî îáúÿñíÿþò, ÷òî òàêîå íàíîìåòð. Ñîîáðàçèòåëüíàÿ Íàíà óëûáàåòñÿ. Åé âñå ïîíÿòíî. Íàíîìåòð ýòî îäíà ìèëëèàðäíàÿ ÷àñòü ìåòðà.  Íîíî âèäíî íàïðÿæåíèå. Ñ íåêîòîðîé çàäåðæêîé îí ñïðàøèâàåò: à ÷òî òàêîå ìåòð? È òóò áîëüøîé ïåäàãîãè÷åñêèé òàêò ïðîÿâëÿåò òðåòèé ïåðñîíàæ óìóäðåííûé îïûòîì ïðîôåññîð. Îí íå ðàçäðàæàåòñÿ, íå âîçìóùàåòñÿ, à ïðîñòî ïîäõîäèò ê Íîíî è ïîêàçûâàåò åìó, ÷òî ìåòð ýòî ïðèìåðíî ðàññòîÿíèå îò ïîëà äî ïîäáîðîäêà Íîíî. Ìàëü÷èê ðàäóåòñÿ, ÷òî îí ñàì áîëüøå ìåòðà. Îí âñå ïîíÿë è óæå ãîòîâ áåæàòü èãðàòü â ôóòáîë... Òàê íà÷èíàåòñÿ òàéâàíüñêèé ìóëüòôèëüì «Ôàíòàñòè÷åñêîå ïóòåøåñòâèå Íàíà è Íîíî», êîòîðûé ïîñâÿùåí ïîïóëÿðíîìó ðàññêàçó î íàíîòåõíîëîãèÿõ. È òàêîå íà÷àëî ìóëüòôèëüìà íå ñëó÷àéíî. Íàíîòåõíîëîãèè îïèðàþòñÿ íà èçìåðåíèÿ, â êîòîðûõ íàíîìåòð èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü. Èìåííî î íàíîìåòðå è áóäåò ðàññêàçàíî â ñòàòüå. Íåìíîãî èñòîðèè Ââåäåíèå Âñåì èçâåñòíî, ÷òî ìåòð ýòî îñíîâíàÿ åäèíèöà äëèíû. Îí áûë ââåäåí âî Ôðàíöèè â XVIII âåêå è îïðåäåëÿëñÿ êàê îäíà ñîðîêàìèëëèîííàÿ ÷àñòü äëèíû Ïàðèæñêîãî ìåäèàíà.  1799 ãîäó èç ñïëàâà ïëàòèíû è èðèäèÿ áûë èçãîòîâëåí ïåðâûé ýòàëîí ìåòðà. Ïðè âûáîðå ìåòðà â êà÷åñòâå åäèíèöû äëèíû ðóêîâîäñòâîâàëèñü, â ÷àñòíîñòè, òàêèìè âàæíûìè ñîîáðàæåíèÿìè, êàê óäîáñòâî èñïîëüçî-  Òîêèî ïåðåä îãðîìíûì âûñòàâî÷íûì çàëîì, ãäå åæåãîäíî ïðîõîäèò ìåæäóíàðîäíîå øîó ïî íàíîòåõíîëîãèÿì, ñîîðóæåíà ñîðîêàìåòðîâàÿ ïèëà, íàïîëîâèíó âêîïàííàÿ â çåìëþ. Ýòî ïàìÿòíèê áîëüøîé òðóæåíèöå îáû÷íûõ òåõíîëîãèé. Íàíîòåõíîëîãèè æå ïðèçâàíû êîíñòðóèðîâàòü íîâûå óñòðîéñòâà è ìàòåðèàëû, ñîáèðàÿ èõ, êàê â êîíñòðóêòîðå, èç àòîìîâ è ìîëåêóë. Ýòà ñòàòüÿ îïóáëèêîâàíà â ðàìêàõ äîãîâîðà ñ ÃÊ «ÐÎÑÍÀÍÎÒÅÕ». 01-19.p65 2 Êîãäà ìåòðîëîãèÿ áûëà áåç ïðèñòàâêè «íàíî» Èçäðåâëå áîëüøèíñòâî ìåð äëèíû ñòðîèëèñü èñõîäÿ èç óäîáñòâà èõ èñïîëüçîâàíèÿ. Íàïðèìåð, ñòàðîðóññêàÿ ñàæåíü, èëè ïðÿìàÿ ñàæåíü, áûëà ðàâíà ðàññòîÿíèþ îò êîíöà ïàëüöåâ îäíîé âûòÿíóòîé ïî ãîðèçîíòàëè ðóêè äî êîíöà ïàëüöåâ äðóãîé âûòÿíóòîé ðóêè. Ïî óêàçó Íèêîëàÿ I, â 1835 ãîäó áûëè ïðèâåäåíû â ñîîòâåòñòâèå ðóññêèå è àíãëèéñêèå ìåðû äëèíû. Îí ïîëîæèë, ÷òî îäíà ñàæåíü äîëæíà ðàâíÿòüñÿ ñåìè àíãëèéñêèì ôóòàì (îò àíãëèéñêîãî foot ñòóïíÿ). Ïðè ïåðåâîäå â ìåòðû ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî 1 ïðÿìàÿ ñàæåíü ðàâíà 2,1336 ìåòðà. Êîñàÿ ñàæåíü åùå îäíà ñòàðîðóññêàÿ åäèíèöà äëèíû, ðàâíàÿ 2,48 ìåòðà. Ïåðâîíà÷àëüíî êîñàÿ ñàæåíü îïðåäåëÿëàñü êàê ðàññòîÿíèå îò ïàëüöåâ ëåâîé íîãè äî êîí÷èêîâ ïàëüöåâ âûòÿíóòîé ïî äèàãîíàëè ïðàâîé ðóêè. Ýòî áûëè óäîáíûå â ïðèìåíåíèè ìåðû. Îäíàêî, èñïîëüçóÿ èõ, ïîëó÷àëè ðàçëè÷íûå äëèíû. Î íåîáõîäèìîñòè è âàæíîñòè àêêóðàòíûõ è òî÷íûõ èçìåðåíèé õîðîøî ïîíèìàë Äìèòðèé Èâàíîâè÷ Ìåíäåëååâ, êîòîðûé áûë ïåðâîïðîõîäöåì íå òîëüêî â ñîçäàíèè ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìû ýëåìåíòîâ. Åìó áûëî î÷åâèäíî, ÷òî â îáùåñòâå ñ ðàñòóùèì ïðîìûøëåííûì ïðîèçâîäñòâîì âîïðîñ èçìåðåíèé è ìåòðîëîãèè ïðèíèìàåò êëþ÷åâîå çíà÷åíèå. Ðàçâèòèå æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà, ñòàíîâëåíèå çàâîäîâ è ôàáðèê, âõîæäåíèå Ðîññèè â ìèðîâóþ ýêîíîìèêó òðåáîâàëè ðåøåíèÿ çàäà÷ åäèíñòâà èçìåðåíèé. Íåîá- 29.07.09, 17:14 ËÈÍÅÉÊÀ õîäèìû áûëè ñåðüåçíûå óñèëèÿ, ÷òîáû êèëîãðàììû, ãðàììû, ìåòðû, ñàíòèìåòðû, ìèëëèìåòðû è äþéìû âåçäå áûëè îäèíàêîâûìè. Ñ 1892 ãîäà è äî êîíöà ñâîåé æèçíè Ä.È.Ìåíäåëååâ âîçãëàâëÿë ïåðâîå íàó÷íîå ìåòðîëîãè÷åñêîå ó÷ðåæäåíèå Ðîññèè Ãëàâíóþ ïàëàòó ìåð è âåñîâ. Åå çàäà÷åé áûëî îáåñïå÷åíèå åäèíñòâà ìåð è ñîçäàíèå íàäåæíûõ ìåòîäîâ èçìåðåíèé è èõ ýòàëîíîâ, à òàêæå îáåñïå÷åíèå åäèíîîáðàçèÿ è âåðíîñòè ïðèìåíÿåìûõ ìåð è èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ. Òåïåðü ýòî Âñåðîññèéñêèé íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèé èíñòèòóò ìåòðîëîãèè, íîñÿùèé èìÿ Ä.È. Ìåíäåëååâà. Ïàëàòà, à íûíå èíñòèòóò ðàñïîëîæåíû â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå. Áëàãîäàðÿ óñèëèÿì Ä.È.Ìåíäåëååâà, â 1900 ãîäó â Ìîñêâå ïðè Ìîñêîâñêîì îêðóæíîì ïðîáèðíîì óïðàâëåíèè áûëà ñîçäàíà Ïîâåðî÷íàÿ ïàëàòêà òîðãîâûõ ìåð è âåñîâ ¹3. Ñåé÷àñ ýòî Âñåðîññèéñêèé íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèé èíñòèòóò ìåòðîëîãè÷åñêîé ñëóæáû (ïðåäïðèÿòèå ôåäåðàëüíîãî çíà÷åíèÿ). Åãî ýìáëåìà áóêâà Ì (ïåðâàÿ áóêâà â ñëîâå ÌÅÒÐÎËÎÃÈß), îïîÿñûâàþùàÿ çåìíîé øàð è îäíîâðåìåííî îïèðàþùàÿñÿ íà íåãî. Õîðîøàÿ ñèìâîëèêà äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü, íàñêîëüêî âàæíà ìåòðîëîãèÿ äëÿ âñåõ íàñ. Ëåãåíäà îá îâñå è íå òîëüêî «Åñëè âû â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå êóïèëè äâà ïóäà îâñà, à ïîòîì íà ñàíÿõ ïðèâåçëè â Ìîñêâó è òàì âçâåñèëè îâåñ è îáíàðóæèëè, ÷òî âåñû ïîêàçûâàþò âñåãî ïîëòîðà ïóäà, âîò áóäåò ãîðå. Íî åñëè âû ïðåäïðèèì÷èâûé òîðãîâåö, òî ãîðå ïîïðàâèìî. Ïîêóïàåòå â Ìîñêâå 100 ïóäîâ îâñà, à â Ñàíêò- Ïåòåðáóðãå ïðîäàåòå èõ êàê 133 ñ íåáîëüøèì ïóäà. ×òîáû áûòü ïðåäïðèèì÷èâûì òîðãîâöåì, âàì ïðèäåòñÿ åùå ïîñìîòðåòü íà ðàçíèöó â öåíå íà îâåñ â Ìîñêâå è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå. Ïîñ÷èòàòü, ñêîëüêî íàäî áóäåò âçÿòü îâñà, ÷òîáû ïðîêîðìèòü ëîøàäü. Îöåíèòü ñòîèìîñòü ñîáñòâåííîãî òðóäà. È íå çàáûòü ïðî àìîðòèçàöèþ îáîðóäîâàíèÿ èçíîñ ïîäêîâ ëîøàäè è ïîëîçüåâ ñàíåé». «Èñòîðèÿ» ñ äþéìîì Ñ íàíîìåòðàìè íàäî âåñòè ñåáÿ àêêóðàòíî. À òî ìîãóò ïðîèçîéòè âñÿêèå èñòîðèè, êàêèå èìåëè ìåñòî ñ ìåòðîì. Âïðî÷åì, äàæå íå ñ ìåòðîì, à ñ äþéìîì. Êñòàòè ñêàçàòü, ïî÷åìó-òî íàíîäþéì íå òàê ïîïóëÿðåí, êàê íàíîìåòð. Íàâåðíîå, ïîòîìó, ÷òî íàíîäþéì ïî÷òè â 40 ðàç ìåíüøå, ÷åì íàíîìåòð, è íà ïîðÿäîê ìåíüøå ðàçìåðà àòîìà. Íî âåðíåìñÿ ê îáåùàííîé èñòîðèè ñ äþéìîì. Ïðîèñõîäèëî ýòî âî âðåìåíà áîëüøîé êîñìè÷åñêîé ãîíêè ìåæäó ÑÑÑÐ è ÑØÀ. Îáå ñâåðõäåðæàâû ñïåøèëè áûòü ïåðâûìè. Âîçìîæíî, äëÿ óñêîðåíèÿ ïðîöåññà ñîçäàíèÿ êîñìè÷åñêîé ðàêåòû àìåðèêàíöû äâå ïîëîâèíêè ðàêåòû äåëàëè â ðàçíûõ ìåñòàõ. Êîãäà äâå ïîëîâèíêè îêàçàëèñü â îäíîì ìåñòå 01-19.p65 3 ÄËÈÍÎÉ Â ÎÄÈÍ ÍÀÍÎÌÅÒÐ ! âàíèÿ è ïðèìåíåíèÿ.  íàøå âðåìÿ, â ÕÕI âåêå, ìíîãèå èññëåäîâàíèÿ âåäóòñÿ íà ìàñøòàáå íàíî. Ñïîñîá ïðîèçâîäñòâà, êîãäà ìàòåðèàëû è óñòðîéñòâà êîíñòðóèðóþòñÿ è ñîáèðàþòñÿ èç îòäåëüíûõ àòîìîâ è ìîëåêóë, ïðèíÿòî íàçûâàòü íàíîòåõíîëîãèÿìè. Äëÿ íàíîòåõíîëîãèé Ïàëàòà ìåð è âåñîâ ÍÈÈ ìåòðîëîãèè èì. Ä.È.Ìåíäåëååâà ìåòð ñëèøêîì áîëüøàÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèíû. Ïîäõîäÿùåé âåëè÷èíîé çäåñü ìîæåò ñëóæèòü íàíîìåòð. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè, âñå î÷åâèäíî: 1 íì = 10 −9 ì , è, êàçàëîñü áû, íåò íè÷åãî ïðîùå. Îäíàêî íà ïðàêòèêå âîçíèêàþò ñëîæíûå âîïðîñû. È ïåðâûé èç íèõ êàê èçãîòîâèòü ëèíåéêó ñ ðàññòîÿíèÿìè ìåæäó ðèñêàìè äëèíîé â îäèí íàíîìåòð. Äåéñòâèòåëüíî, ìåòð ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ïåðâè÷íîé åäèíèöåé äëÿ èçìåðåíèÿ äëèí è èìååò ñâîé ýòàëîí. Íàíîìåòð ïîÿâëÿåòñÿ êàê ïðîèçâîäíàÿ îò ìåòðà åäèíèöà äëèíû. À êàê ñäåëàòü âòîðè÷íûé ýòàëîí äëÿ íàíîìåòðà? Ýòîò âîïðîñ îòíîñèòñÿ ê îáëàñòè íàíîìåòðîëîãèè è èìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ íàíîòåõíîëîãèé. «Õî÷åøü ñîçäàâàòü íàó÷èñü ìåðèòü», ýòî ñëîâà çíàìåíèòîãî ðóññêîãî ó÷åíîãî Äìèòðèÿ Èâàíîâè÷à Ìåíäåëååâà, âíåñøåãî îãðîìíûé âêëàä â ñîçäàíèå ìåòðîëîãè÷åñêîé ñëóæáû â Ðîññèè.  ïîëíîé ìåðå åãî ñëîâà ñïðàâåäëèâû è äëÿ íàíîòåõíîëîãèé. Èòàê, äàëüíåéøèé ðàññêàç áóäåò î òîì, êàê ñäåëàòü ëèíåéêó äëÿ èçìåðåíèé äëèí â íàíîäèàïàçîíå. Êàê ïîäåëèòü ìåòð íà ìèëëèàðä íàíîìåòðîâ? Íàíîòåõíîëîãèè ýòî èñêóññòâî ñîçäàâàòü íîâóþ ïðîäóêöèþ, ðàçìåðû êîòîðîé íàõîäÿòñÿ â îáëàñòè íàíîìåòðîâîãî äèàïàçîíà. Åñëè ñåðüåçíî çàíèìàòüñÿ ïðîèçâîäñòâîì òàêèõ èçäåëèé, òî íóæíî î÷åíü õîðîøî íàó÷èòüñÿ èçìåðÿòü ýòè ñàìûå íàíîìåòðû. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèì íå òîëüêî óäîáíûé, íî è îäíîçíà÷íûé ýòàëîí äëèíû. Âðîäå áû, âñå ïðîñòî: ÷òîáû ïîëó÷èòü íàíîìåòð, íàäî ðàñïèëèòü îäèí ýòàëîííûé ìåòð íà îäèí ìèëëèàðä ðàâíûõ ÷àñòåé. Åñëè ïîòîì ìèëëèàðä ÷åëîâåê ïîëó÷àò ïî îäíîìó íàíîìåòðó, ðàçîéäóòñÿ ïî ðàçíûì ÷àñòÿì ñâåòà, à çàòåì, ñïóñòÿ ìíîãî âðåìåíè, âíîâü ñîáåðóòñÿ â îäíîì ìåñòå, ïðèëîæàò âñå ñâîè íàíîìåòðû äðóã ê äðóãó è óáåäÿòñÿ, ÷òî èõ íàíîìåòðû îäèíàêîâîé äëèíû, âîò áóäåò çäîðîâî. È îçíà÷àòü ýòî «çäîðîâî» áóäåò ìíîãîå. Âî-ïåðâûõ, ÷òî âíà÷àëå ìåòð ïîðåçàëè òî÷íî íà ðàâíûå ÷àñòè. Âî-âòîðûõ, ÷òî âî âðåìÿ ñòðàíñòâèé íàíîìåòð íå ïîèçíîñèëñÿ, íå ïîèñòåðñÿ è íå ðàñòÿíóëñÿ. Â-òðåòüèõ, ÷òî òàêèå íàíîìåòðû ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ìåðó äëèíû è ÷òî äâà ÷åëîâåêà, èçìåðÿþùèå îäèí è òîò æå ïðåäìåò «ðàçíûìè» íàíîìåòðàìè, ïîëó÷àò îäíè è òå æå ðåçóëüòàòû. Îäíàêî îñóùåñòâèòü òàêîå íå óäàñòñÿ, 29.07.09, 17:14 " ÊÂÀÍT 2009/¹4 ïîñêîëüêó, êàê òîëüêî ìû íà÷íåì ïèëèòü ìåòð, ïîÿâèòñÿ ñòðóæêà, à øèðèíà êàæäîãî ïðîïèëà ìîæåò âîîáùå îêàçàòüñÿ áîëüøå îäíîãî íàíîìåòðà, ò.å. âåñü íàø òðóä óéäåò â îïèëêè. Ìîæíî ïîïðîáîâàòü ðàçðåçàòü ìåòð íîæîì òàê, ÷òîáû íå áûëî îïèëîê, íî êàê ýòî ñäåëàòü? Âåðíåìñÿ îïÿòü ê ìåòðó. Ìåòð ýòî åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèíû, è ðàâåí îí, â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîâðåìåííûì îïðåäåëåíèåì, ðàññòîÿíèþ, êîòîðîå ïðîõîäèò ñâåò çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ðàâíûé 1/299792458 ñåêóíäû. Ýòàëîííûé ìåòð òåïåðü ïðèâÿçàëè êî âðåìåíè è ê ñêîðîñòè ñâåòà. Ñäåëàëè ýòî â 1983 ãîäó è ñäåëàëè ïîòîìó, ÷òî èçìåðåíèÿ âðåìåíè ñåãîäíÿ îòíîñÿòñÿ ê ñàìûì òî÷íûì èçìåðåíèÿì, à ñêîðîñòü ñâåòà åñòü îäíà èç ôóíäàìåíòàëüíûõ è ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí. Òàêèì îáðàçîì, òåïåðü, âìåñòî òîãî ÷òîáû ìåòð ðàçðåçàòü íà ÷àñòè, íàäî ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïîäåëèòü íà ìèëëèàðä ÷àñòåé. Òîãäà ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî 1 íàíîìåòð ðàâåí ðàññòîÿíèþ, êîòîðîå ïðîõîäèò ñâåò çà 1/299792458000000000 ñåêóíäû. Åñëè ìû õîòèì èçìåðÿòü íàíîìåòð ñ òî÷íîñòüþ õîòÿ áû 1%, òî ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðèäåòñÿ îïðåäåëÿòü ñ îøèáêîé íå áîëåå ÷åì 3 ⋅ 10−20 ñåêóíäû. Ñåé÷àñ íàöèîíàëüíûå ìåòðîëîãè÷åñêèå öåíòðû ÑØÀ, Ãåðìàíèè è Ôðàíöèè, èìåþùèå â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè ýòàëîíû íà îñíîâå öåçèåâûõ ôîíòàíîâ, âåäóò ðàáîòû íàä ñòàíäàðòàìè ÷àñòîòû íà îñíîâå îïòè÷åñêèõ èçëó÷àòåëåé, èñïîëüçóþùèõ îäèíî÷íûé èîí èçîòîïà èòòåðáèÿ 171 70Yb, çàõâà÷åííûé ìàãíèòíîé èëè ýëåêòðè÷åñêîé ëîâóøêîé. Îñóùåñòâëåííûå îöåíêè óæå ïîêàçûâàþò, ÷òî îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé âðåìåíè ìîæíî óìåíüøèòü äî 1 ⋅ 10 −19 . Èíûìè ñëîâàìè, â ïðèíöèïå ìîæíî èçìåðèòü îäèí íàíîìåòð ñ òî÷íîñòüþ 3%. Ïðîñòîé ðåöåïò èçãîòîâëåíèÿ íàíîìåòðà Äàâàéòå ïîäóìàåì, êàê â äîìàøíåé ëàáîðàòîðèè ñäåëàòü ïðîñòîé è íàäåæíûé ýòàëîí â 1 íàíîìåòð. Êàçàëîñü áû, ýòà çàäà÷à íåïîñèëüíà â óñëîâèÿõ, êîãäà ó íàñ íåò ïðàêòè÷åñêè íè÷åãî, êðîìå íàøåãî æåëàíèÿ ñäåëàòü ýòàëîí. Åñëè ìû ïîéäåì ïî ïóòè ïðèìåíåíèÿ ñòàíäàðòîâ ÷àñòîòû èëè èçìåðåíèÿ ñâåðõêîðîòêèõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè áóäåò èìåííî òàê. Íî äëÿ ñîçäàíèÿ íàøåãî ýòàëîíà äëèíû â 1 íàíîìåòð åñòü âîçìîæíîñòü âûáðàòü äðóãîé ïóòü. È êàê âû ñêîðî óáåäèòåñü ïóòü íå òîëüêî î÷åíü ïðîñòîé, íî îáåñïå÷èâàþùèé âûñîêóþ òî÷íîñòü èçãîòîâëåíèÿ íàíîìåòðà. Èòàê, ïåðåõîäèì ê îïèñàíèþ ðåöåïòà èçãîòîâëåíèÿ ýòàëîíà â 1 íì. Íàì ïîíàäîáÿòñÿ áàòàðåéêà, ïëàñòèíêà èç ïüåçîêåðàìèêè ñ ýëåêòðîäàìè, äâà ýëåêòðè÷åñêèõ ñîïðîòèâëåíèÿ è ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà. Âñå, êðîìå ïüåçîïëàñòèíêè, íàéòè íåñëîæíî. Ïåðåä òåì êàê îòïðàâèòüñÿ íà ïîèñêè ïüåçîïëàñòèíêè, äàâàéòå ðàçáåðåìñÿ, ÷òî îíà èç ñåáÿ ïðåäñòàâëÿåò. Òàêèå ïëàñòèíêè îáû÷íî èçãîòàâëèâàþò èç ïüåçîêåðàìèêè, íàïðèìåð öèðêîíàòà-òèòàíàòà ñâèíöà, â âèäå ñïëþùåííîé øàéáû. Íà ïðîòèâîïîëîæíûå òîðöû øàéáû íàíîñÿò ìåòàëëè÷åñêèå ýëåêòðîäû. Äëÿ íàñ ïîäîéäåò øàéáà ðàçìåðîâ ìîíåòû â 1 êîïåéêó. À ÷åì õîðîøà ïüåçîêåðàìèêà? Åñëè ïüåçîêåðàìèêó ïîìåñòèòü â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, òî åå ðàçìåðû èçìåíÿòñÿ. Ïðîèñõîäèò ýòî ïî ïðè÷èíå îáðàòíîãî ïüåçîýôôåêòà. Ïðÿìîé ïüåçîýôôåêò ïðîÿâëÿåòñÿ â âîçíèêíîâåíèè ýëåêòðè÷åñêîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ íà ýëåêòðîäàõ ïüåçîïëàñòèíêè, åñëè ýòó ïëàñòèíêó ïîäâåðãíóòü ìåõàíè÷åñêîìó âîçäåéñòâèþ ñæàòèþ èëè ðàñòÿæåíèþ. Îáðàòíûé ïüåçîýôôåêò ñîñòîèò â èçìåíåíèè äëèíû ñòåðæíÿ ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîãî ê íåìó ýëåêòðè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ. Îáà ýòè ýôôåêòà âïåðâûå áûëè îáíàðóæåíû áðàòüÿìè Æàêîì è Ïüåðîì Êþðè â 1878 ãîäó íà êðèñòàëëå êâàðöà. Êñòàòè ñêàçàòü, íà ïðèíöèïå îáðàòíîãî ïüåçîýôôåêòà óñòðîåí ýëåêòðè÷åñêèé çâîíîê â ìîáèëüíûõ òåëåôîíàõ èëè íàðó÷íûõ ÷àñàõ. 01-19.p65 4 è èõ ïîïûòàëèñü ñîåäèíèòü, îêàçàëîñü, ÷òî èõ äèàìåòðû îòëè÷àþòñÿ íà öåëûé äþéì. Ñîñòàâèòü èç äâóõ ïîëîâèíîê îäíî öåëîå ñðàçó íå óäàëîñü. Ïðîèçîøëà çàìèíêà, ïîâëåêøàÿ îòñòàâàíèå àìåðèêàíöåâ, è íàøà êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà â î÷åðåäíîé ðàç ñòàðòîâàëà ïåðâîé. Áûëà ëè îøèáêà â äîêóìåíòàöèè èëè äþéìû áûëè ðàçíûå, òåïåðü íèêîãî íå èíòåðåñóåò. Òîãäà, êàê è âñåãäà, êàæäîìó õîòåëîñü áûòü ïåðâûì. Åñòü ëè íàíîìåòðîëîãèÿ â æèâîé ïðèðîäå? Ïðèðîäíûå íàíîòåõíîëîãèè, êîòîðûå òàê óñïåøíî ðàáîòàþò â æèâîé ïðèðîäå â òå÷åíèå ìíîãèõ ìèëëèîíîâ ëåò ýâîëþöèè, ê ðàçìåðàì îòíîñÿòñÿ î÷åíü àêêóðàòíî. Òàê, ñáîðêà íåêîòîðûõ áåëêîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ, ïðåâûøàþùåé 1/10 íàíîìåòðà. Áàêòåðèÿ Helicobacter pilory Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìíîãèå ïðîöåññû ìîëåêóëÿðíîãî óçíàâàíèÿ â áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ïîñòðîåíû íà âåñüìà òî÷íîì âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè àòîìîâ è ìîëåêóë. Íàïðèìåð, ãåîìåòðèÿ àíòèòåë áåëêîâûõ ìîëåêóë, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îáíàðóæèâàòü ÷óæåðîäíûå ÷àñòèöû àíòèãåíû, ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíîé ê ýòèì ñàìûì àíòèãåíàì. Ïðè îáúåäèíåíèè äðóã ñ äðóãîì îíè îáðàçóþò íîâûé ìàêðîìîëåêóëÿðíûé êîìïëåêñ áåç ëèøíèõ «çàçîðîâ». Ýòî òîëüêî îäèí ïðèìåð, òàêèõ ïðèìåðîâ â æèâîé ïðèðîäå î÷åíü ìíîãî. Õîðîøî èçó÷åííûé âèðóñ òàáà÷íîé ìîçàèêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîëåêóëó ÐÍÊ â ôîðìå ñïèðàëè ñ îêðóæàþùåé åå áåëêîâîé îáîëî÷êîé. Îí èìååò ôîðìó ïðîäîëãîâàòîé ïàëî÷êè äèàìåòðîì 18 íì è äëèíîé îêîëî 300 íì. Âîò òàêàÿ ìèíèàòþðíàÿ ÷àñòèöà Âèðóñ òàáà÷íîé ìîçàèêè 29.07.09, 17:14 ËÈÍÅÉÊÀ Âèðóñ êàðòîôåëÿ ìîæåò äîñòàâèòü î÷åíü ìíîãî íåïðèÿòíîñòåé òàáàêó, ïîìèäîðàì è äðóãèì ðàñòåíèÿì. Ðàñòåíèÿ, êàê è ìû, ïîäâåðæåíû âèðóñíûì çàáîëåâàíèÿì. Ê íàøåìó ñ÷àñòüþ, âèðóñû ðàñòåíèé íå ïðåäñòàâëÿþò íèêàêîé îïàñíîñòè ÷åëîâåêó. Ïî êðàéíåé ìåðå, ìîæíî êîíñòàòèðîâàòü, ÷òî îáðàòíîå íèêòî íèêîãäà íå äåìîíñòðèðîâàë. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, ìû ìîæåì ñïîêîéíî ñúåñòü êàðòîôåëü, ïîðàæåííûé Õ âèðóñîì êàðòîôåëÿ. Áóêâà Õ çäåñü îáîçíà÷àåò òèï âèðóñà. Åñòü òàêæå À âèðóñ êàðòîôåëÿ è  âèðóñ êàðòîôåëÿ. Õ âèðóñ êàðòîôåëÿ, êàê è âèðóñ òàáà÷íîé ìîçàèêè, èìååò, íèòåâèäíóþ ôîðìó, òîëüêî îí ïîóæå è ïîäëèííåå: 14 íì â äèàìåòðå ïðè äëèíå 1 ìèêðîí. Êñòàòè, áûëî âûñêàçàíî ïðåäëîæåíèå èñïîëüçîâàòü âèðóñ òàáà÷íîé ìîçàèêè êàê ýòàëîí 18 íàíîìåòðîâ, à Õ âèðóñ êàðòîôåëÿ êàê ýòàëîí 14 íàíîìåòðîâ. Ñîâðåìåííûå ñèñòåìû íàâèãàöèè Ñîâðåìåííûå ñèñòåìû íàâèãàöèè GPS è ÃËÎÍÀÑÑ ðàáîòàþò ñ òî÷íîñòüþ èçìåðåíèÿ ÷àñòîòû è, ñîîòâåòñòâåííî, ïðîìåæóòêà âðåìåíè ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ 1 ⋅ 10−13 . GPS ñîêðàùåíèå àíãëèéñêèõ ñëîâ Global Positioning System, ò.å. ãëîáàëüíàÿ ñèñòåìà ïîçèöèîíèðîâàíèÿ. Ïîëíîå íàçâàíèå ýòîé ñïóòíèêîâîé ñèñòåìû íàâèãàöèè NAVSTAR GPS (NAVigation Satellites providing Time And Range íàâèãàöèîííûå ñïóòíèêè, îáåñïå÷èâàþùèå èçìåðåíèå âðåìåíè è ðàññòîÿíèÿ; ãëîáàëüíàÿ ñèñòåìà ïîçèöèîíèðîâàíèÿ). Ýòà ñèñòåìà ñîçäàíà Ìèíèñòåðñòâîì îáîðîíû ÑØÀ äëÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàò è ñêîðîñòè îáúåêòîâ. Ðîññèéñêàÿ ñïóòíèêîâàÿ ñèñòåìà íàâèãàöèè ÃËÎáàëüíàÿ ÍÀâèãàöèîííàÿ Ñïóòíèêîâàÿ Ñèñòåìà, èëè ñîêðàùåííî ÃËÎÍÀÑÑ. Åñëè ó âàñ äîìà åñòü GPS-ïðèåìíèê, òî âû ìîæåòå ïîäóìàòü î ïðèâÿçêå îäíîãî ìèëëèìåòðà ê ìåòðó ñ ïîìîùüþ ýòîãî îáùåäîñòóïíîãî ýòàëîíà ÷àñòîòû è î ïðîâåðêå ðàñïîëîæåíèÿ íàñå÷åê íà äîìàøíåé ëèíåéêå ñ 01-19.p65 5 ÄËÈÍÎÉ Â ÎÄÈÍ ÍÀÍÎÌÅÒÐ # Ïðàâèëî îáðàòíîãî ïüåçîýôôåêòà î÷åíü ïðîñòîå èçìåíåíèå ðàçìåðîâ ïüåçîïëàñòèíèêè ∆D ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ïðèëîæåííîìó íàïðÿæåíèþ ∆U : ∆D = d33 ∆U , ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè d33 ïüåçîýëåêòðè÷åñêèé ìîäóëü. Èñïîëüçîâàíèå äâóõ öèôð â èíäåêñå ìîäóëÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî íàïðÿæåíèå â îáùåì ñëó÷àå ìû ìîæåì ïðèêëàäûâàòü ïî îäíîìó èç òðåõ íàïðàâëåíèé (âäîëü îñåé êîîðäèíàò X, Y èëè Z), à èçìåíåíèå ðàçìåðîâ íàáëþäàòü ïî ëþáîìó äðóãîìó íàïðàâëåíèþ.  íàøåì ñëó÷àå íàïðàâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïåðåìåùåíèÿ, ïîýòîìó èñïîëüçóþòñÿ äâå îäèíàêîâûå öèôðû 3. Êàê ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, âñåãî ó ïüåçîýëåêòðè÷åñêîãî ìîäóëÿ 9 êîìïîíåíòîâ: d11, d12, d13,… , d33 . (Òàêèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ òåíçîðàìè âòîðîãî ïîðÿäêà.) Âîçüìåì êåðàìèêó ñ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì ìîäóëåì d33 = = 200 ⋅ 10−12 Êë Í = 200 ⋅ 10 −12 ì  . Åñëè ìû ïðèëîæèì ê ýëåêòðîäàì íàïðÿæåíèå 5 Â, òî èçìåíåíèå ðàçìåðîâ ïëàñòèíêè ñîñòàâèò 1 íì. Çàìåòüòå, ÷òî èçìåíåíèå ðàçìåðîâ ïüåçîïëàñòèíêè íå çàâèñèò îò òîëùèíû ñàìîé ïëàñòèíêè. È ýòî î÷åíü õîðîøî, èáî, ñîçäàâàÿ ýòàëîí äëèíû, ìû íå äîëæíû äóìàòü î äëèíå ñàìîãî ýòàëîíà. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íàøåãî íàíîìåòðà ìû óæå ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ãëàâíûé òåçèñ: íàíîìåòð ýòî ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå èçìåíÿåòñÿ ðàçìåð ïëàñòèíêè, èçãîòîâëåííîé èç ïüåçîêåðàìèêè ñ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì ìîäóëåì d33 = 200 ⋅ 10 −12 Êë Í = 200 ⋅ 10 −12 ì  , ïðè ïðèëîæåíèè ê åå ýëåêòðîäàì íàïðÿæåíèÿ 5 Â.  íàøåì ýòàëîíå ìû èñïîëüçîâàëè èìåííî òàêèå ïüåçîïëàñòèíêó è áàòàðåéêó. Åñëè ó áàòàðåéêè íàïðÿæåíèå áîëüøå 5 Â, òî íàì ïîíàäîáÿòñÿ äâà ýëåêòðè÷åñêèõ ñîïðîòèâëåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìû ñäåëàåì äåëèòåëü íàïðÿæåíèÿ ñ âûõîäîì 5 Â. À åñëè ìû íàéäåì ïüåçîêåðàìèêó ñ äðóãèì çíà÷åíèåì ïüåçîýëåêòðè÷åñêîãî ìîäóëÿ, òî, ïîäáèðàÿ íà äåëèòåëå íóæíîå íàïðÿæåíèå, ìû ñìîæåì è äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ âûïîëíèòü óñëîâèå ∆D = 1 íì. Ìàëåíüêèå õèòðîñòè åñòü â êàæäîì äåëå  èçãîòîâëåíèè íàøåãî íàíîìåòðà åñòü ñâîè «õèòðîñòè». Âîò ïåðâàÿ. Åñëè ìû èñïîëüçóåì ïüåçîïëàñòèíêó, èçãîòîâëåííóþ èç ïüåçîêåðàìèêè ñ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì ìîäóëåì d33 = 200 ⋅ 10−12 Êë Í , òî ïîñëå êàæäîãî ïðèëîæåíèÿ íàïðÿæåíèÿ 5  ðàçìåð ïëàñòèíêè áóäåò èçìåíÿòüñÿ íà 1 íì. Ìåæäó ïðèëîæåíèÿìè íàïðÿæåíèé î÷åíü âàæíî íå çàáûâàòü îáêëàäêè ïëàñòèíêè çàìûêàòü ïðîâîäíèêîì. Ïüåçîêåðàìèêà î÷åíü õîðîøèé èçîëÿòîð: áóäó÷è ïðèëîæåííûì ê îáêëàäêàì åäèíîæäû, íàïðÿæåíèå áóäåò äåðæàòüñÿ íà íèõ äîñòàòî÷íî äîëãî. Ýòî ìîæåò äëèòüñÿ è ÷àñû, è ñóòêè, âñå çàâèñèò îò âëàæíîñòè âîçäóõà è ÷èñòîòû ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè. Çàìûêàÿ ýëåêòðîäû ïëàñòèíêè ïðîâîäíèêîì, ìû ïîçâîëÿåì îòðèöàòåëüíîìó çàðÿäó ñòå÷ü ïî ïðîâîäíèêó íà ïðîòèâîïîëîæíóþ îáêëàäêó òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàïðÿæåíèå íà ïëàñòèíêå ñòàëî ðàâíûì íóëþ è ïëàñòèíêà âåðíóëàñü ê èñõîäíûì ðàçìåðàì. È åùå îäíà âàæíàÿ «ìåëî÷ü». Ýëåêòðè÷åñêîå íàïðÿæåíèå ìîæíî ïðèêëàäûâàòü òàê, ÷òîáû ïüåçîïëàñòèíêà ñòàíîâèëàñü òîëùå, èëè òàê, ÷òîáû ïëàñòèíêà ñòàíîâèëàñü òîíüøå. Èíûìè ñëîâàìè, áàòàðåéêó ìîæíî ïîäêëþ÷àòü ïëþñîì íà âåðõíèé ýëåêòðîä, à ìîæíî ïëþñîì íà íèæíèé ýëåêòðîä.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïëàñòèíêà áóäåò ìåíÿòü ñâîé ðàçìåð íà 1 íì. Åñòü ëè ðàçíèöà â òîì, êàê ïðèêëàäûâàòü íàïðÿæåíèå? ×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, íàäî ðàññêàçàòü, êàê èçãîòàâëèâàþò ïüåçîêåðàìèêó. Ïüåçîêåðàìèêó äåëàþò èç ïîðîøêà, êîòîðûé ñïåêàþò ïðè âûñîêîé òåìïåðàòóðå è ëó÷øå ïðè âûñîêîì äàâëåíèè. Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ òâåðäûé ìàòåðèàë, êîòîðûé íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì ìàñøòàáå ñîñòîèò 29.07.09, 17:15 $ ÊÂÀÍT 2009/¹4 èç îòäåëüíûõ çåðåí.  êàæäîì çåðíå ïîëîæèòåëüíûå çàðÿäû ñëåãêà ñìåùåíû îòíîñèòåëüíî îòðèöàòåëüíûõ (â öåëîì çåðíà ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíû), è ýòî ñìåùåíèå çàðÿäîâ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ó çåðíà ïîÿâëÿåòñÿ äèïîëüíûé ìîìåíò. Ïîïàäàÿ â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, òàêîå çåðíî áóäåò ðàñòÿãèâàòüñÿ èëè ñæèìàòüñÿ.  ñâåæåèñïå÷åííîé ïüåçîêåðàìèêå äèïîëüíûå ìîìåíòû îòäåëüíûõ çåðåí èìåþò ñëó÷àéíûå íàïðàâëåíèÿ, îáðàòíûé ïüåçîýôôåêò íàáëþäàåòñÿ äëÿ êàæäîãî çåðíà â îòäåëüíîñòè, à íàïðàâëåííîå ïåðåìåùåíèå ïëàñòèíû â öåëîì îòñóòñòâóåò.  ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ÷àñòü çåðåí ðàñòÿíåòñÿ, à ÷àñòü ñîæìåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïîëÿ, íî â öåëîì ðàçìåð ïüåçîêåðàìè÷åñêîãî îáðàçöà íå èçìåíèòñÿ. ×òîáû âûçâàòü íàïðàâëåííîå ïåðåìåùåíèå, âñå äèïîëüíûå ìîìåíòû îòäåëüíûõ çåðåí íóæíî ñîðèåíòèðîâàòü îäèíàêîâûì îáðàçîì. Äëÿ ýòîãî ïüåçîêåðàìèêó ïîìåùàþò â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ 1000 Â/ìì è áîëåå è íàãðåâàþò äî òåìïåðàòóðû îêîëî 300 °Ñ. Ýòîò ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçàöèåé êåðàìèêè. Ïåðåãðåâàòü êåðàìèêó íåëüçÿ, ïîòîìó ÷òî ïðè íåêîòîðîé òåìïåðàòóðå (òî÷êà Êþðè) ïüåçîýôôåêò ïðîïàäàåò. Åñëè ïîëÿðèçàöèÿ ïðîâåäåíà óñïåøíî, òî âñå çåðíà èìåþò äèïîëüíûå ìîìåíòû, íàïðàâëåííûå â îäíó ñòîðîíó, ïðè ýòîì ïîëÿðèçóþùåå ïîëå ðàñòÿãèâàåò êåðàìèêó. Åñëè æå ïðèëîæèòü ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ, òî áóäåò ïðîèñõîäèòü ïðîöåññ äåïîëÿðèçàöèè, ñæèìàþùèé êåðàìèêó. Âîò çäåñü è êðîåòñÿ îòâåò íà íàø âîïðîñ, êàê íàäî ïðèêëàäûâàòü íàïðÿæåíèå â ýòàëîíå íàíîìåòðà ÷òîáû êåðàìèêà ðàñòÿãèâàëàñü èëè ñæèìàëàñü. Ïðàâèëüíûé îòâåò òàêîé. Åñëè ìû õîòèì èçáåæàòü âîçìîæíîé äåïîëÿðèçàöèè êåðàìèêè, òî íàïðÿæåíèå íàäî ïðèêëàäûâàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âñåãäà ïðîèñõîäèëî òîëüêî óäëèíåíèå ïëàñòèíêè. Ïîâåðÿåì íàíîìåòð è ñòàíîâèìñÿ íàíîìåòðîëîãàìè Ó ïüåçîêåðàìèêè åñòü ðÿä íåäîñòàòêîâ íåëèíåéíîñòü, ãèñòåðåçèñ, êðèï. Íåëèíåéíîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ â îòêëîíåíèè îò ïðîñòîé ôîðìóëû ∆D = d33 ∆U . Ãèñòåðåçèñ îáóñëîâëåí «ïàìÿòüþ» ìàòåðèàëà ê ïðåäûñòîðèè ïðèêëàäûâàåìîãî íàïðÿæåíèÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïðè îäíîì è òîì æå ïðèëîæåííîì íàïðÿæåíèè óäëèíåíèÿ ïëàñòèíêè áóäóò ðàçíûìè. Âñëåäñòâèå êðèïà, èëè ïîëçó÷åñòè, óäëèíåíèå ïüåçîêåðàìèêè ìîæåò îòñòàâàòü âî âðåìåíè îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Áóäóò ëè ýòè ýôôåêòû ñíèæàòü òî÷íîñòü íàøåãî ýòàëîíà íàíîìåòðà? Ïðàêòè÷åñêè íåò, åñëè ê ýëåêòðîäàì ýòàëîíà ñòðîãî ïåðèîäè÷åñêè ïðèêëàäûâàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ: 5  è 0 Â. Âñå íåäîñòàòêè ïüåçîêåðàìèêè íåëèíåéíîñòü, ãèñòåðåçèñ, êðèï ïðèñóòñòâîâàòü áóäóò, íî èõ âêëàä áóäåò âñå âðåìÿ îäíèì è òåì æå. À åñëè òàê, òî, àêêóðàòíî âûáèðàÿ íàïðÿæåíèå, ìû ìîæåì äîáèòüñÿ óäëèíåíèÿ ïüåçîïëàñòèíêè òî÷íî íà îäèí íàíîìåòð. Çàâåðøàÿ íàø ðàññêàç, îòìåòèì, ÷òî åñëè âû íå ñóìåëè èçãîòîâèòü ñâîé ñîáñòâåííûé ýòàëîí íàíîìåòðà, íî âñå ïîíÿëè â äàííîé ñòàòüå, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âû óæå ñîñòîÿâøèéñÿ íàíîìåòðîëîã. (Âåäü íå êàæäûé æå íàíîìåòðîëîã ïîëüçóåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî èçãîòîâëåííûì íàíîýòàëîíîì.) Åñëè æå âû ïîòðóäèëèñü, íàøëè ïüåçîïëàñòèíêó è ñîîðóäèëè ñâîé íàíîìåòð, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âû ñàìûé ïåðåäîâîé íàíîìåòðîëîã. Çà ðàìêàìè ñòàòüè îñòàëñÿ î÷åíü âàæíûé âîïðîñ: êàê óáåäèòüñÿ, ÷òî íàøà ïëàñòèíêà óäëèíÿåòñÿ òî÷íî íà îäèí íàíîìåòð? Äðóãèìè ñëîâàìè, êàêèì îáðàçîì îñóùåñòâèòü ïðèâÿçêó ñîçäàííîãî íàíîìåòðà ê ïåðâè÷íîìó ýòàëîíó ìåòðà? Ê ñîæàëåíèþ, ýòó ïðîöåäóðó â äîìàøíèõ óñëîâèÿõ ñäåëàòü íåëüçÿ. Íàäî îáðàòèòüñÿ â ìåòðîëîãè÷åñêóþ ñëóæáó, è òàì ñ ïîìîùüþ èíòåðôåðîìåòðà ñìîãóò òî÷íî îïðåäåëèòü ïåðåìåùåíèå ïëàñòèíêè. Êàê ýòî äåëàåòñÿ òåìà äëÿ äðóãîé ñòàòüè. 01-19.p65 6 òî÷íîñòüþ ÷óòü ëó÷øå ÷åì 1%. Äî íàíîìåòðà ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû GPS ïîêà ïðèáëèçèòüñÿ íå óäàåòñÿ. Ýêîíîìèêà èçãîòîâëåíèÿ íàíîìåòðà Âîçìîæíî, ó âàñ îñòàåòñÿ ïîêà íåðåøåííûì âîïðîñ, ãäå íàéòè ïüåçîêåðàìè÷åêóþ ïëàñòèíêó. Íà ñàìîì äåëå, òàêèå ïëàñòèíêè áóêâàëüíî îêðóæàþò íàñ â íàøåé ïîâñåäíåâíîé æèçíè. Çâîíêè â ÷àñàõ, ìîáèëüíûõ òåëåôîíàõ è êîìïüþòåðàõ ÷àñòî èçãîòàâëèâàþò èìåííî èç ïüåçîêåðìà÷åñêèõ ïëàñòèí. Ïðàâäà, â íèõ åñòü îäíà îñîáåííîñòü. Òàì ïüåçîïëàñòèíêè ïðèêëåèâàþò ê óïðóãîé ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêå.  ðåçóëüòàòå ýòîãî ïðè èçìåíåíèè ðàçìåðîâ ïüåçîïëàñòèíêè òàêàÿ êëååíàÿ êîíñòðóêöèÿ ñîâåðøàåò äîïîëíèòåëüíûé èçãèá è öåíòð êîíñòðóêöèè ïåðåìåùàåòñÿ íà ãîðàçäî áîëüøåå ðàññòîÿíèå, ÷åì ñâîáîäíàÿ ïëàñòèíêà. Ïîýòîìó åñëè ìû õîòèì ïîëó÷èòü ïåðåìåùåíèå â 1 íì, òî ëó÷øå èñïîëüçîâàòü ïðîñòî ïüåçîêåðàìè÷åñêóþ ïëàñòèíêó èíà÷å ïðèêëàäûâàåìîå íàïðÿæåíèå äîëæíî áûòü ñóùåñòâåííî ìåíüøå äà è ñòàáèëüíîñòü òàêîé ñèñòåìû ãîðàçäî ìåíüøå. Êðîìå òîãî, çà ñ÷åò ðàçíèöû òåìïåðàòóðíûõ êîýôôèöèåíòîâ ïüåçîêåðàìèêè è ìåòàëëà êëååíàÿ êîíñòðóêöèÿ áóäåò äîïîëíèòåëüíî èçãèáàòüñÿ ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû îêðóæàþùåé ñðåäû. Ãäå æå íàéòè ïðàâèëüíóþ ïüåçîïëàñòèíêó? Îêàçûâàåòñÿ, îíè ïðîäàþòñÿ â ìàãàçèíàõ ýëåêòðîííûõ àêñåññóàðîâ. Ñòîèìîñòü îäíîé ïëàñòèíêè îêîëî 10 ðóáëåé. Òîãäà ìîæíî ïîäñ÷èòàòü áþäæåò íàøåé ðàçðàáîòêè ýòàëîíà íàíîìåòðà: áàòàðåéêà 40 ðóá., ïðîâîäà 8 ðóá., ïüåçîïëàñòèíêà 10 ðóá., ïîèñê è çàêàç ïëàñòèíêè â Èíòåðíåòå (îïëàòà òðàôèêà) 35 ðóá., äîñòàâêà ïüåçîïëàñòèíêè (åñëè âû íå ïîåäåòå ñàìè) 150 ðóá., ñîáñòâåííûé òðóä îöåíèòå ñàìè. Âîò òàêàÿ ýêîíîìèêà èçãîòîâëåíèÿ ýòàëîíà â îäèí íàíîìåòð. Ëþáîïûòíî, ÷òî ... åñëè âû âçãëÿíèòå íà ñåáÿ â çåðêàëî, òî çà ýòî âðåìÿ êàæäûé âîëîñîê âàøåé øåâåëþðû óäëèíèòñÿ íà îäèí íàíîìåòð. åñëè âîäîé èç îçåðà Áàéêàë çàïîëíèòü ïîëîâèíó îáúåìà æåëåçíîäîðîæíîé öèñòåðíû, òî óðîâåíü âîäû â îçåðå óïàäåò ïî÷òè íà îäèí íàíîìåòð. ìîíåòó äîñòîèíñòâîì â 1 êîïåéêó áðîñèëè â áàññåéí, ïðè ýòîì óðîâåíü âîäû ïîâûñèëñÿ íà 1 íì. Êàêîâû ðàçìåðû áàññåéíà? ó÷åíûå íàó÷èëèñü äåëàòü çîëîòûå íèòè òîëùèíîé â îäèí àòîì. Ïðè ýòîì íà äëèíå 1 íàíîìåòð öåëèêîì óêëàäûâàþòñÿ 3 àòîìà çîëîòà. 29.07.09, 17:15 ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ Ïî÷åìó óãëåðîäíûå íàíîòðóáêè ïðî÷íåå ñòàëè? (Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè) Óãëåðîä âñòðå÷àåòñÿ â ïðèðîäå â âèäå íåñêîëüêèõ ïîëèìîðôíûõ ìîäèôèêàöèé (àëëîòðîïîâ). Äâà èç íèõ øèðîêî èçâåñòíû ýòî ãðàôèò è àëìàç. Óãëåðîäíàÿ íàíîòðóáêà òîæå ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé óãëåðîäà è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãèãàíòñêóþ ìîëåêóëó èç àòîìîâ óãëåðîäà. Íàíîòðóáêè ìîãóò áûòü âëîæåíû îäíà â äðóãóþ òîãäà èõ íàçûâàþò ìíîãîñëîéíûìè. Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåíû ïðîäîëüíûå ñå÷åíèÿ ïÿòèñëîéíîé, äâóõñëîéíîé è ñåìèñëîéíîé æåíèå ðàçðûâàåò òîëüêî Ñ-Ñ ñâÿçè, îðèåíòèðîâàííûå âäîëü îñè òðóáêè è ðàñïîëîæåííûå â îäíîé ïëîñêîñòè åå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó áëèæàéøèìè àòîìàìè óãëåðîäà â íàíîòðóáêå ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî d = 0,15 íì. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè äèàìåòð òðóáêè ðàâåí D, òî êîëè÷åñòâî ñâÿçåé, îðèåíòèðîâàííûõ âäîëü îñè òðóáêè, πD . Ïðè ýòîì ê êàæäîé Ñ-Ñ ñâÿçè ïðèëîæåíà ðàâíî N = d 3 F . Ïðî÷íîñòü îäíîé Ñ-Ñ ñâÿçè ìîæíî íàéòè ñèëà, ðàâíàÿ N èç ãðàôèêà çàâèñèìîñòè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ýòîé ñâÿçè îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè (ðèñ.3). Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè äîñòèãàåò ìèíèìóìà, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó ÿäðàìè àòîìîâ ñîñòàâëÿåò 154 ïì. Ýòî è îïðåäåëÿåò ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì íàõîäÿòñÿ àòîìû óãëåðîäà â íåðàñòÿíóòîé íàíîòðóáêå. Òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñà- Ðèñ. 1 íàíîòðóáîê, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííîãî ìèêðîñêîïà, à íà ðèñóíêå 2 ïðåäñòàâëåíî èçîáðàæåíèå ïîâåðõíîñòè Ðèñ. 3 Ðèñ. 2 îäíîñëîéíîé íàíîòðóáêè, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ ñêàíèðóþùåãî çîíäîâîãî ìèêðîñêîïà. Ïðî÷íîñòü íà ðàçðûâ óãëåðîäíûõ íàíîòðóáîê, èçìåðåííàÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî, î÷åíü áîëüøàÿ è ñîñòàâëÿåò îêîëî 60 ÃÏà. À âîò ïðî÷íîñòü ñòàëè ïðèìåðíî 0,8 ÃÏà. Ïî÷åìó æå íàíîòðóáêè ïî÷òè â ñòî ðàç ïðî÷íåå ñòàëè? Ïîïðîáóåì âû÷èñëèòü ïðî÷íîñòü îäíîñòåííîé íàíîòðóáêè, ñõåìàòè÷íî ïîêàçàííîé íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè. Òàì øàðèêàìè îáîçíà÷åíû àòîìû óãëåðîäà, à ñîåäèíÿþùèìè èõ ëèíèÿìè êîâàëåíòíûå ñâÿçè ìåæäó ýòèìè àòîìàìè. Ó òàêîé òðóáêè îäíà òðåòü Ñ-Ñ ñâÿçåé îðèåíòèðîâàíà âäîëü åå îñè. Çàêðåïèì íåâèäèìûé êîíåö òðóáêè, à ê äðóãîìó åå êîíöó ïðèëîæèì ðàñòÿãèâàþùóþ ñèëó F. Ïóñòü â íàíîòðóáêå àòîìû óãëåðîäà îáðàçóþò ìåæäó ñîáîé îäèíàêîâûå ñâÿçè è óãëû ìåæäó íèìè ñîñòàâëÿþò 120°. Òîãäà ïðè ðàñòÿæåíèè íàíîòðóáêè ýòè ñâÿçè áóäóò ðàñòÿãèâàòüñÿ îäèíàêîâî. Îäíàêî ðàçîðâàòüñÿ íàíîòðóáêà ìîæåò ñàìûì ïðè÷óäëèâûì îáðàçîì, çàâèñÿùèì, íàïðèìåð, îò òîãî, êàêàÿ èìåííî ñâÿçü ðàçîðâåòñÿ ïåðâîé. ×òîáû óïðîñòèòü ðàñ÷åòû, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñòÿÝòîò ìàòåðèàë îïóáëèêîâàí â ðàìêàõ äîãîâîðà ñ ÃÊ «ÐÎÑÍÀÍÎÒÅÕ». 01-19.p65 7 òåëüíîé ê ïðàâîé âåòâè êðèâîé ïðîïîðöèîíàëåí ñèëå F1, íåîáõîäèìîé äëÿ òîãî, ÷òîáû óäåðæèâàòü àòîìû íà äàííîì ∂U 1 ðàññòîÿíèè r. Îòñþäà íàõîäèì F 1 = , ãäå ⋅ ∂r NA 23 −1 ÷èñëî Àâîãàäðî. ×òîáû óâåëè÷èòü NA = 6 ⋅ 10 ìîëü ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè óãëåðîäà, íàäî ïðèëîæèòü áóëüøóþ ñèëó. À åñëè îíà áóäåò áîëüøå ñèëû, ñîîòâåòñòâóþùåé ìàêñèìàëüíîìó òàíãåíñó óãëà íàêëîíà (ñì. ñèíèé ïóíêòèð íà ðèñóíêå 3), òî ñâÿçü ïîðâåòñÿ. Èíûìè ñëîâàìè, ñâÿçü ïîðâåòñÿ ïðè 348 ⋅ 103 Äæ ìîëü = 3,8 íÍ . F> 154 ⋅ 10−12 ì ⋅ 6 ⋅ 1023 1 ìîëü Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè â îäíîñòåííîé íàíîòðóáêå ÷èñëî ïàðàëëåëüíûõ îñè C-C ñâÿçåé â îäíîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ðàâíî N, òî íàíîòðóáêà ðàçîðâåòñÿ, êîãäà ðàñòÿãèâàþùàÿ åå ñèëà ñòàíåò áîëüøå N ⋅ 3,8 íÍ . Ïóñòü D = 1,5 íì, òîãäà N = 18 è Fmax = 18 ⋅ 3,8 íÍ ≈ 69 íÍ . ×òîáû âû÷èñëèòü ïðåäåë ïðî÷íîñòè σmax íàíîòðóáêè, ðàçäåëèì Fmax íà ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S = πD2 4 : 4F 4 ⋅ 69 ⋅ 10−9 σmax = max = Ïà = 39 ÃÏà . πD2 3,14 ⋅ 2,25 ⋅ 10−18 Ïîëó÷åííîå íàìè çíà÷åíèå σmax äîâîëüíî áëèçêî ê ýêñïåðèìåíòàëüíî íàéäåííûì âåëè÷èíàì (63 ÃÏà) è, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ãîðàçäî áîëüøå ïðî÷íîñòè ñàìûõ ïðî÷íûõ ñîðòîâ ñòàëè (0,8 ÃÏà). (Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ.43) 29.07.09, 17:15 & ÊÂÀÍT 2009/¹4 Àðèôìåòèêà ìíîãîãðàííèêîâ Ã.ÏÀÍÈÍÀ Ñëîæåíèþ òåáÿ îáó÷èëè? ñïðîñèëà Áåëàÿ Êîðîëåâà. Ñêîëüêî áóäåò îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí ïëþñ îäèí? ß íå çíàþ, îòâåòèëà Àëèñà. ß ñáèëàñü ñî ñ÷åòà. Ñëîæåíèÿ íå çíàåò, ñêàçàëà ×åðíàÿ Êîðîëåâà. À Âû÷èòàíèå çíàåøü? Îòíèìè èç âîñüìè äåâÿòü. Ýòîãî ÿ íå çíàþ, íî çàòî... Âû÷èòàíèÿ íå çíàåò, ñêàçàëà Áåëàÿ Êîðîëåâà. Ë. Êýððîëë. Àëèñà â Çàçåðêàëüå Ââåäåíèå Ñíà÷àëà ìû íàó÷èìñÿ ñêëàäûâàòü ìíîãîóãîëüíèêè íà ïëîñêîñòè è ìíîãîãðàííèêè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ìíîãîãðàííèêîâ è âîîáùå ïðîèçâîëüíûõ ôèãóð áûëà ââåäåíà íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ãåðìàíîì Ìèíêîâñêèì (18641909) è èçó÷àåòñÿ â óíèâåðñèòåòñêèõ êóðñàõ. À çàòåì ìû íàó÷èì âàñ òîìó, ÷òî ïîêàæåòñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä íåâîçìîæíûì âû÷èòàòü ìíîãîóãîëüíèêè è ìíîãîãðàííèêè. Êàæóùàÿñÿ íåâîçìîæíîñòü âû÷èòàíèÿ íå äîëæíà íàñ ñìóòèòü âåäü êàæäûé èç íàñ áûë â ñâîå âðåìÿ óáåæäåí, ÷òî íåëüçÿ èç âîñüìè âû÷åñòü äåâÿòü. Âû÷èòàíèå ìíîãîãðàííèêîâ â ÷åì-òî íàïîìèíàåò ïåðåõîä ê îòðèöàòåëüíûì ÷èñëàì, íî êîíñòðóêöèÿ çäåñü âîçíèêàåò ãîðàçäî çàáàâíåå ìíîãîãðàííèêè êàê áû âûâîðà÷èâàþòñÿ íàèçíàíêó, ïðèíèìàþò äîâîëüíî ïðè÷óäëèâûå ôîðìû (íàïðèìåð, âçãëÿíèòå íà ðèñóíêè 6 è 12,á). Êàêàÿ ïîëüçà â óìåíèè ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü ìíîãîãðàííèêè? Âîîáðàçèòå, ÷òî âàì íóæíî ðåøèòü îáû÷íóþ øêîëüíóþ çàäà÷êó (íàïðèìåð, ïðî áàññåéí ñ òðóáàìè èëè ïðî äâóõ çåìëåêîïîâ), íî ïðè ýòîì çàïðåùåíî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü ÷èñëà. Ñêîðåå âñåãî, ðåøèòü çàäà÷ó âû íå ñìîæåòå áóäóò ñâÿçàíû ðóêè. Òàê æå è ñ äðóãèìè îáúåêòàìè ìàòåìàòèêè. Êàæäûé ðàç, êîãäà óäàåòñÿ ïðèäóìàòü ðàçóìíóþ îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ (âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ ...) äëÿ íåîáû÷íûõ îáúåêòîâ, ýòî áîëüøîé ïðîãðåññ, äàþùèé ðàáî÷èé èíñòðóìåíò. Íàïðèìåð, ìàòåìàòèêè óìåþò ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü òî÷êè íà êðèâîé, ïåòëè íà ïîâåðõíîñòè, èëè, êàê â ýòîé ñòàòüå, ìíîãîãðàííèêè. Êñòàòè, çäåñü æå íàì ïðèäåòñÿ íàó÷èòüñÿ ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü ïðóæèííûå ãðàôû íà ñôåðå.  ñòàòüå íåò äîêàçàòåëüñòâ, çàòî ìíîãî ïðèìåðîâ. Ìû ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ðàññìîòðåòü ñàìîñòîÿòåëüíî äîïîëíèòåëüíûå ïðèìåðû, ýêñïåðèìåíòèðîâàòü, âíà÷àëå 01-19.p65 8 ïîâåðèòü â óòâåðæäåíèÿ, à òîëüêî ïîòîì äóìàòü î äîêàçàòåëüñòâàõ. Ìàòåìàòèêà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ íàóêà! Cêëàäûâàåì ìíîãîóãîëüíèêè íà ïëîñêîñòè Áåëàÿ Êîðîëåâà îõíóëà è çàêðûëà ãëàçà. Ïðèáàâèòü ÿ åùå ìîãó, ñêàçàëà îíà, åñëè ìíå äàäóò ïîäóìàòü. Íî îòíÿòü íè ïîä êàêèì âèäîì! Èòàê, ìû æèâåì íà ïëîñêîñòè, ãäå ââåäåíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò ( x, y ) ñ íà÷àëîì â òî÷êå O. Ýòî äàåò íàì ïðàâî íà êàæäóþ òî÷êó a ñìîòðåòü îäíîâðåìåííî è êàê íà òî÷êó, è êàê íà âåêòîð Oa . Ïîýòîìó âñÿêèé ðàç, êîãäà ìû áóäåì ïèñàòü î ñóììå òî÷åê, áóäåì èìåòü â âèäó ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðîâ. Âûïóêëûì ìíîãîóãîëüíèêîì íà ïëîñêîñòè ìû íàçûâàåì âûïóêëóþ îáîëî÷êó íåïóñòîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òî÷åê. Âàæíî, ÷òî ó íàñ òî÷êà è îòðåçîê òîæå ñ÷èòàþòñÿ ìíîãîóãîëüíèêàìè. Îïðåäåëèì íà ìíîæåñòâå âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ ïî Ìèíêîâñêîìó. Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü K è L âûïóêëûå ìíîãîóãîëüíèêè. Èõ ñóììîé Ìèíêîâñêîãî íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê K + L = {N + O N ∈ K, O ∈ L} . Âîò ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ñóììû Ìèíêîâñêîãî. (1) Ñóììà äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê. (2) Åñëè îäèí èç ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñêàæåì L = {a}, ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè, òî K + L ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ìíîãîóãîëüíèêà K íà âåêòîð a. (3) «Îäíîòî÷å÷íûé» ìíîãîóãîëüíèê O = {O} , ãäå Î íà÷àëî êîîðäèíàò, èãðàåò ðîëü «íóëÿ»: ñóììà K + O âñåãäà ðàâíà K. (4) Åñëè ñëàãàåìûå K è L ïåðåìåñòèòü ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ K è J, òî èõ ñóììà ïåðåíåñåòñÿ ïàðàëëåëüíî íà âåêòîð K + J. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë îòîæäåñòâëÿòü ìíîãîóãîëüíèêè, îòëè÷àþùèåñÿ íà ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ. Èëè èíà÷å, êîãäà ìû âû÷èñëÿåì ñóììó Ìèíêîâñêîãî, ìû ìîæåì ïîìåñòèòü íà÷àëî êîîðäèíàò òóäà, êóäà íàì óäîáíî (êàê ïðàâèëî, óäîáíî â âåðøèíó îäíîãî èç ìíîãîóãîëüíèêîâ). (5) Äëÿ ïîâîðîòîâ ïðåäûäóùåå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Åñëè ïîâåðíóòü îäíî èç ñëàãàåìûõ, ñóììà èçìåíèòñÿ óæå ñóùåñòâåííî. 29.07.09, 17:15 ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ Ïðèìåð 1. Ñóììà Ìèíêîâñêîãî äâóõ íåïàðàëëåëüíûõ îòðåçêîâ ïàðàëëåëîãðàìì (ðèñ.1). Ðèñ. 1 Ïðèìåð 2. Ñóììà Ìèíêîâñêîãî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îòðåçêîâ îòðåçîê ñóììàðíîé äëèíû. Ïðèìåð 3. Ñóììà Ìèíêîâñêîãî òðåóãîëüíèêà è îòðåçêà, ïàðàëëåëüíîãî îäíîé èç ñòîðîí, òðàïåöèÿ (ðèñ.2). ' i Îòëîæèì âñå âåêòîðû îò íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èòñÿ òàê íàçûâàåìûé îáùèé áóêåò âåêòîðîâ äëÿ îáîèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. i Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî äâà âåêòîðà èç áóêåòà èìåþò îáùåå íàïðàâëåíèå. Òîãäà ýòó ïàðó âåêòîðîâ íóæíî çàìåíèòü íà èõ ñóììó. i Äâèãàÿñü ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, áåðåì ïî î÷åðåäè âåêòîðû èç áóêåòà è îòêëàäûâàåì îäèí çà äðóãèì (ïåðâûé âåêòîð îò ïðîèçâîëüíî âûáðàííîé òî÷êè íà ïëîñêîñòè, êàæäûé ñëåäóþùèé âåêòîð îò êîíöà ïðåäûäóùåãî). Ïîëó÷àåòñÿ ëîìàíàÿ ëèíèÿ. i Ëîìàíàÿ çàìêíåòñÿ. Îíà îãðàíè÷èâàåò ñóììó Ìèíêîâñêîãî ìíîãîóãîëüíèêîâ K è L. Çàäà÷à 1. Ïóñòü K âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê. Óáåäèòåñü, ÷òî K + K åñòü ìíîãîóãîëüíèê K, ðàñòÿíóòûé ãîìîòåòèåé â 2 ðàçà. Ðèñ. 2 Ïðèìåð 4. Åùå îäèí ïðèìåð ñóììà ïÿòèóãîëüíèêà è òðåóãîëüíèêà (ðèñ.3).  äàííîì ñëó÷àå ýòî ñåìè- Ðèñ. 3 óãîëüíèê. Îäíàêî åñëè ÷óòü ïîâåðíóòü òðåóãîëüíèê (à ïÿòèóãîëüíèê îñòàâèòü ïðåæíèì), òî ñóììîé áóäåò âîñüìèóãîëüíèê, òàê êàê ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû ïÿòèóãîëüíèêà è òðåóãîëüíèêà ïåðåñòàíóò áûòü ïàðàëëåëüíûìè. Ïîãëÿäåâ íà ïðèâåäåííûå ïðèìåðû, ìîæíî ïîäìåòèòü, ÷òî ëîìàíàÿ, îãðàíè÷èâàþùàÿ ñóììàðíûé ìíîãîóãîëüíèê K + L, ñîñòàâëåíà èç ðåáåð ìíîãîóãîëüíèêîâ K è L. Ãîâîðÿ òî÷íåå, ñóììó Ìèíêîâñêîãî ìíîãîóãîëüíèêîâ ìîæíî âû÷èñëèòü, ñëåäóÿ òàêîìó àëãîðèòìó (ðèñ.4): Ðèñ. 4 i Ïðåâðàòèì êàæäîå ðåáðî ìíîãîóãîëüíèêîâ K è L â âåêòîð, íàðèñîâàâ íà íåì ñòðåëêó. Ïîëó÷åííûå âåêòîðû äîëæíû îáõîäèòü ìíîãîóãîëüíèêè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. 01-19.p65 ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊΠ9 Âû÷èòàåì ìíîãîóãîëüíèêè Ïîéäó-êà ÿ ê Êîðîëåâå íàâñòðå÷ó, ñêàçàëà Àëèñà. Êîíå÷íî, åé èíòåðåñíî áûëî ïîáîëòàòü ñ öâåòàìè, íî ðàçâå èõ ñðàâíèøü ñ íàñòîÿùåé Êîðîëåâîé! Íàâñòðå÷ó? ïåðåñïðîñèëà Ðîçà. Òàê òû åå íèêîãäà íå âñòðåòèøü! ß áû òåáå ïîñîâåòîâàëà èäòè â îáðàòíóþ ñòîðîíó! Ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî îïðåäåëèòü íåâîçìîæíî, åñëè îãðàíè÷èòü ñåáÿ òîëüêî âûïóêëûìè ìíîãîóãîëüíèêàìè. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ñëîæåíèè ìíîãîóãîëüíèêè íå ñòàíîâÿòñÿ ìåíüøå (òî÷íåå ãîâîðÿ, ñóììà K è L ñîäåðæèò ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ êàæäîãî èç ñëàãàåìûõ ýòî õîðîøî âèäíî íà ðèñóíêå 3). Ïîýòîìó âû÷åñòü èç ìàëåíüêîãî ìíîãîóãîëüíèêà áîëüøîé íåâîçìîæíî: â ýòîì ñëó÷àå ìàëåíüêèé ìíîãîóãîëüíèê ñîäåðæàë áû ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ áîëüøîãî. Êàê æå ðàçóìíî ðàñøèðèòü êëàññ âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ òàê, ÷òîáû ñäåëàòü âîçìîæíûì âû÷èòàíèå? Åñëè âçÿòü îïðåäåëåíèå ñóììû è ïîïðîáîâàòü ïîìóäðèòü ñ íèì, ïðèñïîñîáèâ äëÿ âû÷èòàíèÿ, òî íè÷åãî õîðîøåãî íå âûéäåò (ïîïðîáóéòå!). Èìååòñÿ óíèâåðñàëüíûé àëãåáðàè÷åñêèé ïðèåì: ðàçíîñòüþ äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ K è L áóäåì íàçûâàòü ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå (K L), íå ïðèäàâàÿ ïîñëåäíåìó íèêàêîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà. Äâà òàêèõ âûðàæåíèÿ (K L) è (M N) áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè, êàê òîëüêî K + N = M + L. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî òàêèå ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ ìîæíî ñêëàäûâàòü (ïî ïðàâèëó (K L) + (M N) = ((K + M) (L + N)), è ó êàæäîãî (K L) åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò (L K). Ýòîò ïðèåì âàì óæå âñòðå÷àëñÿ ðàíüøå íà óðîêàõ ìàòåìàòèêè ïðè ïåðåõîäå îò ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ê îòðèöàòåëüíûì èëè îò öåëûõ ÷èñåë ê ðàöèîíàëüíûì äðîáÿì. Îäíàêî íàì õî÷åòñÿ èìåòü äåëî íå ñ ôîðìàëüíûìè ðàçíîñòÿìè, à ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îáúåêòàìè. Ïî÷åìó òàê? Äåëî â òîì, ÷òî ìíîãîóãîëüíèê (èëè ìíîãîãðàííèê â ïðîñòðàíñòâå) èìååò áîãàòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ñòðóêòóðó: ó íåãî åñòü ðåáðà, âåðøèíû, ïîíÿòèå ïëîùàäè è ò.ä. Õîòåëîñü áû èìåòü âñå ýòî áîãàòñòâî è äëÿ ðàçíîñòåé Ìèíêîâñêîãî. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ, ïëîäîòâîðíûì îêàçàëîñü ïðè- 29.07.09, 17:15 ÊÂÀÍT 2009/¹4 ñïîñîáèòü äëÿ âû÷èòàíèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ àëãîðèòì ñóììèðîâàíèÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàçíîñòè íàì (êàê è Àëèñå) íàäî êîå-ãäå ïîìåíÿòü íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ íà ïðîòèâîïîëîæíûå. Èòàê, ðàçíîñòü äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ K L ìû îïðåäåëèì àëãîðèòìè÷åñêè: i Ïîñòðîèì ìíîãîóãîëüíèê L′ , öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûé ìíîãîóãîëüíèêó L îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. i Ïðåâðàòèì êàæäîå ðåáðî ìíîãîóãîëüíèêîâ K è L′ â âåêòîð, íàðèñîâàâ íà íåì ñòðåëêó. Ïîëó÷åííûå âåêòîðû äîëæíû îáõîäèòü ìíîãîóãîëüíèê K ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à ìíîãîóãîëüíèê L′ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. i Êàê è ðàíüøå, îòëîæèì âñå âåêòîðû îò íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èòñÿ áóêåò âåêòîðîâ äëÿ îáîèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, íî íà ýòîò ðàç íåîáõîäèìî ïîìíèòü, îòêóäà ýòè âåêòîðà ïðèøëè îò K èëè îò L. Íà ðèñóíêå 5 êðàñíûå âåêòîðû áûâøèå ðåáðà ìíîãîóãîëüíèêà K, à ñèíèå ìíîãîóãîëüíèêà L′ . Ðèñ. 5 i Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî äâà âåêòîðà èç áóêåòà èìåþò îáùåå íàïðàâëåíèå. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ýòî êðàñíûé è ñèíèé âåêòîðû, ïðè÷åì êðàñíûé âåêòîð äëèííåå. Òîãäà ýòó ïàðó âåêòîðîâ íóæíî çàìåíèòü íà ðàçíîñòü êðàñíîãî è ñèíåãî âåêòîðîâ è ïîêðàñèòü â êðàñíûé öâåò. Åñëè ñèíèé âåêòîð äëèííåå, òî âñå íóæíî ñäåëàòü íàîáîðîò. À åñëè âåêòîðû ðàâíîé äëèíû, òî ïðîñòî îáà âåêòîðà íóæíî óäàëèòü èç áóêåòà. i Äâèãàÿñü ïî áóêåòó ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ìû îòêëàäûâàåì âåêòîðû ïî î÷åðåäè îäèí çà äðóãèì. Åñëè âåêòîðû ðàçíûõ öâåòîâ, òî èõ íóæíî îòëîæèòü ñ íàðóøåíèåì íàïðàâëåíèÿ (íå íà÷àëî ê êîíöó, à íà÷àëî ê íà÷àëó èëè êîíåö ê êîíöó). À åñëè äâà ïîñëåäóþùèõ âåêòîðà îäíîãî öâåòà, òî íàïðàâëåíèå íå äîëæíî íàðóøàòüñÿ. Ïîëó÷àåòñÿ ëîìàíàÿ ëèíèÿ. i Ëîìàíàÿ çàìêíåòñÿ. Îíà ïðåäñòàâëÿåò ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî K L. Äàâàéòå óáåäèìñÿ, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå õîðîøåå, ò.å. ÷òî äëÿ íåãî âûïîëíåíû îáû÷íûå ñâîéñòâà âû÷èòàíèÿ. Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òî K - K = O. (Äåéñòâèòåëüíî, ìû ïîëó÷èì áóêåò âåêòîðîâ, ãäå êàæäûé êðàñíûé âåêòîð ïðîäóáëèðîâàí ðàâíûì åìó ñèíèì. Ñîãëàñ- 01-19.p65 10 íî àëãîðèòìó, âñå âåêòîðû íàäî óäàëèòü, è îñòàíåòñÿ ïóñòîé ïó÷îê âåêòîðîâ, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà.) Çàäà÷à 3. Äîêàæèòå, ÷òî K L + L = K. (Óáåäèòåñü, ÷òî â ïîëó÷åííîì ïó÷êå âåêòîðû, ïðèøåäøèå èç L è èç L, óáüþò äðóã äðóãà.) Ïðèìåð 5. Ðàçíîñòü äâóõ êâàäðàòîâ, ïîâåðíóòûõ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà 45 , âîñüìèêîíå÷íàÿ çâåçäà (ðèñ.6). Ðèñ. 6 Çàäà÷à 4. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíà çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ, ðåáðà êîòîðîé êðàñíûå è ñèíèå ñòðåëêè. Ïðè ýòîì äâå ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòðåëêè îäíîãî öâåòà ñêëååíû «êîíåö ê íà÷àëó», à äâå ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòðåëêè ðàçíûõ öâåòîâ ñêëååíû «êîíåö ê êîíöó» èëè «íà÷àëî ê íà÷àëó». Êàê îïðåäåëèòü, ïðåäñòàâèìà ëè òàêàÿ ëîìàíàÿ êàê ðàçíîñòü äâóõ âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ? Åñëè äà, òî êàê íàéòè ýòè ìíîãîóãîëüíèêè? Çàäà÷à 5 (äëÿ òåõ, êòî çíàåò, ÷òî òàêîå «ãðóïïà»). (1) Ïîäûòîæèâ ñêàçàííîå, ñäåëàéòå âûâîä î òîì, ÷òî ðàçíîñòè ìíîãîóãîëüíèêîâ îáðàçóþò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ ïî Ìèíêîâñêîìó. (2) Ñëîæåíèå â ãðóïïå çàäàåòñÿ êàê (K L) + (M N) = = (K + M) (L + N). Îäíàêî äàâàéòå óâèäèì ãåîìåòðèþ ïðîèñõîäÿùåãî. Ïóñòü K L è M N çàäàíû êàê ëîìàíûå èç êðàñíî-ñèíèõ ñòðåëîê. Êàê ïîñòðîèòü èõ ñóììó? Âûõîäèì â ïðîñòðàíñòâî Àëèñà íà÷àëà áûëî ñïóñêàòüñÿ ñ õîëìà, íî âäðóã îðîáåëà è îñòàíîâèëàñü. Ïðåæäå ÷åì òóäà èäòè, íóæíî çàïàñòèñü õîðîøåé âåòêîé, ÷òîáû îòìàõèâàòüñÿ îò ñëîíîâ, îïðàâäûâàëàñü îíà ïåðåä ñîáîé.  òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñóììà Ìèíêîâñêîãî îïðåäåëÿåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è íà ïëîñêîñòè, íî óñòðîåíà ñëîæíåå. Óæå íåâåðíî, ÷òî ñóììà ñîñòàâëåíà èç ïåðåòàñîâàííûõ ðåáåð (èëè ãðàíåé) ñëàãàåìûõ. Óáåäèòåñü â ýòîì íà ñëåäóþùèõ íåñëîæíûõ ïðèìåðàõ. Ïðèìåð 6. Ñóììà òðåõ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ îòðåçêîâ îäèíàêîâîé äëèíû êóá. Ïðèìåð 7. Ñóììà ïëîñêîãî ïÿòèóãîëüíèêà è îòðåçêà, íå ëåæàùåãî â ïëîñêîñòè ïÿòèóãîëüíèêà, ïÿòèóãîëüíàÿ ïðèçìà. Ïîýòîìó äàâàéòå ñíà÷àëà ðàçðàáîòàåì óäîáíûé âñïîìîãàòåëüíûé èíñòðóìåíò, êîòîðûé ñäåëàåò äëÿ íàñ ñóììó Ìèíêîâñêîãî óäîáíåå â îáðàùåíèè. Òàêèì èíñòðóìåíòîì áóäóò ïðóæèííûå ãðàôû íà ñôåðå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S åäèíè÷íóþ ñôåðó â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò O. Áîëüøîé îêðóæíîñòüþ áóäåì íàçûâàòü ïåðåñå÷åíèå ñôåðû S ñ ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åå öåíòð. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé ãðàô G íà ñôåðå. Åãî íàäî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå òàê: âåðøèíû ãðàôà {1, 2, ..., n} 29.07.09, 17:15 ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ òî÷êè, ëåæàùèå íà ñôåðå, ðåáðà îòðåçêè áîëüøèõ îêðóæíîñòåé. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ðåáðà ãðàôà íå ïåðåñåêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé (íå ñ÷èòàÿ, ðàçóìååòñÿ, îáùèõ âåðøèí). Ìíîæåñòâî ðåáåð ãðàôà G îáîçíà÷èì ÷åðåç E. Íàì èíòåðåñíû áóäóò òîëüêî òå ãðàôû, êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñòåìû ïðóæèíîê, ïî ïðóæèíêå íà êàæäîå ðåáðî. Êàæäàÿ ïðóæèíêà äîëæíà áûòü îáÿçàòåëüíî ëèáî ñæàòà, ëèáî ðàñòÿíóòà (ò.å. ïðîèçâîäèòü íåíóëåâóþ ñèëó). Ãëàâíîå óñëîâèå ñèñòåìà ïðóæèíîê äîëæíà íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè. Äàäèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 2. Ñòðåññîì ãðàôà íà ñôåðå G íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ f, ñîïîñòàâëÿþùàÿ êàæäîìó ðåáðó íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî òàê, ÷òî äëÿ ëþáîãî ∀i = 1,…, n ∑ f (i, j ) uij (i, j )∈E = 0. Çäåñü uij åäèíè÷íûé âåêòîð, êàñàþùèéñÿ ðåáðà (i, j ) â òî÷êå i è íàïðàâëåííûé âäîëü ðåáðà îò âåðøèíû. Ýòà ôîðìóëà âûðàæàåò ðàâíîâåñèå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà âåðøèíó i. Ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ýòî íàäî òàê. Ó íàñ åñòü óçêèé øàðîâîé ñëîé (ïðîñòðàíñòâî ìåæäó äâóìÿ ñôåðàìè), â êîòîðîì æèâåò ïðóæèííàÿ ñèñòåìà. Èç-çà âíåøíèõ îãðàíè÷åíèé ïðóæèíêè íå ìîãóò ñëåçòü ñî ñôåðû, íî ïî ñôåðå ìîãóò äâèãàòüñÿ ñâîáîäíî ïîä äåéñòâèåì ñèë íàòÿæåíèÿ ïðóæèíîê. f (i, j ) ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðóæèíêè, ñîîòâåòñòâóþùåé ðåáðó (i, j ) . Âåêòîðû ñèë, ñîçäàâàåìûõ ïðóæèíêîé íà åå êîíöàõ, íå ïàðàëëåëüíû, íî ðàâíû ïî âåëè÷èíå è äåéñòâóþò âäîëü ðåáðà. Åñëè ñòðåññ ïîëîæèòåëüíûé, òî ñèëû ñîíàïðàâëåíû âåêòîðàì uij . Íà ðèñóíêàõ ìû îòìå÷àåì ðåáðà ãðàôà ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì (ðàñòÿíóòàÿ ïðóæèíà) êðàñíûì öâåòîì, à ñ îòðèöàòåëüíûì ñòðåññîì (ñæàòàÿ ïðóæèíà) ñèíèì (êàê íà ðèñóíêå 7). Íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî âñþäó íåíóëåâûå ñòðåññû (ò.å. âñå ïðóæèíêè äîëæíû áûòü íàïðÿæåíû). Êðîìå òîãî, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â ãðàôå ñî ñòðåññîì íåò èçîëèðîâàííûõ âåðøèí è íåò âåðøèí, ê êîòîðûì ïðèìûÐèñ.7. Ñæàòàÿ è ðàñòÿíóòàÿ êàåò ðîâíî äâà ðåáðà. ïðóæèíû Ñîâñåì íå âñå ãðàôû íà ñôåðå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñòåìû ïðóæèíîê. Íàïðèìåð, åñëè ãðàô ñîñòîèò èç îäíîãî-åäèíñòâåííîãî ðåáðà. Èëè ãðàô èç òðåõ ðåáåð, îáðàçóþùèõ òðåóãîëüíèê. Èòàê, ïóñòü G ãðàô íà ñôåðå, à f åãî âñþäó ïîëîæèòåëüíûé ñòðåññ (ò.å. âñå ïðóæèíêè ðàñòÿíóòû). Ïîêàæåì, ÷òî ýòîìó îáúåêòó ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå òðåõìåðíûé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê P (G, f ) (îò àíãëèéñêîãî ñëîâà «polytope»). 01-19.p65 11 ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊΠi Ðàññìîòðèì âíà÷àëå îòäåëüíî îäíó âåðøèíó i ãðàôà G. Ïóñòü 1,…, k ñèëû, ñîçäàâàåìûå ïðóæèíêàìè â âåðøèíå i. Ýòî âåêòîðû, èäóùèå âäîëü ðåáåð ãðàôà, ïðèìûêàþùèõ ê i, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû çíà÷åíèþ ñòðåññà. Ïîñêîëüêó ñòðåññ âñþäó ïîëîæèòåëüíûé, îíè âñå íàïðàâëåíû âäîëü ðåáðà îò âåðøèíû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íóìåðàöèÿ ðåáåð ñîîòâåòñòâóåò ïîðÿäêó îáõîäà ðåáåð ãðàôà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. i Äëÿ âåðøèíû i ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ê ñôåðå ïëîñêîñòü.  ýòîé ïëîñêîñòè ïîñòðîèì âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, ðóêîâîäñòâóÿñü ñëåäóþùèì ïðàâèëîì. Âûáåðåì òî÷êó â ïëîñêîñòè è áóäåì îòêëàäûâàòü îäèí çà äðóãèì âåêòîðû 1,… , k , ïîâåðíóòûå íà óãîë π 2 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (ðèñ.8). Ïîñêîëüêó ñóììà âñåõ ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíà íóëþ (ýòî óñëîâèå èç îïðåäåëåíèÿ ñòðåññà), ëîìàíàÿ çàìêíåòñÿ. Íå ïðàâäà ëè, çíàêî- Ðèñ.8. Ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ìàÿ êàðòèíêà? Ñèëû, ñòðåññîì ïîðîæäàåò âûïóêëûé ïðèëîæåííûå ê âåðøè- ìíîãîãðàííèê íå, ñîñòàâëÿþò áóêåò âåêòîðîâ, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ, è èç ýòèõ âåêòîðîâ ìû ñòðîèì âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê. Ýòî áóäåò ãðàíü ìíîãîãðàííèêà P (G, f ) . i Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñî âñåìè îñòàëüíûìè âåðøèíàìè ãðàôà. Çàìåòèì, ÷òî ó ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñåäíèì âåðøèíàì ãðàôà, åñòü ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû îäèíàêîâîé äëèíû. Ïîýòîìó èç òàêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, ïåðåíîñÿ èõ ïàðàëëåëüíî, ìîæíî ñîáðàòü âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê P (G, f ) . Îí îïðåäåëÿåòñÿ òàêîé êîíñòðóêöèåé ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. È íàîáîðîò, ïî âûïóêëîìó ìíîãîãðàííèêó ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì (ðèñ.9). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äëÿ êàæäîé ãðàíè ìíîãîãðàííè- Ðèñ.9. Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê ïîðîæäàåò ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì êà åäèíè÷íûé âåêòîð, åé îðòîãîíàëüíûé (è ñìîòðÿùèé íàðóæó). Åñëè îòëîæèòü âñå ïîëó÷åííûå âåêòîðû îò íà÷àëà êîîðäèíàò O, òî èõ êîíöû ïîïàäóò íà ñôåðó S. Ýòî áóäóò âåðøèíû ãðàôà. Ñîåäèíèì èõ, ñîãëàñíî êîìáèíàòîðèêå ìíîãîãðàííèêà, îòðåçêàìè áîëüøèõ îêðóæíîñòåé (à èìåííî, äâå òî÷êè íóæíî ñîåäèíÿòü, åñëè 29.07.09, 17:28 ÊÂÀÍT 2009/¹4 ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè ìíîãîãðàííèêà èìåþò îáùåå ðåáðî). Òàê ìû ïîëó÷èì ðåáðà ãðàôà. Çíà÷åíèå ñòðåññà íà ðåáðå ïðè ýòîì ïîëàãàåì ðàâíûì äëèíå ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ðåáðà ìíîãîãðàííèêà.  ýòîé ñõåìå ìû èìååì äåëî ñ êîìáèíàòîðíîé äâîéñòâåííîñòüþ: âåðøèíàì ãðàôà ñîîòâåòñòâóþò ãðàíè ìíîãîãðàííèêà, âåðøèíàì ìíîãîãðàííèêà îáëàñòè ðàçáèåíèÿ ñôåðû, ðåáðàì ãðàôà ðåáðà ìíîãîãðàííèêà, ïðè÷åì äâå âåðøèíû ãðàôà ñîåäèíåíû ðåáðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè äåëÿò ðåáðî. Ïðèìåð 8. Ðàñïîëîæèì íà ñôåðå òðè áîëüøèå îêðóæíîñòè, ëåæàùèå ïîä óãëîì π 2 äðóã ê äðóãó. Èõ îáúåäèíåíèå ïîðîæäàåò ãðàô ñ 6 âåðøèíàìè è 8 ðåáðàìè. Ôóíêöèÿ, ñòàâÿùàÿ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ðåáðó ÷èñëî 1, î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ ñòðåññîì. Óáåäèòåñü, ÷òî â íàøåé ñõåìå òàêîìó ãðàôó ñî ñòðåññîì ñîîòâåòñòâóåò êóá. Çàäà÷à 6. À êàêîé ìíîãîãðàííèê ïîëó÷èòñÿ, åñëè âçÿòü íå òðè, à òîëüêî äâå áîëüøèå îêðóæíîñòè? Ïðèìåð 9. Åäèíè÷íûé îòðåçîê òîæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òðåõìåðíûé ìíîãîãðàííèê. Ïîïðîáóåì ñîîáðàçèòü, êàêîé ãðàô íà ñôåðå åìó ñîîòâåòñòâóåò. Ñîãëàñíî êîìáèíàòîðíîé äâîéñòâåííîñòè, ó íåãî íå äîëæíî áûòü âåðøèí (âåäü ó îòðåçêà íåò ãðàíåé) è äîëæíî áûòü âñåãî îäíî ðåáðî. Ïîýòîìó íàì ïðèõîäèòñÿ ðàñøèðèòü ïîíÿòèå ãðàôà íà ñôåðå. Îïðåäåëåíèå 3. Îäíî çàìêíóòîå ðåáðî, ñîâïàäàþùåå ñ áîëüøîé îêðóæíîñòüþ, òîæå áóäåì ñ÷èòàòü ãðàôîì íà ñôåðå. Çíà÷åíèå ñòðåññà íà ýòîì ðåáðå ìîæåò áûòü ëþáûì. Òàêîé ãðàô (ñî ñòðåññîì) áóäåì íàçûâàòü ýêçîòè÷åñêèì. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýêçîòè÷åñêîãî ãðàôà ÿñåí: ýòî çàìêíóòàÿ ïðóæèíà, îïîÿñûâàþùàÿ ñôåðó ïî ýêâàòîðó. Äàâàéòå íàó÷èìñÿ ñêëàäûâàòü ãðàôû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Ïóñòü (G1, f1 ) è (G2, f2 ) äâà ãðàôà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Çàäàäèì èõ ñóììó àëãîðèòìè÷åñêè (ðèñ.10). i Ïîìåñòèì íà ñôåðó îáà ãðàôà è â êà÷åñòâå ñóììû (G1, f1 ) + (G2, f2 ) âîçüìåì ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ ýòèõ íàäî ïðèñâîèòü çíà÷åíèå ñòðåññà f1 . Àíàëîãè÷íî, åñëè ðåáðî ñóììû åñòü ÷àñòü ðåáðà ãðàôà G2 , òî åìó íàäî ïðèñâîèòü çíà÷åíèå ñòðåññà f2 . Åñëè æå ðåáðî îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ðåáåð îáîèõ ãðàôîâ, òî çíà÷åíèÿ ñòðåññîâ íàäî ñëîæèòü. Íóëåâûì ýëåìåíòîì îòíîñèòåëüíî ýòîé îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ ïóñòîé ãðàô (ãðàô áåç ðåáåð è áåç âåðøèí). Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ãðàô ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì. Òåîðåìà. Ñëîæåíèå ïî Ìèíêîâñêîìó âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ ñîîòâåòñòâóåò ñëîæåíèþ èõ ãðàôîâ ñî ñòðåññàìè. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè åñòü äâà ãðàôà ñî ñòðåññàìè (G1, f1 ) è (G2, f2 ) , òî P ((G1, f1 ) + (G2 , f2 )) = P (G1, f1 ) + P (G2 , f2 ) . Ìû îñòàâëÿåì ýòó òåîðåìó áåç äîêàçàòåëüñòâà. Îòìåòèì âïðî÷åì, ÷òî ïðèìåðû 6 è 7, â ñðàâíåíèè ñ ïðèìåðàìè 8 è 9, õîðîøî åå èëëþñòðèðóþò. Âû÷èòàíèå ïî Ìèíêîâñêîìó Èíòåðåñíî, êóäà ìíå òåïåðü èäòè? Íà ýòîò âîïðîñ îòâåòèòü áûëî íåòðóäíî: ÷åðåç ëåñ âåëà òîëüêî îäíà äîðîãà, è îáå ñòðåëêè óêàçûâàëè íà íåå. Äîéäó äî ðàçâèëêè, ïîäóìàëà Àëèñà, òîãäà è ðåøó. Âåäü òàì èì ïðèäåòñÿ óêàçûâàòü â ðàçíûå ñòîðîíû. Íàïðàñíî îíà íà ýòî íàäåÿëàñü! Îíà âñå øëà è øëà ïî äîðîãå, íî è íà ðàçâèëêàõ ñòðåëêè íåèçìåííî óêàçûâàëè â îäíó ñòîðîíó. Òåïåðü íàøà öåëü ïðèäàòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âûðàæåíèþ «ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî äâóõ âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ». Äâóìåðíûé ñëó÷àé íàñ ïîäãîòîâèë ê òîìó, ÷òî íàñ æäåò íå÷òî íåâûïóêëîå è ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè. Ñíà÷àëà ðàçáåðåìñÿ, êàê ñêëàäûâàòü ãðàôû ñ ïðîèçâîëüíûìè, íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Êàê è äëÿ Àëèñû, ó íàñ ñåé÷àñ íåò âûáîðà: âñå ñòðåëêè âåäóò â îäíî è òî æå ìåñòî. Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü (G1, f1 ) , (G2, f2 ) äâà ãðàôà ñ íåíóëåâûìè ñòðåññàìè. Çàäàäèì èõ ñóììó àëãîðèòìè÷åñêè (ðèñ.11): Ðèñ. 10 ãðàôîâ. Ãîâîðÿ òî÷íåå, íóæíî âçÿòü âñå âåðøèíû ãðàôîâ (G1, f1 ) è (G2, f2 ) è âñå íîâûå âåðøèíû, ïîëó÷èâøèåñÿ êàê ïåðåñå÷åíèÿ ðåáåð (G1, f1 ) è (G2, f2 ) . Ðåáðà ïîëó÷åííîãî ãðàôà êóñî÷êè ðåáåð (G1, f1 ) è (G2, f2 ) . i Çíà÷åíèå ñòðåññà (G1, f1 ) + (G2, f2 ) íà ðåáðå íàñëåäóåòñÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ðåáðî ãðàôà (G1, f1 ) + (G2, f2 ) åñòü ÷àñòü ðåáðà ãðàôà G1 , òî åìó 01-19.p65 12 Ðèñ. 11 29.07.09, 17:28 ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ i Êàê è ïðåæäå, íóæíî âçÿòü ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ ýòèõ ãðàôîâ. i Êàê è ïðåæäå, çíà÷åíèå ñòðåññà íà ðåáðàõ íàñëåäóåòñÿ îò (G1, f1 ) è (G2, f2 ) . i Îäíàêî íà ýòîì ïðîöåäóðà ñëîæåíèÿ íå çàêàí÷èâàåòñÿ. Ñëåäóþùèé øàã óäàëåíèå ëèøíèõ ðåáåð è âåðøèí. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ñòðåññ ñóììû (G1, f1 ) + (G2, f2 ) íà íåêîòîðîì ðåáðå îêàæåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Òîãäà òàêîå ðåáðî íàäî óäàëèòü. i Ïîñëå óäàëåíèÿ âñåõ ðåáåð ñ íóëåâûì ñòðåññîì ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ê îäíîé âåðøèíå ïðèìûêàþò ðîâíî äâà ðåáðà (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè ðåáðà îáðàçóþò óãîë π , è ñòðåññû íà ýòèõ ðåáðàõ ðàâíû). Òîãäà ýòó âåðøèíó íàäî óäàëèòü, à äâà ðåáðà îáúåäèíèòü â îäíî. Âåðøèíû, ê êîòîðûì íå ïðèìûêàþò ðåáðà, òîæå íóæíî óäàëèòü.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì íåêîòîðûé ãðàô íà ñôåðå ñ íåíóëåâûì ñòðåññîì. Òåïåðü ÿñíî, êàê âû÷èòàòü ãðàôû ñî ñòðåññàìè. Îáðàòíûì ãðàôîì ê ãðàôó (G, f ) , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ãðàô (G, − f ) . (Óáåäèòåñü, ÷òî (G, f ) + (G, − f ) ïóñòîé ãðàô!) Ïîýòîìó âçÿòü ðàçíîñòü ãðàôîâ (G1, f1 ) è (G2, f2 ) îçíà÷àåò âçÿòü ñóììó ãðàôîâ (G1, f1 ) è (G2, − f2 ) . Çàäà÷à 7. Ïîêàæèòå, ÷òî ëþáîé ïðóæèííûé ãðàô íà ñôåðå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçíîñòè äâóõ ãðàôîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòðåññàìè. Òåïåðü ïîïðîáóåì ïî ãðàôó ñ âñþäó íåíóëåâûì (íî òåïåðü íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíûì) ñòðåññîì (G, f ) ïîñòðîèòü ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò P (G, f ) . Àëãîðèòì â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåò àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ P (G, f ) äëÿ ãðàôà ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòðåññîì. Îïÿòü, êàê è ó Àëèñû, ó íàñ íåò äðóãîãî âûáîðà. i Ïóñòü 1,…, k ñèëû, ñîçäàâàåìûå ïðóæèíêàìè â âåðøèíå i ãðàôà (G, f ) . Òåïåðü ýòî âåêòîðû, èäóùèå ëèáî â íàïðàâëåíèè ðåáðà, ëèáî â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ñòðåññà. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî èõ íóìåðàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò ïîðÿäêó îáõîäà ðåáåð ãðàôà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ïîñêîëüêó ñòðåññ ìîæåò áûòü çíàêîïåðåìåííûé, ñàìè âåêòîðû f1,…, fk ìîãóò èäòè ñîâñåì â äðóãîì ïîðÿäêå. i Êàê è ïðåæäå, äëÿ âåðøèíû i ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ê ñôåðå S ïëîñêîñòü.  ýòîé ïëîñêîñòè ïîñòðîèì çàìêíóòóþ ëîìàíóþ, ðóêîâîäñòâóÿñü ñòàðûì ïðàâèëîì. Âûáåðåì òî÷êó â ïëîñêîñòè è áóäåì îòêëàäûâàòü îäèí çà äðóãèì âåêòîðû f1,…, fk , ïîâåðíóòûå íà óãîë π 2 ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Çäåñü âàæíî, ÷òî ìû áåðåì âåêòîðû ñîãëàñíî ïîðÿäêó ðåáåð, à íå ïîðÿäêó âåêòîðîâ. Ïîëåçíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòà ïðîöåäóðà â òî÷íîñòè îïèñûâàåò ïîñòðîåíèå ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. i Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñî âñåìè îñòàëüíûìè âåðøèíàìè ãðàôà. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû ìû ïîëó÷èì íåâûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê (çàìêíóòóþ ïëîñêóþ ëîìàíóþ, âîçìîæíî ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè) i Âàæíî, ÷òî äëÿ ýòèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ îñòàåòñÿ âûïîëíåííûì ãëàâíîå ñâîéñòâî, ïîçâîëÿþùåå ñîáðàòü èõ âîåäèíî, ó ìíîãîóãîëüíèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ 01-19.p65 13 ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊΠ! ñîñåäíèì âåðøèíàì ãðàôà, åñòü ïàðàëëåëüíûå îòðåçêè îäèíàêîâîé äëèíû. Ïîýòîìó èç òàêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, ïåðåíîñÿ èõ ïàðàëëåëüíî, ìîæíî ñîáðàòü íåêèé îáúåêò P (G, f ) , îïðåäåëÿåìûé òàêîé êîíñòðóêöèåé ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. P (G, f ) íàçûâàåòñÿ âèðòóàëüíûì ìíîãîãðàííèêîì. Òåïåðü ÿñíî, ÷òî íóæíî ñäåëàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî äâóõ ìíîãîãðàííèêîâ K è L: i Ïðåâðàòèòü ìíîãîãðàííèêè â ïðóæèííûå ãðàôû. i Âçÿòü ðàçíîñòü ïðóæèííûõ ãðàôîâ. i Ïîñòðîèòü âèðòóàëüíûé ìíîãîãðàííèê P (G, f ) , ñîîòâåòñòâóþùèé ðàçíîñòè ãðàôîâ. Äàäèì ïîÿñíåíèå äëÿ ïðîäâèíóòûõ ÷èòàòåëåé. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè ñóììèðîâàíèè ïî Ìèíêîâñêîìó ïàðàëëåëüíûå ãðàíè ìíîãîãðàííèêîâ ñêëàäûâàþòñÿ. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ãðàíÿìè ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî K L äîëæíû ñëóæèòü ðàçíîñòè Ìèíêîâñêîãî ãðàíåé ìíîãîãðàííèêîâ K è L. Èìåííî ýòî ÿâëåíèå çàêîäèðîâàíî â êîíñòðóêöèþ âèðòóàëüíîãî ìíîãîãðàííèêà. Ïðèìåð 10. Íà ðèñóíêå 12,à) ïðåäñòàâëåí ãðàô ñî ñòðåññîì. Ãðàô òðåõâàëåíòåí, ñëåäîâàòåëüíî, âèðòóàëüíûé ìíîãîãðàííèê (G, f ) (ðèñ.12,á) ñêëååí èç òðåóãîëüíèêîâ. à) á) Ðèñ.12. Ïðèìåð ãðàôà ñî çíàêîïåðåìåííûì ñòðåññîì è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó âèðòóàëüíûé ìíîãîãðàííèê Ëèòåðàòóðà 1. À.Ïóõëèêîâ, À.Õîâàíñêèé. Êîíå÷íî-àääèòèâíûå ìåðû âèðòóàëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. (Àëãåáðà è àíàëèç, ò.4 (1992), âûï. 2, ñ. 161185.) 2. Càéò, ïîñâÿùåííûé ãèïåðáîëè÷åñêèì âèðòóàëüíûì ìíîãîãðàííèêàì: club.pdmi.ras.ru/~panina/hyperbolicpolytopes.html 29.07.09, 17:29 " ÊÂÀÍT 2009/¹4 Ðàññêàçû î ñîâðåìåííîé ìåõàíèêå (ïðîäîëæåíèå) Ã.רÐÍÛÉ Èññëåäîâàíèå âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé ìåòîäàìè ìåõàíèêè Èçó÷åíèå âóëêàíîâ è èõ àêòèâíîñòè âñåãäà áûëî äåëîì ñïåöèàëèñòîâ âóëêàíîëîãîâ, ãåîëîãîâ è ïðåäñòàâèòåëåé äðóãèõ íàóê. Ìåõàíèêà äîëãîå âðåìÿ íå âìåøèâàëàñü â ýòîò âîïðîñ. Áûëè îòäåëüíûå ïîïûòêè ðàññìîòðåíèÿ ãåéçåðîâ è äðóãèõ ïîäîáíûõ îáðàçîâàíèé. Íî ñîáñòâåííî âóëêàíàìè ó÷åíûå-ìåõàíèêè çàíÿëèñü ëèøü â ïîñëåäíåå âðåìÿ, è ñðàçó æå ïðîèçîøåë ïðîðûâ â ýòîé îáëàñòè. Äëÿ èçó÷åíèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ äåÿòåëüíîñòè âóëêàíîâ áûëè ïðèìåíåíû òðàäèöèîííûå äëÿ ìåõàíèêè ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Íà íûíåøíåì ýòàïå èññëåäîâàíèé óæå ïîëó÷åíû èíòåðåñíûå è îáíàäåæèâàþùèå ðåçóëüòàòû. Ïîñòðîåíû ìîäåëè ðàçëè÷íûõ òèïîâ èçâåðæåíèé, ìåòîäàìè ìåõàíèêè îïèñàí ðÿä ïðîøëûõ èçâåðæåíèé (â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ èìåþùèìèñÿ äàííûìè).  íàøè äíè, áëàãîäàðÿ ðàáîòå ó÷åíûõ èç Èíñòèòóòà ìåõàíèêè ÌÃÓ, ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü çàäíèì ÷èñëîì ïðîâåñòè ðàñ÷åò ïðîèñõîäèâøèõ â ñâîå âðåìÿ èçâåðæåíèé, î êîòîðûõ áûëî ìíîãîå èçâåñòíî, íî, êàê îêàçàëîñü, ìíîãîå ñòàíîâèòñÿ èçâåñòíûì ëèøü ñåé÷àñ. Âóëêàíè÷åñêîå èçâåðæåíèå îäèí èç íàèáîëåå ðàçðóøèòåëüíûõ âèäîâ ïðèðîäíûõ êàòàñòðîô. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî çà ïîñëåäíèå òðè âåêà â ðåçóëüòàòå âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé ïîãèáëè áîëåå 220 òûñÿ÷ ÷åëîâåê. Äëÿ íàäåæíîãî ïðîãíîçà ïîñëåäñòâèé âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé íåîáõîäèìî íàó÷èòüñÿ ïðàâèëüíî èíòåðïðåòèðîâàòü ðàçëè÷íûå ñèãíàëû, ïîëó÷àåìûå îò âóëêàíà, ìèêðîçåìëåòðÿñåíèÿ, äåôîðìàöèè ïîñòðîåê, ðîñò òåìïåðàòóðû â òåðìàëüíûõ èñòî÷íèêàõ è ñîñòàâ âûäåëÿåìûõ ãàçîâ. Ñâÿçàòü ýòè íåïðÿìûå ðàçðîçíåííûå íàáëþäåíèÿ ïîä ñèëó ëèøü ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì, îñíîâûâàþùèìñÿ íà ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíàõ ìåõàíèêè. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïîäðîáíåå, ÷òî ïðîèçîøëî â 79 ãîäó íàøåé ýðû âî âðåìÿ èçâåðæåíèÿ âóëêàíà Âåçóâèé, êîãäà ïîãèáëè ãîðîäà Ïîìïåè è Ãåðêóëàíóì. Êàê èçâåñòíî èç ìíîãî÷ëåííûõ èñòî÷íèêîâ, ïîñëå êðàòêîâðåìåííîãî âñïëåñêà èçâåðæåíèå áûñòðî ïîøëî íà óáûëü. Æèòåëè Ïîìïåé, õîòÿ è èçðÿäíî íàïóãàííûå, ðåøèëè, ÷òî âóëêàí óñïîêîèëñÿ, è íå ñîáèðàëèñü ïîêèäàòü ñâîè äîìà. Âíåçàïíî èçâåðæåíèå ñíîâà óñèëèëîñü, è íà ãîðîä îáðóøèëèñü ïîòîêè ðàñêàëåííûõ êàìíåé. Ïðàêòè÷åñêè ìãíîâåííî ãîðîä áûë ïîãðåáåí ïîä èõ ìíîãîìåòðîâûì ñëîåì. Îáúÿñíèòü ýòî íå ìîã íèêòî, à ìåõàíèêè îáúÿñíèëè. 01-19.p65 14 Ñîçäàëè ìîäåëü, ðàñ÷åòû ïî êîòîðîé âîññòàíîâèëè õðîíîëîãèþ ñîáûòèé. Íà ðèñóíêå 1 ïðèâåäåí ãðàôèê ðàññ÷èòàííîé çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè èçâåðæåíèÿ îò âðåìåíè. Îêàçûâàåòñÿ, âîçëå Âåçóâèÿ â çåìëå èìååòñÿ äîñòàòî÷íî ìîùíûé âîäîíîñíûé ñëîé. È âîò, Ðèñ.1. Èíòåíñèâíîñòü èçâåðæåíèÿ Âåçóâèÿ (79 ã.) êîãäà ïðîèçîøåë ñïàä èçâåðæåíèÿ, â ìåñòå êîíòàêòà ñ ýòèì ñëîåì äàâëåíèå âíóòðè êàíàëà âóëêàíà ñèëüíî óïàëî, è òóäà óñòðåìèëàñü âîäà, êîòîðàÿ ïðàêòè÷åñêè ìãíîâåííî ïðåâðàòèëàñü â ïàð è ïðîèçâåëà âûñòðåë, âûáðîñèâøèé ãðîìàäíîå ÷èñëî êàìíåé, ïåïëà è òîìó ïîäîáíîå.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ìåòîäû ìåõàíèêè àêòèâíî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ àíàëèçà è ïðîãíîçà âóëêàíè÷åñêèõ èçâåðæåíèé.  Èíñòèòóòå ìåõàíèêè ÌÃÓ ñîçäàíû ìîäåëè òå÷åíèÿ ìàãìû (ðàñïëàâëåííîé ëàâû) â êàíàëå âóëêàíà äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ èçâåðæåíèé. Ýòè ìîäåëè ïîçâîëÿþò ñâÿçàòü íàáëþäàåìûå íà ïîâåðõíîñòè âåëè÷èíû, íàïðèìåð ðàñõîä ìàãìû è åå òåìïåðàòóðó, ñ ïðîöåññàìè, ïðîèñõîäÿùèìè â çåìíîé êîðå. Äëÿ ðÿäà âóëêàíîâ èõ èñòîðèÿ èçâåñòíà, îïèñàíà ìåòîäàìè ìåõàíèêè, è, òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ âîçìîæåíûì ïðîãíîç. Íàïðèìåð, âçÿâ ïàðàìåòðû èçâåðæåíèÿ äëÿ Âåçóâèÿ ïðèáëèçèòåëüíî òå æå, ÷òî áûëè â íà÷àëå íàøåé ýðû, ó÷åíûå ðàññ÷èòàëè ëàâîâûå ïîòîêè, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü ñåãîäíÿ. Îíè óñòàíîâèëè, â ÷àñòíîñòè, ÷òî íà ãîðîä Íåàïîëü â òå÷åíèå 15 ìèíóò ìîãóò îáðóøèòüñÿ îãðîìíûå ïîòîêè ðàñêàëåííîé ìàãìû. Íàñåëåíèå è ìåñòíûå îðãàíû âëàñòè ïðèçàäóìàëèñü, è ñåé÷àñ ðàçðàáàòûâàþòñÿ ïëàíû ýâàêóàöèè íàñåëåíèÿ íà ýòîò ñëó÷àé. 29.07.09, 17:29 ÐÀÑÑÊÀÇÛ Î ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü îáðàçîâàíèÿ ñóïåðêîíòèíåíòîâ Åùå îäèí, äåéñòâèòåëüíî îøåëîìëÿþùèé, ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ìåõàíèêè â îãðîìíîì ïî ìàñøòàáó ïðîìåæóòêå âðåìåíè îò íà÷àëà âîçíèêíîâåíèÿ Çåìëè è äî íàøèõ äíåé ýòî îáðàçîâàíèå êîíòèíåíòîâ. Èçâåñòíî, ÷òî êîíòèíåíòû è ñîñòàâëÿþùèå èõ ïëèòû äâèæóòñÿ. È âîò, ïî äàííûì ãåîëîãîâ, çà ïîñëåäíèå òðè ñ ïîëîâèíîé ìèëëèàðäà ëåò ýòè ïëèòû íåñêîëüêî ðàç ñîáèðàëèñü â Ðèñ.2. Ñóïåðêîíòèíåíòû â ãåîëîãè÷åñêîé èñòîðèè Çåìëè íåêèé îáùèé ìàòåðèê (ðèñ.2). Ãåîëîãè óìåþò îïðåäåëÿòü âîçðàñò ïîðîä. Íà íûíå ñóùåñòâóþùèõ êîíòèíåíòàõ åñòü îáëàñòè, ãäå ïîðîäû î÷åíü ñòàðûå ïî òðè ìèëëèàðäà ëåò è áîëüøå, à â äðóãèõ ìåñòàõ îáíàðóæåíû òàê íàçûâàåìûå þâåíèëüíûå ïîðîäû, ò.å. ïîðîäû, âîçíèêøèå íàìíîãî (íà ìèëëèàðä, íà äâà ìèëëèàðäà ëåò) ïîçæå. Íî ïî÷åìó âñå ýòî ïðîèñõîäèò íåÿñíî. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ áûëà ïðåäëîæåíà êîíâåêöèîííàÿ òåîðèÿ äèíàìèêè çåìíîé êîðû. Âíóòðåííåå ñòðîåíèå Çåìëè âûáèðàëîñü î÷åíü ïðîñòûì â öåíòðå íàõîäèòñÿ ãîðÿ÷åå ðàñïëàâëåííîå ÿäðî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì òåïëà, äàëüøå ðàñïîëàãàåòñÿ ìàíòèÿ, êîòîðàÿ ðàçäåëåíà íà äâà ñëîÿ âåðõíèé è íèæíèé (ýòî äàííûå ñåéñìîëîãèè). Ñëîè òîëñòûå, âåðõíèé ñëîé èìååò òîëùèíó ïðèìåðíî 650 êèëîìåòðîâ. Ýòè ñëîè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ïî ñâîåìó âíóòðåííåìó ñòðîåíèþ. Ãðàíèöà ìåæäó ñëîÿìè ýòî ïîâåðõíîñòü ôàçîâîãî ïåðåõîäà âåùåñòâà ìàíòèè ñ ïîãëîùåíèåì òåïëà, ò.å. ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü îäíè õèìè÷åñêèå ñâÿçè ïðåîáðàçóþòñÿ â äðóãèå è ýòî ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîãëîùåíèåì òåïëà. Òàê âîò, áûëà ïîñòðîåíà òàêàÿ óïðîùåííàÿ ìîäåëü: åñòü ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íàÿ Çåìëÿ, çàòåì åé äàþò íåáîëüøîå âîçìóùåíèå, îòêëîíåíèå îò ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ôîðìû, 01-19.p65 15 ÌÅÕÀÍÈÊÅ # è îòñëåæèâàþò, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè äàëüíåéøåé ýâîëþöèè. Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðàçâèâàþùèåñÿ (óâåëè÷èâàþùèåñÿ) âîçìóùåíèÿ ïðèâîäÿò ê ãëîáàëüíûì äâèæåíèÿì ìàíòèè Çåìëè. Âîçíèêàþò òàê íàçûâàåìûå òåïëîâûå êîíâåêòèâíûå ïîòîêè, è â äâóõñëîéíîé ìàíòèè íàáëþäàåòñÿ èíòåðåñíåéøåå ÿâëåíèå.  íåêîòîðûå ïåðèîäû, äîñòàòî÷íî êîðîòêèå ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèì âðåìåíåì ýâîëþöèè, âåðõíèé, áîëåå õîëîäíûé, ñëîé ìàíòèè ïî÷òè öåëèêîì ñëèâàåòñÿ îäíîé ãèãàíòñêîé ñòðóåé âãëóáü Çåìëè, îáâîëàêèâàÿ åå ÿäðî. Âçàìåí ýòîãî ïðîèñõîäèò âñïëûòèå íà ïîâåðõíîñòü ÷àñòè âåùåñòâà íèæíåãî, áîëåå ãîðÿ÷åãî, ñëîÿ. Âñïëûòèå ïðîèñõîäèò òðåìÿ-ïÿòüþ ìåíåå ìîùíûìè ñòðóÿìè, ÷åì ñòðóÿ, èäóùàÿ âíèç. Âñïëûâàþùèé ìàòåðèàë è îáðàçóåò íîâûå, þâåíèëüíûå ïîðîäû. Çàìåòèì, ÷òî íàèáîëåå íåîæèäàííûì îòêðûòèåì îêàçàëàñü òàê íàçûâàåìàÿ «ãëîáàëüíàÿ ñàìîîðãàíèçàöèÿ» òå÷åíèÿ, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â êîëëåêòèâíîì, ò.å. îäíîé ìîùíîé ñòðóåé, ïîãðóæåíèè âåùåñòâà. Ñëåäñòâèåì ýòîãî è ÿâëÿåòñÿ ñáîðêà (íàä ìåñòîì ïîãðóæåíèÿ) ñóïåðêîíòèíåíòà èç îòäåëüíûõ êîíòèíåíòîâ, à òàêæå ïîâûøåííàÿ ñêîðîñòü ïîãðóæåíèÿ âåùåñòâà. Îïèñûâàåìàÿ òåîðèåé êàðòèíà íå òîëüêî êà÷åñòâåííî ñîãëàñóåòñÿ ñ ãåîëîãè÷åñêîé èñòîðèåé íàøåé ïëàíåòû, íî è ïîçâîëÿåò äåëàòü íåêîòîðûå âûâîäû (àâòîðû ðàáîòû ìîñêîâñêèå ó÷åíûå-ìåõàíèêè). Ïîñêîëüêó òåîðèÿ èìååò íåêîòîðóþ ñâîáîäó (ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû, êîòîðûå ìîæíî çàäàâàòü), âðåìåííîé ìàñøòàá ïîäãîíÿåòñÿ ïîä ìàñøòàá äåéñòâèòåëüíûõ íîâûõ îáðàçîâàíèé, êîòîðûå ãåîëîãè îïðåäåëÿþò ïî ðàñïàäó ðàäèîàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Íà ðèñóíêå 3 ïðèâåäåí Ðèñ.3. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ìàíòèè 29.07.09, 17:29 $ ÊÂÀÍT 2009/¹4 Ðèñ.4. Ãåîëîãè÷åñêèå äàííûå ïî âîçðàñòó þâåíèëüíûõ ïîðîä ãðàôèê ðàññ÷èòàííîé ñðåäíåé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ìàíòèè. Îí èìååò äîâîëüíî îñòðûå ïèêè, êîãäà ñêîðîñòü ñèëüíî âîçðàñòàåò, ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïèêîâ íåâåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèì âðåìåíåì ýâîëþöèè. Âî âðåìÿ ýòèõ ïèêîâ è ïðîèñõîäèò èíòåíñèâíîå îáðàçîâàíèå ïîðîä. Ïîëó÷åííàÿ êàðòèíà õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ èìåþùèìèñÿ ãåîëîãè÷åñêèìè äàííûìè ïî âîçðàñòó þâåíèëüíûõ ïîðîä (ðèñ.4). Ïîñëå òîãî êàê ïåðèîäû ïîäîãíàíû, ïîëó÷àåòñÿ î÷åíü ïîõîæàÿ êàðòèíà. Ìåõàíèêà è àðêòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ  íàøåé ñòðàíå ðàçðàáîòàíû (÷åãî íåò áîëüøå íèãäå â ìèðå) ãëóáîêîâîäíûå, äî 6 êèëîìåòðîâ ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ, ñàìîõîäíûå èëè óïðàâëÿåìûå èçâíå ñàìîäâèæóùèåñÿ àïïàðàòû îáèòàåìûé «Ìèð» è íåîáèòàåìûé «Êëàâåñèí». Îíè ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþòñÿ îò èìåþùèõñÿ â ðÿäå ñòðàí òàê íàçûâàåìûõ áàòèñêàôîâ, êîòîðûå ïðîñòî îïóñêàþò íà êàíàòå, âíèçó îíè ñáðàñûâàþò áàëëàñò è âñïëûâàþò. Íî 6 êèëîìåòðîâ ãëóáèíû ýòî äàâëåíèå 600 àòìîñôåð, êîòîðîå äîëæíî âûäåðæàòü äîñòàòî÷íî ñëîæíîå óñòðîéñòâî àïïàðàòà. È çäåñü íóæíà ìåõàíèêà ìàòåðèàëîâ, ìåõàíèêà èõ ïîâåäåíèÿ â òàêèõ ñëîæíûõ óñëîâèÿõ. Íîâîñòü, êîòîðàÿ â ãàçåòàõ îñâåùàëàñü î÷åíü øèðîêî, íåäàâíÿÿ ýêñïåäèöèÿ ê Ñåâåðíîìó ïîëþñó íà àòîìíûõ ëåäîêîëàõ «Ðîññèÿ» è «Àêàäåìèê Ôåäîðîâ» è óñòàíîâêà Ðîññèéñêîãî ôëàãà íà äíî Ñåâåðíîãî Ëåäîâèòîãî îêåàíà. Íà àòîìíûõ ëåäîêîëàõ åñòü àòîìíûå ðåàêòîðû, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïî÷òè ÷èñòî ìåõàíè÷åñêèå óñòðîéñòâà. Âîçìîæíîñòü ñîçäàíèÿ ïðî÷íûõ ñóäîâ ýòî òîæå ìåõàíèêà. Íî åùå ðàíüøå íà Ñåâåðíîì ïîëþñå ïîáûâàëè ïîäâîäíûå ëîäêè, êîòîðûå âñïëûëè òî÷íî â òî÷êå ïîëþñà. Êòî èõ òóäà ïðèâåë? Ðàäèî? Îíî íå ðàáîòàåò ïîä âîäîé. Ýõîëîêàöèÿ? Õîòÿ îíà è ðàáîòàåò, íî íà î÷åíü ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ. À ïðèâåëè ëîäêè èíåðöèàëüíûå ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû íàâèãàöèè ïîðàçèòåëüíîé òî÷íîñòè åùå îäíî ÷óäî, âûäàþùååñÿ äîñòèæåíèå ìåõàíèêè è ïðîøëîãî è ñîâñåì íåäàâíåãî âðåìåíè. Íàâèãàöèÿ ýòî íàóêà è èñêóññòâî, íàõîäÿñü íà ïåðåìåùàþùåìñÿ àïïàðàòå (ìàøèíå, ìîðñêîì èëè âîç- 01-19.p65 16 äóøíîì ñóäíå, êîñìè÷åñêîì èëè âîçäóøíîì êîðàáëå), îïðåäåëÿòü ìåñòîïîëîæåíèå è îðèåíòàöèþ ýòîãî àïïàðàòà.  ñòàðèíó ìîðÿêè äëÿ íàâèãàöèè èñïîëüçîâàëè êîìïàñ, Ñîëíöå è çâåçäíîå íåáî. Ïîòîì íà ïîìîùü ïðèøëî ðàäèî. Íîâàÿ ýïîõà íà÷àëàñü ñ ïîÿâëåíèåì èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì íàâèãàöèè, êîòîðûå íå èñïîëüçóþò íèêàêèõ âíåøíèõ ñèãíàëîâ èëè íàáëþäåíèé. Ñàìûå ïåðâûå òàêèå ñèñòåìû, äî ñèõ ïîð îñòàþùèåñÿ òðàäèöèîííûìè, ãèðîñêîïè÷åñêèå.  èõ îñíîâå ëåæèò ÷èñòî ìåõàíè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãèðîñêîï. (Ïðîñòåéøåå ïðåäñòàâëåíèå î ãèðîñêîïå äàåò áûñòðî âðàùàþùèéñÿ âîë÷îê, êîòîðûé, âîïðåêè ñèëå òÿæåñòè, íå ïàäàåò, è ïðè ýòîì åãî îñü âðàùåíèÿ ïðåöåññèðóåò, ò.å. ìåäëåííî îïèñûâàåò êîíóñ.) Ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû íàâèãàöèè ïðîøëè êîëîññàëüíóþ ýâîëþöèþ çà ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ è îñîáåííî â íàøè äíè.  íàøåé ñòðàíå ñîçäàíû ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû íàâèãàöèè ïîðàçèòåëüíîé òî÷íîñòè. Íà ýòè ïðèáîðû èìååòñÿ îãðîìíûé ñïðîñ âî âñåì ìèðå, êàæäûå äâà ãîäà ïðîâîäÿòñÿ ïîñâÿùåííûå èì ìåæäóíàðîäíûå êîíôåðåíöèè. Õîòÿ ýòè ïðèáîðû è ýëåêòðîííûå, íî ïðèíöèï èõ äåéñòâèÿ è ïðèíöèï èïîëüçîâàíèÿ ÷èñòî ìåõàíè÷åñêèå. Êñòàòè ñêàçàòü, àêóñòè÷åñêàÿ ëîêàöèÿ è ñâÿçü òîæå äåëî ìåõàíèêîâ. Âåäü àêóñòèêà íàóêà, îòïî÷êîâàâøàÿñÿ îò ìåõàíèêè, êàê è äàâíî âûäåëèâøàÿñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìåòåîðîëîãèÿ (è çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü îêåàíîëîãèè).  ñîâîêóïíîñòè ýòè äâå íàóêè èçó÷àþò äâèæåíèÿ â âîçäóøíîé îáîëî÷êå Çåìëè àòìîñôåðå è äâèæåíèÿ â ìèðîâîì îêåàíå, à òàêæå èõ âçàèìîäåéñòâèå. Ñðåäè ðÿäà íîâåéøèõ äîñòèæåíèé ýòèõ íàóê ìîæíî îòìåòèòü òåîðèþ «ðèíãîâ» Ãîëüôñòðèìà è òåîðèþ òîðîøåíèÿ ëüäîâ â Àðêòèêå. Ïîñëåäíÿÿ ñðîäíè òåîðèè ñòîëêíîâåíèÿ ìàòåðèêîâûõ ïëèò, íî, êîíå÷íî, îòíîñèòñÿ ê ÿâëåíèÿì ãîðàçäî ìåíüøåãî ìàñøòàáà ïî ïðîñòðàíñòâó è âðåìåíè è ê áîëåå ïðîñòîé ñðåäå. Ïðîèçâîäñòâî ýëåêòðîýíåðãèè íà àòîìíûõ ýëåêòðîñòàíöèÿõ Õîðîøèì ïðèìåðîì èñïîëüçîâàíèÿ ìåõàíèêè â òåõíèêå ìîæåò ñëóæèòü àòîìíàÿ ýíåðãåòèêà îäíà èç áûñòðî ðàçâèâøèõñÿ â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ òåõíîëîãèé. Íûíå àòîìíûå ðåàêòîðû èñïîëüçóþòñÿ íå òîëüêî â ýíåðãåòèêå, íî è äëÿ òðàíñïîðòà. Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà àòîìíîé ýëåêòðîñòàíöèè ÀÝÑ èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 5. Ïîìèìî àòîìíîãî ðåàêòîðà îíà âêëþ÷àåò äâóõêîíòóðíóþ ñèñòåìó òåïëîíîñèòåëÿ (ïåðâûé êîíòóð ðàäèîàêòèâíûé, îí ðàñïîëàãàåòñÿ âíóòðè êîðïóñà ðåàêòîðà, à âòîðîé, óæå ñ ìàëîé ðàäèîàêòèâíîñòüþ, íàõîäèòñÿ âíå ðåàêòîðíîãî êîðïóñà), ïàðîâûå òóðáèíû, êîòîðûå âðàùàþò ýëåêòðîãåíåðàòîðû, ñàìè ýëåêòðîãåíåðàòîðû, ñèñòåìû ïåðåäà÷è ýëåêòðîýíåðãèè, ñèñòåìó îõëàæäåíèÿ, íàñîñû. Ñåðäöåì ÀÝÑ ÿâëÿåòñÿ àòîìíûé ðåàêòîð ñîâìåñòíîå äåòèùå ôèçèêîâ è ìåõàíèêîâ. Òîïëèâî (óðàí) çàãðóæàþò â ðåàêòîð â âèäå òåïëîâûäåëÿþùèõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òðóáî÷êè, íàáèòûå ýòèì òîïëèâîì. Àòîìíóþ ðåàêöèþ óìåíüøàþò èëè óñèëèâàþò, ïåðåìåùàÿ ââåðõ èëè âíèç ýòè òåïëîâûäåëÿþùèå ýëåìåíòû, ò.å. âûäâèãàÿ èõ èç ðåàêòîðà èëè çàäâèãàÿ â íåãî. 29.07.09, 17:29 ÐÀÑÑÊÀÇÛ Î ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ % Ðèñ.5. Ñõåìà óñòðîéñòâà ÀÝÑ Òåïëîâûäåëÿþùèå ýëåìåíòû ýòî äàëåêî íå ñàìàÿ ñëîæíàÿ ÷àñòü ñòàíöèè, íî äàæå èõ òåõíîëîãèÿ èçãîòîâëåíèÿ ðàçðàáàòûâàåòñÿ ó÷åíûìè-ìåõàíèêàìè ñîâìåñòíî ñ èíæåíåðàìè çàâîäà-èçãîòîâèòåëÿ. Âñÿ çàãðóæàåìàÿ â ðåàêòîð êîíñòðóêöèÿ â ñáîðå ïðèâîçèòñÿ ñ çàâîäà íà íåñêîëüêèõ áîëüøåãðóçíûõ àâòîìàøèíàõ. Íà ýòîì ðîëü ôèçèêîâ çàêàí÷èâàåòñÿ. Êîðïóñ ðåàêòîðà ðàññ÷èòûâàåòñÿ ìåòîäàìè ìåõàíèêè, è, ìåæäó ïðî÷èì, íå ìåòîäàìè ÕIX âåêà, à íåïðåðûâíî ñîâåðøåíñòâóþùèìèñÿ ìåòîäàìè ïîñëåäíèõ ëåò. Âñå îñòàëüíîå òûñÿ÷åòîííîå ñëîæíåéøåå îáîðóäîâàíèå ÀÝÑ òàêæå ðàññ÷èòûâàåòñÿ, ñîçäàåòñÿ è ìîíòèðóåòñÿ èíæåíåðíî-òåõíè÷åñêèì ïåðñîíàëîì íà îñíîâå íîâåéøèõ äîñòèæåíèé ìåõàíèêè. Ïðàâäà, ýòî òðåáóåò ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ è òåïëîòåõíè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ (âêëþ÷àÿ ðàñ÷åò äâèæåíèÿ æèäêîñòè è ïàðà â ñèñòåìàõ òåïëîíîñèòåëÿ è îõëàæäåíèÿ), êîòîðûå îòíîñÿòñÿ ê îáëàñòè ôèçèêè. Íî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òåïëîòåõíèêà ýòî íåáîëüøàÿ ÷àñòü ìåõàíèêè. Ìåõàíèêà, âîáðàâ â ñåáÿ òåïëîâûå ïðîöåññû, âîîáùå ãîâîðÿ, äàâíî çàíèìàåòñÿ òåïëîòåõíè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè áîëåå ñëîæíûìè, ÷åì òå, êîòîðûå ðåøàåò ñàìà òåïëîòåõíèêà. Íà ýòîì ïðèìåðå õîòåëîñü áû îáîñíîâàòü ñëåäóþùèé òåçèñ. Äëÿ òîãî ÷òîáû äîñòèæåíèÿ ðÿäà äðóãèõ íàóê, âêëþ÷àÿ ôèçèêó, ñäåëàòü ïîëåçíûìè ÷åëîâåêó, áåç ìåõàíèêè íå îáîéòèñü. Ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé. Òàê, ôèçèêè îòêðûëè è èçó÷èëè ðåàêöèþ äåëåíèÿ óðàíà ñ âûäåëåíèåì ýíåðãèè. Ìåõàíèêè íà îñíîâå ýòîãî îòêðûòèÿ ñîçäàëè ñîîðóæåíèÿ, äàþùèå ëþäÿì òåïëîâóþ è ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ. Äðóãèå îòêðûòèÿ â ôèçèêå (ëàçåðû èëè èíûå èñòî÷íèêè èçëó÷åíèÿ), â õèìèè, â íàóêå î ìàòåðèàëàõ è äàæå â áèîëîãèè, äëÿ òîãî ÷òîáû ñòàòü ïîëåçíûìè ëþäÿì, òðåáóþò èñïîëüçîâàíèÿ íîâåéøèõ äîñòèæåíèé ìåõàíèêè. Íàïðèìåð, âñå, ÷òî ãîâîðèëîñü âûøå îá ÀÝÑ, îñòàåòñÿ âåðíûì è äëÿ âñåõ íîâûõ õèìè÷åñêèõ òåõíîëîãèé. Çäåñü ñåðäöå õèìè÷åñêèé ðåàêòîð îïÿòü ñîâìåñòíîå äåòèùå õèìèêîâ è ìåõàíèêîâ, ïðè÷åì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî æåëàåìîå óñêîðåíèå õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ òðåáóåò âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñîçäàíèÿ âñå áîëåå áûñòðîïðîòî÷íûõ õèìè÷åñ- 01-19.p65 17 êèõ ðåàêòîðîâ, ðîëü ìåòîäîâ ìåõàíèêè â èõ ðàñ÷åòå ñòàíîâèòñÿ âñå áîëüøåé. Ðàçâèòèå ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé ñïóòíèêîâîé ñâÿçè, ñîçäàíèå â áóäóùåì êîñìè÷åñêèõ ñèñòåì, èñïîëüçóþùèõ ñîëíå÷íóþ ýíåðãèþ äëÿ ïåðåäà÷è åå íà Çåìëþ, âñå ýòî àáñîëþòíî íåâîçìîæíî áåç ìåõàíèêè, áåç óæå ñóùåñòâóþùèõ è íîâûõ, òðåáóþùèõ ðàçâèòèÿ, åå ìåòîäîâ. Çàêëþ÷åíèå. Ñýð Èñààê Íüþòîí è âå÷íî íîâàÿ ìåõàíèêà Ñîâðåìåííûé ýòàï ðàçâèòèÿ íàóêè è ïðîãðåññ íàó÷íîãî çíàíèÿ â öåëîì â çíà÷èòåëüíîé ìåðå îïðåäåëÿþòñÿ ïðîíèêíîâåíèåì â ðàçëè÷íûå îáëàñòè íàóêè ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, êîòîðûå îñíîâàíû íà ïîñòðîåíèè è èñïîëüçîâàíèè òåõ èëè èíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Íå íóæíî çàáûâàòü, ÷òî ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âîçíèê â íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå (çíàìåíèòûå çàêîíû Íüþòîíà) è áûë ñ óñïåõîì èñïîëüçîâàí ñàìèì Íüþòîíîì ïðè ðåøåíèè ðÿäà ñåðüåçíûõ çàäà÷. Âïîñëåäñòâèè èñêóññòâî ïîñòðîåíèÿ ñëîæíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé áûëî ñîçäàíî èìåííî ìåõàíèêàìè è çàòåì ïðèìåíåíî ïîñëåäîâàòåëüíî ôèçèêàìè, ãåîôèçèêàìè, õèìèêàìè, áèîëîãàìè, ëèíãâèñòàìè, à â ïîñëåäíåå âðåìÿ ñîöèîëîãàìè è ýêîíîìèñòàìè. Ìîäåëè ìåõàíèêè íåîáû÷àéíî íàãëÿäíû. Íåñëó÷àéíî ðÿä çíàìåíèòûõ ôèçèêîâ ïðîøëîãî óòâåðæäàëè, ÷òî íè îäíî ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ äî êîíöà ïîíÿòûì, ïîêà îíî íå ñôîðìóëèðîâàíî â òåðìèíàõ ìåõàíèêè. Çàìå÷àòåëüíûé ìåõàíèê è ìàòåìàòèê, àêàäåìèê Àëåêñåé Íèêîëàåâè÷ Êðûëîâ ïèñàë â ïðåäèñëîâèè ê åãî ðóññêîìó ïåðåâîäó «Ìàòåìàòè÷åñêèõ íà÷àë íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè» Íüþòîíà: «Íà÷àëà ...» Íüþòîíà ñîñòàâëÿþò íåçûáëåìîå îñíîâàíèå ìåõàíèêè, òåîðåòè÷åñêîé àñòðîíîìèè è ôèçèêè». Ëàãðàíæ íàçâàë ýòî ñî÷èíåíèå «âåëè÷àéøèì èç ïðîèçâåäåíèé ÷åëîâå÷åñêîãî óìà». Íüþòîíîâñêàÿ ìåõàíèêà äåéñòâèòåëüíî íåïðåâçîéäåííîå äîñòèæåíèå ôèçèêè (íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè), âñåé èñòîðèè ÷åëîâå÷åñêîé öèâèëèçàöèè. Îíà âå÷íà. 29.07.09, 17:29 & ÊÂÀÍT 2009/¹4 ÍÀØÈ ÍÀÁËÞÄÅÍÈß Ìàòåìàòèêè è ïðîãðàììèñòû À.ØÅÍÜ È ÌÅÞÒÑß N ÍÀ ÂÈÄ ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÕ ÏÐÅÄÌÅÒÎÂ, ÊÎÒÎ- ðûå íà ñàìîì äåëå íåñêîëüêèõ ðàçëè÷íûõ òèïîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ïðåäìåòû îäíîãî èç òèïîâ ñîñòàâëÿþò áîëüøèíñòâî (áîëüøå N/2). Òðåáóåòñÿ óêàçàòü ïðåäñòàâèòåëÿ ýòîãî áîëüøèíñòâà, èñïîëüçóÿ äåòåêòîð, â êîòîðûé ìîæíî (çà îäèí ðàç) çàãðóçèòü äâà ïðåäìåòà è îïðåäåëèòü, îäíîãî îíè òèïà èëè ðàçíûõ. Ñêîëüêî òàêèõ ïðîá (ñðàâíåíèé) ïðèäåòñÿ ñäåëàòü? Åñëè íå ýêîíîìèòü è ñðàâíèâàòü ïîïàðíî âñå ïðåäìåòû, òî ïîíàäîáèòñÿ N ( N − 1) 2 ñðàâíåíèé (êàæäûé ïðåäìåò ó÷àñòâóåò â N 1 ñðàâíåíèÿõ è â êàæäîì ñðàâíåíèè ó÷àñòâóþò äâà ïðåäìåòà). Îêàçûâàåòñÿ, åñëè äåéñòâîâàòü ñ óìîì, ìîæíî 2 ñäåëàòü ÷èñëî ïðîá ïðîïîðöèîíàëüíûì N (âìåñòî N ). Ìû ñåé÷àñ ïðèâåäåì äâà äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà. Ïåðâîå (êàê ìû íàäååìñÿ) äîëæíî ïîíðàâèòüñÿ ìàòåìàòèêàì, âòîðîå ïðîãðàììèñòàì. Îáà ðàññóæäåíèÿ íà÷èíàþòñÿ ñ òàêîãî çàìå÷àíèÿ: åñëè ìû íàøëè äâà ïðåäìåòà ðàçíûõ òèïîâ, òî èõ ìîæíî âûáðîñèòü, ñîõðàíèâ áîëüøèíñòâî.  ñàìîì äåëå, èç íèõ ìàêñèìóì îäèí ïðèíàäëåæèò áîëüøèíñòâó, è ïîñëå åãî óäàëåíèÿ áîëüøèíñòâî íå ïðîïàäåò (âåäü ìû âûáðîñèëè è ïðåäìåò äðóãîãî òèïà). Ïî òåì æå ïðè÷èíàì äâà ïðèÿòåëÿ, êîòîðûå ñîáèðàþòñÿ ãîëîñîâàòü çà ðàçíûõ êàíäèäàòîâ, ìîãóò ñãîâîðèòüñÿ íå èäòè íà âûáîðû, åñëè îíè ïî÷åìó-ëèáî âåðÿò, ÷òî ïîäñ÷åò ïðîèçâîäèòñÿ ÷åñòíî è ÷òî îäèí èç êàíäèäàòîâ ïîëüçóåòñÿ ïîääåðæêîé áîëåå ïîëîâèíû ãîëîñóþùèõ (îí ïîòåðÿåò ìàêñèìóì îäèí ãîëîñ çà è ìèíèìóì îäèí ãîëîñ ïðîòèâ). Ìàòåìàòèê ïðîäîëæèò ðàññóæäåíèå òàê. Ïóñòü ñíà÷àëà N ÷åòíî. Òîãäà ïîäåëèì ïðåäìåòû íà ïàðû è ñðàâíèì èõ â êàæäîé ïàðå (âñåãî N/2 ñðàâíåíèé). Òå ïàðû, â êîòîðûõ ïðåäìåòû ðàçëè÷íû, ìîæíî âûáðîñèòü. Ïîñëå ýòîãî îñòàþòñÿ ïàðû ñ ðàâíûìè ïðåäìåòàìè è äîñòàòî÷íî îñòàâèòü îò êàæäîé ïî îäíîìó, òàê ÷òî çàäà÷à ïîñëå N/2 ñðàâíåíèé ñâîäèòñÿ ê òàêîé æå çàäà÷å äëÿ (ìàêñèìóì) ïîëîâèííîãî ÷èñëà ïðåäìåòîâ, è ìîæíî ïîâòîðÿòü ðàññóæäåíèå. Åñëè âðåìåííî çàáûòü î íå÷åòíûõ N, ïîëó÷èòñÿ ôîðìóëà T ( N ) ≤ N 2 + T ( N 2) , ãäå T (n ) ÷èñëî ïðîá ïðè ïîèñêå ïðåäñòàâèòåëÿ áîëüøèíñòâà ñðåäè íå áîëåå ÷åì n ïðåäìåòîâ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî T ( N ) < N . (Èíäóêöèÿ: T (2 ) = 0 , ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå áîëüøå ïîëîâèíû ýòî âñå; åñëè T ( N 2 ) < N 2 , òî T ( N 2 ) < N 2 + N 2 = N . Íàïðèìåð, èç 8 ïðåäìåòîâ ïîñëå 4 ñðàâíåíèé îñòàþòñÿ ìàêñèìóì 4, çàòåì ïîñëå äâóõ îñòàþòñÿ 2, âñåãî 4 + 2 = 6 ñðàâíåíèé.) Êîíå÷íî, ýòî ðàññóæäåíèå íå èìååò ñìûñëà, ïîêà ìû íå ðàçîáðàëèñü ñ íå÷åòíûìè N. Ïðè íå÷åòíîì N ïîñëå âûáðàñûâàíèÿ ïàð ñ íåðàâíûìè ïðåäìåòàìè îñòàþòñÿ íåñêîëüêî ïàð ñ ðàâíûìè ïðåäìåòàìè ïëþñ îäèí íåïàðíûé ïðåäìåò. Íàïðèìåð, ìîãóò îñòàòüñÿ ïàðû (a, a), (b, b), (c, c) è åùå d áåç ïàðû (âñåãî 7 ýëåìåíòîâ). Ìû çíàåì, ÷òî ñðåäè ýòèõ 7 ïðåäìåòîâ áîëüøå ïîëîâèíû (ò.å. 4 èëè áîëåå) îäèíàêîâûõ. Ïîýòîìó êàê ìèíèìóì äâå ïàðû èç òðåõ ïðèíàäëåæàò áîëüøèíñòâó (åñëè òîëüêî îäíà, òî áîëüøèíñòâà íèêàê íå 01-19.p65 18 íàáåðåòñÿ). Çíà÷èò, ïðåäìåòû èñêîìîãî òèïà ñîñòàâëÿþò áîëüøèíñòâî ñðåäè a, b, c, à ïðî d ìîæíî çàáûòü. Åñëè îñòàåòñÿ íå 7 ýëåìåíòîâ, à, ñêàæåì, 9, òî ñèòóàöèÿ áóäåò äðóãîé. Ïóñòü ó íàñ ÷åòûðå ïàðû (a, a), (b, b), (c, c), (d, d) è íåïàðíûé ïðåäìåò e. Äëÿ áîëüøèíñòâà íóæíî 5 ïðåäìåòîâ äîñòàòî÷íî äâóõ ïàð è e. Ïîýòîìó ñðåäè a, b, c, d ïðåäìåòû èñêîìîãî òèïà ìîãóò íå áûòü áîëüøèíñòâîì. Íî îíè äîëæíû áûòü áîëüøèíñòâîì ñðåäè a, b, c, d, e, èíà÷å áóäåò 5 ýëåìåíòîâ äðóãîãî òèïà (ìèíèìóì äâå ïàðû ïëþñ îäèí). Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå íàäî íå âûáðàñûâàòü e, à ïðèñîåäèíèòü åãî. Ëåãêî ñîîáðàçèòü, ÷òî îäèí èç ýòèõ äâóõ ïðèåìîâ âñåãäà ñðàáîòàåò: ìû ëèáî äîáàâëÿåì íåïàðíûé ïðåäìåò, ëèáî íåò ñ òåì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû íà ñëåäóþùåì øàãå îñòàâàëîñü íå÷åòíîå ÷èñëî ïðåäìåòîâ. Ïî èíäóêöèè ìîæíî ïîëó÷èòü è T ( N ) < N , ðàçîáðàâ äâà ñëó÷àÿ: T (2k ) ≤ k + T (k ) è T (2k + 1) ≤ k + T (k + 1) . Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî çàêîí÷åíî. Ýòî ðàññóæäåíèå ïîðàäóåò ìàòåìàòèêà, íî íå ïðîãðàììèñòà êîòîðûé âûíóæäåí äóìàòü î òîì, êàê âñå ýòè ðàçíûå ñëó÷àè ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî N è ÷åòíîãî è íå÷åòíîãî êîëè÷åñòâà ïàð çàïðîãðàììèðîâàòü è íè÷åãî íå ïðîïóñòèòü. Íî åñòü è äðóãîé âàðèàíò. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî íàñ çàïåðëè â êîìíàòå ñ äåòåêòîðîì, N ïðåäìåòàìè è òðåìÿ áîëüøèìè êîðîáêàìè, ãäå ýòè ïðåäìåòû ìîãóò ëåæàòü. Êîðîáêè ïðåäóñìîòðèòåëüíî ñíàáæåíû íàäïèñÿìè: «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» (Í), «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ» (Î) è «ÂÛÁÐÎØÅÍÍÛÅ» (Â). Èçíà÷àëüíî âñå ïðåäìåòû ëåæàò â êîðîáêå «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» (÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ åå íàçâàíèåì), è íàì èçâåñòíî, ÷òî áîëåå ïîëîâèíû èç íèõ íåêîòîðîãî îäíîãî òèïà X. Íàì ñòðîãî-íàñòðîãî âåëåíî ñîáëþäàòü äâå çàïîâåäè: i Âñå ïðåäìåòû â êîðîáêå «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ» äîëæíû íà ñàìîì äåëå áûòü îäíîãî òèïà (åñëè òàì âîîáùå ÷òî-òî åñòü). i Ïðåäìåòû òèïà X äîëæíû ñîñòàâëÿòü áîëüøèíñòâî ñðåäè âñåõ íåâûáðîøåííûõ (íàõîäÿùèõñÿ â êîðîáêàõ «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» è «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ»). (Î÷åâèäíî, â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè îáà óñëîâèÿ âûïîëíåíû.) Êîãäà êîðîáêà ñ íàäïèñüþ «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» ñòàíîâèòñÿ ïóñòîé, íàñ âûïóñêàþò èç êîìíàòû (è ýòî çàñëóæåííî, ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò ïðåäìåòû òèïà X ïî ïðàâèëàì ñîñòàâëÿþò áîëüøèíñòâî ñðåäè ïðåäìåòîâ â êîðîáêå «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ», è ìîæíî âçÿòü èç íåå ëþáîé ïðåäìåò îíè âñå îäèíàêîâûå). ×òî ìû ìîæåì äåëàòü, íå íàðóøàÿ çàïîâåäåé? Íåñêîëüêî î÷åâèäíûõ âåùåé. Âî-ïåðâûõ, åñëè êîðîáêà «ÎÄÈÍÀÊÎÂÛÅ» ïóñòà, à êîðîáêà «ÍÅÏÐÎÂÅÐÅÍÍÛÅ» íåò, òî ìîæíî ïåðåëîæèòü îäèí ïðåäìåò èç Í â Î. (Ìíîæåñòâî íåâûáðîøåííûõ ïðåäìåòîâ îñòàåòñÿ òåì æå ñàìûì, òàê ÷òî çàïîâåäåé ìû íå íàðóøèì.) Âî-âòîðûõ, åñëè îáå êîðîáêè Î è Í íåïóñòû, òî ìîæíî âçÿòü ïî îäíîìó ïðåäìåòó è ñðàâíèòü èõ. Åñëè îíè îäèíàêîâûå, òî êëàäåì îáà â Î; åñëè ðàçíûå, òî âûáðàñûâàåì (êëàäåì â Â) îáà. Êàê ìû âèäåëè, ýòî íå ïðîòèâîðå÷èò çàïîâåäÿì. Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî i åñëè åñòü íåïðîâåðåííûå ïðåäìåòû, òî îäíî èç äåéñòâèé çàâåäîìî âûïîëíèìî; i ëþáîå èç äåéñòâèé óìåíüøàåò ÷èñëî íåïðîâåðåííûõ íà 1, ïðè ýòîì äåòåêòîð èñïîëüçóåòñÿ íå áîëåå îäíîãî ðàçà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå N øàãîâ êîðîáêà Í îïóñòååò è íàñ âûïóñòÿò. Ïðè ýòîì äåòåêòîð áóäåò èñïîëüçîâàí íå áîëåå N ðàç (íà ñàìîì äåëå ìåíüøå, òàê êàê ïåðâûé øàã ïåðåêëàäûâàíèå). 29.07.09, 17:29 ÊÂÀÍÒÛ Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîãðàììà (ñîâñåì ïðîñòàÿ) ïðèâåäåíà â êíèæêå «Ïðîãðàììèðîâàíèå: òåîðåìû è çàäà÷è» (Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2-å èçä., 2004; ñì. òàêæå ñàéò www/mccme.ru/ freebooks) . Ïðîãðàììèðîâàíèå ïåðâîãî ðåøåíèÿ ÿâíî ïîòðåáîâàëî áû ñóùåñòâåííî áîëüøèõ óñèëèé. Íà ýòîì ïðèìåðå ìîæíî íåìíîãî ïîôèëîñîôñòâîâàòü î ðàçíèöå ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèì è ïðîãðàììèñòñêèì âçãëÿäîì íà âåùè. Ïóñòü çàäà÷à X ñâîäèòñÿ ê ìíîæåñòâó îäíîðîä- ' ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ íûõ ïðîñòûõ çàäà÷ X1,… , Xn . Ìàòåìàòèê îáû÷íî ðàçáèðàåò îäíó èç íèõ è ïèøåò « X2,… , Xn ðåøàþòñÿ àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì è îñòàâëÿþòñÿ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèé». Íàïðîòèâ, ïðîãðàììèñò ïîíèìàåò, ÷òî íèêòî çà íåãî ïðîãðàììèðîâàòü íå áóäåò, à ïðîãðàììèðîâàíèå áîëüøîãî êîëè÷åñòâà äàæå è î÷åíü ïðîñòûõ çàäà÷ óòîìèòåëüíî, è ëó÷øå íàéòè äðóãîé ïîäõîä, èçáåãàþùèé ðàçáîðà ìíîãî÷èñëåííûõ ñëó÷àåâ. ÊÂÀÍÒÛ ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ Íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëÿò ïðîñòðàíñòâî ïëîñêîñòè ãðàíåé äîäåêàýäðà? (Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñòðàíèöå îáëîæêè) Íà Ìåæðåãèîíàëüíîé çàî÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå 2008 ãîäà ïðåäëàãàëèñü çàäà÷è: Íàéòè ÷èñëî ÷àñòåé, íà êîòîðûå ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé òåòðàýäðà ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî (çàäà÷à 5, 7 êëàññ). Íàéòè ÷èñëî ÷àñòåé, íà êîòîðûå ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé êóáà ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî (çàäà÷à 3, 6 êëàññ). Îáå ýòè çàäà÷è ðåøàþòñÿ ïðîñòûì ïîäñ÷åòîì.  ïåðâîì ñëó÷àå îòâåò 15; âî âòîðîì 27. Íî âîçíèêàåò âîïðîñ, à íà ñêîëüêî ÷àñòåé ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé äðóãèõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ: îêòàýäðà, äîäåêàýäðà è èêîñàýäðà. Ïîäñ÷åò â ýòîì ñëó÷àå óæå ñëîæíåå, íî çàäà÷à âïîëíå ðàçðåøèìà! Ðàññìîòðèì ýòó çàäà÷ó äëÿ äîäåêàýäðà. Åñòü äâà ñïîñîáà ïîäñ÷åòà ÷èñëà ÷àñòåé, íà êîòîðûå ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé äîäåêàýäðà ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî, íå òðåáóþùèõ âûõîäà èç ïëîñêîñòè. Ïåðâûé ñïîñîá. Ðàçîáüåì ïðîäîëæåíèÿ ãðàíåé äîäåêàýäðà íà 6 ïàð ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé. Òåïåðü áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî äîáàâëÿòü ýòè ïàðû ïëîñêîñòåé è ñìîòðåòü, ñêîëüêî ÷àñòåé ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå. Ïðè äîáàâëåíèè ïàðû ïëîñêîñòåé êîëè÷åñòâî ÷àñòåé óâåëè÷èâàåòñÿ íà ÷èñëî ÷àñòåé, êîòîðûå äàííûå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþò.  íà÷àëå åñòü îäíà ÷àñòü (âñå ïðîñòðàíñòâî). Êàæäàÿ èç ïëîñêîñòåé ïåðâîé ïàðû ïåðåñåêàåò 1 ÷àñòü. Ïîýòîìó ïîñëå äîáàâëåíèÿ îäíîé ïàðû ïëîñêîñòåé ÷èñëî ÷àñòåé áóäåò ðàâíî òðåì. Àíàëîãè÷íî, âòîðàÿ ïàðà ïëîñêîñòåé ïåðåñåêàåò ïî 3 ÷àñòè, à òðåòüÿ ïàðà ïî 9 ÷àñòåé. Ïîýòîìó ïîñëå äîáàâëåíèÿ òðåõ ïàð ïëîñêîñòåé ÷èñëî ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì 27. ×òîáû ïîñ÷èòàòü ÷èñëî ÷àñòåé, äîáàâëÿþùååñÿ íà ÷åòâåðòîì, ïÿòîì è øåñòîì øàãå, ðàññìîòðèì ÷åðòåæ, íà êîòîðîì èçîáðàæåíû ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè îäíîé èç ãðàíåé ïðîäîëæåíèÿìè äðóãèõ ïëîñêîñòåé (ðèñ.1, 2). Íà ðèñóíêå 1 îäèíàêîâûì öâåòîì èçîáðàæåíû ïåðåñå÷åíèÿ äàííîé ïëîñêîñòè ñ ïðîäîëæåíèÿìè ïàð ïàðàëëåëüíûõ ãðàíåé. Çäåñü ëþáàÿ òðîéêà ïàð ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà 17 ÷àñòåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòâåðòàÿ ïàðà ïëîñêîñòåé ïåðåñåêàåò ïî 17 ÷àñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ÷åòûðåõ ïàð ïëîñêîñòåé êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì 27 + 17 ◊ 2 = 61 . Àíàëîãè÷íî, ëþáàÿ ÷åòâåðêà ïàð ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ íà ðèñóíêå ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà 26 ÷àñòåé. Ïîýòîìó ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ïÿòè ïàð ïëîñêîñòåé êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì 61 + 2 ◊ 26 = 113 . ÍàêîÐèñ. 1 íåö, âñå ïÿòü ïàð ðàçáè- 01-19.p65 19 âàþò ïëîñêîñòü íà 36 ÷àñòåé (ðèñ.2). Ïîýòîìó ïîñëå äîáàâëåíèÿ ïîñëåäíåé (øåñòîé) ïàðû ïëîñêîñòåé ÷èñëî ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòåé ñòàíåò ðàâíûì 113 + 36 ◊ 2 = 185 . Âòîðîé ñïîñîá. Õîðîøî èçâåñòíà ôîðìóëà Ýéëåðà äëÿ ïëîñêîãî ãðàôà. Âîò îäèí èç åå ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ: Ïóñòü íà ïëîñêîñòè Ðèñ. 2 ïðîâåäåíî íåñêîëüêî ïðÿìûõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç  ÷èñëî âåðøèí òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ íåñêîëüêèõ ïðÿìûõ; Ð ÷èñëî ðåáåð îòðåçêîâ ìåæäó ïàðàìè âåðøèí è ëó÷åé, âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû; à ÷èñëî ãðàíåé ìíîãîóãîëüíèêîâ, íà êîòîðûå äàííûå ïðÿìûå ðàçáèëè ïëîñêîñòü. Òîãäà à Р+  = 1. Ìåíåå èçâåñòíî, ÷òî àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà åñòü è â ïðîñòðàíñòâåííîì ñëó÷àå (â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêàÿ ôîðìóëà åñòü è äëÿ ïðîñòðàíñòâà ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè): Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå ïðîâåäåíî íåñêîëüêî ïëîñêîñòåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç  ÷èñëî âåðøèí òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ íåñêîëüêèõ ïðÿìûõ; Ð ÷èñëî ðåáåð îòðåçêîâ ìåæäó ïàðàìè âåðøèí è ëó÷åé, âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû; à ÷èñëî ãðàíåé ìíîãîóãîëüíèêîâ, êîòîðûå â äàííûõ ïëîñêîñòÿõ âûñåêàþòñÿ äðóãèìè ïëîñêîñòÿìè; × ÷èñëî ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòåé, íà êîòîðîå ïðîñòðàíñòâî ðàçáèâàåòñÿ äàííûìè ïëîñêîñòÿìè. Òîãäà × Ã + Ð Â = 1. Òàêèì îáðàçîì, êîëè÷åñòâî ÷àñòåé, íà êîòîðûå äàííîå ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé ðàçáèâàåò ïðîñòðàíñòâî, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ïî ôîðìóëå: × = à Р+  + 1. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà 2, â êàæäîé èç ïëîñêîñòåé ñîäåðæèòñÿ 36 «ãðàíåé». Êîëè÷åñòâî ïëîñêîñòåé ðàâíî ÷èñëó ãðàíåé äîäåêàýäðà, ò.å. 12. Ïîýòîìó ïîëíîå ÷èñëî «ãðàíåé» ïðîñòðàíñòâåííîãî ãðàôà ðàâíî à = 12 · 36 = 432. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî «ðåáåð». Êàæäàÿ ïëîñêîñòü ñîäåðæèò 10 ïðÿìûõ, ðàçáèòûõ íà 5 «ðåáåð», à âñå 12 ïëîñêîñòåé íà 5 · 10 · 12 = 600 «ðåáåð». Íî êàæäîå «ðåáðî» ïðèíàäëåæèò äâóì ïëîñêîñòÿì. Ñëåäîâàòåëüíî, êîëè÷åñòâî «ðåáåð» âäâîå ìåíüøå è ðàâíî Ð = 600/2 = 300. Íåñêîëüêî ñëîæíåå ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî «âåðøèí».  êàæäîé ïëîñêîñòè åñòü 5 «âåðøèí», ÿâëÿþùèõñÿ ïåðåñå÷åíèåì ÷åòûðåõ ïðÿìûõ (è, ñëåäîâàòåëüíî, ïÿòè ïëîñêîñòåé) è 10 «âåðøèí», ÿâëÿþùèõñÿ ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ïðÿìûõ (è, ñëåäîâàòåëüíî, òðåõ ïëîñêîñòåé). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîé ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ 5 «ïÿòûõ ÷àñòåé âåðøèí» è 10 «òðåòüèõ ÷àñòåé âåðøèí». Çíà÷èò, îáùåå ÷èñëî «âåðøèí» äàííîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî ãðàôà ðàâíî B = (5 5 + 10 3) · 12 = = 52. Ñëåäîâàòåëüíî, × = 432 300 + 52 + 1 = 185. Ë.Îðèäîðîãà, Ì.Ïàíîâ 29.07.09, 17:29 ÊÂ Í TÊ 2« 0 0Ê 9 / ¹À 4 Í Ò À » ÇÀÄÀ× ÍÀ È Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 íîÿáðÿ 2009 ãîäà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹42009» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2139» èëè «Ô2145».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì math@kvant.info è phys@kvant.info ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).  íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü. Çàäà÷è Ì2139 Ì2145 ïðåäëàãàëèñü íà çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå XXXV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå. Çàäà÷è Ì2139Ì2145, Ô2145Ô2152 M2139. Ìîæíî ëè ðàñêðàñèòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà â 2009 öâåòîâ òàê, ÷òîáû êàæäûé öâåò âñòðå÷àëñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç è íå íàøëîñü òðîéêè ÷èñåë, ïîêðàøåííûõ â òðè ðàçëè÷íûõ öâåòà è òàêèõ, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ èç íèõ ðàâíî òðåòüåìó? Í.Àãàõàíîâ M2140. Âîñåìü êëåòîê îäíîé äèàãîíàëè øàõìàòíîé äîñêè íàçîâåì çàáîðîì. Ëàäüÿ õîäèò ïî äîñêå, íå íàñòóïàÿ íà îäíó è òó æå êëåòêó äâàæäû è íå íàñòóïàÿ íà êëåòêè çàáîðà (ïðîìåæóòî÷íûå êëåòêè íå ñ÷èòàþòñÿ ïîñåùåííûìè). Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ïðûæêîâ ÷åðåç çàáîð ìîæåò ñîâåðøèòü ëàäüÿ? Ð.Æåíîäàðîâ M2141.  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà áèññåêòðèñà BD (òî÷êà D ëåæèò íà îòðåçêå AC). Ïðÿìàÿ BD ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü Ω , îïèñàííóþ îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, â òî÷êàõ B è E. Îêðóæíîñòü ω , ïîñòðîåííàÿ íà îòðåçêå DE êàê íà äèàìåòðå, ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü Ω â òî÷êàõ E è F. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ ïðÿìîé BF îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé BD, ñîäåðæèò ìåäèàíó òðåóãîëüíèêà ABC. Ë.Åìåëüÿíîâ M2142. Ñêîëüêî ðàç ôóíêöèÿ f ( x ) = cos x cos x x x cos … cos 2 3 2009 È 2009π ˘ ìåíÿåò çíàê íà îòðåçêå Í0; ? 2 ˙˚ Î 20-36.p65 20 Á.Òðóøèí M2143.  êîðîëåâñòâå N ãîðîäîâ, íåêîòîðûå ïàðû êîòîðûõ ñîåäèíåíû íåïåðåñåêàþùèìèñÿ äîðîãàìè ñ äâóñòîðîííèì äâèæåíèåì (ãîðîäà èç òàêîé ïàðû íàçûâàþòñÿ ñîñåäíèìè). Ïðè ýòîì èçâåñòíî, ÷òî èç ëþáîãî ãîðîäà ìîæíî äîåõàòü äî ëþáîãî äðóãîãî, íî íåâîçìîæíî, âûåõàâ èç íåêîòîðîãî ãîðîäà è äâèãàÿñü ïî ðàçëè÷íûì äîðîãàì, âåðíóòüñÿ â èñõîäíûé ãîðîä. Îäíàæäû Êîðîëü ïðîâåë òàêóþ ðåôîðìó: êàæäûé èç N ìýðîâ ãîðîäîâ ñòàë ñíîâà ìýðîì îäíîãî èç N ãîðîäîâ, íî, âîçìîæíî, íå òîãî ãîðîäà, â êîòîðîì îí ðàáîòàë äî ðåôîðìû. Îêàçàëîñü, ÷òî ëþáûå äâà ìýðà, ðàáîòàâøèå â ñîñåäíèõ ãîðîäàõ äî ðåôîðìû, îêàçàëèñü â ñîñåäíèõ ãîðîäàõ è ïîñëå ðåôîðìû. Äîêàæèòå, ÷òî ëèáî íàéäåòñÿ ãîðîä, â êîòîðîì ìýð ïîñëå ðåôîðìû íå ïîìåíÿëñÿ, ëèáî íàéäåòñÿ ïàðà ñîñåäíèõ ãîðîäîâ, îáìåíÿâøèõñÿ ìýðàìè. Â.Äîëüíèêîâ M2144. Ïî êðóãó ñòîÿò 100 íàïåðñòêîâ. Ïîä îäíèì èç íèõ ñïðÿòàíà ìîíåòêà. Çà îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ ïåðåâåðíóòü ÷åòûðå íàïåðñòêà è ïðîâåðèòü, ëåæèò ëè ïîä îäíèì èç íèõ ìîíåòêà. Ïîñëå ýòîãî íàïåðñòêè âîçâðàùàþò â èñõîäíîå ïîëîæåíèå, à ìîíåòêà ïåðåìåùàåòñÿ ïîä îäèí èç ñîñåäíèõ ñ íåé íàïåðñòêîâ. Çà êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî õîäîâ íàâåðíÿêà óäàñòñÿ îáíàðóæèòü ìîíåòêó? Á.Òðóøèí M2145. Äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà x è y èç îòðåçêà [2; 100]. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè íåêîòîðîì íàòóðàëüíîì n n n ÷èñëî x2 + y2 ñîñòàâíîå. Ñ.Áåðëîâ, À.Áåëîâ 29.07.09, 17:49 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ Ô2145. Ñóòî÷íûé ñïóòíèê Çåìëè âðàùàåòñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå, ëåæàùåé â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè.  ðåçóëüòàòå êðàòêîâðåìåííîãî âêëþ÷åíèÿ òîðìîçíîãî äâèãàòåëÿ ñêîðîñòü ñïóòíèêà óìåíüøàåòñÿ ïî âåëè÷èíå íà 1 ì/ñ, à íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè íå ìåíÿåòñÿ. Íàéäèòå èçìåíåíèå ïåðèîäà îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà. À.Ïîâòîðîâ Ô2146. Ïî ïðÿìîé áåæèò êðîëèê, åãî ñêîðîñòü âñå âðåìÿ ðàâíà v0 = 5 ì ñ .  òî÷êå, îòñòîÿùåé íà L0 = 100 ì îò ýòîé ïðÿìîé, ñèäèò ëèñà. Îíà çàìå÷àåò êðîëèêà è áðîñàåòñÿ â ïîãîíþ, êîãäà òîò íàõîäèòñÿ íà ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè îò óïîìÿíóòîé òî÷êè. Ëèñà áåæèò ñ òàêîé æå ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ, âåêòîð ñêîðîñòè ëèñû íàïðàâëåí â ëþáîé ìîìåíò â òî÷êó, ãäå íàõîäèòñÿ êðîëèê. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå ëèñû â ïðîöåññå ïîãîíè. Ëèñó è êðîëèêà ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè. À.Ñòàðîâ Ô2147. Ó Ïåòè è Âàñè â êóõíå íà äà÷å èìååòñÿ íåáîëüøîé àâòîìàòè÷åñêèé ïîäîãðåâàòåëü âîäû. Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïÿòèëèòðîâóþ åìêîñòü ñ õîðîøåé òåïëîèçîëÿöèåé è ýëåêòðè÷åñêèì äâóõêèëîâàòòíûì íàãðåâàòåëåì. Åìêîñòü âñåãäà ñîåäèíåíà ñ âîäîïðîâîäíîé òðóáîé, ïî êîòîðîé â íåå ìîæåò ïîñòóïàòü õîëîäíàÿ âîäà, à âíèçó åñòü êðàíèê, ÷åðåç êîòîðûé ìîæíî îòáèðàòü ãîðÿ÷óþ âîäó. Íàãðåâàòåëü ñíàáæåí ðåëå ñ ðåãóëÿòîðîì, ïîçâîëÿþùèì óñòàíîâèòü æåëàåìóþ òåìïåðàòóðó âîäû. Ïîäîãðåâàòåëü èñïîëüçóåòñÿ â îñíîâíîì äëÿ ìûòüÿ ïîñóäû, à ïîñêîëüêó íî÷üþ ïîñóäó íèêòî íå ìîåò, åãî íà íî÷ü îòêëþ÷àþò. È òóò ó áðàòüåâ çàøåë ñïîð. Ïåòÿ ñ÷èòàë, ÷òî îíè ïîñòóïàþò ýêîíîìíî, îòêëþ÷àÿ ýëåêòðîïèòàíèå ïðèáîðà íà íî÷ü. Âàñÿ æå ïîëàãàë, ÷òî ðàçíèöû íèêàêîé íåò âåäü çà íî÷ü âîäà ñèëüíî îñòûâàåò, è óòðîì íàãðåâàòåëü âêëþ÷àåòñÿ íà áîëåå äëèòåëüíîå âðåìÿ, à åñëè îñòàâëÿòü ýëåêòðîïèòàíèå, òî çà íî÷ü íàãðåâàòåëü áóäåò âêëþ÷àòüñÿ ìíîãî ðàç, çàòî íà íåáîëüøîå âðåìÿ, ïîääåðæèâàÿ çàäàííóþ òåìïåðàòóðó âîäû. ×òîáû ðåøèòü ñïîð, áðàòüÿ ïðîäåëàëè ýêñïåðèìåíò. Îíè óñòàíîâèëè ðåãóëÿòîð òåìïåðàòóðû íà 46 °Ñ. Îêàçàëîñü, ÷òî çà 9 íî÷íûõ ÷àñîâ âîäà îñòûëà äî 30 °Ñ. Òåìïåðàòóðà âîçäóõà íî÷üþ â êóõíå áûëà 16 °Ñ. Äîñòàòî÷íî ëè ýòèõ äàííûõ, ÷òîáû îöåíèòü, ñêîëüêî ïðèäåòñÿ ïëàòèòü â ìåñÿö, åñëè îòêëþ÷àòü èëè íå îòêëþ÷àòü ïèòàíèå ïîäîãðåâàòåëÿ âîäû íà íî÷ü? Ñòîèìîñòü êèëîâàòò-÷àñà ïðèíÿòü ðàâíîé 3 ðóáëÿì. È.Ëååíñîí Ô2148. Äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè +20 °Ñ ñîñòàâëÿåò 1000 Ïà, à ïðè òåìïåðàòóðå +20,5 °Ñ îíî âîçðàñòàåò äî 1020 Ïà. Îïðåäåëèòå ïî ýòèì äàííûì ìîëÿðíóþ òåïëîòó èñïàðåíèÿ âîäû ïðè +20 °Ñ. Ç.Ðàôàèëîâ «ÊÂÀÍÒÀ» âûâîäàì öåïî÷êè ïîäêëþ÷àþò áàòàðåéêó íàïðÿæåíèåì U = 10 Â.Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ðåçèñòîðå ñîïðîòèâëåíèåì R1 ? À â ðåçèñòîðå ñîïðîòèâëåíèåì R2 ? À.Çèëüáåðìàí Ô2150.  ñõåìå íà ðèñóíêå ðåçèñòîðû (ñëåâà íàïðàâî) èìåþò ñîïðîòèâëåíèÿ 500 Îì, 200 Îì è 200 Îì, íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè 6 Â. Àìïåðìåòðû îäèíàêîâûå: êàæäûé èìååò ñîïðîòèâëåíèå 1 Îì, «êëàññ òî÷íîñòè» 1%, òîê ïîëíîãî îòêëîíåíèÿ 50 ìÀ. Íàéäèòå ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðîâ. À.Ïðîñòîâ Ô2151. Òðè êàòóøêè, èíäóêòèâíîñòè êîòîðûõ 1 Ãí, 2 Ãí è 4 Ãí, ñîåäèíåíû «çâåçäîé». Îáùàÿ òî÷êà çàçåìëåíà êóñêîì ïðîâîäà, ïàðàëëåëüíî ýòîìó ïðîâîäó âêëþ÷åí êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 10 ìêÔ.  íåêîòîðûé ìîìåíò ñâîáîäíûå êîíöû êàòóøåê ïîäêëþ÷àþò ê áàòàðåéêàì, ñîçäàþùèì â òî÷êàõ ïîäêëþ÷åíèÿ îäèíàêîâûå ïîòåíöèàëû +6 Â. ×åðåç âðåìÿ 0,1 ñ ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ çàçåìëÿþùèé ïðîâîä ïåðåðåçàþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíûé çàðÿä êîíäåíñàòîðà. Ýëåìåíòû öåïè ñ÷èòàòü èäåàëüíûìè. Ð.Àëåêñàíäðîâ Ô2152. Øèðîêèé ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëó÷åé ïàäàåò íà ïðîçðà÷íûé îäíîðîäíûé øàð èç ìàòåðèàëà ñ êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,414. Íàéäèòå ðàçìåð ñâåòëîãî ïÿòíà íà ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíå øàðà. À.Øàðîâ Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2116 Ì2123, Ô2130Ô2137 M2116. Ïîëíûé íàáîð äîìèíî âûêëàäûâàåòñÿ íà ñòîëå â çàìêíóòóþ öåïü, è äëÿ âñåõ ïàð ñîñåäíèõ äîìèíîøåê âû÷èñëÿåòñÿ ìîäóëü ðàçíîñòè î÷êîâ íà êëåòêàõ, êîòîðûìè îíè ñîïðèêàñàþòñÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ñóììó âñåõ òàêèõ ìîäóëåé ðàçíîñòåé. ßñíî, ÷òî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå S ðàâíî 0 (ýòî ïðîèñõîäèò â òîì ñëó÷àå, êîãäà çàìêíóòàÿ öåïü âûëîæåíà ïî ïðàâèëàì äîìèíî). À êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü ñóììà S? Îòâåò: 96. Ïðîíóìåðóåì äîìèíîøêè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ÷èñëàìè îò 1 äî 28, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé èç íèõ. Ïóñòü ïåðâàÿ è âòîðàÿ äîìèíîøêè ñîïðèêàñàþòñÿ î÷êàìè a1 è b1 , âòîðàÿ è òðåòüÿ î÷êàìè a2 è b2 , , äâàäöàòü âîñüìàÿ è ïåðâàÿ a28 è b28 , ïðè÷åì ai ≥ bi äëÿ âñåõ i îò 1 äî 28. Òîãäà â íàáîðå ÷èñåë a1, b1, a2, b2,… , a28 , b28 êàæäîå Ô2149. Êîíäåíñàòîðû åìêîñòÿìè Ñ = = 100 ìêÔ è 2Ñ è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R1 = 10 Îì ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî, à ïàðàëëåëüíî êîíäåíñàòîðó åìêîñòüþ Ñ ïîäêëþ÷åí ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R2 = 100 êÎì. Ê 20-36.p65 21 29.07.09, 17:49 ÊÂÀÍT 2009/¹4 èç ÷èñåë îò 0 äî 6 ñîäåðæèòñÿ ðîâíî 8 ðàç. Îöåíèì óêàçàííóþ â óñëîâèè ñóììó: S = ( a1 - b1 ) + ( a2 - b2 ) + … + ( a28 - b28 ) = = ( a1 + b1 + a2 + b2 + … + a28 + b28 ) - 2 (b1 + b2 + … + b28 ) = = 8 ◊ 21 - 2 (b1 + b2 + … + b28 ) £ £ 8 ◊ 21 - 2 ( 8 ◊ 0 + 8 ◊ 1 + 8 ◊ 2 + 4 ◊ 3) = 96 . Ïðèìåð, êîãäà äàííàÿ ñóììà ðàâíà 96, ïðèâåäåí íà ðèñóíêå. Ýòîò ïðèìåð èíòåðåñåí òàêæå òåì, ÷òî ïðè ïîâîðîòå âñåõ äîìèíîøåê íà 180° (êàæäàÿ äîìèíîøêà ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã ñâîåãî öåíòðà) ïîëó÷àåòñÿ çàìêíóòàÿ öåïü, âûëîæåííàÿ ïî ïðàâèëàì äîìèíî. À.Ãðèáàëêî M2117. Ñóùåñòâóåò ëè àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ èç 2008 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ðàâíî òî÷íîé 2009-é ñòåïåíè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà? Îòâåò: ñóùåñòâóåò. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ 2008 !,2 ◊ 2008 !, 3 ◊ 2008 !,… ,2008 ◊ 2008 ! . Ïðîèçâåäåíèå 2009 ýòèõ 2008 ÷èñåë ðàâíî (2008 !) . Óòâåðæäåíèå çàäà÷è îñòàåòñÿ â ñèëå, åñëè âìåñòî ÷èñåë 2008 è 2009 âçÿòü ïðîèçâîëüíûå âçàèìíî ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà m è n. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðà âíà÷àëå ðàññìîòðèì ëþáûå m ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îáðàçóþùèå àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Ïóñòü ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ÷èñåë ðàâíî N. Äîìíîæèì êàæäîå èç ÷èñåë íà N k . Ïîñëå äîìíîæåíèÿ ìû ïî-ïðåæíåìó áóäåì èìåòü íàáîð èç m ÷èñåë, îáðàçóþùèõ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, à ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ÷èñåë áóäåò ðàâíî N mk +1 . Òåïåðü ÿñíî, ÷òî óñëîâèå çàäà÷è áóäåò âûïîëíåíî, åñëè mk + 1 äåëèòñÿ íà n. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå âçàèìíî ïðîñòûõ m è n ïîäõîäÿùåå íàòóðàëüíîå k íàéäåòñÿ. Ã.Ãàëüïåðèí M2118. Äîêàæèòå, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ABC ñ óãëîì A, ðàâíûì 120°, ðàññòîÿíèå îò öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè äî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ðàâíî AB + AC. Ïóñòü BB1 è CC1 âûñîòû òðåóãîëüíèêà ABC, à O è H öåíòð åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê).  îêðóæíîñòè, îïèñàííîé âîêðóã òðåóãîëüíèêà ABC, âåëè÷èíà äóãè BAC ðàâíà 120°, ïîýòîìó öåíòðàëüíûé óãîë BOC ðàâåí 120°. Ïóñòü ω îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà BOC. Èç ÷åòûðåõóãîëüíèêà B1 AC1H ïîëó÷àåì, ÷òî –BHC = –B1HC1 = 180∞ - –B1 AC1 = 180∞ - 120∞ = 60∞ , ïîýòîìó òî÷êà H ëåæèò íà îêðóæíîñòè ω . Íà ïðîäîë- 20-36.p65 22 æåíèè îòðåçêà AB çà òî÷êó A îòëîæèì îòðåçîê AD = = AC. Óãîë DAC ðàâåí 60°, ïîýòîìó òðåóãîëüíèê DAC ïðàâèëüíûé. Îòñþäà –BDC = –ADC = 60∞ , ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà D ëåæèò íà îêðóæíîñòè ω . Êðîìå òîãî, AB + AC = AB + AD = BD, çíà÷èò, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ðàâåíñòâî õîðä OH è BD â îêðóæíîñòè ω . Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíû ìåíüøèõ äóã OB è HD ðàâíû ïî 60°, òàê êàê â ñèëó BO = OC óãîë 1 –BHC , ò.å. 30 , è –HBD = 90∞ BHO ðàâåí 2 ∞ - –BHC1 = 30∞ . Çíà÷èò, OH è BD ðàâíû êàê äèàãîíàëè ðàâíîáîêîé òðàïåöèè BHDO. Ï.Êîæåâíèêîâ M2119.  áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a1, a2, a3,… ÷èñëî a1 ðàâíî 1, à êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî an ñòðîèòñÿ èç ïðåäûäóùåãî an -1 ïî ïðàâèëó: åñëè ó ÷èñëà n íàèáîëüøèé íå÷åòíûé äåëèòåëü èìååò îñòàòîê 1 îò äåëåíèÿ íà 4, òî an = an -1 + 1 , åñëè æå îñòàòîê ðàâåí 3, òî an = an -1 - 1 . Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñå ÷èñëà ïîëîæèòåëüíû, ïðè÷åì êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âñòðå÷àåòñÿ â íåé áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç. Ïóñòü b (t ) ðàâíî 1, åñëè íàèáîëüøèé íå÷åòíûé äåëèòåëü ÷èñëà t èìååò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 4, è b (t ) ðàâíî 1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Òîãäà an = b (1) + b (2) + … + b ( n) . Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó t, äëÿ êîòîðîãî b (t ) ðàâíî 1, ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå íàòóðàëüíîå ÷èñëî t¢ , äëÿ êîòîðîãî b (t¢ ) ðàâíî 1, ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè t = 2x ( 4y + 1) (ãäå x è y íåêîòîðûå öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà), ïîëîæèì t ¢ = 2x ( 4 y + 3) . ßñíî, ÷òî t ¢ > t , è ïî ÷èñëó t¢ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî t, êîòîðîìó îíî ñîîòâåòñòâóåò. Ñðåäè ÷èñåë 1, 2, , n èìååòñÿ íåñêîëüêî ïàð ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñåë t, t¢ , à òàêæå íåñêîëüêî ÷èñåë t âèäà t = 2x ( 4 y + 1) , äëÿ êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëî t¢ áîëüøå n. Ïîýòîìó ñóììà an = b (1) + b (2) + … + b ( n) ðàâíà êîëè÷åñòâó ÷èñåë t = 2x ( 4y + 1) , íå ïðåâîñõîäÿùèõ n, íî òàêèõ, ÷òî t ¢ > n , ò.å. êîëè÷åñòâó ðåøåíèé äâîéíîãî íåðàâåíñòâà 2x ( 4 y + 1) £ n < 2x ( 4 y + 3) (1) â öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ x è y. (Èç ïîëó÷åííîé èíòåðïðåòàöèè ÷èñåë an óæå âûòåêàåò, ÷òî an ≥ 0 .) Ïóñòü n = cr +1cr cr -1 … c1c0 äâîè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà n, äîïîëíåííàÿ ñëåâà öèôðîé 0 (äëÿ óäîáñòâà äàëüíåér r -1 øèõ ðàññóæäåíèé), ò.å. n = cr ◊ 2 + cr -1 ◊ 2 + … … + c1 ◊ 2 + c0 , ãäå cr +1 = 0 , cr = 1 , ci ðàâíî 0 èëè 1 ïðè i = 0, 1, , r 1. Íèæå ìû äîêàæåì, ÷òî êîëè÷åñòâî an ðåøåíèé äâîéíîãî íåðàâåíñòâà (1) â öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ x è y ðàâíî ñóììå cr +1 - cr + cr - cr -1 + … … + c1 - c0 . Äðóãèìè ñëîâàìè, an ýòî êîëè÷åñòâî ïàð ñîñåäíèõ ðàçëè÷íûõ öèôð â çàïèñè cr +1cr cr -1 … c1c0 . Íàïðèìåð, 29.07.09, 17:49 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ 10 9 8 7 çíàÿ äâîè÷íóþ çàïèñü ÷èñëà 2009 = 2 + 2 + 2 + 2 + + 26 + 24 + 23 + 20 = 011111011001 , ëåãêî íàõîäèì a2009 = 5 . Îòñþäà ñðàçó ïîñëåäóåò ðåøåíèå çàäà÷è. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê cr +1 = 0 è cr = 1 , òî an > 0. Äàëåå, çàôèêñèðîâàâ íàòóðàëüíîå s, çàìåòèì, ÷òî, ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì k, åñëè äâîè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà n èìååò âèä 010 010 0 10 0 (0, çàòåì s ãðóïï âèäà 10 0 èç îäíîé åäèíèöû è k íóëåé), òî an = 2s , à åñëè äâîè÷íàÿ çàïèñü ÷èñëà n èìååò âèä 010 010 0 10 01 (0, çàòåì s ãðóïï âèäà 10 0 èç îäíîé åäèíèöû è k íóëåé, è åùå îäíà åäèíèöà â êîíöå), òî an = 2s + 1 . Òàêèì îáðàçîì, an ðàâíî ôèêñèðîâàííîìó ÷åòíîìó èëè íå÷åòíîìó ÷èñëó äëÿ áåñêîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà çíà÷åíèé n. Èòàê, áóäåì èñêàòü êîëè÷åñòâî ðåøåíèé â öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ x è y íåðàâåíñòâà (1). Òàê êàê n < 2r +1 , òî ïðè x ≥ r + 1 íåðàâåíñòâî (1) íå èìååò íóæíûõ íàì ðåøåíèé. Çàôèêñèðóåì x èç ìíîæåñòâà {0, 1, 2, , r}. Èìååì n = cr ◊ 2r - x + cr -1 ◊ 2r - x -1 + … + cx +1 ◊ 2 + cx + 2x -1 -x = 4 A + 2cx +1 + cx + α , + cx +1 ◊ 2 + … + c0 ◊ 2 ( ) ( ) ãäå A = cr ◊ 2r - x - 2 + cr -1 ◊ 2r - x - 3 + … + cx + 2 (ñ÷èòàåì, ÷òî A = 0 â ñëó÷àå x = r) è 0 £ α < 1 . Ïîäåëèâ íåðàâåíñòâî (1) íà 2x , ïîëó÷àåì 4 y + 1 £ 4 A + 2cx +1 + cx + α < 4 y + 3 . (2) Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî y íåðàâåíñòâî (2) âûïîëíåíî. Òîãäà ïðè y £ A - 1 èìååì 4 A + 2cx +1 + cx + α £ 4 A - 4 + 3 , ÷òî íåâåðíî, à ïðè y ≥ A + 1 èìååì 4A + + 2cx +1 + cx + α ≥ 4 A + 4 + 1 , ÷òî òàêæå íåâåðíî. Åäèíñòâåííîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå y = A óäîâëåòâîðÿåò (2) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îäèí èç äâîè÷íûõ çíàêîâ cx è cx +1 ðàâåí 1, à äðóãîé ðàâåí 0. Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ ïàðà ðàçëè÷íûõ ñîñåäíèõ öèôð cx , cx +1 äàåò ðîâíî îäíî ðåøåíèå íåðàâåíñòâà (1). À.Çàñëàâñêèé, Ï.Êîæåâíèêîâ M2120. Ìíîãî÷ëåí P ( x ) ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêîâ, ÷òî óðàâíåíèå P ( m ) + P ( n) = 0 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ m è n. Äîêàæèòå, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = P ( x ) èìååò öåíòð ñèììåòðèè. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà P ( x ) áîëüøå 1, à åãî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ðàâåí 1 (åñëè ñòàðøèé êîýôôèöèåíò îòëè÷åí îò 1, òî, ïîäåëèâ íà íåãî, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ). Çàìåòèì, ÷òî äëÿ äàííîãî ÷èñëà n ìîæåò íàéòèñü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òàêèõ ÷èñåë m, ÷òî P ( m ) = - P ( n) (ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåí ìîæåò ïðèíèìàòü îäíî è òî æå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê, íå ïðåâûøàþùåì åãî ñòåïåíü). Òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ôàêò, âåðíûé äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà P ( x ) íå÷åòíîé ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì (è àíàëîãè÷íûé ôàêò äëÿ ìíîãî÷ëåíà ÷åòíîé ñòåïåíè): íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî A, ÷òî P ( x ) > 0 ïðè x > A, P ( x ) < 0 ïðè x < A, è, êðîìå òîãî, P ( x ) âîçðàñòàåò íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ ( -•; - A) , ( A; +•) . Åñëè áû ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà P ( x ) áûëà ÷åòíîé, òî ïðè 20-36.p65 23 ! «ÊÂÀÍÒÀ» äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ x âûïîëíÿëîñü áû íåðàâåíñòâî P ( x ) > 0, è ìîãëî íàéòèñü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ïàð öåëûõ ÷èñåë m, n, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî ðàâåíñòâî P ( m ) + P ( n) = 0 . Çíà÷èò, ñòåïåíü P ( x ) íå÷åòíà. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî ÷èñëà C íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ ïàð ÷èñåë m > C è n < C, ÷òî P ( m ) + P ( n) = 0 . Ïóñòü ñòåïåíü P ( x ) ðàâíà k, è P ( x ) = xk + axk -1 + … (çäåñü è äàëåå òðîåòî÷èåì îáîçíà÷åíû ñëàãàåìûå ìåíüøèõ ñòåïåíåé). Ëåãêî ïîäîáðàòü òàêîå ÷èñëî d, ÷òî ìíîãî÷ëåí P ( x - d) áóäåò èìåòü âèä xk + bxk - 2 + … , ò.å. êîýôôèöèåíò ïðè ñòåïåíè k 1 áóäåò íóëåâûì. Äåéñòâèòåëüíî, k P ( x - d) = ( x - d) + a ( x - d) k -1 +… = = xk - kdxk -1 + axk -1 + … , è äîñòàòî÷íî âçÿòü d = a/k. Äîêàæåì, ÷òî òî÷êà (d;0) è ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè ãðàôèêà P ( x ) . Îáîçíà÷èì P ( x - d) çà Q ( x ) . Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ãðàôèê ìíîãî÷ëåíà Q ( x ) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî òî÷êè (0;0) , ò.å. ÷òî Q ( x ) = -Q ( - x ) ïðè ëþáîì x. Èòàê, Q ( x ) = xk + bxk - 2 + … . Âîçüìåì ÷èñëà m > 0 è n < 0 ïî ìîäóëþ áîëüøå C (êàê âûáðàíî C, áóäåò ÿñíî èç äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé), äëÿ êîòîðûõ Q ( m ) + Q ( n) = 0 (ãäå m d è n d öåëûå ÷èñëà). Äîêàæåì, ÷òî |m| = |n|. Ïóñòü |m| < |n|. Ïîëîæèì âíà÷àëå n = m 1. Òîãäà Q ( m ) + Q ( n) = Q ( m ) + Q ( -m - 1) = = mk + bmk - 2 + … + ( -m - 1)k + b ( -m - 1)k -2 + … = = -kmk -1 + R ( m ) , ãäå R ( x ) íåêèé ôèêñèðîâàííûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè k 2; òàêèì îáðàçîì, Q ( m ) + Q ( -m - 1) ìíîãî÷ëåí ÷åòíîé ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì. Òîãäà åñëè C äîñòàòî÷íî âåëèêî, òî Q ( m ) + Q ( -m - 1) áóäåò ìåíüøå íóëÿ. Ïðè n = m 2, m 3, m 4, ñóììà Q ( m ) + Q ( n) òåì áîëåå áóäåò ìåíüøå íóëÿ, åñëè C íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî Q ( x ) âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå ( -•; -C ) . Èòàê, íå ìîæåò áûòü |m| < |n| ïðè m > C, n < C. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåâîçìîæíî |m| > |n|. Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî m (ãäå m d öåëîå) òàêèõ, ÷òî Q ( m ) + Q ( -m ) = 0 , ïîýòîìó ìíîãî÷ëåí Q ( x ) + Q ( - x ) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî êîðíåé. Ýòî âîçìîæíî, òîëüêî åñëè ýòîò ìíîãî÷ëåí íóëåâîé, ò.å. âûïîëíåíî òîæäåñòâî Q ( x ) + Q ( - x ) ∫ 0 . Çàìå÷àíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ãðàôèê ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà òðåòüåé ñòåïåíè èìååò öåíòð ñèììåòðèè. Ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó, àíàëîãè÷íóþ äàííîé çàäà÷å, äëÿ ñëó÷àÿ ìíîãî÷ëåíà ÷åòíîé ñòåïåíè: åñëè ìíîãî÷ëåí P ( x ) ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêîâ, ÷òî óðàâíåíèå P (m) = P (m - n) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ m è n, òî ãðàôèê ôóíêöèè y = P ( x ) èìååò îñü ñèììåòðèè. Îòìåòèì òàêæå èäåéíî ðîäñòâåííóþ çàäà÷ó, ïðåäëàãàâøóþñÿ íà îêðóæíîì ýòàïå Âñåðîññèéñêîé îëèìïè- 29.07.09, 17:49 " ÊÂÀÍT 2009/¹4 àäû øêîëüíèêîâ â 1999 ãîäó (çàäà÷à 8 äëÿ 11 êëàññà, àâòîð À.Ãîëîâàíîâ): åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî åãî çíà÷åíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ìíîãî÷ëåí ïðèíèìàåò ïî êðàéíåé ìåðå â äâóõ öåëî÷èñëåííûõ òî÷êàõ, òî ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî öåëîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå ìíîãî÷ëåí ïðèíèìàåò ðîâíî â îäíîé öåëîé òî÷êå. Ñ.Äîðè÷åíêî, Ï.Êîæåâíèêîâ M2121. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF ïàðàëëåëüíû. Íàçîâåì åãî «âûñîòàìè» âåêòîðû ñ êîíöàìè íà ïðÿìûõ, ñîäåðæàùèõ ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû, ïåðïåíäèêóëÿðíûå èì è íàïðàâëåííûå îò AB ê DE, îò EF ê BC è îò CD ê AF. Äîêàæèòå, ÷òî âîêðóã ýòîãî øåñòèóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî «âûñîò» ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó. Ïóñòü èç «âûñîò» øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê (ýòî è çíà÷èò, ÷òî ñóììà «âûñîò» ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó). Òîãäà ýòîò òðåóãîëüíèê ðàâåí òðåóãîëüíèêó AA1 A2 , ãäå A1 è A2 ïðîåêöèè òî÷êè À íà ïðÿìûå CD è DE ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 1). Çíà÷èò, ÷åòûðåõóãîëüíèê AA1DA2 âïèñàííûé, è äèàìåòð îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà AA1 A2 îêðóæíîñòè ðàâåí AD. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî äâå äðóãèå ãëàâíûå äèàãîíàëè øåñòèóãîëüíèêà ðàâíû ýòîìó äèàìåòðó, ò.å. AD = BE = = CF. Ñëåäîâàòåëüíî, À è DE ÿâëÿþòñÿ îñíîâàíèÿìè ðàâíîáîêîé òðàïåöèè è ïîýòîìó èìåþò îáùèé ñåðåäèííûé ïåðÐèñ. 1 ïåíäèêóëÿð. Ýòîò ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ñîâïàäàåò ñ áèññåêòðèñîé óãëà ìåæäó ïðÿìûìè AD è ÂÅ, ò.å. ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð Î îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê, îáðàçîâàííûé ãëàâíûìè äèàãîíàëÿìè. Ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê îñòàëüíûì ñòîðîíàì øåñòèóãîëüíèêà òàêæå ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó Î, ñëåäîâàòåëüíî, âîêðóã øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü. Ïóñòü òåïåðü ABCDEF âïèñàíÐèñ. 2 íûé øåñòèóãîëüíèê (ðèñ. 2). Âíîâü ðàññìàòðèâàÿ âïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê AA1DA2 , ïîëó÷àåì –DA1 A2 = –DAA2 = 90∞ - –DAB = –BCD - 90∞ , ò.å. A1 A2 ^ BC . Îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû CC1 è CC2 íà ïðÿìûå AF è FE ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà, 20-36.p65 24 ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷èì, ÷òî C1C2 ^ DE . Òàêèì îáðàçîì, ó òðåóãîëüíèêîâ AA1 A2 è C1CC2 ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó è AA1 = CC1 , ñëåäîâàòåëüíî, ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû. Ïîýòîìó îòðåçîê A1 A2 ðàâåí òðåòüåé «âûñîòå» øåñòèóãîëüíèêà. Çàìå÷àíèå. Êàê óêàçàë ÷èòàòåëü Î.Æåðåáöîâ èç Óñèíñêà (Ðåñïóáëèêà Êîìè), âûâåñòè èç âïèñàííîñòè øåñòèóãîëüíèêà íóæíîå âåêòîðíîå ðàâåíñòâî ìîæíî è ïîäðóãîìó, ñ èñïîëüçîâàíèåì âåêòîðîâ. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç A¢, B ¢, C ¢, D¢, E ¢, F ¢ ñåðåäèíû ñòîðîí âïèñàííîãî øåñòè óãîëüíèêà ABCDEF ñîîòâåòñòâåííî, çàìåòèì, ÷òî A¢ D¢ , C ¢F ¢ è E ¢B ¢ «âûñîòû» Òîãäà øåñòèóãîëüíèêà. íóæíîå ðàâåíñòâî A¢D¢ + C ¢F ¢ + E ¢B ¢¢ = 0 âûòåêàåò èç ðàâåíñòâ A¢D¢ + D¢E + EE ¢ + E ¢B ¢ + + B ¢C + CC ¢ + C ¢F ¢ + F ¢A + AA ¢ = 0 è D¢E + EE ¢ + B ¢C + CC ¢ + F ¢A + AA¢ = 1 DE + EF + BC + CD + FA + AB = 0 . = 2 À.Çàñëàâñêèé ( ) Ì2122. à) Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, áîëüøåå 17, ìîæíî ðàçëîæèòü â ñóììó òðåõ íàòóðàëüíûõ ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ áîëüøå 1. á*) Âûÿñíèòå, êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ñóììû òðåõ âçàèìíî ïðîñòûõ â ñîâîêóïíîñòè íàòóðàëüíûõ ñëàãàåìûõ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íå âçàèìíî ïðîñòû. à) Åñëè n ÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå 8, òî n = 6k, n = = 6k + 2 èëè n = 6k + 4, ïðè÷åì â ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ k åñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, â òðåòüåì æå ñëó÷àå k íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Èç ôîðìóë 6k = 2 + 3 + + [6(k 1) + 1], 6k + 2 = 3 + 4 + [6(k 1) + 1], 6k + + 4 = 2 + 3 + (6k 1) ëåãêî âûòåêàåò, ÷òî n åñòü ñóììà òðåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 1 è ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ. Ïóñòü òåïåðü n íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå 17. Çäåñü âîçìîæíû øåñòü ñëó÷àåâ: n = 12k + 1, 12k +3, 12k + 5, 12k + 7, 12k + 9 è 12k + 11, ïðè÷åì â ïåðâûõ òðåõ ñëó÷àÿõ k åñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, â òðåõ æå îñòàëüíûõ k íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Èìååì 12k + 1 = = [6(k 1) 1] + [6(k 1) + 5] + 9, ãäå ÷èñëà 6(k 1) 1, 6(k 1) + 5 è 9 áîëüøèå åäèíèöû è ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûå, òàê êàê ïåðâûå äâà èç íèõ íå äåëÿòñÿ íà 3 è ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè (èáî åñëè d | 6(k 1) 1 è d | 6(k 1) + 5, òî d | 6, à îáà ÷èñëà íå÷åòíûå). Åñëè n = 12k + 3, òî n = (6k 1) + (6k + 1) + 3; åñëè n = 12k + 5, òî n = (6k 5) + (6k + 1) + 9; åñëè n = 12k + 7, òî n = (6k + 5) + (6k 1) + 3; åñëè n = 12k + 9, òî n = (6k 1) + (6k + 1) + 9; åñëè n = 12k + 11, òî n = (6(k + 1) 5) + (6(k + 1) + + 1) + 3.  êàæäîì ñëó÷àå, êàê ëåãêî çàìåòèòü, ìû èìååì òðè ñëàãàåìûõ, áîëüøèõ 1 è ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ. 29.07.09, 17:49 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ Êîììåíòàðèè. ×èñëî 17 íå îáëàäàåò îáñóæäàåìûì ñâîéñòâîì: åñëè â óñëîâèÿõ çàäà÷è 17 = a + b + c, òî a, b, c ðàçëè÷íûå íå÷åòíûå ÷èñëà, áîëüøèå 1. Òàêèå òðîéêè ñ íàèìåíüøèìè ñóììàìè: (3, 5, 7) è (3, 5, 9) íå ïîäõîäÿò, à ñóììà ÷èñåë ëþáîé èíîé áîëüøå 17. Ïîñòàðàåìñÿ òåïåðü ïîíÿòü, ïî÷åìó ãðàíèöåé îêàçàëîñü èìåííî ÷èñëî 17. Äëÿ ýòîãî ðåøèì âíà÷àëå áîëåå ïðîñòóþ, ÷åì ïóíêò à), çàäà÷ó: äîêàæåì, ÷òî ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 6, ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 1. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïîäîáíî ïóíêòó à) èëè ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ ( n) (óñëîâèå çàäà÷è ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ϕ ( n) > 2 ïðè n > 6); ìû ïîêàæåì ãîðàçäî áîëåå ïðîçðà÷íîå íåýëåìåíòàðíîå ðåøåíèå. Ên ˆ Ïóñòü â èíòåðâàëå Á ; n˜ íàéäåòñÿ ïðîñòîå ð òàêîå, ÷òî Ë2 ¯ n p > 1. Òîãäà ðàçëîæåíèå n = p + (n p) èñêîìîå (÷èñëà p è n p âçàèìíî ïðîñòû, òàê êàê ð ïðîñòîå, à ( n - p) < p). ßñíî, ÷òî ïðè 6 < n < 12 èñêîìîå ð ñóùåñòâóåò. Ïðè n ≥ 12 åãî ñóùåñòâîâàíèå âûòåêàåò èç òàêîãî óòâåðæäåíèÿ (ìû îñòàâëÿåì åãî áåç äîêàçàòåëüñòâà). Ïðåäëîæåíèå 1. Ïóñòü n > 11. Òîãäà â èíòåðâàëå Ên ˆ ÁË ; n˜¯ ñîäåðæèòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâà ðàçëè÷íûõ 2 ïðîñòûõ ÷èñëà. Ïåðåéäåì òåïåðü ê èñõîäíîìó ñëó÷àþ òðåõ ñëàãàåìûõ. Ên ˆ Ïóñòü â èíòåðâàëå Á ; n˜ íàéäåòñÿ ïðîñòîå q òàêîå, Ë2 ¯ ÷òî n q > 6. (1) Òîãäà ðàçëîæèì m = n q êàê âûøå: m = p + (m p). Êàê è ðàíüøå, ðàçëîæåíèå n = q + p + (n q p) èñêîìîå. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïðè n > 17 óñëîâèå (1) âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ. Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü n > 17. Òîãäà â èíòåðâàëå Ên ˆ ÁË ; n˜¯ ñîäåðæèòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå òðè ðàçëè÷íûõ 2 n < q < r < s < n. ïðîñòûõ ÷èñëà: 2 Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè q > 3 ïðîñòûå ÷èñëà q < r < s íå ìîãóò áûòü ïîñëåäîâàòåëüíûìè íå÷åòíûìè. Îòñþäà n q > 6. Ïðåäëîæåíèÿ 1 è 2 íåçíà÷èòåëüíûå îáîáùåíèÿ çíàìåíèòîãî ïîñòóëàòà Áåðòðàíà. Èõ íåòðóäíî äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ðàññóæäåíèé ñòàòüè À.Êîðîáîâà «Ïðîñòûå ÷èñëà è ïîñòóëàò Áåðòðàíà» («Êâàíò» ¹ 4 çà 1998 ãîä; ñì. òàêæå: Ì.Àéãíåð è Ã.Öèãëåð. «Äîêàçàòåëüñòâà èç Êíèãè». Ì.: Ìèð, 2006). Ñ ïîìîùüþ ïîäîáíûõ ðàññóæäåíèé íåòðóäíî äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî n ñëåäóþùåå Ïðåäëîæåíèå 3. Äëÿ ëþáîãî n > 1 ñóùåñòâóåò òàêîå N ( n) , ÷òî ëþáîå k > N ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû n ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ, áîëüøèõ 1. á) Äëÿ êðàòêîñòè, íàçîâåì òðåõïàðíûì ÷èñëî, äîïóñêàþùåå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû òðåõ âçàèìíî 20-36.p65 25 «ÊÂÀÍÒÀ» # ïðîñòûõ íàòóðàëüíûõ ñëàãàåìûõ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íå âçàèìíî ïðîñòû. Ïóñòü íàòóðàëüíîå n îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ñóùåñòâóþò ïðîñòûå (2) p < r < q: p2rq < n , ( prq, n) = 1 . Òîãäà ÷èñëî n òðåõïàðíî. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ÷èñëà âèäà n xqr. Ïîñêîëüêó ð è qr âçàèìíî ïðîñòû è n íå äåëèòñÿ íà ð, íàéäåòñÿ òàêîå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå x < p, ÷òî n xqr äåëèòñÿ íà ð. Ïóñòü n xqr = mp.  ñèëó òîãî ÷òî n > p2qr è x < p, èìååì m > ( p - 1) qr , ïðè÷åì m íå äåëèòñÿ íà q è r. Ïîñêîëüêó q è r âçàèìíî ïðîñòû, íàéäåòñÿ òàêîå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå y < r, ÷òî m yq äåëèòñÿ íà r. Òàê êàê r > p > x è r ïðîñòîå, òî r è õ âçàèìíî ïðîñòû, à çíà÷èò, îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà õ ÷èñåë âèäà y + kr ïðè k = 0, 1, , õ 1 ðàçëè÷íû. Òîãäà ñðåäè ýòèõ îñòàòêîâ åñòü 1. Äëÿ òàêîãî k ÷èñëî w = y + kr âçàèìíî ïðîñòî ñ õ. Íî ïîñêîëüêó m yq äåëèòñÿ íà r, òî è m wq = m yq krq äåëèòñÿ íà r. Ïðè ýòîì m yq krq > (p 1)qr yq kqr > (p 1)qr qr (p 2)qr = 0, ò.å. m = wq + zr, ïðè÷åì w, z > 0. Îêîí÷àòåëüíî èìååì: n = xqr + wpq + zpr, ïðè÷åì ýòè òðè ñëàãàåìûõ âçàèìíî ïðîñòû, ïîñêîëüêó xqr è wpq èìåþò íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü q (âñå îñòàëüíûå ìíîæèòåëè â ýòèõ ñëàãàåìûõ âçàèìíî ïðîñòû ïî ïîñòðîåíèþ), à zpr íå äåëèòñÿ íà q (èíà÷å áû è n äåëèëîñü íà q). Òàêèì îáðàçîì, n òðåõïàðíî. Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ n, íå îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì (2), êîíå÷íî. Íàçîâåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî n ñâîáîäíûì îò êâàäðàòîâ, åñëè p2 íå äåëèò n ïðè ëþáîì ïðîñòîì ð. Ëåììà 1. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n ñðåäè ÷èñåë {1, 2, , n} áîëåå ÷åòâåðòè ñâîáîäíû îò êâàäðàòîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñðåäè ÷èñåë 1, 2, , n èìååì íå áîëåå n ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà p2 . Ïîýòîìó êîëè÷åñòâî p2 ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà êâàäðàò ïðîñòîãî ÷èñëà, íå áîëüøå  p£ n • • 1 ˆ 3n n n n n Ê1 < + = + n Á ˜ = 2 Ë 4 k = 2 k (k + 1) 4 4 . k k + 1¯ p k=2 Ëåììà äîêàçàíà. Çàíóìåðóåì âñå ïðîñòûå ÷èñëà â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ: p1, p2 ,... k +1 Ëåììà 2. pk < 2 ïðè ëþáîì k. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûå (ïî âîçðàñòàíèþ) k 1 ïðîñòûõ ÷èñåë ïîðîæäàþò 2k-1 ÷èñåë, ñâîáîäíûõ îò êâàäðàòîâ. Ïîýòîìó ñðåäè ÷èñåë îò 1 äî 4 ◊ 2k -1 = 2k +1 ñîäåðæèòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå k ïðîñòûõ ÷èñåë (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå äîëÿ ÷èñåë, ñâîáîäíûõ îò êâàäðàòîâ, k +1 áûëà áû íå áîëåå ÷åòâåðòè), ò.å. pk £ 2 . Ëåììà 3. Äëÿ ëþáîãî n Œ N , n > 2256 , ñóùåñòâóþò ïðîñòûå p < q < r < 4 n , íå ÿâëÿþùèåñÿ äåëèòåëÿìè ÷èñëà n (òàêèå ÷èñëà äàëåå íàçûâàåì íåäåëèòåëÿìè ÷èñëà n). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü 2k +1 £ 4 n £ 2k + 2 , è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñðåäè p1,… , pk íå áîëåå äâóõ íåäåëèòåëåé n. 29.07.09, 17:49 $ ÊÂÀÍT 2009/¹4 Òîãäà ïîñêîëüêó 2 £ p1 < p2 < … < p11 , 25 < p12 < < p13 < … < pk - 2 , 11 5(k -13) n ≥ p1 … pk - 2 > 2 ◊ 2 òî > 4k + 8 >2 ≥ n ïðè k > 62. Ñëåäîâàòåëüíî, k £ 62 , 256 n £ 2 . Ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî òðè íåäåëèòåëÿ ñóùåñòâóþò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî pk < 4 n . Ëåììà 3 äîêàçàíà. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå íàòóðàëüíîå n > 2256 îáëàäàåò ñâîéñòâîì (2). Óòâåðæäåíèå çàäà÷è äîêàçàíî. Çàìå÷àíèå 1. Ìîæíî äîêàçàòü è áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå: ïðè ëþáîì k ≥ 2 ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå äîïóñêàþùèõ ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ñóììû k + + 1 âçàèìíî ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ, ëþáûå k èç êîòîðûõ íå âçàèìíî ïðîñòû, áóäåò êîíå÷íûì. Çàìå÷àíèå 2. Ãðóáàÿ îöåíêà 2256 ïîçâîëÿåò ëåãêî íàéòè íàèáîëüøåå íå îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì (2) ÷èñëî: 120120. Ïîêàæåì, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü. Îöåíêó ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ïîíèæàòü. Òàê, èç n £ 2256 ñðàçó ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî n < 248 .  ñàìîì äåëå, ïóñòü n ≥ 248 , 4 n ≥ 212 . Ðàññóæäàÿ êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3, ïîëó÷àåì ( ) n ≥ 4079 ◊ … ◊ 1031 > 210 30 > 2256 . Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àþòñÿ îöåíêè: 224 , 220 , 218 , 130000. Òåïåðü äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî íå îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì (2) ÷èñëî n èíòåðâàëà (120120; 130000) äîëæíî äåëèòüñÿ íà 2 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7 ◊ 11 ◊ 13 = 30030 . Ðàññìîòðèì ïðîñòûå ÷èñëà 2, 3, , 23. Ïóñòü ñðåäè íèõ åñòü òðè íåäåëèòåëÿ p < r < s ÷èñëà n, îäèí èç êîòîðûõ íå áîëüøå 13. Èìååì p2rs £ 132 ◊ 19 ◊ 23 < 120120 < n , îòêóäà n îáëàäàåò ñâîéñòâîì (2). Çíà÷èò, ñðåäè ïðîñòûõ ÷èñåë îò 2 äî 23 íå áîëåå äâóõ íåäåëèòåëåé n, ïðè÷åì îäèí èç íèõ íå áîëüøå 13. Îêîí÷àòåëüíî: n ≥ 2 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 7 ◊ 11 ◊ 17 ◊ 19 > 130000 . Îäíàêî ÷èñëî 120120 ÿâëÿåòñÿ òðåõïàðíûì: 120120 = = 391 + 5695 + 114034, ãäå (391, 5695) = 17, (5695, 114034) = 67, (114034, 391) = 23. Íàèáîëüøåå íå ÿâëÿþùååñÿ òðåõïàðíûì ÷èñëî 2730. Â.Ëåöêî, Â.Ñåíäåðîâ M2123. Òåñò ñîñòîèò èç 30 âîïðîñîâ, íà êàæäûé åñòü 2 âàðèàíòà îòâåòà (îäèí âåðíûé, äðóãîé íåò). Çà îäíó ïîïûòêó Âèòÿ îòâå÷àåò íà âñå âîïðîñû, ïîñëå ÷åãî åìó ñîîáùàþò, íà ñêîëüêî âîïðîñîâ îí îòâåòèë âåðíî. Ñìîæåò ëè Âèòÿ äåéñòâîâàòü òàê, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàííî óçíàòü âñå âåðíûå îòâåòû íå ïîçæå, ÷åì ïîñëå 24-é ïîïûòêè (è îòâåòèòü âåðíî íà âñå âîïðîñû ïðè 25-é ïîïûòêå)? Ïóñòü íà êàæäûé èç âîïðîñîâ âîçìîæíû äâà îòâåòà: «äà» èëè «íåò». Ðàçîáüåì âîïðîñû òåñòà íà ãðóïïû ïî 5 âîïðîñîâ (ñ 1-ãî ïî 5-é, ñ 6-ãî ïî 10-é è ò.ä.) Ïðè ïåðâîé ïîïûòêå îòâåòèì «íåò» íà âñå âîïðîñû. Ïîêàæåì òåïåðü, êàê çà 4 ñëåäóþùèå ïîïûòêè óçíàòü âñå âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû â ïåðâîé ãðóïïå. Íà âîïðîñû ñ 6-ãî ïî 30-é îòâå÷àåì â ýòèõ ïîïûòêàõ «íåò», à íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 5-é îòâå÷àåì òàê: 20-36.p65 26 ïðè âòîðîé ïîïûòêå îòâå÷àåì «äà» íà âñå ïÿòü âîïðîñîâ; ïðè òðåòüåé ïîïûòêå îòâå÷àåì «íåò» íà 1-é è 2-é âîïðîñû (íà îñòàëüíûå òðè «äà»); ïðè ÷åòâåðòîé ïîïûòêå îòâå÷àåì «íåò» íà 1-é è 3-é âîïðîñû (íà îñòàëüíûå òðè «äà»); ïðè ïÿòîé ïîïûòêå îòâå÷àåì «íåò» íà 1-é è 4-é âîïðîñû (íà îñòàëüíûå òðè «äà»). Çàìåòèì, ÷òî èç ñîîáùåíèé î ÷èñëå âåðíûõ îòâåòîâ â ïåðâîé è âòîðîé ïîïûòêàõ ìû óçíàåì, íàïðèìåð, ñêîëüêî âî âòîðîé ïîïûòêå áûëî âåðíûõ îòâåòîâ íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 5-é. Ïîñëå òðåòüåé ïîïûòêè ìû óçíàåì êîëè÷åñòâî A âåðíûõ îòâåòîâ âî âòîðîé ïîïûòêå ñðåäè äâóõ îòâåòîâ íà 1-é è 2-é âîïðîñû, ïîñëå ÷åòâåðòîé êîëè÷åñòâî B âåðíûõ îòâåòîâ âî âòîðîé ïîïûòêå ñðåäè äâóõ îòâåòîâ íà 1-é è 3-é âîïðîñû, ïîñëå ïÿòîé êîëè÷åñòâî C âåðíûõ îòâåòîâ âî âòîðîé ïîïûòêå ñðåäè äâóõ îòâåòîâ íà 1-é è 4-é âîïðîñû. Ïóñòü õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë A, B, C ðàâíî 0 èëè 2. Òîãäà ïîñëå ïÿòîé ïîïûòêè ìû óçíàåì âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 4-é.  ñàìîì äåëå, ïóñòü, íàïðèìåð, B = 2; òîãäà âî âòîðîé ïîïûòêå îòâåòû íà 1-é è 3-é âîïðîñû âåðíûå; ïîýòîìó, çíàÿ A è C, îïðåäåëÿåì âåðíûå îòâåòû íà 2-é è 4-é âîïðîñû ñîîòâåòñòâåííî. Çíàÿ âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 4-é, îïðåäåëèì âåðíûé îòâåò íà 5-é âîïðîñ, òàê êàê çíàåì, ñêîëüêî áûëî âåðíûõ îòâåòîâ âî âòîðîé ïîïûòêå íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 5-é. Îñòàåòñÿ ñëó÷àé A = B = C = 1; òîãäà âî âòîðîé ïîïûòêå: ñðåäè îòâåòîâ íà 1-é è 2-é âîïðîñû ðîâíî îäèí âåðíûé, ñðåäè îòâåòîâ íà 1-é è 3-é âîïðîñû òîæå ðîâíî îäèí âåðíûé, è ñðåäè îòâåòîâ íà 1-é è 4-é âîïðîñû ðîâíî îäèí âåðíûé. Çíà÷èò, ïðè âòîðîé ïîïûòêå íà 2-é, 3-é è 4-é âîïðîñû íàøè îòâåòû ëèáî âñå âåðíû, ëèáî âñå íåâåðíû. Íî ìû óæå çíàåì, êàêèõ îòâåòîâ ïðè âòîðîé ïîïûòêå íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 5-é áîëüøå: âåðíûõ èëè íåâåðíûõ. Òàêèì îáðàçîì, ìû çíàåì âåðíûå îòâåòû íà íà 2-é, 3-é è 4-é âîïðîñû, òîãäà è íà 1-é âîïðîñ (âåðíûé îòâåò ïðîòèâîïîëîæåí âåðíîìó îòâåòó íà 2-é âîïðîñ), à çíà÷èò, è íà 5-é âîïðîñ. Äàëåå, àíàëîãè÷íî óçíàåì âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû 2-é, 3-é, 4-é è 5-é ãðóïï ïî 5 âîïðîñîâ (ïîòðàòèâ íà êàæäóþ 4 ïîïûòêè). Òîãäà çà 1 + 4 ◊ 5 = 21 ïîïûòêó çíàåì âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû ñ 1-ãî ïî 25-é. Çàìåòèì, ÷òî âåðíûå îòâåòû íà âîïðîñû ïîñëåäíåé ãðóïïû ìîæíî óçíàòü çà 3 ïîïûòêè, ïîñêîëüêó ìû óæå çíàåì, ñêîëüêî âåðíûõ îòâåòîâ â ñàìîé ïåðâîé ïîïûòêå ìû ñäåëàëè íà ýòè âîïðîñû. Èòàê, âñåãî õâàòèò 24 âîïðîñà. Çàìå÷àíèå. Äàííóþ çàäà÷ó ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü íà ÿçûêå ëèíåéíîé àëãåáðû è ïîëó÷èòü çíà÷èòåëüíî áîëåå ñèëüíûå îöåíêè íà êîëè÷åñòâî ïîïûòîê. Ñêàæåì, äëÿ òåñòà èç 33 âîïðîñîâ äîñòàòî÷íî âñåãî 16 ïîïûòîê, ÷òîáû óçíàòü âåðíûå îòâåòû íà âñå âîïðîñû. Ñ.Äîðè÷åíêî Ô2130. Óäàâ ðåøèë óñòàíîâèòü ìèðîâîé ðåêîðä â ïðûæêàõ â âûñîòó ñðåäè óäàâîâ. Óäàâ ìîæåò èç ïîëîæåíèÿ «ñâåðíóâøèñü ëåæà» âûïðÿìèòüñÿ ïî÷òè 29.07.09, 17:49 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ âåðòèêàëüíî è ðàçîãíàòüñÿ äî ñêîðîñòè v. Äëèíà óäàâà L. Êàêèì ìîæåò áûòü ðåêîðä? Êàê äîëæåí äâèãàòüñÿ óäàâ, ÷òîáû óñòàíîâèòü ðåêîðä? Ìàññà óäàâà ðàñïðåäåëåíà ïî åãî äëèíå ðàâíîìåðíî. Ïóñòü Í âûñîòà ïëàíêè íàä óðîâíåì çåìëè, Ì ìàññà óäàâà. Áóäåì îòñ÷èòûâàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ òàêæå îò óðîâíÿ çåìëè. Òîãäà íà÷àëüíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ óäàâà ñðàçó ïîñëå åãî âûïðÿìëåíèÿ L Mv2 ðàâíà Mg + . ×òîáû åå õâàòèëî äëÿ ïðåîäîëå2 2 íèÿ ïëàíêè êàê ìîæíî áîëüøåé âûñîòû, óäàâ äîëæåí äâèãàòüñÿ òàê, ÷òîáû åãî öåíòð ìàññ â ìîìåíò ïðåîäîëåíèÿ ïëàíêè íàõîäèëñÿ êàê ìîæíî íèæå. Äëÿ ýòîãî óäàâó íóæíî ñëîæèòüñÿ ïîïîëàì, ÷òîáû åãî ñåðåäèíà îêàçàëàñü íàä ïëàíêîé, à ãîëîâà è õâîñò ñâåøèâàëèñü âíèç. Ïðè ýòîì öåíòð ìàññ óäàâà ïîäíèìåòñÿ íà ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó, ðàâíóþ H L/4, è â ýòîò ìîìåíò êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ óäàâà áóäåò ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, íà ìàêñèìàëüíîé âûñîòå ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðL ãèÿ óäàâà áóäåò Mg ÊÁ H - ˆ˜ . Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ Ë 4¯ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ïîëó÷àåì L Mv2 Lˆ Ê Mg + ≥ Mg Á H - ˜ . Ë 2 2 4¯ Îòñþäà íàõîäèì ðåêîðäíóþ âûñîòó: 3 L v2 Hmax = + . 4 2g Ñ.Âàðëàìîâ Ô2131. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ïëàòôîðìà, íà êîòîðóþ ïîëîæèëè áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ãðóç ìàññîé m, ñîâåðøàåò f ðàç â ñåêóíäó òàêèå êîëåáàíèÿ: ñíà÷àëà îíà äâèæåòñÿ âïðàâî ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a, ïîòîì ìãíîâåííî îñòàíàâëèâàåòñÿ è âîçâðàùàåòñÿ â íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a/2. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ãðóçîì è ïëàòôîðìîé µ < 1, óñêîðåíèå a g , ÷àñòîòà f 1 Ãö.  êàêîì íàïðàâëåíèè è ïî êàêîìó çàêîíó áóäåò äâèãàòüñÿ ãðóç, è áóäåò ëè îí âîîáùå äâèãàòüñÿ? Ñ÷èòàòü, ÷òî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ãðóçà âñåãäà ìíîãî ìåíüøå ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ïëàòôîðìû. Ïîñêîëüêó a g è µ < 1 , ãðóç áóäåò âñå âðåìÿ ñêîëüçèòü îòíîñèòåëüíî ïëàòôîðìû. Ïðè ýòîì íà íåãî áóäåò âñå âðåìÿ äåéñòâîâàòü ñèëà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ F = µmg , ïîñòîÿííàÿ ïî âåëè÷èíå, íî íàïðàâëåííàÿ òî âïðàâî, òî âëåâî. Ñðàâíèì âðåìÿ äâèæåíèÿ ïëàòôîðìû âïðàâî t1 è âðåìÿ äâèæåíèÿ âëåâî t2 . Ïîñêîëüêó äâèæåíèå ïëàòôîðìû â îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàâíîóñêîðåííîå è ïðîéäåííûå âïðàâî è âëåâî ïóòè ðàâíû, ïîëó÷àåì at12 a t22 = , îòêóäà t2 = 2t1 . 2 2 2 Òàêèì îáðàçîì, âëåâî ïëàòôîðìà äâèæåòñÿ äîëüøå, ÷åì âïðàâî. Çíà÷èò, íà ãðóç áóäåò äîëüøå äåéñòâîâàòü ñèëà òðåíèÿ, íàïðàâëåííàÿ âëåâî, è îí ñòàíåò ñìåùàòüñÿ âëåâî. Òàê êàê 1 t1 + t2 = è t2 = 2t1 , f 20-36.p65 27 % «ÊÂÀÍÒÀ» ïîëó÷àåì t1 = 1 ( f 1+ 2 ) , t2 = 2 ( f 1+ 2 ) . Èçìåíåíèå èìïóëüñà ãðóçà çà âðåìÿ ∆t = 1 ñ ñîñòàâëÿåò ∆ ( mv) 1- 2 ∆v =m = mb = f (µmgt1 - µmgt2 ) = µmg , ∆t ∆t 1+ 2 ∆v ãäå b = ñðåäíåå óñêîðåíèå ãðóçà (çà ïîëîæèòåëü∆t íîå íàïðàâëåíèå ïðèíÿòî íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ãðóçà âïðàâî). Ñëåäîâàòåëüíî, ãðóç áóäåò äâèãàòüñÿ âëåâî ñî ñðåäíèì óñêîðåíèåì, ðàâíûì ïî ìîäóëþ 2 -1 b = µg . 2 +1 À.Àíäðèàíîâ Ô2132. Îäèí èç êîíöîâ U-îáðàçíîé òðóáêè ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ ñ íàëèòîé â íåå ðòóòüþ íàãëóõî çàêðûëè. Âîçäóõ â çàêðûòîì êîíöå òðóáêè ñòàëè ìåäëåííî íàãðåâàòü, èçìåðÿÿ çàâèñèìîñòü åãî äàâëåíèÿ ð îò òåìïåðàòóðû T. Êàê îêàçàëîñü, ýòà çàâèñèìîñòü â íà÷àëå íàãðåâàíèÿ ïðèáëèæåííî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé: p = p0 (1 + α (T T0 - 1)) , ãäå p0 = 760 ìì ðò. ñò. àòìîñôåðíîå äàâëåíèå, T0 òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû, êîýôôèöèåíò α = 0,5. Íàéäèòå âûñîòó ñòîëáà âîçäóõà â çàêðûòîì êîíöå òðóáêè â íà÷àëå ïðîöåññà. Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ âîçäóõà â çàêðûòîì êîíöå òðóáêè â íà÷àëå ïðîöåññà: p0 Sl0 = νRT0 , ãäå S ïëîùàäü ñå÷åíèÿ òðóáêè, l0 èñêîìàÿ âûñîòà âîçäóøíîãî ñòîëáà, ν ÷èñëî ìîëåé âîçäóõà. Ïóñòü ïðè íàãðåâàíèè äî òåìïåðàòóðû Ò óðîâåíü ðòóòè â îòêðûòîì êîíöå òðóáêè ïîäíÿëñÿ íà õ, à â çàêðûòîì îïóñòèëñÿ íà õ. Òîãäà äàâëåíèå âîçäóõà â çàêðûòîì êîíöå òðóáêè ðàâíî p = p0 + 2ρgx , îáúåì ðàâåí S (l0 + x ) , è óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ âîçäóõà èìååò âèä νRT = ( p0 + 2ρgx ) S (l0 + x ) = = p0 Sl0 + Sx ( p0 + 2ρgl0 ) + 2ρgSx2 . Ïðè ìàëûõ õ, â íà÷àëå ïðîöåññà íàãðåâàíèÿ, êâàäðàòè÷íûì ñëàãàåìûì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîýòîìó, âû÷èòàÿ èç äàííîãî óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ òî óðàâíåíèå, êîòîðîå áûëî ñïðàâåäëèâî â íà÷àëå ïðîöåññà, ïîëó÷àåì νR (T - T0 ) = Sx ( p0 + 2ρgl0 ) , îòêóäà x= νR (T - T0 ) S ( p0 + 2ρgl0 ) Ñëåäîâàòåëüíî, p = p0 + 2ρgx = p0 + = p0l0 T - T0 . p0 + 2ρgl0 T0 p0 ◊ 2ρgl0 T - T0 = p0 + 2ρgl0 T0 Ê 2ρgl0 T - T0 ˆ = p0 Á1 + , p0 + 2ρgl0 T0 ˜¯ Ë 29.07.09, 17:49 & ÊÂÀÍT 2009/¹4 è Îòñþäà íàõîäèì 2ρgl0 α= p0 + 2ρgl0 . Îòñþäà íàõîäèì l0 = ( p0 2ρg α -1 ) -1 = ρgh0 ( 2ρg α -1 ) -1 = ( h0 ) 2 α -1 - 1 = 380 ìì , p0 = 760 ìì âûñîòà ñòîëáà ðòóòè, ñîîòâåòρg ñòâóþùàÿ äàííîìó â óñëîâèè çàäà÷è çíà÷åíèþ àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ. Î.Øâåäîâ ãäå h0 = Ô2133. Ïðîâîäÿùèå êîíöåíòðè÷åñêèå ñôåðû èìåþò ðàäèóñû R è 3R, íà ðàññòîÿíèè 2R îò èõ îáùåãî öåíòðà íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé çàðÿä Q. Ñôåðû ñîåäèíÿþò ìåæäó ñîáîé òîíêèì ïðîâîäîì, è ïîëó÷èâøèéñÿ ïðîâîäíèê çàçåìëÿþò òîíêèì ïðîâîäíèêîì, èìåþùèì áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå. Êàêîé çàðÿä ïðîòå÷åò ïî ýòîìó ïðîâîäíèêó? Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ñèñòåìå çà áîëüøîå âðåìÿ? Íàéäåì ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ñôåðàìè â òîò ìîìåíò, êîãäà ñ ìàëîé ñôåðû íà áîëüøóþ ïåðåòåê çàðÿä q. Ïîòåíöèàë âíóòðåííåé ñôåðû ðàâåí ïîòåíöèàëó öåíòðà: Q q -q +k +k ϕâíóòð = k . 2R 3R R Ñíàðóæè ïîëå òàêîå æå, êàê åñëè áû âåñü çàðÿä q + + q + Q = Q áûë ðàñïîëîæåí â öåíòðå, ïîýòîìó ïîòåíöèàë âíåøíåé ñôåðû ðàâåí Q ϕâíåø = k . 3R Òîãäà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ðàâíà 1 Q 2 q ∆ϕ = ϕâíóòð - ϕâíåø = k - k . 6 R 3 R Îíà ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåòåêàíèè çàðÿäà q ïî ëèíåéíîìó 1 Q - 4q 1 Q çàêîíó ∆ϕ (q) = k îò k äî 0, à ñðåäíåå 6 R 6 R 1 1 Q k . Ïîëíûé ïðîòåêçíà÷åíèå ñîñòàâëÿåò ∆ϕíà÷ = 2 12 R øèé çàðÿä ðàâåí Q . 4 Ïðè ýòîì â ñîåäèíÿþùåì ñôåðû ïðîâîäå âûäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû qïð = 1 Q Q 1 Q2 = W1 = k ◊ k . 12 R 4 48 R Òåïåðü çàçåìëÿåì ïðîâîäíèê. Ïóñòü íà çåìëþ ê íåêîòîðîìó ìîìåíòó ïåðåòåê çàðÿä Q1 . Îáîçíà÷èì çàðÿäû âíóòðåííåé è âíåøíåé ñôåð q1 è q2 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà q1 + q2 = -Q1 è k 20-36.p65 q1 q Q + q1 + q2 Q +k 2 +k =k . 3R 2R 3R R 28 Q Q è q2 = -Q1 + 4 4 çàðÿä âíóòðåííåé ñôåðû îñòàåòñÿ íåèçìåííûì è òîê ïî «âíóòðåííåìó» ñîåäèíÿþùåìó ïðîâîäó íå òå÷åò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òåïëî âûäåëÿåòñÿ â çàçåìëÿþùåì ïðîâîäíèêå. Ïî íåìó ñòåêàåò ïîëíûé çàðÿä Q1 ïîëí = Q , Q ïîòåíöèàë áîëüøîé ñôåðû ìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì îò k 3R 1 Q äî 0, ñðåäíåå çíà÷åíèå ñîñòàâëÿåò k , ïîýòîìó â 6 R çàçåìëÿþùåì ïðîâîäíèêå âûäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû q1 = - W2 = 1 Q2 k . 6 R Âñåãî â ñèñòåìå âûäåëèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû W1 + W2 = 9 Q2 k . 48 R À.Òåïëîâ Ô2134. Îáû÷íûé «ìîñòèê» ñîáðàí èç òðåõ ðåçèñòîðîâ ñîïðîòèâëåíèåì 100 Îì êàæäûé è îäíîãî ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì 20 Îì.  îäíó èç äèàãîíàëåé ìîñòèêà âêëþ÷åí àìïåðìåòð, îí ïîêàçûâàåò 0,1 À. Êàêîé òîê òå÷åò ÷åðåç áàòàðåéêó, ïîäêëþ÷åííóþ ê äðóãîé äèàãîíàëè ìîñòèêà? Àìïåðìåòð ñ÷èòàòü èäåàëüíûì. Îáîçíà÷èì òîê ÷åðåç ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì 20 Îì ÷åðåç I1 (ñì. ðèñóíîê), òîãäà ÷åðåç ïàðàëëåëüíûé åìó ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì 100 Îì I1 òå÷åò òîê I2 = , à ñóì5 ìà ýòèõ òîêîâ òå÷åò ÷åðåç áàòàðåéêó: 6 Iáàò = I1 + I2 = I1 . 5 Òîêè â îñòàâøèõñÿ äâóõ ðåçèñòîðàõ îäèíàêîâû è ðàâíû 3 I3 = I4 = I1 . 5 ×åðåç àìïåðìåòð òå÷åò òîê 2 1 IA = I1 - I4 = I1 = Iáàò . 5 3 Òàêèì îáðàçîì, òîê ÷åðåç áàòàðåþ â 3 ðàçà áîëüøå òîêà àìïåðìåòðà, ò.å. Iáàò = 3IA = 3 ◊ 0,1 A = 0,3 A . Î.Ïðîñòîâ Ô2135. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ = 100 ìêÔ ñîåäèíåí ïîñëåäîâàòåëüíî ñ êàòóøêîé èíäóêòèâíîñòüþ L = = 1 Ãí. Ê âûâîäàì ïîëó÷èâøåéñÿ öåïè ïîäêëþ÷àþò áàòàðåéêó íàïðÿæåíèåì U0 = 1 Â, è òîê â öåïè íà÷èíàåò óâåëè÷èâàòüñÿ.  òîò ìîìåíò, êîãäà òîê ìàêñèìàëåí, ïàðàëëåëüíî êàòóøêå ïîäêëþ÷àþò ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 10 êÎì. Êàêîé çàðÿä 29.07.09, 17:49 ÇÀÄÀ×ÍÈÊ ' «ÊÂÀÍÒÀ» ïðîòå÷åò ÷åðåç ðåçèñòîð è ñêîëüêî òåïëà â íåì âûäåëèòñÿ çà áîëüøîé èíòåðâàë âðåìåíè? Ýëåìåíòû öåïè ñ÷èòàòü èäåàëüíûìè. Ñíà÷àëà íàéäåì ìàêñèìàëüíûé òîê ÷åðåç êàòóøêó îí ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó íóëåâîé ÝÄÑ èíäóêöèè â êàòóøêå è íàïðÿæåíèþ êîíäåíñàòîðà U0 . Ðàáîòà áàòàðåè ê ýòîìó ìîìåíòó áóäåò ðàâíà Aáàò = U0 ◊ CU0 = CU02 . Òîãäà áàëàíñ ýíåðãèé áóäåò èìåòü âèä 1 1 2 CU02 = CU02 + LImax , 2 2 îòêóäà C Imax = U0 . L Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà, êîãäà ïàðàëëåëüíî êàòóøêå ïîäêëþ÷àþò ðåçèñòîð (ñì. ðèñóíîê), áóäåò âûïîëíÿòü- I1, I2 , îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ñäâèãàìè ïî ôàçå ϕ , à âåëè÷èíû èõ îäèíàêîâû: I1 = I2 = … = IL . Ïðè ìàëîì ϕ IC = IL ◊ ϕ . Äëÿ ÷àñòîòû ω ìîæíî çàïèñàòü UL = ωL ◊ IL , UC = 1 ◊ IC . ωC Òîãäà ϕ = ω LC , ñÿ ðàâåíñòâî ∆I L - L L = RIR , èëè ∆QR = - ∆IL . ∆t R Ñóììèðóÿ, ïîëó÷èì ïðîòåêøèé ïî ðåçèñòîðó çàðÿä: QR = LImax = U0 R LC = 1 ìêÊë . R Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿþùååñÿ â ðåçèñòîðå, ïðîùå âñåãî íàéòè èç áàëàíñà ýíåðãèé: ÷åðåç áîëüøîå âðåìÿ òîê ÷åðåç êàòóøêó ñòàíåò íóëåâûì, à íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà áóäåò ðàâíî U0 . Òîãäà 1 Aáàò = Wòåïë + CU02 , è 2 1 1 Wòåïë = CU02 - CU02 = CU02 = 50 ìêÄæ . 2 2 À.Ïîâòîðîâ Ô2136. Äëÿ ïåðåäà÷è íå î÷åíü âûñîêîñêîðîñòíîé èíôîðìàöèè èñïîëüçóåòñÿ âèòàÿ ïàðà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ òîíêèõ èçîëèðîâàííûõ ïðîâîäîâ áîëüøîé äëèíû. Èíäóêòèâíîñòü ïðîâîäîâ â ðàñ÷åòå íà 1 ñàíòèìåòð äëèíû ïàðû ðàâíà 1 ìêÃí, åìêîñòü ìåæäó ïðîâîäàìè ñîñòàâëÿåò 1 ïÔ íà ñàíòèìåòð. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ áåæèò ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà âäîëü òàêîé ïàðû? Íàðèñóåì âèòóþ ïàðó â âèäå ýêâèâàëåíòíîé áåñêîíå÷íîé (èëè î÷åíü äëèííîé) öåïè, ñîñòîÿùåé èç îäèíàêîâûõ LC-çâåíüåâ (ñì. ðèñóíîê). Ïóñòü êàæäîå çâåíî ñîîòâåòñòâóåò êóñî÷êó äëèíîé ∆l = 1ñì , ïîòîì ìû ïðîâåðèì ïðàâèëüíî ëè ìû «ðàçðåçàëè» ïðîâîäà, íå ñëèøêîì ëè âåëèê âûáðàííûé íàìè êóñî÷åê. Òîêè 20-36.p65 29 è íàïðÿæåíèå íà âûõîäå çâåíà ñ íîìåðîì n çàïèøåòñÿ òàê: ( ) Un = U0 cos (ωt - nϕ) = U0 cos ω t - n LC , ò.å. îíî çàïàçäûâàåò íà âðåìÿ τ = n LC . Ïî ýòîìó çàïàçäûâàíèþ ìû è îïðåäåëèì ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû: v= ∆l 1 ◊ 10 -2 ì = = 1 ◊ 107 ì ñ . -6 -12 τ 1 ◊ 10 ◊ 1 ◊ 10 c Òåïåðü ïðîâåðêà. Ñäâèã ïî ôàçå äëÿ îäíîãî çâåíà äëÿ «óìåðåííîé» ÷àñòîòû ω = 1 ◊ 106 ðàä ñ ñîñòàâèò ϕ = 10 -3 ðàä 1 . Åñëè «ðàçìåðû» çâåíà óìåíüøèòü åùå ñêîðîñòü âîëíû áóäåò òîé æå. Ç.Ðàôàèëîâ Ô2137. Òîíêàÿ ïëîñêîâîãíóòàÿ ðàññåèâàþùàÿ ëèíçà ïðèæàòà ïëîñêîñòüþ ê òîðöó öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêè.  òðóáêó âñòàâëåíà ïëîñêîâûïóêëàÿ ñîáèðàþùàÿ ëèíçà òàê, ÷òî ãëàâíûå îïòè÷åñêèå îñè ëèíç ñîâïàäàþò ñ îñüþ òðóáêè, à ñîáèðàþùàÿ ëèíçà îáðàùåíà ê ðàññåèâàþùåé ïëîñêîé ñòîðîíîé. Ñîáèðàþùóþ ëèíçó ìîæíî ïåðåìåùàòü âäîëü îñè òðóáêè. Åñëè íà ïåðâóþ (ðàññåèâàþùóþ) ëèíçó âäîëü îñè íàïðàâèòü óçêèé ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà, òî ïðè íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè ìåæäó ëèíçàìè èç ñèñòåìû âûéäåò òàêæå ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê. Åñëè æå ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ëèíçàìè çàïîëíèòü æèäêîñòüþ, òî äëÿ 29.07.09, 17:49 ! ÊÂÀÍT 2009/¹4 ïîëó÷åíèÿ íà âûõîäå ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíçàìè íåîáõîäèìî óâåëè÷èòü â 1,5 ðàçà. Íàéäèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè. Ðàññìîòðèì õîä îäíîãî èç ïàðàêñèàëüíûõ (ò.å. ïðèîñåâûõ) ëó÷åé â äàííîé îïòè÷åñêîé ñèñòåìå (ñì. ðèñóíîê). Ïîêà ìåæäó ëèíçàìè â òðóáêå áûë âîçäóõ, ïðè ïðåëîìëåíèè ýòîãî ëó÷à íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè ïëîñêîâîãíóòîé ëèíçû âûïîëíÿëîñü ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå, ñïðàâåäëèâîå äëÿ ìàëûõ óãëîâ ïàäåíèÿ α (íà ðèñóíêå ýòîò óãîë íå ïîêàçàí îí ïðàêòè÷åñêè ðàâåí íóëþ) è ïðåëîìëåíèÿ β : α 1 = β nñò , ãäå nñò ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà ýòîé ëèíçû. Ïîñëå çàïîëíåíèÿ òðóáêè æèäêîñòüþ óãîë ïðåëîìëåíèÿ èçìåíèëñÿ, òàê ÷òî òåïåðü β n α = æ , îòêóäà næ = . βæ βæ nñò Óãîë ïàäåíèÿ ëó÷à íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü ïëîñêîâû- ïóêëîé ëèíçû ïîñëå çàïîëíåíèÿ òðóáêè æèäêîñòüþ òàêæå óìåíüøèëñÿ îò β äî βæ . Äëÿ òîãî ÷òîáû äàííûé ëó÷ ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â ýòîé ëèíçå îñòàëñÿ ïàðàëëåëüíûì ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû, îí äîëæåí âíóòðè ëèíçû èäòè ïîä òåì æå óãëîì ê åå âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè, ÷òî è äî çàïîëíåíèÿ òðóáêè æèäêîñòüþ. Ýòî âîçìîæíî, òîëüêî åñëè ëó÷ ïîïàë íà ëèíçó íà òîì æå ðàññòîÿíèè îò îñè, ÷òî è äî çàïîëíåíèÿ òðóáêè æèäêîñòüþ. Ïîñêîëüêó næ > 1 è βæ < β , äëÿ âûïîëíåíèÿ óêàçàííîãî óñëîâèÿ ïëîñêîâûïóêëóþ ëèíçó íàäî îòîäâèãàòü îò ïëîñêîâîãíóòîé íà Læ - L , ïðè÷åì ïî óñëîâèþ Læ L = 1,5 . Ïóñòü h òî ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ëó÷ ñìåùàåòñÿ, ïðîõîäÿ ìåæäó ëèíçàìè, îò îñè ñèñòåìû. Òîãäà h h . β = , à βæ = L L æ Òàêèì îáðàçîì, L β næ = = æ = 1,5 . βæ L Â.Ïîãîæåâ ÍÀÌ ÏÈØÓÒ Íàáëþäåíèÿ иìåðà è ýôôåêò Äîïëåðà  1675 ãîäó äàòñêèé àñòðîíîì Îëå иìåð, ïðîâîäÿ ñåðèþ íàáëþäåíèé íàä çàòìåíèÿìè ñïóòíèêîâ Þïèòåðà, îáíàðóæèë, ÷òî ïåðèîä îáðàùåíèÿ îäíîãî èç ñïóòíèêîâ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ. Àíàëèçèðóÿ ïðè÷èíû ýòîãî çàãàäî÷íîãî ÿâëåíèÿ, ó÷åíûé ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òî îíî íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñâåò äâèæåòñÿ îò Þïèòåðà äî Çåìëè ñ íåêîòîðîé îïðåäåëåííîé ñêîðîñòüþ, à íå ìãíîâåííî, ôàêò â òî âðåìÿ äàëåêî íå î÷åâèäíûé. Îí äàæå ñóìåë îïðåäåëèòü ýòó ñêîðîñòü, èñõîäÿ èç ðåçóëüòàòîâ ñâîèõ íàáëþäåíèé. Âû÷èñëåííàÿ èì ñêîðîñòü îêàçàëàñü ðàâíîé 215000 êì/ñ. Íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî êàæóùååñÿ èçìåíåíèå ÷àñòîòû îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà âîêðóã ïëàíåòû, êîòîðîå íàáëþäàë иìåð, ÿâëÿåòñÿ ñâîåîáðàçíûì àíàëîãîì ýôôåêòà Äîïëåðà èçìåíåíèÿ âîñïðèíèìàåìîé ÷àñòîòû âîëíû (ñâåòîâîé èëè àêóñòè÷åñêîé) â çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòè ïðèáëèæåíèÿ èëè óäàëåíèÿ èñòî÷íèêà âîëíû îò ïðèåìíèêà. Âåäü îáà ÿâëåíèÿ è âðàùåíèå ñïóòíèêà âîêðóã ïëàíåòû, è ôîðìèðîâàíèå âîëíû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïåðèîäè÷åñêèå ïðîöåññû. Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî ñðàâíåíèå ýòèõ ÿâëåíèé ìîæåò ïîìî÷ü ëó÷øå ðàçîáðàòüñÿ â íèõ îáîèõ. Ýôôåêò Äîïëåðà ïîäðîáíî îïèñàí âî ìíîãèõ êíèãàõ è ó÷åáíèêàõ, à íåäàâíî åìó áûëà ïîñâÿùåíà îáñòîÿòåëüíàÿ ñòàòüÿ â «Êâàíòå» (ñì. ñòàòüþ Ñ.Äâîðÿíèíîâà «Ëåãåíäà îá èñêàæåíèè ñèãíàëà» â «Êâàíòå» ¹1 çà ýòîò ãîä). Ïîýòîìó, ÷òîáû íå ïîâòîðÿòüñÿ, ìû áóäåì ñ÷èòàòü ýòîò ýôôåêò èçâåñòíûì ÷èòàòåëþ è ðàññêàçûâàòü î íåì íå áóäåì. Î.иìåð íàáëþäàë äâèæåíèå îäíîãî èç ñïóòíèêîâ Þïèòåðà (Èî), êîòîðûé ïåðèîäè÷åñêè èñ÷åçàë èç ïîëÿ çðåíèÿ, ñêðûâàÿñü çà ïëàíåòîé. Êîãäà ýòîò ñïóòíèê âûõîäèë èç òåíè, íàáëþäàëàñü ñâîåîáðàçíàÿ âñïûøêà ñâåòà. Ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó âñïûøêàìè иìåð ïåðâîíà÷àëüíî ñ÷èòàë ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà âîêðóã ïëàíåòû. Íî ïîòîì îí îáðàòèë âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìåíè óâåëè÷èâàåòñÿ, êîãäà Çåìëÿ è Þïèòåð óäàëÿþòñÿ äðóã îò äðóãà, è óìåíüøàåòñÿ, êîãäà ýòè ïëàíåòû ñáëèæàþòñÿ. Òàêàÿ 20-36.p65 30 ñâÿçü ìåæäó âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì Çåìëè è Þïèòåðà è ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ åãî ñïóòíèêà êàçàëàñü íåïîñòèæèìîé. Íî иìåð ðàçúÿñíèë ýòî óäèâèòåëüíîå ÿâëåíèå, ïîëàãàÿ, ÷òî ñâåò ïåðåìåùàåòñÿ íå ìãíîâåííî, à ñ êàêîé-òî îïðåäåëåííîé ñêîðîñòüþ. Äåéñòâèòåëüíî, âî âðåìÿ ñáëèæåíèÿ ïëàíåò ñâåò îò âòîðîé èç äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ âñïûøåê ïðîõîäèò ìåíüøåå ðàññòîÿíèå äî âñòðå÷è ñ Çåìëåé, ÷åì îò ïåðâîé, è äëÿ çåìíîãî íàáëþäàòåëÿ ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó âñïûøêàìè óìåíüøàåòñÿ. À êîãäà ïëàíåòû óäàëÿþòñÿ äðóã îò äðóãà, ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìåíè óâåëè÷èâàåòñÿ.  ðåçóëüòàòå ñîîòâåòñòâåííî óâåëè÷èâàåòñÿ èëè óìåíüøàåòñÿ íàáëþäàåìàÿ ÷àñòîòà âñïûøåê. Ïîÿñíèì íàøè ðàññóæäåíèÿ ñ ïîìîùüþ ðèñóíêà. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïëàíåòû äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó èëè óäàëÿþòñÿ äðóã îò äðóãà âäîëü îäíîé ïðÿìîé. Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè Ò ñïóòíèê âûõîäèò èç òåíè Þïèòåðà, íàõîäÿùåãîñÿ íà ðàññòîÿíèè ÇÞ1 îò Çåìëè. Íàáëþäàòåëü íà Çåìëå óâèäèò åãî â ìîìåíò âðåìåíè T + t1 , ãäå t1 âðåìÿ, çà êîòîðîå ñâåò ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå ÇÞ1 .  ìîìåíò âðåìåíè T + τ , ãäå τ ïåðèîä îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà âîêðóã Þïèòåðà, ñïóòíèê âíîâü âûéäåò èç òåíè Þïèòåðà, ïðèáëèæàþùåãîñÿ ê Çåìëå è íàõîäÿùåãîñÿ òåïåðü íà ðàññòîÿíèè ÇÞ2 îò Çåìëè. Íàáëþäàòåëü ñ Çåìëè óâèäèò ñïóòíèê â ìîìåíò âðåìåíè T + τ + t2 , ãäå t2 âðåìÿ, çà êîòîðîå ñâåò ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå ÇÞ2 . Òàê êàê t2 < t1 , òî T + τ + t2 îòëè÷àåòñÿ îò T + t1 ìåíüøå ÷åì íà τ . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íàáëþäàòåëÿ ñ Çåìëè âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ âûõîäàìè ñïóòíèêà Þïèòåðà èç òåíè áóäåò ìåíüøå τ . À êîãäà ïëàíåòû óäàëÿþòñÿ äðóã îò äðóãà, äëÿ çåìíîãî íàáëþäàòåëÿ âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ âûõîäàìè ñïóòíèêà Þïèòåðà èç òåíè áóäåò áîëüøå τ . Ïîëíàÿ àíàëîãèÿ ñ ýôôåêòîì Äîïëåðà! È.Ãîëüäôàèí 29.07.09, 17:49 ÊÌØ Çàäà÷è 1. Ðåøèòå ðåáóñ ÄÅÖË = ÌÀË + ÄÀ + ÓÄÀË, åñëè ÄÅÖË äîëæåí áûòü êàê ìîæíî ìåíüøå. (Ðàçíûìè áóêâàìè îáîçíà÷åíû ðàçíûå öèôðû, à îäèíàêîâûìè îäèíàêîâûå.) Ì.Àõìåäæàíîâà 4.  óãëàõ øàõìàòíîé äîñêè ñòîÿò ÷åòûðå ëàäüè. Ëàäüÿ êàæäûì ñâîèì õîäîì ïåðåìåùàåòñÿ (ïî ãîðèçîíòàëè èëè âåðòèêàëè) äî óïîðà â äðóãóþ ëàäüþ èëè â êðàé äîñêè. Ñîáåðèòå âñå ëàäüè â ÷åòûðåõ öåíòðàëüíûõ êëåòêàõ. À.Øàïîâàëîâ 2. Áàðîí Ìþíõãàóçåí ãîâîðèò, ÷òî ó íåãî åñòü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî-ïàëèíäðîì (îíî ÷èòàåòñÿ îäèíàêîâî ñëåâà íàïðàâî è ñïðàâà íàëåâî). Íàïèñàâ åãî íà áóìàæíîé ëåíòå, áàðîí ñäåëàë íåñêîëüêî ðàçðåçîâ ìåæäó öèôðàìè è ïîëó÷èë íà êóñî÷êàõ ëåíòû ÷èñëà 1, 2, , N (êàæäîå ðîâíî ïî îäíîìó ðàçó). Íå õâàñòàåò ëè áàðîí? À.Øàïîâàëîâ 5. Åñëè ïðÿìîóãîëüíèê ñ âûðåçàííûì â íåì îòâåðñòèåì íåïðàâèëüíîé ôîðìû ïîäâåñèòü çà âåðøèíó A, ñòîðîíà AB îáðàçóåò ñ âåðòèêàëüþ óãîë 30°, à åñëè çà âåðøèíó B óãîë 60°. Êàêîé óãîë ñ âåðòèêàëüþ îáðàçóåò ñòîðîíà AB, åñëè ïðÿìîóãîëüíèê ïîäâåñèòü çà ñåðåäèíó ýòîé ñòîðîíû? Å.Ñîêîëîâ 3. Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé Äî ïîâûøåíèÿ öåí ÷àé ñ äâóìÿ ïðÿíèêàìè ñòîèë 1 ðóáëü. Êîãäà âñå öåíû âûðîñëè (íà îäèíàêîâîå ÷èñëî ïðîöåíòîâ), ðóáëÿ ñòàëî õâàòàòü òîëüêî íà ÷àé ñ îäíèì ïðÿíèêîì. Ïîòîì öåíû îïÿòü âûðîñëè, ïðè÷åì íà ñòîëüêî æå ïðîöåíòîâ, êàê è â ïåðâûé ðàç. Õâàòàëî ëè ïîñëå ýòîãî ðóáëÿ õîòÿ áû íà ÷àé? È.Àêóëè÷ Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 8 êëàññîâ. 20-36.p65 31 29.07.09, 17:36 Ïîä äàííûì óãëîì Âîêðóã ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü (ðèñ. 1). Åå öåíòð ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ïðÿìîóãîëüíèêà, à äèàìåòð ðàâåí åãî äèàãîíàëè. Çàôèêñèðîâàâ îäíó èç äèàãîíàëåé, ïðèõîäèì ê îäíîé èç ñàìûõ ïðîñòûõ è êðàñèâûõ òåîðåì ãåîìåòðèè: äëèíà ìåäèàíû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, ðàâíà ïîëîâèíå äëèíû ãèÐèñ. 1 ïîòåíóçû (ðèñ. 2). Äðóãèìè ñëîâàìè, äàííûé îòðåçîê âèäåí ïîä ïðÿìûì óãëîì èç òî÷åê îêðóæíîñòè, ïîñòðîåííîé íà íåì, êàê íà äèàìåòðå (ðèñ. 3). Îòðåçîê âèäåí ïîä îñòðûì óãëîì èç òî÷åê, ëåæàùèõ âíå êðóãà, è ïîä òóïûì óãëîì èç òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðè Ðèñ. 2 êðóãà. Âîò, íàïðèìåð, èç êàêèõ òî÷åê ïëîñêîñòè îòðåçîê AC âèäåí ïîä óãëîì 30 ? Òåîðåìà î âïèñàííîì óãëå (ðèñ. 4) ïîçâîëÿåò íàéòè îòâåò îáúåäèíåíèå äâóõ äóã, êîòîðîå ïîõîæå íà óøè ×åáóðàøêè (ðèñ. 5). Ïîñòàâèì òîò æå ñàìûé âîïðîñ äëÿ òî÷åê ïðîÐèñ. 3 ñòðàíñòâà. Îòâåò ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî: äëÿ äàííûõ òî÷åê A è C óãîë AXC ðàâåí 30 ãðàäóñîâ â òî÷íîñòè äëÿ òî÷åê X ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè S, ïîëó÷åííîé âðàùåíèåì «óøåé ×åáóðàøêè» âîêðóã îñè AC. Ýòî ñîîáðàæåíèå ïîçâîëÿåò ðåøàòü âåñüìà òðóäíûå çàäà÷è, âðîäå òàêîé: «Äàíà ïèðàìèäà ABCD, â êîòîðîé Ðèñ. 4 20-36.p65 32 Ðèñ. 5 Ðèñ. 6 Ðèñ. 7 29.07.09, 17:37 äîëæíî èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå â âèäå ax2 − kx + (km − n ) = 0 è âû÷èñëÿÿ äèñêðèìèíàíò D = k2 − 4a (km − n ) , Ðèñ. 8 ðåáðî BD ïåðïåíäèêóëÿðíî ãðàíè ABC. Îáÿçàòåëüíî ëè óãîë ABC áîëüøå óãëà ADC?» Íà òàêîé âîïðîñ áîëüøèíñòâî ëþäåé, íå çàäóìûâàÿñü, îòâåòÿò ïîëîæèòåëüíî, òàê êàê èç íàãëÿäíûõ ñîîáðàæåíèé êàæåòñÿ, ÷òî ïðîåêöèÿ óãëà âñåãäà èìååò ìåðó, áîëüøóþ ìåðû èñõîäíîãî. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî íå òàê! Âîò èäåÿ ðåøåíèÿ. Ñðåäè òî÷åê ïëîñêîñòè, èç êîòîðûõ îòðåçîê AÑ âèäåí ïîä óãëîì 30 ãðàäóñîâ, íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà B, ÷òî óãîë CAB áîëüøå 120° (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó). Ïåðïåíäèêóëÿð, âîññòàâëåííûé èç òî÷êè B ê ïëîñêîñòè ABC, èìååò ñ ïîâåðõíîñòüþ S îáùèå òî÷êè, ïîìèìî òî÷êè B. Îáîçíà÷èâ îäíó èç òàêèõ òî÷åê ÷åðåç D, ïîëó÷àåì ïðèìåð ïèðàìèäû ABCD, â êîòîðîé ðåáðî BD ïåðïåíäèêóëÿðíî ãðàíè ABC, à óãëû ABC è ADC îáà ðàâíû ïî 30 ãðàäóñîâ. Íî âåðíåìñÿ íà ïëîñêîñòü. Êàê íàäî äâèãàòüñÿ, ÷òîáû íåêîòîðàÿ äàííàÿ ôèãóðà íå îáÿçàòåëüíî îòðåçîê áûëà âèäíà ïîä äàííûì óãëîì? Äëÿ ìíîãîóãîëüíèêà îòâåò, â ñèëó òåîðåìû î âïèñàííîì óãëå, ñîñòîèò èç äóã îêðóæíîñòåé: íà ðèñóíêàõ 68 èçîáðàæåíû îòâåòû äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, ïðÿìîóãîëüíîãî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà è êâàäðàòà. Èç êàêèõ òî÷åê âèäíà ïîä ïðÿìûì óãëîì ïàðàáîëà, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì y = ax 2 ? Îòâåò âåñüìà íåîæèäàííûé (ðèñ. 9): èç òî÷åê ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé! ×òîáû ýòî äîêàçàòü, ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó P (m; n ) ïëîñêîñòè. Âñåâîçìîæíûå íåâåðòèêàëüíûå ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ýòó òî÷êó, çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿìè âèäà y = k (x − m) + n , ãäå k óãëîâîé êîýôôèöèåíò. ×òîáû òàêàÿ ïðÿìàÿ êàñàëàñü ïàðàáîëû, óðàâíåíèå ëîì èç òî÷åê îêðóæíîñòè ðàäèóñà a2 + b2 ñ Ðèñ. 10 öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ. 10). Ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â óæå óïîìÿíóòîé êíèãå, à ïîêà ïîïûòàéòåñü ïðèäóìàòü àëãåáðàè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî. À. Ñïèâàê ax2 = k ( x − m ) + n Ðèñ. 9 20-36.p65 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå k2 − 4akm + 4an = 0 . ×òîáû ïàðàáîëà áûëà âèäíà èç òî÷êè P (m; n ) ïîä ïðÿìûì óãëîì, ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå äîëæíî èìåòü äâà ðåøåíèÿ k1 è k2 , ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ðàâíî 1. Ïîñêîëüêó â ñèëó òåîðåìû Âèåòà ïðîèçâåäåíèå êîðíåé ðàâíî 4an, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó 4an = 1, 1 îòêóäà n = . Êàê âèäíî, êîîðäèíàòà n ôèêñèðî4a âàíà, à m ìîæåò áûòü ëþáûì ÷èñëîì. Ýòî êàê ðàç è îçíà÷àåò, ÷òî âñå òàêèå òî÷êè P ðàñïîëîæåíû íà ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþùåé îñü îðäèíàò â 1ˆ Ê òî÷êå Á 0; ˜ . Ýòà ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ äèðåêòðèË 4a ¯ ñîé ïàðàáîëû. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïàðàáîëà ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äèðåêòðèñû è ôèêñèðîâàííîé òî÷êè, íå ëåæàùåé íà äèðåêòðèñå (ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ ôîêóñîì ïàðàáîëû). Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæíî ãåîìåòðè÷åñêè âûâåñòè, ÷òî èç òî÷åê äèðåêòðèñû ïàðàáîëà âèäíà ïîä ïðÿìûì óãëîì, à êðîìå òîãî, âñå îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè êàñàíèÿ ñòîðîí ïðÿìîãî óãëà ñ ïàðàáîëîé, ïðîõîäÿò ÷åðåç åå ôîêóñ (òî÷êà F íà ðèñóíêå 9). Ïîäðîáíåå ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå Â.Áîëòÿíñêîãî «Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà, ãèïåðáîëû è ïàðàáîëû» («Êâàíò» ¹ 12 çà 1975 ã.) èëè â êíèãå À.Àêîïÿíà è À.Çàñëàâñêîãî «Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà» (Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2007). À èç êàêèõ òî÷åê ïëîñêîñòè äàííàÿ îêðóæíîñòü âèäíà ïîä äàííûì óãëîì? Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî îòâåòîì áóäåò êîíöåíòðè÷åñêàÿ åé îêðóæíîñòü. Êðàñèâ îòâåò è äëÿ ýëëèïñà. Îêàçûâàåòñÿ, ýëëèïñ, çàäàííûé óðàâx 2 y2 + =1, íåíèåì a 2 b2 âèäåí ïîä ïðÿìûì óã- 33 29.07.09, 17:37 !" ÊÂÀÍT 2009/¹4 Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 68» Ìû íà÷èíàåì î÷åðåäíîé êîíêóðñ ïî ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ó÷àùèõñÿ 68 êëàññîâ. Ðåøåíèÿ çàäà÷ âûñûëàéòå â òå÷åíèå ìåñÿöà ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» èëè ïî ýëåêòðîííîìó àäðåñó: math@kvant.info (ñ ïîìåòêîé «Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 68»). Íå çàáóäüòå óêàçàòü èìÿ, êëàññ è äîìàøíèé àäðåñ. Êàê è ïðåæäå, ìû ïðèâåòñòâóåì ó÷àñòèå â êîíêóðñå íå òîëüêî îòäåëüíûõ øêîëüíèêîâ, íî è ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ. Ðóêîâîäèòåëåé êðóæêîâ ïðîñèì óêàçàòü ýëåêòðîííûé àäðåñ èëè êîíòàêòíûé òåëåôîí. Ïî òðàäèöèè, êðóæêè-ïîáåäèòåëè çàî÷íîãî êîíêóðñà ïðèãëàøàþòñÿ íà ôèíàëüíûé î÷íûé òóðíèð. 1. Øàõìàòíàÿ ôèãóðà, êîòîðàÿ óìååò õîäèòü è êàê ëàäüÿ, è êàê êîíü, íàçûâàåòñÿ êàíöëåðîì, à ôèãóðà, ñî÷åòàþùàÿ âîçìîæíîñòè ôåðçÿ è êîíÿ, ìàãàðàäæåé. Ðàññòàâüòå íà øàõìàòíîé äîñêå 8 × 8 ÷åòûðå êàíöëåðà è ÷åòûðå ìàãàðàäæè òàê, ÷òîáû íè îäíà èç ôèãóð íå áèëà íèêàêóþ äðóãóþ. À.Ãðèáàëêî 2. ×èñëà A è B íàçûâàþòñÿ äðóæåñòâåííûìè, åñëè ñóììà âñåõ äåëèòåëåé ÷èñëà A, êðîìå ñàìîãî A, ðàâíà B, à ñóììà âñåõ äåëèòåëåé ÷èñëà B, êðîìå ñàìîãî B, ðàâíà A. (Íàïðèìåð, 220 è 284 äðóæåñòâåííûå.) Âçÿëè äâà äðóæåñòâåííûõ ÷èñëà A è B. Çàòåì íàøëè ñóììó ÷èñåë, îáðàòíûõ ê äåëèòåëÿì ÷èñëà A, âû÷ëè åäèíèöó è ïîëó÷èëè ðåçóëüòàò α. Ïðîäåëàâ òî æå ñàìîå äëÿ ÷èñëà B, ïîëó÷èëè ðåçóëüòàò β. ×åìó ðàâíî ïðîèçâåäåíèå αβ ? Ã.Ãàëüïåðèí 3.  ñòðàíå 100 ãîðîäîâ. Íåêîòîðûå ïàðû ãîðîäîâ ñîåäèíåíû àâòîìîáèëüíîé äîðîãîé, è ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ãîðîäàìè åñòü àâèàöèîííîå ñîîáùåíèå. Èçâåñòíî, ÷òî èç êàæäîãî ãîðîäà âûõîäèò íå÷åòíîå ÷èñëî äîðîã. Ïóòåøåñòâåííèê õî÷åò ïðîåõàòü ïî êàæäîé äîðîãå ðîâíî îäèí ðàç (â îäíîì èç äâóõ íàïðàâëåíèé). Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî àâèàïåðåëåòîâ åìó äëÿ ýòîãî ïðèäåòñÿ ñäåëàòü? Ï.Êîæåâíèêîâ 4. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî a íàçîâåì óþòíûì, åñëè îäíî èç ÷èñåë a 1 è a + 1 ïðîñòîå, à äðóãîå ñîñòàâíîå. Äîêàæèòå, ÷òî óþòíûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî ìíîãî. Ä.Øâåöîâ 5.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëü AC ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà BCD, ïðè ýòîì óãîë BCD ðàâåí 120° è óãîë BAD ðàâåí 30°. Äîêàæèòå, ÷òî ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà BCD ðàâåí äëèíå äèàãîíàëè AC. Â.Ïðîèçâîëîâ Îá îäíîé õîðîøî çàáûòîé ñòàðîé çàäà÷å Â.ÄÎÖÅÍÊÎ, Ê.ØÐÀÌΠÅõàëè ìåäâåäè Íà âåëîñèïåäå, À çà íèìè ðàêè Íà õðîìîé ñîáàêå, À çà íèìè êîò Çàäîì íàïåðåä Ê.×óêîâñêèé Ââåäåíèå Âåñíîé 2005 ãîäà àâòîðû ýòîé ñòàòüè ïîäáèðàëè çàäà÷è äëÿ âñòóïèòåëüíûõ ñîáåñåäîâàíèé â 9 ìàòåìàòè÷åñêèé êëàññ 57-é øêîëû ãîðîäà Ìîñêâû. Íà îäíî èç ïîñëåäíèõ ñîáåñåäîâàíèé áûëî ðåøåíî âûáðàòü íåñêîëüêî ìàëîèçâåñòíûõ (õîòÿ áû âîñüìèêëàññíèêàì) äîâîëüíî ñîäåðæàòåëüíûõ çàäà÷, ðåøåíèå êàæäîé èç êîòîðûõ áûëî áû ïî òîé èëè èíîé ïðè÷èíå 20-36.p65 34 ñåðüåçíûì àðãóìåíòîì â ïîëüçó òîãî, ÷òî ðåøèâøèé åå øêîëüíèê ñìîæåò ó÷èòüñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîì êëàññå. Âîò óñëîâèå îäíîé èç íèõ: Ðàññòîÿíèå ìåæäó ãîðîäàìè À è Á ðàâíî 30 êì. Òðè òóðèñòà õîòÿò äîáðàòüñÿ èç ãîðîäà À â ãîðîä Á. Ó íèõ åñòü ìîòîöèêë, íà êîòîðîì êàæäûé èç íèõ ìîæåò åõàòü ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷, è âåëîñèïåä, íà êîòîðîì êàæäûé èç íèõ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ 15 êì/÷. Ïåøêîì êàæäûé èç íèõ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ 6 êì/÷. Ëþáîå èç ñðåäñòâ ïåðåäâèæåíèÿ ìîæíî îñòàâèòü íà äîðîãå, ÷òîáû êòî-òî èç îñòàâøèõñÿ òóðèñòîâ èì âîñïîëüçîâàëñÿ. à) Äîêàæèòå, ÷òî òóðèñòàì íå óäàñòñÿ îðãàíèçîâàòü ïóòåøåñòâèå òàê, ÷òî ïðèáûâøèé ïîñëåäíèì çàòðàòèò íà ïóòü ìåíåå 2,5 ÷àñîâ. 29.07.09, 17:37 Ê á) Îáúÿñíèòå, êàê òóðèñòàì íóæíî äåéñòâîâàòü, ÷òîáû ïðèáûâøèé ïîñëåäíèì çàòðàòèë ðîâíî 2,5 ÷àñà. (Êàê îáíàðóæèëîñü âïîñëåäñòâèè, ýòà çàäà÷à áûëà ðàíåå íà îäíîé èç Ñîðîñîâñêèõ îëèìïèàä, â êîòîðîé àâòîðû ñòàòüè ó÷àñòâîâàëè, áóäó÷è øêîëüíèêàìè, è, ñóäÿ ïî âñåìó, îíà çàïîìíèëàñü èì èìåííî îòòóäà.) Ïóíêò à) ýòîé çàäà÷è îêàçàëñÿ äîâîëüíî òðóäíûì. (Ïîïðîáóéòå ðåøèòü åãî, íå ÷èòàÿ ñòàòüþ äàëüøå íî ïîìíèòå, ÷òî òðåáóåòñÿ èìåííî äîêàçàòåëüñòâî, à íå òîëüêî «èíòóèòèâíî ÿñíîå» ðàññóæäåíèå! Çàìåòèì, ÷òî íå î÷åâèäíî, ñêàæåì, ÷òî âñå òðàíñïîðòíûå ñðåäñòâà äîëæíû îêàçàòüñÿ â ãîðîäå Á è ÷òî íåò ñìûñëà åçäèòü â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè.)  ÷àñòíîñòè, ðåøåíèå, êîòîðîå àâòîðû èìåëè â âèäó â ìîìåíò ñîñòàâëåíèÿ âàðèàíòà ñîáåñåäîâàíèÿ, áûëî äîâîëüíî íåòî÷íûì (êàê è ðåøåíèå, îïóáëèêîâàííîå â ñáîðíèêå çàäà÷ Ñîðîñîâñêîé îëèìïèàäû). Íàîáîðîò, ïóíêò á) äîïóñêàåò ìíîãî ðàçíûõ ðåøåíèé, â òîì ÷èñëå è äîâîëüíî «ëîáîâûõ». Ìû ïðåäëîæèëè åå íà Çàî÷íîì êîíêóðñå ïî ìàòåìàòèêå äëÿ 68 êëàññîâ îñåíüþ 2005 ãîäà, è åå ðåøèëè 65 ÷åëîâåê èç 307 ó÷àñòâîâàâøèõ. Çäåñü ìû õîòèì îáñóäèòü ýòó çàäà÷ó è ïðåäëîæèòü ÷èòàòåëÿì íåñêîëüêî ñìåæíûõ èññëåäîâàòåëüñêèõ âîïðîñîâ. Êîíñòðóêöèÿ Çàìåòèì, âî-ïåðâûõ, ÷òî òðåáóåìóþ êîíñòðóêöèþ äîâîëüíî ëåãêî îáíàðóæèòü ñîâåðøåííî «ëîáîâûì» ñïîñîáîì. À èìåííî, íóæíî íàçíà÷èòü «ñõåìó äâèæåíèÿ» (ñêîëüêî ðàç è â êàêîì ïîðÿäêå ïðîèñõîäÿò îáìåíû òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ), ïîñëå ÷åãî ñîñòàâèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé è ðåøèòü åå. ( äåéñòâèòåëüíîñòè íóæíî åùå ïðîâåðèòü, ÷òî êàæäîå òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî áóäåò îêàçûâàòüñÿ â òî÷êàõ îáìåíà íå ïîçæå, ÷åì äîëæíî ïîêèíóòü ýòè òî÷êè.) Óïðàæíåíèå 1. Ïðîâåðüòå, ÷òî ñëåäóþùàÿ ñõåìà äâèæåíèÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà: i ïåðâûé òóðèñò åäåò x êèëîìåòðîâ íà ìîòîöèêëå, ïîòîì èäåò y êèëîìåòðîâ ïåøêîì, à îñòàòîê ïóòè äî Á åäåò âåëîñèïåäå; i âòîðîé òóðèñò åäåò x + y êèëîìåòðîâ íà âåëîñèïåäå, îñòàâëÿåò åãî ïåðâîìó è èäåò îñòàòîê ïóòè ïåøêîì; i òðåòèé òóðèñò èäåò x êèëîìåòðîâ ïåøêîì, à îñòàòîê ïóòè åäåò íà ìîòîöèêëå, îñòàâëåííîì ïåðâûì. Äîâîëüíî èçÿùíóþ ñõåìó äâèæåíèÿ ïðåäëîæèë îäèí èç ó÷àñòíèêîâ Çàî÷íîãî êîíêóðñà ïî ìàòåìàòèêå (Åâãåíèé Äæèãàëîâ, Ìîñêâà). À èìåííî, îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî ðàçáèòü îòðåçîê ÀÁ íà 6 ÷àñòåé è íà êàæäîé èç ýòèõ ÷àñòåé íàçíà÷èòü êàæäîìó èç òóðèñòîâ îäíî èç òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ. Ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàôèê ïðèâåäåí íà ðèñóíêå (êðàñíàÿ, ñèíÿÿ è ñåðàÿ ëèíèè «ìèðîâûå ëèíèè» òðåõ òóðèñòîâ). Ì !# Ø Îöåíêà íà âðåìÿ Äàëüøå ìû èñïîëüçóåì ïðîñòîå, íî î÷åíü âàæíîå ñîîáðàæåíèå. Ðàññìîòðèì êàêóþ-íèáóäü òî÷êó, â êîòîðîé íå ïðîèñõîäèëî ðàçâîðîòîâ, ïåðåñàäîê è îñòàíîâîê.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ÷èñëî ïðîõîäîâ ÷åðåç ýòó òî÷êó ïåøêîì â íàïðàâëåíèè èç À â Á íå ìåíüøå, ÷åì ðàçíîñòü ÷èñëà ëþäåé ìåæäó ýòîé òî÷êîé è Á è ÷èñëà òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ ìåæäó ýòîé òî÷êîé è Á. (Íå «ðàâíî», à èìåííî «íå ìåíüøå», òàê êàê êòî-òî ìîã óéòè îáðàòíî.) Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü, ïîñìîòðåâ, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ñ äàííûìè ÷èñëàìè. Åñëè ÷åëîâåê ïåðåñåêàåò ýòó òî÷êó ïåøêîì â ñòîðîíó Á, òî ÷èñëî ïðîõîäîâ óâåëè÷èâàåòñÿ, è ðàçíîñòü òîæå. Åñëè ïðîåçæàåò, òî è ÷èñëî ïðîõîäîâ, è ðàçíîñòü ñîõðàíÿþòñÿ. Òàê ÷òî åñëè áû íå áûëî èäåè âîçâðàùàòüñÿ, òî ÷èñëî ïðîõîäîâ è ðàçíîñòü âñåãäà ìåíÿëèñü áû îäèíàêîâî. Íî åñëè èäòè èëè åõàòü íàçàä, òî ÷èñëî ïðîõîäîâ íåèçìåííî, à ðàçíîñòü ìîæåò óìåíüøèòüñÿ (ïðè âîçâðàùåíèè ïåøêîì) èëè îñòàòüñÿ ïðåæíåé. Ïðîâåðèì, ÷òî ïóòåøåñòâèå íå ìîãëî äëèòüñÿ ìåíåå 2,5 ÷àñîâ. Ïóñòü íà âñå ïóòåøåñòâèå áûëî çàòðà÷åíî âðåìÿ t, ïðè÷åì çà âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ ñàìîé ïðàâîé òî÷êîé, â êîòîðîé ïîáûâàë âåëîñèïåä, áûëà òî÷êà B íà îòðåçêå ÀÁ, à ñàìîé ïðàâîé òî÷êîé, â êîòîðîé ïîáûâàë ìîòîöèêë, òî÷êà Ì íà îòðåçêå ÀÁ (ìû íå ïðåäïîëàãàåì çàðàíåå, ÷òî âñå òðàíñïîðòíûå ñðåäñòâà â ðåçóëüòàòå îêàçàëèñü â Á, ðàâíî êàê íå ïðåäïîëàãàåì è òîãî, ÷òî âî âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ íèêòî íå åõàë è íå øåë íàçàä). Òîãäà âåëîñèïåä ïðîåõàë íå ìåíüøåå ðàññòîÿíèå, ÷åì ÀÂ, à ìîòîöèêë íå ìåíüøåå, ÷åì ÀÌ. Äîêàæåì, ÷òî ïåøêîì âñåìè ëþäüìè â ñóììå áûëî ïðîéäåíî ðàññòîÿíèå, íå ìåíüøåå ñóììû îòðåçêîâ AÁ, ÂÁ è ÌÁ. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè òî÷êà  ëåæèò ìåæäó À è Ì. Òîãäà íà îòðåçêå ÌÁ íè îäíî òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî íå ìîãëî áûòü èñïîëüçîâàíî, ïîýòîìó îí ïðîéäåí êàæäûì ÷åëîâåêîì (õîòÿ áû) îäèí ðàç. Íà îòðåçêå ÂÌ â ðàñïîðÿæåíèè òóðèñòîâ åñòü òîëüêî ìîòîöèêë. Ïîýòîìó êàæäàÿ «îáû÷íàÿ» òî÷êà ýòîãî îòðåçêà (â êîòîðîé íå ïðîèñõîäèò ðàçâîðîòîâ, ïåðåñàäîê è îñòàíîâîê) ïðîéäåíà ïåøêîì êàê ìèíèìóì äâà ðàçà (÷åðåç áîëüøîå âðåìÿ ìåæäó Ì è Á íàõîäÿòñÿ òðè ÷åëîâåêà è îäíî òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî) âîçìîæíî, ÷òî îäíèì è òåì æå ÷åëîâåêîì, íî ýòî íåâàæíî. Àíàëîãè÷íî, êàæäàÿ îáû÷íàÿ òî÷êà îòðåçêà À õîòÿ áû îäèí ðàç ïðîéäåíà ïåøêîì (÷åðåç áîëüøîå âðåìÿ ìåæäó  è Á òðè ÷åëîâåêà è äâà òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâà). Ñóììèðóÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ïåøêîì ïðîéäåíî íå ìåíüøå, ÷åì À + 2ÂÌ + 3ÌÁ = ÀÁ + ÂÁ + ÌÁ. Îòñþäà AB AM ÀÁ + ÂÁ + ÌÁ 3t ≥ + + = 15 60 6 À ÂÁ ÀÌ ÌÁ ÀÁ = + + ≥ + + 6 60 6 6 15 ≥ À + ÂÁ + ÀÌ + ÌÁ + ÀÁ = 15 60 60 6 15 1 1 1 = ÀÁ + + = 7,5 , 6 15 60 è t ≥ 2,5 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. 20-36.p65 35 29.07.09, 17:37 !$ ÊÂÀÍT 2009/¹4 Çàìåòèì, ÷òî èç íàøåãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñïîñîáà, ïðè êîòîðîì îöåíêà â 2,5 ÷àñà äîñòèãàåòñÿ, âñå òðàíñïîðòíûå ñðåäñòâà â ðåçóëüòàòå îêàçàëèñü â ãîðîäå Á, è íèêòî èç òóðèñòîâ çà âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ íå øåë è íå åõàë íàçàä. Äåéñòâèòåëüíî, íóæíî, ÷òîáû i ïóòü, ïðîéäåííûé âåëîñèïåäîì, áûë ðàâåí À ò.å. âåëîñèïåä íå åõàë íàçàä (è àíàëîãè÷íî äëÿ ìîòîöèêëà); i ñóììàðíî ïåøêîì ïðîéäåíî íå ìåíüøå ÀÁ + ÂÁ + + ÌÁ ò.å. íèêòî íå øåë íàçàä; i ÂÁ = ÌÁ = 0 (ïîñêîëüêó, ñêàæåì, ìû îöåíèâàëè ÂÁ ÂÁ ñíèçó êàê ) ò.å.  = Á è Ì = Á. 6 15 Ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ çàäà÷è Ñëó÷àé òðåõ ïðîèçâîëüíûõ ñêîðîñòåé (îöåíêà âðåìåíè è åå äîñòèæèìîñòü). Ñàìîå ïåðâîå îáîáùåíèå, êîòîðîå ïðèõîäèò â ãîëîâó, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàññìîòðåòü ñëó÷àé òðåõ ïðîèçâîëüíûõ ñêîðîñòåé a, b è c ñîîòâåòñòâåííî ïåøåõîäà, âåëîñèïåäà è ìîòîöèêëà; ñîõðàíÿÿ âèäèìîñòü çäðàâîãî ñìûñëà, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî a < b ≤ c. Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå, ÷òî òóðèñòàì íå óäàñòñÿ îðãàíèçîâàòü ïóòåøåñòâèå òàê, ÷òî ïðèáûâøèé ïîñëåäíèì çàòðàòèò ïî âðåìåíè ìåíüøå ÀÁ Ê 1 1 1 ˆ τ= Á + + ˜. 3 Ë a b c¯ Âîçíèêàåò âîïðîñ, âñåãäà ëè ïîëó÷åííàÿ îöåíêà äîñòèãàåòñÿ, ò.å. äëÿ ëþáûõ ëè ñêîðîñòåé ìîæíî ïîäîáðàòü ñõåìó äâèæåíèÿ, ïðè êîòîðîé âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ òàêîâî. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòâåò çäåñü «íåò». Ïîñêîëüêó, êàê ìû âèäåëè âûøå, âåëîñèïåä â ðåçóëüòàòå îêàçàëñÿ â ãîðîäå Á 1, òî îí (à çíà÷èò, è âñÿ ãðóïïà â öåëîì) çàòðàòèë íà ïóòåøåñòâèå âðåìÿ, íå ìåíüøåå ÀÁ , êîòîðîå äîëæíî áûòü íå áîëüøå τ , îòêóäà b 1 1 1 1 1 ≤ + + . b 3a b c 1 Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî çäåñü ñóùåñòâåííî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî a < b. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ òàêîãî íåðàâåíñòâà íà ñêîðîñòè ñõåìà ïóòåøåñòâèÿ ñóùåñòâóåò (íàïðèìåð, ãîäèòñÿ ñõåìà Å.Äæèãàëîâà, ïðèâåäåííàÿ âûøå). Ïîäóìàéòå, ÷åìó ðàâíî ìèíèìàëüíîå âðåìÿ â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Ñëó÷àé n ïðîèçâîëüíûõ ñêîðîñòåé. Ïóñòü òåïåðü åñòü n + 1 òóðèñòîâ è n òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ, ò.å. äàíû ÷èñëà v0 < v1 ≤ v2 ≤ … ≤ vn , êàæäûé òóðèñò ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïåøêîì ñî ñêîðîñòüþ v0 è ò.ä. Óïðàæíåíèå 3. Ïîëó÷èòå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îöåíêó ñíèçó τ= ÀÁ Ê 1 1ˆ +…+ ˜ Á n + 1 Ë v1 vn ¯ íà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ. Óïðàæíåíèå 4. Ïðîâåðüòå, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî âðåìÿ ìîãëî áûòü ðåàëèçîâàíî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû 1 1 Ê1 1 1ˆ £ + +…+ ˜ v1 n + 1 ÁË v0 v1 vn ¯ ò.å. âòîðàÿ ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòü áûëà íå ìåíüøå ñðåäíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî âñåõ ñêîðîñòåé (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ÷òî âòîðàÿ ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòü íå ìåíüøå ñðåäíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî âñåõ îñòàëüíûõ ïðîâåðüòå!). ßâëÿåòñÿ ëè ýòî óñëîâèå òàêæå è äîñòàòî÷íûì? Ìû íå çíàåì îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ, õîòÿ ñêîðåå âñåãî ýòî òàê è êîíñòðóêöèÿ íå î÷åíü ñëîæíà. Èíòåðåñíî áûëî áû ïîñòðîèòü ïðèìåð, àíàëîãè÷íûé ïðèìåðó Å.Äæèãàëîâà â ñëåäóþùåì òî÷íîì ñìûñëå. Ðàçîáüåì îòðåçîê ÀÁ íà n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ n ðàâíûõ ÷àñòåé. Óïîðÿäî÷èì íåêîòîðûì ñïîñîáîì âñå ïåðåñòàíîâêè òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ (âêëþ÷àÿ íîãè) òàêèõ ïåðåñòàíîâîê ðîâíî n! è íàçíà÷èì íà k-ì îòðåçêå òóðèñòàì òðàíñïîðòíûå ñðåäñòâà â òî÷íîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ k-é ïåðåñòàíîâêîé (íàçíà÷èì ïåðâîìó òóðèñòó òðàíñïîðòíîå ñðåäñòâî, ñòîÿùåå ïîñëå ïåðåñòàíîâêè íà ïåðâîì ìåñòå, âòîðîìó ñòîÿùåå íà âòîðîì ìåñòå, è ò.ä.). Çàäà÷à*. Âåðíî ëè, ÷òî ïîëó÷åííàÿ íèæíÿÿ îöåíêà äîñòèãàåòñÿ? Åñëè äà, âåðíî ëè, ÷òî îíà äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òàêîé ñõåìû? (Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî ëè òàê óïîðÿäî÷èòü ïåðåñòàíîâêè, ÷òî ýòà ñõåìà ïîçâîëÿåò äîñòè÷ü íèæíåé îöåíêè âðåìåíè?) Ïîáåäèòåëè êîíêóðñà èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6-8» 2008/09 ó÷åáíîãî ãîäà Ëó÷øèõ ðåçóëüòàòîâ â êîíêóðñå äîáèëèñü øêîëüíèê Äýíèýë Ëèíã, Áåýð-Øåâà (Èçðàèëü), 8 êë. è êðóæîê ëèöåÿ 14, Òàìáîâ, ðóêîâîäèòåëü À.Â.Áóðìèñòðîâà. Æþðè êîíêóðñà îòìå÷àåò òàêæå õîðîøèå ðàáîòû øêîëüíèêà Ñèäðèñòîãî Äàíèëà, Ìàãíèòîãîðñê, øêîëà 5, 8 êë. è ñëåäóþùèõ êðóæêîâ: Öåíòðà äîïîëíèòåëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâà- 20-36.p65 36 íèÿ, Êóðãàí, ðóêîâîäèòåëè Î.È.Þæàêîâ, Å.Ã.Ïóøêàðåâà, ëèöåÿ 3, ×åáîêñàðû, ðóêîâîäèòåëè Ñ.À.Èâàíîâ, À.Â.Ìîíîâ, «Ýðóäèò» ïðè ÔÌØ 32, Àñòðàõàíü, ðóêîâîäèòåëü Ò.Ì.Ñåðãååâà, «Ýâðèêà», Õàðüêîâ, ðóêîâîäèòåëè Å.Ë.Àðèíêèíà, À.Ë.Áåðíøòåéí. Ïîáåäèòåëè êîíêóðñà íàãðàæäàþòñÿ DVD-äèñêàìè ýëåêòðîííûì àðõèâîì æóðíàëà «Êâàíò» ñ 1970 ïî 2008 ãîä. 29.07.09, 17:37 ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» Äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè è òåîðåìà Øàëÿ Â.ÁÓÃÀÅÍÊÎ Ï ÎÍßÒÈÅ ÄÂÈÆÅÍÈß ßÂËßÅÒÑß ÎÄÍÈÌ ÈÇ ÔÓÍäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ãåîìåòðèè. Îäíàêî â øêîëüíîé ïðîãðàììå ýòó òåìó, ïî ñóùåñòâó, îáõîäÿò ñòîðîíîé, îãðàíè÷èâàÿñü ëèøü èçó÷åíèåì ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Òàê, â êóðñå ïëàíèìåòðèè ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ, ïîâîðîò (ñ ÷àñòíûì ñëó÷àåì öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé) è îñåâàÿ ñèììåòðèÿ. Î÷åíü åñòåñòâåííûé è âàæíûé âîïðîñ «À êàêèå âîîáùå áûâàþò äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè?» â øêîëüíîì ó÷åáíèêå, êàê ïðàâèëî, íå ïîäíèìàåòñÿ. À ìåæäó òåì, îòâåò íà ýòîò âîïðîñ îêàçûâàåòñÿ íåîæèäàííî ïðîñòûì, è äàåò åãî òåîðåìà Øàëÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé öåëüþ íàñòîÿùåé ñòàòüè. Âàæíîñòü òåîðåìû Øàëÿ åùå è â òîì, ÷òî îíà äàåò ìîùíûé èíñòðóìåíò äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷.  ïîäòâåðæäåíèå ýòèõ ñëîâ ïðèâåäåì òðè çàäà÷è ñ ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îëèìïèàä. Ñîâåòóåì ïîïûòàòüñÿ ðåøèòü èõ ñàìîñòîÿòåëüíî. Ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü, îïèðàÿñü ëèøü íà ñâåäåíèÿ, ïî÷åðïíóòûå èç øêîëüíîãî ó÷åáíèêà ïëàíèìåòðèè, îäíàêî ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ âñåõ òðåõ çàäà÷ áóäóò äîñòàòî÷íî íåïðîñòûìè. Åñëè âàì ýòî óäàñòñÿ, çíà÷èò, âû îáëàäàåòå ìàñòåðñòâîì ðåøåíèÿ îëèìïèàäíûõ çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè. Åñëè íå ïîëó÷èòñÿ íå îò÷àèâàéòåñü. Âåðíèòåñü ê ýòèì çàäà÷àì, êîãäà äî÷èòàåòå ñòàòüþ äî ïîñëåäíåãî ðàçäåëà. Âîîðóæåííûå çíàíèåì òåîðåìû Øàëÿ, âû íàâåðíÿêà ñïðàâèòåñü ñ íèìè.  êîíöå ñòàòüè ïðèâåäåíû ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷. Çàäà÷à 1 (XIX Òóðíèð ãîðîäîâ, âåñåííèé òóð, 1998). Âíóòðåííÿÿ òî÷êà M âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD òàêîâà, ÷òî òðåóãîëüíèêè AMB è CMD ðàâíîáåäðåííûå, è ó êàæäîãî óãîë ïðè âåðøèíå M ðàâåí 120°. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ òî÷êà N òàêàÿ, ÷òî òðåóãîëüíèêè BNC è DNA ðàâíîñòîðîííèå. Çàäà÷à 2 (XXIII Òóðíèð ãîðîäîâ, âåñåííèé òóð, 2002). Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíû äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà A1B1C1 è A2 B2C2 òàê, ÷òî îáõîä âåðøèí îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîèñõîäèò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à îáõîä ñîîòâåòñòâóþùèõ èì âåðøèí äðóãîãî òðåóãîëüíèêà ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíû îòðåçêîâ A1 A2 , B1B2 è C1C2 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Çàäà÷à 3 (Óêðàèíñêàÿ ðåñïóáëèêàíñêàÿ îëèìïèàäà, 1977). Äàí òðåóãîëüíèê ABC. Ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà M ïëîñêîñòè îòîáðàæàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ AB, AC è BC. Ïðè ýòîì îíà ïåðåõîäèò â òî÷êó T ( M ) . Íàéäèòå ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê M, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè M è T ( M ) áûëî ìèíèìàëüíûì. Íà âñÿêèé ñëó÷àé íàïîìíèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèåì ïëîñêîñòè (âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì ïëîñêîñòè íà ñåáÿ) íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïðàâèëî, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè òî÷êó ýòîé æå ïëîñêîñòè (åå îáðàç) òàê, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì îäíîé è òîëüêî îäíîé òî÷êè (åå ïðîîáðàçà). Òåì ñàìûì, ÷òîáû âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè äâèæåíèåì, íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû òî÷åê ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó èõ îáðàçàìè. Èñïîëüçóÿ ôèçè÷åñêóþ òåðìèíîëîãèþ, áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðè äâèæåíèè êàæäàÿ òî÷êà ïåðåõîäèò â ñâîé îáðàç. Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå äâèæåíèÿ â ãåîìåòðèè íå ñîâïàäàåò ñ òåì, ÷òî îáû÷íî íàçûâàþò äâèæåíèåì ôèçèêè. Äëÿ çàäàíèÿ äâèæåíèÿ â ôèçèêå ñóùåñòâåííà òðàåêòîðèÿ êàæäîé òî÷êè, à â ãåîìåòðèè âàæíû ëèøü åå íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ïîëîæåíèÿ. Íà÷èíàåì êëàññèôèöèðîâàòü äâèæåíèÿ Åñòü ïðîñòîé ñïîñîá ïîïîëíÿòü êîëëåêöèþ äâèæåíèé. Åñëè âçÿòü íåñêîëüêî äâèæåíèé è îñóùåñòâèòü èõ ïîñëåäîâàòåëüíî îäíî çà äðóãèì, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì åùå îäíî äâèæåíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé èñõîäíûõ äâèæåíèé. Òàêèì îáðàçîì, íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ñîçäàòüñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî ðàçíîîáðàçèå äâèæåíèé ïëîñêîñòè íåîáúÿòíî. Âåäü èìåÿ çàïàñ ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ, ïîâîðîòîâ è îñåâûõ ñèììåòðèé, ìîæíî ñòðîèòü ðàçëè÷íûå èõ êîìïîçèöèè ëþáîé äëèíû! À êðîìå ýòîãî, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñóùåñòâóþò äâèæåíèÿ, íå ïðåäñòàâèìûå â âèäå êîìïîçèöèé äâèæåíèé, èçâåñòíûõ èç øêîëüíîé ïðîãðàììû. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî. Äà è âîîáùå, óïîìÿíóòîå âïå÷àòëåíèå îáìàí÷èâî, ïîñêîëüêó ÷àñòî ðàçëè÷íûå êîìïîçèöèè çàäàþò îäíî è òî æå äâèæåíèå. Ýòî ÿâëåíèå ñóùåñòâåííî ñóæàåò ðàçíîîáðàçèå âñåâîçìîæíûõ äâèæåíèé. Íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ áóäåò äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå äâèæåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå êîìïîçèöèè óæå çíàêîìûõ íàì äâèæåíèé, ïðè÷åì äîñòàòî÷íî êîðîòêîé. Ðàññìîòðèì íà ïëîñêîñòè äâà òðåóãîëüíèêà ABC è A1B1C1 . Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: ñóùåñòâóåò ëè äâèæåíèå, ïåðåâîäÿùåå âåðøèíû ïåðâîãî òðåóãîëüíèêà â ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíû âòîðîãî? Î÷åâèäíûì îáðàçîì, èç îïðåäåëåíèÿ äâèæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêîâ: AB = A1B1 , BC = B1C1 è AC = A1C1 . ßâëÿþòñÿ ëè ýòè óñëîâèÿ äîñòàòî÷íûìè? Ïîïûòàåìñÿ íàéòè äâèæåíèå, ïåðåâîäÿùåå òðîéêó âåðøèí îäíîãî òðåóãîëüíèêà â ñîîòâåòñòâóþùóþ òðîéêó âåðøèí âòîðîãî ðàâíîãî åìó òðåóãîëüíèêà. Áóäåì äåëàòü ýòî ïîñëåäîâàòåëüíî (ðèñ.1), ñîâìåùàÿ òî÷êè ïî î÷åðåäè. Ñíà÷àëà äîáüåìñÿ òîãî, ÷òîáû âåðøèíà A ïåðåøëà â A1 . Ýòî ñäåëàòü ïðîñòî, ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà âåêòîð AA1 . Äàëåå, èñïîëüçóÿ ïîâîðîò âîêðóã ×òî òàêîå äâèæåíèå? Îïðåäåëåíèå. Äâèæåíèåì ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè, ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèÿ. 37-48.p65 37 Ðèñ. 1 29.07.09, 18:01 !& ÊÂÀÍT 2009/¹4 òî÷êè A1 , ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû è òî÷êà B ïåðåøëà â B1 . Èòàê, òî÷êè A è B ó íàñ óæå ïîïàëè íà ñâîå ìåñòî. Ãäå ìîæåò ïðè ýòîì îêàçàòüñÿ òî÷êà C? Îáðàç òî÷êè C äîëæåí íàõîäèòüñÿ íà çàäàííûõ ðàññòîÿíèÿõ (ðàâíûõ äëèíàì îòðåçêîâ AC è BC ñîîòâåòñòâåííî) îò òî÷åê A1 è B1 . Òàêèõ òî÷åê âñåãî äâå è ðàñïîëîæåíû îíè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé A1B1 . Îäíà èç íèõ îáÿçàíà áûòü òî÷êîé C1 . Åñëè îáðàç òî÷êè C ñîâïàë ñ C1 , òî èñêîìîå äâèæåíèå íàéäåíî.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå (èìåííî ýòîò ñëó÷àé ïîëó÷èëñÿ â ïðèìåðå íà ðèñóíêå 1) íóæíî ñäåëàòü åùå îäèí øàã îñåâóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî A1B1 . Èòàê, èñêîìîå äâèæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîìïîçèöèè ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, ïîâîðîòà è, áûòü ìîæåò, ñèììåòðèè. Ïóñòü òåïåðü ìû óæå èìååì íåêîòîðîå äâèæåíèå, ïåðåâîäÿùåå ïåðâóþ òðîéêó òî÷åê âî âòîðóþ. Ìîæíî ëè ïî ýòèì äàííûì íàéòè îáðàçû îñòàëüíûõ òî÷åê ïëîñêîñòè? Èíûìè ñëîâàìè, åäèíñòâåííî ëè äâèæåíèå, çàäàâàåìîå îáðàçàìè òðåõ òî÷åê? Ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ïî÷òè î÷åâèäåí. Íàãëÿäíî ýòî ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê, êàê áóäòî ìû òðåóãîëüíèê, íàðèñîâàííûé íà ëèñòå áóìàãè, íàêëàäûâàåì íà ðàâíûé åìó òðåóãîëüíèê, íàðèñîâàííûé íà äðóãîì ëèñòå áóìàãè. Î÷åâèäíî, ÷òî äîñòàòî÷íî ïðîñëåäèòü ëèøü çà òåì, ÷òîáû âåðøèíû ïåðåøëè â âåðøèíû òîãäà êàæäàÿ òî÷êà âåðõíåãî ëèñòà áóìàãè íàëîæèòñÿ íà îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííóþ òî÷êó íèæíåãî, è íèêàêîé ñâîáîäû óæå íå áóäåò. Íåñìîòðÿ íà óáåäèòåëüíîñòü ýòîãî íàãëÿäíîãî ðàññóæäåíèÿ, òåì íå ìåíåå, ïðîâåäåì àêêóðàòíîå äîêàçàòåëüñòâî.  çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè íàì ïðèäåòñÿ ïîâòîðèòü ðàññóæäåíèÿ, ïðèâîäèìûå ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñóùåñòâîâàíèÿ â íà÷àëå äàííîãî ðàçäåëà. Ñíà÷àëà âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî òî÷êè A è B ïåðåøëè â A1 è B1 ñîîòâåòñòâåííî. Ãäå ìîæåò îêàçàòüñÿ îáðàç òî÷êè C? Îí äîëæåí îòñòîÿòü îò A1 è B1 íà ðàññòîÿíèÿ AC è BC ñîîòâåòñòâåííî, à çíà÷èò, äîëæåí íàõîäèòñÿ íà ïåðåñå÷åíèè äâóõ ñîîòâåòñòâóþùèõ îêðóæíîñòåé. Äâå îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ íå áîëåå ÷åì â äâóõ òî÷êàõ (à â äàííîì ñëó÷àå ðîâíî â äâóõ òî÷êàõ ïîäóìàéòå, ïî÷åìó?). Òàêèì îáðàçîì, ó íàñ åñòü äâå òî÷êè, ïðåòåíäóþùèå íà ðîëü îáðàçà òî÷êè C. Ïîñëå òîãî, êàê ìû âûáåðåì îäèí èç ýòèõ äâóõ âàðèàíòîâ, îáðàç ëþáîé äðóãîé òî÷êè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó òî÷êà íà ïëîñêîñòè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ðàññòîÿíèÿìè äî òðåõ çàäàííûõ òî÷åê, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé. Äåéñòâèòåëüíî, òðè îêðóæíîñòè, öåíòðû êîòîðûõ íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþòñÿ íå áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå (äîêàæèòå ýòî). Èòàê, åäèíñòâåííîñòü äâèæåíèÿ, çàäàííîãî îáðàçàìè òðåõ íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé òî÷åê, äîêàçàíà. Ðàíåå ìû íàøëè òàêîå äâèæåíèå ÿâíî. Îáúåäèíÿÿ äîêàçàííûå ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü, ïîëó÷àåì ôàêò, âïîëíå çàñëóæèâàþùèé çâàíèÿ òåîðåìû. Òåîðåìà 1. Ëþáîå äâèæåíèå ïëîñêîñòè ïðåäñòàâèìî â âèäå êîìïîçèöèè ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, ïîâîðîòà è, áûòü ìîæåò, ñèììåòðèè. Ýëåìåíòàðíûå äâèæåíèÿ  ñèëó âàæíîñòè òðåõ âèäîâ äâèæåíèé, óïîìÿíóòûõ â òåîðåìå 1, áóäåì íàçûâàòü èõ ýëåìåíòàðíûìè. Ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè êîìïîçèöèè èç ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé ìû ìîæåì ïîëó÷àòü ëþáûå. Êàæäîå ýëåìåíòàðíîå äâèæåíèå (êðîìå òîæäåñòâåííîãî äâèæåíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà íóëåâîé âåêòîð è ïîâîðîòîì íà íóëåâîé óãîë ñ ëþáûì öåíòðîì) ïðèíàäëåæèò òîëüêî îäíîìó èç òðåõ òèïîâ. 37-48.p65 38 Âûÿñíèì, ÷åì çàäàåòñÿ êàæäûé èç òðåõ òèïîâ ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ çàäàåòñÿ ñâîèì âåêòîðîì. Ðàçíûì âåêòîðàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå ïàðàëëåëüíûå ïåðåíîñû. Òàêèì îáðàçîì, ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâîì ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ è ìíîæåñòâîì âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ çàäàåòñÿ ñâîåé îñüþ. Ìíîæåñòâî îñåâûõ ñèììåòðèé íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ìíîæåñòâîì ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. Ïîâîðîò çàäàåòñÿ ñâîèì öåíòðîì, âåëè÷èíîé óãëà ïîâîðîòà è íàïðàâëåíèåì. Ìû èñêëþ÷èì èç ðàññìîòðåíèÿ íàïðàâëåíèå ïîâîðîòà, âìåñòî ýòîãî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óãîë ïîâîðîòà ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûì, òàê è îòðèöàòåëüíûì. Ïîëîæèòåëüíûå óãëû îçíà÷àþò ïîâîðîò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à îòðèöàòåëüíûå ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ïðè ýòîì ïîâîðîòû îòíîñèòåëüíî îäíîãî è òîãî æå öåíòðà íà óãëû, ðàçëè÷àþùèåñÿ íà âåëè÷èíó, êðàòíóþ 360°, ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé. Íàïðèìåð, ïîâîðîòû íà 50° è íà 310° ýòî îäíî è òî æå. Òàêèì îáðàçîì, ïîâîðîò çàäàåòñÿ ïàðîé (öåíòð ïîâîðîòà, âåëè÷èíà ïîâîðîòà). Ñ ó÷åòîì ñäåëàííîé îãîâîðêè î âîçìîæíîñòè äîáàâëåíèÿ ê âåëè÷èíå ïîâîðîòà êðàòíûõ 360° è çà èñêëþ÷åíèåì óïîìÿíóòîãî âûøå ñëó÷àÿ òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàçíûì ïàðàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå äâèæåíèÿ. Êîìïîçèöèè äâèæåíèé  îòëè÷èå îò ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé ñàìèõ ïî ñåáå, êîìïîçèöèÿ äâóõ ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé èíîãäà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â áîëåå ïðîñòîì âèäå è ÷àñòî ñâîäèòñÿ ê îäíîìó ýëåìåíòàðíîìó äâèæåíèþ. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî òàêèõ ñëó÷àåâ, íà÷èíàÿ îò ñîâñåì î÷åâèäíûõ è ïåðåõîäÿ ïîòîì ê áîëåå ñëîæíûì, â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåìì.  ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâà.  ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ îãðàíè÷èìñÿ íàáðîñêàìè äîêàçàòåëüñòâ èëè äàæå òîëüêî ôîðìóëèðîâêàìè. Ëåììà 1. Êîìïîçèöèÿ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ íà âåêòîðû a è b ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà âåêòîð a + b . Ëåììà 2. Êîìïîçèöèÿ äâóõ ïîâîðîòîâ ñ îáùèì öåíòðîì íà óãëû α è β ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì ñ òåì æå öåíòðîì íà óãîë α + β . Ëåììà 3. Êîìïîçèöèÿ äâóõ îñåâûõ ñèììåòðèé îòíîñèòåëüíî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñåé l1 è l2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýòèì îñÿì, íàïðàâëåííûé îò l1 ê l2 , äëèíà êîòîðîãî ðàâíà óäâîåííîìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó îñÿìè. Íàáðîñîê äîêàçàòåëüñòâà. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M ïëîñêîñòè, íàéäåì åå îáðàç M1 è óáåäèìñÿ, ÷òî âåêòîð MM1 ÿâëÿåòñÿ òåì ñàìûì âåêòîðîì, êîòîðûé îïèñàí â ôîðìóëèðîâêå ëåììû. Ðèñóíîê 2 ÿâëÿåòñÿ èëëþñòðàöèåé ê äîêàçàòåëüñòâó. ×òîáû îíî áûëî ïîëíûì, íóæíî ðàññìîòðåòü âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ îñåé è òî÷êè M. Ìîæíî èçáåæàòü ðàññìîòðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñëó÷àåâ ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòîé ëåììû, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì Ðèñ. 2 29.07.09, 18:01 ØÊÎËÀ êîîðäèíàò. Óäîáíî ðàñïîëîæèòü îñü àáñöèññ ïàðàëëåëüíî ïðÿìûì l1 è l2 . Òîãäà ðàññìàòðèâàåìûå îñè ñèììåòðèé áóäóò çàäàâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè y = a è y = b ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé àáñöèññû òî÷åê áóäóò ñîõðàíÿòüñÿ, à îðäèíàòû ìåíÿòüñÿ ïî ïðàâèëàì y 2a − y è y 2b − y ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè êîìïîçèöèè ýòèõ ñèììåòðèé îðäèíàòû áóäóò ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ ïî ïðàâèëó y 2b − (2a − y ) = y + 2 (b − a ) , à ýòî è îçíà÷àåò ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íà óêàçàííûé âåêòîð. Ëåììà 4. Êîìïîçèöèÿ äâóõ îñåâûõ ñèììåòðèé îòíîñèòåëüíî äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ îñåé l1 è l2 ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì îòíîñèòåëüíî òî÷êè èõ ïåðåñå÷åíèÿ íà óäâîåííûé óãîë ìåæäó îñÿìè. (Ïîä óãëîì ìåæäó îñÿìè ìû ïîíèìàåì óãîë ïîâîðîòà îòíîñèòåëüíî èõ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, ïðè êîòîðîì îñü l1 ïåðåõîäèò â l2 .) Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññóæäàåì àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåé ëåììû, èëëþñòðàöèåé ñëóæèò ðèñóíîê 3.  ýòîì ñëó÷àå àíàëèòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî, ïîçâîëÿþùåå èçáåæàòü ðàññìîòðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñëó÷àåâ, ïðîâîäèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Íà÷àëî êîîðäèíàò ñëåäóåò âûáðàòü â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ðàñÐèñ. 3 ñìàòðèâàåìûõ îñåé ñèììåòðèé. Òîãäà ïîëÿðíûé ðàäèóñ ïðè ýòèõ ñèììåòðèÿõ ñîõðàíÿåòñÿ, à ïîëÿðíûé óãîë ìåíÿåòñÿ ïî ïðàâèëàì ϕ 2α − ϕ è ϕ 2β − ϕ , ãäå α è β óãëû, îáðàçîâàííûå ïðÿìûìè l1 è l2 ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîëÿðíîé îñüþ. Ïðè êîìïîçèöèè ïîëÿðíûé óãîë áóäåò ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ ïî ïðàâèëó ϕ 2β − (2α − ϕ ) = ϕ + 2 (β − α ) , à ýòî è îçíà÷àåò ïîâîðîò íà óãîë 2 (β − α ) . Ñäåëàåì î÷åâèäíîå çàìå÷àíèå: êîìïîçèöèÿ äâóõ îñåâûõ ñèììåòðèé ñ ñîâïàäàþùèìè îñÿìè ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì, îñòàâëÿþùèì âñå òî÷êè íà ìåñòå. Îäíàêî æå, íåñìîòðÿ íà î÷åâèäíîñòü çàìå÷àíèÿ, îíî äàåò íàì èíñòðóìåíò, êîòîðûì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì åñëè â íåêîòîðîé êîìïîçèöèè íåñêîëüêèõ äâèæåíèé èäóò ïîäðÿä äâå îñåâûå ñèììåòðèè ñ îäíîé è òîé æå îñüþ, òî èõ ìîæíî ñîêðàòèòü è ïîëó÷èòü áîëåå êîðîòêóþ êîìïîçèöèþ. Ëåììà 5. Êîìïîçèöèÿ äâóõ ïîâîðîòîâ íà óãëû α è β ñ ðàçëè÷íûìè öåíòðàìè O1 è O2 ñîîòâåòñòâåííî ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà óãîë α + β (îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî òðåòüåãî öåíòðà), åñëè α + β ≠ 360° ⋅ k , è ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäûäóùåé ëåììîé è ïðåäñòàâèì êàæäûé èç äâóõ äàííûõ ïîâîðîòîâ â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ îñåâûõ ñèììåòðèé. Ìû ïîëó÷èì êîìïîçèöèþ ÷åòûðåõ ñèììåòðèé îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ l1 , l2 , l3 è l4 . Îñè ïåðâûõ äâóõ ñèììåòðèé ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O1 ïîä óãëîì α 2 , à îñè äâóõ ïîñëåäíèõ ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O2 ïîä óãëîì β 2 . Çàìåòèì, ÷òî âûáîð ïàðû îñåé â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ íåîäíîçíà÷åí. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäîñòàâëåííîé ñâîáîäîé äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðÿìûå l2 è l3 ñîâïàëè.  êà÷åñòâå òàêîé îáùåé ïðÿìîé íóæíî âûáðàòü ïðÿìóþ O1O2 , ñîåäèíÿ- 37-48.p65 39  !' «ÊÂÀÍÒÅ» þùóþ öåíòðû ïîâîðîòîâ.  ýòîì ñëó÷àå ïðÿìûå l1 è l4 íàõîäÿòñÿ îäíîçíà÷íî (ðèñ.4).  ñèëó ñäåëàííîãî âûøå çàìå÷àíèÿ, ó íàñ îñòàåòñÿ êîìïîçèöèÿ âñåãî äâóõ ñèììåòðèé îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ l1 è l4 . Åñëè ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ Ðèñ. 4 â íåêîòîðîé òî÷êå O, òî óãîë ìåæäó íèìè ñîñòàâëÿåò (α + β ) 2 (ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû î âåëè÷èíå âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, ïðèìåíåííîé ê òðåóãîëüíèêó OO1O2 ). Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåìó óòâåðæäåíèþ, ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî èñêîìàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì ñ öåíòðîì O íà óãîë α + β . Åñëè ýòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû (â ýòîì ñëó÷àå óãëû α 2 è β 2 ñìåæíûå, à çíà÷èò, èõ ñóììà ðàâíà 180°), òî ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ. Ëåììà 6. Êîìïîçèöèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà âåêòîð a è ïîâîðîòà ñ öåíòðîì â òî÷êå O íà íåíóëåâîé óãîë α ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà òîò æå óãîë α (ñ äðóãèì öåíòðîì, åñëè âåêòîð a íåíóëåâîé). Äîêàçàòåëüñòâî. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó äîêàçàòåëüñòâó, âîñïîëüçîâàâøèñü ëåììàìè 3 è 4, ïðåäñòàâèì êàæäîå èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ êîìïîçèöèþ äâèæåíèé â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ ñèììåòðèé òàê, ÷òîáû âòîðàÿ ñèììåòðèÿ èç ïåðâîé ïàðû ñîâïàëà ñ ïåðâîé ñèììåòðèåé èç âòîðîé ïàðû. Äëÿ ýòîãî îáùåé îñüþ ýòèõ äâóõ ñèììåòðèé íóæíî âçÿòü ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó O è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåêòîðó a (ðèñ. 5). È â ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå Ðèñ. 5 åñòü êîìïîçèöèÿ äâóõ ñèììåòðèé ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ (ïîä óãëîì α 2 ) îñÿìè, à çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì íà óãîë α . Ëåììà 7. Êîìïîçèöèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà âåêòîð a è îñåâîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè l, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó a , ÿâëÿåòñÿ îñåâîé ñèììåòðèåé ñ îñüþ, ïàðàëëåëüíîé l. Äîêàçàòåëüñòâî. È â ýòîò ðàç, âîñïîëüçîâàâøèñü ëåììîé 3, ïðåäñòàâèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ ñèììåòðèé ñ ïàðàëëåëüíûìè îñÿìè, âòîðàÿ èç êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ l (ðèñ.6). Ðèñ. 6  ïîëó÷åííîé êîìïîçèöèè òðåõ ñèììåòðèé äâå ïîñëåäíèå ñîêðàùàþòñÿ. Îðèåíòàöèÿ Ìû óæå óïîìèíàëè î ðàçíèöå â ïîíÿòèÿõ äâèæåíèÿ â ãåîìåòðèè è â ôèçèêå. Ðå÷ü øëà î òîì, ÷òî îäíî è òî æå äâèæåíèå ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðèè ìîæåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ êàê ôèçè÷åñêîå äâèæåíèå ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Îäíàêî 29.07.09, 18:02 " ÊÂÀÍT 2009/¹4 åñòü åùå îäíî îòëè÷èå ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè. Íåêîòîðûå äâèæåíèÿ, íàïðèìåð îñåâóþ ñèììåòðèþ, íåëüçÿ ðåàëèçîâàòü â âèäå íåïðåðûâíîãî (ôèçè÷åñêîãî) äâèæåíèÿ, íå âûõîäÿùåãî çà ïðåäåëû ïëîñêîñòè (òàêæå êàê â ïðîñòðàíñòâå íåëüçÿ ñîâìåñòèòü íåñèììåòðè÷íóþ ôèãóðó ñ åå çåðêàëüíûì èçîáðàæåíèåì, íàïðèìåð, ïðàâóþ ðóêó ñ ëåâîé). Ïîýòîìó ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ äâèæåíèÿìè íå ÿâëÿþòñÿ.  ãåîìåòðèè æå îíè ñ÷èòàþòñÿ äâèæåíèÿìè, è ïðî òàêèå äâèæåíèÿ ãîâîðÿò, ÷òî îíè ìåíÿþò îðèåíòàöèþ. Ïðèäàäèì ïîíÿòèþ îðèåíòàöèè áóëüøóþ ñòðîãîñòü. Áóäåì íàçûâàòü òðåóãîëüíèê îðèåíòèðîâàííûì, åñëè â íåì çàäàí íåêîòîðûé ïîðÿäîê îáõîäà åãî âåðøèí. Òðåóãîëüíèêè ABC è ACB ýòî îäèí è òîò æå òðåóãîëüíèê, îäíàêî åñëè èõ ðàññìàòðèâàòü êàê îðèåíòèðîâàííûå òðåóãîëüíèêè, òî îíè ðàçëè÷íû. Åñëè îáõîä âåðøèí îðèåíòèðîâàííîãî òðåóãîëüíèêà ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, òî îí íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì, à åñëè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, òî îòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàííûì. Äâà âèäà äâèæåíèé ïëîñêîñòè Çàìåòèì, ÷òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ è ïîâîðîò ñîõðàíÿþò îðèåíòàöèþ (ïåðåâîäÿò ëþáîé òðåóãîëüíèê â òðåóãîëüíèê òîé æå îðèåíòàöèè), à îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ìåíÿåò îðèåíòàöèþ (ïåðåâîäèò ëþáîé òðåóãîëüíèê â òðåóãîëüíèê ïðîòèâîïîëîæíîé îðèåíòàöèè). Çíà÷èò, ëþáàÿ êîìïîçèöèÿ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ëèáî ñîõðàíÿåò, ëèáî ìåíÿåò îðèåíòàöèþ âñåõ òðåóãîëüíèêîâ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷åòíîå èëè íå÷åòíîå êîëè÷åñòâî îñåâûõ ñèììåòðèé â íåå âõîäèò. Ïîñêîëüêó ëþáîå äâèæåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîìïîçèöèè ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé, îíî ëèáî ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ âñåõ òðåóãîëüíèêîâ, ëèáî ìåíÿåò îðèåíòàöèþ âñåõ òðåóãîëüíèêîâ (äâèæåíèå íå ìîæåò ñîõðàíÿòü îðèåíòàöèþ ó îäíèõ òðåóãîëüíèêîâ è ìåíÿòü ó äðóãèõ). Äâèæåíèÿ, ñîõðàíÿþùèå îðèåíòàöèþ, áóäåì íàçûâàòü ñîáñòâåííûìè, à ìåíÿþùèå îðèåíòàöèþ íåñîáñòâåííûìè. (Èíîãäà ýòè äâà âèäà äâèæåíèé íàçûâàþò äâèæåíèÿìè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñîîòâåòñòâåííî.) Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1 ìû ïîïóòíî äîêàçàëè, ÷òî äâèæåíèå îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ îáðàçàìè òðåõ òî÷åê, íå ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé, è äàæå «ïî÷òè» çàäàåòñÿ îáðàçàìè äâóõ òî÷åê. Ñëîâî «ïî÷òè» â äàííîì ñëó÷àå îçíà÷àåò, ÷òî õîòÿ ìû è íå ñìîæåì îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü äâèæåíèå, çíàÿ îáðàçû âñåãî äâóõ òî÷åê, íî âûáèðàòü ïðèäåòñÿ âñåãî èç äâóõ âàðèàíòîâ. Åñëè ìû ðàññìîòðèì êîìïîçèöèþ îäíîãî èç ýòèõ äâóõ äâèæåíèé è îñåâîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé èçâåñòíûå íàì îáðàçû äâóõ òî÷åê, òî ïîëó÷èì âòîðîå òàêîå äâèæåíèå. Çíà÷èò, ýòè äâà äâèæåíèÿ ðàçíîãî âèäà: îäíî èç íèõ ñîáñòâåííîå, à âòîðîå íåñîáñòâåííîå. Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ãîâîðèòü íå î ïàðå òî÷åê, à î íàïðàâëåííîì îòðåçêå1 ñ êîíöàìè â íèõ. Èòàê, ìû äîêàçàëè òåîðåìó. Òåîðåìà 2. Ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííîå ñîáñòâåííîå è åäèíñòâåííîå íåñîáñòâåííîå äâèæåíèÿ, ïåðåâîäÿùèå äàííûé íàïðàâëåííûé îòðåçîê â ðàâíûé åìó äàííûé íàïðàâëåííûé îòðåçîê. 1 Íå ïóòàéòå ïîíÿòèÿ íàïðàâëåííîãî îòðåçêà è âåêòîðà, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â ôèçèêå ýòè ïîíÿòèÿ ÷àñòî îòîæäåñòâëÿþòñÿ. Îòðåçîê íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåííûì, åñëè óêàçàíî, êàêîé èç åãî êîíöîâïåðâûé, à êàêîé âòîðîé.  ïàðàëëåëîãðàììå ABCD âåêòîðû AB è DC ñîâïàäàþò, õîòÿ íàïðàâëåííûå îòðåçêè AB è DC ðàçëè÷íû. 37-48.p65 40 Ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Øàëÿ Òåïåðü, ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 2, ìû ìîæåì íåñêîëüêî óñèëèòü òåîðåìó 1, ñëåãêà ìîäåðíèçèðîâàâ åå äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ýòîãî âûÿñíèì, êàêèìè êîìïîçèöèÿìè ýëåìåíòàðíûõ äâèæåíèé ìîæíî ïåðåâåñòè íàïðàâëåííûé îòðåçîê AB â ðàâíûé åìó íàïðàâëåííûé îòðåçîê A1B1 . Ñíà÷àëà ìîæíî ñîâìåñòèòü òî÷êó A ñ A1 ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. Çàòåì ó íàñ åñòü äâå âîçìîæíîñòè ïåðåâåñòè êîíåö ïîëó÷èâøåãîñÿ îòðåçêà â B1 : ëèáî ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòà, ëèáî ñ ïîìîùüþ îñåâîé ñèììåòðèè (ðèñ.7).  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó- Ðèñ. 7 ÷àåòñÿ ñîáñòâåííîå äâèæåíèå, à âî âòîðîì íåñîáñòâåííîå. Ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî òåîðåìå 2, â êàæäîì èç ýòèõ äâóõ ñëó÷àåâ òàêîå äâèæåíèå åäèíñòâåííî, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ëþáîå ñîáñòâåííîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà è ïîâîðîòà, à íåñîáñòâåííîå êîìïîçèöèåé ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà è îñåâîé ñèììåòðèè. Èíûìè ñëîâàìè, ïî ñðàâíåíèþ ñ òåîðåìîé 1 äëÿ ñëó÷àÿ íåñîáñòâåííîãî äâèæåíèÿ, óäàëîñü îáîéòèñü áîëåå êîðîòêîé êîìïîçèöèåé áåç ïîâîðîòà. Îäíàêî æå ýòî åùå íå êîíåö ëþáîå äâèæåíèå ïëîñêîñòè ìîæíî ñâåñòè ê åùå áîëåå ïðîñòîìó âèäó.  ñëó÷àå ñîáñòâåííîãî äâèæåíèÿ êîìïîçèöèè ïåðåíîñà è ïîâîðîòà, åñëè ïîâîðîò ïðîèñõîäèò íà íåíóëåâîé óãîë, âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 6 è ïîëó÷èì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì. Åñëè æå ïîâîðîò â êîìïîçèöèè ïðîèñõîäèò íà íóëåâîé óãîë, òî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåì ñîâñåì ïðîñòîå îïèñàíèå ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé. Òåîðåìà 3. Ëþáîå ñîáñòâåííîå äâèæåíèå ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèáî ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì, ëèáî ïîâîðîòîì. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ñëó÷àþ íåñîáñòâåííûõ äâèæåíèé. Ïîïûòàåìñÿ ïðèâåñòè êîìïîçèöèþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà è îñåâîé ñèììåòðèè ê áîëåå ïðîñòîìó âèäó. Äëÿ ýòîãî ðàçëîæèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íà äâà: ïàðàëëåëüíî è ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ñèììåòðèè. Êîìïîçèöèþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñè, è ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè çàìåíÿåì ïî ëåììå 7 íà ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî äðóãîé îñè, ïàðàëëåëüíîé èñõîäíîé. Îñòàåòñÿ êîìïîçèöèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà â íàïðàâëåíèè, ïàðàëëåëüíîì îñè, è ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè. Òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé. Ïîäâåäåì èòîã. Òåîðåìà 4. Ëþáîå íåñîáñòâåííîå äâèæåíèå ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé. Îáúåäèíåíèå òåîðåì 3 è 4 è íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Øàëÿ. Ìû ïîëó÷èëè ïðîñòóþ êëàññèôèêàöèþ äâèæåíèé ïëîñêîñòè. Êîììóòèðóþùèå äâèæåíèÿ Ïîä êîíåö ñäåëàåì åùå îäíî çàìå÷àíèå. Ïðè ðàññìîòðåíèè êîìïîçèöèé äâèæåíèé ñóùåñòâåí ïîðÿäîê, â êîòîðîì îíè ïðîèçâîäÿòñÿ. Ïðè èçìåíåíèè ïîðÿäêà, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîëó÷àåòñÿ äðóãîå äâèæåíèå. Èíûìè ñëîâàìè, îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè íà ìíîæåñòâå äâèæåíèé ïëîñêîñòè íåêîììóòàòèâíà. Èíîãäà âñòðå÷àþòñÿ ïàðû êîììóòèðóþùèõ äâèæåíèé. Òàêèìè, î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ ïàðû äâèæåíèé 29.07.09, 18:02 ØÊÎËÀ èç ëåììû 1 (ïàðàëëåëüíûå ïåðåíîñû) è èç ëåììû 2 (ïîâîðîòû ñ îáùèì öåíòðîì). À âî âñåõ êîìïîçèöèÿõ èç ëåìì 37 ïîðÿäîê ñóùåñòâåí ðàññìàòðèâàåìûå â íèõ ïàðû äâèæåíèé íå êîììóòèðóþò. Åùå îäèí ïðèìåð êîììóòèðóþùèõ äâèæåíèé ýòî îñåâàÿ ñèììåòðèÿ è ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íà âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè ñèììåòðèè. Ïîýòîìó ïðè îïðåäåëåíèè ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèè íåâàæíî, â êàêîì ïîðÿäêå äåëàòü ñîñòàâëÿþùèå åå ýëåìåíòàðíûå äâèæåíèÿ. Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ðåøåíèå çàäà÷è 1. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïîâîðîòå íà óãîë 120° îòíîñèòåëüíî òî÷êè M âåðøèíà A ïåðåõîäèò â B, à Ñ â D. Çíà÷èò, ïðè ýòîì ïîâîðîòå íàïðàâëåííûé îòðåçîê AC ïåðåõîäèò â íàïðàâëåííûé îòðåçîê BD, ïîýòîìó èõ äëèíû ðàâíû, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 120°. Çíà÷èò, óãîë ìåæäó íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè AC è DB ðàâåí 60°. Ðàññìîòðèì ñîáñòâåííîå äâèæåíèå, ïåðåâîäÿùåå íàïðàâëåííûé îòðåçîê AC â DB. Ïî òåîðåìå Øàëÿ, îí ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì, à âåëè÷èíà óãëà ïîâîðîòà äîëæíà áûòü ðàâíà óãëó ìåæäó ýòèìè íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè, ò.å. 60°. Öåíòð ýòîãî ïîâîðîòà è áóäåò èñêîìîé òî÷êîé N. Ðåøåíèå çàäà÷è 2. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå, ïåðåâîäÿùåå òðåóãîëüíèê A1B1C1 â A2 B2C2 . Ïîñêîëüêó ýòè òðåóãîëüíèêè ðàçëè÷íî îðèåíòèðîâàíû, ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå íåñîáñòâåííîå, à çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé. Î÷åâèäíî, ÷òî ñåðåäèíà îòðåçêà, ñîåäèíÿþùàÿ ëþáóþ òî÷êó ñ åå îáðàçîì ïðè ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèè, ëåæèò íà îñè ýòîé ñèììåòðèè. Ðåøåíèå çàäà÷è 3. Äâèæåíèå, îïèñàííîå â çàäà÷å, ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé òðåõ îñåâûõ ñèììåòðèé, à ñëåäîâàòåëüíî, íåñîáñòâåííûì äâèæåíèåì ïëîñêîñòè. Ïî òåîðåìå Øàëÿ ýòî ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèè òî÷êè, ñäâèãàþùèåñÿ íà ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå, ýòî â òî÷íîñòè òî÷êè îñè. Äåéñòâèòåëüíî, âñå îíè ñäâèãàþòñÿ íà îäèí è òîò æå âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè ñèììåòðèè, â òî âðåìÿ êàê äðóãèå òî÷êè ñäâèãàþòñÿ êðîìå ýòîãî åùå è â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè. Îñòàëîñü íàéòè îñü ýòîé ñèììåòðèè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî íàéòè äâå òî÷êè íà íåé. Âîñïîëüçóåìñÿ ôàêòîì, êîòîðûé óæå ïîìîã íàì ïðè ðåøåíèè ïðåäûäóùåé çàäà÷è: ñåðåäèíà îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî òî÷êó ñ åå îáðàçîì ïðè ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèè, ëåæèò íà îñè ýòîé ñèììåòðèè. Ïîýòîìó, ÷òîáû íàéòè îñü, äîñòàòî÷íî íàéòè ñåðåäèíû äâóõ îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè ñ èõ îáðàçàìè. Ïîèñê ìîæíî ñèëüíî óïðîñòèòü, åñëè óäà÷íî âûáðàòü äâå òî÷êè, îáðàç êîòîðûõ ïðè ðàññìàòðèâàåìîé êîìïîçèöèè ëåãêî íàéòè.  êà÷åñòâå ïåðâîé òî÷êè âûáåðåì âåðøèíó A òðåóãîëüíèêà. Ïðè ïåðâûõ äâóõ ñèììåòðèÿõ îíà îñòàíåòñÿ íà ìåñòå, à ïðè òðåòüåé îòðàçèòñÿ îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû BC. Èñêîìîé ñåðåäèíîé áóäåò îñíîâàíèå âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû A.  êà÷åñòâå âòîðîé òî÷êè âîçüìåì òî÷êó, ñèììåòðè÷íóþ òî÷êå C îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû AB. Ïðè ïåðâîé ñèììåòðèè îíà ïåðåéäåò â C, à ïðè äâóõ ñëåäóþùèõ îñòàíåòñÿ íà ìåñòå. Çíà÷èò, âòîðàÿ èñêîìàÿ òî÷êà îñíîâàíèå âûñîòû, îïóùåííîé èç òî÷êè C. Îòâåò: èñêîìûì ìíîæåñòâîì òî÷åê áóäåò ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îñíîâàíèÿ âûñîò, îïóùåííûõ èç âåðøèí A è C òðåóãîëüíèêà ABC. Ñëó÷àé, êîãäà ýòè îñíîâàíèÿ âûñîò ñîâïàäàþò (à ýòî ïðîèñõîäèò, åñëè òðåóãîëüíèê ABC ïðÿìîóãîëüíûé ñ ïðÿìûì óãëîì B), ñëåäóåò ðàçîáðàòü îòäåëüíî. Îñòàâëÿåì ýòî ÷èòàòåëÿì â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. 37-48.p65 41  " «ÊÂÀÍÒÅ» Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 1 (äëÿ òåõ, êòî çíàêîì ñ ïîíÿòèåì ãðóïïû). Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî äâèæåíèé îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîìïîçèöèè. Îáðàçóåò ëè ãðóïïó ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé? À ìíîæåñòâî íåñîáñòâåííûõ äâèæåíèé? 2. Äîêàæèòå (áåç èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåìû Øàëÿ), ÷òî ëþáîå äâèæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîìïîçèöèè íå áîëåå òðåõ îñåâûõ ñèììåòðèé. 3. Ïîëó÷èòå äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Øàëÿ ñ ïîìîùüþ çàäà÷è 2. 4. Ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ çàäàåòñÿ ïàðîé (îñü ñèììåòðèè, âåêòîð ïåðåíîñà). Äîêàæèòå, ÷òî ñêîëüçÿùèå ñèììåòðèè, çàäàâàåìûå ðàçíûìè ïàðàìè, ðàçëè÷íû. 5. Çàâåðøèòå ðåøåíèå çàäà÷è 3, ðàññìîòðåâ ñëó÷àé ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ ïðÿìûì óãëîì B. 6. Îáðàçàìè ñêîëüêèõ òî÷åê çàäàåòñÿ äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà? 7. Ïîïûòàéòåñü äàòü îïðåäåëåíèÿ îðèåíòàöèè, à òàêæå ñîáñòâåííîãî è íåñîáñòâåííîãî äâèæåíèé â ïðîñòðàíñòâå. Îáðàçàìè ñêîëüêèõ òî÷åê çàäàåòñÿ ñîáñòâåííîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà? 8. Êàêîå äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé äâóõ öåíòðàëüíûõ ñèììåòðèé ñ ðàçëè÷íûìè öåíòðàìè? 9. Ïóñòü 0 < α , β , γ < 180°, α + β + γ = 180°. Äîêàæèòå, ÷òî êîìïîçèöèÿ òðåõ ïîâîðîòîâ íà óãëû 2 α , 2 β , 2γ îòíîñèòåëüíî òî÷åê A, B, C ñîîòâåòñòâåííî ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà óãëû òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíû α , β è γ ñîîòâåòñòâåííî. (Ïîâîðîòû îñóùåñòâëÿþòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à òðåóãîëüíèê ABC îòðèöàòåëüíî îðèåíòèðîâàí.) 10. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàí ìíîãîóãîëüíèê ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ñòîðîí. Òî÷êó M îòðàæàþò ïîñëåäîâàòåëüíî îòíîñèòåëüíî ñåðåäèí ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àåòñÿ òî÷êà M1 . Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíà îòðåçêà MM1 ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ìíîãîóãîëüíèêà. 11. Íà ïëîñêîñòè áûë íàðèñîâàí ìíîãîóãîëüíèê ñ íå÷åòíûì êîëè÷åñòâîì ñòîðîí. Çàòåì â íåì îòìåòèëè ñåðåäèíû ñòîðîí, à ñàì ìíîãîóãîëüíèê ñòåðëè. Âîññòàíîâèòå ìíîãîóãîëüíèê ïî îòìå÷åííûì òî÷êàì ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè. 12. Äàí òðåóãîëüíèê ABC. Ïîñòðîéòå òî÷êè K, L è M òàê, ÷òîáû òðåóãîëüíèêè AKM, BLK è CLM áûëè ðàâíîñòîðîííèìè. 13. Äàí ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê. Íà äâóõ åãî ñòîðîíàõ íàðóæó ïîñòðîåíû ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè. Ïóñòü M è N âåðøèíû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ, íå ñîâïàäàþùèå ñ âåðøèíàìè èñõîäíîãî. Íà òðåòüåé ñòîðîíå òàêæå ïîñòðîèëè ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, íî òåïåðü âî âíóòðåííþþ ñòîðîíó. Ïóñòü O åãî öåíòð. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà MNO. 14. Àðõåîëîãè íàøëè ñòàðèííûé ñâèòîê, â êîòîðîì áûëî íàïèñàíî: «Âñòàíü îêîëî áåðåçû, è äîéäè îò íåå, íå ñâîðà÷èâàÿ, äî êîëîäöà, à ó êîëîäöà ïîâåðíè ïîä ïðÿìûì óãëîì íàëåâî è ïðîéäè òàêîå æå ðàññòîÿíèå.  òîì ìåñòå, ãäå òû îêàçàëñÿ, âáåé êîëûøåê â çåìëþ. Òåïåðü îïÿòü âñòàíü ó áåðåçû, è äîéäè îò íåå, íå ñâîðà÷èâàÿ, äî äóáà, ïîâåðíè ïîä ïðÿìûì óãëîì íàïðàâî è ïðîéäè òàêîå æå ðàññòîÿíèå. Âáåé âòîðîé êîëûøåê â çåìëþ. Ïîñåðåäèíå ìåæäó êîëûøêàìè çàðûò êëàä». Îêàçàëîñü, ÷òî êîëîäåö è äóá ïî-ïðåæíåìó íà ìåñòå, íî áåðåçû óæå íåò. Ñìîãóò ëè àðõåîëîãè íàéòè êëàä? 15. Íà ñòîðîíàõ ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïîñòðîåíû êâàäðàòû. Äîêàæèòå, ÷òî ó ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â öåíòðàõ ýòèõ êâàäðàòîâ äèàãîíàëè ïåðïåíäèêóëÿðíû è ðàâíû. 29.07.09, 18:02 " ÊÂÀÍT 2009/¹4 Çàãàäî÷íûå êðóãè è äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè Ñ.ÄÎÐÈ×ÅÍÊÎ, Ñ.ØÀØÊÎÂ, À.ØÅÍÜ Î Á ÝÒÎÌ ËÞÁÎÏÛÒÍÎÌ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÅ ÍÀÌ ÐÀÑÑÊÀ- çàë Æàê Ìàçîéå, ïðîôåññîð Âûñøåé íîðìàëüíîé øêîëû â Ëèîíå (Ôðàíöèÿ). Ñäåëàéòå äâå êîïèè ðèñóíêà 1 (ñëó÷àéíî ðàñïîëîæåííûå ÷åðíûå ïÿòíûøêè) íà òîíêîé áóìàãå, ëó÷øå ñ óâåëè÷åíèåì. Íàëîæèòå èõ äðóã íà äðóãà, ãëÿäÿ íà ïðîñâåò (ìîæíî ïðèëîæèòü ê îêíó). Åñëè ñîâìåñòèòü òî÷íî ïîëó÷èòñÿ èñõîäíàÿ êàðòèíêà. Íî åñëè íåìíîãî Ðèñ. 2 Ðèñ. 1 ïîâåðíóòü îäèí ëèñò îòíîñèòåëüíî äðóãîãî, êàðòèíêà èçìåíèòñÿ (ðèñ. 2). Åùå ïðîùå ýòî óâèäåòü, åñëè îäíó èç êàðòèíîê íàïå÷àòàòü íà ïðîçðà÷íîé ïëåíêå è íàêëàäûâàòü íà âòîðóþ. Íà ðèñóíêå 2 ÿâíî âèäíû îêðóæíîñòè. Îòêóäà îíè âîçíèêàþò, åñëè èçíà÷àëüíî íè÷åãî ïîõîæåãî íå áûëî? 37-48.p65 42 Îäíî èç âîçìîæíûõ îáúÿñíåíèé òàêîå. Âòîðàÿ êàðòèíêà ñëåãêà ïîâåðíóòà îòíîñèòåëüíî ïåðâîé. Îêîëî öåíòðà ïîâîðîòà ðàçíèöà íåâåëèêà, è êàðòèíêè ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò (ýòîò ó÷àñòîê õîðîøî âèäåí). ×óòü äàëüøå îò öåíòðà ïÿòíûøêè óæå íå ñîâïàäàþò, íî íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà, îáðàçóÿ ìàëåíüêèå «äóãè» (êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3). Ýòè «äóãè» è ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè îêðóæíîñòåé, êîòîðûå ìû âèäèì. Ïî ýòîé òåîðèè, îêðóæíîñòè äîëæíû áûòü âèäíû íà òàêîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà, ãäå ïÿòíûøêè åùå íàêëàäûâàÐèñ. 3 þòñÿ. Ìîæíî îöåíèòü ýòî ðàññòîÿíèå êàê d α , ãäå d ðàçìåð îäíîãî ïÿòíûøêà, à α óãîë ïîâîðîòà â ðàäèàíàõ. Êîãäà ïÿòíûøêè ðàçúåçæàþòñÿ äàëüøå, îêðóæíîñòè ïîñòåïåííî äîëæíû ïåðåñòàòü áûòü çàìåòíû. Îäíàêî ìû âèäèì îêðóæíîñòè è ñóùåñòâåííî áîëüøåãî ðàäèóñà. Ïî÷åìó? Âîçìîæíî, ÷åðíûå ïÿòíûøêè, ñëó÷àéíî ðàçáðîñàííûå ïî ëèñòó, îáðàçóþò èíîãäà ïÿòíà áîëüøåãî ðàçìåðà, ïîâîðîò êîòîðûõ ìû è çàìå÷àåì. Èëè ìû ïî èíåðöèè âèäèì îêðóæíîñòè òàì, ãäå èõ óæå íåò. ( ñàìîì äåëå, åñëè çàêðûòü íèæíþþ ïîëîâèíó ðèñóíêà 2, ðàçãëÿäåòü îêðóæíîñòè â âåðõíåé ïîëîâèíå áóäåò òðóäíåå.) Íî ïðîäîëæèì íàøè ýêñïåðèìåíòû. Ñäâèíåì íåìíîãî îäíó êàðòèíêó îòíîñèòåëüíî äðóãîé â êàêóþ-íèáóäü ñòîðîíó. Êàê íè óäèâèòåëüíî, îêðóæíîñòè ñíîâà áóäóò âèäíû, õîòÿ èõ öåíòð ñäâèíåòñÿ (ïðè÷åì â äðóãóþ ñòîðîíó). ×òî æå ýòî çíà÷èò? 29.07.09, 18:02 ØÊÎËÀ  "! «ÊÂÀÍÒÅ» Òàê ïðîÿâëÿåòñÿ çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî äâèæåíèé ïëîñêîñòè: ñäåëàâ ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâîðîò è ñäâèã, ìû â èòîãå ñíîâà ïîëó÷èì ïîâîðîò. Äðóãèìè ñëîâàìè, êîãäà ìû ñíà÷àëà ïîâåðíóëè îäíó êàðòèíêó, à çàòåì ñäâèíóëè åå îòíîñèòåëüíî äðóãîé, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò òî÷íî òàêîé æå, êàê åñëè áû ìû ïðîñòî ïîâåðíóëè ïåðâóþ êàðòèíêó âîêðóã äðóãîé òî÷êè. Îäíî èç äîêàçàòåëüñòâ ýòîãî ôàêòà ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå Ñ.Äîðè÷åíêî «Êîìïëåêñíûå ÷èñëà» â «Êâàíòå» ¹ 5 çà 2008 ãîä. Êñòàòè, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî Ðèñ. 4 Ðèñ. 5 öåíòð îêðóæíîñòåé ñìåùàåòñÿ ïðèìåðíî ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ñäâèãà: ýòî óæå ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ó íàñ ìàëûé óãîë ïîâîðîòà. Ôîðìóëà, ïðèâåäåííàÿ â êîíöå ðàçäåëà «Çàäà÷à î íåïîäâèæíîé òî÷êå è ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè» óïîìÿíóòîé ñòàòüè, ïîçâîëÿåò ýòî ïîíÿòü. Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî èìååòñÿ â ñòàòüå Â.Áóãàåíêî «Òåîðåìà Øàëÿ è äâèæåíèÿ ïëîñêîñòè» â ýòîì íîìåðå æóðíàëà. Òàì ðàññêàçàíî î êëàññèôèêàöèè äâèæåíèé ïëîñêîñòè è î ðåøåíèè çàäà÷ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Øàëÿ. Åñëè âû óìååòå ðàáîòàòü ñ ðèñóíêàìè íà êîìïüþòåðå, ýêñïåðèìåíò ìîæíî ïðîâåñòè è áåç áóìàãè. Ïðè ýòîì ìîæíî ñäåëàòü è áîëåå ñëîæíûå âåùè ïîïðîáóéòå ðàçîáðàòüñÿ, íàïðèìåð, êàê ïîëó÷èëèñü ðèñóíêè 4 è 5 (ãäå âèäíû ýëëèïñû è ñïèðàëè). Ïî÷åìó óãëåðîäíûå íàíîòðóáêè ïðî÷íåå ñòàëè? Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè îäíó îäíîñòåííóþ íàíîòðóáêó âëîæèòü â äðóãóþ íåñêîëüêî áîëüøåãî äèàìåòðà, òî ïðî÷íîñòü òàêîé äâóõñòåííîé íàíîòðóáêè áóäåò ïî÷òè â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì ó îäíîñòåííîé. Ïîýòîìó ó ìíîãîñòåííûõ íàíîòðóáîê ïðî÷íîñòü â íåñêîëüêî ðàç âûøå. Ó êîíñòðóêöèé èç íàíîòðóáîê áîëüøîå áóäóùåå. Èõ óæå ñåé÷àñ èñïîëüçóþò íà ïðàêòèêå, íàïðèìåð äëÿ óêðåïëåíèÿ òåííèñíûõ ðàêåòîê.  ïëàíàõ äåëàòü èç íàíîòðóáîê òðîñû äëÿ êîñìè÷åñêèõ ëèôòîâ, ÷òîáû ñíàáæàòü âñåì íåîáõîäèìûì êîñìè÷åñêèå ñòàíöèè íà ãåîñòàöèîíàðíûõ îðáèòàõ. (Íà÷àëî ñì. íà ñ. 7) Èäåàëüíàÿ íàíîòðóáêà íå èìååò íèêàêèõ äåôåêòîâ è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó ìîëåêóëó, â êîòîðîé àòîìû óãëåðîäà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé äîâîëüíî ïðî÷íûìè êîâàëåíòíûìè ñâÿçÿìè. Ñòàëü ýòî ïîëèêðèñòàëë, ñîäåðæàùèé ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ äåôåêòîâ, òàêèõ êàê ãðàíèöû è ìèêðîòðåùèíû. Ïðè ðàñòÿæåíèè îáðàçöà èç ñòàëè îäèí èç òàêèõ äåôåêòîâ ïðåâðàùàåòñÿ â òðåùèíó, è îáðàçåö ðàçðóøàåòñÿ. Íàëè÷èå ìíîæåñòâà äåôåêòîâ ó ìåòàëëè÷åñêîãî îáðàçöà îáúÿñíÿåò ïëàñòè÷íîñòü ìåòàëëà.  òî æå âðåìÿ, íàíîòðóáêà íå îáëàäàåò ïëàñòè÷íîñòüþ. 37-48.p65 43 Ê.Áîãäàíîâ 29.07.09, 18:02 "" ÊÂÀÍT 2009/¹4 ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ» Îïûòû ñ êîìïàêò-äèñêîì îòêóäà ∆ = d (sin ϕ − sin i ) . Ïðè èíòåðôåðåíöèè ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè ñâåòà (ìàêñèìóì îñâåùåííîñòè) íàáëþäàåòñÿ â òîì ñëó÷àå, åñëè ðàçíîñòü Í.ÐÎÑÒÎÂÖÅÂ, À.ÑÅÄÎÂ Ï ÐÈ ÂÇÃËßÄÅ ÍÀ ÊÎÌÏÀÊÒ-ÄÈÑÊ (ÈËÈ ÍÀ DVD- äèñê), îñâåùåííûé ñîëíå÷íûì èëè ýëåêòðè÷åñêèì ñâåòîì, îáðàùàþò íà ñåáÿ âíèìàíèå êðàñèâûå, îêðàøåííûå â ðàäóæíûå öâåòà ñåêòîðû íà åãî ïîâåðõíîñòè. Êàêîâà ïðèðîäà èõ âîçíèêíîâåíèÿ? Íåìíîãî òåîðèè. Äëÿ òîãî ÷òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ïîçíàêîìèìñÿ âíà÷àëå ñ îòðàæàòåëüíûìè äèôðàêöèîííûìè ðåøåòêàìè, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ òî÷íîãî èçìåðåíèÿ äëèí âîëí ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. Èçãîòàâëèâàþò òàêèå ðåøåòêè ïóòåì íàíåñåíèÿ ðàâíîîòñòîÿùèõ ðèñîê íà ïîâåðõíîñòü õîðîøî îòðàæàþùåé ìåòàëëè÷åñêîé ïëåíêè, ïîêðûâàþùåé ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíó. Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåí ó÷àñòîê òàêîé ðåøåòêè è ïðîôèëü åå ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ðèñêàì. Âèäíî, ÷òî ìåæäó ñîñåäíèìè ðèñêàìè íàõîäÿòñÿ ïîëîñêè íåäåôîðìèðîâàííîãî ìåòàëëà íà íèæíåì ðèñóíêå èì ñîîòâåòñòâóþò âûñòóïû. Ðàññòîÿíèå d ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè çåðêàëüíûìè ïîëîñêàìè íàçûâàþò ïîñòîÿííîé Ðèñ. 1 ðåøåòêè. Ïóñòü íà ðåøåòêó ïîä óãëîì i ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëó÷åé. Òîãäà, ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ãþéãåíñà, îò êàæäîé òî÷êè êàæäîãî âûñòóïà ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âòîðè÷íûå âîëíû. Ïðè÷åì ëó÷è îò êàæäîãî âûñòóïà èäóò íå òîëüêî ïîä óãëîì i¢ = i , êàê ýòî ñëåäóåò èç çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, íî è ïî âñåì äðóãèì íàïðàâëåíèÿì. Ãîâîðÿò, ÷òî ëó÷è äèôðàãèðóþò (îò ëàò. diffractus ðàçëîìàííûé). Óñòàíîâèì íà ïóòè âòîðè÷íûõ âîëí, äèôðàãèðóþùèõ ïîä íåêîòîðûì óãëîì ϕ , ñîáèðàþùóþ ëèíçó. Îíà ñîáåðåò èõ â ãëàâíîì ôîêóñå, ãäå ïðè íàëîæåíèè âîëíû áóäóò èíòåðôåðèðîâàòü. Ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè çàâèñèò îò ðàçíîñòè õîäà âîëí ∆ , èäóùèõ îò äâóõ ñîñåäíèõ âûñòóïîâ. Íàéäåì åå. Äîïóñòèì, ÷òî íà ðåøåòêó ïîä óãëîì i ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû λ . Âûáåðåì ïàäàþùèå ëó÷è 1 è 2 è ñîîòâåòñòâóþùèå èì äèôðàãèðóþùèå ïîä óãëîì ϕ ëó÷è 1′ è 2′ (ðèñ.2). Èç òî÷êè  ïðîâåäåì îòðåçîê BC ⊥ AC , à èç òî÷êè À îòðåçîê AD ⊥ BD . Õîä ëó÷åé 1 è 2 äî AD è õîä ëó÷åé 1′ è 2′ îò ÂÑ äî âñòðå÷è â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ñîáèðàþùåé ëèíçû îäèíàêîâû, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü õîäà èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí ðàâíà ∆ = AC − BD . Èç òðåóãîëüíèêîâ ÀÑ è ADB ïîëó÷àåì AC = d sin ϕ è BD = d sin i , 37-48.p65 44 Ðèñ. 2 õîäà êðàòíà äëèíå âîëíû: ∆ = kλ , ãäå k = 0, 1, 2, Èç ñîîòíîøåíèé äëÿ ∆ ïîëó÷àåì, ÷òî ìàêñèìóì îñâåùåííîñòè ó÷àñòêà ðåøåòêè â îêðåñòíîñòè âûñòóïîâ À è  íàáëþäàåòñÿ, êîãäà d (sin ϕ − sin i ) = kλ . (1) Åñëè óãîë ïàäåíèÿ i = 0, ò.å. ñâåò ïàäàåò ïî íîðìàëè ê ðåøåòêå, òî óñëîâèå ìàêñèìóìà ïðèíèìàåò âèä d sin ϕ = kλ . (2) Ïîñìîòðèòå òåïåðü íà ðèñóíîê 3, íà êîòîðîì ïðèâåäåíî óâåëè÷åííîå èçîáðàæåíèå ó÷àñòêà ïîâåðõíîñòè êîìïàêò- Ðèñ. 3 äèñêà. Èíôîðìàöèÿ íà íåì çàïèñàíà òî÷êàìè è ÷åðòî÷êàìè. Âèäíî, ÷òî ìåæäó ñòðîêàìè èíôîðìàöèè, êàê è â îòðàæàòåëüíîé ðåøåòêå, íàõîäÿòñÿ ðàâíîîòñòîÿùèå ïîëîñêè íåäåôîðìèðîâàííîé ïëåíêè ìåòàëëà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îñâåùåíèè äèñêà ìàêñèìàëüíî îñâåùåííûìè áóäóò òå ó÷àñòêè, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ìàêñèìóìà (1). Ïîïðîáóåì îáúÿñíèòü è âîçíèêíîâåíèå öâåòíûõ ñåêòîðîâ íà ïîâåðõíîñòè êîìïàêò-äèñêà. Ðàññìîòðèì õîä ëó÷åé îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà S â ãëàç íàáëþäàòåëÿ (ðèñ.4). Èñòî÷íèê îñâåùàåò äèñê áåëûì ñâåòîì ñ äëèíàìè âîëí îò λ = 0,4 ìêì (ôèîëåòîâûé ñâåò) äî λ = 0,76 ìêì (êðàñíûé ñâåò). Âîëíû äèôðàãèðóþò îò ó÷àñòêîâ À è  äèñêà, ðàññå÷åííîãî âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòüþ âäîëü åãî ðàäèóñà. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ãëàçà ñâîäèò ëó÷è íà ñåò÷àòêå, ãäå îíè èíòåðôåðèðóþò. Èç ðèñóíêà 4 âèäíî, ÷òî ïðè ïåðåìåùåíèè îò ó÷àñòêà À ê ó÷àñòêó  óãîë äèôðàêöèè ϕ óìåíüøàåòñÿ, à óãîë ïàäåíèÿ i ðàñòåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü õîäà âîëí ∆ óáûâàåò. Åñëè, íàïðèìåð, ðàçíîñòü õîäà âîëí 1 è 2, ïîïàäà- 29.07.09, 18:02 ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß Ðèñ. 4 þùèõ â ãëàç îò ó÷àñòêà À, ðàâíà ∆ = 0,76 ìêì , à ðàçíîñòü õîäà âîëí 3 è 4, ïðèøåäøèõ â ãëàç îò ó÷àñòêà Â, ñîñòàâëÿåò ∆ = 0,4 ìêì , òî ó÷àñòîê äèñêà À áóäåò êàçàòüñÿ êðàñíûì, à ó÷àñòîê  ôèîëåòîâûì. Ìåæäó ó÷àñòêàìè À è  äèñê áóäåò îêðàøåí â äðóãèå öâåòà ðàäóãè. À òåïåðü ñîáñòâåííî îïûòû. Îïðåäåëåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñòðîêàìè çàïèñàííîé èíôîðìàöèè. Ñõåìà óñòàíîâêè äëÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 5, ãäå 1 ãåëèé-íåîíîâûé ëàçåð èëè ëàçåðíàÿ óêàçêà, 2 ìèëëèìåòðîâàÿ ëèíåéêà, â ñåðåäèíå êîòîðîé ïðîñâåðëåíî îòâåðñòèå äèàìåòðîì 2 ìì, 3 êîìïàêò-äèñê. Ëèíåéêó è äèñê óñòàíàâëèâàþò ïåðïåíäèêóëÿðíî ëó÷ó òàê, ÷òîáû îí ïðîõîäèë ÷åðåç îòâåðñòèå â ëèíåéêå è ïîïàäàë íà äèñê ó åãî êðàÿ. Ïðè ïðàâèëüíîé óñòàíîâêå íà ëèíåéêå ïîÿâëÿþòñÿ 5 êðàñíûõ ïÿòíûøåê 5 äèôðàêöèîíÐèñ. 5 íûõ ìàêñèìóìîâ: öåíòðàëüíûé íóëåâîé ìàêñèìóì è ïî äâà áîêîâûõ ìàêñèìóìà ïî îáå ñòîðîíû îò íåãî. (Åñëè âçÿòü DVD-äèñê, òî ìàêñèìóìîâ áóäåò 3.) Íåáîëüøèì ïîâîðîòîì è íàæèìîì äèñêà äîáèâàþòñÿ òàêîãî ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðîì öåíòðàëüíûé ìàêñèìóì ïîïàäàåò â îòâåðñòèå ëèíåéêè, â ýòîì ñëó÷àå óãîë ïàäåíèÿ i = 0. Èç ñîîòíîøåíèÿ (2) ïîëó÷àåì, ÷òî èñêîìîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòðîêàìè çàïèñè èíôîðìàöèè ðàâíî kλ d= . sin ϕ Èç ðèñóíêà 5 íàõîäèì l sin ϕ = . 2 l + L2 Òîãäà îêîí÷àòåëüíî kλ l 2 + L2 d= , l ïðè÷åì äëÿ ñïåêòðà ïåðâîãî ïîðÿäêà k = 1, äëÿ ñïåêòðà âòîðîãî ïîðÿäêà k = 2. Îïðåäåëåíèå ãðàíèö âèäèìîãî ñîëíå÷íîãî ñïåêòðà. Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ýòîãî îïûòà íà ëèñò ïëîòíîãî êàðòîíà íàêëåèâàþò ëèñò êëåò÷àòîé èëè ìèëëèìåòðîâîé áóìàãè. Øèëîì èëè òîëñòîé èãëîé ïðîêàëûâàþò îòâåðñòèå äèàìåòðîì 12 ìì. Êàðòîí ñ îòâåðñòèåì è äèñê çàæèìàþò ìåæäó êðàÿìè êíèãè è åå êàðòîííûìè îáëîæêàìè (ðèñ.6). Äëÿ îïûòà äîñòàòî÷íî âçÿòü êíèãó òîëùèíîé 4050 ìì. Âìåñòî êíèãè ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äåðåâÿííûì áðóñêîì òàêîé æå èëè áîëüøåé òîëùèíû.  ñîëíå÷íûé äåíü ýòó óñòàíîâêó ðàñïîëàãàþò òàê, ÷òîáû ëó÷, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç îòâåðñòèå â êàðòîíå, ïîïàäàë íà êðàé äèñêà. Òîãäà íà êëåò÷àòîé áóìàãå âîçíèêàåò áåëûé êðóæîê 37-48.p65 45 «ÊÂÀÍÒÀ» "# ñïåêòð íóëåâîãî ïîðÿäêà, à ïî îáå ñòîðîíû îò íåãî ïîÿâëÿþòñÿ ðàäóæíûå ïîëîñêè ñïåêòðû ïåðâîãî ïîðÿäêà. Íåáîëüøèì ïîâîðîòîì è íàêëîíîì êíèãè äîáèâàþòñÿ òàêîãî ïîëîæåíèÿ, êîãäà ñïåêòð íóëåâîãî ïîðÿäêà ñîâïàäàåò ñ îòâåðñòèåì. Çàìå÷àþò ðàññòîÿíèÿ îò îòâåðñòèÿ äî ôèîëåòîâîãî êðàÿ ñïåêòðà lô è äî êðàñíîãî êðàÿ ñïåêòðà lêð . Ïðè ðàññìîòðåííîì ðàñïîëîæåíèè i = 0 è k = 1. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (2) è ðèñóíêó 6, l λ = d sin ϕ = d , 2 l + L2 ãäå d ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè (â ñîâðåìåííûõ êîìïàêò-äèñêàõ d ≈ 1,6 ìêì , â DVD-äèñêàõ d ≈ 0,8 ìêì ), l ðàññòîÿíèå îò îòâåðñòèÿ äî êðàÿ ñïåêòðà ïåðâîãî ïîðÿäêà, L òîëùèíà êíèãè èëè áðóñêà. Íàáëþäåíèå ëèíåé÷àòûõ ñïåêòðîâ ðòóòè è îáðàùåííîé ëèíèè íàòðèÿ. Äëÿ íàáëþäåíèÿ ëèíåé÷àòûõ ñïåêòðîâ ïðîùå âñåãî âîñïîëüçîâàòüñÿ èçëó÷åíèåì äóãîâûõ ðòóòíûõ ëàìï, ïðèìåíÿåìûõ äëÿ îñâåùåíèÿ óëèö è ïëîùàäåé.  êîëáå òàêîé ëàìïû íàõîäèòñÿ èëè êàïåëüêà ðòóòè (ëàìïà «õîëîäíîãî» ñâåòà), èëè êàïåëüêà ðàñòâîðà íàòðèÿ â ðòóòè (ëàìïà «òåïëîãî» ñâåòà). Ïðè äóãîâîì ðàçðÿäå â êîëáå ëàìïû êàïåëüêà ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðû Hg è Na, àòîìû êîòîðûõ èçëó÷àþò ñâåò, èìåþùèé ëèíåé÷àòûé ñïåêòð. Ðàñïîëîæèâ äèñê ïåðïåíäèêóëÿðíî âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò ëàìïà è ãëàç, è ïðèëîæèâ âåðõíèé êðàé äèñêà ê ùåêå, ÷óòü íèæå ãëàçà, âðàùàþò äèñê âîêðóã åãî ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà è Ðèñ. 6 íàõîäÿò çåðêàëüíîå èçîáðàæåíèå ëàìïû. Ïðè äàëüíåéøåì ïîâîðîòå äèñêà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ïîÿâëÿåòñÿ ñíà÷àëà ëèíåé÷àòûé ñïåêòð ïåðâîãî ïîðÿäêà â âèäå ÷åðòî÷åê ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé ðàçëè÷íîãî öâåòà, à çàòåì è ñïåêòð âòîðîãî ïîðÿäêà. Ñïåêòð ðòóòíî-íàòðèåâîé ëàìïû îáëàäàåò óäèâèòåëüíîé îñîáåííîñòüþ, íà êîòîðóþ íåëüçÿ íå îáðàòèòü âíèìàíèå. Êðîìå óêàçàííûõ öâåòíûõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, ïðèíàäëåæàùèõ àòîìàì ðòóòè, â æåëòîé ÷àñòè ñïåêòðà íàáëþäàåòñÿ òàêæå ÷åðíàÿ ëèíèÿ. Îíà íàõîäèòñÿ êàê ðàç â òîì ìåñòå, ãäå äîëæíà áûòü æåëòàÿ ëèíèÿ íàòðèÿ, ïîýòîìó åå íàçûâàþò îáðàùåííîé ëèíèåé íàòðèÿ. Ïðè÷èíà åå âîçíèêíîâåíèÿ òàêîâà. Ïîíÿòíî, ÷òî òåìïåðàòóðà ïàðîâ Na â öåíòðàëüíîé ÷àñòè êîëáû çíà÷èòåëüíî âûøå òåìïåðàòóðû ñëîÿ, ïðèëåãàþùåãî ê ñòåíêàì êîëáû. Âñëåäñòâèå ýòîãî ïðè ïðîõîæäåíèè èçëó÷åíèÿ îò öåíòðàëüíûõ ñëîåâ ÷åðåç «õîëîäíûé» ïðèñòåííûé ñëîé æåëòûé ñâåò ñ äëèíîé âîëíû λ 0 = 0,589 ìêì õîðîøî ïîãëîùàåòñÿ, à ñâåò ñ äëèíàìè âîëí áîëüøå èëè ìåíüøå λ 0 ïîãëîùåíèÿ íå èñïûòûâàåò. Òàêèì îáðàçîì, ëèíèÿ ñ äëèíîé âîëíû λ 0 êàæåòñÿ ÷åðíîé ïî êîíòðàñòó ñ ñîñåäíèìè ó÷àñòêàìè ñïåêòðà. Òàêîâà æå ïðè÷èíà âîçíèêíîâåíèÿ è òåìíûõ ëèíèé Ôðàóíãîôåðà â ñïåêòðå Ñîëíöà. Îíè âîçíèêàþò ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà îò ôîòîñôåðû ñ òåìïåðàòóðîé Ò ≈ 6000 Ê ÷åðåç àòìîñôåðó Ñîëíöà ñ ãîðàçäî ìåíüøåé òåìïåðàòóðîé. 29.07.09, 18:02 "$ ÍT 009/¹4 Ì À Ò Å Ì À ÊÒÂÈÀ × ÅÑ2Ê ÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Ìîäóëü ñóììû è ñóììà ìîäóëåé ÈÒÀÒÅËÈ «ÊÂÀÍÒÀ» ÍÀÂÅÐÍßÊÀ ÂÑÒÐÅ×ÀËÈÑÜ Ñ ÏÎ×- òè î÷åâèäíûì è î÷åíü âàæíûì íåðàâåíñòâîì: a+b ≤ a + b , (1) ñïðàâåäëèâûì ïðè ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ a è b. Î åãî ñëåäñòâèÿõ, ïðèìåíåíèÿõ è îáîáùåíèÿõ ìû è ïîãîâîðèì. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî (1) ìîæíî, ðàññìàòðèâàÿ ðàçëè÷íûå êîìáèíàöèè çíàêîâ ÷èñåë a è b. Ìû ïîñòóïèì èíà÷å. 2 2 Çàïèøåì ðàâíîñèëüíîå íåðàâåíñòâî a + b ≤ ( a + b ) . Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è âûïîëíÿÿ íåîáõîäèìûå óïðîùåíèÿ, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó ab ≤ a ⋅ b . Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, èáî x ≥ x ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ. Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî â íåðàâåíñòâå (1) äîñòèãàåòñÿ, åñëè è òîëüêî åñëè ab ≥ 0 . Èíîãäà, äîïóñêàÿ íåêîòîðóþ âîëüíîñòü ðå÷è, ãîâîðÿò, ÷òî a è b èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè. Åñëè ÷èñëà a è b èìåþò ðàçíûå çíàêè, òî ïðè ab < 0 èìååò ìåñòî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî a + b < a + b . Áóäóùèì ñòóäåíòàì ïîëåçíî çíàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî (1) ñòàíåò îäíèì èç îñíîâíûõ ïðè èçó÷åíèè êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ Çàìåíèâ â íåðàâåíñòâå (1) b íà b, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî a−b ≤ a + b . )( ) Óïðàæíåíèå 3. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëàõ õ è ó, åñëè èçâåñòíî, ÷òî x + y > 1 + xy ? Çàäà÷à 2 (LIX Ìîñêîâñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà). Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ, ó, z óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì À.ÅÃÎÐÎÂ × ( íåðàâåíñòâî 1 − x2 1 − y2 > 0 , î÷åâèäíî ñïðàâåäëèâîå ïðè èìåþùèõñÿ îãðàíè÷åíèÿõ íà õ è ó. Ïîïóòíî çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî èç óñëîâèÿ çàäà÷è 1 ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáûõ õ, ó, äëÿ êîòîðûõ |x| > 1 è |y| >1. ( 1′ ) Ðàâåíñòâî â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå äîñòèãàåòñÿ ïðè ab ≤ 0 . Ñïðàâåäëèâû òàêæå íåðàâåíñòâà a − b ≤ a+b , (2) a − b ≤ a−b . ( 2′ ) Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâà (2) è ( 2′ ) è âûÿñíèòå, ïðè êàêèõ a è b îíè îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà. Íåðàâåíñòâî (1) ïî èíäóêöèè îáîáùàåòñÿ íà ëþáîå êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ: a1 + a2 + … + an ≤ a1 + a2 + … + an (3) ïðè ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ a1, a2,… , an , è ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ëèøü òîãäà, êîãäà aia j ≥ 0 ïðè i ≠ j , i, j = 1, 2,...,n. Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî (3). x ≤ y − z, y ≤ z − x, z ≤ x − y . (∗ ) Äîêàæèòå, ÷òî îäíî èç ÷èñåë õ, ó, z ðàâíî ñóììå äâóõ îñòàëüíûõ. Ðåøåíèå. Åñëè õîòÿ áû â îäíîì èç íåðàâåíñòâ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî, ò.å., íàïðèìåð, |x| = |y z|, òî ëèáî y = x + z, ëèáî z = x + y. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âñå íåðàâåíñòâà ( ∗ ) ñòðîãèå. 2 2 2 Òîãäà x2 < ( y − z ) , y2 < ( z − x ) , z2 < ( x − y ) , èëè ( x − y + z )( x + y − z ) < 0, ( y − z + x )( y + z − x ) < 0, ( z − x + y )( z + x − y ) < 0, ( ∗∗ ) ò.å. ëåâûå ÷àñòè íåðàâåíñòâ ( ∗∗ ) îòðèöàòåëüíûå. Îäíàêî, ïåðåìíîæèâ èõ, ïîëó÷èì ( x + y − z )2 ( x + z − y )2 ( y + z − x )2 . Ýòî ÷èñëî ïîëîæèòåëüíî. Ïîýòîìó ñèñòåìà ( ∗∗ ) íåñîâìåñòíà, òàê êàê ïðîèçâåäåíèå òðåõ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë îáÿçàíî áûòü îòðèöàòåëüíûì. Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à ïðåäëàãàëàñü íà LVIII Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå. Çàäà÷à 3. Äîêàæèòå, ÷òî x + y + z ≤ x+y−z + x+z−y + y+z−x . Ðåøåíèå. Èç íåðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî x+y−z + x+z−y ≥ x+y−z+x+z−y =2x . Àíàëîãè÷íî, x+y−z + y+z−x ≥2y , x+z−y + y+z−x ≥2z . Ñêëàäûâàåì ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà, è çàäà÷à ðåøåíà. Óïðàæíåíèå 4. Ïðè êàêèõ x, y è z íåðàâåíñòâî çàäà÷è 3 îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî? Çàäà÷à 4. Äàíû ÷èñëà a1, a2,… , an . Èçâåñòíî, ÷òî ñóììà ëþáûõ äâóõ èç ýòèõ ÷èñåë ïî ìîäóëþ íå áîëüøå äâóõ. Äîêàæèòå, ÷òî a1 + … + an ≤ n . Ðåøåíèå. Çàïèøåì ìîäóëü óäâîåííîé ñóììû äàííûõ ÷èñåë è âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì (3): 2a1 + 2a2 + 2a3 + … + 2an = Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê «ðàáîòàþò» äîêàçàííûå íåðàâåíñòâà. = a1 + a2 + a2 + a3 + … + an −1 + an + an + a1 ≤ Íåñêîëüêî çàäà÷ îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è. Ðåøèì åùå çàäà÷ó, ïðåäëàãàâøóþñÿ äåñÿòèêëàññíèêàì â 1974 ãîäó íà Âñåñîþçíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå. Çàäà÷à 5. Ïðè êàêèõ äåéñòâèòåëüíûõ à, b, ñ ðàâåíñòâî Íà÷íåì ñ çàäà÷è, â ðåøåíèè êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà (1). Çàäà÷à 1 (XV Ìîñêîâñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà). Äîêàæèòå, ÷òî x−y <1 1 − xy ïðè ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ õ è ó òàêèõ, ÷òî |x| < 1, |y| < 1. Ðåøåíèå. Çàïèøåì ðàâíîñèëüíîå íåðàâåíñòâî x − y < < 1 − xy è âîçâåäåì åãî â êâàäðàò: ( x − y )2 < (1 − xy )2 . Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè, ïîëó÷èì ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé 37-48.p65 46 ≤ a1 + a2 + a2 + a3 + … + an + a1 ≤ 2n , ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bz = x + y + z âåðíî äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ õ, ó, z? Ðåøåíèå. Ïîäñòàâëÿÿ â óñëîâèå x = y = z = 1, çàòåì x = = y = 0, z = 1, è x = 1, y = 1, z = 0, ïîëó÷èì ñèñòåìó a + b + c = 1 , a + b + c = 1 , a − b + b − c + c − a = 2 . Èç ïåðâûõ äâóõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî ab ≥ 0 , bc ≥ 0 , ac ≥ 0 . 29.07.09, 18:02 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ Òåïåðü çàïèøåì íåðàâåíñòâà a−b ≤ a + b, b−c ≤ b + c, c−a ≤ a + c. z1 + z2 ≤ z1 + z2 ñëåäóåò òàêîå íåðàâåíñòâî äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, ñ è d: (a + c )2 + (b + d )2 Ñëîæèâ èõ, ïîëó÷àåì a − b + b − c + c − a ≤ 2( a + b + c ) = 2 . Ðàâåíñòâî â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå âîçìîæíî ëèøü òîãäà, êîãäà âî âñåõ òðåõ ïðåäûäóùèõ íåðàâåíñòâàõ òîæå ðàâåíñòâà, ÷òî âîçìîæíî ëèøü ïðè ab ≤ 0, bc ≤ 0, ac ≤ 0 . Èç ðàíåå ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ab = bc = ac = 0, òàê ÷òî äâà èç ÷èñåë à, b, ñ çàâåäîìî ðàâíû 0. Ïîäñòàíîâêà â ïåðâîå ðàâåíñòâî äàåò, ÷òî òðåòüå ÷èñëî ðàâíî ïî ìîäóëþ 1. Îòâåò: äâà èç ÷èñåë à, b, ñ íóëè, à òðåòüå ±1 . Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à âçÿòà èç «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». Çàäà÷à 6 (Ì722).  òî÷êàõ A1, A2,… , An , ðàñïîëîæåííûõ íà îêðóæíîñòè, ðàññòàâëÿþòñÿ â íåêîòîðîì ïîðÿäêå ÷èñëà 1, 2, , n. Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ìîæåò èìåòü ñóììà n ìîäóëåé ðàçíîñòåé ñîñåäíèõ ÷èñåë? Ðåøåíèå. Ïóñòü ÷èñëî 1 íàõîäèòñÿ â òî÷êå A1 , à ÷èñëî n â òî÷êå Ak (ðèñ. 1). Ïóñòü òàêæå íà äóãå A1 Ak ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ñòîÿò ÷èñëà a1, a2,… , an − k , à íà äóãå A1 Ak ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ÷èñëà b1, b2,… , bk −2 . Ñóììà ìîäóëåé ïîïàðíûõ ðàçíîñòåé ñîñåäíèõ ÷èñåë ðàâíà Ðèñ. 1 b1 − 1 + b2 − b1 + … + bk −2 − n + + a1 − 1 + a2 − a1 + … + an −k − n ≥ ≥ b1 − 1 + b2 − b1 + b3 − b2 + … … + bk −2 − n + a1 − 1 + a2 − a1 + … + an −k − n = 2 (n − 1) . Èòàê, ñóììà ìîäóëåé ïîïàðíûõ ðàçíîñòåé íå ìåíüøå 2n 2. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî åñëè íà êàæäîé èç äóã ïåðåñòàâèòü ÷èñëà b1,… , bk − 2 è a1,… , an − k â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ (ïðè äâèæåíèè â ñîîòâåòñòâóþùåì íàïðàâëåíèè), òî ïîëó÷åííàÿ ñóììà áóäåò â òî÷íîñòè ðàâíà 2n 2. Óïðàæíåíèå 5. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ñïîñîáîâ ðàññòàíîâêè ÷èñåë 1, 2, , n â òî÷êàõ A1, A2,…, An , äëÿ êîòîðûõ ñóììà ìîäóëåé ïîïàðíûõ ðàçíîñòåé ðàâíà 2n 2? Âåêòîðû è êîìïëåêñíûå ÷èñëà Íåðàâåíñòâî (1) ñïðàâåäëèâî è äëÿ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå. Äîêàæåì ýòî. Ïóñòü a è b äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà. Îòëîæèì èõ îò íåêîòîðîé òî÷êè Î. Åñëè âåêòîðû íå êîëëèíåàðíû (ðèñ.2,à), èõ ñóììà èçîáðàæàåòñÿ äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëîãðàììà, è òîãäà â ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà | a + b | < | a | + | b | . Åñëè a è b êîëëèíåàðíû è îäèíàêîâî íàïðàâëåíû (ðèñ.2,á), òî | a + b | = | a | + | b | , à åñëè èõ íàïðàâëåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíû (ðèñ.2,â), òî | a + b | = | a | − | b | < | a | + | b | . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âåêòîðîâ íåðàâåíñòâî (1) ñïðàâåäëèâî è îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî ëèøü òîãäà, êîãäà îäèí èç íèõ ðàâåí íóëþ ëèáî êîãäà îíè îäèíàêîâî íàïðàâëåíû. Äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = a + bi è z2 = c + di íåðàâåíñòâî (1) òàêæå ñïðàâåäëèâî, èáî êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ âåêòîðàìè íà ïëîñêîñòè. Èç íåðàâåíñòâà "% ÊÐÓÆÎÊ ≤ a 2 + b 2 + c2 + d2 . Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî íåðàâåíñòâà ( 1′ ), (2), ( 2′ ) è (3) ñïðàâåäëèâû è äëÿ âåêòîðîâ, è äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Óïðàæíåíèå 6. Óáåäèòåñü â ýòîì. Ïðè ýòîì èç íåðàâåíñòâà (3) äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = a1 + ib1, … , zn = an + ibn ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (a1 + … + an )2 + (b1 + … + bn )2 ≤ a12 + b12 + … + an2 + bn2 äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ a1,… , an ; b1,… , bn . Óïðàæíåíèå 7. Îñòàåòñÿ ëè ñïðàâåäëèâûì íåðàâåíñòâî çàäà÷è 1 ïðè êîìïëåêñíûõ õ è ó? Çàäà÷à 7. Èç òî÷êè Î ïëîñêîñòè ïðîâåäåíî íåñêîëüêî âåêòîðîâ, ñóììà äëèí êîòîðûõ ðàâíà 4. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âûáðàòü íåñêîëüêî âåêòîðîâ òàê, ÷òî äëèíà èõ ñóììû áîëüøå 1. Ðåøåíèå. Ââåäåì òàêóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò õÎó, ÷òî íè îäèí èç äàííûõ âåêòîðîâ a1, a 2,… , a n íå ëåæèò íà îñÿõ êîîðäèíàò (ðèñ.3). Ïðè ýòîì âåêòîðû ðàçîáüþòñÿ íà 4 ãðóïïû â êàæäîì êâàäðàíòå êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ñâîÿ ãðóïïà. Ïî óñëîâèþ ∑ ai = 4 . Ïóñòü ai = ( xi, yi ) . Òîãäà ai = i=1 = xi2 + yi2 .  ñèëó âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò xi2 + yi2 < < xi + yi (äîêàæèòå ýòî íåðàâåíñòâî!). Ïîýòîìó 4 = = n n n i =1 i =1 i =1 ∑ ai < ∑ xi + ∑ yi . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóììà äëèí ïðîåêöèé âåêòîðîâ íà îäèí èç ëó÷åé, ëåæàùèõ íà êîîðäèíàòíûõ îñÿõ, áîëüøå 1. Íî òîãäà è äëèíà ñóììû âåêòîðîâ, ëåæàùèõ â ñîîòâåòñòâóþùåé ïîëóïëîñêîñòè, áóäåò áîëüøå 1, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì ñóììà Ðèñ. 3 ïðîåêöèé âåêòîðîâ íà ñîîòâåòñòâóþùèé ëó÷ ðàâíà ïðîåêöèè èõ ñóììû. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîäóëü ñóììû ýòèõ âåêòîðîâ áîëüøå 1. Åùå îäíî íåðàâåíñòâî Ó÷àñòíèêàì X Âñåñîþçíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû áûëà ïðåäëîæåíà çàìå÷àòåëüíàÿ çàäà÷à. Çàäà÷à 8. Íà ïëîñêîñòè äàíû âåêòîðû =, >, ? è @, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà . Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî |=| + |>| + |?| + |@| ≥ |= + @| + |> + @| + |? + @|. (4) Ïðåæäå ÷åì äîêàçûâàòü ýòî íåðàâåíñòâî, ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé. Ïóñòü a, b, c ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû íà ïëîñêîñòè. Ïîäñòàâëÿÿ â (4) d = a b c, ïîëó÷àåì äëÿ âåêòîðîâ a, b, c íåðàâåíñòâî a + b + b + c + c + a ≤ a + b + c + a + b + c . ( 4′ ) Ñíà÷àëà ìû äîêàæåì íåðàâåíñòâî ( 4′ ), à ñëåäîâàòåëüíî è (4), äëÿ ÷èñåë. Çàäà÷à 9. Äîêàæèòå, ÷òî íåðàâåíñòâî a+b + b+c + c+a ≤ a + b + c + a+b+c ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ à, b è ñ. Ðåøåíèå. Íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, åñëè âñå ÷èñëà à, b, ñ Ðèñ. 2 37-48.p65 47 29.07.09, 18:02 "& ÊÂÀÍT 2009/¹4 íåîòðèöàòåëüíû (íåïîëîæèòåëüíû), à òàêæå åñëè îäíî èõ íèõ ðàâíî 0 (íåðàâåíñòâî òîãäà îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî). Åñëè äëÿ òðîéêè à, b, ñ íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ, òî îíî ñïðàâåäëèâî è äëÿ òðîéêè à, b, c. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî a > 0, b > 0, c < 0. Ïîäåëèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè íà à c b è âûïîëíèì çàìåíó x = > 0 , y = < 0 . a a Çàäà÷à òåïåðü ñâîäèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó íåðàâåíñòâà 1+ x + x + y + 1+ y ≤ 1+ x + y + 1+ x + y ïðè x > 0, y < 0, ò.å. íåðàâåíñòâà x + y + 1 + y ≤ y + 1 + x + y , ãäå x > 0, y < 0. Ïðè y ≥ −1 ïîëó÷àåì ïîñëå óïðîùåíèé íåðàâåíñòâî x + y ≤ x − y = x + y , à ýòî íåðàâåíñòâî (1). Åñëè y < 1, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó 1 + x + y ≥ x + y − 1 ñïðàâåäëèâîìó â ñèëó íåðàâåíñòâà (2). Òåì ñàìûì íåðàâåíñòâî ( 4′ ) äîêàçàíî. Íà äîêàçàííîå íàìè íåðàâåíñòâî (4) äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë îïèðàåòñÿ ýôôåêòíîå è îñíîâàííîå íà ãëóáîêèõ èäåÿõ äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà (4) äëÿ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. Îíî èçëîæåíî â ñòàòüå Þ.Èîíèíà è À.Ïëîòêèíà «Ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè» (ñì. «Êâàíò» ¹7 çà 1977 ã., ñ. 26). Òåïåðü ðåøèì çàäà÷ó 8. Îíà îêàçàëàñü îäíîé èç ñàìûõ òðóäíûõ çàäà÷ X Âñåñîþçíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû. Äåëî â òîì, ÷òî äëÿ âåêòîðîâ íåò ïðîöåäóðû «cíÿòèÿ» çíàêîâ ìîäóëÿ, êîòîðîé ìû ïîëüçîâàëèñü, ðåøàÿ çàäà÷ó 9. Çíà÷èò, íóæíî èñêàòü ãåîìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå. Ðåøåíèå çàäà÷è 8. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî (4) ñèììåòðè÷íî, ò.å. ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ëþáûõ ïåðåñòàíîâêàõ âåêòîðîâ a, b, c è d. Ýòî ñëåäóåò èç âèäà íåðàâåíñòâà è òîãî, ÷òî a + b + c + d = 0. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü åãî äëÿ ëþáîé ÷åòâåðêè âåêòîðîâ, ïîëó÷åííîé ïåðåñòàíîâêîé èç äàííîé. Êðîìå òîãî, íåðàâåíñòâî (4) î÷åâèäíî, åñëè ñóììà êàêèõ-òî äâóõ èç âåêòîðîâ ðàâíà 0. Èòàê, â äàëüíåéøåì ñ÷èòàåì, ÷òî íè îäèí èç âåêòîðîâ è íè îäíà èç ñóìì äâóõ èç íèõ íå ðàâíû 0. Ïîñëåäîâàòåëüíî âåê îòêëàäûâàÿ CD =c, AB = a òîðû , , BC = b DA = d (ðèñ.4), ïîëó÷èì ïî ïðàâèÐèñ. 4 ëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ çàìêíóòóþ ëîìàíóþ ëèíèþ ÀÂÑDA (a + b + c + d = 0). Åñëè ýòà ëîìàíàÿ îêàæåòñÿ ñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ, âñå ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî.  ñàìîì äåëå, ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, AC ≤ AE + EC, BD ≤ BE + ED . Çíà÷èò, AC + BD ≤ ≤ AE + ED + BE + EC = AB + DC . Äàëåå: CA = c + d , DB = d + a , ò.å. CA = c + d , BD = a + d , AB = a , CD = c . Ïîýòîìó a + d + c + d ≤ a + c . Êðîìå òîãî, b + d ≤ b + d . Ñêëàäûâàÿ ïîñëåäíèå äâà íåðàâåíñòâà, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì òðåáóåìîå: a + d + b + d + c + d ≤ a + b + c + d . Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî äàííûå âåêòîðû ìîæíî ïåðåñòàâèòü òàê, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ñàìîïåðåñåêàþùàÿñÿ ëîìàíàÿ (ïðåæäå ÷åì ÷èòàòü äàëüøå, ïîäóìàéòå, êàê ýòî ñäåëàòü). Èòàê, ïóñòü ñíà÷àëà ÷åòûðåõóãîëüíèê ÀÂÑD íåâûïóêëûé èëè «âûðîæäàþùèéñÿ» (ðèñ.5,à,á). Îòëîæèì îò òî÷êè DA′ = a. Ëó÷[DA′ ïåðåñå÷åò îòðåçîê ÂÑ (ïî÷åìó?), D âåêòîð A′B = d , à ëîìàíàÿ A′BCDA′ ñòàíåò ñàìîïåðåñåêàþùåéñÿ. Åñëè æå ABCD âûïóêëûé (ðèñ.6), îòëîæèì îò òî÷êè Ñ âåêòîð CD′ = d . Òîãäà D′A = c , è ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD′ 37-48.p65 48 Ðèñ. 5 îêàæåòñÿ ëèáî íåâûïóêëûì, ëèáî ñàìîïåðåñåêàþùèìñÿ, ò.å. âñå ñâåäåòñÿ ê îäíîìó èç äâóõ óæå ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àåâ. Òåì ñàìûì íåðàâåíñòâî (4) äîêàçàíî.  òðåõìåðíîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå çàäà÷è 8 òàêæå ñïðàâåäëèâî, íî ïðèâåäåííîå äî- Ðèñ. 6 êàçàòåëüñòâî óæå íå ïðîõîäèò. (Áûëî áû èíòåðåñíî íàéòè ýëåìåíòàðíîå äîêàçàòåëüñòâî, ïîñêîëüêó äîêàçàòåëüñòâî Þ.Èîíèíà è À.Ïëîòêèíà íåýëåìåíòàðíî.) Óïðàæíåíèÿ  çàêëþ÷åíèå ïðåäëàãàåì âàì ðåøèòü íåñêîëüêî çàäà÷. Íåêîòîðûå èç íèõ ìîãóò ïîêàçàòüñÿ äàëåêèìè îò òåìû ñòàòüè. Îäíàêî òàêîå âïå÷àòëåíèå îáìàí÷èâî. Íà÷íåì ñ êîíêóðñíûõ è áëèçêèõ ê íèì ïî ñîäåðæàíèþ çàäà÷. Çàäà÷è 8 á, â, 9, 11 â ðàçíûå ãîäû ïðåäëàãàëèñü íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ â ÌÃÓ. 8. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ à) x2 − 3x + 1 + 2x2 − x − 1 = 3x2 − 4 x ; á) x − 1 + x + 1 + x − 2 + x + 2 + … + x − 100 + x + 100 = 200 x ; â) tg x tg2x tg3x + tg x + tg2x = tg3x ïðè x ∈ (0; π] . 9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâà à) 1 − x2 − x2 − 3x + 2 ≥ 3 x − 1 ; á) â) 2 sin x + 2 cos x + tg x + ctg x + 1 − sin 2x + sin x ≤ cos x ; 1 1 + ≤2. sin x cos x 10. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè à) y = x − 3 + x + x + 3 + x + 5 ; á) y = x2 + 3x + 1 + x2 − 1 + 3x − 2 . Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ õ äîñòèãàþòñÿ íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ? 11. Ïðè êàêèõ õ è ó âûðàæåíèå 2x − y − 1 + x + y + y äîñòèãàåò íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ? ×åìó ðàâíî ýòî çíà÷åíèå? È, íàêîíåö, åùå íåñêîëüêî íåêîíêóðñíûõ çàäà÷. 12. Ïóñòü a1, a2,…, an ïðîèçâîëüíàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷èñåë 1, 2, , n. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå ñóììû a1 − 1 + a2 − 2 + … + an − n . 13. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè à êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f ( x ) = an x n + an −1x n −1 + … + a0 , ãäå an ≠ 0 , òî a < 1 + max 1≤ j ≤ n 14. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî a b c a+b+c + + ≥ 1+ b 1+ c 1+ a 1+ a + b + c aj an . , ãäå à, b, ñ ïðîèçâîëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Ïîïðîáóéòå îáîáùèòü ýòî íåðàâåíñòâî íà áîëüøåå êîëè÷åñòâî ÷èñåë (âîçìîæíû ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ!). 15. Ïî îêðóæíîñòè ðàññòàâëåíû n ãèðåê ñ ðàçëè÷íûìè ìàññàìè, à íà äóãàõ ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè ãèðüêàìè ïîìåùàåòñÿ øàðèê. Ìàññà êàæäîãî øàðèêà ðàâíà ðàçíîñòè ìàññ ñîñåäíèõ ñ íèì ãèðåê (èç áîëüøåé ìàññû âû÷èòàåòñÿ ìåíüøàÿ). Ìîæíî ëè ðàçëîæèòü øàðèêè íà äâå ÷àøêè âåñîâ òàê, ÷òîáû íàñòóïèëî ðàâíîâåñèå? 29.07.09, 18:02 Ë ÈÌ ÌÏ ÏÈ ÄÛ Î ËÎ È ÈÀ À ÄÛ XXX Òóðíèð ãîðîäîâ Çàäà÷è âåñåííåãî òóðà "' ÁÀÇÎÂÛÉ ÂÀÐÈÀÍÒ íèÿ ìåäèàí ïðîòèâîïîëîæíîé ãðàíè. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðå ïîëó÷åííûå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ñ.Ìàðêåëîâ 89 êëàññû ÑËÎÆÍÛÉ ÂÀÐÈÀÍÒ 2 1 (3)1.  âûïóêëîì 2009-óãîëüíèêå ïðîâåäåíû âñå äèàãîíàëè. Ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò 2009-óãîëüíèê, íî íå ïðîõîäèò ÷åðåç åãî âåðøèíû. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò ÷åòíîå ÷èñëî äèàãîíàëåé. Ã.Ãàëüïåðèí 89 êëàññû 2 (4). Ñì. çàäà÷ó Ì2131 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 3 (4). Âîëîäÿ õî÷åò ñäåëàòü íàáîð êóáèêîâ îäíîãî ðàçìåðà è íàïèñàòü íà êàæäîé ãðàíè êàæäîãî êóáèêà ïî îäíîé öèôðå òàê, ÷òîáû ìîæíî áûëî èç ýòèõ êóáèêîâ âûëîæèòü ëþáîå 30çíà÷íîå ÷èñëî. Êàêîãî íàèìåíüøåãî êîëè÷åñòâà êóáèêîâ åìó äëÿ ýòîãî õâàòèò? (Öèôðû 6 è 9 ïðè ïåðåâîðà÷èâàíèè íå ïðåâðàùàþòñÿ äðóã â äðóãà.) Â.Çàìÿòèí 4 (4). Íàòóðàëüíîå ÷èñëî óâåëè÷èëè íà 10% è ñíîâà ïîëó÷èëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ìîãëà ëè ïðè ýòîì ñóììà öèôð óìåíüøèòüñÿ ðîâíî íà 10%? À.Øàïîâàëîâ 5 (5).  ðîìáå ABCD óãîë À ðàâåí 120°. Íà ñòîðîíàõ BC è CD âçÿòû òî÷êè M è N òàê, ÷òî óãîë NAM ðàâåí 30°. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà NAM, ëåæèò íà äèàãîíàëè ðîìáà. Ð.Æåíîäàðîâ 1011 êëàññû 1 (3). Ñì. çàäà÷ó Ì2131 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 2 (4). Ñì. çàäà÷ó Ì2132 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 3. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n îáîçíà÷èì ÷åðåç O ( n) åãî íàèáîëüøèé íå÷åòíûé äåëèòåëü. Äàíû ïðîèçâîëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà x1 = à è x2 = b. Ïîñòðîèì áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïî ïðàâèëó: xn = O ( xn -1 + xn - 2 ) , ãäå n = 3, 4, ... à) (2) Äîêàæèòå, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìåñòà, âñå ÷èñëà â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäóò ðàâíû îäíîìó è òîìó æå ÷èñëó. á) (2) Êàê íàéòè ýòî ÷èñëî, çíàÿ ÷èñëà a è b? Ã.Ãàëüïåðèí 4 (4).  ðÿä âûïèñàíû íåñêîëüêî íóëåé è åäèíèö. Ðàññìîòðèì ïàðû öèôð â ýòîì ðÿäó (íå òîëüêî ñîñåäíèõ), ãäå ëåâàÿ öèôðà ðàâíà 1, à ïðàâàÿ 0. Ïóñòü ñðåäè ýòèõ ïàð ðîâíî M òàêèõ, ÷òî ìåæäó åäèíèöåé è íóëåì ýòîé ïàðû ñòîèò ÷åòíîå ÷èñëî öèôð (âîçìîæíî, íè îäíîé), è ðîâíî N òàêèõ, ÷òî ìåæäó åäèíèöåé è íóëåì ýòîé ïàðû ñòîèò íå÷åòíîå ÷èñëî öèôð. Äîêàæèòå, ÷òî M ≥ N . Â.ßñèíñêèé 5 (4). Âíóòðè íåêîòîðîãî òåòðàýäðà âçÿëè ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó X. ×åðåç êàæäóþ âåðøèíó òåòðàýäðà ïðîâåëè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îòðåçêó, ñîåäèíÿþùåìó X ñ òî÷êîé ïåðåñå÷å1 Çäåñü è äàëåå â ñêîáêàõ ïîñëå íîìåðà êàæäîé çàäà÷è óêàçàíî ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî áàëëîâ, ïðèñóæäàâøèõñÿ çà åå ðåøåíèå. 49-58.p65 49 1 (3). Âàñÿ è Ïåòÿ èãðàþò â ñëåäóþùóþ èãðó. Íà äîñêå íàïèñàíû äâà ÷èñëà: 1/2009 è 1/2008. Íà êàæäîì õîäó Âàñÿ íàçûâàåò ëþáîå ÷èñëî x, à Ïåòÿ óâåëè÷èâàåò îäíî èç ÷èñåë íà äîñêå (êàêîå çàõî÷åò) íà x. Âàñÿ âûèãðûâàåò, åñëè â êàêîé-òî ìîìåíò îäíî èç ÷èñåë íà äîñêå ñòàíåò ðàâíûì 1. Ñìîæåò ëè Âàñÿ âûèãðàòü, êàê áû íè äåéñòâîâàë Ïåòÿ? Ä.Áàðàíîâ 2. à) (2) Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ìíîãîóãîëüíèê, êîòîðûé ìîæíî ðàçäåëèòü îòðåçêîì íà äâå ðàâíûå ÷àñòè òàê, ÷òî ýòîò îòðåçîê ðàçäåëèò îäíó èç ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà ïîïîëàì, à äðóãóþ â îòíîøåíèè 1 : 2. á) (3) Íàéäåòñÿ ëè âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê ñ òàêèì ñâîéñòâîì? Ñ.Ìàðêåëîâ 3 (5).  êàæäîé êëåòêå êâàäðàòà 101 ¥ 101 , êðîìå öåíòðàëüíîé, ñòîèò îäèí èç äâóõ çíàêîâ: «ïîâîðîò» èëè «ïðÿìî». Øàõìàòíàÿ ôèãóðà «ìàøèíà» ìîæåò âúåõàòü èçâíå â ëþáóþ êëåòêó íà ãðàíèöå êâàäðàòà (ïîä ïðÿìûì óãëîì ê ãðàíèöå). Åñëè ìàøèíà ïîïàäàåò â êëåòêó ñî çíàêîì «ïðÿìî», òî îíà ïðîäîëæàåò åõàòü â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è åõàëà. Åñëè ïîïàäàåò â êëåòêó ñî çíàêîì «ïîâîðîò», òî ïîâîðà÷èâàåò íà 90° â ëþáóþ ñòîðîíó ïî ñâîåìó âûáîðó. Öåíòðàëüíóþ êëåòêó êâàäðàòà çàíèìàåò äîì. Ìîæíî ëè òàê ðàññòàâèòü çíàêè, ÷òîáû ìàøèíà íå ìîãëà ïîïàñòü â äîì? À.×åáîòàð¸â 4 (5). Äàíà áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé ÷ëåí ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (êðîìå ïåðâîãî) ëèáî ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå, ëèáî ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå äâóõ ñîñåäíèõ ñ íèì ÷ëåíîâ. Îáÿçàòåëüíî ëè âñå ÷ëåíû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, òîëüêî ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå ëèáî òîëüêî ñðåäíèå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîèõ ñîñåäåé? À.Ïåðåïå÷êî 5 (6). Ñì. çàäà÷ó Ì2133 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 6 (7). Óãîë B ïðè âåðøèíå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC ðàâåí 120° (ðèñ.1) Èç âåðøèíû B âûïóñòèëè âíóòðü òðåóãîëüíèêà äâà ëó÷à ïîä óãëîì 60° äðóã ê äðóãó, êîòîðûå, îòðàçèâøèñü îò îñíîâàíèÿ AC (ïî çàêîíó «óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ»), ïîïàëè íà áîêî- Ðèñ. 1 âûå ñòîðîíû.  ðåçóëü2  Òóðíèðå ãîðîäîâ ñëîæíûé âàðèàíò âåñåííåãî òóðà íàçíà÷àåòñÿ íà òîò æå äåíü, êîãäà ïðîõîäèò Ìîñêîâñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà, ïîýòîìó â Ìîñêâå âåñåííèé òóð òóðíèðà (ñëîæíûé âàðèàíò) íå ïðîâîäèòñÿ. Òàêàÿ ñèñòåìà ñëîæèëàñü ïîòîìó, ÷òî ñàì Òóðíèð ãîðîäîâ çàìûøëÿëñÿ êàê ðàñïðîñòðàíåíèå Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû ïî äðóãèì ãîðîäàì. Ïîñêîëüêó îáà ñîðåâíîâàíèÿ ïðîõîäÿò â îäèí äåíü, æþðè èìåþò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü íåêîòîðûå çàäà÷è è äëÿ òóðíèðà, è äëÿ îëèìïèàäû. 29.07.09, 18:08 # ÊÂÀÍT 2009/¹4 òàòå èñõîäíûé òðåóãîëüíèê ðàçäåëèëñÿ íà 5 ìåíüøèõ òðåóãîëüíèêîâ. Ðàññìîòðèì òå òðè èç íèõ, êîòîðûå ïðèìûêàþò ê ñòîðîíå AC. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ñðåäíåãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé êðàéíèõ òðåóãîëüíèêîâ. Â.Ïðîèçâîëîâ 7 (9). Ñì. çàäà÷ó Ì2136 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 1011 êëàññû 1 (4). Ïðÿìîóãîëüíèê ðàçáèëè íà íåñêîëüêî ìåíüøèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ìîãëî ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîé ïàðû ïîëó÷åííûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé èõ öåíòðû, ïåðåñåêàåò åùå êàêîé-íèáóäü ïðÿìîóãîëüíèê? Ì.Ìóðàøêèí 2 (4). Ñì. çàäà÷ó 4 äëÿ 89 êëàññîâ. 3 (6). Íà êàæäîé êëåòêå äîñêè 10 ¥ 10 ñòîèò ôèøêà. Ðàçðåøàåòñÿ âûáðàòü äèàãîíàëü, íà êîòîðîé ñòîèò ÷åòíîå ÷èñëî ôèøåê, è ñíÿòü ñ íåå ëþáóþ ôèøêó. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ôèøåê ìîæíî óáðàòü ñ äîñêè òàêèìè îïåðàöèÿìè? Ì.Ìóðàøêèí 4 (6). Ñì. çàäà÷ó Ì2134 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 5 (8). Ñì. çàäà÷ó Ì2136 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 6 (9). Äàíî öåëîå ÷èñëî n > 1. Äâîå ïî î÷åðåäè îòìå÷àþò òî÷êè íà îêðóæíîñòè: ïåðâûé êðàñíûì öâåòîì, âòîðîé ñèíèì. Êîãäà îòìå÷åíî ïî n òî÷åê êàæäîãî öâåòà, èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ. Çàòåì êàæäûé èãðîê íàõîäèò íà îêðóæíîñòè äóãó íàèáîëüøåé äëèíû ñ êîíöàìè ñâîåãî öâåòà, íà êîòîðîé áîëüøå íåò îòìå÷åííûõ òî÷åê. Ó êîãî äëèíà äóãè áîëüøå òîò âûèãðàë (â ñëó÷àå ðàâåíñòâà äëèí äóã, à òàêæå ïðè îòñóòñòâèè òàêèõ äóã ó îáîèõ èãðîêîâ íè÷üÿ). Êòî èç èãðàþùèõ ìîæåò âñåãäà âûèãðûâàòü, êàê áû íè èãðàë ïðîòèâíèê? À.Øàïîâàëîâ 7 (9). Ñì. çàäà÷ó Ì2138 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». ÓÑÒÍÛÉ ÒÓÐ ÄËß 11 ÊËÀÑÑÀ 1. Íà äîñêå íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, , 100. Ðàçðåøàåòñÿ ñòåðåòü äâà ÷èñëà è íàïèñàòü âìåñòî íèõ èõ ñóììó èëè èõ ïðîèçâåäåíèå. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ìîæåò îñòàòüñÿ íà äîñêå ïîñëå 99 òàêèõ îïåðàöèé? È.Áîãäàíîâ 2. Õðîìàÿ ëàäüÿ îáîøëà ÷àñòü øàõìàòíîé äîñêè, íà÷àâ ñâîé ïóòü íà êëåòêå d4 (ðèñ. 2). Èçâåñòíî, ÷òî íè íà êàêîé êëåòêå îíà íå áûëà äâàæäû, ïîñåòèëà âñå ÷åòûðå óãëà äîñêè, ïðè÷åì íà êëåòêó a1 îíà ïîïàëà ñ êëåòêè a2, íà êëåòêó a8 îíà ïîïàëà ñ êëåòêè a7 è íà êëåòêó h8 îíà ïîïàëà ñ êëåòêè h7. Ñ êàêîé êëåòêè îíà ïîïàëà íà êëåòêó h1? (Õðîìàÿ ëàäüÿ õîäèò ïî âåðòèêàëè è ãîðèçîíòàëè íà 1 êëåòêó). À.Òîëïûãî Ðèñ. 2 3. Äàíû n öâåòîâ ñ íîìåðàìè îò 1 äî n. Äëÿ êàæäîãî k îò 1 äî n ïóñòü fk ( n) îáîçíà÷àåò êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ îêðàñèòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî n â ïåðâûå k öâåòîâ (êàæäûé èç ýòèõ öâåòîâ äîëæåí ïðèñóòñòâîâàòü). Äîêàæèòå, ÷òî f1 ( n ) - f2 ( n ) + f3 ( n ) - f4 ( n ) + f5 ( n ) - f6 ( n ) + … = 1 . (Ðàñêðàñêè, îòëè÷àþùèåñÿ ïåðåñòàíîâêîé öâåòîâ, ñ÷èòàþòñÿ ðàçíûìè. Íàïðèìåð, f1 (2) = 1 è f2 (2) = 2 .) Ì.Áåðøòåéí, Ã.Ìåðçîí 4. Ñôåðà êàñàåòñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà ABCD, êðîìå ðåáðà CD. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñôåðà, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ âñåõ ðåáåð ýòîãî òåòðàýäðà, êðîìå ðåáðà AB. Â.Ïðîèçâîëîâ 5. Äàí ìíîãî÷ëåí P ( x ) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n íàéäåòñÿ Ê 1ˆ 1 òàêîå íàòóðàëüíîå k, ÷òî P Á ˜ = . Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ Ë n¯ k òàêèå ÷èñëà c è m, ÷òî P ( x ) = cx m . Ñ.Ñïèðèäîíîâ 6. Äâóì ðàçóìíûì ìóðàâüÿì çàðàíåå îáúÿâèëè, ÷òî èõ íî÷üþ âûñàäÿò îäíîâðåìåííî â äâå âåðøèíû íàõîäÿùåãîñÿ â íåâåñîìîñòè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 1 ¥ 1 ¥ 2 ì . Ìóðàâüè ïîëçàþò òîëüêî ïî ðåáðàì, èõ ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü 1 ì/ìèí. Ìîãóò ëè îíè äîãîâîðèòüñÿ äåéñòâîâàòü òàê, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàííî âñòðåòèòüñÿ ðàíåå ÷åì ÷åðåç 9 ìèíóò ïîñëå âûñàäêè? (Ìóðàâåé çíàåò, ñêîëüêî îí ïðîïîëç.) À.Øàïîâàëîâ Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Ñ.Äîðè÷åíêî Èçáðàííûå çàäà÷è LXXII Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäû 1. Ó 2009 ãîäà åñòü òàêîå ñâîéñòâî: ìåíÿÿ ìåñòàìè öèôðû ÷èñëà 2009, íåëüçÿ ïîëó÷èòü ìåíüøåå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî (ñ íóëÿ ÷èñëà íå íà÷èíàþòñÿ).  êàêîì ãîäó ýòî ñâîéñòâî âïåðâûå ïîâòîðèòñÿ ñíîâà? (6) È.Ðàñêèíà  ñêîáêàõ ïîñëå òåêñòà êàæäîé çàäà÷è óêàçàí êëàññ, â êîòîðîì îíà ïðåäëàãàëàñü. 49-58.p65 50 2. Ðàçðåæüòå ôèãóðó íà ðèñóíêå 1 íà 8 îäèíàêîâûõ ÷àñòåé. (6) Ôîëüêëîð 3.  ïàðêå ðîñëè ëèïû è êëåíû. Êëåíîâ ñðåäè íèõ áûëî 60%. Âåñíîé â ïàðêå ïîñàäèëè ëèïû, ïîñëå ÷åãî êëåíîâ ñòàëî 20%. À îñåíüþ ïîñàäèëè êëåíû, è êëå- 29.07.09, 18:08 Ðèñ. 1 # ÎËÈÌÏÈÀÄÛ íîâ ñòàëî ñíîâà 60%. Âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èëîñü êîëè÷åñòâî äåðåâüåâ â ïàðêå çà ãîä? (6) Ä.Øíîëü 4. Ëþáîçíàòåëüíûé òóðèñò õî÷åò ïðîãóëÿòüñÿ ïî óëèöàì Ñòàðîãî ãîðîäà îò âîêçàëà (òî÷êà A íà ïëàíå; ðèñ.2) äî ñâîåãî îòåëÿ (òî÷êà B). Òóðèñò õî÷åò, ÷òîáû åãî ìàðøðóò áûë êàê ìîæíî äëèíÐèñ. 2 íåå, íî äâàæäû îêàçûâàòüñÿ íà îäíîì è òîì æå ïåðåêðåñòêå åìó íåèíòåðåñíî, è îí òàê íå äåëàåò. Íàðèñóéòå íà ïëàíå ñàìûé äëèííûé âîçìîæíûé ìàðøðóò è äîêàæèòå, ÷òî áîëåå äëèííîãî íåò. (6) È.ßùåíêî 5. Ïåòÿ è Âàñÿ æèâóò â ñîñåäíèõ äîìàõ (ñì. ïëàí íà ðèñ. 3). Âàñÿ æèâåò â ÷åòâåðòîì ïîäúåçäå. Èçâåñòíî, ÷òî Ïåòå, ÷òîáû äîáåæàòü äî Âàñè êðàò÷àéøèì ïóòåì (íå îáÿçàòåëüíî èäóùèì ïî ñòîðîíàì êëåòîê), áåçðàçëè÷íî, ñ êàêîé ñòîðîíû îáåãàòü ñâîé äîì. Îïðåäåëèòå, â êàêîì ïîäúåçäå æèâåò Ïåòÿ. (7) À.Õà÷àòóðÿí 6. Ó ïîäâîäíîãî öàðÿ ñëóæàò îñüìèíîãè ñ øåñòüþ, ñåìüþ èëè âîñåìüþ íîãàìè. Òå, ó êîãî Ðèñ. 3 7 íîã, âñåãäà ëãóò, à ó êîãî 6 èëè 8 íîã, âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó. Âñòðåòèëèñü ÷åòûðå îñüìèíîãà. Ñèíèé ñêàçàë: «Âìåñòå ó íàñ 28 íîã», çåëåíûé: «Âìåñòå ó íàñ 27 íîã», æåëòûé: «Âìåñòå ó íàñ 26 íîã», êðàñíûé: «Âìåñòå ó íàñ 25 íîã». Ó êîãî ñêîëüêî íîã? (7) Ä.Øíîëü 7. Ñêóïîé ðûöàðü õðàíèò çîëîòûå ìîíåòû â 77 ñóíäóêàõ. Îäíàæäû, ïåðåñ÷èòûâàÿ èõ, îí çàìåòèë, ÷òî åñëè îòêðûòü ëþáûå äâà ñóíäóêà, òî ìîæíî ðàçëîæèòü ëåæàùèå â íèõ ìîíåòû ïîðîâíó ïî ýòèì äâóì ñóíäóêàì. Ïîòîì îí çàìåòèë, ÷òî åñëè îòêðûòü ëþáûå 3, èëè ëþáûå 4, ..., èëè ëþáûå 76 ñóíäóêîâ, òî òîæå ìîæíî òàê ïåðåëîæèòü ëåæàùèå â íèõ ìîíåòû, ÷òî âî âñåõ îòêðûòûõ ñóíäóêàõ ñòàíåò ïîðîâíó ìîíåò. Òóò åìó ïî÷óäèëñÿ ñòóê â äâåðü, è ñòàðûé ñêðÿãà íå óñïåë ïðîâåðèòü, ìîæíî ëè ðàçëîæèòü âñå ìîíåòû ïîðîâíó ïî âñåì 77 ñóíäóêàì. Ìîæíî ëè, íå çàãëÿäûâàÿ â ñóíäóêè, äàòü òî÷íûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ? (7) È.Ðàñêèíà 8. Íà÷åðòèòå äâà ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â óçëàõ ñåòêè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñëîæèòü à) êàê òðåóãîëüíèê, òàê è ïÿòèóãîëüíèê; á) è òðåóãîëüíèê, è ÷åòûðåõóãîëüíèê, è ïÿòèóãîëüíèê. Ïîêàæèòå, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü. (7) Ä.Øíîëü 9. Íà äîñêå íàïèñàíî:  ýòîì ïðåäëîæåíèè ...% öèôð äåëÿòñÿ íà 2, ...% öèôð äåëÿòñÿ íà 3, à ...% öèôð äåëÿòñÿ è íà 2, è íà 3. Âñòàâüòå âìåñòî ìíîãîòî÷èé êàêèå-íèáóäü öåëûå ÷èñëà òàê, ÷òîáû íàïèñàííîå íà äîñêå óòâåðæäåíèå ñòàëî âåðíûì. (8) À.Øàïîâàëîâ 10. Íà ãèïîòåíóçå AB ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC âûáðàíà òî÷êà K, äëÿ êîòîðîé CK = BC. Îòðåçîê CK 49-58.p65 51 ïåðåñåêàåò áèññåêòðèñó AL â åå ñåðåäèíå. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà ABC. (8) È.Áîãäàíîâ 11. Èçâåñòíî, ÷òî êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ax2 + bx + c = 0 è bx2 + cx + a = 0 (a, b è c îòëè÷íûå îò íóëÿ ÷èñëà) èìåþò îáùèé êîðåíü. Íàéäèòå åãî. (8) Â.Êëåïöûí 12. Äâå òî÷êè íà ïëîñêîñòè íåñëîæíî ñîåäèíèòü òðåìÿ ëîìàíûìè òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü äâà ðàâíûõ ìíîãîóãîëüíèêà (íàïðèìåð, êàê íà ðèñ.4). Ñîåäèíèòå äâå òî÷êè ÷åòûðüìÿ ëîìàíûìè òàê, ÷òîáû âñå òðè ïîëó÷èâøèõñÿ ìíîãîóãîëüíèêà áûëè ðàâíû. (Ëîìàíûå íåñàìîïåðåñåêàþùèåñÿ è íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, êðîìå êîíöîâ.) (8) Ñ.Ìàðêåëîâ 13. Äâîå èãðàþùèõ ïî î÷åðåäè Ðèñ. 4 ïèøóò êàæäûé íà ñâîåé ïîëîâèíå äîñêè ïî îäíîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó (ïîâòîðåíèÿ ðàçðåøàþòñÿ) òàê, ÷òîáû ñóììà âñåõ ÷èñåë íà äîñêå íå ïðåâîñõîäèëà 10000. Ïîñëå òîãî, êàê ñóììà âñåõ ÷èñåë íà äîñêå ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé 10000, èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ ïîäñ÷åòîì ñóììû âñåõ öèôð íà êàæäîé ïîëîâèíå. Âûèãðûâàåò òîò, íà ÷üåé ïîëîâèíå ñóììà öèôð ìåíüøå (ïðè ðàâíûõ ñóììàõ íè÷üÿ). Ìîæåò ëè êòî-íèáóäü èç èãðîêîâ âûèãðàòü, êàê áû íè èãðàë ïðîòèâíèê? (8) À.Øàïîâàëîâ k 14. Ïîñëå óðîêà íà äîñêå îñòàëñÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = x è ïÿòü ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîé y = kx ( k π 0 ). Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå àáñöèññ âñåõ äåñÿòè òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ. (9) À.Áëèíêîâ 15. Íà êîëüöî ñâîáîäíî íàíèçàíî 2009 áóñèíîê. Çà îäèí õîä ëþáóþ áóñèíêó ìîæíî ïåðåäâèíóòü òàê, ÷òîáû îíà îêàçàëàñü ðîâíî ïîñåðåäèíå ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè. Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå èçíà÷àëüíàÿ ðàññòàíîâêà áóñèíîê è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õîäîâ, ïðè êîòîðûõ êàêàÿ-òî áóñèíêà ïðîéäåò õîòÿ áû îäèí ïîëíûé êðóã? (10) È.Øàíèí 16. Ñòîðîíû BC è AC òðåóãîëüíèêà ABC êàñàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé â òî÷êàõ A1 , B1 . Ïóñòü A2 , B2 îðòîöåíòðû òðåóãîëüíèêîâ CAA1 è CBB1 . Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ A2 B2 ïåðïåíäèêóëÿðíà áèññåêòðèñå óãëà C. (10) À.Çàñëàâñêèé 17. Íà ïëîñêîñòè äàíû îñè êîîðäèíàò ñ îäèíàêîâûì, íî íå îáîçíà÷åííûì ìàñøòàáîì è ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x , x Œ (0; α) . Êàê ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ïîñòðîèòü êàñàòåëüíóþ ê ýòîìó ãðàôèêó â çàäàííîé åãî òî÷êå, åñëè: Ê πˆ Êπ ˆ à) α Œ Á ; π˜ ; á) α Œ Á 0; ˜ ? (11) Ë 2¯ Ë2 ¯ À.Ãàëî÷êèí 18. ×åðåç êàæäóþ âåðøèíó ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè. Òðè èç ýòèõ ïðÿìûõ îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ äåëèò ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà íà äâå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè. 29.07.09, 18:08 # ÊÂÀÍT 2009/¹4 a) Äîêàæèòå, ÷òî è ÷åòâåðòàÿ ïðÿìàÿ îáëàäàåò òåì æå ñâîéñòâîì. á) Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü óãëû ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, åñëè îäèí èç íèõ ðàâåí 72°? (11) À.Êàíóííèêîâ 19. Äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî p íàéäèòå íàèáîëüøóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü ÷èñëà p!, íà êîòîðóþ äåëèòñÿ ÷èñëî ( p2 )!. (11) À.Êàíóííèêîâ 20. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè ñòà «äâóçíà÷íûõ» ÷èñåë 00, 01, ..., 99 íà äâå ãðóïïû íåêîòîðûå ÷èñëà õîòÿ áû îäíîé ãðóïïû ìîæíî çàïèñàòü â ðÿä òàê, ÷òîáû ëþáûå äâà ñîñåäíèõ ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà íà 1, 10 èëè 11, è õîòÿ áû â îäíîì èç äâóõ ðàçðÿäîâ (åäèíèö èëè äåñÿòêîâ) âñòðå÷àëèñü âñå 10 ðàçëè÷íûõ öèôð. (11) Î.Êîñóõèí Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Ñ.Äîðè÷åíêî Èçáðàííûå çàäà÷è Ìîñêîâñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû ÏÅÐÂÛÉ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ 7 êëàññ 1. Äâà äðóãà Åãîð è Ïåòÿ óñòðîèëè ãîíêè íà âåëîñèïåäàõ âîêðóã êâàðòàëà â äà÷íîì ïîñåëêå (ðèñ.1). Ñòàðòîâàâ îäíîâðåìåííî èç òî÷êè  â ðàçíûå ñòîðîíû, Åãîð âäîëü óëèöû ÂÀ, Ïåòÿ âäîëü óëèö ÂÑ è ÑÀ, äðóçüÿ âñòðåòèëèñü ÷åðåç 4 ìèíóòû â òî÷êå À è ïðîäîëæèëè ãîíêè ñ ïîñòîÿííûìè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòÿìè, îáúåçæàÿ êâàðòàë ðàç çà ðàçîì â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. ×åðåç êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ïîñëå ïåðâîé âñòðå÷è îíè ñíîâà îêàæóòñÿ âìåñòå â òî÷êå À? Ì.Ñåìåíîâ 2.  ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 2, ìàññà ñàìîãî ïðàâîãî ãðóçà ðàâíà m4 = 1 êã , à ìàññû âñåõ áëîêîâ îäèíàêîâû è ðàâíû m0 = 300 ã . Ñèñòåìà óðàâíîâåøåíà è íåïîäâèæíà. Íàéäèòå ìàññû ãðóçîâ m1 , m2 è m3 . Ìàññîé òðîñà è òðåíèåì â áëîêàõ ïðåíåáðå÷ü. Ì.Ðîìàøêà Ðèñ. 1 Ðèñ. 2 3. Ïÿòèäåñÿòèìåòðîâûé áàññåéí øèðèíîé 20 ì èìååò ïðîôèëü äíà, ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå 3: ÷åðåç êàæäûå 12,5 ì ãëóáèíà áàññåéíà óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1 ì. Ïóñòîé áàññåéí íà÷èíàþò çàïîëíÿòü âîäîé, íàëèâàÿ åå ñî Ðèñ. 3 49-58.p65 52 ñêîðîñòüþ 1000 ëèòðîâ â ìèíóòó. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè âûñîòû h óðîâíÿ âîäû íàä ñàìîé ãëóáîêîé ÷àñòüþ äíà áàññåéíà îò âðåìåíè t è îïðåäåëèòå, ÷åðåç êàêîå âðåìÿ áàññåéí çàïîëíèòñÿ âîäîé äîâåðõó. Ì.Ñåìåíîâ 4. Ó øêîëüíèêà Àíäðåÿ åñòü ñòåêëÿííàÿ ïðîáèðêà ìàññîé M = 80 ã è âìåñòèìîñòüþ V = 60 ìë. Îí îïóñòèë ïðîáèðêó â öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ âîäîé è ïîñòåïåííî íàñûïàë íà äíî ïðîáèðêè ïåñîê äî òåõ ïîð, ïîêà îíà íå ïîãðóçèëàñü â âîäó ïî ãîðëûøêî (ðèñ.4). Çàòåì Àíäðåé èçìåðèë ìàññó ïåñêà, íàõîäèâøåãîñÿ â ïðîáèðêå â ýòîò ìîìåíò, è îíà îêàçàëàñü ðàâíîé m = 12 ã. Âíóòðåííèé ðàäèóñ ñîñóäà, â êîòîðûé îïóùåíà ïðî- Ðèñ. 4 áèðêà, ðàâåí R = 5 ñì. Ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1 ã ñì3 . Îïðåäåëèòå ïî ýòèì äàííûì ïëîòíîñòü ñòåêëà ïðîáèðêè è âû÷èñëèòå, íà ñêîëüêî ïîäíÿëñÿ óðîâåíü âîäû â ñîñóäå â ðåçóëüòàòå ïîãðóæåíèÿ ïðîáèðêè â âîäó. Ì.Ðîìàøêà 8 êëàññ 1. Òàê íàçûâàåìûé «êèòàéñêèé âîðîò» ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâà öèëèíäðè÷åñêèõ âàëà ðàäèóñàìè r è R, íàñàæåííûõ íà îáùóþ îñü, çàêðåïëåííóþ ãîðèçîíòàëüíî (ðèñ.5; âèä ñáîêó). Íà âàëû â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ íàìîòàíà âåðåâêà, íà êîòîðîé âèñèò ïîäâèæíûé áëîê òàêîãî ðàäèóñà, ÷òî ñâîáîäíûå ó÷àñòêè âåðåâêè ïðàêòè÷åñêè âåðòèêàëüíû. Ê îñè áëîêà ïðèêðåïëåí ãðóç ìàññîé m. Âîðîò ñíàáæåí ðó÷êîé, êîíåö êîòîðîé íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 2R îò îñè âîðîòà. 1) Âîðîò âðàùàþò çà ðó÷êó òàê, ÷òî îí äåëàåò n îáîðîòîâ â ñåêóíäó. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïðè ýòîì äâèæåòñÿ ãðóç, åñëè âåðåâêà íèãäå íå ïðîñêàëüçûâàåò? 2) Êàêóþ ñèëó íåîáõîäèìî ïðèêëàÐèñ. 5 äûâàòü ê êîíöó ðó÷êè âîðîòà äëÿ 29.07.09, 18:08 #! ÎËÈÌÏÈÀÄÛ òîãî, ÷òîáû ðàâíîìåðíî ïîäíèìàòü ãðóç, åñëè âåðåâêà è áëîê î÷åíü ëåãêèå, à òðåíèÿ íåò? À.ßêóòà 2. Íàðèñóéòå ñõåìó, ñîñòîÿùóþ èç áàòàðåéêè, äâóõ ïåðåêëþ÷àòåëåé è òðåõ ëàìïî÷åê (ðèñ.6) è èìåþùóþ ïðè ðàçëè÷íûõ ïîëîæåíèÿõ ïåðåêëþ÷àòåëåé ñëåäóþùèå ðåæèìû ðàáîòû: 1) ãîðèò ïåðâàÿ ëàìïà; 2) ãîðèò âòîðàÿ ëàìïà; 3) ãîðèò òðåòüÿ ëàìïà; 4) ãîðÿò âñå òðè ëàìïû.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå êàæäàÿ èç ëàìï äîëæíà ãîðåòü òàê æå ÿðêî, êàê è òîãäà, êîãäà îíà ãîðèò îäíà. Ðèñ. 6 Ä.Õàðàáàäçå 9 êëàññ 1. Ðåçèñòîðû ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 = 10 Îì, R2 = 20 Îì, R3 = 40 Îì è R4 = 80 Îì ïðèïàÿíû ê êëåììàì A, B, C, D è E òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 7. Èìååòñÿ èñòî÷íèê òîêà ñ ÝÄÑ - = 12  è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 5 Îì, à òàêæå ìíîãî ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ìàëîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî ïîäêëþ÷àòü ê èñòî÷íèêó è ê ëþáîé Ðèñ. 7 èç êëåìì. Êàê íóæíî ñîåäèíèòü èñòî÷íèê è ðåçèñòîðû, ÷òîáû îáùàÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ íà ðåçèñòîðàõ, áûëà ìàêñèìàëüíîé? ×åìó ðàâíà ýòà ìîùíîñòü? Ì.Ðîìàøêà 2. Ïàëêà, ñòîÿùàÿ âåðòèêàëüíî íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîùàäêå, îñâåùàåìîé ñîëíå÷íûì ñâåòîì, èìååò âûñîòó h = 1,2 ì è îòáðàñûâàåò òåíü äëèíîé L = 0,9 ì. Ïàëêó íà÷èíàþò ìåäëåííî íàêëîíÿòü â íàïðàâëåíèè îòáðàñûâàåìîé åþ òåíè òàê, ÷òî åå íèæíèé êîíåö íå ñäâèãàåòñÿ ñ ìåñòà. Äëèíà òåíè ïðè ýòîì äî îïðåäåëåííîãî ìîìåíòà óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïîòîì íà÷èíàåò óìåíüøàòüñÿ. ×åìó áûëà ðàâíà ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà òåíè îò ïàëêè? Ì.Ðîìàøêà 10 êëàññ 1. Àâòîìîáèëü ñ çàäíèìè âåäóùèìè êîëåñàìè âúåçæàåò ââåðõ ïî ïðÿìîëèíåéíîìó ó÷àñòêó äîðîãè, îáðàçóþùåìó ñ ãîðèçîíòîì óãîë α , è îñòàíàâëèâàåòñÿ. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå ýòîãî âîäèòåëü ðåçêî íàæèìàåò íà ãàç è îäíîâðåìåííî îòïóñêàåò òîðìîç. Ñ êàêèì ìàêñèìàëüíûì óñêîðåíèåì ìîæåò íà÷àòü äâèãàòüñÿ àâòîìîáèëü, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ åãî êîëåñ î äîðîãó µ , à ìîùíîñòü äâèãàòåëÿ äîñòàòî÷íî âåëèêà? Öåíòð òÿæåñòè àâòîìîáèëÿ íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè h îò äîðîãè ïîñåðåäèíå ìåæäó êîëåñàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè ïåðåäíèõ è çàäíèõ êîëåñ 2L. Â.Ïîãîæåâ 2.  öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí îáúåìîì V = 200 ìë è ñå÷åíèåì S = 20 ñì2 , ñòîÿùèé íà ñòîëå è íàõîäÿùèéñÿ ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå tê = 20 ∞C , ïîëîæèëè êóñîê ëüäà ìàññîé m = 100 ã ïðè òåìïåðàòóðå t0 = 0 ∞C è íàêðûëè ñòàêàí ïëîòíî ïðèëåãàþùåé êðûøêîé. Îöåíèòå ñèëó, êîòîðàÿ ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû îòîðâàòü êðûøêó îò ñòàêàíà ñðàçó ïîñëå òîãî, êàê ëåä ðàñòàåò. Ñ÷èòàéòå, ÷òî òåïëî ïîñòóïàåò â ñòàêàí òîëüêî ñíèçó, êðûøêó îòðûâàþò ñðàçó ïî âñåìó ïåðèìåòðó, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå pa = 105 Ïà , ïëîòíîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì3 , ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì3 . Þ.Ñòàðîêóðîâ 49-58.p65 53 3. Ïÿòü ñòîðîí ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà îáðàçîâàíû îäèíàêîâûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûìè ïàëî÷êàìè. Ïðè ýòîì â òî÷êå Î, íàõîäÿùåéñÿ â öåíòðå øåñòèóãîëüíèêà, ïîòåíöèàë äàííîé ñèñòåìû çàðÿäîâ ðàâåí ϕ0 , à íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà E0 . Êàêèìè ñòàíóò ïîòåíöèàë ϕ è íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E â òî÷êå Î, åñëè óáðàòü îäíó èç çàðÿæåííûõ ïàëî÷åê? Þ.Ñòàðîêóðîâ, Ì.Ñåìåíîâ 11 êëàññ 1. Îäèí öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ðàäèóñîì R1 óäåðæèâàþò âíóòðè äðóãîãî ñîñóäà ðàäèóñîì R2 òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 8.  äíå ìàëîãî ñîñóäà åñòü îòâåðñòèå ñî âòóëêîé, â êîòîðîå âñòàâëåí äåðåâÿííûé öèëèíäð ðàäèóñîì r è âûñîòîé h = 21 ñì; îí ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ îòíîñèòåëüíî âòóëêè áåç òðåíèÿ òîëüêî ïî âåðòèêàëè.  ìàëûé ñîñóä íàëèòà âîäà äî óðîâíÿ a = 30 ñì, à â áîëüøîé íàëèòî ìàñëî, è ïðè Ðèñ. 8 ýòîì öèëèíäð ïîêîèòñÿ. Ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì3 , ïëîòíîñòü ìàñëà ρì = 790 êã ì3 , ïëîòíîñòü öèëèíäðà ρ = 600 êã ì3 . Êàêàÿ ÷àñòü îáúåìà öèëèíäðà íàõîäèòñÿ â âîäå, à êàêàÿ â ìàñëå? Ïðè êàêîì ñîîòíîøåíèè ìåæäó ρâ , ρì , r, R1 è R2 ðàâíîâåñèå öèëèíäðà áóäåò óñòîé÷èâûì, ò.å. ïðè åãî ñìåùåíèè ââåðõ èëè âíèç áóäóò âîçíèêàòü ñèëû, ñòðåìÿùèåñÿ âåðíóòü åãî îáðàòíî ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ? Ì.Ðîìàøêà 2. Òðè ïðèëåãàþùèå äðóã ê äðóãó ãðàíè êóáèêà çàðÿæåíû ðàâíîìåðíî ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà + σ , à îñòàëüíûå ãðàíè ñ ïëîòíîñòüþ çàðÿäà - σ . Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü E ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â öåíòðå êóáèêà. Ñ.Êðîòîâ ÂÒÎÐÎÉ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ 8 êëàññ 1. Íà ñòîëå ñòîèò öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí ñ âîäîé.  åãî ñåðåäèíó íà÷èíàþò ìåäëåííî íàñûïàòü ìåëêèå ñòåêëÿííûå øàðèêè. Ïðîöåññ íàñûïàíèÿ ïðîäîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî øàðèêîâ íå âûñûïåòñÿ èç ñòàêàíà. Íàðèñóéòå è ïîÿñíèòå, íå ïðîâîäÿ äåòàëüíûõ ðàñ÷åòîâ, ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñóììàðíîé ñèëû F äàâëåíèÿ íà äíî ñòàêàíà îò âåñà p óæå íàñûïàííûõ øàðèêîâ, åñëè âåñ âîäû, çàïîëíÿâøåé ñòàêàí âíà÷àëå ïðèìåðíî íà 3/4 âûñîòû, áûë ðàâåí P, ïëîòíîñòü ñòåêëà ïðèáëèçèòåëüíî â 2,5 ðàçà áîëüøå ïëîòíîñòè âîäû, à òðåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ì.Ñåìåíîâ 2.  òðåõ êàëîðèìåòðàõ íàõîäèòñÿ ïî M = 20 ã âîäû îäíîé è òîé æå òåìïåðàòóðû.  êàëîðèìåòðû ïîãðóæàþò ëüäèíêè, òàêæå èìåþùèå îäèíàêîâûå òåìïåðàòóðû (íî äðóãèå): â ïåðâûé ëüäèíêó ìàññîé m1 = 10 ã, âî âòîðîé ìàññîé m2 = 20 ã, â òðåòèé ìàññîé m3 = 40 ã. Êîãäà â êàëîðèìåòðàõ óñòàíîâèëîñü ðàâíîâåñèå, îêàçàëîñü, ÷òî ìàññà ïåðâîé ëüäèíêè ñòàëà m1¢ = 9 ã, à ìàññà âòîðîé ëüäèíêè îñòàëàñü ïðåæíåé. Êàêîé ñòàëà ìàññà òðåòüåé ëüäèíêè? Î.Øâåäîâ 9 êëàññ 1. Òåëî äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé â îäíîì íàïðàâëåíèè.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè âû÷èñëÿåòñÿ ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü 29.07.09, 18:08 #" ÊÂÀÍT 2009/¹4 äâèæåíèÿ òåëà çà âðåìÿ îò íà÷àëüíîãî äî òåêóùåãî ìîìåíòà. Íà ðèñóíêå 9 ïðèâåäåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè âû÷èñëåííîé òàêèì îáðàçîì ñðåäíåé ñêîðîñòè òåëà vñð îò âðåìåíè t. Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ìãíîâåííîé ñêîðîñòè òåëà îò âðåìåíè. Ì.Ðîìàøêà Ðèñ. 9 2.  ñèñòåìå, ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå 10, íåïîäâèæíûé áëîê ïðèêðåïëåí ê ïîòîëêó êîìíàòû, à âñå ãðóçû óäåðæèâàþò íåïîäâèæíûìè òàê, ÷òîáû îòðåçêè ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè, íå ëåæàùèå íà áëîêàõ, áûëè âåðòèêàëüíûìè. Ãðóçû ìàññàìè m2 è m3 ïîäâåøåíû ê îñÿì áëîêîâ íà æåñòêèõ ëåãêèõ ñòåðæíÿõ. Âñå áëîêè ëåãêèå è ìîãóò âðàùàòüñÿ âîêðóã ñâîèõ îñåé áåç òðåíèÿ. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé m2 ïîñëå îäíîâðåìåííîãî îòïóñêàíèÿ âñåõ ãðóçîâ. Â.Ïîãîæåâ 3.  øèðîêîì ñîñóäå ãëóáèíîé 2H íàõîäèòñÿ æèäêîñòü, ïëîòíîñòü ρ êîòîðîé çàâèñèò îò ãëóáèíû x òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 11 (âåëè÷èíà ρ0 Ðèñ. 10 Ðèñ. 11 èçâåñòíà).  ñîñóä àêêóðàòíî îïóñêàþò ïëîñêóþ øàéáó âûñîòîé h < H è ïëîòíîñòüþ ρ1 . Íàéäèòå, íà êàêóþ ãëóáèíó áóäåò ïîãðóæåíî íèæíåå îñíîâàíèå øàéáû ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ åå ðàâíîâåñèÿ. Ñ÷èòàòü, ÷òî îñíîâàíèÿ øàéáû âñå âðåìÿ îñòàþòñÿ ãîðèçîíòàëüíûìè, à ñëîè æèäêîñòè ïðè ïîãðóæåíèè øàéáû íå ïåðåìåøèâàþòñÿ. Å.ßêóòà 10 êëàññ 1. Êàïèòàí êîðàáëÿ çàìåòèë ñòðîãî íà ñåâåðå áåðåãîâîé ìàÿê è ïðèêàçàë äåðæàòü êóðñ íà íåãî.  ýòîò ìîìåíò ðàññòîÿíèå äî áåðåãà ñîñòàâëÿëî s = 30 êì. Êîðàáëü äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî âîäû ñî ñêîðîñòüþ v = 15 êì/÷ è â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè äåðæèò êóðñ íà ìàÿê. Ýêèïàæ íå çíàåò î ïðèñóòñòâèè â ìîðå çàïàäíîãî òå÷åíèÿ, ñêîðîñòü êîòîðîãî âî âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâà è ðàâíà u = 5 êì/÷. Çà êàêîå âðåìÿ êîðàáëü äîïëûâåò äî ìàÿêà? Çà êàêîå âðåìÿ îí äîïëûë áû äî ìàÿêà, äâèãàÿñü ïî êðàò÷àéøåé òðàåêòîðèè? Ì.Ðîìàøêà 2. Íà ðèñóíêå 12 èçîáðàæåí ãðàôèê öèêëè÷åñêîãî ðàâíîâåñíîãî ïðîöåññà, ïðîâîäèìîãî íàä îäíèì ìîëåì èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà. Ïî ãîðèçîíòàëè îòëîæåíà ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ãàçîì ñ ìîìåíòà íà÷àëà ïðîöåññà, ïî âåðòèêàëè îòëîæåíî êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå ãàçîì. Èçîáðàçèòå ãðàôèê ïðîöåññà â (pV)-êîîðäèíàòàõ è îïðåäåëèòå îòíî- 49-58.p65 54 øåíèå ìàêñèìàëüíîé òåìïåðàòóðû ãàçà ê åãî ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóðå. Î.Øâåäîâ 3. Òîíêîå ïðîâîëî÷íîå êîëüöî ðàçîðâàëîñü, êîãäà íàíåñåííûé íà íåãî çàðÿä ïðåâûñèë q1 . Êàêîé çàðÿä ìîæíî íàíåñòè íà âòîðîå êîëüöî, ðàäèóñ êîòîðîãî â n ðàç Ðèñ. 12 áîëüøå, à ïðî÷íîñòü ïðîâîëîêè íà ðàçðûâ â k ðàç âûøå, ÷òîáû âòîðîå êîëüöî íå ðàçîðâàëîñü? Â.Ïîãîæåâ 11 êëàññ 1. Òîíêèé äèñê êàòèòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè áåç ñêîëüæåíèÿ, îïèðàÿñü â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ïî äèàìåòðó ñâîåãî îñíîâàíèÿ íà ãëàäêóþ áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîãî êðóãîâîãî êîíóñà, ñòîÿùåãî íà ýòîé ïëîñêîñòè. Óãîë ïðè âåðøèíå êîíóñà 2α , ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà ðàâåí ðàäèóñó äèñêà (ðèñ.13). Îïðåäåëèòå ñêîðîñòè êðàéíèõ òî÷åê ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà äèñêà, åñëè åãî öåíòð äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. Åñòü ëè íà äèñêå òî÷êè, äâèæóùèåñÿ ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ, ÷åì êðàéíèå òî÷êè ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà? Ñ.Êðîòîâ 2. Èç òîíêîé æåñòêîé ïðîâîëî- Ðèñ. 13 êè èçãîòîâèëè êîëüöî ðàäèóñîì R, êîòîðîå çàêðåïèëè òàê, ÷òîáû åãî ïëîñêîñòü áûëà ãîðèçîíòàëüíîé. Íà êîëüöî íàíåñëè çàðÿä Q. Íà îñè êîëüöà íà âûñîòå h íàä íèì óäåðæèâàþò ìàëåíüêèé øàðèê ìàññîé m, èìåþùèé îäíîèìåííûé ñ êîëüöîì çàðÿä q. Êàêóþ ïî ìîäóëþ ñêîðîñòü íàäî ñîîáùèòü øàðèêó, òîëêíóâ åãî ââåðõ, ÷òîáû îí, äâèãàÿñü ïî âåðòèêàëè, ïðîëåòåë â äàëüíåéøåì ñêâîçü êîëüöî? Â.Ïîãîæåâ 3. Íà ãëàäêîì ñòîëå ñòîèò êîðîáêà ìàññîé m. Íà äíå êîðîáêè íàõîäÿòñÿ äâà áðóñêà, ìàññà êàæäîãî èç êîòîðûõ òàêæå ðàâíà m. Òðåíèÿ â ñèñòåìå íåò. Ëåâûé áðóñîê ñîåäèíåí ñî ñòåíêîé êîðîáêè ëåãêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ k. Ïðàâîìó áðóñêó ñîîáùèëè ñêîðîñòü v0 â íàïðàâëåíèè ëåâîãî áðóñêà. Ïðè ñòîëêíîâåíèè áðóñêè ñëèïàþòñÿ è äâèæóòñÿ äàëüøå êàê îäíî öåëîå. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü êîðîáêè è ìàêñèìàëüíîå ñæàòèå ïðóæèíû ïðè äàëüíåéøåì äâèæåíèè. Ì.Ðîìàøêà 4. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F è çåðêàëüíîãî øàðèêà ðàäèóñîì R, öåíòð êîòîðîãî íàõîäèòñÿ íà ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû íà ðàññòîÿíèè l îò íåå. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå d îò ëèíçû äî òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà, ðàñïîëîæåííîãî íà îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû, åñëè èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà â äàííîé ñèñòåìå ñîâïàäàåò ñ ñàìèì èñòî÷íèêîì. Þ.Ñòàðîêóðîâ Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.Ñåìåíîâ, Î.Øâåäîâ, À.ßêóòà 29.07.09, 18:08 ÎËÈÌÏÈÀÄÛ XIII Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» âíîâü ñîáèðàë îäàðåííûõ øêîëüíèêîâ è òàëàíòëèâûõ ñòóäåíòîâ íà ñâîé òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà». Öåëü òóðíèðà ïîääåðæêà òàëàíòëèâîé ìîëîäåæè, ïðîÿâèâøåé èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêå è íîâûì èíôîðìàöèîííûì òåõíîëîãèÿì. Çàäà÷à îðãàíèçàòîðîâ òóðíèðà ñîçäàíèå âðåìåííûõ òâîð÷åñêèõ êîëëåêòèâîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñîâðåìåííûõ íàó÷íûõ ïðîáëåì.  òàêèå êîëëåêòèâû âõîäÿò øêîëüíèêè, ó÷èòåëÿ, ñòóäåíòû, àñïèðàíòû, ó÷åíûå. Òðàäèöèîííî, òóðíèð ïðîâîäèòñÿ â äâà òóðà çàî÷íûé è î÷íûé. Çàî÷íûé òóð XIII Òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» íà÷àëñÿ â ñåíòÿáðå 2008 ãîäà ðàññûëêîé çàäàíèÿ ïî çàÿâêàì â ëèöåè, øêîëû è ãèìíàçèè. (Çàäàíèå çàî÷íîãî òóðà áûëî îïóáëèêîâàíî òàêæå â æóðíàëå «Êâàíò» ¹4 çà 2008 ãîä, ÷òî çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èëî ÷èñëî êîìàíä-ó÷àñòíèö òóðíèðà.) Øåñòü ëó÷øèõ êîìàíä áûëè ïðèãëàøåíû íà ôèíàë î÷íûé òóð ñîðåâíîâàíèé. Î÷íûé òóð XIII Òóðíèðà áûë ïðîâåäåí ñ 1 ïî 8 ôåâðàëÿ 2009 ãîäà â ãîðîäå Ïðîòâèíî íà áàçå Èíñòèòóòà ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé ïðè ó÷àñòèè è ïîääåðæêå ÌÃÓ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, ôîíäà «Äèíàñòèÿ», êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí», «1Ñ», æóðíàëîâ «Êâàíò» è «Ôèçèêà â øêîëå» è Èçäàòåëüñêîãî äîìà «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ». Îðãêîìèòåò òóðíèðà âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü âñåì íàçâàííûì îðãàíèçàöèÿì çà ïîìîùü â ïðîâåäåíèè òóðíèðà è ïîääåðæêó îäàðåííûõ øêîëüíèêîâ è òàëàíòëèâûõ ñòóäåíòîâ. Ïî èòîãàì äâóõ òóðîâ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì XIII Òóðíèðà ñòàëà êîìàíäà Ìåäèêî-òåõíè÷åñêîãî ëèöåÿ ãîðîäà Ñàìàðû, ïîëó÷èâøàÿ ïåðåõîäÿùèé ïðèç «Õðóñòàëüíûé ãëîáóñ» è äèïëîì I ñòåïåíè. Äèïëîìîì I ñòåïåíè è ïàìÿòíûìè çíàêàìè áûëà íàãðàæäåíà òàêæå êîìàíäà ëèöåÿ 1511 ïðè Ìîñêîâñêîì èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêîì èíñòèòóòå. Äèïëîìû II ñòåïåíè ïîëó÷èëè êîìàíäû Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ãîðîäà Ðîñòîâ-íà-Äîíó è ÔÌË 1580 ïðè Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå èì. Í.Ý.Áàóìàíà, à äèïëîìû III ñòåïåíè êîìàíäû Ñàìàðñêîãî ìåæäóíàðîäíîãî àýðîêîñìè÷åñêîãî ëèöåÿ è ëèöåÿ 51 ãîðîäà Òîëüÿòòè. Ó÷àñòíèêàì ñîðåâíîâàíèé áûëî âðó÷åíî ìíîæåñòâî ïðèçîâ îò ñïîíñîðîâ è îðãàíèçàòîðîâ òóðíèðà.  ðàìêàõ òóðíèðà áûë ïðîâåäåí êîíêóðñ êîìïüþòåðíîãî òâîð÷åñòâà, à òàêæå êîíêóðñ «Âèðòóàëüíàÿ ôèçè÷åñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ» (ðàçðàáîòàííûé êîìïàíèåé «Ôèçèêîí»). Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, ãèìíàçèè è øêîëû, ðàáîòàþùèå ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XIV Òóðíèðå «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» â ÿíâàðåôåâðàëå 2010 ãîäà. Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïð., ä.15/2, ÌÈÊ «Ãëþîí» Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227 Å-mail: gluon@yandex.ru Ñàéò äëÿ èíôîðìàöèè: www. gluon.ru Íèæå ïðèâîäèòñÿ çàî÷íîå çàäàíèå XIV Òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà». ÇÀÎ×ÍÛÉ ÒÓÐ «ÏËÀÍÅÒÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ» Ïðîöåññ îáðàçîâàíèÿ ïëàíåòíûõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç öåíòðàëüíûõ â àñòðîôèçèêå. Ïî ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì, ïëàíåòíàÿ ñèñòåìà âîêðóã çâåçäû ôîðìèðóåòñÿ èç ãàçî- 49-58.p65 55 ## Êîìàíäà-ïîáåäèòåëüíèöà XIII Òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» ïûëåâîãî îáëàêà. Ñëîæíûå ìåõàíè÷åñêèå è òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû, îáóñëîâëåííûå äåéñòâèåì ãðàâèòàöèîííûõ ñèë, ñîóäàðåíèÿìè ìåæäó ñîáîé ïûëåâûõ ÷àñòèö è îáðàçóþùèõñÿ èç íèõ òåë, à òàêæå âçàèìîäåéñòâèåì òåë è ïûëè ñ ãàçîì, ïðèâîäÿò ê îáðàçîâàíèþ áîëüøèõ è ìàëûõ ïëàíåò è èõ ðàçìåùåíèþ íà ñòàöèîíàðíûõ îðáèòàõ. Òàê æå ìîãóò îáðàçîâàòüñÿ ñïóòíèêè ïëàíåò, ïûëåâûå êîëüöåâûå ñêîïëåíèÿ è äðóãèå êîìïîíåíòû çâåçäíî-ïëàíåòíîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì ôîðìèðîâàíèå ïëàíåòíîé ñèñòåìû èç îáëàêà ìàëûõ îäèíàêîâûõ øàðîîáðàçíûõ òåë ðàäèóñîì r = 1 ì, íàõîäÿùèõñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ öåíòðàëüíîãî øàðîîáðàçíîãî òåëà ðàäèóñîì R = 103 ì . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâèæåíèå òåë ïðîèñõîäèò â îäíîé ïëîñêîñòè, ïëîòíîñòè ìàëûõ è áîëüøîãî òåë îäèíàêîâû è ðàâíû ρ = 5500 êã ì 3 , ðàäèóñ ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè L = 109 ì . Ïåðâîíà÷àëüíîå ðàñïîëîæåíèå ìàëûõ òåë ðàâíîìåðíîå ïî ïëîñêîñòè, èõ êîíöåíòðàöèÿ −4 −2 ðàâíà n = 10 ì . Îáëàêî ìàëûõ òåë â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âðàùàåòñÿ êàê åäèíîå òåëî ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω = 4 ⋅ 10−8 ðàä ñ . Ìàëûå òåëà âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé è ñ öåíòðàëüíûì ìàññèâíûì òåëîì ãðàâèòàöèîííûìè ñèëàìè. Ïîñêîëüêó òåëà ñôåðè÷åñêèå, äëÿ ðàñ÷åòà ñèë ïðèòÿæåíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì mm F = G 12 2 , l ãäå G ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, m1 è m2 ìàññû âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, l ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ýòèõ òåë.  ïðîöåññå äâèæåíèÿ òåëà ìîãóò èñïûòûâàòü ïîïàðíûå óïðóãèå è íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ. Ïðè óïðóãèõ ñòîëêíîâåíèÿõ ñîõðàíÿþòñÿ ñóììàðíûé èìïóëüñ è ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë, ïðè íåóïðóãèõ òîëüêî ñóììàðíûé èìïóëüñ, à ñàìè òåëà «ñëèïàþòñÿ» â åäèíîå öåëîå.  íàøåé çàäà÷å áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè íåóïðóãèõ ñîóäàðåíèÿõ ñôåðè÷åñêèõ òåë îáðàçóþòñÿ òàêæå ñôåðè÷åñêèå òåëà. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ñôåðè÷åñêèõ òåë â ìîìåíò ñîóäàðåíèÿ ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, ãäå v10 è v20 ñêîðîñòè òåë 29.07.09, 18:08 #$ ÊÂÀÍT 2009/¹4 äî ñîóäàðåíèÿ, v1 è v2 ïîñëå ñîóäàðåíèÿ. Íàïðàâëåíèå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè âòîðîãî òåëà îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà õàðàêòåðèçóåòñÿ óãëîì α , à íàïðàâëåíèÿ êîíå÷íûõ ñêîðîñòåé òåë îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíûõ óãëàìè β1 è β2 . Ðàññòîÿíèå b ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà è öåíòðîì âòîðîãî òåëà â ìîìåíò ñîóäàðåíèÿ íàçûâàåòñÿ ïðèöåëüíûì ïàðàìåòðîì. Òðàåêòîðèþ j-é äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöû ìîæíî ðàññ÷èòàòü, âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ N d2r m 2 = ∑ Fi , dt i =1,i ≠ j ãäå r ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòè öû, N ÷èñëî òåë â ñèñòåìå, Fi ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ðàññìàòðèâàåìóþ ÷àñòèöó ñî ñòîðîíû i-ãî òåëà, ïðè÷åì èíäåêñ «i» îòíîñèòñÿ êî âñåì îñòàëüíûì òåëàì ñèñòåìû. ×èñëåííîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ñëîæíàÿ ïðîöåäóðà, îäíàêî ìîæíî îäíî óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñâåñòè ê äâóì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ äëÿ îäíîé èç ïðîåêöèé: mv′x = ∑ Fix , x′ = vx , ãäå v ñêîðîñòü ÷àñòèöû, x êîîðäèíàòà ÷àñòèöû. Êîíå÷íî- ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïðîùå, ÷åì äëÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð, êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ñêîðîñòè ïî âðåìåíè âû÷èñëÿåòñÿ êàê v′ = (v − v0 ) ∆t , ãäå v0 ñêîðîñòü ÷àñòèöû â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t0 , v ñêîðîñòü ÷àñòèöû ÷åðåç ìàëûé èíòåðâàë âðåìåíè ∆t . Äëÿ êîîðäèíàòû êîíå÷íîðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî. Çàäàíèå 1. Èññëåäóéòå, ôîðìèðóþòñÿ ëè êîëüöåîáðàçíûå ñêîïëåíèÿ ìåëêèõ ÷àñòèö â ñëó÷àå, êîãäà â ñèñòåìå âñå ñîóäàðåíèÿ ìåëêèõ ÷àñòèö ñ öåíòðàëüíûì ìàññèâíûì òåëîì è äðóã ñ äðóãîì àáñîëþòíî óïðóãèå. 2. Èññëåäóéòå, ôîðìèðóþòñÿ ëè ñòàöèîíàðíûå îðáèòû îáðàçîâàâøèõñÿ êðóïíûõ ÷àñòèö-ïëàíåò â ñëó÷àå, êîãäà â ñèñòåìå ñóùåñòâóþò òîëüêî íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ. 3. Èññëåäóéòå, ôîðìèðóþòñÿ ëè ñòàöèîíàðíûå îðáèòû îáðàçîâàâøèõñÿ êðóïíûõ ÷àñòèö-ïëàíåò â ñëó÷àå, êîãäà â ñèñòåìå ñóùåñòâóþò êàê óïðóãèå, òàê è íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ. Íåóïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ ïðîèñõîäÿò ìåæäó ìåëêèìè ÷àñòèöàìè, ìåëêèìè ÷àñòèöàìè è òåëàìè, îáðàçóþùèìèñÿ èç íèõ, à òàêæå ìåæäó îáðàçóþùèìèñÿ òåëàìè, åñëè â ìîìåíò ñîóäàðåíèÿ ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð b íå ïðåâîñõîäèò òðåòè ðàäèóñà ìåíüøåãî òåëà è óãîë α ìåæäó ñêîðîñòÿìè äî ñîóäàðåíèÿ ìåíüøå 45°. Îñòàëüíûå ñîóäàðåíèÿ àáñîëþòíî óïðóãèå. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Êðàâöîâ Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå Ñ 12 ïî 14 íîÿáðÿ 2008 ãîäà â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå (ÌÃÒÓ) èì. Í.Ý.Áàóìàíà ïðîõîäèëà î÷åðåäíàÿ âñåðîññèéñêàÿ ôèçè÷åñêàÿ îëèìïèàäà ñðåäè ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ. Ïî ðåçóëüòàòàì îëèìïèàäû, â êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÏÓ), íàáðàâøàÿ 151 áàëë, âòîðîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà (109 áàëëîâ), òðåòüå ìåñòî êîìàíäà Áàëòèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÁÃÒÓ) «Âîåíìåõ» èì. Ä.Ô.Óñòèíîâà (101 áàëë).  ëè÷íîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàâîåâàë ßðîñëàâ Áåëüòþêîâ (ÑÏáÃÏÓ), âòîðîå ìåñòî çàâîåâàë Ïàâåë Ìîñòîâûõ (ÁÃÒÓ), òðåòüå ìåñòî Ìàêñèì Ïåñòðåìåíêî (ÑÏáÃÏÓ). ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 1. Òðè æóêà íàõîäÿòñÿ â âåðøèíàõ ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ êàòåòîì à. Ïåðâûé æóê ïîëçåò âäîëü ãèïîòåíóçû èç òî÷êè À ê òî÷êå Â, âòîðîé æóê ñ òàêîé æå ñêîðîñòüþ ïîëçåò èç òî÷êè  ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòîðîíå À â ñòîðîíó òî÷êè Ñ. Îïðåäåëèòå, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïîëçåò òðåòèé æóê è êàêîé ïóòü îí ïðåîäîëååò äî âñòðå÷è, åñëè îí äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî òðåóãîëüíèê, ñîåäèíÿþùèé æóêîâ, âñå âðåìÿ ïîäîáåí èñõîäíîìó. 2. Îðáèòàëüíàÿ îêîëîçåìíàÿ ñòàíöèÿ ìàññîé m íàõîäèòñÿ íà íèçêîé êðóãîâîé îðáèòå. Îïðåäåëèòå, íà êàêîé óãîë ïîâåðíåòñÿ ïëîñêîñòü îðáèòû, åñëè âêëþ÷èòü äâèãàòåëü, 49-58.p65 56 ñèëà òÿãè êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíà ñêîðîñòè è ðàâíà mg, íà âðåìÿ, ðàâíîå 1 4 2 ïåðèîäà îáðàùåíèÿ ñòàíöèè âîêðóã Çåìëè, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñêîðîñòü ñòàíöèè íå èçìåíÿåòñÿ. 3. Ãâîçäü äèàìåòðîì d âáèò â äîñêó íà ãëóáèíó l. Ñèëà òðåíèÿ ìåæäó ãâîçäåì è äîñêîé ïðîïîðöèîíàëüíà äëèíå çàáèòîé ÷àñòè ãâîçäÿ, åå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàâíî f = kl. Îïðåäåëèòå ðàáîòó ïî âûòÿãèâàíèþ ãâîçäÿ èç äîñêè êëåùàìè, åñëè ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ê äîñêå ñî ñòîðîíû ãâîçäÿ, îãðàíè÷åíà âåëè÷èíîé F < f. 4. Íåâåñîìûé öèëèíäð ðàäèóñîì R ëåæèò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè è íåïîäâèæíî çàêðåïëåí íà íåé. Íà öèëèíäð ïîëîæèëè äîñêó äëèíîé l = 2 3 R òàêèì îáðàçîì, ÷òî åå öåíòð òÿæåñòè ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé êàñàíèÿ äîñêè ñ öèëèíäðîì. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå äîñêè, åñëè ìåæäó äîñêîé, öèëèíäðîì è ïîâåðõíîñòüþ îòñóòñòâóåò òðåíèå. 5. Àêñèàëüíî ñèììåòðè÷íûé ñîñóä âûñîòîé H è ìàêñèìàëüíûì äèàìåòðîì D äîâåðõó íàïîëíåí âîäîé è ïëîòíî çàêðûò êðûøêîé. Ñîñóä âðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñèììåòðèè òàêèì îáðàçîì, ÷òî äàâëåíèå âîäû íà ñòåíêè ñîñóäà âî âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâî. Îïðåäåëèòå îáúåì âîäû â ñîñóäå. 6. Òåïëîâàÿ ìàøèíà ðàáîòàåò ñ îäíèì ìîëåì îäíîàòîìíîãî ãàçà ïî öèêëó, ñîñòîÿùåìó èç äâóõ èçîõîð è äâóõ àäèàáàò. Òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ T1 , òåìïåðàòóðà îõëàäèòåëÿ T2 . Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ ðàáîòó, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü âûïîëíåíà â äàííîì öèêëå. 7.  îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ âåðòèêàëüíî îðèåíòè- ( ) 29.07.09, 18:08 #% ÎÍ ËÔ ÈÌ ÏÌ ÈÀÖ ÄÈ Ûß È ÎÐ ðîâàííûì âåêòîðîì èíäóêöèè B íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ëåæèò òåëî ìàññîé m è çàðÿäîì q íà ðàññòîÿíèè R îò îòâåðñòèÿ â ïëîñêîñòè. Ê òåëó ïðèâÿçàíà íèòü, ïðîïóùåííàÿ ÷åðåç ýòî îòâåðñòèå, ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ ìåæäó òåëîì è îòâåðñòèåì è â íà÷àëüíûé ìîìåíò ðàâíà F. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëîì è îòâåðñòèåì â ïðîöåññå äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ. 8. Ïëîñêàÿ ñòîÿ÷àÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà íàõîäèòñÿ ìåæäó äâóìÿ ïðîâîäÿùèìè ïàðàëëåëüíûìè ïëàñòèíàìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî äëèíå âîëíû λ . Îïðåäåëèòå òî÷êè, â êîòîðûõ ñðåäíåå çíà÷åíèå îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âîëíû ìàêñèìàëüíî. 9. Ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ñ äëèíîé âîëíû λ , ïðîéäÿ ÷åðåç çîííóþ ïëàñòèíêó, ñîçäàåò â òî÷êå íàáëþäåíèÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I0 . Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, åñëè íà çîííóþ ïëàñòèíêó íàêëàäûâàåòñÿ ôàçîâàÿ ïëàñòèíêà, ñîçäàííàÿ äëÿ òîé æå òî÷êè íàáëþäåíèÿ ïðè äëèíå âîëíû, ðàâíîé λ 2 ? Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.ßêîâëåâ, Â.Ãîëóáåâ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Èçáðàííûå çàäà÷è ñîáåñåäîâàíèé â 9 ìàòåìàòè÷åñêèé êëàññ 57 øêîëû Êàæäóþ âåñíó Ìîñêîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà ïðîâîäèò ñîáåñåäîâàíèÿ äëÿ øêîëüíèêîâ, ïîñòóïàþùèõ â 8 è 9 ìàòåìàòè÷åñêèå êëàññû. Íà òàêèõ ñîáåñåäîâàíèÿõ ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è, êàæäûé ãîä íîâûå (íå âñå èç íèõ, ðàçóìååòñÿ, ïðèäóìàíû ñïåöèàëüíî äëÿ ñîáåñåäîâàíèé, íî ïåäàãîãè ñòðåìÿòñÿ ê òîìó, ÷òîáû âîïèþùå èçâåñòíûìè ýòè çàäà÷è íå áûëè). Íåêîòîðûå èç íèõ î÷åíü ïðîñòû, íåêîòîðûå âåñüìà ñëîæíû. Ìû ïðèâîäèì èçáðàííûå çàäà÷è äëÿ ïîñòóïàþùèõ â 9 êëàññ îäíîãî èç òàêèõ ñîáåñåäîâàíèé ïðîøëûõ ëåò. 1. Ïðÿìîóãîëüíèê ñëîæåí èç ïÿòè îäèíàêîâûõ ïàðêåòíûõ ïëèòîê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 1. Íàéäèòå îòíîøåíèå åãî ñòîðîí. Ðèñ. 1 2. Òðè êîëîêîëà íà÷èíàþò áèòü îäíîâðåìåííî. Èíòåðâàëû ìåæäó óäàðàìè ñîñòàâëÿþò 4 ñåêóíäû, 5/3 ñåêóíäû è 2,4 ñåêóíäû ñîîòâåòñòâåííî. Ñîâïàâøèå ïî âðåìåíè óäàðû âîñïðèíèìàþòñÿ êàê îäèí. Ñêîëüêî óäàðîâ áóäåò óñëûøàíî çà ìèíóòó (ñ÷èòàÿ ïåðâûé è ïîñëåäíèé)? 3. Óêàæèòå âñå öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè äåëåíèè íà êîòîðûå ÷èñëà 3213, 3361 è 3583 äàþò îäèíàêîâûå îñòàòêè. 4. Äâà êàðàíäàøà îäèí øåñòèãðàííûé, à âòîðîé ñ êâàäðàòíûì ñå÷åíèåì ïîëîæèëè íà äëèííûé ïèñüìåííûé ñòîë. Îêàçàëîñü, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïðîòèâîïîëîæíûìè ãðàíÿìè ó íèõ ðàâíû (ðèñ.2). Ïåðåêàòûâàÿ ÷åðåç ðåáðà, êàæäûé èç íèõ ïðîêàòèëè îò îäíîãî êðàÿ ñòîëà äî äðóãîãî. Ðèñ. 2 Ðàññìîòðèì òðàåêòîðèþ êàêîé-íèáóäü òî÷êè íà îñè (ãðèôåëå) êàðàíäàøà. à) Äëÿ êàêîãî èç êàðàíäàøåé äëèíà ýòîé òðàåêòîðèè áîëüøå? á) Âî ñêîëüêî (ïðèìåðíî) ðàç? 5. Òðè ëûæíèêà áåãóò ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè. ×åðåç êàæäûé êèëîìåòð ñòîÿò ñóäüè è îòìå÷àþò, êîãäà ìèìî íèõ ïðîáåãàþò. Ïåðâûé ñóäüÿ îòìåòèë ìîìåíòû 12:01, 12:03, 12:07. Âòîðîé ñóäüÿ (÷åðåç êèëîìåòð) îòìåòèë 12:08, 12:10, 12:11, òðåòèé (åùå ÷åðåç êèëîìåòð) îòìåòèë 12:13, 12:15, 12:19. Êàêèå ìîìåíòû îòìåòèë ÷åòâåðòûé ñóäüÿ (åùå ÷åðåç êèëîìåòð)? Óêàæèòå âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû. 49-58.p65 57 6.  âûïóêëîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF âñå âíóòðåííèå óãëû ðàâíû. Èçâåñòíî, ÷òî AB = 2, CD = 5, DE = 7, EF = 1. Íàéäèòå BC è AF. 7. Íàéäèòå âñå x, äëÿ êîòîðûõ Èx˘ Èx˘ Èx˘ ÍÎ 2 ˙˚ + ÍÎ 5 ˙˚ + ÍÎ 6 ˙˚ = 2007 . (Çäåñü êâàäðàòíûìè ñêîáêàìè îáîçíà÷åíà öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà, ò.å íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå äàííîãî; íàïðèìåð, [6/5] = 1.) 8. Íà ñòîëå ëåæàëè 30 ìîíåò ðåøêàìè ââåðõ. Âèòÿ ïîäîøåë ê ñòîëó è ïåðåâåðíóë 25 ìîíåò. Ïîñëå ýòîãî Ñàøà ïîäîøåë ê ñòîëó è ïåðåâåðíóë 24 ìîíåòû (ïðè ýòîì îí ìîã ïåðåâîðà÷èâàòü êàê òå, ÷òî ïåðåâîðà÷èâàë Âèòÿ, òàê è äðóãèå). Êàêèì ìîæåò áûòü ÷èñëî ìîíåò, îêàçàâøèõñÿ ïîñëå ýòîãî ðåøêîé ââåðõ? Óêàæèòå âñå âàðèàíòû. 9. à) Íàðèñóéòå, ãäå ìîæåò íàõîäèòüñÿ öåíòð êðóãà ðàäèóñà 1, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êðóã ïåðåñåêàåòñÿ (èìååò õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó) ñ ãðàíèöåé ïðÿìîóãîëüíèêà 3 ¥ 4 . á) Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îáðàçîâàííîé öåíòðàìè òàêèõ êðóãîâ. 10. à) Êàê ðàçìåñòèòü ãèðè ìàññàìè 101 ã, 201 ã, 301 ã, 401 ã, 501 ã è 601 ã íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ òàê, ÷òîáû ðàçíèöà ìàññ íà ÷àøêàõ áûëà íàèìåíüøåé âîçìîæíîé? Îáîñíóéòå âàø îòâåò. á) Òîò æå âîïðîñ, åñëè äîáàâèòü åùå ãèðþ â 701 ã. 11. Äâà ëûæíèêà ñòàðòîâàëè ñ èíòåðâàëîì â äâå ìèíóòû. Âòîðîé ëûæíèê äîãíàë ïåðâîãî ó îòìåòêè 1 êì (ñ÷èòàÿ îò òî÷êè ñòàðòà). Äîéäÿ äî îòìåòêè 5 êì, âòîðîé ëûæíèê ïîâåðíóë îáðàòíî è ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ âñòðåòèëñÿ ñ ïåðâûì ëûæíèêîì. Ýòà âñòðå÷à ïðîèçîøëà ÷åðåç 20 ìèíóò ïîñëå ñòàðòà ïåðâîãî ëûæíèêà. Íàéäèòå ñêîðîñòü ïåðâîãî ëûæíèêà. (Ñêîðîñòè ëûæíèêîâ ïîñòîÿííû.) 12. Äëÿ âûáîðà ïîáåäèòåëÿ 768 ó÷àñòíèêîâ ëîòåðåè áûëè ðàññòàâëåíû ïî êðóãó. Ñíà÷àëà èç êðóãà âûøåë È.È.Èâàíîâ, çàòåì âûøåë ÷åëîâåê, êîòîðûé ñòîÿë ÷åðåç îäíîãî îò Èâàíîâà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è ò.ä. êàæäûé ðàç âûõîäèë ñòîÿùèé ÷åðåç îäíîãî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå îò âûâåäåííîãî ïåðåä ýòèì. Òàê äåëàëè, ïîêà íå îñòàëñÿ îäèí ÷åëîâåê åãî îáúÿâèëè ïîáåäèòåëåì. Ãäå îí ñòîÿë ñíà÷àëà (ñ÷èòàÿ îò Èâàíîâà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå)? 13. Âàñÿ óáåäèë ó÷èòåëüíèöó ïîâûñèòü åìó îöåíêó çà èòîãîâóþ êîíòðîëüíóþ â ïåðâîé ÷åòâåðòè ñ äâîéêè íà òðîéêó, è åãî ñðåäíèé áàëë çà ïåðâóþ ÷åòâåðòü óâåëè÷èëñÿ íà a. Ïîñëå òîãî, êàê îí ïðîäåëàë òî æå ñàìîå âî âòîðîé ÷åòâåðòè, åãî ñðåäíèé áàëë çà âòîðóþ ÷åòâåðòü óâåëè÷èëñÿ íà b. Íà ñêîëüêî óâåëè÷èëñÿ â ðåçóëüòàòå åãî ñðåäíèé áàëë çà ïåðâîå ïîëóãîäèå? (Ñðåäíèé áàëë ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå îöåíîê.) 29.07.09, 18:08 #& ÊÂÀÍT 2009/¹4 14.  ñòðî÷êó âûïèñàíû åäèíèöû, äâîéêè è òðîéêè, ïðè÷åì åñòü ðîâíî 17 åäèíèö, çà êîòîðûìè ñëåäóþò äâîéêè, è ðîâíî 23 äâîéêè, çà êîòîðûìè ñëåäóþò åäèíèöû. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî òðîåê ìîæåò áûòü â ýòîé ñòðî÷êå? 15. Íà êëåò÷àòîé áóìàãå íàðèñî2 âàëè ãðàôèê ôóíêöèè y = x + cx + + d (ðèñ. 3). Íàéäèòå c è d ñ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ íå áîëåå 1. 16. Òðè êîëîäöà âåðøèíû ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé 20. Íàðèñóéòå âñå òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ à) ðàññòîÿíèå äî áëèæàéøåãî êîëîäöà ðàâíî 11; á) ðàññòîÿíèå äî ñàìîãî äàëåêîãî êîëîäöà ðàâíî 20. Ðèñ. 3 17. Ïåøåõîä èäåò âäîëü øîññå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Êàæäûå 6 ìèíóò îí âèäèò ïîïóòíûé àâòîáóñ, à êàæäûå 3 ìèíóòû âñòðå÷íûé. Èçâåñòíî, ÷òî àâòîáóñû åäóò â îáå ñòîðîíû ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ è îòïðàâëÿþòñÿ ñ êîíå÷íûõ ïóíêòîâ ÷åðåç îäèíàêîâûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè. ×åìó ðàâíû ýòè ïðîìåæóòêè? 18.  êëåò÷àòîì êâàäðàòå 100 ¥ 100 íóæíî çàêðàñèòü íåñêîëüêî êëåòîê òàê, ÷òîáû â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå áûëî íå áîëåå äâóõ çàêðàøåííûõ êëåòîê. à) Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî êëåòîê ìîæíî çàêðàñèòü? á) Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî êëåòîê ìîæíî çàêðàñèòü òàê, ÷òîáû íè îäíîé íåëüçÿ áûëî äîáàâèòü ïî èìåþùèìñÿ ïðàâèëàì? 19. Ñêîëüêî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ìîæåò èìåòü îêðóæíîñòü ñ ãðàíèöåé òðåóãîëüíèêà? 20. Êàêîé óãîë îáðàçóþò ÷àñîâàÿ è ìèíóòíàÿ ñòðåëêè ÷àñîâ â 7 ÷àñîâ 38 ìèíóò? 21. Ðàçðåæüòå êâàäðàò íà òðè ÷àñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñëîæèòü íåðàâíîáåäðåííûé íåïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê. 22.  áóòûëêå áûëî íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî äåâÿòèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà óêñóñà. Òóäà äîáàâèëè ñòàêàí âîäû, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ðàñòâîð ñòàë øåñòèïðîöåíòíûì. Êàêèì áóäåò ïðîöåíòíîå ñîäåðæàíèå óêñóñà, êîãäà äîáàâÿò åùå ñòàêàí âîäû? 23. Îñü îò äåòñêîé ìàøèíêè (äèàìåòð ëåâîãî êîëåñà 20 ìì, ïðàâîãî 21 ìì, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîëåñàìè 90 ìì; ðèñ.4) ïîêàòèëè ïî ðîâíîìó ïîëó. ÏîÐèñ. 4 ñêîëüêó êîëåñà ðàçíûå, îñü çàâîðà÷èâàåò ïî êðóãó; ïðè ýòîì êîëåñà îñòàâëÿþò íà ïîëó ñëåäû, ÿâëÿþùèåñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè. Íàéäèòå ðàäèóñû ýòèõ îêðóæíîñòåé. 24.  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1, 10, 101, 10110, êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî ïî òàêîìó ïðàâèëó: 0 çàìåíÿþò íà 1, à 1 íà 10. Ìîãóò ëè â îäíîì èç ÷èñåë â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîÿâèòüñÿ òðè åäèíèöû ïîäðÿä? 25. Ðàññìîòðèì ïåðâîå ÷èñëî â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è, â êîòîðîì íå ìåíüøå òûñÿ÷è öèôð. Êàêèå öèôðû ñòîÿò â ýòîì ÷èñëå íà 998-ì, 999-ì è 1000-ì îò íà÷àëà ìåñòàõ? 26.  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ABC (BC îñíîâàíèå) ïðîâåäåíà áèññåêòðèñà BD (ðèñ.5). Ïðÿìàÿ, ïðîÐèñ. 5 õîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó D ïåð- 49-58.p65 58 ïåíäèêóëÿðíî BD, ïåðåñåêàåò îñíîâàíèå BC â òî÷êå K. Äîêàæèòå, ÷òî BK = 2CD. 27. Äîêàæèòå, ÷òî íè îäíó èç ñòåïåíåé äâîéêè 1, 2, 4, 8,... íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ (áîëåå îäíîãî) ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 28. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ ñòåïåíüþ äâîéêè, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 29. Ìîæíî ëè ïîìåñòèòü ïðÿìîóãîëüíèê 3 ¥ 8 âíóòðü ïðÿìîóãîëüíèêà 5 ¥ 6 ? 30. Åñòü ïî îäíîìó ëèòðó ïÿòèïðîöåíòíîãî, ñåìèïðîöåíòíîãî è äåñÿòèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà óêñóñà. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî âîñüìèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà ìîæíî ïîëó÷èòü, ñìåøèâàÿ ýòè ðàñòâîðû? 31. Öåëîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì è íå îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì. Åñëè çà÷åðêíóòü äâå åãî ïîñëåäíèå öèôðû, òîæå ïîëó÷àåòñÿ òî÷íûé êâàäðàò. Íàéäèòå íàèáîëüøåå òàêîå ÷èñëî. 32. Âíóòðè ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC âçÿòà òî÷êà M (ðèñ.6). Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âïèñàòü â òðåóãîëüíèê ABC òðåóãîëüíèê A¢B ¢C ¢ , ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû MA, MB è MC. 33. Âàñÿ íàïèñàë íà äîñêå 100 ðàçëè÷íûõ öåëûõ ïîëîæè- Ðèñ. 6 òåëüíûõ ÷èñåë, à Ïåòÿ íàøåë èõ âñåâîçìîæíûå ïîïàðíûå ñóììû (âêëþ÷àÿ ñóììó êàæäîãî ÷èñëà ñ ñîáîé). Ñðåäè ïîëó÷åííûõ ñóìì îêàçàëîñü ðîâíî 199 ðàçëè÷íûõ ÷èñåë. Êàêèå ÷èñëà áûëè âûïèñàíû Âàñåé, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè íèõ áûëè ÷èñëà 1 è 3, íî íå áûëî ÷èñëà 2? 34.  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíû âûñîòû AA1 è CC1 , ïðè÷åì èõ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ H ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà (ðèñ.7). Èçâåñòíî, ÷òî AH = HA1 , CH = 2HC1 . Íàéäèòå –B . 35.  ñòðî÷êó âûïèñàíû 100 ÷èñåë. Äîêàæèòå, ÷òî ëèáî ìîæíî ðàñêðàñèòü èõ â ÷åòûðå öâåòà òàê, ÷òîáû ÷èñëà êàæäîãî öâåòà âîçðàñòàëè ñëåâà íàïðàâî, ëèáî ñðåäè íèõ ìîæíî âûáðàòü ïÿòü ÷èñåë, Ðèñ. 7 êîòîðûå óáûâàþò ñëåâà íàïðàâî (íàèáîëüøåå ëåâåå âñåõ, ñëåäóþùåå ïî âåëè÷èíå ïðàâåå åãî è ò.ä.). 36. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî äèàãîíàëåé âûïóêëîãî 239-óãîëüíèêà ìîæíî âûáðàòü, åñëè òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ëþáûå äâå èç âûáðàííûõ äèàãîíàëåé èìåëè îáùóþ òî÷êó (âîçìîæíî, âåðøèíó)? 37. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíû íåñêîëüêî òî÷åê, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ñîåäèíåíû îòðåçêàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî ðàñêðàñèòü òî÷êè â äâà öâåòà òàê, ÷òîáû íå ìåíåå ïîëîâèíû îòðåçêîâ èìåëè ðàçíîöâåòíûå êîíöû. 38. Øåñòèóãîëüíèê ðàçðåçàí íà äâà øåñòèóãîëüíèêà òîé æå ôîðìû, íî ïðîïîðöèîíàëüíî ìåíüøèõ (ðèñ.8). Äëèíà åãî âåðõíåé ñòîÐèñ. 8 ðîíû ðàâíà 1. Íàéäèòå äëèíû îñòàëüíûõ ñòîðîí. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ð.Ãîðäèí, Â.Äîöåíêî, À.Øåíü, Ê.Øðàìîâ 29.07.09, 18:08  Å,Ò ÛÓ, ÊÓ À ÊÀ ß ,ß Ð È ßÅ Í È ß Î Ò Â Å ÎÒÒÛ ÇÇÀÀ ÍÍÈÈ ,ÅØ Ð ÅÅÍØ ÊÌØ ÇÀÄÀ×È (ñì. «Êâàíò» ¹ 3) 1. 7 ïåíüêîâ. 2. Íèòêà ïàêåòèêà çàêðó÷åíà ïðè èçãîòîâëåíèè, òàê ÷òî íåìíîãî âðàùàòüñÿ áóäåò äàæå ñóõîé ïàêåòèê. Íî ïàêåòèê î÷åíü ëåãêèé, è íèòü íå ìîæåò ðàñêðóòèòüñÿ ïîëíîñòüþ. Ïîñëå íàìîêàíèÿ ïàêåòèê ñòàíîâèòñÿ òÿæåëåå, íèòü íàòÿãèâàåòñÿ ñèëüíåå è ðàñêðó÷èâàåòñÿ äàëüøå. 3. Ïðè ïåðâîì âçâåøèâàíèè ïîëîæèì íà êàæäóþ ÷àøó âåñîâ ïî äâå áðîíçîâûõ è ïî îäíîé ñåðåáðÿíîé ìåäàëè. Åñëè âåñû â ðàâíîâåñèè, òî ýòè øåñòü ìåäàëåé íàñòîÿùèå, à ôàëüøèâàÿ íàõîäèòñÿ ñðåäè îñòàâøèõñÿ: áðîíçîâîé, ñåðåáðÿíîé è çîëîòîé. ×òîáû íàéòè åå, íà îäíó ÷àøó âåñîâ ïîëîæèì íàñòîÿùóþ áðîíçîâóþ è åùå íå ïðîâåðåííóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëè, à íà äðóãóþ íå ïðîâåðåííóþ áðîíçîâóþ è íàñòîÿùóþ ñåðåáðÿíóþ. Åñëè âåñû ñíîâà â ðàâíîâåñèè, òî ïîíÿòíî, ÷òî ôàëüøèâàÿ ìåäàëü çîëîòàÿ. Åñëè æå îäíà ÷àøêà ëåã÷å äðóãîé, òî íà íåé ëåæàò íàñòîÿùàÿ è ôàëüøèâàÿ ìåäàëè, è ïîñëåäíÿÿ îïðåäåëåíà. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ïðè ïåðâîì âçâåøèâàíèè îäíà ÷àøà îêàçàëàñü ëåã÷å äðóãîé. Òîãäà ôàëüøèâàÿ ìîíåòà ëåæèò íà ÷àøå, êîòîðàÿ ëåã÷å. Âçâåñèì äâå áðîíçîâûå ìåäàëè ñ ýòîé ÷àøè: åñëè îíè îäíîãî âåñà, òî ôàëüøèâàÿ ìåäàëü ñåðåáðÿíàÿ, åñëè îíè ðàçíîãî âåñà, òî áîëåå ëåãêàÿ ôàëüøèâàÿ. 4. Çà 8 âå÷åðîâ. ßñíî, ÷òî èç äâóõ õîááèòîâ õîòÿ áû îäèí ïîáûâàåò â ãîñòÿõ ó äðóãîãî, åñëè îíè íå áóäóò âåñòè ñåáÿ îäèíàêîâî, ò.å. ñèäåòü äîìà â îäíè è òå æå âå÷åðà è ãóëÿòü â îäíè è òå æå âå÷åðà. Åñëè âñåãî n âå÷åðîâ, òî èìååòñÿ 2n âàðèàíòîâ ïîâåäåíèÿ (â êàæäûé èç n âå÷åðîâ íóæíî âûáðàòü èç äâóõ âîçìîæíîñòåé: ãóëÿòü èëè íå ãóëÿòü). Çíà÷èò, òðåáóåòñÿ íàéòè íàèìåíüøåå n, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíèòñÿ íåðàâåíñòâî 2n > 250. 5. BC = 6, AF = 10. Ñóììà óãëîâ øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 720°. Òàê êàê âñå óãëû øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF îäèíàêîâû, êàæäûé èç íèõ ðàâåí 120°. Çíà÷èò, ñìåæíûå ñ íèìè óãëû ðàâíû ïî 60°. Ïóñòü ïðÿìûå AF è BC ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K, ïðÿìûå BC è DE â òî÷êå L, ïðÿìûå DE è AF â òî÷êå M. Òîãäà òðåóãîëüíèêè KAB, CLD, FEM è KLM ðàâíîñòîðîííèå. Îòñþäà ïîëó÷àåì 2 + BC + 5 = 5 + 7 + 1 = 1 + AF + 2 è íàõîäèì BC è AF. ÊÎÍÊÓÐÑ «ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 68» (ñì. «Êâàíò» ¹1 çà 2009 ã.) 16. Íåò, íåëüçÿ. Ïóñòü ìû ïðèäóìàëè òàêóþ ðàçìåòêó. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî êëåòîê îòìå÷åíû. Âñåãî íà êóáèêå åñòü 3 ◊ 3 = 9 êîëåö, íà êàæäîì êîëüöå îòìå÷åíû 5 êëåòîê, à ÷åðåç êàæäóþ êëåòêó ïðîõîäÿò ðîâíî äâà êîëüöà. Çíà÷èò, âñåãî îòìå÷åíî 9 · 5 2 íåöåëîå ÷èñëî êëåòîê. Ïðîòèâîðå÷èå. 17. Íåò, íå ìîæåò. Ïóñòü Ö ïëîùàäü öåíòðàëüíîé ÷àñòè, × ñóììà ïëîùàäåé «÷åòûðåõóãîëüíûõ» ÷àñòåé, Ò ñóììà ïëîùàäåé «òðåóãîëüíûõ» ÷àñòåé, êðîìå öåíòðàëüíîé, Ï ïëîùàäü âñåãî ïàðêà. Åñëè áû îïèñàííàÿ ñèòóàöèÿ áûëà âîçìîæíà, òî ñóììà âñåõ «÷åòûðåõóãîëüíûõ» ÷àñòåé áûëà áû áîëüøå ñóììû âñåõ ïðèëåãàþùèõ ê ñòîðîíàì ïàðêà «òðåóãîëüíûõ» ÷àñòåé, ò.å. × > Ò. Èç äâóõ ðàâíûõ ïî ïëîùàäè ïîëîâèíîê, íà êîòîðûå öâåòíàÿ ëèíèÿ ðàçáèâàåò áîëüøîé òðåóãîëüíèê, ðîâíî îäíà âñåãäà ñîäåðæèò öåíòðàëüíóþ ÷àñòü. Ñóììà ïëîùàäåé òàêèõ ïîëîâèíîê ðàâíà 1,5Ï = 3Ö + 2× + Ò. À ñóììà ïëîùàäåé îñòàâøèõñÿ ïîëîâèíîê ðàâíà 1,5Ï = 2Ò + ×. Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè, ïîëó÷èì Ò = × + 3Ö > ×. Ïðîòèâîðå÷èå. 18. Äà, ìîæíî. Êàæäàÿ «ëåñåíêà» ñîñòîèò èç øåñòè êâàäðà- 59-64.p65 59 #' òîâ. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî íàó÷èòüñÿ ñîñòàâëÿòü êâàäðàò. Èç äâóõ «ëåñåíîê» ñêëàäûâàåì ïðÿìîóãîëüíèê 3 × 4, à èç äâåíàäöàòè òàêèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ êâàäðàò. 19. Ïðîíóìåðóåì âñå áóòûëêè îò 1 äî 1000 è íàïèøåì íà êàæäîé åå íîìåð â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ; äëÿ íîìåðîâ, ìåíüøèõ 512, äîïèøåì ñëåâà íóëè òàê, ÷òîáû âñåãî íà êàæäîé áóòûëêå áûëè íàïèñàíû äåñÿòü öèôð. Òàêæå ïðèñâîèì êàæäîé ìûøè íîìåð îò 1 äî 10 è äàäèì k-é ìûøè ñìåñü âèíà èç òåõ áóòûëîê, íà êîòîðûõ k-ÿ öèôðà åäèíèöà. Êîãäà ïðîéäóò äåñÿòü ìèíóò, âûïèøåì äåñÿòü öèôð åäèíèöó íà k-ì ìåñòå, åñëè k-ÿ ìûøü èçìåíèëà öâåò, èíà÷å íîëü. Ïîëó÷åííàÿ äâîè÷íàÿ çàïèñü áóäåò íîìåðîì èñïîð÷åííîé áóòûëêè. 20. Ðàçäåëèì äàííîå ðàâåíñòâî íà ab è ïåðåïèøåì åãî â âèäå 1 1 1 . Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåðàâåí+ = 3a b ab 1 ≥ 2 . Îíî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó ab ≥ 1 , ïîýòîñòâî 3 ab ìó áóäåì äîêàçûâàòü åãî. Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ÷èñåë a è b íå ìåíüøå èõ ñðåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ab , êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì t. Òîãäà èç ðàâåíñòâà a + b + 1 = 3ab ïîëó÷àåì, ÷òî 2t + 1 £ 3t2 . Çíà÷èò, 0 £ 3t2 - 2t - 1 = (t - 1) ( 3t + 1) . Ïîñêîëüêó t > 0, ïðîèçâåäåíèå íåîòðèöàòåëüíî, êîãäà îáà ìíîæèòåëÿ íåîòðèöàòåëüíû, ò.å. êîãäà t ≥ 1 , îòêóäà ab = t2 ≥ 1 . XXX ÒÓÐÍÈÐ ÃÎÐÎÄΠÇÀÄÀ×È ÂÅÑÅÍÍÅÃÎ ÒÓÐÀ Áàçîâûé âàðèàíò 89 êëàññû 1. Ïóñòü ñ îäíîé ñòîðîíû îò ïðîâåäåííîé ïðÿìîé íàõîäèòñÿ k âåðøèí 2009-óãîëüíèêà. Òîãäà ñ äðóãîé ñòîðîíû îò íåå íàõîäÿòñÿ 2009 k âåðøèí. Ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò â òî÷íîñòè òå äèàãîíàëè, êîòîðûå ñîåäèíÿþò âåðøèíû, íàõîäÿùèåñÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåå. Âìåñòå ñ äâóìÿ ïåðåñå÷åííûìè íàøåé ïðÿìîé ñòîðîíàìè 2009-óãîëüíèêà (êîòîðûå íà ÷åòíîñòü íå âëèÿþò) òàêèõ äèàãîíàëåé áóäåò k(2009 k). Ïîñêîëüêó îäèí èç ýòèõ ñîìíîæèòåëåé îáÿçàòåëüíî ÷åòåí, ÷åòíî è èõ ïðîèçâåäåíèå. 3. 50. Ïîíÿòíî, ÷òî íàäî èìåòü íå ìåíüøå ÷åì ïî 30 åäèíèö, 30 äâîåê, , 30 äåâÿòîê è íå ìåíüøå 29 íóëåé. Ïîñêîëüêó ó êóáèêà 6 ãðàíåé, è 30 ⋅ 9 + 29 = 299 > 49 ⋅ 6 , íåëüçÿ îáîéòèñü ìåíüøå ÷åì 50 êóáèêàìè. Ïîêàæåì, ÷òî 50 êóáèêîâ õâàòèò. Ðàñïîëîæèì â ðÿä 50 êóáèêîâ è íà÷íåì ïîñëåäîâàòåëüíî çàïîëíÿòü èõ ãðàíè (ñíà÷àëà ó ïåðâîãî êóáèêà, ïîòîì ó âòîðîãî, è ò.ä.) ÷èñëàìè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, (èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå).  ðåçóëüòàòå êàæäàÿ öèôðà áóäåò íàïèñàíà íà ãðàíÿõ 30 ðàçíûõ êóáèêîâ, è ìû ñìîæåì ñîñòàâèòü ëþáîå 30-çíà÷íîå ÷èñëî, ïîñëåäîâàòåëüíî âûáèðàÿ êóáèêè ñ íóæíûìè öèôðàìè. 4. Äà, ìîãëà. Íàïðèìåð, ãîäèòñÿ ÷èñëî 988888888890. 5. Ïóñòü O öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà NAM (ðèñ.1). Ïîñêîëüêó óãîë NAM âïèñàí â ýòó Ðèñ. 1 îêðóæíîñòü è ðàâåí 30°, ñîîòâåòñòâóþùèé åìó öåíòðàëüíûé óãîë NOM ðàâåí 60°. Òîãäà ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê MON ðàâíîñòîðîííèé, à ÷åòûðåõóãîëüíèê MCNO âïèñàí â îêðóæíîñòü (â íåì ñóììà ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ C è O ðàâíà 180°). Íî óãëû MCO è MNO îïèðàþòñÿ íà îäíó è òó æå äóãó ýòîé îêðóæíîñòè, îòêóäà ∠MCO = ∠MNO = 60° , ò.å. CO áèññåêòðèñà óãëà C ðîìáà, è çíà÷èò, O ëåæèò íà äèàãîíàëè AC. 29.07.09, 18:13 $ ÊÂÀÍT 2009/¹4 1011 êëàññû 3. à) Ïî ïîñòðîåíèþ xn ïðè n ≥ 3 íå÷åòíî. Ïîýòîìó ïðè n ≥ 5 ñóììà xn −1 + xn −2 ÷åòíà, îòêóäà xn = O ( xn −1 + xn −2 ) ≤ ( xn −1 + xn −2 ) 2 ≤ max {xn −1, xn − 2 } , ïðè÷åì ðàâåíñòâî âîçìîæíî òîëüêî ïðè xn −1 = xn − 2 . Íî â ïîñëåäíåì ñëó÷àå xn = xn −1 = xn − 2 , è äàëåå âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäóò òàêèìè æå, êàê ýòè òðè. Äîïóñòèì, xn < max {xn −1, xn − 2 } ïðè âñåõ n ≥ 5 . Òîãäà max {xn, xn +1} < < max {max {xn −1, xn −2 },max {xn, xn −1}} = max {xn −1, xn − 2 } ïðè âñåõ n ≥ 5 . Íî âåëè÷èíà max {xn, xn +1} , ïðèíèìàþùàÿ íàòóðàëüíûå çíà÷åíèÿ, íå ìîæåò áåñêîíå÷íî óáûâàòü. á) Ýòî ÷èñëî O (ÍÎÄ ( a, b )) . 4. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñòåðåòü ïàðó èäóùèõ ïîäðÿä åäèíèö, ðàçíîñòü M N íå èçìåíèòñÿ: ÷åòíîñòü ðàññòîÿíèé îò ýòèõ åäèíèö äî êàæäîãî èç íóëåé âñåãäà áóäåò ðàçëè÷íîé, è ïîòîìó ñòèðàíèå äâóõ åäèíèö óìåíüøèò M è N íà îäíî è òî æå ÷èñëî. Àíàëîãè÷íî, íå ìåíÿåò ðàçíîñòè M N ñòèðàíèå ïàðû èäóùèõ ïîäðÿä íóëåé. Áóäåì ñòèðàòü òàêèå ïàðû, ïîêà ýòî âîçìîæíî.  èòîãå ëèáî öèôð íå îñòàíåòñÿ ñîâñåì (è òîãäà M N = 0, ÷òî íàñ óñòðàèâàåò), ëèáî îñòàíóòñÿ ÷åðåäóþùèåñÿ íóëè è åäèíèöû. Íî â ýòîì ñëó÷àå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ åäèíèöåé è íóëåì ÷åòíîå ÷èñëî çíàêîâ, ò.å. M > N = 0. 5. Êàê èçâåñòíî, îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû òåòðàýäðà ñ òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ïðîòèâîëåæàùèõ ãðàíåé, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå (îáîçíà÷èì åå S) è äåëÿòñÿ åþ â îòíîøåíèè 3 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû. Ïðîäîëæèì îòðåçîê XS íà ðàññòîÿíèå SY = 3XS çà òî÷êó S. Òîãäà òðåóãîëüíèêè SAY è SA1X , ãäå A1 òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ãðàíè BCD, ãîìîòåòè÷íû ñ öåíòðîì S è êîýôôèöèåíòîì 3. Ñëåäîâàòåëüíî, AY è XA1 ïàðàëëåëüíû. Òàêèì îáðàçîì, âñå îïèñàííûå â óñëîâèè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Y. Ñëîæíûé âàðèàíò 89 êëàññû 1. Äà, ñìîæåò. Âàñå äîñòàòî÷íî íàçûâàòü âñå âðåìÿ îäíî è òî æå ÷èñëî: 1 (2008 ⋅ 2009 ) . 2. à) Ïðèìåðû òàêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðèâåäåíû íà ðèñóíêàõ 2 è 3. Ðèñ. 3 Ðèñ. 2 á) Äà. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü òðàïåöèÿ ñ îòíîøåíèåì îñíîâàíèé 1:2, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 4. Îíà ïîëó÷àåòñÿ ðàçðåçàíèåì êâàäðàòà ïî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð. 3. Íåò, íåëüçÿ. Äîñòàòî÷íî äëÿ ëþáîé ðàññòàíîâêè çíàêîâ äîêàçàòü, ÷òî, âûåçæàÿ èç äîìà, ìàøèíà ìîæåò âûåõàòü çà ãðàíèöó êâàäðàòà (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó). Ïóñòü ìàøèíà âûåçæàåò èç öåíòðàëüíîé êëåòêè íà ñåâåð.  êàæäîé ñëåäóþùåé êëåòêå îíà ñìîæåò åõàòü íà ñåâåð èëè íà çàïàä, íèêîãäà íå Ðèñ. 4 äâèãàÿñü íà þã è íà âîñòîê. Òîãäà íå ïîçäíåå ÷åì ÷åðåç 101 øàã îíà çàâåäîìî âûéäåò çà ãðàíèöû êâàäðàòà. 4. Íåò, íå îáÿçàòåëüíî. Ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, ..., k2, k (k + 1) , (k + 1)2 , (k + 1)(k + 2 ) , (k + 2 )2 , … 6. Îòðàçèì òî÷êó B îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC; ïóñòü ïðè ýòîì îòðàæåíèè îíà ïåðåõîäèò â òî÷êó B1 (ðèñ.5). Ïðîäëèì BP è 59-64.p65 60 BQ äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ AB1 è CB1 â òî÷êàõ M1 è N1 . Òîãäà òðåóãîëüíèêè AMP è AM1P , à òàêæå CNQ è CN1Q ðàâíû, è ñóììà ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ AM1P , CN1Q è ïÿòèóãîëüíè- Ðèñ. 5 êà M1PQN1B1 ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ðîìáà ABCB1 . Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ∠M1BB1 + ∠B1BN1 = 60° = ∠B1BN1 + ∠N1BC , à ñòàëî áûòü, òðåóãîëüíèêè M1BB1 è N1BC ðàâíû ïî ñòîðîíå ( BB1 = BC ) è äâóì ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì. Ïîñêîëüêó ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà B1BC ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ðîìáà ABCB1 , òî è ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà M1BN1B1 ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ðîìáà ABCB1 . Ñòàëî áûòü, SAM1P + SM1PQN1B1 + SCN1Q = SPQB + SM1PQN1B1 , ïîýòîìó ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà PQB ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ AM1P è CN1Q , à çíà÷èò, è ñóììå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ AMP è CNQ. 1011 êëàññû 1. Íåò. Ïóñòü äâà ïðÿìîóãîëüíèêà èìåþò ñîïðèêàñàþùèåñÿ ñòîðîíû (ñêàæåì, âåðòèêàëüíûå). Ðàññìîòðèì ïðîåêöèè öåíòðîâ íà ïðÿìóþ l, ñîäåðæàùóþ ýòè ñòîðîíû. Åñëè îáå ïðîåêöèè ëåæàò íà îáùåì ó÷àñòêå ñîïðèêàñàþùèõñÿ ñòîðîí, òî îòðåçîê I, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû ïðÿìîóãîëüíèêîâ, íå âûõîäèò çà ãðàíèöû îáúåäèíåíèÿ ýòèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ (ïîñêîëüêó òîãäà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêà I c ïðÿìîé l, ðàñïîëîæåííàÿ ìåæäó ïðîåêöèÿìè, òîæå ëåæèò íà ýòîì Ðèñ. 6 ó÷àñòêå; ðèñ.6,à). Îñòàëîñü íàéòè òàêèå äâà ñîïðèêàñàþùèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêà. Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíèê A â ëåâîì âåðõíåì óãëó. Ïóñòü B è C ñîñåäíèå ñ íèì ïðÿìîóãîëüíèêè, ïðè÷åì B ñîäåðæèò ñåðåäèíó ïðàâîé ñòîðîíû A, à C ñîäåðæèò ñåðåäèíó íèæíåé ñòîðîíû A. Òàê êàê B è C íå ïåðåêðûâàþòñÿ, òî íå ìîæåò îäíîâðåìåííî íèæíÿÿ ñòîðîíà B ðàñïîëàãàòüñÿ íèæå íèæíåé ñòîðîíû A, è ïðàâàÿ ñòîðîíà C ðàñïîëàãàòüñÿ ïðàâåå ïðàâîé ñòîðîíû A. Ïóñòü, íàïðèìåð, íèæíÿÿ ñòîðîíà B ðàñïîëîæåíà íå íèæå íèæíåé ñòîðîíû A (ðèñ. 6,á). Òîãäà A è B èñêîìûå ïðÿìîóãîëüíèêè. 3. 90. Óêàçàíèå. ×èñëî äèàãîíàëåé, íà êîòîðûõ ñòîèò ïî íå÷åòíîìó ÷èñëó ôèøåê, íå ìîæåò óìåíüøèòüñÿ. Ïðèìåð, êîãäà ìîæíî ñíÿòü 90 ôèøåê, ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 7 (â êàæäîé êëåòêå ïîñòàâëåí íîìåð øàãà, íà êîòîðîì ñíèìàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôèøêà). 6. Âòîðîé èãðîê âñåãäà ìîÐèñ. 7 æåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó. Óêàçàíèå. Íàðèñóåì âïèñàííûé â äàííóþ îêðóæíîñòü ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê, îäíà èç âåðøèí êîòîðîãî òî÷êà, îòìå÷åííàÿ ïåðâûì èãðîêîì íà ïåðâîì õîäó. Ïîêà íå âñå âåðøèíû ýòîãî n-óãîëüíèêà îòìå÷åíû, âòîðîé èãðîê äîëæåí ñòàâèòü ñèíèå òî÷êè â åãî âåðøèíû. Êîãäà âñå âåðøèíû ýòîãî n-óãîëüíèêà áóäóò îòìå÷åíû, îêðóæíîñòü ðàçîáüåòñÿ íà n äóã. Íàçî- 29.07.09, 18:14 ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, âåì äóãó êðàñíîé, åñëè îáà åå êîíöà êðàñíûå. Äàëåå âòîðîé èãðîê äîëæåí îòìåòèòü õîòÿ áû ïî îäíîé òî÷êå âíóòðè êàæäîé èç êðàñíûõ äóã. Ïîñëåäíèì õîäîì îí ñìîæåò âûèãðàòü. Óñòíûé òóð äëÿ 11 êëàññà 3 100! . 2 2. Ïóñòü ëàäüÿ ïîïàëà íà êëåòêó h1 ñ êëåòêè h2. Ïîñìîòðèì, â êàêîì ïîðÿäêå îáõîäÿòñÿ óãëû äîñêè. Ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû äîñêè íå ìîãóò èäòè ïîäðÿä â ìàðøðóòå ëàäüè òîãäà ñîåäèíÿþùèé èõ ïóòü îòäåëÿåò îäèí èç äâóõ äðóãèõ ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ, è â ýòîò óãîë ëàäüÿ ïîïàñòü íå ìîæåò. Çíà÷èò, óãëû îáõîäÿòñÿ ëèáî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, ëèáî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ñëó÷àè àíàëîãè÷íû, ðàçáåðåì ïåðâûé. Äîñòàòî÷íî ðàçîáðàòü âàðèàíòû, êîãäà ïåðâûé óãîë â ïóòè ëåâûé. Åñëè ïåðâûì ïðîõîäèòñÿ ëåâûé âåðõíèé óãîë, òî ïóòü, ñîåäèíÿþùèé ïåðâûå òðè óãëà, îòðåçàåò ïîñëåäíèé óãîë ëàäüÿ íå ìîæåò â íåãî ïîïàñòü. Åñëè ïåðâûì ïðîõîäèòñÿ ëåâûé íèæíèé óãîë, òî óæå ïðîéäÿ ñëåäóþùèé óãîë, ìû îêàçûâàåìñÿ îòðåçàííûìè îò îñòàëüíûõ óãëîâ. Çíà÷èò, íà êëåòêó h1 ëàäüÿ ìîãëà ïîïàñòü òîëüêî ñ êëåòêè g1. 3. Îáîçíà÷èì ñóììó f1 ( n ) + f3 ( n ) + … ÷åðåç O ( n ) , à ñóììó 1. f2 ( n ) + f4 ( n ) + … ÷åðåç E (n ) . Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî n, ÷òî O (n ) − E (n ) = 1 . Äëÿ n = 1 ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî. Ïóñòü îíî âåðíî äëÿ íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà öâåòîâ n. Çàìåòèì, ÷òî fk (n + 1) = kfk ( n ) + kfk −1 ( n ) ïðè 1 < k < n + 1, ïîñêîëüêó äîáàâèâ ÷èñëî n + 1, ìû ìîæåì ïîêðàñèòü åãî â îäèí èç èìåþùèõñÿ k öâåòîâ, åñëè îñòàëüíûå ÷èñëà óæå ðàñêðàøåíû â k öâåòîâ, ëèáî, åñëè îñòàëüíûå ÷èñëà ðàñêðàøåíû â k 1 öâåò, ïîêðàñèòü åãî â îñòàâøèéñÿ èç k ïåðâûõ öâåòîâ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî fn +1 ( n + 1) = ( n + 1) fn ( n ) è f1 ( n + 1) = f1 (n ) . Òîãäà O ( n + 1) = f1 ( n ) + 3 ( f3 ( n ) + f2 ( n ) ) + 5 ( f5 ( n ) + f4 ( n )) + … , E (n + 1) = 2 ( f2 ( n ) + f1 ( n )) + 4 ( f4 ( n ) + f3 ( n )) + … Âû÷èòàÿ îäíî âûðàæåíèå èç äðóãîãî è ïðîèçâîäÿ ñîêðàùåíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî O ( n + 1) − E ( n + 1) = E ( n ) − O ( n ) , îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è äëÿ n + 1 öâåòîâ. Äëÿ çíàòîêîâ. Êàê íè óäèâèòåëüíî, ó ýòîé çàäà÷è èìååòñÿ è ãåîìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå. Äåëî â òîì, ÷òî ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: äëÿ ôèêñèðîâàííîãî n ÷èñëà fk (n ) ñóòü êîëè÷åñòâà (n − k ) -ìåðíûõ ãðàíåé ó íåêîòîðîãî (n − 1) -ìåðíîãî ìíîãîãðàííèêà ïåðìóòàýäðà. Òàêîé ìíîãîãðàííèê ìîæíî ïîëó÷èòü, âçÿâ â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âûïóêëóþ îáîëî÷êó n! òî÷åê, êîîðäèíàòû êîòîðûõ ÷èñëà îò 1 äî n â êàêîì-ëèáî ïîðÿäêå. Íàïðèìåð, äëÿ n = 2 ïåðìóòàýäð ïðîñòî îòðåçîê íà ïëîñêîñòè (ñ êîíöàìè (1; 2 ) è (2; 1) ), äëÿ n = 3 ïåðìóòàýäð øåñòèóãîëüíèê â ïðîñòðàíñòâå (âñå øåñòü òî÷åê, ïîëó÷åííûå èç (1; 2; 3 ) ïåðåñòàíîâêàìè êîîðäèíàò, âêëþ÷àÿ ñàìó ýòó òî÷êó, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè x + y + z = 6). Êîëè÷åñòâî âåðøèí ïåðìóòàýäðà ðàâíî n!, ò.å. ñîâïàäàåò ñ fn ( n ) . (Óêàçàíèå. Ïîïðîáóéòå äëÿ íà÷àëà ïîñòðîèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ðåáðàìè ïåðìóòàýäðà è ðàñêðàñêàìè ìíîæåñòâà {1,…,n} â n 1 öâåò.) Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèâåäåííûì âûøå óòâåðæäåíèåì, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî áóäåò äîêàçàòü, ÷òî çíàêîïåðåìåííàÿ ñóììà êîëè÷åñòâ k-ìåðíûõ ãðàíåé (n − 1) -ìåðíîãî ïåðìóòàýäðà (ãäå k ìåíÿåòñÿ îò 0 äî n 1) ðàâíà 1. Ýòî ãàðàíòèðóåò ôîðìóëà Ýéëåðà: òàêàÿ ñóììà ðàâíà 1 âîîáùå äëÿ ëþáîãî âûïóêëîãî (ìíîãîìåðíîãî) ìíîãîãðàííèêà. Íàïðèìåð, äëÿ òðåõìåðíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ôîðìóëà Ýéëåðà ïðåâðàùàåòñÿ â èçâåñòíîå ðàâåíñòâî, êîòîðîå íå ðàç îáñóæäàëîñü íà ñòðàíèöàõ «Êâàíòà»: V E + F 1 = 1, ãäå V, E è F ÷èñëà âåðøèí, ðåáåð è ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà, à ñëàãàåìîå «1» ñîîò- 59-64.p65 61 $ ÐÅØÅÍÈß âåòñòâóåò åãî âíóòðåííîñòè. Ðàâåíñòâî êîëè÷åñòâ âåðøèí è ðåáåð ìíîãîóãîëüíèêà òîæå ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòî ôîðìóëû. 4. Ëåììà. Ñóùåñòâóåò ñôåðà, êàñàþùàÿñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà, áûòü ìîæåò, êðîìå CD, åñëè è òîëüêî åñëè AC + + BD = AD + BC. Ïóñòü èñêîìàÿ ñôåðà ñóùåñòâóåò. Òîãäà âïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ ABC è ABD êàñàþòñÿ â òî÷êå êàñàíèÿ äàííîé ñôåðû ñ ðåáðîì AB. Íàîáîðîò, åñëè âïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ ABC è ABD èìåþò îáùóþ òî÷êó (à çíà÷èò, êàñàþòñÿ), òî ñîäåðæàùàÿ èõ ñôåðà èñêîìàÿ. Ïóñòü M1 è M2 òî÷êè êàñàíèÿ âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABC è ABD ñ ðåáðîì AB. Ïî ôîðìóëå äëÿ äëèí îòðåçêîâ, íà êîòîðûå ðàçáèâàþòñÿ ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà òî÷êàìè êàñàíèÿ AB + AC − BC è AM2 = âïèñàííîé îêðóæíîñòè, AM1 = 2 AB + AD − BD . Êàñàíèå âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé ýêâèâà= 2 ëåíòíî òîìó, ÷òî AM1 = AM2 , à ýòî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó AC + BD = AD + BC. Âåðíåìñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Òàê êàê ñóùåñòâóåò ñôåðà, êàñàþùàÿñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà, êðîìå CD, òî ïî ëåììå AC + + BD = AD + BC. È ïî òîé æå ëåììå, ïðèìåíåííîé ê ðåáðó AB, ïîëó÷àåì èñêîìóþ ñôåðó. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ñôåðà íå êàñàåòñÿ âñåõ ðåáåð òåòðàýäðà. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäà îíà áû ïåðåñåêàëà ïëîñêîñòè ABC è ABD ïî âïèñàííûì îêðóæíîñòÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ òðåóãîëüíèêîâ, ò.å. èìåëà áû äâå îáùèå îêðóæíîñòè ñî ñôåðîé, äàííîé â óñëîâèè, à çíà÷èò, ñîâïàäàëà áû ñ íåé. 5. Ïóñòü P ( x ) = am xm + … + a1x + a0 . Ïðèâåäÿ äðîáè am,…, a1, a0 ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ t, çàïèøåì P ( x ) â âèäå 1 bm xm + … + b1x + b0 , ãäå ÷èñëà t, bm, … , b0 öåëûå. t Âîçüìåì x ðàâíûì äîñòàòî÷íî áîëüøîìó ïðîñòîìó ÷èñëó p. Òîãäà ( ) 1 b + pbm −1 + … + pmb0 P = m . t ⋅ pm p Åñëè p > bm , òî ÷èñëèòåëü ïîëó÷åííîé äðîáè âçàèìíî ïðîñò ñ pm . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ bm −1,…, b0 îòëè÷åí îò íóëÿ è p äîñòàòî÷íî âåëèêî, bm + pbm −1 + … + pmb0 > t , îòêóäà ÷èñëèòåëü íàøåé äðîáè íå ìîæåò ïîëíîñòüþ ñîêðàòèòüñÿ ñî çíàìåíàòåëåì, è çíà÷èò, ÷èñ1 1 ëî P íå èìååò âèäà , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ïîk p ýòîìó bm −1 = … = b0 = 0 , è óòâåðæäåíèå çàäà÷è äîêàçàíî. 6. Ó ïàðàëëåëåïèïåäà åñòü äâå êâàäðàòíûå ãðàíè ñî ñòîðîíîé 1 ì íàçîâåì èõ ìàëûìè. Çà ïåðâûå òðè ìèíóòû êàæäûé ìóðàâåé íàõîäèò ìàëóþ ãðàíü: îí èäåò ïî ðåáðó äî êîíöà, ïîòîì ïî äðóãîìó è òîãäà îí çíàåò, êàêèå ðåáðà îáðàçóþò ìàëóþ ãðàíü. Äàëåå âòîðîé áåãàåò ïî ñâîåé ìàëîé ãðàíè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à ïåðâûé ñ íà÷àëà 4-é ïî êîíåö 5-é ìèíóòû îáõîäèò äâà ðåáðà ñâîåé ìàëîé ãðàíè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Ëèáî îí âñòðåòèò âòîðîãî, ëèáî çàòåì çà 2 ìèíóòû ïåðåéäåò íà äðóãóþ ìàëóþ ãðàíü, è òàì, èäÿ ñíîâà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, íå ïîçäíåå ÷åì ÷åðåç 1,5 ìèíóòû âñòðåòèò âòîðîãî. Èòîãî áóäåò ïîòðà÷åíî ìàêñèìóì 8,5 ìèíóò. ÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ÇÀÄÀ×È LXXII ÌÎÑÊÎÂÑÊÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 1.  2022 ãîäó. 2. Ïðèìåðû òàêèõ ðàçðåçàíèé ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå 8. 3.  øåñòü ðàç. 4. Îäèí èç âîçìîæíûõ ìàðøðóòîâ òóðèñòà èçîáðàæåí íà 29.07.09, 18:14 Ðèñ. 8 $ ÊÂÀÍT 2009/¹4 ðèñóíêå 9. Äîêàæèòå, ÷òî áîëåå äëèííûé ìàðøðóò íåâîçìîæåí. 5.  øåñòîì ïîäúåçäå. 6. Ó çåëåíîãî îñüìèíîãà 6 íîã, à ó îñòàëüíûõ ïî 7 íîã. 7. Äà, âñå ìîíåòû ìîæíî ðàçëîæèòü ïîðîâíó ïî âñåì ñóíäóêàì. Óêàçàíèå: äîêàæèòå, ÷òî îáùåå ÷èñëî ìîíåò äåëèòñÿ íà 7 è äåëèòñÿ íà 11. Ðèñ. 9 8. Îäèí èç âîçìîæíûõ ïðèìåðîâ ïîêàçàí íà ðèñóíêå 10. 9. Ïðèìåð: «Â ýòîì ïðåäëîæåíèè 70% öèôð äåëÿòñÿ íà 2, 60% öèôð äåëÿòñÿ íà 3, à 40% öèôð äåëÿòñÿ è íà 2, è íà 3». 10. –A = 36∞ , –B = 54∞ . Îáîçíà÷èì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêîâ CK è AL çà O (ðèñ.11). Çàìåòèì, ÷òî CO ìåäèàíà ê ãèïîòåíóçå ïðÿìîó- Ðèñ. 10 ãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ACL. Çíà÷èò, AO = OC = OL, à –OCA = = –OAC = –OAK (ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî, òàê êàê AO áèññåêòðèñà). Îáîçíà÷èì ýòîò óãîë çà α . Òîãäà –A = 2α .Íàéäåì –B . Òàê êàê òðåóãîëüíèê CBK ðàâíîáåäðåííûé, ýòîò óãîë ðàâåí âíåøÐèñ. 11 íåìó óãëó CKB òðåóãîëüíèêà CKA, ò.å. –B = –ACK + –KAC = 3α . Íàêîíåö, èç òîãî, ÷òî –B + + –A = 90∞ , ïîëó÷àåì, ÷òî 2α + 3α = 90∞ . Çíà÷èò, α = 18∞ . 11. 1. Äîìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà x è âû÷òåì èç íåãî âòîðîå. Îáùèé êîðåíü èñõîäíûõ óðàâíåíèé áóäåò è êîðíåì ïîëó÷èâøåãîñÿ óðàâíåíèÿ (ax 3 ) ( ) ( ) + bx2 + cx - bx2 + cx + a = 0 ¤ a x 3 - 1 = 0 . Íî ó ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ òîëüêî îäèí êîðåíü à èìåííî, 1. 12. Îäèí èç âîçìîæíûõ ïðèìåðîâ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 12.  íåì âåðõíèå äâà ìíîãîóãîëüíèêà ñîâìåùàþòñÿ ïîâîðîòîì îòíîñèòåëüíî òî÷êè A, íèæíèå äâà ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî òî÷êè O. Èíòåðåñíî, ÷òî ìíîãîóãîëüíèêàìè òàêîãî âèäà ìîæíî çàìîñòèòü ïëîñêîñòü, ïðè÷åì íåïåðèîäèÐèñ. 12 ÷åñêèì îáðàçîì (ñì. íàïðèìåð, îáëîæêó «Êâàíòà» ¹2 çà 1980 ã.). 13. Âòîðîé èãðîê ìîæåò âûèãðàòü. Óêàçàíèå. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îáà èãðîêà ïèøóò òîëüêî ÷èñëà 1, 10, 100, 1000 èëè 10000 (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó). Äîêàæèòå, ÷òî, îòâå÷àÿ íà ÷èñëà 10 è 1000 ÷èñëîì 1, à íà ÷èñëà 100 è 1 ÷èñëîì 10, âòîðîé èãðîê äîáüåòñÿ óñïåõà. 59-64.p65 62 14. 1. 15. Íåò, íå ñóùåñòâóåò. Ïóñòü ïðè êàêîì-òî íà÷àëüíîì ðàñïîëîæåíèè áóñèíîê íàøëàñü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õîäîâ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé êàêàÿ-òî áóñèíêà ïðîøëà ïîëíûé êðóã ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè èëè áîëüøå. Îáîçíà÷èì íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ýòîé áóñèíêè O. Òîãäà ïîëîæåíèÿ áóñèíîê îïðåäåëÿþòñÿ óãëîì îò òî÷êè O ñ òî÷íîñòüþ äî 2π , ïðè÷åì óãëû ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå áóäåì ñ÷èòàòü ñî çíàêîì «», à óãëû ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ñî çíàêîì «+». Çàíóìåðóåì áóñèíêè ïî ïîðÿäêó. Îáîçíà÷èì çà αi óãîë äî i-é áóñèíêè. Òîãäà âíà÷àëå èìååì -2π < α1 < α2 < ... < α2009 = 0 . Çàìåòèì, ÷òî ïåðåìåùåíèþ i-é αi -1 + αi +1 áóñèíêè ñîîòâåòñòâóåò çàìåíà αi íà ïðè i = 2, 2 α2 + α2009 - 2π , ..., 2008, äëÿ ïåðâîé áóñèíêè èìååì çàìåíó 2 α1 + α2008 + 2π äëÿ 2009-é èìååì . Òî, ÷òî áóñèíêà ïðîøëà 2 ïîëíûé êðóã èëè áîëåå, îçíà÷àåò, ÷òî α 2009 ñòàë ≥ 2π . Íî 2πi âíà÷àëå âåðíî, ÷òî αi < , è ïðè âûøåóêàçàííûõ ïðåîá2009 ðàçîâàíèÿõ ýòî ñâîéñòâî ñîõðàíÿåòñÿ, ïîýòîìó α2009 âñåãäà ìåíüøå 2π . Ïðîòèâîðå÷èå. 16. Îïóñòèì èç B è A1 âûñîòû íà AC â òî÷êè B3 è B4 ñîîòâåòñòâåííî, àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì òî÷êè A3 è A4 (ñäåëàéòå ðèñóíîê). Çàìåòèì, ÷òî AB1 = BA1 = p - c , ãäå p ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ABC. Òàêèì îáðàçîì, A3 A4 = B3 B4 = = ( p - c) cos γ . Îòðåçêè A3 A4 è B3 B4 ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèÿìè îòðåçêà A2 B2 íà ïðÿìûå AC è BC, íî ýòè îòðåçêè ðàâíû, ïîýòîìó îòðåçîê A2 B2 ñ íèìè ñîñòàâëÿåò ðàâíûå óãëû. Çíà÷èò, îí ëèáî ïåðïåíäèêóëÿðåí áèññåêòðèñå óãëà C, ëèáî ïàðàëëåëåí åé. Îáîçíà÷èì îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà ABC çà H. Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê B1 ëåæèò íà îòðåçêå AC, òî A4 ëåæèò íà îòðåçêå A3C , à çíà÷èò, B2 ëåæèò íà ëó÷å HB3 . Àíàëîãè÷íî, A2 ëåæèò íà ëó÷å HA3 . Çíà÷èò, áèññåêòðèñà óãëà A3 HB3 ïåðåñåêàåò îòðåçîê A2 B2 . Íî ýòà áèññåêòðèñà ïàðàëëåëüíà áèññåêòðèñå óãëà ACB (òàê êàê â ÷åòûðåõóãîëüíèêå HA3CB3 óãëû A3 è B3 ïðÿìûå). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì, ÷òî A2 B2 íå ïàðàëëåëåí áèññåêòðèñå óãëà C, çíà÷èò, îí åé ïåðïåíäèêóëÿðåí. 17. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = sin x, ãäå x ∈ (0; α ) , ïðîâåäåííàÿ â çàäàííîé åãî òî÷êå ( x0;sin x0 ) , èìååò óãëîâîé êîýôôèöèåíò cos x0 , è äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ ïðè ïîìîùè öèðêóëÿ è ëèíåéêè äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü îòðåçîê äëèíû 1. Äåéñòâèòåëüíî, èìåÿ îòðåçêè 1 è sin x0 , ìîæíî ïîñòðîèòü îòðåçîê cos x0 (ïðè ïîìîùè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî êðóãà), à çíà÷èò, è óãîë, òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí cos x0 . Ïîêàæåì, êàê ïîñòðîèòü îòðåçîê äëèíû 1 (ò.å. âîññòàíîâèòü ìàñøòàá). Êπ ˆ à) Èç òî÷êè B = (a; sin a), ãäå a Œ Á ; α˜ , ëåæàùåé íà ãðàË2 ¯ ôèêå ôóíêöèè, îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿð íà îñü Oy (ðèñ. 13). Òàê êàê sin (π a)= sin a, òî ýòîò ïåðïåíäèêóëÿð ïåðåñå÷åò ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x â òî÷êå A = ( π - a;sin a ) . ×åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà AB ïðîâåäåì ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè Êπ ˆ Ox. Îíà ïåðåñå÷åò ãðàôèê â òî÷êå Á ;1˜ . Îòðåçîê ýòîé Ë2 ¯ ïðÿìîé îò îñè Ox äî ãðàôèêà ôóíêöèè y = sin x èìååò äëèíó 1. Ðèñ. 14 Ðèñ. 13 29.07.09, 18:14 ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, á) Ïóñòü a è b ïðîèçâîëüíûå òî÷êè íà îñè Ox, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ 0 < b < a < α . Ïîñòðîèì îòðåçîê AB äëèíû sin a + sin b. ×åðåç òî÷êó B ïðîâåäåì ëó÷ l, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îòðåçêó AB. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå A è ðàäèóñîì a+b 2 sin ïåðåñåêàåò ëó÷ l â òî÷êå C (ðèñ. 14). Òàê êàê 2 a-b a+b a-b , òî –CAB = . Íà îòsin a + sin b = 2 sin cos 2 2 2 a-b . ×åðåç ðåçêå BC îòìåòèì òî÷êó D òàêóþ, ÷òî BD = sin 2 òî÷êó D ïðîâåäåì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îòðåçêó AB. Ýòà ïðÿìàÿ ïåðåñå÷åò îòðåçîê AC â òî÷êå E. Äëèíà îòðåçêà AE a - b BD = ðàâíà 1, òàê êàê sin –CAB = sin . AE 2 18. Ïóñòü ABCD äàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, O öåíòð âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè, ïðÿìûå AO, CO äâå èç òðåõ ïðÿìûõ, äàííûõ â óñëîâèè. à) Åñëè òî÷êà O ëåæèò íà ïðÿìîé AC, òî ýòà ïðÿìàÿ ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, ïîýòîìó ïðÿìûå BO è DO îäíîâðåìåííî îáëàäàþò óêàçàííûì ñâîéñòâîì. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ïðÿìûå AO è CO íå ñîâïàäàþò è ïåðåñåêàþò ãðàíèöó ÷åòûðåõóãîëüíèêà â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 15). Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî òðåóãîëüíèêè AOQ è COP ðàâíîâåëèêè, à òàê êàê èõ âûÐèñ. 15 ñîòû, îïóùåííûå èç âåðøèíû O, ðàâíû, òî AQ = CP. Êðîìå òîãî, –AOQ = –COP , ïîýòîìó AO ◊ OQ = CO ◊ OP è, ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ, AO2 + OQ2 - 2 AO ◊ OQ cos –AOQ = AO2 = = CP 2 = CO2 + OP 2 - 2CO ◊ OP cos –COP , îòêóäà AO + OQ = CO + OP. Ïîýòîìó ëèáî AO = OP è OQ = CO, ëèáî AO = OC è OQ = OP (ïî òåîðåìå, îáðàòíîé òåîðåìå Âèåòà) è òðåóãîëüíèêè AOQ è COP ðàâíû. Ïåðâûé ñëó÷àé íåâîçìîæåí (èíà÷å AD CD , ÷òî íåâåðíî). Âî âòîðîì ñëó÷àå ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé BD (äîêàæèòå), îòêóäà ïðÿìûå BO è DO ñîâïàäàþò. á) 72∞ , 108∞ , 72∞ , 108∞ èëè 72∞ , 72∞ , 72∞ , 144∞ . 19. p + 1. n Åñëè p2 ! êðàòíî ( p !) , n Œ N , òî n £ p + 1 , òàê êàê p âõîäèò â ðàçëîæåíèå ÷èñëà p! íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè â ñòåïåíè 1 n (à çíà÷èò, â ðàçëîæåíèå ÷èñëà ( p !) â ñòåïåíè n), à â ðàç- ( ) ( ) ( ) ëîæåíèå ÷èñëà p2 ! â ñòåïåíè p + 1. Äîêàæåì, ÷òî p2 ! p +1 äåëèòñÿ íà ( p !) . Çàïèøåì p2 ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ â âèäå òàáëèöû p ¥ p . Äâå òàêèå òàáëèöû íàçîâåì ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îäíà ïîëó÷àåòñÿ èç äðóãîé íåêîòîðûìè ïåðåñòàíîâêàìè ýëåìåíòîâ âíóòðè ñòðîê, à òàêæå íåêîòîðîé ïåðåñòàíîâêîé ñàìèõ ñòðîê (âñåãî p + 1 ïåðåñòàíîâêà p îáúåêòîâ). Âñåãî òàáëèö p2 ! , è îíè ðàçáèâàþòñÿ íà êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ ïî ( ) ( p !)p +1 òàáëèö â êàæäîì êëàññå, ïîýòîìó ( p !)p +1 . (p )! 2 äåëèòñÿ íà 20. Óêàçàíèå. Ðàñïîëîæèì âñå «äâóçíà÷íûå» ÷èñëà âíóòðè êëåòîê ðåøåòêè ñïåöèàëüíîãî âèäà, êàê óêàçàíî íà ðèñóíêå 16. Òîãäà ëþáûå äâà ÷èñëà, ðàñïîëîæåííûå â ñîñåäíèõ (ãðàíè÷àùèõ ïî îòðåçêó) êâàäðàòàõ, áóäóò îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà íà 1, 10 èëè 11. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè $! ÐÅØÅÍÈß ÷èñåë íà äâå ãðóïïû íàéäåòñÿ ïóòü, èäóùèé ïî ñîñåäíèì êëåòêàì, ïðîõîäÿùèé òîëüêî ïî ÷èñëàì îäíîé ãðóïïû è ñîåäèíÿþùèé ëèáî ëåâûé è ïðàâûé, ëèáî âåðõíèé è íèæíèé êðàÿ ðåøåòêè. ÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ÇÀÄÀ×È ÌÎÑÊÎÂÑÊÎÉ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÎÉ ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Ïåðâûé òåîðåòè÷åñêèé òóð 7 êëàññ 1. tmin = 48 ìèí . 2. m1 = m2 = m3 = 2m4 - m0 = 1,7 êã . Ðèñ. 18 Ðèñ. 17 3. Ñì. ðèñ.17; t = 41 ÷ 40 ìèí. ρâ M M+m = 2,5 ã ñì3 ; ∆h = ª 1,17 ñì . 4. ρñò = M + m - ρ âV ρâ πR2 8 êëàññ mg ( R - r ) 1. 1) v = nπ ( R - r ) ; 2) F = . 2. Ñì. ðèñ.18. 4R 9 êëàññ 1. Nmax ª 7,19 Âò , ïðè ýòîì âñå ðåçèñòîðû ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî. 2. Lmax = h2 + L2 = 1,5 ì . 10 êëàññ Ê µL cos α ˆ - sin α˜ ïðè óñëîâèè L > µh . 1. amax = g Á Ë 2L - µh ¯ Ê ρ T ρ V - mˆ ª 32 H . 2. F = pa S Á1 - â 0 ë ρë Tê ρâV - m ˜¯ Ë 3. ϕ = 0,8 ϕ0 ïðè óäàëåíèè ëþáîé ïàëî÷êè, à Å = 0, E0 , 3E0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêóþ ïàëî÷êó óäàëèòü. 11 êëàññ 1.  âîäå íàõîäèòñÿ ÷àñòü îáúåìà öèëèíäðà ρ -ρ 10 11 a = n= - ì , à â ìàñëå ÷àñòü 1 - n = . Ðàâíîâå21 21 h ρ â - ρì R2 - R2 + r 2 R2 - r 2 > ρâ 1 2 . ñèå áóäåò óñòîé÷èâûì, åñëè ρì 2 2 1 2 R2 - R1 R1 2. Âåêòîð íàïðÿæåííîñòè íàïðàâëåí ïî ïðîñòðàíñòâåííîé äèàãîíàëè êóáèêà îò åãî ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîãî «óãëà» è σ . ðàâåí E = 3 ε0 Âòîðîé òåîðåòè÷åñêèé òóð 8 êëàññ 1. Ñì. ðèñ.19. 2. m3¢ = m3 + + Ðèñ. 16 59-64.p65 63 m3 - m2 (m1 - m1¢ ) = 42 ã . m2 - m1 29.07.09, 18:14 Ðèñ. 19 $" ÊÂÀÍT 2009/¹4 9 êëàññ mgx + 1. Ñì. ðèñ.20. qQ 4πε0 R2 + x2 3. vmax = = mg R2 + 2x12 . x1 m 2 v0 , xmax = v0 . 3 6k 4. Ïðè l < F ðåøåíèé íåò; ïðè F £ l < R + F èìååòñÿ îäíî Fl ðåøåíèå: d = ; ïðè l ≥ R + F èìåþòñÿ äâà ðåøåíèÿ: l-F F (l - R ) Fl è d2 = . d1 = l-R-F l-F Ðèñ. 20 2. Óñêîðåíèå íàïðàâëåíî âíèç è ðàâíî 3m m + 4m1m2 + m2m3 > g. a2 = g 1 3 m1m3 + 4m1m2 + m2m3 3. x = ρ1h ïðè ρ1 < ρ0 ; h £ x £ H ïðè ρ1 = ρ0 ; ρ0 Êρ ˆ h ˆ Ê x = H + 2hH Á 1 - 1˜ ïðè ρ0 < ρ1 £ ρ2 = ρ0 Á1 + ˜ ; Ë 2H ¯ Ë ρ0 ¯ x= ρ1H h h ˆ Ê + ïðè ρ2 < ρ1 < ρ3 = ρ0 Á 2 ˜; Ë 2 ρ0 2H ¯ õ = 2Í ïðè ρ1 > ρ3 . ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÑÒÓÄÅÍ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ 1.Ñêîðîñòü è ïóòü òðåòüåãî æóêà ðàâíû íóëþ. 2. β = 60° . 4. a = g 3. A = k2l 3 F 2 + . 3F 6k πHD2 3 . 5. V = . 4 8 2 3 T 1 RT1 1 − 2 . 7. rmin = R 1 − . 2 2 2 T1 1 + q B R (2mF ) 8. Ñðåäíÿÿ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïîñòîÿííà. 9. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà óìåíüøèòñÿ âäâîå. 6. Amax = 10 êëàññ 1. t1 = t2 = vs v2 - u 2 s v2 - u 2 = 2,25 ÷ ; 2. Ñì. ðèñ.21; Ðèñ. 21 3. q2 £ q1n k . Tmax = 2. Tmin 11 êëàññ 1. Ìãíîâåííûå ñêîðîñòè êðàéíèõ òî÷åê ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà äèñêà ðàâíû v1 = v 3 - sin α , íàêëîíåíû ê ýòîìó äèà1 - sin α 2 è ëåæàò â ïëîñêîñòè, 1 - sin α ïåðïåíäèêóëÿðíîé ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ äèñêà. Ýòà îñü ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó êàñàíèÿ äèñêà ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíîé îñè êîíóñà ñ ãëàâíîé îñüþ ñèììåòðèè äèñêà, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî ïëîñêîñòè.  âåðõíåé ïîëîâèíå äèñêà åñòü öåëàÿ îáëàñòü òî÷åê, äâèæóùèõñÿ ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ.  ÷àñòíîñòè, ýòî âñå òî÷êè âåðõíåé ïîëîâèíû îáîäà äèñêà. ìåòðó ïîä óãëîì β = arctg ˆ qQ Ê 1 1 Á ˜ ïðè 2. vmin = 2g ( x1 - h) + 2πε0 m ÁË R2 + x2 R2 + h2 ˜¯ 1 qQ 3 3 > mg è x1 £ h £ x2 , vmin = 0 ïðè 2 4πε0 R2 qQ 3 3 qQ 3 3 £ mg äëÿ âñåõ h è ïðè > mg äëÿ 2 2 4πε0 R2 4πε0 R2 h < x1 è h > x2 ; çäåñü x1 ìåíüøèé èç êîðíåé óðàâíåíèÿ x (R 2 59-64.p65 +x 2 32 ) = 4πε0 mg è x2 áîëüøèé èç êîðíåé óðàâíåíèÿ qQ 64 © ª 2,12 ÷ . ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ Ä.Í.Ãðèøóêîâà, Â.Â.Âëàñîâ, À.Å.Ïàöõâåðèÿ, Ì.Â.Ñóìíèíà ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Å.Â.Ìîðîçîâà ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ Å.À.Ìèò÷åíêî, Ë.Â.Êàëèíè÷åâà Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473 Àäðåñ ðåäàêöèè: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» Òåë.: 930-56-48 Å-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.info Ñàéò: kvant.info Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè «×åõîâñêèé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò» 142300 ã.×åõîâ Ìîñêîâñêîé îáëàñòè, Ñàéò: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru Ôàêñ: 8(49672) 6-25-36, ôàêñ: 8(499) 270-73-00 Îòäåë ïðîäàæ óñëóã ìíîãîêàíàëüíûé: 8(499) 270-73-59 29.07.09, 18:14 2-3.P65 1 29.07.2009, 11:35 1-4.p65 1 28.07.2009, 17:40