Ëèñòîê 16 23.12.08 Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà Çàäà÷à 16.1 (1 áàëë).  òóðíèðå ïî øàõìàòàì ó÷àñòâîâàëî 38 ÷åëîâåê. Ïåðâîíà÷àëüíî ïëà- íèðîâàëîñü, ÷òî êàæäûé ó÷àñòíèê äîëæåí ñûãðàòü 9 ïàðòèé. Îäíàêî ïî ïðè÷èíå áîëåçíè îäèí ó÷àñòíèê ñûãðàë äâå ïàðòèè, à åùå îäèí øåñòü, îñòàëüíûå ñûãðàëè ïî 9. Ñêîëüêî âñåãî ïàðòèé áûëî ñûãðàíî â òóðíèðå? Çàäà÷à 16.2 (1 áàëë).  êëàññå 30 ÷åëîâåê. Ìîæåò ëè áûòü òàê, ÷òî 9 èç íèõ èìåþò ïî 3 äðóãà (â ýòîì êëàññå), 11 ïî 4 äðóãà, à 10 ïî 5 äðóçåé? Çàäà÷à 16.3 (1 áàëë). Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü íà ïëîñêîñòè 17 îòðåçêîâ òàê, ÷òîáû êàæäûé ïåðåñåêàëñÿ ðîâíî ñ ïÿòüþ äðóãèìè? Çàäà÷à 16.4 (1 áàëë). Êàæäûé èç ó÷åíèêîâ êëàññà ïîäñ÷èòàë, ñêîëüêî ó íåãî â êëàññå äðóçåé (íå ñ÷èòàÿ ñåáÿ). Ïîëó÷åííûå ÷èñëà ñëîæèëè. Ïîëó÷èëîñü íå÷åòíîå ÷èñëî. Äîêàçàòü, ÷òî êòîòî èç øêîëüíèêîâ ÷èñëèò ñðåäè ñâîèõ äðóçåé ÷åëîâåêà, êîòîðûé íå ñ÷èòàåò åãî ñâîèì äðóãîì. Çàäà÷à 16.5 (1 áàëë).  ñòðàíå 15 ãîðîäîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîåäèíåí äîðîãàìè íå ìåíåå, ÷åì ñ 7 äðóãèìè. Äîêàæèòå, ÷òî èç ëþáîãî ãîðîäà ìîæíî äîáðàòüñÿ äî ëþáîãî äðóãîãî. Çàäà÷à 16.6 (1 áàëë).  Òðèäåâÿòîì öàðñòâå ëèøü îäèí âèä òðàíñïîðòà êîâåð-ñàìîëåò. Èç ñòîëèöû âûõîäèò 21 êîâðîëèíèÿ, èç ãîðîäà Äàëüíèé îäíà, à èç âñåõ îñòàëüíûõ ãîðîäîâ ïî 20. Äîêàæèòå, ÷òî èç ñòîëèöû ìîæíî äîëåòåòü â Äàëüíèé (âîçìîæíî, ñ ïåðåñàäêàìè). Çàäà÷à 16.7 (1 áàëë).  ñòðàíå 100 ãîðîäîâ, èç êàæäîãî èç íèõ âåäåò ïî 4 äîðîãè ê îñòàëüíûì, ïðè÷åì îò êàæäîãî ãîðîäà ìîæíî äîáðàòüñÿ äî ëþáîãî äðóãîãî. Ìîæíî ëè îòðåìîíòèðîâàòü âñå ýòè äîðîãè òàê, ÷òîáû â ëþáîé ìîìåíò ðåìîíòà ñóùåñòâîâàëà âîçìîæíîñòü ïðîåõàòü èç ëþáîãî ãîðîäà â ëþáîé äðóãîé? (Ïðè ðåìîíòå äîðîãè äâèæåíèå ïî íåé ïðåêðàùàåòñÿ.) Çàäà÷à 16.8 (1 áàëë). Âîëåéáîëüíàÿ ñåòêà èìååò âèä ïðÿìîóãîëüíèêà ðàçìåðîì 50 õ 600 êëåòîê. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî âåðåâî÷åê ìîæíî ïåðåðåçàòü òàê, ÷òîáû ñåòêà íå ðàñïàëàñü íà êóñêè? Çàäà÷à 16.9 (1 áàëë). Ãîðîä èìååò ôîðìó êâàäðàòà 1000 × 1000 ìåòðîâ ñ 11 ïðÿìîëèíåéíûìè óëèöàìè, èäóùåé ïàðàëëåëüíî îäíîé ñòîðîíå êâàäðàòà, è 11 ïðÿìîëèíåéíûìè óëèöàìè, èäóùèìè ïàðàëëåëüíî äðóãîé ñòîðîíå. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè ïàðàëëåëüíûìè óëèöàìè 100 ìåòðîâ, äëèíà êàæäîé ïàðàëëåëüíîé óëèöû 1000 ìåòðîâ. Ìýð ãîðîäà ðåøèë âûïîëíèòü ñâîå ïðåäâûáîðíîå îáåùàíèå: çààñôàëüòèðîâàòü çà ñâîé ñ÷åò óëèöû òàê, ÷òîáû ñ ëþáîãî ïåðåêðåñòêà íà ëþáîé äðóãîé ìîæíî áûëî ïðîåõàòü ïî àñôàëüòó. Êîíå÷íî ìýð õî÷åò èñòðàòèòü êàê ìîæíî ìåíüøå ñâîèõ äåíåã. Êàêîé íàèìåíüøåé äëèíû àñôàëüòîâîå ïîêðûòèå ìýð ìîæåò ñäåëàòü? Çàäà÷à 16.10 (2 áàëëà).  íåêîòîðîì êîðîëåâñòâå áûëî 32 ðûöàðÿ. Íåêîòîðûå èç íèõ áûëè âàññàëàìè äðóãèõ (âàññàë ìîæåò èìåòü òîëüêî îäíîãî ñþçåðåíà, ïðè÷åì ñþçåðåí âñåãäà áîãà÷å ñâîåãî âàññàëà). Ðûöàðü, èìåâøèé íå ìåíåå ÷åòûðåõ âàññàëîâ, íîñèë òèòóë áàðîíà. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî áàðîíîâ ìîãëî áûòü ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ? ( êîðîëåâñòâå äåéñòâîâàë çàêîí: ¾âàññàë ìîåãî âàññàëà íå ìîé âàññàë¿). Çàäà÷à 16.11 (2 áàëëà). Âàñÿ íàðèñîâàë ñâÿçíûé ãðàô ñ 47 ðåáðàìè, â êîòîðîì ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû 1, 5 èëè 10 (âîçìîæíî, ÷òî âåðøèí êàêîé-òî èç ýòèõ ñòåïåíåé íåò ñîâñåì). à) Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî óäàëèòü èç ýòîãî ãðàôà îäíî ðåáðî òàê, ÷òî îí ïåðåñòàíåò áûòü ñâÿçíûì. á) Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî óäàëèòü ÷åòûðå ðåáðà òàê, ÷òî ãðàô ðàñïàäåòñÿ íà ïÿòü êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Çàäà÷à 16.12 (2 áàëëà). Äâàäöàòü ãîðîäîâ ñîåäèíåíû 172-ìÿ àâèàëèíèÿìè. Äîêàçàòü, ÷òî, èñïîëüçóÿ ýòè àâèàëèíèè, ìîæíî èç ëþáîãî ãîðîäà ïåðåëåòåòü â ëþáîé äðóãîé (áûòü ìîæåò, äåëàÿ ïåðåñàäêè). Çàäà÷à 16.13 (2 áàëëà).  ïîñåëêå 100 äîìîâ. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ çàáîðîâ ìîæíî ïîñòðîèòü òàê, ÷òîáû êàæäûé çàáîð îãîðàæèâàë õîòÿ áû îäèí äîì, è íèêàêèå äâà çàáîðà íå îãîðàæèâàëè áû îäíó è òó æå ñîâîêóïíîñòü äîìîâ?