Задание 17 Единый Государственный Экзамен

Единый Государственный
Экзамен
Задание 17
Пример № 1.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платѐж составит
3,85 млн. рублей?
Решение.
Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн. рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться
14(n  1)
14  2 14
,...,
, ,0
n
n
n
По условию, каждый январь долг возрастает на 10%, значит, последовательность размеров долга (в млн. рублей) в январе
15,4(n  1) 15,4  2 15,4
такова: 15,4
,...,
,
.
n
n
n
14 1,4(n  1)  14 1,4  2  14 1,4  14
,...,
,
.
Следовательно, выплаты (в млн. рублей) должны быть следующими: 1,4  ,
n
n
n
n
Получаем: 15,4  3,85,откуда n = 4. Значит, всего следует выплатить
n
до нуля равномерно: 14,
 3 2 1
14  1,41      14  1,4  2,5  17,5 ( млн. рублей).
 4 4 4
Ответ: 17,5 млн. рублей.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ в пункте
3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и
получен результат:
- Неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
- Верный ответ, но решение недостаточно обосновано
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при
этом решение может быть не завершено
и получен результат:
2
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
0
Максимальный балл
3
Пример № 1.
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t ( t = 1; 2; ...).
В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счѐт в банке, при этом
в конце каждого следующего года сумма на счѐте будет увеличивается на 25%. В конце какого года пенсионному фонду
следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на счѐте была наибольшей?
Решение.
Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года k , то в конце двадцатого года на его счѐте
будет аk = k2·1,2520-k тыс. рублей.
сравним числа аk аk+1:
аk+1 - аk = (k+1)2 ·1,2520-k-1- k2·1,2520-k = 1,2520-k-1 (-0,25k2 + 2k+1).


Уравнение -0,25k2+2k+1 = 0 имеет корни 4· 1 1,25 .
Таким образом, аk+1 > аk при k ≤ 8, аk+1 < аk при k ≥ 9.
Значит, а9 > а8 > ... > а1 , а9 > а10 > ... > а20 , поэтому наибольший член последовательности
(аk) - это а9 , то есть ценные бумаги надо продавать в конце девятого года.
Ответ: 9.