Ïðàêòèêóì ïî òåìå 6 "Ïðåäåëüíûå òåîðåìû" Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî âûïîëíåíèþ ïðàêòèêóìà Öåëüþ ïðàêòèêóìà ÿâëÿåòñÿ áîëåå ãëóáîêîå óñâîåíèå ìàòåðèàëà êîíòåíòà òåìû 6, à òàêæå ðàçâèòèå ñëåäóþùèõ íàâûêîâ: • îöåíêà âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â íåêîòîðûé èíòåðâàë ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ Ìàðêîâà è ×åáûøåâà; • ïðîâåðêà óñëîâèé ïîä÷èíåíèÿ ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë; • èñïîëüçîâàíèå öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ ïîäñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé. Ïåðåä ðåøåíèåì çàäàíèé ïðàêòèêóìà ðåêîìåíäóåòñÿ âíèìàòåëüíî èçó÷èòü ìàòåðèàë êîíòåíòà òåìû 6 è ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíûé àíàëèç âñåõ ðàçîáðàííûõ ïðèìåðîâ. Ðåøåíèå òèïîâûõ çàäà÷ ÒÇ 6.1. Èçìåðÿåòñÿ ñêîðîñòü âåòðà â äàííîì íàñåëåííîì ïóíêòå. Ñëó- ÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè âåêòîðà íà ôèêñèðîâàííîå íàïðàâëåíèå. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A = {ξ ≥ 80 êì/÷} ïðè òàêîé èñõîäíîé èíôîðìàöèè: a) ïóòåì ìíîãîëåòíèõ èçìåðåíèé óñòàíîâëåíî, ÷òî M ξ = 16 êì/÷; á) ïðîâåäåíû äîïîëíèòåëüíûå èçìåðåíèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ óñòàíîâ- ëåíî, ÷òî σξ = 4 êì/÷, è, êðîìå òîãî, èçâåñòíî, ÷òî çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ . Ðåøåíèå: à) Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî Ìàðêîâà (ôîðìóëà (6.2.1) êîíòåíòà òåìû 6) P (A) = P {ξ ≥ 80êì/÷} ≤ Mξ 16 1 = = = 0, 2, 80 80 5 òî åñòü P (A) ≤ 0, 2. 1 á) Òàê êàê ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî M ξ , P {ξ ≥ 80} = P {ξ ≤ −48} = p. M ξ − 64 êì/÷ M ξ + 64 êì/÷ AAAAAAAAAAAAAAAAAA q q −48 êì/÷ ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢ q - 16 êì/÷ 80 êì/÷ Òîãäà P {ξ ≥ 80} + P {ξ ≤ −48} = P {|ξ − 16| ≥ 64} = 2p. Âåðîÿòíîñòü P {|ξ − 16| ≥ 64} îöåíèì ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà (ôîðìóëà (6.2.2) êîíòåíòà òåìû 6). Dξ 16 = 0, 0039. = 642 4096 Òàêèì îáðàçîì, 2p ≥ 0, 0039. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü p ≤ 0, 00195. P {|ξ − 16| ≥ 64} ≤ ÒÇ 6.2. Ñêëàäûâàåòñÿ 103 ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ îêðóãëåíî ñ òî÷íî- ñòüþ 10−3 . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îøèáêè îêðóãëåíèÿ íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû â èíòåðâàëå (−0, 5 · 10−3 ; 0, 5 · 10−3 ), íàéäèòå èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, â êîòîðîì ñ âåðîÿòíîñòüþ 0, 998 çàêëþ÷åíà ñóììàðíàÿ îøèáêà. Ðåøåíèå: Îáîçíà÷èì ξ1 , ξ2 , . . . , ξ103 îøèáêè îêðóãëåíèÿ êàæäîãî ñëàãàåìîãî. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è îíè ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûìè íà èíòåðâàëå (−0, 5 · 10−3 ; 0, 5 · 10−3 ) ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. 10−6 , k = 1, 103 . Òîãäà ïî òåîðåìå Ëåâè (òåî12 3 ðåìà 6.4.1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξk }10 k=1 ïîä÷èíÿåòñÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå, à ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû τ ñòðåìèòñÿ ê íîðìàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ 3 3 10 10 −6 X X 10−3 3 10 = . Mτ = M ξk = 0; Dτ = D ξk = 10 · 12 12 Çàìåòèì, ÷òî M ξk = 0, Dξk = k=1 k=1 Íàéäåì öåíòðèðîâàííóþ è íîðìèðîâàííóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó √ τ − Mτ τ 0 τ= √ =q = τ 20 30. 10−3 Dτ 12 Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî F 0 ≈ Φ0 (x). Ïî ôîðìóëå (6.3.3) ïîëó÷èì τ 0 P {−α < τ < α} = 2Φ0 (α). 2 Òðåáóåòñÿ íàéòè α, ïðè êîòîðîì ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0, 998, òî åñòü 2Φ0 (α) = 0, 998 ⇔ Φ0 (α) = 0, 499. Äàëåå ïî òàáë. 2 êîíòåíòà 12 íàéäåì α. Èç òàáëèöû α = 3, 1. Òîãäà ìîæíî 0 óòâåðæäàòü, ÷òî P {−3, 1 < τ < 3, 1} = 0, 998. Îñòàëîñü ïåðåéòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå τ : √ 0 P {−3, 1 < τ < 3, 1} = P {−3, 1 < τ 20 30 < 3, 1} = ¾ ½ 3, 1 3, 1 = P {−0, 0283 < τ < 0, 0283} = 0, 998. =P − √ <τ < √ 20 30 20 30 Òàêèì îáðàçîì, ñóììàðíàÿ îøèáêà îêðóãëåíèÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé 0, 998, íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (−0, 0283; 0, 0283). ÒÇ 6.3. Äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . ., îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ è çàäàííûõ ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ xi 0 1 2 3 pi 14 14 14 14 Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë? Ðåøåíèå: Òàê êàê âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ðàñïðåäåëåíû îäèíàêîâî, äëÿ îòâåòà íà âîïðîñ çàäà÷è äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû Õèí÷èíà (òåîðåìà 6.3.2). M ξk = 0 · 1 1 1 1 6 + 1 + 2 · + 3 · = = 1, 5. 4 4 4 4 4 Ïîñêîëüêó ó êàæäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñóùåñòâóåò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. Çàäàíèÿ ïðàêòèêóìà 6.1. ×èñëî ñîëíå÷íûõ äíåé â ãîäó â ãîðîäå N â ñðåäíåì ñîñòàâëÿåò 60 äíåé. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå ãîäà â ãîðîäå N áóäåò íå áîëåå 80 ñîëíå÷íûõ äíåé. 6.2. Ñðåäíåå ïîòðåáëåíèå ýíåðãèè â ÿíâàðå ìåñÿöå â îäíîì èç ïîñåëêîâ Ëåíèíãðàäñêîé îáëàñòè ñîñòàâëÿåò 40 000 êÂò/÷ ïðè ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì îòêëîíåíèè 5 000 êÂò/÷. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîòðåáëåíèå ýëåêòðîýíåðãèè â ÿíâàðå òåêóùåãî ãîäà îêàæåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 30 000 äî 50 000 êÂò/÷. 3 6.3. Äâà ñòðåëêà ïðîèçâîäÿò ïî 20 íåçàâèñèìûõ âûñòðåëîâ ïî ìèøåíè. Âå- ðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ äëÿ êàæäîãî èç ñòðåëêîâ ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, 0, 9 è 0, 8. Äëÿ îáùåãî ÷èñëà ïîïàäàíèé ξ íàéäèòå ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé 0, 95, èíòåðâàë ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî M ξ . 6.4. Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A â êàæäîì èñïûòàíèè 3 . Íàéäèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî èñïûòàíèé n, êîòîðûå íóæíî 4 ïðîâåñòè, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé 0, 8, ÷àñòîòà ñîáûòèÿ A îòëè÷àëàñü îò åãî âåðîÿòíîñòè íå áîëåå ÷åì íà 0, 03. ðàâíà 6.5. Ñðåäíåå êîëè÷åñòâî îñàäêîâ, âûïàäàþùèõ â ãîä íà òåððèòîðèè íåêî- òîðîé ìåñòíîñòè, ðàâíî 40 ñì. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîëè÷åñòâî îñàäêîâ íà äàííîé òåððèòîðèè ïðåâûñèò 110 ñì. 6.6. Ñðåäíåå çíà÷åíèå äëèíû äåòàëè ðàâíî 50 ñì, à ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå 0, 2 ñì. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàóãàä âçÿòàÿ äåòàëü áóäåò èìåòü äëèíó â ïðåäåëàõ îò 49, 9 äî 50, 1 ñì.  çàäà÷àõ 6.7 6.9 äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . .. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è (èëè) öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà. 6.7. ξn , n = 1, +∞ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì p = 0, 2. 6.8. ξn , n = 1, +∞ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé fξn (x) = 1 , π(1 + x2 ) x ∈ R. 6.9. ξn , n = 1, +∞ çàäàíà ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ xni −n 0 1 pni 4n2 1 − 2n1 2 n 1 4n2 6.10. Äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . ., n = 1, +∞, ðàñïðåäåëåííûõ ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè αn = 1 ñîîòâåòñòâåííî. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ n çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. 4 6.11. Ïóñòü ξn , n = 1; 2400 íåçàâèñèìûå, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, çàäàíû ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ xi 0 1 2 pi 13 13 13 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà τ = 2400 P n=1 ξn . Íàéäèòå P {|τ − M τ | < 100}. 6.12. Ìàðøðóò äâèæåíèÿ àâòîáóñà ðàçáèò íà 24 ó÷àñòêà, äëèíà êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ïî êàðòå ñ òî÷íîñòüþ 0, 1 êì. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèÿ äëèíû ó÷àñòêà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îøèáêà îïðåäåëåíèÿ äëèíû ìàðøðóòà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâûñèò 0, 2 êì. 6.13. Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , . . . îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû è çàäàíû ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé: ½ fξn (x) = cx2 , x ∈ [−1; 1] , n = 1, +∞. 0, x ∈ / [−1; 1] Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû τn îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè: τn = 5ξn − 1, n = 1, +∞. Íàéäèòå ïàðàìåòð c è àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η = 100 P τk m=1 6.14. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {ξn }∞ n=1 íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà îòðåçêå [−2; 2]. Âûïîëíÿåòñÿ ëè äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è (èëè) öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà? 6.15. Ïóñòü ξ1 , . . . , ξ100 íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ xi −2 −1 0 1 1 1 3 1 pi 16 4 8 4 Ïóñòü τ = 100 P n=1 2 1 16 ξn . Íàéäèòå ÷èñëî x, çíàÿ, ÷òî P {τ < x} = 0, 977. 6.16. Âðåìÿ èçãîòîâëåíèÿ áàíêíîòû åñòü âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ ïî ïî- êàçàòåëüíîìó çàêîíó. Åå ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàâíî 4 ìèí. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà èçãîòîâëåíèå 100 áàíêíîò ïîíàäîáèòñÿ îò 6, 5 äî 7 ÷àñîâ, åñëè âðåìÿ èçãîòîâëåíèÿ áàíêíîò íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. 5  çàäà÷àõ 6.17 6.19 âåëè÷èíà ξ èìååò õàðàêòåðèñòèêè M ξ = 1, σξ = 0, 2. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A. 6.17. A = {0, 5 < ξ < 1, 5}. 6.18. A = {0, 75 < ξ < 1, 35}. 6.19. A = {ξ < 2}. 6.20. Ñðåäíåå ÷èñëî âûçîâîâ íà ÀÒÑ çà 1 ìèíóòó ðàâíî 20 è ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Ïóàññîíà. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A = {ξ > 20}. 6.21. Îöåíèòå ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ïîäáðàñûâàíèè 12 èãðàëüíûõ êîñòåé ñóììà î÷êîâ (ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ) îòêëîíèòñÿ îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìåíüøå ÷åì íà 15. 6.22. Íà îòðåçêå [0; 1] ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáðàíî 100 ÷èñåë, òî÷íåå ðàñ- ñìàòðèâàþòñÿ 100 íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξ100 , ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [0; 1]. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èõ ñóììà çàêëþ÷åíà ìåæäó 51 è 60, òî åñòü P {51 < 100 P i=1 ξi < 60}. 6.23. Êîëè÷åñòâî êîðìîâ, ðàñõîäóåìûõ íà ôåðìå êðóïíîãî ðîãàòîãî ñêîòà â ñóòêè, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîòîðîé ðàâíî 6 ò. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â áëèæàéøèå ñóòêè ðàñõîä êîðìîâ íà ôåðìå ïðåâûñèò 10 ò. 6.24. Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà, îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç 5000 âûïóñêíèêîâ óíèâåðñèòåòà ðàáîòàòü ïî ñïåöèàëüíîñòè áóäóò îò 3750 äî 4250 âûïóñêíèêîâ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî â ñðåäíåì 4000 âûïóñêíèêîâ âûáèðàþò ðàáîòó ïî ñïåöèàëüíîñòè. 6.25. Âåðîÿòíîñòü âûçðåâàíèÿ ñåìÿí îâîùíîé êóëüòóðû â äàííîé ìåñòíî- ñòè ñîñòàâëÿåò 0, 8. Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç 1000 ðàñòåíèé ÷èñëî ðàñòåíèé ñ âûçðåâøèìè ñåìåíàìè ñîñòàâëÿåò îò 750 äî 850. 6.26.  òàêñîïàðêå èìååòñÿ 100 àâòîìîáèëåé. Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðà- áîòû êàæäîãî èç íèõ â òå÷åíèå îïðåäåëåííîãî ïåðèîäà ñîñòàâëÿåò 0, 9. Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå ÷èñëà áåçîòêàçíî ðàáîòàâøèõ àâòîìîáèëåé çà îïðåäåëåííûé ïåðèîä îò åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íå ïðåâçîéäåò ïî ìîäóëþ 5. 6 6.27. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ xi 2 3 6 9 pi 0, 1 0, 4 0, 3 0, 2 Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà, îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî |ξ − M ξ| > 3. Íàéäèòå ýòó âåðîÿòíîñòü. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñîñòàâëÿåò ïîãðåøíîñòü? 6.28. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ xi −1 0 1 3 5 pi 0, 1 0, 2 0, 4 0, 2 0, 3. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà, îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî |ξ − M ξ| > 2, 5. Íàéäèòå ýòó âåðîÿòíîñòü. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñîñòàâëÿåò ïîãðåøíîñòü?  çàäà÷àõ 6.29 6.30 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé: 0, x ≤ a, 2 (x − a) F (x) = , a < x ≤ 2a, 2 a 1, x > 2a, a > 0. Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà, îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî a |ξ − M ξ| < . Íàéäèòå ýòó âåðîÿòíîñòü. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñîñòàâëÿåò 2 ïîãðåøíîñòü? 6.29. a = 1. 6.30. a = 2. 7