Ïðàêòèêóì ïî òåìå 5 "Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû" Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî âûïîëíåíèþ ïðàêòèêóìà Öåëüþ ïðàêòèêóìà ÿâëÿåòñÿ áîëåå ãëóáîêîå óñâîåíèå ìàòåðèàëà êîíòåíòà òåìû 5, à òàêæå ðàçâèòèå ñëåäóþùèõ íàâûêîâ: • íàõîæäåíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïî èçâåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ; • íàõîæäåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî èçâåñòíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ; • âû÷èñëåíèå ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí; • èñïîëüçîâàíèå çíàíèÿ îñíîâíûõ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷. Ïåðåä ðåøåíèåì çàäàíèé ïðàêòèêóìà ðåêîìåíäóåòñÿ âíèìàòåëüíî èçó÷èòü ìàòåðèàë êîíòåíòà òåìû 5 è ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíûé àíàëèç âñåõ ðàçîáðàííûõ ïðèìåðîâ. Ðåøåíèå òèïîâûõ çàäà÷ ÒÇ 5.1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî- ÿòíîñòåé: 0, x ≤ 0, 4 − 2x f (x) = , 0 < x ≤ 1, 3 0, x > 1. Íàéäèòå: à) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ; á) ïîñòðîéòå ãðàôèê ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ; â) âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ â èíòåðâàë µ ¶ 1 1 , . 6 3 1 Ðåøåíèå: Zx à) F (x) = f (t)dt = −∞ Zx 0dt = 0, x ≤ 0, −∞ µ ¶ Zx Z0 4 t2 x 4 x2 4 − 2t dt = t− | = x − , 0 < x ≤ 1, 0dt + = 3 3 3 0 3 3 −∞ 0 Z0 Z1 Zx 4 − 2t 0dt + dt + 0dt = 1, x > 1. 3 −∞ 0 1 Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò âèä: F (x) = á) 0, x ≤ 0, 2 4 x x − , 0 < x ≤ 1, 3 3 1, x > 1. 6y = f (x) 4 3 2 3 0 q I q 1 q q q ¾ 6y = F (x) 1 q 0 ½ µ â) P ξ ∈ = 7 . 36 1 1 ; 6 3 ¶¾ q 1 x - q q 1 x - µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 4 1 4 1 · − · − =F −F = − = 3 6 3 3 27 3 6 108 2 ÒÇ 5.2. Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäå- ëåíèÿ: 0, x ≤ 0, 2 cx F (x) = , 0 < x ≤ 2, 4 1, x > 2. Íàéäèòå: à) êîíñòàíòó c; á) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ; â) M ξ , Dξ . Ðåøåíèå: à) Òàê êàê ξ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïðè ëþáîì x ∈ R. Òîãäà lim F (x) = 1. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ðàâåíñòâîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ x→2− êîíñòàíòû c. cx2 lim =c x→2− 4 á) ⇔ c = 1. 0, x ≤ 0, 2 x F (x) = , 0 < x ≤ 2, 41, x > 2. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé f (x) = F 0 (x). Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷èì: 0, x ≤ 0, x , 0 < x ≤ 2, f (x) = 2 0, x > 2. â) Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (5.3.1) è (5.3.4) èç êîíòåíòà òåìû +∞ Z Z2 5. x x3 2 8 4 Mξ = xf (x)dx = x · dx = | = = . 2 60 6 3 −∞ 0 +∞ Z Z2 x2 f (x)dx − (M ξ)2 = Dξ = −∞ 0 x x2 · dx − 2 µ ¶2 4 = 3 x4 2 16 16 16 2 = − = . = |− 80 9 8 9 9 3 ÒÇ 5.3. Ìèíóòíàÿ ñòðåëêà ýëåêòðè÷åñêèõ ÷àñîâ ïåðåìåùàåòñÿ ñêà÷êîì â êîíöå êàæäîé ìèíóòû. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â äàííîå ìãíîâåíèå ÷àñû ïîêàæóò âðåìÿ, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîãî íå áîëåå ÷åì íà 20 ñåêóíä. Ðåøåíèå: Ðàçíèöà â ïîêàçàíèÿõ ÷àñîâ è èñòèííîãî çíà÷åíèÿ âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ξ , ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà îòðåçêå [0; 60c].  çàäà÷å òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ξ ∈ [0; 20c]. Z20 P {ξ ∈ [0; 20]} = f (x)dx. 0 Äëÿ ðàâíîìåðíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ 0, x < 0, 1 f (x) = , 0 ≤ x ≤ 60, 60 0, x > 60. Z20 Òîãäà P {ξ ∈ [0; 20]} = 0 1 x 20 1 dx = | = . 60 60 0 3 ÒÇ 5.4. Ïðîèçâîäèòñÿ âçâåøèâàíèå íåêîòîðîãî âåùåñòâà áåç ñèñòåìàòè- ÷åñêèõ îøèáîê. Ñëó÷àéíûå îøèáêè âçâåøèâàíèÿ ïîä÷èíåíû íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñî ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ = 20 ã. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âçâåøèâàíèå áóäåò ïðîèçâåäåíî ñ îøèáêîé, íå ïðåâîñõîäÿùåé ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå 10 ã. Ðåøåíèå: Ïî óñëîâèþ çàäà÷è îøèáêà âçâåøèâàíèÿ ξ ∈ N (0, 20). Òðåáóåòñÿ íàéòè P {|ξ| ≤ 10}. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòîé âåðîÿòíîñòè âîñïîëüçóåìñÿ òàáëèöåé çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà (êîíòåíò òåìû 12, ïðèëîæåíèå 2). µ P {|ξ| ≤ 10} = P {−10 ≤ ξ ≤ 10} = 2Φ0 10 20 ¶ = = 2Φ0 (0, 5) = 2 · 0, 1915 = 0, 383. ÒÇ 5.5. Âðåìÿ îæèäàíèÿ ó áåíçîêîëîíêè àâòîçàïðàâî÷íîé ñòàíöèè ÿâ- ëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ξ , ðàñïðåäåëåííîé ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñî ñðåäíåì âðåìåíåì îæèäàíèÿ, ðàâíûì 5 ìèíóòàì. Íàéäèòå: à) F (x); á) P {2, 5 < ξ < 7, 5}. 4 Ðåøåíèå: à) Ïî óñëîâèþ çàäà÷è M ξ = 5. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, M ξ = ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ. Òîãäà 1 =5 α ⇔ 1 , ãäå α α α = 0, 2. Çíàÿ ïàðàìåòð α, ìîæåì çàïèñàòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ξ : ½ F (x) = á) 0, x < 0, −0,2x 1−e , x ≥ 0. P {2, 5 < ξ < 7, 5} = F (7, 5) − F (2, 5) = e−0,2·2,5 − e−0,2·7,5 = = e−0,5 − e−1,5 ≈ 0, 607 − 0, 223 = 0, 384. Çàäàíèÿ ïðàêòèêóìà  çàäà÷àõ 5.1 5.5 â êîíöå ðåøåíèÿ ïîñòðîèòü ãðàôèêè ïëîòíîñòè f (x) è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . 5.1. Ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: x ≤ 0, 0, f (x) = cx, 0 < x ≤ 3, 0, x > 3. ½ ¾ 3 Íàéäèòå: a) c; á) F (x); â) P |ξ − M ξ| < . 4 5.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî, M ξ = 1, Dξ = 3. Íàéäèòå ïëîòíîñòü f (x) è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . 5.3. Ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: x < 0, 0, 2 f (x) = cx , 0 ≤ x ≤ 1, 0, x > 1. Íàéäèòå: a) c; á) F (x). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â äâóõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, ìåíüøåå 0,3? 5 5.4. Ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: π x<− , 2 π π c cos x, − ≤ x ≤ , f (x) = 2 π 2 0, x> . 2 n πo Íàéäèòå: a) c; á) F (x); â) P |ξ| < . 4 0, 5.5. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïëîòíîñòü f (x) = äèòå: a) c; á) F (x); â) P {|ξ| < 2}. c , ∀x ∈ R. Íàé4 + x2 c . Íàéäèòå: e−2x + e2x a) c; á) F (x). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â äâóõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, ìåíüøåå 2. 5.6. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïëîòíîñòü f (x) =  çàäà÷àõ 5.7 5.8 ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàäàíà ãðàôè÷åñêè. Íàéäèòå êîíñòàíòó c è íàïèøèòå âûðàæåíèÿ äëÿ f (x) è F (x). 5.7. 6y = f (x) qc µ ¡ ¡ ¡ ¡ q ¾ q ¡ −2 - x 0 5.8. 6y = f (x) cq 0 @ I @ @ @ q @q c - x 5.9. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Êîøè, îïðåäåëÿåìîìó ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé x F (x) = b + c · arctg . a Âûáåðèòå êîýôôèöèåíòû a, b è c òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äàííîå ðàñïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâîâàëî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå íåïðåðûâíîãî òèïà. 6 5.10. Àâòîìàò èçãîòàâëèâàåò øàðèêè. Øàðèê ñ÷èòàåòñÿ ãîäíûì, åñëè îò- êëîíåíèå ξ äèàìåòðà øàðèêà îò ïðîåêòíîãî ðàçìåðà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ìåíüøå 0,7 ìì. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñî ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ = 0, 4 ìì, íàéäèòå, ñêîëüêî â ñðåäíåì ãîäíûõ øàðèêîâ ñðåäè 100 èçãîòîâëåííûõ. 5.11. Èñïûòûâàþò 2 íåçàâèñèìûõ ðàáîòàþùèõ ýëåìåíòà. Äëèòåëüíîñòü âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïåðâîãî ýëåìåíòà èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ½ 0, t < 0, −0,02t 1−e , t ≥ 0, F1 (t) = âòîðîãî ½ F2 (t) = 0, t < 0, −0,05t 1−e , t ≥ 0. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà âðåìÿ t = 6 ÷àñîâ òîëüêî îäèí ýëåìåíòîâ îòêàæåò.  çàäàíèÿõ 5.12 5.16 çàäàíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Íàéäèòå êîíñòàíòó c, M ξ , Dξ , ìîäó m. 0, x ≤ 0, 5.12. F (x) = cx, 0 < x ≤ 1, 1, x > 1. 5.14. F (x) = 5.16. F (x) = 0, x < 1, 1 − c , x ≥ 1. x3 0, x ≤ 0, 0, 2 5.13. F (x) = cx , x ∈ (0; 1], 1, x > 1. 0, x ≤ 0, 5.15. F (x) = cx , x > 0. 1+x x ≤ −2, c (x + 2), −2 < x ≤ 2, 4 1, x > 2.  çàäà÷àõ 5.17 5.30 çàäàíû ïëîòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Íàéäèòå êîíñòàíòó c, M ξ , Dξ , ìîäó m. 5.17. f (x) = c , x ∈ [a; b], b−a 0, x∈ / [a; b]. ( 5.18. f (x) = 2cx, x ∈ [0; 1], 0, x∈ / [0; 1]. 7 ( 5.19. f (x) = cx, x ∈ [0; 2], 0, x ∈ / [0; 2]. 5.23. f (x) = cx2 , x ∈ [0; 1], 0, x∈ / [0; 1]. √ c , x ∈ [0; 3], 2 1 + x 5.25. f (x) = √ 0, x∈ / [0; 3]. ( 5.27. f (x) = c(2x − x2 ), x ∈ [0; 1], 0, 5.20. f (x) = c(x2 + 2x), x ∈ [0; 1], 0, x∈ / [0; 1]. µ ¶ 1 c x− , x ∈ [1; 2], 2 5.22. f (x) = 0, x∈ / [1; 2]. 0, x ≤ 1, 5.21. f (x) = c , x > 1. x4 ( ( x∈ / [0; 1]. ( 5.24. f (x) = 0, x < 0, 4ce−4x , x ≥ 0. · ¸ c 1 x, x ∈ e; e , 5.26.f (x) = ¸ · 1 ;e . / 0, x ∈ e ( 5.28. f (x) = cx(1 − x), x ∈ [0; 1], 0, x∈ / [0; 1]. c √ , x ∈ [−1; 1] , 2 1 − x 5.29. f (x) = 0, x∈ / [−1; 1] . µ ¶ 1 3 2 c − x + x − 2 , x ∈ [2; 4], 4 2 5.30. f (x) = 0, x∈ / [2; 4]. 8