НК Т а а K(f) о f ∈ K[x] ∣Q(x3 − 1) : Q∣∣ µ |Q(xn − 1) : Q| ∣Q(x3

Mat. BSC (elemz®): Alg. 3
2009. november 25.
11. feladatsor
Felbontási test, véges testek, szerkeszthet®ség
1.
Jelölje
K(f )
az
f ∈ K[x]
polinom felbontási testét
foka?
a)
d)
2.
Q(x3 − 1) : Q;
|Q(xn − 1) : Q|;
jebb
e)
)
f)
Q(x4 − 2) : Q;
F2 (x5 + x3 + 1) : F2 .
n-edfokú
polinom felbontási testének az alaptest fölötti foka legföl-
n-edfokú
reduibilis polinom felbontási testének az alaptest fölötti
n!.
b) Igazoljuk, hogy egy
foka legföljebb
(n − 1)!.
) Igazoljuk, hogy tetsz®leges
fölötti foka legföljebb
3.
fölött. Mi lesz az alábbi testb®vítések
Q(x3 − 2) : Q;
Q(x2 − 2)(x2 − 3) : Q;
b)
a) Igazoljuk, hogy egy
K
a ∈ Q
raionális szám esetén
xn − a
felbontási testének
Q
n(n − 1).
Megoldhatók-e, és ha igen, hány különböz® megoldása van az alábbi egyenleteknek a megadott
testekben?
b)
x3 + x + 1 = 0 az F2 , F4 , F8 ,
x6 − 1 = 0 az F7 testben;
)
x2 + x + 1 = 0
a)
4.
az
f ∈ Fq [x]
(f, g) 6= 1.
a) Legyen
F3 ,
illetve
F9
irredubilis
b) Bizonyítsuk be, hogy ha
illetve
F2 n
testekben;
testben.
n-edfokú
f ∈ Fq [x]
polinom. Igazoljuk, hogy a
irreduibilis, akkor
f -nek
az
n
g = xq − x
Fq
polinomra
egyetlen b®vítésében
sem lehet többszörös gyöke.
5.
a) Hány részteste van
b) Hány olyan
F64 -nek?
α ∈ F64
Hát
F256 -nak?
elem van, melyre
F2 (α) = F64 ?
Hát olyan
β ∈ F256
melyre
F2 (β) =
F256 ?
) Hány
6.
7.
6-odfokú
irreduibilis polinom van
F2
fölött? Hát
Mutassuk meg, hogy véges test nem lehet algebrailag zárt.
a) Mely véges testeket fogja résztestként tartalmazni
b) Van-e olyan végtelen test, mely algebrai b®vítése
8.
8-adfokú?
α ∈ F8
Legyen
gyöke az
x3 + x + 1
F2
algebrai lezártja?
F2 -nek, és amely nem tartalmazza F4 -et?
polinomnak. Írjuk föl
α
reiprokát
α
hatványainak lineáris
kombináiójaként.
9.
10.
Milyen
n-re (n ∈ N)
szerkeszthet®
n◦ -os
szög?
Lehet-e általában egyenl® szárú háromszöget szerkeszteni, ha adott a szára és a beírt kör
sugara?
(Útmutatás: Jelöljük a háromszög alapját
amikor a beírt kör sugara
1,
x-szel,
majd abban a speiális esetben,
írjuk föl a háromszög területét kétféleképpen.)
http://www.s.elte.hu/agoston/bboard/me09osz3/gyakorlat.html