ц ж ¸ щ п р тс

NÉV:
Gyakorlat:
ÁI-de.
ÁI-du.
ELTE azon.:
FR-de.
FR-du.
KE
Mat. BS tanári
Dolgozat, 2007/10/09
Algebra3
Kérjük, ügyeljen a pontos megfogalmazásra és a megfelel® indoklásokra.
Indoklás nélküli válaszért, illetve eredményért nem jár pont. Minden feladat 1 pontot ér, a dolgozat érdemjegye a kerekítés nélküli összpontszám.
Semmilyen segédeszköz sem használható.
1. Tekintsük az R = Z7 [x] polinomgy¶r¶t.
a) Létezik-e R-nek végtelen valódi részgy¶r¶je?
b) Adja meg R összes véges részgy¶r¶jét.
2.
Tekintsünk egy gy¶r¶homomorzmust a komplex számokról egy tetsz®leges R gy¶r¶be. Tegyük fel, hogy van két olyan különböz® elem,
amelyeknek a képe ugyanaz. Bizonyítsa be, hogy ekkor minden elem
képe ugyanaz.
1
Legyen az R = Z11 [x] gy¶r¶ben I azoknak a polinomoknak a halmaza,
amelyeknek a 2 többszörös (azaz legalább kétszeres) gyöke.
a) Igazolja, hogy I f®ideál.
b) Hány elem¶ az R/I faktorgy¶r¶?
) Nullosztó-e R/I -ben (x2 + x − 6) + I ?
3.
2
4.
5.
Adjon meg olyan Gauss-prímet, amely osztója a 14 − 5i-nek.
Tegyük fel, hogy az α Gauss-egészhez van olyan p prímszám, amelyre
p5 | N (α). Mutassa meg, hogy ekkor van olyan π Gauss-prím, amelyre
π 3 | α.
3
6.
Oldja meg az (x3 − 11)(x3 − 18) = z 2 diofantikus egyenletet.
4