ПК УЧЪФ Ь ¹ згжго иг ¸ и ж жи

3. GYAKORLAT - sorozatok, határértékek
A feladatsorban sorozatokat mindig azok
n-edik
an
tagjával adunk meg, amelyet
n ∈ Z+ ).
jelöl (
1. Mely sorozatok növ®ek, sökken®ek, illetve korlátosak az alábbiak közül?
(a)
an =
1
(n+1)
ln
an = sin n
√
√
an = n + 1 − n
(e)
(i)
n
n+1
an =
(b)
(f )
an = (−1)n
(j)
an = 1 +
1 n
n
n
n3 −1
()
an =
(g)
an =
(k)
an = 1 +
(−1)n
n3 −8n
1 n
2n
(d)
an = ln (n2 + 3)
(h)
an =
(l)
an =
n2 +n
n2 −2
√
n
n
2. Számítsuk ki az alábbiakban megadott sorozatok határértékét, ha az létezik!
(a)
an =
(d)
(g)
1
n2 +n
an = n− 2
()
an =
an = log2 (2 − n1 )
(e)
an =
3−n2
2+n3
(f )
an =
n(3−n2 )
3+2n2
(h)
an =
q
(i)
an =
1+4n
√
√
2 n−1− 3 n
√
n+1
(k)
an =
(l)
an =
√
an =
(m)
1
(b)
an =
(j)
(−1)n
n
√
an =
√
9n2 +n+ n
√
n+ 3 n
1
1 n
+
2
n
√
1− n
√
1+ n
√
√
n+1− n
√
√
an = 3 n2 + n − 3 n2 − n
(n)
a értékek
3. (a) Határozzuk meg, milyen (konstans)
(o)
n2 − √1n
lim an
értéke
nem létezik!
(b) Igazoljuk, hogy tetsz®leges
k∈N
|a| < 1
és
() Igazoljuk, hogy ha a nemnegatív tagú
esetén
(an )
lim nk an = 0
sorozatra
√
n2 + 1
n!
nn
an =
esetén lesz
n2 + n −
0, 1, ∞, illetve mikor
teljesül!
lim an = A,
akkor
lim
teljesül!
(d) Igazoljuk, hogy ha a pozitív tagú
(an )
sorozatra
jesül!
(e) Igazoljuk, hogy ha a pozitív tagú
téke is
Hn =
A,
1
a1
amelyeknek
+
1
a2
n
+···+
(f ) Igazoljuk, hogy ha az
n-edik
(an )
tagja
lim an = A ∈ R+ ,
akkor
lim
√
k
√
n
an =
an = 1
√
k
A
tel-
lim an = A, akkor azon sorozatok határér√
a1 + a2 + · · · + an
n
An =
, Gn =
a1 a2 · · · · · an , illetve
n
sorozatra
1 .
an
(an )
sorozatra
lim an = A ∈ R,
ahol
|A| < 1,
akkor
lim ann = 0.
(g)
(h) Igazoljuk, hogy ha pozitív tagú
A>1
valamilyen
4. A
lim
√
n
n = 1
sorozat elemeire
lim
lim an = ∞.
számra, akkor
(i) Igazoljuk, hogy ha
(an )
(an )
−1 < A < 1
an+1
=A
an
sorozat elemei közt nem szerepel a nulla, és
számra, akkor
lim an = 0.
teljesül valamilyen
lim
an+1
=A
an
egyenl®ség felhasználásával számítsuk ki az alábbiakban megadott sorozatok
határértékét, ha az létezik! Használjuk fel a 3.(d)-ben szerepl® állítást!
(a)
an =
√
n
(e)
an =
√
n
5. A
5n + 3
(b)
2n + n3
(f )
1
lim 1 +
n
n
=e
an =
an =
√
2n
√
4n
n
4n + n4 + n3
()
an =
(g)
an =
p
n
2+
q
n
√
5n +3n
4n −3n
n
(d)
an =
(h)
an =
√
n
10n3 + 2
q
2n
2 ·2n −3n
n√
4n −3n
egyenl®ség felhasználásával számítsuk ki az alábbi határértékeket!
n
an = 1 + n12
√n
1
(d) an =
1 + √n
(a)
teljesül
(b)
(e)
n
an = 1 + n2
2 n
+1
an = nn2 −1
()
(f )
n−3
an = 1 − n1
3
n
an = n n+2n+3
3 −3
6. A 3.(e) feladat eredményének felhasználásával igazoljuk, a
n
lim √
=e
n
n!
egyenl®séget, majd
számítsuk ki a következ® sorozatok határértékét! A további határértékek kiszámításához használjuk fel a 3.(f ) (g)és (h) állításokat is!
√
n+1
(a) an = p
2n
(2n)!
√
n
(e) an =
n!
√
n!
(i) an =
(n + 1)2
ln n!
− ln n
(m) an =
n
√
n−5
(b) an = p
n
(n − 1)!
√
2n
(f ) an =
n!
(j)
(n)
an =
nn
(2n)!
an = ln (n + 1)! − ln n!
()
(g)
(k)
(o)
n!
2n
n!
an = √ n
n
nn
an =
(n!)2
an =
an = n2 − ln n!
(d)
(h)
(l)
n!
nn
n!
an = 5
n +1
an =
an = n − ln n!