Листок 6

÷ûü, 2009 ç., 1 íïäõìø
6. æõîäáíåîôáìøîáñ çòõððá é ðåò÷ùå çïíïìïçéé.
ôïðïìïçéñ
1. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ ÇÒÕÐÐÙ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÎÁËÒÙÔÉÑ. îÁËÒÙÔÉÅ p :
E → B , ÇÄÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï E ÌÉÎÅÊÎÏ Ó×ÑÚÎÏ É ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏ (Ô.Å. 1 (E ) ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁ), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ. ðÕÓÔØ b ∈ B | ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ × ÂÁÚÅ, e ∈ E | × ÔÏÔÁÌØÎÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, É p(e) = b. üÌÅÍÅÎÔÙ 1 (B )
ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ×Ï ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ p−1 (b) ⊂ B : ÔÏÞËÅ x ∈ p−1 (b) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ
ËÌÁÓÓ ÇÏÍÏÔÏÐÉÉ ÐÅÔÌÉ p ◦ , ÇÄÅ : [0; 1] → E | ËÒÉ×ÁÑ (ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ!), ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ e Ó x.
úÁÄÁÞÁ 1. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ RP 2 | ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏÅ ÓÆÅÒÅ S 2 , ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÏÐÁÒÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÙ: x ∼ −x ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ∈ S 2 . ðÕÓÔØ
f : S 2 → RP 2 | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÁ×ÑÝÅÅ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ x ∈ S 2 ÐÁÒÕ {x; −x} ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔ
RP 2 . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f | ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ É ÞÔÏ 1 (RP 2 ) = Z=2Z.
úÁÄÁÞÁ 2. ä×ÕÍÅÒÎÙÊ ÔÏÒ T2 ÜÔÏ ÄÅËÁÒÔÏ×Ï ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ S 1 × S 1 . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : R2 → T2 ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ
ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (x; y) = (e2ix ; e2iy ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f | ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ É ÞÔÏ 1 (T2 ) = Z2 .
úÁÄÁÞÁ 3. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ×ÏÓØÍÉÕÇÏÌØÎÉË, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÖÎÙÅ ÓÔÏÒÏÎÙ
ÓËÌÅÅÎÙ \ÂÅÚ ÐÅÒÅËÒÕÔËÉ", ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÅÎ ÓÆÅÒÅ Ó Ä×ÕÍÑ ÒÕÞËÁÍÉ (ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÅÅ M2 ).
ðÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÓÍ. ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÕÀ ÞÁÓÔØ ÌÉÓÔËÁ.
2. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ ÇÒÕÐÐÙ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÉËÌÅÉ×ÁÎÉÑ ËÌÅÔÏË. ðÕÓÔØ X É Y | ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, A ⊂ X , É f : A → Y | ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ. ôÏÇÄÁ X ∪A;f Y (ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÐÒÉËÌÅÉ×ÁÎÉÑ X Ë Y Ó ÐÏÍÏÝØÀ f ) ÜÔÏ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÉÚ ÎÅÓ×ÑÚÎÏÇÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ X t Y ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË a ∈ A Ó ÉÈ ÏÂÒÁÚÁÍÉ f (a) ∈ Y . (åÓÌÉ f (a1 ) = f (a2 ), ÔÏ a1 ; a2 ∈ A,
ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ. ôÏÞËÉ x ∈ X \ A ÎÉ Ó ÞÅÍ ÎÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÔÓÑ. åÓÌÉ ÔÏÞËÁ
y ∈ Y ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÏÂÒÁÚÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f , ÔÏ ÏÎÁ ÔÏÖÅ ÎÉ Ó ÞÅÍ ÎÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ.) ïÄÎÏ×ÅÒÛÉÎÎÙÊ
ËÏÎÅÞÎÙÊ Ä×ÕÍÅÒÎÙÊ ËÌÅÔÏÞÎÙÊ ËÏÍÐÌÅËÓ (ÔÅÒÍÉÎ ÍÏÖÎÏ ÎÅ ÚÁÐÏÍÉÎÁÔØ. . . ) ÜÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÐÒÉËÌÅÉ×ÁÎÉÑ
W
Ë ÂÕËÅÔÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ËÒÕÇÏ× ÐÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍ ÉÈ ÇÒÁÎÉÃ. ô.Å. ÚÄÅÓØ Y = ki=1 Si1 | ÂÕËÅÔ
F
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ËÒÕÇÏ×, A ⊂ X
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ (×ÅÒÛÉÎÕ ÅÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ y), X = N
j =1 Di | ÎÅÓ×ÑÚÎÏÅ
FN
1
| ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÜÔÉÈ ËÒÕÇÏ×: A = j =1 Sj .
úÁÄÁÞÁ 4. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ËÏÍÐÌÅËÓ, ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÙÊ Á) Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÅ S 2 , Â) Ä×ÕÍÅÒÎÏÍÕ ÔÏÒÕ T2 , ×) ÐÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ RP 2 , Ç) ÓÆÅÒÅ Ó Ä×ÕÍÑ ÒÕÞËÁÍÉ M2 .
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ fj ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : A → Y ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Sj1 . åÓÌÉ ÏÂÒÁÚ fj ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÅÒÛÉÎÕ
y ÂÕËÅÔÁ Y , ÔÏ fj ÇÏÍÏÔÏÐÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ × ÔÏÞËÕ (ÐÏÞÅÍÕ?) | × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÌÏÖÉÍ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
j = 1 ∈ 1 (Y ). ÷ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÕÓÔØ fj (a) = y ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ a ∈ Sj1 . ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ
= {z | |z | = 1} | \ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ" ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ j (1) = a. ëÏÍÐÏÚÉÃÉÑ fj ◦ j
j : Sst1 → Sj1 , ÇÄÅ Sst1 def
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÔÌÅÊ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Y Ó ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ y (×ÅÒÛÉÎÏÊ ÂÕËÅÔÁ). ïÂÏÚÁÞÉÍ ÅÅ ËÌÁÓÓ ÇÏÍÏÔÏÐÉÉ
j ∈ 1 (Y ) = F (a1 ; : : : ; ak ) (× Ó×ÏÂÏÄÎÏÊ ÇÒÕÐÐÅ Ó k ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ).
úÁÄÁÞÁ 5. ÷ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÊ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔØ: ÔÏÞËÁ a ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ, É
ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ j ÔÏÖÅ ÎÅ ÏÄÉÎ, ÄÁÖÅ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÇÏÍÏÔÏÐÉÉ. ëÁË ÍÏÖÅÔ ÉÚÍÅÎÉÔØÓÑ ËÌÁÓÓ ÇÏÍÏÔÏÐÉÉ
j , ÅÓÌÉ a É j ×ÙÂÒÁÔØ ÐÏ-ÄÒÕÇÏÍÕ?
ïÔ×ÅÔ. ëÌÁÓÓ ÍÏÖÅÔ ÐÅÒÅÊÔÉ × ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÊ: j 7→ uj u−1 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ u ∈ F (a1 ; : : : ; ak ). ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ
ÄÏ ÓÏÐÒÑÖÅÎÉÑ ËÌÁÓÓ j ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ.
ôÅÏÒÅÍÁ. æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ ËÏÍÐÌÅËÓÁ ÐÏÒÏÖÄÅÎÁ ÔÅÍÉ ÖÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ a1 ; : : : ; ak , ÞÔÏ É 1 (Y )
(ÏÄÎÏËÒÁÔÎÙÅ ÏÂÈÏÄÙ ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ ÂÕËÅÔÁ), É ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÆÁËÔÏÒ-ÇÒÕÐÐÅ Ó×ÏÂÏÄÎÏÊ ÇÒÕÐÐÙ Ó k ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ ÐÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÐÏÄÇÒÕÐÐÅ, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ 1 ; : : : ; N (Ô.Å. ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÐÐÅ,
ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ k ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ Ó ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ 1 = 1; : : : ; N = 1).
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÒÉ ÓÏÐÒÑÖÅÎÉÉ j 7→ uj u−1 ÆÁËÔÏÒ-ÇÒÕÐÐÁ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ.
úÁÄÁÞÁ 6. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÅÏÒÅÍÕ, ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÕÀ ÇÒÕÐÐÕ Á) Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÙ S 2 , Â) Ä×ÕÍÅÒÎÏÇÏ
ÔÏÒÁ T2 , ×) ÐÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ RP 2 , Ç) ÓÆÅÒÙ Ó Ä×ÕÍÑ ÒÕÞËÁÍÉ M2 .
úÁÄÁÞÁ 7. Á) äÏËÁÖÉÔÅ ÐÅÒ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÔÅÏÒÅÍÙ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÐÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÐÅÔÌÑ × ËÏÍÐÌÅËÓÅ ÇÏÍÏÔÏÐÎÁ
ÐÅÔÌÅ, ÉÄÕÝÅÊ ÐÏ ÂÕËÅÔÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ (ÎÅ ÚÁÈÏÄÑÝÅÊ ×ÎÕÔÒØ ÐÒÉËÌÅÅÎÎÙÈ ËÒÕÇÏ×). Â) äÏËÁÖÉÔÅ ×ÔÏÒÕÀ
ÞÁÓÔØ ÔÅÏÒÅÍÙ.
1
3. óÉÍÐÌÉÃÉÁÌØÎÙÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ É ÐÅÒ×ÙÅ ÇÏÍÏÌÏÇÉÉ óÉÍÐÌÉÃÉÁÌØÎÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚ-
ÂÉÅÎÉÅ ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á X ÎÁ ÞÁÓÔÉ T1(0) ; T2(0) ; : : : ; T1(1) ; T2(1) ; : : : ;, ÇÄÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÞÁÓÔÉ Ti(j )
ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎ ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ i(j ) , ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÝÉÊ ÅÅ Ó j -ÍÅÒÎÙÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÓÉÍÐÌÅËÓÏÍ (ÓÁÍÁ Ti(j ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ j -ÍÅÒÎÏÊ ÇÒÁÎØÀ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ; ÎÕÌØÍÅÒÎÙÅ ÇÒÁÎÉ ÜÔÏ ÔÏÞËÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ; ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÅ
ÇÒÁÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÅÂÒÁÍÉ). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÙÐÏÌÎÑÌÉÓØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ:
= Ti(1j1 ) ⊂ T2 def
= Ti(2j2 ) , ÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ 2 ÎÁ T1 ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÇÏ × j1 -ÍÅÒÎÕÀ ÇÒÁÎØ
1) åÓÌÉ T1 def
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÓÉÍÐÌÅËÓÁ, É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ 2 ◦ 1−1 | ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ j1 -ÍÅÒÎÏÇÏ
ÓÉÍÐÌÅËÓÁ ÎÁ ÕÐÏÍÑÎÕÔÕÀ ÇÒÁÎØ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ T2 def
= Ti(2j2 ) É ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ j1 -ÍÅÒÎÏÊ ÇÒÁÎÉ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ j2 -ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÐÌÅËÓÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ T1 def
= Ti(1j1 ) ⊂ T2 ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ 2 ÎÁ T1
ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÇÏ × ÕÐÏÍÑÎÕÔÕÀ ÇÒÁÎØ.
2) åÓÌÉ T = T1 ∩ T2 6= ∅, ÔÏ T Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÞÁÓÔÅÊ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ.
k-ÃÅÐÉ Ck (X; Z) ÜÔÏ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÐÐÁ, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ k-ÍÅÒÎÙÍÉ ÇÒÁÎÑÍÉ; ÓÍÅÎÁ ÏÒÉÅÎÔÁÃÉÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÓÍÅÎÅ ÚÎÁËÁ. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ @k : Ck (X; Z) → Ck−1 (X; Z) | ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕÐÐ, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ËÁÖÄÏÍÕ k-ÍÅÒÎÏÍÕ ÓÉÍÐÌÅËÓÕ Ti(k) ÓÕÍÍÕ ×ÓÅÈ ÅÇÏ (k − 1)-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ Ó ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÏÒÉÅÎÔÁÃÉÅÊ
(ÕÔÏÞÎÉÔÅ!). éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï @k ◦ @k+1 = 0, ÔÏ ÅÓÔØ Im @k+1 ⊆ Ker @k . k-ÍÅÒÎÙÅ ÇÏÍÏÌÏÇÉÉ Hk (X; Z)
ÜÔÏ ÆÁËÔÏÒ-ÇÒÕÐÐÁ Ker @k = Im @k+1 .
úÁÄÁÞÁ 8. Á) úÁÄÁÊÔÅ ÓÉÍÐÌÉÃÉÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ R2 É ÔÏÒÁ T2 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ
f : R2 → T2 (ÓÍ. ÚÁÄÁÞÕ 2) ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÇÒÁÎÉ × ÇÒÁÎÉ. Â) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ Hk (T2 ; Z) ÐÒÉ ×ÓÅÈ k.
úÁÄÁÞÁ 9. Á) úÁÄÁÊÔÅ ÓÉÍÐÌÉÃÉÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ S 2 É ÐÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ RP 2 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ f : S 2 → RP 2 (ÓÍ. ÚÁÄÁÞÕ 1) ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÇÒÁÎÉ × ÇÒÁÎÉ. Â) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ Hk (S 2 ; Z) É
Hk (RP 2 ; Z) ÐÒÉ ×ÓÅÈ k.
úÁÄÁÞÁ 10. Á) ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÓÉÍÐÌÉÃÉÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÓÆÅÒÙ Ó Ä×ÕÍÑ ÒÕÞËÁÍÉ M2 . Â) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ Hk (M2 ; Z)
ÐÒÉ ×ÓÅÈ k.
4. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ çÕÒÅ×ÉÞÁ ðÕÓÔØ X | ÔÏÐÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÓÉÍÐÌÉÃÉÁÌØÎÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ,
ÏÄÎÁ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ.
úÁÄÁÞÁ 11. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÐÅÔÌÑ × X Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÏÔÍÅÞÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÇÏÍÏÔÏÐÎÁ ÐÅÔÌÅ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ
ÐÏ ÒÅÂÒÁÍ ÓÉÍÐÌÉÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ.
õËÁÚÁÎÉÅ. úÁÄÁÞÁ 7Á É ÜÔÁ | ÐÏÞÔÉ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ.
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ X | ÌÉÎÅÊÎÏ Ó×ÑÚÎÏÅ ÓÉÍÐÌÉÃÉÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ, ÏÄÎÁ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ | ÏÔÍÅÞÅÎÎÁÑ
ÔÏÞËÁ, É e | ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÅÂÅÒ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ X (1) ⊂ X ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎ É ÒÅÂÅÒ X É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ge : X (1) → S 1 = {z | |z | = 1}, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ËÏÎÃÙ ÒÅÂÒÁ e É ×ÓÅ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ ×ÎÅ ÎÅÇÏ, ÐÅÒÅÈÏÄÑÔ × 1, Á
×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ ÔÏÞËÉ ÒÅÂÒÁ e | ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ × ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ a ∈ 1 (X ). óÏÇÌÁÓÎÏ
ÚÁÄÁÞÅ 11 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÅÔÌÑ : [0; 1] → X (1) , ÌÅÖÁÝÁÑ × ËÌÁÓÓÅ ÇÏÍÏÔÏÐÉÉ a. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
ne (a) ∈ Z = 1 (S 1 )
P
1
ËÌÁÓÓ ÇÏÍÏÔÏÐÉÉ ÐÅÔÌÉ ge ◦ : [0; 1] → S . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ 1-ÃÅÐØ Hur(a) = e ne (a)e ∈ C1 (X; Z).
úÁÄÁÞÁ 12. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Hur(a) | ÃÉËÌ (Ô.Å. @1 Hur(a) = 0). Â) ãÉËÌ Hur(a), ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÚÁ×ÉÓÉÔ
ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÐÅÔÌÉ × ËÌÁÓÓÅ ÇÏÍÏÔÏÐÉÉ a ∈ 1 (X ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ Hur1 (a) É Hur2 (a) | Ä×Á ÔÁËÉÈ ÃÉËÌÁ
(ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ Ä×ÕÍ ÒÁÚÎÙÍ ÐÅÔÌÑÍ), ÔÏ ÉÈ ÒÁÚÎÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÁÎÉÃÅÊ. ×) óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÕÎËÔÕ ??, ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ (ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÐÅÔÌÉ ) ÜÌÅÍÅÎÔ f (a) ÇÒÕÐÐÙ ÇÏÍÏÌÏÇÉÊ H1 (X; Z), ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ
ÃÉËÌÏÍ Hur(a). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : 1 (X ) → H1 (X:Z), ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÌÁÓÓÕ a ÜÌÅÍÅÎÔ f (a),
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÇÒÕÐÐ (ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ çÕÒÅ×ÉÞÁ).
úÁÄÁÞÁ 13. Á) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ çÕÒÅ×ÉÞÁ ÄÌÑ RP 2 É T2 . Â) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ çÕÒÅ×ÉÞÁ ÄÌÑ
M2 .