4. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ.

÷ûü, 2010 ç., 5 íïäõìø
úÁÄÁÞÁ 1. ðÕÓÔØ f : [0; 1]
ôïðïìïçéñ
4. ëòé÷ùå îá ðìïóëïóôé.
| ÇÌÁÄËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ f (0) = 0, f (1) = 1. ðÕÓÔØ c ∈ R |
ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (Ô.Å. ÅÓÌÉ f (x) = c, ÔÏ f 0 (x) 6= 0). Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á f −1 (c) def
=
{x ∈ [0; 1] | f (x) = c} ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÁ. Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï f −1 (c) ËÏÎÅÞÎÏ. ×) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ
degc f def
= #{x ∈ [0; 1] | f (x) = c; f 0 (x) > 0} − #{x ∈ [0; 1] | f (x) = c; f 0 (x) < 0} ÒÁ×ÎÏ 1, ÅÓÌÉ 0 < c < 1, É ÒÁ×ÎÏ
0 ÐÒÉ c < 0 É c > 1. þÅÍÕ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÏ deg0 f ?
úÄÅÓØ É × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ S 1 = {(x; y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. óÉÍ×ÏÌÏÍ E ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ
ÎÁËÒÙÔÉÅ ÎÁÄ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ: E : R → S 1 , E (t) def
= (cos 2t; sin 2t).
úÁÄÁÞÁ 2. ðÕÓÔØ f : S 1 → S 1 | ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F : R → R ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ f ◦ E = E ◦ F . Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÔÁËÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ä×Á | F1 É
F2 , ÔÏ F1 (t) − F2 (t) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ t É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ. ×) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ F (t + 1) − F (t) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ
ÏÔ t É ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÐÏÄÎÑÔÉÑ F (Á ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÓÁÍÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ) É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÅÌÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍ
ÓÔÅÐÅÎØÀ f (ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ deg f ).
õËÁÚÁÎÉÅ. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÎÁËÒÙ×ÁÀÝÅÊ ÇÏÍÏÔÏÐÉÉ; ÏÂÒÁÔÉÔÅ ÏÓÏÂÏÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ
ÔÏÞËÉ!
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : S 1 → S 1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÉÍ, ÅÓÌÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 2 ÇÌÁÄËÏÅ
(ÉÚ ÐÕÎËÔÁ 2 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ F ÇÌÁÄËÏÓÔØ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ). ôÏÞËÁ c ∈ S 1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍ
ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÇÌÁÄËÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : S 1 → S 1 , ÅÓÌÉ F 0 (t) 6= 0 ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ t ∈ R ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ f (E (t)) = c.
çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x ∈ S 1 ÇÌÁÄËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁÃÉÀ, ÅÓÌÉ F 0 (t) > 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
t ∈ R ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ E (t) = x, É ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁÃÉÀ, ÅÓÌÉ F 0 (t) < 0 × ÔÅÈ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ.
úÁÄÁÞÁ 3. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÕÓÌÏ×ÉÅ \ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ. . . " ÍÏÖÎÏ
ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ \ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ t ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ . . . ".
úÁÄÁÞÁ 4. ðÕÓÔØ c ∈ S 1 | ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÇÌÁÄËÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : S 1 → S 1 . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ
degc f def
= #{x ∈ S 1 | f (x) = c; f ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁÃÉÀ} − #{x ∈ S 1 | f (x) = c; f ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁÃÉÀ} ÒÁ×ÎÁ
deg f (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ c).
úÁÍËÎÕÔÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ | ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ : [0; 1] → R2 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ (0) = (1).
ëÒÉ×ÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÏÊ, ÅÓÌÉ ×ÅËÔÏÒ 0 (t) ÐÒÉ ×ÓÅÈ t ∈ [0; 1] ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ, ÎÅ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ, É ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 0 (0) = 0 (1).
úÁÄÁÞÁ 5. òÁÚÂÅÒÉÔÅÓØ, ÚÁÞÅÍ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ.
(ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÐÒÉÍÅÒ ËÒÉ×ÏÊ, ÇÄÅ ×ÅËÔÏÒ 0 (t) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ÄÌÑ ×ÓÅÈ t, Á ÏÂÒÁÚÏÍ f ([0; 1]) ⊂ R2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÔÕÒ
Ë×ÁÄÒÁÔÁ.)
→ R
äÌÑ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ W : S 1 → S 1 ÆÏÒÍÕÌÏÊ W (t) = | ((tt))| ; ÓÔÅÐÅÎØ ÜÔÏÇÏ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ õÉÔÎÉ ËÒÉ×ÏÊ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ w( ).
úÁÄÁÞÁ 6. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k ÐÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÐÒÉÍÅÒ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Ó ÉÎÄÅËÓÏÍ õÉÔÎÉ k.
ðÕÓÔØ ÔÏÞËÁ p ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÅ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ: p ∈= (S 1 ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ `;p : S 1 → S 1 , ÚÁÄÁÎÎÏÅ
ÆÏÒÍÕÌÏÊ `:p (t) = | ((tt))−−pp| . åÇÏ ÓÔÅÐÅÎØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ ÔÏÞËÉ p ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÒÉ×ÏÊ (ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ
ind (p)).
úÁÄÁÞÁ 7. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÇÌÁÄËÕÀ ËÒÉ×ÕÀ Ó ÉÎÄÅËÓÏÍ õÉÔÎÉ 0 É ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÉÎÄÅËÓ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË
ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ.
úÁÄÁÞÁ 8. ðÕÓÔØ | ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ, ÔÏÞËÁ a ÌÅÖÉÔ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ( (0) 6= a)
É ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏ t∗ ∈ [0; 1] ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ a =
(t∗ )). Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÊÄÅÔÓÑ " > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÔÏÞËÅ t ∈ (t∗ − "; t∗ + ")
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÐÒÏÅËÃÉÀ ÔÏÞËÉ (t) ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ Ë ËÒÉ×ÏÊ × ÔÏÞËÅ a, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ.
Â) ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÐÕÎËÔÁ 8Á, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ 0 > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÐÒÉ 0 < < 0 ÐÒÏÏÂÒÁÚ −1 (Ba; ) ËÒÕÇÁ Ba;
Ó ÃÅÎÔÒÏÍ a É ÒÁÄÉÕÓÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏÍ (t∗ − "1 ; t∗ + "2 ) (ÇÄÅ "1 ; "2 > 0 ÚÁ×ÉÓÑÔ, ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÏÔ ) É
ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ([0; 1]) ∩ Ba; ÄÅÌÉÔ Ba; ÎÁ Ä×Å ÞÁÓÔÉ, B1 É B2 . ×) ðÕÓÔØ a1 ∈ B1 , a2 ∈ B2 . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ
ind (a1 ) É ind (a2 ) ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÁ 1; ËÁËÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÂÏÌØÛÅ?
0
0
1
þÉÓÌÏ (ÐÏÌÕÃÅÌÏÅ) (ind (a1 ) + ind (a2 ))=2 ÉÎÏÇÄÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ind (a).
çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ 1 É 2 ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ t1 ; t2 ∈
[0; 1] ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ 1 (t1 ) = 2 (t2 ) def
= a (a ∈ R2 × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ), ×ÅËÔÏÒÙ 10 (t1 )
0
É 2 (t2 ) ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, Ô.Å. ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÏÌÏÖÉÍ (t1 ; t2 ) = +1, ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÁ×ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ, É (t1 ; t2 ) = −1, ÅÓÌÉ ÏÎ ÌÅ×ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ. äÌÑ ÐÒÏÓÔÏÔÙ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ 1 (0) É
2 (0) ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ.
úÁÄÁÞÁ 9. ðÕÓÔØ 1 , 2 | ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ, ÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Á) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÔÏÌØËÏ ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÐÁÒ (t1 ; t2 ) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ 1 (t1 ) = 2 (t2 ); Â) ÓÕÍÍÁ ÞÉÓÅÌ (t1 ; t2 ) ÐÏ ×ÓÅÍ ÔÁËÉÍ
ÐÁÒÁÍ (t1 ; t2 ) ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ.
õËÁÚÁÎÉÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÔÅ ind1 (2 (t)) × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ t ∈ [0; 1].
ðÕÓÔØ | ÇÌÁÄËÁÑ ÐÌÏÓËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ Ó ÐÒÏÓÔÙÍÉ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍÉ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÍÉ, Ô.Å. −1 (a) ⊂ [0; 1]
ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ a ∈ R2 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË, É ÅÓÌÉ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË-ÐÒÏÏÂÒÁÚÏ× Ä×Å, t1 É t2 (a |
ÔÏÞËÁ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ ), ÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ 0 (t1 ) É 0 (t2 ) ÎÅ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÓÌÕÞÁÑ t1 = 0,
t2 = 1. åÓÌÉ a = (t1 ) = (t2 ) | ÔÏÞËÁ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ É 0 < t1 < t2 < 1, ÔÏ ÐÏÌÏÖÉÍ (a) = +1, ÅÓÌÉ ÂÁÚÉÓ
( 0 (t1 ); 0 (t2 )) ÐÒÁ×ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ, É (a) = −1, ÅÓÌÉ ÏÎ ÌÅ×ÏÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ. óÕÍÍÕ ÞÉÓÅÌ (a) ÐÏ ×ÓÅÍ
ÔÏÞËÁÍ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ a ËÒÉ×ÏÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ I ( ).
úÁÄÁÞÁ 10. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ Ó ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍÉ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÍÉ ËÏÎÅÞÎÏ. Â) ðÏÓÞÉÔÁÊÔÅ I ( ) ÄÌÑ ËÒÉ×ÙÈ, ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ × ÚÁÄÁÞÅ 6.
äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ∈ [0; 1] É ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ [ ] \ÓÄ×ÉÇ" ËÒÉ×ÏÊ , ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ [ ](t) ((t + ) mod 1).
¡
¢
úÁÄÁÞÁ 11. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ I ( [1 ]) − I ( [2 ]) = 2 ind ( (1 )) − ind ( (2 )) .
| ÔÏÞËÁ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÇÌÁÄËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÒÉ×ÙÅ 1 (t) =
 ðÕÓÔØ a = (t1 ) = (t2 ) 


;
(
t
)
;
0
≤
t
≤
t
0 ≤ t ≤ t1 ;
1

a;
a;
t1 ≤ t ≤ t2 ; É 2 (t) =  (t); t1 ≤ t ≤ t2 ;



(t); t2 ≤ t ≤ 1:
a;
t2 ≤ t ≤ 1:
ëÒÉ×ÙÅ 1 , 2 ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÐÒÏÓÔÙÅ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, ÎÏ ÎÅÇÌÁÄËÉÅ × ÔÏÞËÅ a.
úÁÄÁÞÁ 12. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÒÉ×ÙÅ 1 ; 2 ÍÏÖÎÏ ÓÇÌÁÄÉÔØ | ÄÌÑ ×ÓÑËÏÇÏ " > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÇÌÁÄËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ
e1 , e2 , ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ Ó 1 ; 2 ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ t ∈ ("; 1−") É ÎÅ ÉÍÅÀÔ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ É ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ
× ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ a.
úÁÄÁÞÁ 13. ðÕÓÔØ e1 , e2 | ÓÇÌÁÖÉ×ÁÎÉÑ ËÒÉ×ÙÈ 1 , 2 Ó ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÍ ". Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ w( ) =
w(e1 ) + w(e2 ). Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ I ( [t1 ]) = I (e1 [t1 ]) + I (e2 ).
úÁÄÁÞÁ 14. äÏËÁÖÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ õÉÔÎÉ: I ( ) = w( ) − 2 ind ( (0)).