Геометрия, листок 6. 5) Теорема о трех гвоздях.

çÅÏÍÅÔÒÉÑ, ÌÉÓÔÏË 6.
÷ ÜÔÏÍ ÌÉÓÔÏÞËÅ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÂÕÄÅÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØÓÑ .
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : → ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÉÖÅÎÉÅÍ, ÅÓÌÉ
1◦ f ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ;
2◦ f ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÔÏÞËÁÍÉ, Ô.Å. ∀A; B ∈ ÄÌÉÎÁ ÏÔÒÅÚËÁ AB ÒÁ×ÎÁ
ÄÌÉÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ f (A)f (B ).
1) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ × ÓÅÂÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑÍÉ. ëÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÈ
ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÏÒÉÅÎÔÁÃÉÀ, Á ËÁËÉÅ | ÎÅÔ? ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÐÒÉÍÅÒ ×ÚÁÉÍÎÏ-ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
ÐÌÏÓËÏÓÔÉ × ÓÅÂÑ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÇÏÓÑ Ä×ÉÖÅÎÉÅÍ.
Á) úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ×ÅËÔÏÒ ~u. ðÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÐÅÒÅÎÏÓÏÍ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ ~u ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ t~u : →
, ÐÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ A ∈ × ÔÁËÕÀ ÔÏÞËÕ B = t~u (A), ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ×
~ = ~u.
AB
Â) úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÔÏÞËÕ O É ÕÇÏÌ '. ðÏ×ÏÒÏÔÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ O ÎÁ ÕÇÏÌ ' ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ rO;' : → , ÐÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ A ∈ × ÔÁËÕÀ ÔÏÞËÕ B = rO;' (A), ÞÔÏ ÄÌÉÎÁ
ÏÔÒÅÚËÁ OA ÒÁ×ÎÁ ÄÌÉÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ OB , ∠AOB = ', ÐÒÉÞÅÍ ÕÇÏÌ ÏÔÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔ ÓÔÏÒÏÎÙ OA Ë
ÓÔÏÒÏÎÅ OB × ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
×) úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÐÒÑÍÕÀ l. úÅÒËÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÑÍÏÊ l ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ sl : → , ÐÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ A ∈ × ÔÁËÕÀ ÔÏÞËÕ B = sl (A), ÞÔÏ ÐÒÑÍÁÑ l
ÐÅÒÐÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÏÔÒÅÚËÕ AB É ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÅÇÏ × ÅÇÏ ÓÅÒÅÄÉÎÅ.
2) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÇÒÕÐÐÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÇÒÕÐÐÁ ÎÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ. âÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÜÔÕ ÇÒÕÐÐÕ E (2).
3) ðÕÓÔØ l É m | Ä×Å ÐÒÑÍÙÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ sl ◦ sm . ÷ÎÉÍÁÎÉÅ: ÏÔ×ÅÔ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÚÁÉÍÎÏÇÏ
ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÉÑ ÐÒÑÍÙÈ; ÒÁÚÂÅÒÉÔÅ ÓÌÕÞÁÉ Á) l k m É Â) ÐÒÑÍÙÅ l É m ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÐÏÄ ÕÇÌÏÍ (ÕÇÏÌ ÕÄÏÂÎÏ ÉÚÍÅÒÑÔØ ÏÔ ÐÒÑÍÏÊ m Ë ÐÒÑÍÏÊ l ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ). ðÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ sl É
sm ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ?
4) óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÔÁÂÌÉÃÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÐÁÒ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1. ÷ÎÉÍÁÎÉÅ: ÏÔ×ÅÔÙ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÚÁÉÍÎÏÇÏ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÄÁÎÎÙÈ, ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÜÔÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑ; ÒÁÚÂÅÒÉÔÅ
×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ! ðÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ? ÷ ËÁËÉÈ
ÓÌÕÞÁÑÈ × ÏÔ×ÅÔÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ä×ÉÖÅÎÉÑ, ÎÅ ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÓÐÉÓÏË ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 1? ÷ ÜÔÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÄÁÊÔÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÐÉÓÁÎÉÅ ÎÏ×ÙÈ ÔÉÐÏ× Ä×ÉÖÅÎÉÊ. (ðÏÄÓËÁÚËÁ: × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÐÏÌÅÚÎÏ
×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅÊ É ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁÖÄÙÊ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ ËÁË ËÏÍÐÏÚÉÃÉÀ ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÚÅÒËÁÌØÎÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ.)
Á) t~u ◦ t~v ; Â) rP;' ◦ rP; ; ×) rP;' ◦ rQ; , P 6= Q; Ç) rP;' ◦ t~u É t~u ◦ rP;' ; Ä) sl ◦ rP;' É rP;' ◦ sl , P ∈ l;
Å) sl ◦ t~u É t~u ◦ sl , ~u ⊥ l; Ö) sl ◦ t~u É t~u ◦ sl , ~u k l; Ú) sl ◦ t~u É t~u ◦ sl , ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ.
5) ôÅÏÒÅÍÁ Ï ÔÒÅÈ Ç×ÏÚÄÑÈ.
Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ Ä×ÉÖÅÎÉÅ f ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ Ä×Å ÔÏÞËÉ A; B ∈ (Ô.Å. A = f (A) É
B = f (B )), ÔÏ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÐÒÑÍÏÊ AB Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÙÍÉ ÄÌÑ f (Ô.Å. ∀C ∈ AB C = f (C )).
(üÔÏ | ÔÅÏÒÅÍÁ Ï Ä×ÕÈ Ç×ÏÚÄÑÈ.)
Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ Ä×ÉÖÅÎÉÅ f ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ A; B; C ∈ , ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÁ
ÏÄÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ, ÔÏ f | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (Ô.Å. ∀M ∈ É M = f (M )).
6) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÐÒÑÍÙÅ × ÐÒÑÍÙÅ.
7) ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÄÁÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ l.
8) ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÕ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ.
9) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÐÅÒÅÎÏÓÏÍ, ÌÉÂÏ ÐÏ×ÏÒÏÔÏÍ, ÌÉÂÏ ÚÅÒËÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ, ÌÉÂÏ ÓËÏÌØÚÑÝÅÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ. óËÏÌØÚÑÝÅÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÑ ÚÅÒËÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ É ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÅÎÏÓÁ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ, ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÏÓÉ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ. (ðÏÄÓËÁÚËÁ: ËÌÁÓÓÉÆÉÃÉÒÕÊÔÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÐÏ ÞÉÓÌÕ ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË.)
10) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË ËÏÍÐÏÚÉÃÉÀ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÔÒÅÈ
ÚÅÒËÁÌØÎÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ.
11) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÅ ÏÒÉÅÎÔÁÃÉÀ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÐÏÄÇÒÕÐÐÕ ÇÒÕÐÐÙ
E (2). ôÁËÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ; ÐÏÄÇÒÕÐÐÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÍÙ ÂÕÄÅÍ
ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ E ◦ (2). éÚ ËÁËÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÓÏÓÔÏÉÔ E ◦ (2)?
12) óËÏÌØËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ × E (2) ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÐÏ ÐÏÄÇÒÕÐÐÅ E ◦ (2)? éÚ ËÁËÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÏÎÉ ÓÏÓÔÏÑÔ?
äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ E ◦ (2) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÐÏÄÇÒÕÐÐÏÊ É ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÆÁËÔÏÒ-ÇÒÕÐÐÕ E ◦ (2)=E ◦ (2)
13) ðÕÓÔØ f | ÌÀÂÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ:
Á) f ◦ sl ◦ f −1 = sf (l) ; Â) f ◦ rO; ◦ f −1 = rf (O);± .
÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÚÎÁË ÐÌÀÓ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ f ∈ E ◦ (2), ÍÉÎÕÓ | f ∈= E ◦ (2).
14) Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï EA (2) ×ÓÅÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÈ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ
A ∈ , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÇÒÕÐÐÏÊ × E (2). éÚ ËÁËÉÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÏÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ? ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ
ÎÏÒÍÁÌØÎÁ. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÞÔÏ f ◦ EA (2) ◦ f −1 = Ef (A) (2).
Â) äÁÊÔÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÇÒÕÐÐÙ EA◦ (2); ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÏÒÍÁÌØÎÁ × EA (2), ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÆÁËÔÏÒÇÒÕÐÐÕ EA (2)=EA◦ (2).
15) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÐÅÒÅÎÏÓÏ× T ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÐÏÄÇÒÕÐÐÕ × E (2).
~ É CD
~ | Ä×Á ÒÁ×ÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÁ ( Ô.Å. AB
~ = CD
~ ).
16) ðÕÓÔØ f | ÌÀÂÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, AB
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ A0 = f (A), B 0 = f (B ), C 0 = f (C ), D0 = f (D). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÁ A~0 B 0 É C~0 D0 ÔÏÇÄÁ
ÔÏÖÅ ÒÁ×ÎÙ ( Ô.Å. A~0 B 0 = C~0 D0 ).
17) ðÏÌØÚÕÑÓØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÒÕÐÐÙ E (2) ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ
×ÅËÔÏÒÏ× ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ Ä×ÉÖÅÎÉÅ f ∈ E (2) É ×ÅËÔÏÒ ~u. ïÔÌÏÖÉÍ ×ÅËÔÏÒ ~u ÏÔ ÌÀÂÏÊ
~ . ôÏÇÄÁ ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ f (~u) ËÁË ×ÅËÔÏÒ
ÔÏÞËÉ A, ÔÏ ÅÓÔØ ×ÙÂÅÒÅÍ ÔÏÞËÕ B ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÂÙÌÏ ~u = AB
A~0 B 0 , ÇÄÅ A0 = f (A) É B 0 = f (B ); ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ f (~u) ÎÁ ÓÁÍÏÍ
ÄÅÌÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÔÏÞËÉ A.
Á) ëÁËÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅËÔÏÒÏ× ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏ (Ô.Å. ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍ)? äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÐÏÄÇÒÕÐÐÕ × E (2). îÁÊÄÉÔÅ ÜÔÕ ÐÏÄÇÒÕÐÐÕ.
Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÒÕÐÐÙ E (2) ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅËÔÏÒÏ× ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÈÏÒÏÛÏ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÏ
Ó ÏÐÅÒÁÃÉÑÍÉ ÎÁÄ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ: ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f (~u + ~v) = f (~u) + f (~v), f (~0) = ~0, f (−~u) = −f (~u) É
f (~u) = f (~u) ( ∈ R).
18) ðÕÓÔØ f | ÌÀÂÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f ◦ t~u ◦ f −1 = t±f (~u) ÇÄÅ ÚÎÁË ÐÌÀÓ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ f ∈ E ◦ (2), ÍÉÎÕÓ | f ∈= E ◦ (2).
19) ðÕÓÔØ G | ËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ × E (2). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÉÚ ÇÒÕÐÐÙ G ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ
ÎÅÐÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÇÒÕÐÐÁ G ÓÏÓÔÏÉÔ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ ÉÚ Ä×ÕÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ,
ÔÏ G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÇÒÕÐÐÏÊ ×ÒÁÝÅÎÉÊ ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÌÉÂÏ ÇÒÕÐÐÏÊ ÅÇÏ ×ÒÁÝÅÎÉÊ É
ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ (Ô.Å. ÇÒÕÐÐÏÊ ÄÉÜÄÒÁ).
20) ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÚÁÉÍÎÏ-ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÅËÔÏÒÏ× ÐÌÏÓËÏÓÔÉ × ÓÅÂÑ,
ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÈ ÄÌÉÎÙ ×ÅËÔÏÒÏ× É ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÈ ×ÓÅÍÉ Ó×ÏÊÍÔ×ÁÍÉ ÉÚ ÚÁÄÁÞÉ 17Â, ÞÅÒÅÚ O(n). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ O(n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÕÐÐÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ.
Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ O(n) ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÐÐÅ EA (2) (ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ A).
Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ O(n) ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÆÁËÔÏÒ-ÇÒÕÐÐÅ E (2)=T.