Функциональные ряды (теория)популярный!

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ
ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Ò.È. Êîðøèêîâà, Ë.È. Êàëèíè÷åíêî, È.Ñ. Øàáàðøèíà
ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÐßÄÛ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ
ê êóðñó ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó
äëÿ ñòóäåíòîâ 2 êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà ÐÃÓ
Ðîñòîâ-íà-Äîíó
2004 ã.
Äàííûå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ñòóäåíòîâ 2-ãî êóðñà îòäåëåíèÿ Ìàòåìàòèêà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ, ñîñòàâëåíû
ñ ó÷åòîì ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïå÷àòàþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÐÃÓ, ïðîòîêîë 
îò 23 äåêàáðÿ 2003 ã.
1
Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè
ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ïóñòü
X
íåïóñòîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî,
D(X)
ñîâîêóïíîñòü âñåõ
âåùåñòâåííîçíà÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà ìíîæåñòâå
F : N −→ D(X)
ìåíò
fn
fn ,
Îòîáðàæåíèå
íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, îïðåäå-
ë¼ííîé èëè çàäàííîé íà
îáîçíà÷èì ÷åðåç
X.
X.
F (n)
Îáðàç
÷èñëà
n
à âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷åðåç
ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè
{fn (x)}.
Êàæäûé ýëå-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, îïðåäåë¼ííîé íà ìíîæåñòâå
X.
Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{fn (x)} ñîïîñòàâëÿåò êàæäîìó x0 ∈ X
{fn (x0 )}.
x0 ∈ X è ÷èñëîâàÿ
÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Îïðåäåëåíèå 1.1.
Åñëè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{fn (x0 )}
x0 íàçûâàþò òî÷êîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} è ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 .
f
Ìíîæåñòâî X ⊂ X âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñõîäèòñÿ, òî
íàçûâàþò îáëàñòüþ å¼ ñõîäèìîñòè è ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå
Îïðåäåëåíèå 1.2.
f
X
.
{fn (x)} ïîf : x ∈ X → n→∞
lim fn (x) íàçûâàþò
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
òî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå
f
X.
Ôóíêöèþ
f
ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{fn (x)}
ïîòî÷å÷íî ñõî-
f
f íà ìíîæåñòâå X çàïèñûâàþò ñèìâîëè÷åñêè ñëåäóþùèì îáðàçîì: fn (x) −→ f (x) èëè f (x) = lim fn (x), ∀x ∈ X .
n−→∞
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íà ìíîæåñòâå X (èëè èíà÷å : ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}
f
ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê f (x) íà ìíîæåñòâå X ), åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 è êàæäîãî
f
x ∈X
íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = N (ε, x), ÷òî äëÿ âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ
äèòñÿ ê ôóíêöèè
X
íåðàâåíñòâî
|fn (x) − f (x)| < ε.
(1.1)
Î÷åâèäíî, ÷òî èç êðèòåðèÿ Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
âûòåêàåò êðèòåðèé ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ïîòî÷å÷íî
f
ñõîäèëàñü íà ìíîæåñòâå X,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî
f
ε > 0 è êàæäîãî x ∈ X íàø¼ëñÿ íîìåð N = N (ε, x) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ
n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |fn (x) − fm (x)| < ε.
Òåîðåìà 1.1.
3
Ïðèìåð 1.1.
n ∈ N,
Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
îïðåäåëåíà íà
R.
{fn (x)}: fn (x) = xn ,
Òàê êàê





n
lim x = 
n−→∞
è íå ñóùåñòâóåò ïðåäåë â òî÷êå



0,
1,
∞,
|x| < 1,
x = 1,
|x| > 1,
åñëè
åñëè
åñëè
x0 = −1,
òî ïðîìåæóòîê
(−1; 1]
ÿâëÿåòñÿ îáëà-
ñòüþ ñõîäèìîñòè äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ôóíêöèÿ


f (x) = 
0,
1,
åñëè
åñëè
|x| < 1,
x=1
f
X
= (−1; 1].
Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå x = 1, õîòÿ âñå ÷ëåíû äàííîé
ÿâëÿåòñÿ å¼ ïðåäåëüíîé íà ìíîæåñòâå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíû â íåé.
Îïðåäåëåíèå 1.3.
{fn (x)}, îïðåäåëåííàÿ íà X , íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X0 ⊂ X , åñëè äëÿ
ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N è âñåõ
x ∈ X0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |fn (x) − f (x)| < ε.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Òîò ôàêò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
f (x)
íà
X,
{fn (x)}
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè
X
ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàþò:
fn (x) ⇒ f (x).
Çàìå÷àíèÿ.
1. Â îïðåäåëåíèè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëü-
N
íîñòè â îòëè÷èå îò ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè íîìåð
íå çàâèñèò îò òî÷åê
x
ìíîæåñòâà
çàâèñèò òîëüêî îò
ε
è
X0 .
2. Èç îïðåäåëåíèÿ 1.3 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñòâå
{fn (x)}
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè
X0 , òî îíà ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê f
íà
f
íà ìíîæå-
X0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîìåðíàÿ
ñõîäèìîñòü ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíîé ñõîäèìîñòüþ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîòî÷å÷íîé è
f
X0 ⊂ X
.
{fn (x)} ÿâëÿ∀x ∈ X , ∀n ∈ N, è ÷èñ-
3. Åñëè êàæäàÿ ôóíêöèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
åòñÿ ïîñòîÿííîé íà ìíîæåñòâå
X,
ò.å.
fn (x) = cn ,
X
ëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{cn } ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ì n→∞
lim cn = c, òî fn (x) ⇒ c.
4. Íà êàæäîì êîíå÷íîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà
f
X
cõîäèìîñòè ôóíêöèî-
íàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.
4
5. Åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâàõ
X1
è
X2 ,
òî îíà ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå
S
f
X
= X1 X2 ,
è
íàîáîðîò.
Ãåîìåòðè÷åñêè ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{fn (x)}
ê ôóíêöèè
f
íà ìíîæåñòâå
X0
îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé
ε-ïîëîñû
Gε = {(x, y) ∈ R2 | f (x) − ε < y < f (x) + ε, x ∈ X}
N = N (ε), ÷òî ãðàôèêè
ïîëîñå Gε (ñì. ðèñ.1).
íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð
n>N
ïðèíàäëåæàò
ôóíêöèé
y = fn (x)
ñ íîìåðàìè
(ðèñ.1)
Ïðèìåð 1.2.
Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
fn (x) =
n
= x ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f (x) ≡ 0 íà ëþáîì îòðåçêå
[−q; q], åñëè 0 < q < 1, è íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ïðîìåæóòêå [0, 1].
 ñàìîì äåëå, äëÿ q ∈ (0; 1) ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ
ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0 (ñì. ïðèìåð 1.1) è
|fn (x) − f (x)| = |xn | ≤ q n , ∀x ∈ [−q; q], ∀n > N.
lim q n = 0,
q n < ε, ∀n > N . Â
ε>0
Ïîñêîëüêó
òî äëÿ ëþáîãî
ñóùåñòâóåò íîìåð
÷òî
ñèëó íåðàâåíñòâà (1.2) èìååì:
(1.2)
N = N (ε)
òàêîé,
|fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N, ∀x ∈ [−q; q].
Ñëåäîâàòåëüíî,
[−q;q]
fn (x) ⇒ 0,
Íà îòðåçêå
[0, 1]
åñëè
q ∈ (0; 1).
ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ðàâíà


f (x) = 
0,
1,
åñëè
åñëè
x ∈ [0; 1),
.
x=1
(ðèñ.2)
{xn } ê
ëþáîãî N ∈ N
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ôóíêöèè
f
[0; 1] ñëåäóåò íàéòè òàêîå ε0 > 0, ÷òî
n > N è òî÷êà xn ∈ [0; 1], äëÿ êîòîðûõ
íà îòðåçêå
ñóùåñòâóåò íîìåð
|fn (xn ) − f (xn )| ≥ ε0 .
5
äëÿ
Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè
1
∈ [0; 1], ∀n ∈ N,
n
!
1 n
.
|fn (xn ) − f (xn )| = 1 −
n
= 1e , òî ñóùåñòâóåò òàêîå n0 , ÷òî
xn = 1 −
Ïîñêîëüêó
lim 1 −
1 n
n
1
1−
n
Cëåäîâàòåëüíî, åñëè
= (1 −
1
n)
∈ [0; 1]
ε0 =
1
2e , òî
!n
>
∀N > n0
äëÿ âñåõ
n > n0
1
.
2e
íàéä¼òñÿ òàêîå
n > N,
÷òî
xn =
è
|fn (xn ) − f (xn )| >
1
= ε0 .
2e
Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà
[0; 1].
Íåðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{xn }
ê ôóíêöèè
f (x)
íà
[0;1]
xn ⇒ f (x). Òîãäà äëÿ
÷èñëà
ñóùåñòâóåò íîìåð N , òàêîé, ÷òî ïðè n > N äëÿ âñåõ x ∈ [0; 1)
1
1
n
n
∈ [0; 1), n ∈ N
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |x − 0| = x < . Îäíàêî äëÿ xn = √
n
3
2
[0; 1]
ε = 31
îòðåçêå
ìîæíî äîêàçàòü èíà÷å. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
èìååì:
(xn )n =
1 1
> , n ∈ N.
2 3
Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{xn }
íåðàâíîìåðío ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè
f
íà îòðåçêå
[0; 1].
Çàìå÷àíèÿ.
1. Èç ïðèâåä¼ííûõ äîêàçàòåëüñòâ âòîðîé ÷àñòè ïðèìåðà 1.2 ñëåäóåò, ÷òî
[0;1)
xn 6⇒ f (x) = 0.
2. Íåðàâíîìåðíaÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
[0; 1]
{xn }
ê ôóíêöèè
f (x)
íà
[0; 1) ïîíÿòíà è èç ðèñóíêà 2. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ
n
ëþáîãî ε ∈ (0; 1) íà [0, 1) ãðàôèêè ôóíêöèé y = x íå âõîäÿò öåëèêîì â
ïîëîñó ìåæäó ïðÿìûìè y = 0 è y = ε.
2
èëè ïðîìåæóòêå
Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìèñÿ
ôóíêöèîíàëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè
Åñëè ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn(x)} è
{φn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî èõ ñóììà {fn (x) + φn (x)}
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
Òåîðåìà 2.1.
6
X
X
/ Ôèêñèðóåì ε > 0. Òàê êàê fn (x) ⇒ f (x) è φn (x) ⇒ φ(x), òî ïî îïðåäåëåíèþ
1.3 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X
ε
ε
|fn (x) − f (x)| < , |φn (x) − φ(x)| <
2
2
Ïîýòîìó ∀n > N, ∀x ∈ X
|(fn (x) + φn (x)) − (f (x) + φ(x))| ≤ |fn (x) − f (x)| + |φn (x) − φ(x)| < ε.
.
Åñëè ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn} ñõîäèòñÿ, à ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå
X ê îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèè f , òî ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {αn · fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
Òåîðåìà 2.2.
/
lim αn = α. ßñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn · fn (x)}
ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè α · f (x) è
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà
|αn · fn (x) − α · f (x)| ≤ |αn ||fn (x) − f (x)| + |f (x)||αn − α|
Èç îãðàíè÷åííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
äóåò, ÷òî íàéä¼òñÿ
M >0
{αn } è ôóíêöèè f
(2.1)
íà ìíîæåñòâå
X
ñëå-
òàêîå, ÷òî
|αn | ≤ M, ∀n ∈ N,
è
|f (x)| ≤ M, ∀x ∈ X.
Äàëåå, ïîñêîëüêó
÷òî
αn → α
X
è
fn (x) ⇒ f (x),
òî íàéä¼òñÿ íîìåð
N = N (ε)
òàêîé,
ε
, ∀n > N
2M
ε
|fn (x) − f (x)| <
, ∀n > N, ∀x ∈ X.
2M
∀n > N è ∀x ∈ X.
|αn − α| <
Ñëåäîâàòåëüíî,
|αn fn (x) − α · f (x)| ≤ |αn | · |fn (x) − f (x)| + |f (x)| · |αn − α| ≤ M
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Çàìå÷àíèå.
{fn (x)}
ε
ε
+M
= ε,
2M
2M
.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå
îíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{αfn (x)}
X,
òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà
α
ôóíêöè-
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå
Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå.
7
X.
3
Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê
ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . Äëÿ òîãî ÷òîáû {fn(x)} ñõîäèëàñü ê f (x) ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn} :
Òåîðåìà 3.1.
αn = sup |fn (x) − f (x)|, n ∈ N,
x∈X
áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé.
/ Íåîáõîäèìîñòü.
{fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê
ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.3, äëÿ ëþáîãî ε > 0
ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî ∀n > N ∀x ∈ X
ε
|fn (x) − f (x)| < .
2
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Ïîýòîìó
sup |fn (x) − f (x)| ≤
x∈X
ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{αn }
ε
< ε, ∀n > N,
2
ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé.
n âåëè÷èíà αn
αn ∈ R.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ íîìåðîâ
íî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà,
Äîñòàòî÷íîñòü.
íîìåð
N = N (ε)
ìîæåò áûòü ðàâíà
+∞,
lim αn = 0, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ
αn < ε, ∀n > N , ò.å.
Ïî óñëîâèþ
òàêîé, ÷òî
sup |fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N.
x∈X
Ïîýòîìó
|fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N, ∀x ∈ X,
X
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
fn (x) ⇒ f (x)
.
Î÷åâèäíî ñïðàâåäëèâà
Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f (x) è çàäàíà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)}. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn}, ÷òî ∀n ∈ N
Òåîðåìà 3.2.
|fn (x) − f (x)| ≤ αn , ∀x ∈ X,
òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X .
8
Ïðèìåð 3.1.
Èññëåäóåì íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{fn (x)} : fn (x) = arctg nx
[δ, +∞), δ > 0
íà ìíîæåñòâàõ
/
è
(0; +∞).
Î÷åâèäíî,÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà
f (x) =
π
, ∀x ∈ (0; +∞).
2
Òàê êàê
0≤
π
sup x≥δ 2
−
arctg nx
!
π
π
= sup
− arctg nx = − arctg nδ −→ 0, n → ∞,
2
x≥δ 2
[δ;∞)
òî
π
2 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
π
− arctg(nx) ≥ − arctg(n
2
arctg nx ⇒
π
sup x>0 2
(0;+∞)
Ïîýòîìó
arctg nx 6⇒
· 1/n) =
π π
π
− = , ∀n ∈ N.
2 4
4
π
2.
.
Ïóñòü fn : X ⊂ R → R, n ∈ N. Äëÿ òîãî
÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèëàñü íà ìíîæåñòâå X ,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâîâàë òàêîé íîìåð
N = N (ε), ÷òî äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n > N, ëþáîãî p ∈ N è âñåõ òî÷åê
x ∈ X âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
Òåîðåìà 3.3 (êðèòåðèé Êîøè).
|fn+p (x) − fn (x)| < ε.
/
Íåîáõîäèìîñòü.
Ïóñòü
{fn (x)}
ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ íà
(3.1)
X
ïîñëåäî-
f (x) å¼ ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ 1.3 äëÿ ëþáîãî
ε > 0 íàéä¼òñÿ N = N (ε) ∈ N òàêîå, ÷òî ∀n > N, ∀x ∈ X
ε
|fn (x) − f (x)| < .
2
Òîãäà ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X
âàòåëüíîñòü è
|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (x) − f (x)| + |f (x) − fn (x)| < ε,
ò. å. âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè (3.1) ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Äîñòàòî÷íîñòü.
ñèðîâàííîãî
âàòåëüíîñòè
Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (3.1), òîãäà äëÿ êàæäîãî ôèê-
x ∈ X âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäî{fn (x)}, à ïîòîìó îíà ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèîíàëüíàÿ
9
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Ïóñòü f (x) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
X
fn (x) ⇒ f (x). Â ñèëó óñëîâèÿ (3.1) äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ
N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáûõ n > N, p ∈ N è x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ
Äîêàæåì, ÷òî
íîìåð
óñëîâèå
ε
|fn+p (x) − fn (x)| < .
2
Çàìå÷àÿ, ÷òî f (x) = lim fn+p (x), ∀x ∈ X , ∀n ∈ N, ïåðåõîäÿ
p→∞
íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè p → +∞, ïîëó÷èì
ε
|f (x) − fn (x)| ≤ < ε, ∀x ∈ X, ∀n > N.
2
Ýòî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
â ïîñëåäíåì
{fn (x)}
ê
f (x)
íà
X.
.
4
Ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
äåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
X ⊂ R.
{fn (x)},
îáëàñòüþ îïðå-
Ôîðìàëüíî çàïèñàííóþ ñóììó
f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) + . . .
íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì, à ìíîæåñòâî
X
(4.1)
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
ðÿäà (4.1). Êàê è äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ èçó÷åíèå ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (4.1)
ýêâèâàëåíòíî èçó÷åíèþ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Sn (x) =
n
X
{Sn (x)}
:
fk (x), n ∈ N,
k=1
åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì.
Îïðåäåëåíèå 4.1.
Ìíîæåñòâî
f
X
òåõ òî÷åê
x ∈ X,
â êîòîðûõ ñõîäèòñÿ
(àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ) ñîîòâåòñòâóþùèé ÷èñëîâîé ðÿä, íàçûâàþò îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè (àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè) ðÿäà (4.1).
Èíûìè ñëîâàìè: îáëàñòü
f
X
ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1) åñòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè
ñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{Sn (x)}
÷àñòè÷íûõ ñóìì åãî. ×àñòî
íàçûâàþò îáëàñòüþ ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1). Íà ìíîæåñòâå
äåëåíà ôóíêöèÿ
íîñòè
S(x),
f
X
f
X
îïðå-
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëü-
{Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà (4.1), å¼ íàçûâàþò ñóììîé ðÿäà (4.1).
Îïðåäåëåíèå 4.2.
äèòñÿ íà ìíîæåñòâå
Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõî-
X,
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà
åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
X.
10
{Sn (x)}
åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì
Èç îïðåäåëåíèÿ (4.2) è êðèòåðèåâ 3.1 è 3.3 ñëåäóþò
Ïóñòü S(x) ñóììà ðÿäà
íà ìíîæåñòâå X . Äëÿ òîãî
÷òîáû ðÿä
ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ íà X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn} :
Òåîðåìà 4.1.
(4.1)
(4.1)
αn = sup |Sn (x) − S(x)| = sup |Rn (x)|,
x∈X
x∈X
∞
P
ãäå Rn(x) = k=n+1
fk (x), ÿâëÿëàñü áåñêîíå÷íî ìàëîé.
Òåîðåìà 4.2 (Êîøè). Ïóñòü X îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî
ðÿäà . Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä
ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ íà ìíîæåñòâå X ,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàø¼ëñÿ íîìåð N = N (ε)
òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N , äëÿ ëþáûõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå
n+p
(4.1)
(4.1)
|
X
fk (x)| < ε.
k=n+1
Ñëåäñòâèå 4.2.1.
ðÿäà).
(íåîáõîäèìîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè
Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå
X , òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê
ôóíêöèè f (x) = 0, íà ìíîæåñòâå X .
(4.1)
Ðàññìîòðèì ïðèìåð.
Ïðèìåð 4.1.
Èññëåäóåì íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà ìíîæåñòâå
R
ðÿä
(−1)n
.
2
n=1 n + x
∞
X
/
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì
x∈R
äàííûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ëåéáíè-
öåâñêîãî òèïà, ïîýòîìó â ñèëó îöåíêè îñòàòêîâ ëåéáíèöåâñêîãî ðÿäà
∞
X
k=n+1
(−1)k 1
1
≤
≤
, ∀n ∈ N, ∀x ∈ R.
k + x2 n + x2 + 1 n + 1
Ïîýòîìó
αn = sup |Rn (x)| ≤
x∈R
1
, ∀n ∈ N,
n+1
è, ñîãëàñíî òåîðåìå 4.1, ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå
.
R.
11
5
Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè
ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
Åñëè
äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
P
fn (x) ñóùåñòâóåò ñõîäÿùèéñÿ ÷èñëîâîé ðÿä
cn òàêîé, ÷òî |fn (x)| ≤ cn ,
n=1
n=1
∞
P
∀n ∈ N, ∀x ∈ X, òî ðÿä
fn (x) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî íà X .
n=1
∞
P
Òåîðåìà 5.1 (ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà).
/
∞
P
Ïî óñëîâèþ ðÿä
÷èñëîâîãî ðÿäà
n=1
cn
ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó ïî êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòè
∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N
X
p
cn+k k=1
∀x ∈ X
Íî
p
X
|fn+k (x)| ≤
k=1
p
X
< ε.
cn+k (x), ∀n ∈ N, ∀p ∈ N.
k=1
Ïîýòîìó âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíî-
.
ãî ðÿäà.
Ïóñòü fn : X ⊂ R −→ R è αn = x∈X
sup |fn (x)|,
∞
P
∀n ∈ N. Åñëè ÷èñëîâîé ðÿä
αn ñõîäèòñÿ, òî ðÿä
ðàâíîìåðíî è àán=1
ñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
Ñëåäñòâèå 5.1.2. Åñëè αn = sup |fn (x)| 6→ 0, òî ðÿä
íå ÿâëÿåòñÿ
x∈X
ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà ìíîæåñòâå X .
∞
P
Çàìå÷àíèå.
αn −→ 0
αn
n=1
Ñëåäñòâèå 5.1.1.
(4.1)
(4.1)
Åñëè
, íî ðÿä
ðàñõîäèòñÿ, òî íè÷åãî îïðåäåë¼ííîãî
î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1) íà ìíîæåñòâå
X
ñêàçàòü íåëüçÿ.
Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð.
Ïðèìåð 5.1.
Èññëåäóåì íà îòðåçêå [0;1] íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä
∞
X
fn (x),
n=2
ãäå





fn (x) = 
0,


 1
n
sin 2n πx,
åñëè
1
x ∈ [0; 21n ) ∪ ( 2n−1
; 1],
åñëè
1
x ∈ [ 21n , 2n−1
],
12
/
Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ
#
1
1
x = 0, xk = k , k ∈ N, x ∈ , 1
2
2
x ∈ (0; 21 ) è x 6= 21k , k ∈ N,
1
). Ïîýòîìó äëÿ
x ∈ ( 21k , 2k−1
÷ëåíû ðÿäà ðàâíû íóëþ. Äàëåå, äëÿ ëþáîãî
ñòâóåò åäèíñòâåííîå
k ∈ N, k ≥ 2
òàêîå, ÷òî
ñóùå-
!
1 1
x ∈ k , k−1 , k ≥ 2
2 2
Rn (x) =
è
k ≥n+1
1
· sin 2k πx.
k
Ñëåäîâàòåëüíî,
0 ≤ sup |Rn (x)| ≤
x∈[0,1]
1
, n ∈ N, n ≥ 2,
n+1
ò.å.
lim sup |Rn (x)| −→ 0,
x∈[0,1]
÷òî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü äàííîãî ðÿäà íà îòðåçêå [0;1] (ñì. òåîðåìó 4.1). Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
αn = sup |fn (x)| =
x∈[0;1]
è ðÿä
∞
P
n=1
αn
1
, n≥1
n
.
ðàñõîäèòñÿ.
Ïðèâåä¼ì åù¼ ïðèìåð.
Ïðèìåð 5.2.
Äîêàçàòü, ÷òî ðÿä
∞
X
1 n
(x + 3x−n )
n=1 n!
ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå
/
Î÷åâèäíî, ÷òî
[ 21 ; 2]
∀n ∈ N, ∀x ∈ [ 12 ; 2]

1 n
1
1
(x + 3x−n ) ≤ 2n + 3 ·
n!
n!
2
Ïîñêîëüêó ðÿä
!−n 

=
4 · 2n
.
n!
4 · 2n
n=1 n!
∞
X
ñõîäèòñÿ, òî â ñèëó ïðèçíàêà Âåéåðøòðàññà äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî
íà îòðåçêå
[ 21 ; 2].
.
13
Îïðåäåëåíèå 5.1.
Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
X,
ñÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå
M > 0,
÷òî
{fn (x)} íàçûâàåò-
åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî
|fn (x)| ≤ M, ∀n ∈ N, ∀x ∈ X
Òåîðåìà 5.2 (ïðèçíàê Äèðèõëå).
∞
X
Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
an (x)bn (x)
(5.1)
n=1
òàêîâû, ÷òî
X
1) an(x) ⇒ 0;
2) äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {a∞n(x0)} ìîíîòîííà;
P
3) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn(x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà n=1
bn (x) ðàâíîìåðíî
îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå X ;
òî ðÿä
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X.
(5.1)
/
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû áàçèðóåòñÿ íà êðèòåðèè Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõî-
äèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà è ïîâòîðÿåò, ïî÷òè äîñëîâíî, äîêàçàòåëüñòâî
.
ïðèçíàêà Äèðèõëå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà.
Ïðèìåð 5.3.
Ðàññìîòðèì ðÿä
∞
X
sin nx
n=1 n + x
(5.2)
[ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π);
èíòåðâàëå (0; 2π).
à) íà îòðåçêå
á) íà
/
a) Äëÿ
x ∈ [ε; 2π − ε],
|Bn (x)| =
n
X
sin kx
k=1
ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íî îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå
≤
1
1
x ≤
ε , ∀n ∈ N,
| sin | sin
2
2
{Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà
[ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π),
∞
P
n=1
(5.3)
sin nx ðàâíîìåð-
è óñëîâèå 3) ïðèçíàêà Äèðèõëå
âûïîëíåíî.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
1
.
n+x
x ∈ [ε; 2π − ε]
{an (x)} : an (x) =
Î÷åâèäíî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ â êàæäîé òî÷êå
ùåé è áåñêîíå÷íî ìàëîé. Ïîñêîëüêó
sup
|an (x)| =
x∈[ε;2π−ε]
14
1
−→ 0,
n+ε
ìîíîòîííî óáûâàþ-
[ε;2π−ε]
òî â ñèëó òåîðåìû 3.1
an (x)
⇒
0.
Âñå òðåáîâàíèÿ ïðèçíàêà Äèðèõëå (òåîðåìû 5.2) âûïîëíåíû, ïîýòîìó ðÿä
(5.2) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì îòðåçêå
á) Íà èíòåðâàëå
[ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π).
(0; 2π) îöåíêà òèïà (5.3) íå èìååò ìåñòà. Îäíàêî ∀x ∈ (0; 2π)
îíà äàåò ïðàâî óòâåðæäàòü, ÷òî ðÿä (5.2) ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå
(0; 2π). Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä (5.2) ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ýòîì ìíîæåñòâå. Âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Êîøè, ò.å. óêàæåì òàêîå ε0 > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî N ∈ N
íàéäóòñÿ òàêèå çíà÷åíèÿ p ∈ N, n ∈ N, n > N è xn ∈ (0; 2π), ÷òî
n+p
X
k=n+1
Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ
xn =
sin kxn ≥ ε0 .
k + xn π
6n ïðè
k ∈ N, k ∈ [n; 5n]
èìååì:
1
sin kxn ≥ .
2
N , âçÿâ n > N, pn = 4n, xn =
Ïîýòîìó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
π
6n
∈ (0; 2π),
ïîëó÷èì:
n+p
X
k=n+1
5n
5n
sin πk
X
sin kxn 1 X
1
6n
≥
>
=
k + xn k=n+1 k + π
2 k=p+1 k + 1
6n
1
1
4(n − 1)
> ·
· (4n − 1) >
.
2 5n + 1
2 · 5(n + 1)
Òàê êàê
n−1
n+1
> 12 ,
à
n−1
→ 1 ïðè n → +∞, òî íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N0 , ÷òî ∀n > N0
n+1
π
ïîýòîìó ∀N > N0
∀n > N íàìè íàéäåíû pn = 4n, xn = 6n
òàêèå,
÷òî
n+p
X
k=n+1
Ïîýòîìó â êà÷åñòâå
ε0
ìîæíî âçÿòü
íåðàâíîìåðíî íà èíòåðâàëå
sin kxn 1
> .
k + xn 5
1
5 . Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðÿä (5.2) ñõîäèòñÿ
(0; 2π).
Òåîðåìà 5.3 (ïðèçíàê Àáåëÿ).
.
Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
(5.1)
òàêîâû, ÷òî
1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an(x)} ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà X,
2) äëÿ êàæäîãî
x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x0 )} ìîíîòîííà,
∞
P
3) ðÿä n=1 bn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ,
òî ðÿä
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
(5.1)
15
M > 0 òàêîå, ÷òî |an (x)| ≤ M , ∀n ∈ N, ∀x ∈ X.
Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Â ñèëó óñëîâèÿ 3) ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð
N = N (ε), ÷òî ïðè âñåõ n > N, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåí/
Ñîãëàñíî 1) ñóùåñòâóåò
ñòâî
|
p
X
bn+k (x)| <
k=1
ε
.
3M
p∈N
è
Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, ýòî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà (5.1).
.
Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 2), â ñèëó íåðàâåíñòâà Àáåëÿ äëÿ âñåõ
x∈X
âñåõ
n > N,
âñåõ
ïîëó÷èì:
|
p
X
an+k (x)bn+k (x)| <
k=1
Çàìå÷àíèå.
ε
(|an+1 (x)| + 2|an+p (x)|) ≤ ε.
3M
Óñëîâèå 2) â ïðèçíàêàõ Äèðèõëå è Àáåëÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåí-
íûì.
Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïîäòâåðæäàþùèé âûñêàçûâàíèå.
Ïðèìåð 5.4.
Ðàññìîòðèì ðÿä
∞
X
(1 − cos nx) cos nx
,
n
n=1
π 3π
x ∈ [ ; ].
4 4
1 − cos nx
, bn (x) = cos nx, n ∈ N.
n
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà
/
Ïóñòü
an (x) =
îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå
[ π4 ; 3π
4 ],
∞
P
n=1
cos nx
ðàâíîìåðíî
òàê êàê
"
#
1
1
π 3π
;
.
|Bn (x)| ≤
x ≤
π , ∀n ∈ N, ∀x ∈
sin 2
sin 8
4 4
Äàëåå,
1 − cos nx
2
≤ , ∀x ∈ R,
n
n
ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x)} ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ íà ìíîæåñòâå R,
h
i
π 3π
à çíà÷èò è íà îòðåçêå
;
(ñì. òåîðåìó 3.1).
h 4 4i
π
π 3π
 òî÷êå x0 =
2 ∈ 4; 4
0≤










0,
0,
(1 − cos nx0 ) cos nx0
=

n

 −





åñëè
n = 4k,
n = 4k + 1,
åñëè
n = 4k + 2,
åñëè
4k + 3
åñëè
1
,
2k + 1
0,
16
, k ∈ N,
Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä â ýòîé òî÷êå èìååò âèä:
∞
X
−1
.
k=1 2k + 1
(5.4)
Òàê êàê ðÿä (5.4) ðàñõîäèòñÿ, òî äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå
h
ïîýòîìó îí íå ìîæåò ðàâíîìåðíî ñõîäèòüñÿ íà îòðåçêå
π 3π
4; 4
i
.
x0 =
π
2, à
Çàìåòèì ïðè
ýòîì, ÷òî äëÿ äàííîãî ðÿäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1) è 3) ïðèçíàêà Äèðèõëå.
Çíà÷èò, òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ëþáîãî
x0 ∈ X
6
{an (x0 )}
äëÿ
.
íå âûïîëíåíî è ñóùåñòâåííî.
Ñâîéñòâà ïðåäåëüíîé ôóíêöèè è ñóììû ðÿäà
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê
ôóíêöèè f (x), a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë n→a
lim fn (x) = an , ∀n ∈ N. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } ñõîäèòñÿ,
ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå a è
Òåîðåìà 6.1 (î ïðåäåëå ïðåäåëüíîé ôóíêöèè).
lim
f = lim an ,
a
ò.å.
/
lim lim f (x)
x→a n→∞ n
= n→∞
lim x→a
lim fn (x).
Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{an }
ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ.
X
Ïî óñëîâèþ
Ïåðåõîäÿ â
fn (x) ⇒ f (x),
ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû 3.3
∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X
ε
|fn+p (x) − fn (x)| < .
2
ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè x → a, ïîëó÷èì
ε
|an+p − an | ≤ < ε, ∀n > N, ∀p ∈ N,
2
÷òî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{an }.
Ïîëîæèì, ÷òî
lim an = d.
Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò
∀n0 ∈ N
lim f (x) = d.
x→a
Î÷åâèäíî, ÷òî
|f (x) − d| = |f (x) − fn0 (x) + fn0 (x) − an0 + an0 − d| ≤
≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − an0 | + |an0 − d|.
17
∀x ∈ X ,
Òàê êàê
an → d
X
è
fn (x) ⇒ f (x),
òî
∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X
ε
3
|fn (x) − f (x)| <
n0 > N, òî äëÿ íåãî âûïîëíåíû
lim f (x) = an0 , ïîëó÷èì:
x→a n0
Åñëè
÷òî
∃Ua : ∀x ∈ X
Ñëåäîâàòåëüíî,
∀x ∈ X
\ o
Ua
è
ε
|an − d| < .
3
ïðåäûäóùèå íåðàâåíñòâà è, ó÷èòûâàÿ
ε
|fn0 (x) − an0 | < .
3
T o
Ua
|f (x) − d| <
ε ε ε
+ + = ε,
3 3 3
ò.å.
∃ lim
f = d. .
a
Òåîðåìà 6.2. (î íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè â òî÷êå).
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà
ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f (x) è a ∈ X. Åñëè ôóíêöèè fn íåïðåðûâíû â òî÷êå
a äëÿ âñåõ n ∈ N, òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå a.
/
Åñëè
a∈X
è ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé òî÷êîé ìíîæåñòâà
X,
òî
f
íåïðå-
ðûâíà â íåé.
Åñëè
a∈X
è ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà
ðûâíîñòè ôóíêöèè
fn
â òî÷êå
X,
òî â ñèëó íåïðå-
a
lim
fn = fn (a), ∀n ∈ N.
a
Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 6.1 è ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â òî÷êå
a
lim f (x) = n→∞
lim fn (a) = f (a),
x→a
÷òî îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
f
â òî÷êå
a.
.
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâå
X ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà X, òî å¼ ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà
íà X.
Ñëåäñòâèå 6.2.2. Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}
ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X è fn(x) ∈ C(X), ∀n ∈ N.
X
Åñëè ôóíêöèÿ f íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà X, òî fn(x) 6⇒ f (x).
Ñëåäñòâèå 6.2.1.
18
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä
fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X è åãî ñóììà ðàâíà S(x),
n=1
a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë
lim
fn = cn , ∀n ∈ N. Òîãäà ÷èñëîâîé ðÿä
a
∞
P
Òåîðåìà 6.3 (î ïðåäåëå ñóììû ðÿäà).
∞
X
cn
(6.1)
n=1
ñõîäèòñÿ, ñóùåñòâóåò ïðåäåë x→a
lim S(x) è
lim S(x) =
x→a
ò.å.
lim
x→a
∞
X
fn (x) =
n=1
∞
X
cn ,
(6.2)
n=1
∞
X
n=1
lim f (x),
x→a n
Òåîðåìó 6.3 ÷àñòî íàçûâàþò òåîðåìîé î ïî÷ëåííîì ïåðåõîäå ê ïðåäåëó äëÿ
ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.
/ Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà
íîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå
X
lim S (x) =
x→a n
ê ôóíêöèè
n
X
S(x)
∞
P
n=1
fn (x) ðàâ-
è
ck := Cn , n ∈ N,
k=1
òî ïî òåîðåìå 6.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{Cn }
ñõîäèòñÿ è ñóùåñòâóåò
lim S(x) = n→∞
lim Cn .
x→a
Íî
Cn
÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà (6.1), ïîýòîìó ìû äîêàçàëè ñõîäèìîñòü ðÿäà
.
(6.1) è ðàâåíñòâî (6.2).
Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé
ðÿä n=1 fn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X, a ∈ X è fn íåïðåðûâíû â òî÷êå a (íà ìíîæåñòâå X ), òî ñóììà ðÿäà íåïðåðûâíà â òî÷êå a (íà
ìíîæåñòâå X ).
Òåîðåìà 6.4 (î íåïðåðûâíîñòè ñóììû ðÿäà).
∞
P
Òåîðåìà ñëåäóåò èç òåîðåìû 6.3 ñ ó÷¼òîì îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå.
Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâå
X ôóíêöèé ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà X è ñóììà ðÿäà íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé
íà X, òî ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X .
Ñëåäñòâèå 6.4.1.
19
Çàìå÷àíèå 1.
Òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà ñóùåñòâåííî äëÿ
ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû 6.4 è ñëåäñòâèÿ.
Äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ñêàçàííîãî ðàññìîòðèì
Ïðèìåð 6.1.
Èññëåäóåì ðÿä
x2
2 n
n=1 (1 + x )
∞
X
íà îòðåçêå
/
[−1, 1].
Çàìåòèì, ÷òî ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìå-
1
q = 1+x
2
ìíîæåñòâà R.
íàòåëåì
è ïåðâûì ÷ëåíîì
a1 =
x2
1+x2 . Îí ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå
Äîêàæåì, ÷òî äàííûé ðÿä íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå
ñòâèòåëüíî,
Rn (0) = 0,
à ïðè
Äåé-
x 6= 0
x2
Rn (x) =
[−1; 1].
1
1−
1 + x2
2 n+1
(1 + x )
Ïîñêîëüêó


!
=
1
,
(1 + x2 )n
1
1
sup |Rn (x)| ≥ Rn  √  = 1 +
n
n
x∈[−1;1]
!−n
∀n ∈ N.
1
−→ ,
e
[−1;1]
Rn (x) 6⇒ 0, à ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ
íåðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [−1; 1]. Çàìåòèì, ÷òî åãî ñóììà S(x) òåðïèò ðàçðûâ â
òî÷êå x = 0, õîòÿ ÷ëåíû ðÿäà íåïðåðûâíû íà R.
.
Òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà íåïðåðûâíûõ íà X
òî ïî òåîðåìå 3.1
Çàìå÷àíèå 2.
ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, íî íå íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè
ñóììû ðÿäà.
Íàïðèìåð, ðÿä
∞
X


nx
(n − 1)x 

−
2 2
1 + (n − 1)2 x2
n=1 1 + n x
èìååò íà îòðåçêå
[0; 1]
ñóììó
ñõîäèòñÿ ðÿä íåðàâíîìåðíî íà
S(x) = 0,
[0; 1].
÷ëåíû ðÿäà íåïðåðûâíû íà
[0; 1],
à
Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
(ðÿäà) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè
(ñóììû ðÿäà) íà ìíîæåñòâå
X.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
20
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} íå óáûâàåò
(èëè íå âîçðàñòàåò) â êàæäîé òî÷êå x çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà
X ⊂ R è ñõîäèòñÿ íà X ê ôóíêöèè f (x). Åñëè âñå ÷ëåíû fn (x) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíû íà X , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
Òåîðåìà 6.5 (Äèíè).
/
Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
x ∈ X.
óáûâàåò â êàæäîé òî÷êå
òåëüíîñòü
{rn (x)}
1) ôóíêöèè
Ïîëîæèì
rn (x) = f (x) − fn (x).
{fn (x)}
íå
Ïîñëåäîâà-
îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:
rn (x)
íåîòðèöàòåëüíû è íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå
2) â êàæäîé òî÷êå
x∈X
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
3) â êàæäîé òî÷êå
x∈X
ñóùåñòâóåò ïðåäåë
{rn (x)}
íå âîçðàñòàåò;
lim r (x)
n→∞ n
Äîêàæåì, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
X;
= 0.
{rn (x)}
ê
r(x) = 0
íà
X
ÿâ-
ëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé.Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì "îò ïðîòèâíîãî".
Äîïóñòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
X
íåðàâíîìåðíî, ò.å. äëÿ íåêîòîðîãî
îäíà òî÷êà
xn
ìíîæåñòâà
X
{rn (x)} ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè r(x) = 0 íà
ε0 > 0 è ëþáîãî n ∈ N íàéä¼òñÿ õîòÿ áû
òàêàÿ, ÷òî
rn (xn ) ≥ ε0 .
 ñèëó îãðàíè÷åííîñòè ìíîæåñòâà
ñëåäîâàòåëüíîñòè
{xn }
rn (x)
è ëåììû Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èç ïî-
ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå
öèè
X
íåïðåðûâíû â
{xnk },
ñõîäÿ-
c ∈ X (X çàìêíóòîå ìíîæåñòâî). Ïî óñëîâèþ ôóíêòî÷êå c, ïîýòîìó rn (xnk ) → rn (c) ïðè k → ∞, ∀n ∈ N.
Ïîñêîëüêó
rnk (xnk ) ≥ ε0 ,
{rn (x)} íå âîçðàñòàåò â êàæäîé òî÷êå x ∈ X,
m ∈ N íîìåð nk òàêîé, ÷òî nk > m, ïîëó÷èì
à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
äëÿ êàæäîãî
òî, âûáðàâ
rm (xnk ) ≥ rnk (xnk ),
à çíà÷èò
∀nk : nk > m,
rm (xnk ) ≥ ε0 .
Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè
k → +∞,
ïîëó÷èì
rm (c) ≥ ε0 , ∀m ∈ N,
÷åãî áûòü íå ìîæåò, ò.ê.
rm (c) → 0
ïðè
m → +∞.
Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå
.
äîêàçûâàåò òåîðåìó.
21
Çàìå÷àíèå1.
ìíîæåñòâà
X
Òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñóùåñòâåííî äëÿ òåîðåìû Äèíè.
Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü





{fn (x)}:



[0; π]
i
h
sin nx,
åñëè
x ∈ 0; πn ,
0,
åñëè
x∈
fn (x) = 
èìååì íà
{fn (x)} â òî÷êàõ
π
n; π
i
f (x) = 0, ∀x ∈ [0; π],
∀n ∈ N
ïðåäåëüíóþ ôóíêöèþ
ýòîì îòðåçêå ðàâíîìåðíî, òàê êàê
sup |fn (x) − f (x)| ≥
x∈[0;π]
Çàìå÷àíèå 2.
fn
π
2n
!
íî íå ñõîäèòñÿ íà
!
π
= sin n ·
= 1.
2n
Òðåáîâàíèå êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà
X
ñóùåñòâåííî äëÿ òåî-
ðåìû Äèíè.
{xn } ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0
íà ìíîæåñòâå X = [0; 1), êàæäàÿ ôóíêöèÿ fn (x) è f (x) íåïðåðûâíà íà X , â
n
êàæäîé òî÷êå x ∈ [0; 1) ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x } óáûâàåò. Îäíàêî
Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
[0;1)
fn (x) 6⇒ 0
(ñì. çàìå÷àíèå ê ïðèìåðó 1.2).
Ïðèâåä¼ì ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Äèíè äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.
Ïóñòü âñå ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà íåïðåðûâíû è
íåîòðèöàòåëüíû (èëè ïîëîæèòåëüíû) íà çàìêíóòîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå X ⊂ R. Åñëè ðÿä ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà X è åãî ñóììà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèåé, òî ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
Òåîðåìà 6.6.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Äèíè ðàññìîòðèì
Ïðèìåð 6.2.
Èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{fn (x)}: fn (x) = xn
íà
[0; q], q ∈ (0; 1).
f (x) ≡ 0. Ôóíêöèè
fn (x) = x è f (x) = 0 íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå X = [0; q], q ∈ (0; 1) è â êàæäîé
n
òî÷êå x ∈ [0; q] ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x } íå âîçðàñòàåò. Ïîýòîìó, ñîÏðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà
n
ãëàñíî òåîðåìå 6.5, ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî
íà îòðåçêå
[0; q], q ∈ (0; 1).
Òåîðåìà 6.7. (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).
fn
[a; b],
Ïóñòü ôóíêöèè
èíòåãðèðóåìû íà îòðåçêå
n ∈ N, è ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà [a; b].
22
Òîãäà ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {aRb fn(x)dx} ñõîäèòñÿ è
Zb
lim
n→∞
ò.å.
Zb
fn (x)dx =
a
Zb
fn (x)dx =
lim
(6.3)
a
Zb
n→∞
f (x)dx,
a
a
lim f (x)dx.
n→∞ n
/ Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f
íà îòðåçêå
[a; b] âîñïîëü-
çóåìñÿ êðèòåðèåì Äàðáó.
[a;b]
Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå
íîìåð
N = N (ε)
ε > 0. Ïî óñëîâèþ fn (x) ⇒ f (x), ïîýòîìó íàéä¼òñÿ
òàêîé, ÷òî
|fn (x) − f (x)| <
ε
, ∀n > N, ∀x ∈ [a; b].
3(b − a)
Ïîýòîìó
ε
, ∀x ∈ [a; b].
3(b − a)
íà [a; b] è êðèòåðèÿ Äàðáó
|fN +1 (x) − f (x)| <
fN +1
îòðåçêà [a; b],
Èç èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè
ðàçáèåíèå
τε = {xk }m
k=1
m−1
X
i=0
ãäå
ωif =
íàéä¼òñÿ òàêîå
÷òî
ε
f
ωi N +1 ∆xi < ,
3
|f (x0 ) − f (x00 )|. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê x0 , x00 i−ãî îòðåçêà
sup
x0 ,x00 ∈[xi ,xi+1 ]
íàéäåííîãî ðàçáèåíèÿ
|f (x0 ) − f (x00 )| ≤ |f (x0 ) − fN +1 (x0 )| + |fN +1 (x0 ) − fN +1 (x00 )| +
2ε
f
+ |fN +1 (x00 ) − fN +1 (x00 )| <
+ ωi N +1 .
3(b − a)
Îòñþäà
ωif ≤
Ïîýòîìó äëÿ ðàçáèåíèÿ
m−1
X
i=0
2ε
f
+ ωi N +1 , i = 0, 1, . . . , m − 1.
3(b − a)
τε
f
ωi N +1 ∆xi
m−1
X
X
2ε m−1
f
∆xi +
ωi N +1 ∆xi < ε
≤
3(b − a) i=0
i=0
è ïî êðèòåðèþ Äàðáó ôóíêöèÿ
f ∈ R[a; b].
Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü âòîðóþ ÷àñòü
óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû î òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
23
Rb
{ fn (x)dx}
a
ñõîäèòñÿ è å¼
ïðåäåë ðàâåí èíòåãðàëó
íàéä¼òñÿ íîìåð
Rb
a
f (x)dx.
N = N (ε)
Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî
òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ
Zb
fn (x)dx
a
n>N
f (x)dx
a
Zb
−
< ε.
{fn (x)}
x ∈ [a; b]
È ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
[a; b]
íàéä¼òñÿ íîìåð
N = N (ε)
ε>0
òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ
|fn (x) − f (x)| <
ê
f (x)
ε
.
2(b − a)
íà îòðåçêå
(6.4)
Èç ñâîéñòâ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà è ðàâåíñòâà (6.4) ïîëó÷èì:
Zb
fn (x)dx
a
f (x)dx
a
Zb
(fn (x)dx
a
Zb
−
=
−
f (x))dx
Zb
|fn (x)dx − f (x)|dx ≤
≤
a
Zb
ε
ε
≤
dx = < ε,
2(b − a) a
2
.
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ.
Çàìå÷àíèå.
Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.7 ïîòðåáîâàòü äîïîëíèòåëüíî íåïðå-
fn (x), n ∈ N, íà îòðåçêå [a; b], òî äîêàçàòåëüñòâî èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a; b] ñëåäîâàëî áû èç ñëåäñòâèÿ 1 òåîðåìû 6.3 è
ðûâíîñòü ôóíêöèé
äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè.  ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ìîæíî
áûëî áû äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì
ïðåäåëîì
[a; b]
Rx
{Fn (x)} : Fn (x) = fn (t)dt, c ∈ [a; b)
ê ôóíêöèè
F (x) =
Rx
c
c
f (t)dt, x ∈ [a; b].
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå
Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàò, ñîîòâåò-
ñòâóþùèé òåîðåìå 6.7, äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.
Òåîðåìà 6.8. (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿ-
∞
P
Åñëè ôóíêöèè fn ∈ R[a; b], n ∈ N, è ðÿä n=1
fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ
íà îòðåçêå [a; b], òî åãî ñóììà S(x) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ÷èñëîâîé
∞ Rb
P
ðÿä n=1
fn (x)dx, ïîëó÷åííûé èç äàííîãî ïî÷ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì íà [a; b],
a
ñõîäèòñÿ è
Zb
Zb
äà).
S(x)dx =
ò.å.
a
Zb X
∞
∞
X
fn (x)dx,
n=1 a
fn (x)dx =
a n=1
∞ Zb
X
n=1 a
24
fn (x)dx.
Çàìå÷àíèå.
Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû
6.8
èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèé
fn ,
n ∈ N, çàìåíèòü íåïðåðûâíîñòüþ, òî ìîæíî äîêàçàòü åù¼, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé
ðÿä
∞ Zx
X
fn (t)dt,
n=1 c
ãäå
c ∈ [a; b],
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå
∞ Zx
X
fn (t)dt =
Zx X
∞
[a; b]
è
fn (t)dt.
c n=1
n=1 c
Òåîðåìà 6.9. (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).
fn
Ïóñòü ôóíêöèè
äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå
0
[a; b], n ∈ N, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïðîèçâîäíûõ ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî
íà îòðåçêå [a; b], à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé
òî÷êå x0 ∈ [a; b]. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b], ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà [a; b] è
f 0 (x) = φ(x), ∀x ∈ [a; b], ãäå φ(x) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{fn0 (x)}, ò.å. ∀x ∈ [a; b]
(n→∞
lim fn (x))0 = n→∞
lim fn0 (x).
/
Âîñïîëüçîâàâøèñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàæåì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü
íà îòðåçêå
[a; b]
{fn (x)}.
íîìåðîâ n è p
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ
è
x ∈ [a; b]
|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |(fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x0 ) − fn (x0 ))| + |fn+p (x0 ) − fn (x0 )|.
fn+p (x) − fn (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ [a; b] îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ëàãðàíæà
íà îòðåçêå, îãðàíè÷åííîì òî÷êàìè x0 è x.Çíà÷èò ìåæäó x0 è x íàéä¼òñÿ òî÷êà
cx òàêàÿ, ÷òî
Ôóíêöèÿ
0
(fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x0 ) − fn (x0 )) = (fn+p
(cx ) − fn0 (cx ))(x − x0 ).
[a;b]
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû
fn0 (x) ⇒ φ(x)
è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{fn (x0 )}
ñõîäèòñÿ.
Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ ëþáîãî
ε>0
íàéä¼òñÿ íîìåð
N = N (ε)
òàêîé, ÷òî
∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b]
0
|fn+p
(x) − fn0 (x)| <
ε
ε
, |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < .
2(b − a)
2
25
∀n > N ,
Ñëåäîâàòåëüíî,
∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b]
0
|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p
(cx ) − fn0 (cx )||x − x0 | + |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| <
ε
ε
<
|x − x0 | + ≤ ε.
2(b − a)
2
Ýòî îçíà÷àåò, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè, ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà îòðåçêå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{fn (x)}
ê ôóíêöèè
Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ
f
[a; b]
f (x).
äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå
[a; b], è óêà-
çàòü å¼ ïðîèçâîäíóþ.
e îòðåçêà
Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x
lim
x→e
x
(x∈[a;b]\{e
x})
Òàê êàê
∀x ∈ [a; b]
lim f (x)
n→∞ n
[a; b]
è íàéä¼ì
e
f (x) − f (x)
.
x − xe
= f (x),
òî
e
e
fn (x) − fn (x)
f (x) − f (x)
= n→∞
lim
.
x − xe
x − xe
(6.5)
È íàì ñëåäóåò íàéòè
lim n→∞
lim
x→e
x
e
fn (x) − fn (x)
.
x − xe
Ïóñòü
e
fn (x) − fn (x)
, ∀n ∈ N,
x − xe
e −→ R, ∀n ∈ N. Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
òîãäà ôóíêöèè gn : [a; b] \ x
e
{gn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå [a; b] \ x.
Ïðè ôèêñèðîâàííûõ
n, p ∈ N è x ∈ [a; b] \ xe
gn (x) :=
gn+p (x) − gn (x) =
1 e − (fn+p (x) − fn (x))
e
(fn+p (x) − fn+p (x))
=
x − xe
1 e − fn (x))
e
(fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x)
.
x − xe
Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà, ïðèìåíåííîé ê ôóíêöèè fn+p (x) − fn (x)
e íàéä¼ì òî÷êó ηx ìåæäó x è x
e òàêóþ, ÷òî
êîíöàìè x è x,
=
íà îòðåçêå ñ
0
e − fn (x))
e
e
fn+p (x) − fn (x) − (fn+p (x)
= (fn+p
(ηx ) − fn0 (ηx ))(x − x).
Ïîýòîìó
e
∀n ∈ N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] \ {x}
0
|gn+p (x) − gn (x)| = |fn+p
(ηx ) − fn0 (ηx )|.
26
(6.6)
0
Ïîñêîëüêó fn (x)
[a;b]
⇒ φ(x),
∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b]
òî ïî êðèòåðèþ Êîøè
∀ε > 0 ∃N = N (ε) : ∀n > N,
0
|fn+p
(x) − fn0 (x)| < ε.
Âîçâðàùàÿñü ê (6.6), ïîëó÷èì, ÷òî
e
∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] \ {x}
|gn+p (x) − gn (x)| < ε.
Ïîýòîìó
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
e
[a; b] \ {x}.
{gn (x)}
ðàâíîìåðíî
ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå
Íàêîíåö, òàê êàê
lim gn (x) = fn0 (x), ∀n ∈ N,
x→e
x
òî, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 6.1 è ðàâåíñòâîì (6.5), ïîëó÷èì
e
e
f (x) − f (x)
fn (x) − fn (x)
e = φ(x),
e
= lim n→∞
lim
= n→∞
lim fn0 (x)
∀xe ∈ [a; b].
x→e
x
x→e
x
x − xe
x − xe
lim
Ýòî îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè
f
e è ðàâåíñòâî
â òî÷êå x
e ∀x
e ∈ [a; b].
= φ(x),
e =
f 0 (x)
.
Äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ ñïðàâåäëèâà
Òåîðåìà 6.10. (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà).
fn
[a; b],
Ïóñòü ôóíêöèè∞ äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå
ðÿä èç ïðîP 0
èçâîäíûõ ýòèõ ôóíêöèé n=1 fn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b] è ðÿä
∞
P
fn (x) ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 îòðåçêà [a; b]. Òîãäà ïîñëåäíèé
n=1
ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a; b], åãî ñóììà S(x) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå
[a; b] è
∞
S 0 (x) =
X
fn0 (x), ∀x ∈ [a; b],
n=1
ò.å. ïðîèçâîäíàÿ ñóììû ðÿäà n=1 fn(x) åñòü ñóììà ðÿäà, ïîëó÷åííîãî èç äàííîãî ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì.
Çàìå÷àíèå1.
∞
P
Åñëè, íàïðèìåð, â óñëîâèè òåîðåìû 6.9 äîïîëíèòåëüíî ïîòðå-
áîâàòü, ÷òî ôóíêöèè
fn
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå
[a; b],
òî ìû
f (x) ôóíêöèîíàëüíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà [a; b].
Òåîðåìû 6.9 è 6.10 ñïðàâåäëèâû íà ïðîìåæóòêå X , îòëè÷íîì
äîñòàòî÷íî ëåãêî ïîëó÷àåì åù¼, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ
Çàìå÷àíèå2.
îò îòðåçêà.
Çàìå÷àíèå3.
Ðàâíîìåðíàÿ
ñõîäèìîñòü
{fn0 (x)} íà îòðåçêå
âàòåëüíîñòè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ïðîèçâîäíûõ
[a; b] íå âûòåêàåò äàæå èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäî{fn (x)}.
27
Ïðèìåð 6.3.
Èññëåäóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
sin nx
{fn (x)} : fn (x) = √ , x ∈ [0; 1].
n
/ Äëÿ ëþáîãî x ∈ R
lim f (x)
n→∞ n
ðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
= 0. Ïîýòîìó ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòf (x) = 0, ∀x ∈ R.
 ñèëó êðèòåðèÿ 3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
R
fn (x) ⇒ f (x).
Ïîýòîìó
[0;1]
fn (x) ⇒ f (x).
√
√
fn0 (x) = n cos nx, ∀x ∈ [0; 1], ∀n ∈ N. Ïîñêîëüêó fn0 (0) = n, òî
fn0 (0) −→ +∞ ïðè n → ∞ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn0 (x)} íå ÿâëÿåòñÿ ïîòî÷å÷íî
ñõîäÿùåéñÿ íà îòðåçêå [0; 1].
.
Ôóíêöèÿ
7
Îïðåäåëåíèå 7.1.
íîñòü,
a ∈ R.
Ïóñòü
Ñòåïåííîé ðÿä
{an }∞
n=1
íåêîòîðàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
Ñòåïåííûì ðÿäîì ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé
∞
X
a
íàçûâàåòñÿ ðÿä
ak (x − a)k ,
k=0
ïðè ýòîì ÷èñëà
ak
íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà.
a 6= 0
òî÷êîé a â
Ïîñêîëüêó ïðè
ñ íà÷àëüíîé
t = x − a ïåðåâîäèò ñòåïåííîé ðÿä
an tn ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé â íóëå, òî
ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ
ñòåïåííîé ðÿä
∞
P
n=0
ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ, êîòîðûå íå ìåíÿþòñÿ ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè,
óäîáíî ôîðìóëèðîâàòü äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà
∞
X
an x n .
(7.1)
n=0
Îïðåäåëåíèå 7.2.
x = x0 )
Òî÷êà
x0 ∈ R,
â êîòîðîé ñòåïåííîé ðÿä
(7.1)
(ïðè
ñõîäèòñÿ, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (7.1). Ìíîæåñòâî
X⊂R
âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè
åãî.
Çàìå÷àíèå.
Ëþáîé ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå
ëàñòü åãî ñõîäèìîñòè íå ïóñòà.
28
x = 0,
ïîýòîìó îá-
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð 7.1.
Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà
∞
X
n!xn
n=0
ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè
x = 0, ïîñêîëüêó ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x0 ∈ R\0
lim n!xn = ∞.
Ïðèìåð 7.2.
Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà
xn
n=0 n!
∞
X
ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì
(7.2)
R.
Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ïðèçíàêà Äàëàìáåðà äëÿ ëþáîãî
÷èñëîâîé ðÿä
ìíîæåñòâà
n
∞
X
|x0 |
.
n=0 n!
x0 ∈ R \ 0
ñõîäèòñÿ
Ïîýòîìó ðÿä (7.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå
R.
Ïðèìåð 7.3.
Ñòåïåííîé ðÿä
xn
, α ∈ [0; ∞)
α
n=0 n
∞
X
x ∈ (−1; 1), ðàñõîäèòñÿ â òî÷êàõ x : |x| > 1. Â
òî÷êå x = 1 îí ñõîäèòñÿ , åñëè α > 1, è ðàñõîäèòñÿ ïðè α ∈ [0; 1].  òî÷êå x = −1
îí ñõîäèòñÿ ïðè α > 0 è ðàñõîäèòñÿ ïðè α = 0. Ïîýòîìó îáëàñòü ñõîäèìîñòè
ñîâïàäàåò ñ (−1; 1), åñëè α = 0; ñ [−1; 1), åñëè α ∈ (0; 1]; ñ [−1; 1], åñëè α > 1.
ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êàõ
Åñëè
ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 6= 0, òî îí ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â
êàæäîé òî÷êå x ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó |x| < |x0|.
Òåîðåìà 7.1 (ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ).
/
x0 6= 0. Â
= 0, ïîýòîìó
Ïóñòü ÷èñëîâîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå
n
ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà lim an x0
ñèëó íåîáõîäèìîãî
∃c > 0 ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 |an xn0 | ≤ c,
è ñïðàâåäëèâà îöåíêà

n
|an x | =
|an xn0 |
n

n
|x| 
|x| 
·
≤ c
, ∀n > N0 .
|x0 |
|x0 |
|x|
|x0 |
∞
P
q n ñõîäèòñÿ. Â ñèëó
n=0
∞
P
ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ ðÿä
|an xn | ñõîäèòñÿ, à çíà÷èò
n=0
Eñëè
x
òàêîå, ÷òî
|x| < |x0 |,
òî
= q < 1
29
è ðÿä
ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå
x òàêîé, ÷òî |x| < |x0 |.
.
Åñëè
X ⊂ R
îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1), òî ñóùåñòâóåò
âåëè÷èíà (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ)
R = sup{|x| : x ∈ X}.
Åñëè R = sup{|x| : x ∈ X}, òî
ïðè R = 0 ñòåïåííîé ðÿä
ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x 6= 0;
ïðè R = +∞ ñòåïåííîé ðÿä
cõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå
Òåîðåìà 7.2.
1)
(7.1)
2)
(7.1)
x ∈ R;
ïðè R ∈ (0; +∞) ðÿä
ñõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (−R; R), ðàñõîäèòñÿ
â òî÷êàõ x ∈ R òàêèõ, ÷òî |x| > R, è ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ, òàê è
ðàñõîäèòüñÿ â òî÷êàõ x = ±R
3)
(7.1)
/
Åñëè
R = 0,
òî ìíîæåñòâî
X = {0},
ïîýòîìó óòâåðæäåíèå 1) òåîðåìû
âåðíî.
R = +∞, òî ìíîæåñòâî {|x| : x ∈ X} íåîãðàíè÷åííî ñâåðõó, ïîýòîìó
äëÿ ëþáîãî x0 ∈ R \ 0 íàéä¼òñÿ òî÷êà x ∈ X òàêàÿ, ÷òî |x0 | < |x|.  ñèëó 1-îé
òåîðåìû Àáåëÿ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êå x0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x0 ∈ R.
Ïóñòü R ∈ (0; +∞). Ôèêñèðóåì òî÷êó x0 ∈ R \ 0 òàêóþ, ÷òî |x0 | < R, è
ïîëîæèì ε = R − |x0 | > 0.Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíèöû ÷èñëîâîãî
ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò xε ∈ X : |x0 | = R − ε < |xε | ≤ R.
Åñëè
Ó÷èòûâàÿ ïåðâóþ òåîðåìó Àáåëÿ, ïîëó÷èì, ÷òî ðÿä (7.1) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â òî÷êå
x0 ,
ïîýòîìó â òî÷êàõ
x0 ∈ (−R; R)
òî÷êà x0 ∈ R,
R ëþáàÿ
íàäëåæèò ìíîæåñòâó X ñõîäèìîñòè
ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 .
Ïî îïðåäåëåíèþ ÷èñëà
ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.
äëÿ êîòîðîé
|x0 | > R,
íå ïðè-
ñòåïåííîãî ðÿäà. Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä
.
Ïðèìåð 7.3 ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ íåãî
R = 1, ∀α ∈ [0; +∞), è â òî÷êàõ x = ±R
ñòåïåííîé ðÿä ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò åãî
êîýôôèöèåíòîâ.
Îïðåäåëåíèå 7.3.
R = sup{|x| : x ∈ X} íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì
ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Åñëè R ∈ (0; +∞), òî èíòåðâàë (−R; R) íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Åñëè R = +∞, òî îáëàñòü
ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì (−∞; +∞).
Âåëè÷èíà
30
Ïóñòü äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà
ρ = lim |an |.Òîãäà ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ñòåïåííîãî ðÿäà
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå



0,
åñëè ρ = +∞,


R =  1/ρ, åñëè ρ ∈ (0; +∞),



+∞, åñëè ρ = 0.
Òåîðåìà q
7.3 (ôîðìóëà Êîøè-Àäàìàðà).
n
(7.1)
(7.1)
Ôîðìàëüíî ôîðìóëó Êîøè-Àäàìàðà çàïèñûâàþò :
R=
/
Ôèêñèðóåì òî÷êó
x 6= 0
1
q
lim n |an |
.
è ðàññìîòðèì ïîëîæèòåëüíûé ðÿä
∞
X
|an ||x|n .
(7.3)
n=0
Ïî ñâîéñòâó âåðõíåãî ïðåäåëà


q
lim n |an ||x|n = 
|x| · ρ,
+∞,
åñëè
åñëè
ρ ∈ [0; +∞),
ρ = +∞.
 ñèëó ïðèçíàêà Êîøè (ïðåäåëüíàÿ ôîðìà) ïðè
â òî÷êàõ
x 6= 0,
ρ = +∞
ðÿä (7.3) ðàñõîäèòñÿ
ïðè÷¼ì äëÿ íåãî íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäè-
ìîñòè. Çíà÷èò ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå
ñõîäèìîñòè åãî ðàâåí
Åñëè
x 6= 0
è ðàäèóñ
R = 0.
ρ = 0, òî â êàæäîé òî÷êå x ∈ R ðÿä (7.3) ñõîäèòñÿ, à ðÿä (7.1) àáñîëþòíî
ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà ìíîæåñòâå
R
è åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè áåñêîíå÷åí.
ρ · |x| < 1, ò.å. ïðè |x| < ρ1 ,
1
n
è
ρ , ïðè ýòîì |an | · |x| 6−→ 0 ïðè n → ∞. Ïîýòîìó
1
ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà ìíîæåñòâå |x| <
ρ è ðàñõîäèòñÿ â
1
1
òî÷êàõ |x| > . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî R = .
.
ρ
ρ
ρ ∈ (0; +∞),
ðàñõîäèòñÿ ïðè |x| >
Åñëè æå
Çàìå÷àíèå.
òî ðÿä (7.3) ñõîäèòñÿ ïðè
Åñëè äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) ñóùåñòâóåò ïðåäåë
lim
n→∞
òî åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè
Ïðèìåð 7.4.
R=
|an+1 |
= A ∈ R,
|an |
1
A.
Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà
n!xn
.
n
n=1 n
∞
X
31
(7.4)
/
Òàê êàê
n!
, ∀n ∈ N,
nn
an =
òî
lim
|an+1 |
1
1
= lim
1 n =
|an |
e
(1 + n )
R = e, èíòåðâàë (−e; e) èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.4). Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ðÿäà â òî÷êàõ x = ±e.
Åñëè x = e, òî ðÿä (7.4) ïðèíèìàåò âèä
è
n!en
.
n
n=1 n
∞
X
Ïîëîæèì
bn =
n!en
, ∀n ≥ 1.
nn
Òîãäà
|bn+1 |
e
=
→ 1.
|bn |
(1 + n1 )n
Íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
e 1+
âàòåëüíîñòü
1
n
{(1 + 1/n)n }
−n ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé, ïîýòîìó ïîñëåäî-
ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé è
|bn+1 |
> 1, ∀n ∈ N.
|bn |
Ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà (íåïðåäåëüíàÿ ôîðìà) ÷èñëîâîé ðÿä
n!en
n
n=1 n
∞
X
bn 6→ 0. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî è â òî÷êå x = −e ðÿä (7.4) ðàñõîîáëàñòü åãî ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè (−e; e).
ðàñõîäèòñÿ è
äèòñÿ, ò.å.
.
8
Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñòåïåííîãî ðÿäà
Òåîðåìà 8.1. (î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà âíóòðè
èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè).
(7.1)
Åñëè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà
îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñòåïåííîé ðÿä ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì
îòðåçêå [a; b] ⊂ (−R; R).
32
/ Ôèêñèðóåì îòðåçîê [a; b] ⊂ (−R; R). Ïo àêñèîìå íåïðåðûâíîñòè ìíîæåñòâà
R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàéä¼òñÿ r0 > 0 òàêîå, ÷òî [a; b] ⊂ [−r0 ; r0 ] ⊂ (−R; R).
∞
P
Òàê êàê r0 ∈ (0; R), òî ÷èñëîâîé ðÿä
|an |r0n ñõîäèòñÿ. Íî ∀x ∈ [a; b], ∀n ∈ N0
n=0
|an xn | ≤ |an |r0n .
Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä (7.1), ñîãëàñíî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà, àáñîëþòíî è
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå
Îïðåäåëåíèå 8.1.
[a; b].
.
Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì
îòðåçêå, ñîäåðæàùåìñÿ â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè åãî, òî ãîâîðÿò, ÷òî îí ñõîäèòñÿ
ðàâíîìåðíî âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.
Ñ ó÷¼òîì ïîñëåäíåãî îïðåäåëåíèÿ äîêàçàííàÿ òåîðåìà 8.1 ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Åñëè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà
îòëè÷åí îò
íóëÿ, òî ðÿä
ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.
Ñëåäñòâèå 8.2.1. Ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ðàäèóñîì
ñõîäèìîñòè íåïðåðûâíà â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè.
Òåîðåìà 8.3. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä èìååò îòëè÷íûé îò íóëÿ ðàäèóñ ñõîäèìîñòè è ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = R, òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå
Òåîðåìà 8.2.
(7.1)
(7.1)
[0; R].
/
Ïî óñëîâèþ ÷èñëîâîé ðÿä
an xn = an Rn · ( Rx )n ,
∞
P
n=0
an R n
ñõîäèòñÿ. Òàê êàê
∀x ∈ [0; R]
òî â ñèëó ïðèçíàêà Àáåëÿ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî
[0; R] (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {( Rx )n } ìîíîòîííà ïðè êàæäîì
ôèêñèðîâàííîì
x ∈ [0; R] è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà, òàê êàê ( Rx )n ≤ 1,
∀x ∈ [0; R] è ∀n ∈ N0 ).
.
ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå
Åñëè ñòåïåííîé ðÿä
ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = R, òî åãî ñóììà S(x) íåïðåðûâíà ñëåâà â òî÷êå x = R,
ò.å. S(R − 0) = S(R).
Çàìå÷àíèå.
Ñëåäñòâèå 8.3.1 (2-àÿ òåîðåìà Àáåëÿ).
(7.1)
Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) èìååò îòëè÷íûé îò íóëÿ ðàäèóñ ñõîäè-
x = −R, òî àíàëîãè÷íî
îòðåçêå [−R; 0] è åãî ñóììà
ìîñòè è ñõîäèòñÿ â òî÷êå
ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îí ðàâ-
íîìåðíî ñõîäèòñÿ íà
íåïðåðûâíà â òî÷êå
x = −R
ñïðàâà.
Òåîðåìà 8.4 (î
Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä
ïî÷ëåííîì
(7.1)
èíòåãðèðîâàíèè
ñòåïåííîãî ðÿäà).
èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R > 0 è x ïðèíàäëåæèò
33
îáëàñòè ñõîäèìîñòè åãî. Òîãäà ðÿä(7.1) ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà
îòðåçêå [0; x]. Ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ðÿä
∞
X
an n+1
x
n=0 n + 1
(8.1)
èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä
/
Äëÿ ëþáîãî
x
(7.1)
.
èç îáëàñòè ñõîäèìîñòè (7.1) ñîãëàñíî òåîðåìàì 8.1 è 8.3
ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå
ñòåïåííîãî ðÿäà íåïðåðûâíû íà
èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå
[0; x]
[0; x].
Ïîñêîëüêó ÷ëåíû
R, òî â ñèëó òåîðåìû 6.8 ñóììà S(x) ðÿäà (7.1)
è
Zx
S(x)dx =
0
∞
X
an n+1
x .
n=0 n + 1
Íàéä¼ì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (8.1). Òàê êàê
lim
v
u
u
n |an−1 |
t
n
q
q
1
n+1
= lim |an−1 | lim √
= lim |an | =
n
n
n
q
q
n
= lim( n |an |) n+1 = lim n |an |,
òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (8.1) ñîâïàäàåò c ðàäèóñîì
R ñõîäèìîñòè ðÿäà (7.1).
.
Òåîðåìà 8.5 (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà).
Ïóñòü R(> 0) ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà . Ðÿä
âíóòðè
èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü. Ðÿä, ïîëó÷åííûé
ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è
ðÿä . Åñëè S(x) ñóììà ðÿäà , òî îíà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà
â èíòåðâàëå (−R; R) è
∞
(7.1)
(7.1)
(7.1)
(7.1)
S 0 (x) =
X
nan xn−1 .
(8.2)
n=1
/  ðåçóëüòàòå ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿäà (7.1) ïîëó÷èì ðÿä (8.2),
∞
P
êîòîðûé ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî ñ ðÿäîì
nan xn . Ïóñòü R1 n=1
ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ïîñëåäíåãî ñòåïåííîãî ðÿäà, à çíà÷èò è ðÿäà (8.2). Òàê êàê
q
n
lim n|an | = lim
√
n
q
q
n
n · lim |an | = lim n |an |,
R1 = R. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåì 8.1 è 6.10 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü íà ëþáîì îòðåçêå [a; b] ⊂ (−R; R), ò.å. âíóòðè èíòåðâàëà
ñõîäèìîñòè, ïðè÷¼ì íà [a; b], à çíà÷èò â èíòåðâàëå (−R; R) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (8.2). Ó÷èòûâàÿ ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 8.2 ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèÿ S(x)
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (−R; R).
.
òî
34
Ïóñòü R > 0 ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà
. Ñòåïåííîé ðÿä
âíóòðè åãî èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî ëþáîå ÷èñëî ðàç. Ðÿä, ïîëó÷åííûé n-êðàòíûì ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì èñõîäíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà, èìååò òîò æå ðàäèóñ
ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä . Ñóììà ðÿäà
S(x) ∈ C ∞ (−R; R).
Ñëåäñòâèå 8.5.1.
(7.1)
(7.1)
(7.1)
9
(7.1)
Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Ðÿä Òåéëîðà
Îïðåäåëåíèå 9.1.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ
f
ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â
(x0 − h, x0 + h), ãäå h > 0 è x0 ∈ R, åñëè ñóùåñòâóåò
an (x−x0 )n ñõîäÿùèéñÿ ê ôóíêöèè f íà óêàçàííîì èíòåðâàëå.
ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå
ñòåïåííîé ðÿä
∞
P
n=0
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f ìîãëà áûòü ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå (x0 − h, x0 + h), íåîáõîäèìî, ÷òîáû ýòà ôóíêöèÿ
ïðèíàäëåæàëà êëàññó C ∞(x0 − h, x0 + h).
Òåîðåìà 9.1.
Òåîðåìà 9.1 âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ ê òåîðåìå 8.5.
∞
P
Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ C ∞(Ux ) è f (x) = n=0
an (x − x0 )n ,
∀x ∈ Ux = (x0 − h; x0 + h), ò.å. ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå
(x0 − h, x0 + h), òî
Òåîðåìà 9.2.
0
0
f (n) (x0 )
an =
, n ∈ N0 .
n!
/
Ïóñòü
f (x) =
∞
P
n=0
an (x − x0 )n , ∀x ∈ (x0 − h; x0 + h),
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòîò ðÿä ïî÷ëåííî
k
ðàç,
òîãäà
f (x0 ) = a0 .
k ∈ N, ïîëó÷èì ∀x ∈ (x0 − h; x0 + h)
f (k) (x) = ak k! + ak+1 (k + 1)k · . . . · 2(x − x0 ) + . . . .
Îòñþäà
f (k) (x0 ) = ak k!, ∀k ∈ N.
Ñëåäîâàòåëüíî,
f (k) (x0 )
, k ∈ N0 .
ak =
k!
(9.1)
.
Êîýôôèöèåíòû ñòåïåííîãî ðÿäà, â êîòîðûé ìîæåò
áûòü ðàçëîæåíà ôóíêöèÿ f ∈ C ∞(Ux ), îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé
.
Ñëåäñòâèå 9.2.1.
0
(9.1)
35
Îïðåäåëåíèå 9.2.
Åñëè ôóíêöèÿ
f ∈ C ∞ (Ux0 ),
òî ñòåïåííîé ðÿä
f (n) (x0 )
(x − x0 )n
n!
n=0
∞
X
íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè
ëîðà. Åñëè æå
x0 = 0,
f , à ÷èñëà
(9.2)
f (n) (x0 )
êîýôôèöèåíòàìè Òåén!
òî ðÿä (9.2) íàçûâàþò ðÿäîì Ìàêëîðåíà ôóíêöèè
f.
Èç òåîðåìû 9.2 ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî
∞
P
Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä n=0
an (x − x0 )n èìååò îòëè÷íûé îò
íóëÿ ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Òîãäà ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ñâîåé ñóììû.
∞
P
Çàìå÷àíèå.
f ∈ C ∞ (Ux )
an (x−x0 )n
n=0
Òåîðåìà 9.3.
Åñëè
0
è ñòåïåííîé ðÿä
ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì
f , ò.å. an îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (9.1), òî îí íå îáÿçàòåëüíî
x 6= x0 è èìååò ñâîåé ñóììîé ôóíêöèþ f (x).
Òåéëîðà ôóíêöèè
ñõîäèòñÿ ïðè
Ïðèìåð 9.1.
Ïóñòü


f (x) = 
/
ßñíî, ÷òî
f ∈ C(R)
è äëÿ
x 6= 0
1
e− x2 , x 6= 0,
0, x = 0.
èìååì:
f 0 (x) =
2 − 12
e x ,
x3
4 − 12
6 − 12
x +
e
e x ,
x4
x6
1
24 1
36 1
8
f (3) (x) = 5 e− x2 − 7 e− x2 + 9 e− x2 .
x
x
x
(n)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ïðè x 6= 0 f
(x) åñòü ñóììà êîíå÷1
A − x2
−k − x12
, k ∈ N. Òàê êàê lim x e
= 0, ∀k ∈ N, òî
íîãî ÷èñëà ôóíêöèé âèäà
xk e
f 00 (x) = −
x→0
f (n) (0) = 0, ∀n ∈ N
è ôóíêöèè
ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè
(âñå êîýôôèöèåíòû
an
f
f (n)
â íóëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
n=0
n=0
R = +∞,
S(x) = 0, ∀x ∈ R è
ðàâíû íóëþ). Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà
ò.å. ðÿä ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå
S(x) 6= f (x), ∀x 6= 0.
x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
∞
∞
P
P
ðÿä
an x n =
0 · xn
íåïðåðûâíû â òî÷êå
x ∈ R,
ñóììà åãî
Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ñòåïåííûì ðÿäîì, ïðåäñòàâ-
ëÿþùèì â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ôóíêöèþ
Òåéëîðà ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé
x0 = 0,
f,
ìîæåò áûòü òîëüêî å¼ ðÿä
òî, ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ
ñòàâëÿåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì â îêðåñòíîñòè òî÷êè
36
x = 0.
f
íå ïðåä-
.
Çàìå÷àíèå.
Ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ
äèòñÿ ëèøü â îäíîé òî÷êå
x=0
f ∈ C ∞ (R),
ðÿä Ìàêëîðåíà êîòîðîé ñõî-
(ñì.[6], ïðèìåð 24, ñ.91).
Òåîðåìà 9.4 (êðèòåðèé ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà).
Ïóñòü f ∈ C ∞(x0 − h, x0 + h) è
f (k) (x0 )
(x − x0 )k + rn (x)
k!
k=0
n
X
å¼ ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì rn(x). Äëÿ òîãî
÷òîáû ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f ñõîäèëñÿ íà èíòåðâàëå (x0 −h, x0 +h) ê ôóíêöèè
f, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ∃ n→∞
lim rn (x) = 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h).
Óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.
Òåîðåìà 9.5. (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä
Òåéëîðà).
f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h))
A > 0,
Ïóñòü
B > 0 òàêèå, ÷òî |f (n) (x)| ≤ A · B n ,
è ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå
∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), ∀n ∈ N0 . Òîãäà
f (n) (x0 )
(x − x0 )n ,
f (x) =
n!
n=0
∞
X
/ Òàê
∀n ∈ N0
∀x ∈ (x0 − h, x0 + h).
f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h)), òî äëÿ ëþáîãî x ∈ (x0 − h, x0 + h) è
ôóíêöèþ f (x) ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì
êàê
÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà
f (x) =
f (k) (x0 )
(x − x0 )k + rn (x),
k!
k=0
n
X
ãäå
f (n+1) (θx )
rn (x) =
(x − x0 )n+1 ,
(n + 1)!
θx = x0 + θ(x − x0 ), θ ∈ (0, 1).
 ñèëó óñëîâèé òåîðåìû
A · B n+1 n+1
h ,
|rn (x)| ≤
(n + 1)!
Ïîñêîëüêó ðÿä
∞
P
n=0
n+1
A (Bh)
(n+1)!
ñõîäèòñÿ, òî
lim
n→∞
à çíà÷èò,
lim r (x)
n→∞ n
∀x ∈ (x0 − h, x0 + h).
= 0.
(Bh)n+1
= 0,
(n + 1)!
Òàêèì îáðàçîì âûïîëíåíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå êðè-
òåðèÿ ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà.
37
.
Åñëè f ∈ C ∞((x0 − h, x0 + h)) è ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî A òàêîå, ÷òî ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), ∀n ∈ N0
Ñëåäñòâèå 9.5.1.
|f (n) (x)| ≤ A,
òî ôóíêöèÿ f ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé x0.
Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Ìàêëîðåíà.
Ëåììà 9.1.
xn
,
e =
n=0 n!
x
∞
X
∀x ∈ R.
/ Ôóíêöèÿ f (x) = ex ∈ C ∞ (R), f (n) (x) = ex , ∀n ∈ N.
f (n) (0) = 1, ∀n ∈ N0 , è
∞ xn
X
ex ∼
.
n!
n=0
Ñëåäîâàòåëüíî,
h íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî |f (n) (x)| = |ex | ≤ eh , ∀x ∈ (−h; h)
∞ xn
P
x
ñîãëàñíî òåîðåìå 9.5, e =
n! , ∀x ∈ (−h; h). Ñëåäîâàòåëüíî, ∀x ∈ R
Åñëè
è,
n=0
ex =
Ëåììà 9.2.
/
Ôóíêöèÿ
xn
. .
n=0 n!
∞
X
(−1)n x2n+1
sin x =
,
n=0 (2n + 1)!
∞
X
f (x) = sin x ∈ C ∞ (R), f (n) (x) = sin(x +
òåëüíî,
nπ
2 ),
∀n ∈ N.
Ñëåäîâà-

nπ 
0,
f (n) (0) = sin
=
(−1)k ,
2
Êðîìå òîãî,
∀x ∈ R.
|f (n) (x)| ≤ 1, ∀x ∈ R.
åñëè
åñëè
n = 2k
, k ∈ N0 .
n = 2k + 1
f (x) = sin x
(−h; h), h > 0. Ñëåäîâà-
Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.5 ôóíêöèÿ
ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà íà ëþáîì ïðîìåæóòêå
òåëüíî,
(−1)n x2n+1
sin x =
,
n=0 (2n + 1)!
∞
X
Çàìå÷àíèå.
∀x ∈ R.
.
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
(−1)n x2n
, x ∈ R.
cos x =
(2n)!
n=0
∞
X
α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn
Ëåììà 9.3. (1 + x) = 1 +
,
n!
n=1
∀x ∈ (−1; 1).
α
∞
X
38
∀α ∈ R \ 0,
/
Åñëè
f (x) = (1 + x)α , α ∈ R \ {0},
òî
D(f ) = (−1; +∞), f ∈ C ∞ (D(f ))
è
f (n) (x) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)(1 + x)α−n ,
Ïîýòîìó ôóíêöèè
f
∀n ∈ N.
ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèé ðÿä Ìàêëîðåíà
α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn
.
1+
n!
n=1
∞
X
Ýòîò ðÿä îáû÷íî íàçûâàþò áèíîìèàëüíûì. Çàìåòèì, ÷òî åñëè
x , k ∈ N, ðàâíû íóëþ.
rn (x) ôîðìóëû Òåéëîðà ôóíêöèè f.
ìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïðè
Èçó÷èì îñòàòî÷íûé ÷ëåí
α ∈ N,
òî áèíî-
α+k
Îñòàòî÷íûé
÷ëåí â ôîðìå Êîøè èìååò âèä:
rn (x) = f (n+1) (θx)
(1 − θ)n n+1
x ,
n!
∀x ∈ (−1; 1),
ãäå
θ ∈ (0; 1).
Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå
ãäå
α(α − 1) . . . (α − n)(1 + θx)α−n−1
(1 − θ)n xn+1 ,
rn (x) =
n!
θ ∈ (0; 1). Ïîëîæèì
α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n) n
x ,
n!
γ2,n (x) = αx(1 + θx)α−1 ,
!
1−θ n
γ3,n (x) =
.
1 + θx
γ1,n (x) =
Òîãäà
rn (x) = γ1,n (x) · γ2,n (x) · γ3,n (x).
∞
X
|γ1,n (x)| =
n=1
Ðÿä
∞
X
|α − 1| . . . |α − n|
· |xn |,
n!
n=1
(−1; 1) ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà, ïîýòîìó
lim γ (x) = 0, ∀x ∈ (−1; 1).
n→∞ 1,n
Äàëåå, òàê êàê 1 − |x| < 1 + θx < 1 + |x|, ∀x ∈ (−1; 1), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{γ2,n (x)} îãðàíè÷åíà íà èíòåðâàëå (−1; 1). Íàêîíåö, ∀x ∈ (−1; 1)
ñõîäèòñÿ
íà
èíòåðâàëå
|γ3,n (x)| =
Ñëåäîâàòåëüíî,
lim r (x)
n→∞ n
1 − θ n
1 + θx ≤
= 0, ∀x ∈ (−1; 1),
1−θ
< 1.
1 − θ|x|
è äëÿ ëþáîãî
x ∈ (−1; 1)
ëèâî ðàâåíñòâî
α
(1 + x) = 1 +
∞
X
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
·x . .
n!
n=1
39
ñïðàâåä-
(1 + x)−1 =
Ñëåäñòâèå 9.5.2.
∞
X
(−1)n xn ,
∀x ∈ (−1; 1).
n=0
Ëåììà 9.4.
/
(−1)n xn
,
ln(1 + x) =
n
n=1
∞
X
∀x ∈ (−1; 1].
f (x) = ln(1 + x) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà
1
f (x) = 1+x
. Ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ ëåììû 9.3
Ôóíêöèÿ
ïðè÷¼ì
íà
(−1; +∞),
0
∞
X
f 0 (x) =
(−1)n xn ,
∀x ∈ (−1; 1).
n=0
Ïðîèíòåãðèðóåì òîæäåñòâî íà îòðåçêå
Zx
0
[0; x],
åñëè
(−1)n xn+1
,
f (x)dx =
n+1
n=0
∞
X
0
Ïîñêîëüêó
Zx
x ∈ (−1; 1),
ïîëó÷èì
x ∈ (−1; 1).
f 0 (x)dx = ln(1 + x),
0
òî
(−1)k−1 xk
ln(1 + x) =
,
k
k=1
∞
X
∀x ∈ (−1; 1).
x = 1, òî åãî ñóììà S(x)
S(1) = lim S(x). Íî ôóíêöèÿ ln(1 + x)
Òàê êàê ïîñëåäíèé ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ â òî÷êå
íåïðåðûâíà â òî÷êå
íåïðåðûâíà â òî÷êå
x = 1 ñëåâà, ò.
x = 1, ïîýòîìó
å.
1−0
S(1) = lim S(x) = lim ln(1 + x) = ln 2,
x→1−0
è
x→1−0
(−1)k−1 xk
,
ln(1 + x) =
k
k=1
∞
X
 ÷àñòíîñòè,
ln 2 =
∀x ∈ (−1; 1].
∞ (−1)k−1
P
.
k
k=1
.
(2n − 1)!! x2n+1
Ëåììà 9.5. arcsin x = x +
,
(2n)!! 2n + 1
k=1
∞
X
/
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ
f (x) = arcsin x
(arcsin x)0 = √
∀x ∈ [−1; 1].
äèôôåðåíöèðóåìà íà
(−1; 1)
1
.
1 − x2
 ñèëó ëåììû 9.3
(arcsin x)0 = √
∞ (2n − 1)!!
X
1
=
1
+
x2n ,
n n!
2
2
1−x
k=1
40
∀x ∈ (−1; 1).
è
Èíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî íà îòðåçêå
[0; x], x ∈ (−1; 1),
(2n − 1)!! x2n+1
,
arcsin x = x +
(2n)!! 2n + 1
k=1
∞
X
 òî÷êå
x=1
èìååì:
∀x ∈ (−1; 1).
ïîëó÷åííûé ðÿä èìååò âèä
∞
X
(2n − 1)!! 1
.
(2n)!! 2n + 1
k=1
Îí ñõîäèòñÿ â ñèëó ïðèçíàêà Ðààáå
!
!
an
6 3
6n + 5
Rn = n
−→ = > 1 .
−1 =n 2
an+1
4n + 2n + 1
4 2
ßñíî, ÷òî îí ñõîäèòñÿ è â òî÷êå
x = −1,
ò.å. ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå
S(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [−1; 1].
arcsin x íà îòðåçêå [−1; 1], ïîëó÷èì, ÷òî
ýòîìó åãî ñóììà
ôóíêöèè
(2n − 1)!! x2n+1
arcsin x = x +
,
2n!! 2n + 1
n=1
∞
X
[−1; 1].
Ïî-
Ó÷èòûâàÿ íåïðåðûâíîñòü
∀x ∈ [−1; 1]. .
∞ (2n − 1)!!
X
1
π
= arcsin 1 = 1 +
.
2
(2n)!! 2n + 1
n=1
Ñëåäñòâèå 9.5.3.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Èëüèí Â.À., Ñàäîâíè÷èé Â.À., Ñåíäîâ Áë.Õ.
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç.
Ì.: Íàóêà, 1979.
[2] Êóäðÿâöåâ Ë.Ä.
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ò. 2.
Ì.: Âûñøàÿ øêîëà,
1973.
[3] ÒåðÊðèêîðîâ À.Ì., Øàáóíèí Ì.È.
Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Ì.: Èçä-âî ÌÔÒÈ, 2000.
[4] Àðõèïîâ Ã.È., Ñàäîâíè÷èé Â.À., ×óáàðèêîâ Â.Í.
÷åñêîìó àíàëèçó.
[5] Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì.
ò. II.
Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè-
Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2000.
Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ,
Ì.: Íàóêà, 1966.
[6] Ãåëáàóì Á., Îëìñòåä Äæ.
Êîíòðïðèìåðû â àíàëèçå.
41
Ì.: Ìèð, 1967.
Ñîäåðæàíèå
1
2
3
Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
3
Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìèñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè
7
Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
8
4
Ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
5
Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
12
6
Ñâîéñòâà ïðåäåëüíîé ôóíêöèè è ñóììû ðÿäà
17
7
Ñòåïåííîé ðÿä
29
8
Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñòåïåííîãî ðÿäà
33
9
Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Ðÿä Òåéëîðà
35
42
11