8. Современная математика, восходящая к Эйлеру В статье

12 èþíÿ 2007 ãîäà âûäàþùåìóñÿ ìàòåìàòèêó ñîâðåìåííîñòè àêàäåìèêó
Âëàäèìèðó Èãîðåâè÷ó Àðíîëüäó èñïîëíèëîñü 70 ëåò.
Íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò Â.È.Àðíîëüä ÿâëÿåòñÿ ÷ëåíîì ðåäàêöèîííîãî ñîâåòà æóðíàëà «Êâàíò».
Îí íàïèñàë äëÿ íàøåãî æóðíàëà ìíîãî ÿðêèõ, èíòåðåñíûõ ñòàòåé.
Ìû æåëàåì Âëàäèìèðó Èãîðåâè÷ó êðåïêîãî çäîðîâüÿ
è íîâûõ äîñòèæåíèé âî èìÿ íàóêè.
Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà,
âîñõîäÿùàÿ ê Ýéëåðó
Â.ÀÐÍÎËÜÄ
§1. Äçåòà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà
è ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà
Äðîáè áûâàþò ñîêðàòèìûå è íåñîêðàòèìûå. Ñîïîñòàâèì äðîáè p/q òî÷êó r íà ïëîñêîñòè ñ äåêàðòîâûìè
êîîðäèíàòàìè ( p, q) . Åñëè äðîáü ñîêðàòèìà, òî ýòà
öåëàÿ òî÷êà äåëèìà: íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì r ñ
íà÷àëîì êîîðäèíàò, åñòü è äðóãèå öåëûå òî÷êè.
Íàðèñóåì âñå íåäåëèìûå öåëûå òî÷êè â êðóãå
p2 + q2 £ 52 (ðèñ.1; íà÷àëî êîîðäèíàò áóäåì ñ÷èòàòü
äåëèìîé òî÷êîé, òàê êàê
íîëü äåëèòñÿ íàöåëî íà
÷òî óãîäíî). Íåäåëèìûõ
òî÷åê â ýòîì êðóãå 48, à
âñåãî â íåì 81 öåëàÿ òî÷êà. Íåäåëèìûå òî÷êè ñîñòàâëÿþò 48 81 » 59% îò
÷èñëà âñåõ öåëûõ òî÷åê â
ýòîì êðóãå.
Ýéëåð çàäàë ñåáå âîïðîñ: à ÷òî áóäåò, åñëè
óâåëè÷èâàòü ðàäèóñ êðóÐèñ.1. Íåäåëèìûå öåëûå òî÷êè â
ãà? Áóäåò ëè äîëÿ íåäåêðóãå ðàäèóñà 5
ëèìûõ öåëûõ òî÷åê ñòðåìèòüñÿ ïðè ýòîì ê êàêîìó-íèáóäü ïðåäåëó, è ê êàêîìó
èìåííî?
Îí ðåøèë ýòîò âîïðîñ, äîêàçàâ ñëåäóþùåå:
Òåîðåìà Ýéëåðà 1. Äîëÿ íåäåëèìûõ öåëûõ òî÷åê
ñðåäè âñåõ öåëûõ òî÷åê êðóãà p2 + q2 £ R2 ñòðåìèòñÿ
ïðè R ® ¥ ê ïðåäåëó, êîòîðûé ðàâåí
6
(1)
» 0,608 K
π2
Ýòîò ïðåäåë Ýéëåð âûðàçèë åùå îäíîé çàìå÷àòåëüíîé ôîðìóëîé:
π2
1 1 1
= 1+ + +
+K
(2)
6
4 9 16
Çàìåòüòå, ÷òî π2 6 » 1,64 , òàê ÷òî ñóììà ïåðâûõ äâóõ
÷ëåíîâ (1,25) åùå äàëåêà îò ñóììû ýòîãî íå òàê óæ
áûñòðî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà.
Îïðåäåëåíèå. Ñóììà ðÿäà (ñõîäÿùåãîñÿ ïðè s > 1)
1
1
1
+ s + s + K = ζ ( s)
(3)
s
1
2
3
íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì â òî÷êå s äçåòà-ôóíêöèè ζ .
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ýéëåðà âûðàæàåò ïðåäåëüíóþ äîëþ íåäåëèìûõ öåëûõ òî÷åê ïëîñêîñòè Å2
(íàçûâàåìóþ òàêæå «âåðîÿòíîñòüþ íåñîêðàòèìîñòè
äðîáè p q ») ôîðìóëîé
1
2
(4) (âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè âåêòîðà H Î Å ) =
.
ζ 2
Åãî äîêàçàòåëüñòâî äîñòàâëÿåò òàêæå è àíàëîãè÷íûé
ðåçóëüòàò î öåëûõ òî÷êàõ s-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà Å s :
1
(5) (âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè âåêòîðà H Î Å s ) =
.
ζ s
Íàïðèìåð, ýòà âåðîÿòíîñòü óáûâàåò ïðè ðîñòå ðàçìåðíîñòè s.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåííûé âûøå òåîðåìû Ýéëåðà
(è ôîðìóë (2), (4), (5)) ñîäåðæèò ðÿä çàìå÷àòåëüíûõ
èäåé Ýéëåðà, êîòîðûå ïðèâåëè ê ñîçäàíèþ öåëûõ
îáëàñòåé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè – âåðîÿòíîñòíîé
òåîðèè ÷èñåë, òåîðèè ãðàäóèðîâàííûõ àëãåáð ñ èõ
ðÿäàìè Ïóàíêàðå, «ãåîìåòðèè ÷èñåë» è ò.ä.
Íî Ýéëåð íà÷èíàë ñ ñîâåðøåííî ïîíÿòíûõ è ýëåìåíòàðíûõ ðàññóæäåíèé, êîòîðûå ÿ ñåé÷àñ è îïèøó.
Ëåììà 1. Öåëî÷èñëåííûé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ äåëèìûì, åñëè è òîëüêî åñëè ñóùåñòâóåò ïðîñòîå ÷èñëî ð,
íà êîòîðîå äåëèòñÿ êàæäàÿ åãî êîìïîíåíòà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåëèìîñòü íà ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé âûçûâàåò äåëèìîñòü íà êàæäûé èç
íèõ. Ïîýòîìó ëåììà 1 âûòåêàåò èç ðàçëîæèìîñòè
êàæäîãî (áîëüøåãî 1) öåëîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè.
Ëåììà 2. Âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî
âåêòîðà H Î Å2 íà 2 ðàâíà 1/4.
ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÀß
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äåëèìîñòè âåêòîðà ñ êîìïîíåíòàìè u è v íà 2 íåîáõîäèìà è äîñòàòî÷íà äåëèìîñòü íà 2 êàê öåëîãî ÷èñëà u, òàê è öåëîãî ÷èñëà v.
Êàæäîå èç ýòèõ ñîáûòèé èìååò âåðîÿòíîñòü 1/2, è
îíè íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó äåëÿùèåñÿ íà 2 öåëî÷èñëåííûå âåêòîðû ñîñòàâëÿþò 25% âñåõ öåëî÷èñëåííûõ
âåêòîðîâ ïëîñêîñòè.
Ëåììà 3. Âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî
âåêòîðà H Î Å s íà ð ðàâíà 1 p s .
Äîêàçàòåëüñòâî. Âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè öåëîãî ÷èñëà u íà ð ðàâíà 1/ð (òàê êàê àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ ðàçíîñòüþ ð ñîñòàâëÿåò ïðè áîëüøîì R ïî÷òè
(1/ð)-þ ÷àñòü îòðåçêà u £ R ). Òàê êàê s êîìïîíåíò
( u1,K, us ) âåêòîðà H íåçàâèñèìû, âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè âåêòîðà íà ð ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé
s
äåëèìîñòè íà ð âñåõ s åãî êîìïîíåíò, ò.å. ðàâíà (1 p) .
Ëåììà 4. Âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè âåêòîðà H Î Å s
1
íà ð ðàâíà 1 - s .
p
Äîêàçàòåëüñòâî. Âåêòîð H ëèáî äåëèòñÿ íà ð, ëèáî íå
äåëèòñÿ. Çíàÿ âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè èç ëåììû 3,
ïîëó÷àåì äëÿ íåäåëèìîñòè äîïîëíÿþùóþ äî 1 âåðîÿòíîñòü.
Ëåììà 5. Äåëèìîñòè íà ðàçíûå ïðîñòûå ÷èñëà –
ñîáûòèÿ íåçàâèñèìûå.
Íàïðèìåð, äîëÿ äåëÿùèõñÿ íà 3 öåëûõ ÷èñåë ñðåäè
âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë òàêàÿ æå, êàê è ñðåäè âñåõ öåëûõ
÷èñåë (èëè ñðåäè âñåõ íå÷åòíûõ ÷èñåë), – îíà ñîñòàâëÿåò 1/3. Ýòî âèäíî èç òîãî, ÷òî ñðåäè p2 îñòàòêîâ
(1p1 ) K ( p2 p1 ) îò äåëåíèÿ íà ïðîñòîå ÷èñëî p2 âñòðå÷àþòñÿ ïî ðàçó âñå îñòàòêè ( 1,K, p2 ) (êàêîâî áû íè áûëî
ïðîñòîå ÷èñëî p1 ). Èáî, åñëè áû ÷èñëà ip1 è jp1 (ãäå
1 £ i < j £ p2 ) äàâàëè ïðè äåëåíèè íà p2 îäèíàêîâûå
îñòàòêè, òî ðàçíîñòü ( j - i) p1 äåëèëàñü áû íà p2 , ÷òî
ïðè 0 < j - i < p2 íåâîçìîæíî.
Ëåììà 6. Âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî âåêòîðà H Î Å s ( s > 1) íà ïðîñòûå ÷èñëà 2, 3, …
..., ð ðàâíà
1öæ
1ö æ
1ö
æ
çè1 - s ÷ø çè1 - s ÷ø K ç1 - s ÷ .
2
3
p ø
è
Äîêàçàòåëüñòâî. Âåðîÿòíîñòü îäíîâðåìåííîãî íàñòóïëåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
âåðîÿòíîñòåé íàñòóïëåíèÿ êàæäîãî èç íèõ. Ïîýòîìó
ëåììà 6 âûòåêàåò èç ëåìì 4 è 5.
Ëåììà 7. Âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî âåêòîðà H Î Å s (s > 1) íè íà êàêîå öåëîå ÷èñëî
ðàâíà áåñêîíå÷íîìó ïðîèçâåäåíèþ ïî âñåì ïðîñòûì
÷èñëàì ð
éæ
æ
1ö
1 öæ
1ö æ
1 öù
(6) Õ ç1 - s ÷ : = lim ê ç1 - s ÷ ç1 - s ÷ K ç1 - s ÷ ú .
è
ø
p ®¥ ê
p ø
2 è
3 ø è
p ø úû
p è
ë
Ýòî – ïðÿìîå ñëåäñòâèå ëåìì 1 è 6, íóæíî òîëüêî
ïðîâåðèòü, ÷òî óêàçàííûé â ôîðìóëå (6) ïðåäåë ñóùåñòâóåò (ïðè s > 1). Ýòà ñõîäèìîñòü ëåãêî âûâîäèòñÿ èç
ñõîäèìîñòè ïðè n > 1 ðÿäà
1
1s
+
1
2s
+
1
3s
+
1
4s
+K
ÂÎÑÕÎÄßÙÀß
Ê
¥
!
ÝÉËÅÐÓ
1
).
-1
s
1
Äåòàëè äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 7 ÿ îñòàâëÿþ ÷èòàòåëþ.
Ïðèâåäåííûå ëåììû Ýéëåðà äîñòàâëÿþò äëÿ âåðîÿòíîñòè íåñîêðàòèìîñòè âûðàæåíèå (6). Ýéëåð ñóìåë
ïîëó÷èòü äëÿ íåãî è ôîðìóëû (1), (2), (4), (5). Ýòîò
âûâîä îñíîâàí íà ñîâåðøåííî äðóãèõ èäåÿõ Ýéëåðà
(êîòîðûå âêëþ÷åíû â ñîâðåìåííóþ ìàòåìàòèêó ïîä
íàçâàíèåì «òåîðèè ðÿäîâ Ïóàíêàðå ãðàäóèðîâàííûõ
àëãåáð»).
Íà÷íåì ñî ñëåäóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ çàìå÷àíèé,
ïîìåùåííûõ Ýéëåðîì â åãî çàìå÷àòåëüíîì ó÷åáíèêå
«Ââåäåíèå â àíàëèç» (ñîäåðæàùåì åñòåñòâåííî ïðåäøåñòâóþùèå àíàëèçó ïîëîæåíèÿ, êîòîðûå, ê ñîæàëåíèþ, â ñîâðåìåííûõ èçëîæåíèÿõ àíàëèçà îáû÷íî îòñóòñòâóþò).
m m
Ñòåïåíüþ îäíî÷ëåíà x1 1 x2 2 K xsms îò s ïåðåìåííûõ
( x1,K, xs ) íàçûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî m = m1 + K + ms .
Íàïðèìåð, ïðè s = 2 èìååòñÿ 4 îäíî÷ëåíà ñòåïåíè 3
(ñ êîýôôèöèåíòîì åäèíèöà):
(èëè äàæå èíòåãðàëà
dx
ò xs
=
{x , x y, xy , y }
3
2
2
3
(åñëè îáîçíà÷àòü x1 ÷åðåç õ è x2 ÷åðåç ó).
Ýéëåð ïîñòàâèë âîïðîñ: ñêîëüêî ñóùåñòâóåò îäíî÷ëåíîâ (ñ êîýôôèöèåíòîì åäèíèöà) ñòåïåíè m îò s
ïåðåìåííûõ?
Ýòà çàäà÷à ýëåìåíòàðíîé êîìáèíàòîðèêè äîïóñêàåò
ïðîñòîå êîìáèíàòîðíîå ðåøåíèå, íî Ýéëåð ïðèäóìàë
åùå è äðóãîå ðàññóæäåíèå, äîñòàâëÿþùåå ãîðàçäî
áîëüøå ñëåäñòâèé.
(
)
Íà÷íåì ñ îäíî÷ëåíîâ 1, x, x2 , x 3 , K îò îäíîé ïåðåìåííîé õ.  ýòîì ñëó÷àå èìååòñÿ ðîâíî îäèí (ñ÷èòàÿ
êîýôôèöèåíò îäíî÷ëåíà ðàâíûì 1) îäíî÷ëåí ëþáîé
ñòåïåíè m = 0, 1, 2, … ×òîáû çàïèñàòü îòâåò: «÷èñëî
(êàêèõ-ëèáî îáúåêòîâ, çàâèñÿùèõ îò íàòóðàëüíîãî
÷èñëà m) ðîâíî pm », Ýéëåð èñïîëüçóåò «ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ» (ñåãîäíÿ íàçûâàåìóþ «ðÿäîì Ïóàíêàðå», ïî ñëåäîâàâøåìó çà Ýéëåðîì âåëèêîìó ôðàíöóçñêîìó ìàòåìàòèêó):
(7)
P (t ) = p0 + p1t + p2t2 + K
 ýòèõ òåðìèíàõ ïðåäûäóùèé îòâåò íà âîïðîñ î ÷èñëå
îäíî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé çàïèñûâàåòñÿ òàê:
Ïðåäëîæåíèå 1. Ðÿä Ïóàíêàðå ãðàäóèðîâàííîé
ñòåïåíüþ àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé
åñòü ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ
(8)
P t = 1 + t + t2 + K =
1
.
1-t
×òîáû âûâåñòè îòñþäà ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà ìíîãî÷ëåíîâ îò äâóõ ïåðåìåííûõ, Ýéëåð ïðåäëîæèë ïåðåìíîæèòü äâà ðÿäà âèäà (8):
(
)(
)
2
2
(9) P ( x ) P ( y) = 1 + x + x + K 1 + y + y + K =
(
)
2
= 1 + ( x + y) + x + xy + y + K
2
 ñòîÿùåì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9) ðÿäó êàæäûé
"
ÊÂÀÍT 2007/¹5
îäíî÷ëåí (ñ êîýôôèöèåíòîì 1) îò ïåðåìåííûõ õ è ó
âñòðå÷àåòñÿ ðîâíî îäíàæäû. Ïîýòîìó, åñëè çàìåíèòü
àðãóìåíòû õ è ó íà t, â ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷èòñÿ ðÿä, â
êîòîðîì êîýôôèöèåíò ïðè t m áóäåò ðàâåí ÷èñëó Pn
îäíî÷ëåíîâ ñòåïåíè m (ñ ðàâíûìè 1 êîýôôèöèåíòàìè)
îò ïåðåìåííûõ õ è ó.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì èç ôîðìóë (8) è (9) äëÿ
ðÿäà Ïóàíêàðå ãðàäóèðîâàííîé ñòåïåíüþ àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâ îò äâóõ ïåðåìåííûõ
2
P0 + Pt
1 + P2t + K
1
(1 - t)2
P t =
s
.
1 - t ßâíîå âûðàæåíèå äëÿ ÷èñåë Pm (â âèäå ÷èñåë ñî÷åòàíèé) ïîëó÷àåòñÿ îòñþäà ïî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà (ñ ïîêàçàòåëåì –n).
Âäîõíîâëÿÿñü ýòèìè ðåçóëüòàòàìè àáñòðàêòíîé àëãåáðû, Ýéëåð ïðåîáðàçîâàë äîêàçàííóþ èì ôîðìóëó
(6) (ëåììû 7)) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàìåíèì ìíîæèæ
1ö
òåëü ç 1 - s ÷ íà îáðàòíûé ìíîæèòåëü
p ø
è
æ
1ö
ç1 - s ÷
p ø
è
-1
= 1+
1
p
s
+
1
p
2s
+
1
p3 s
+K
Ïðè (ôîðìàëüíîì) ïåðåìíîæåíèè òàêèõ ðÿäîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì ïðîñòûì ÷èñëàì ð, ìû ïîëó÷èì ðÿä,
îáùèé ÷ëåí êîòîðîãî èìååò âèä
1
1
1
1
×
×
× K = s , ãäå n = 2a2 × 3a3 × 5a5 × K
n
2a2 s 3a3 s 5a5 s
Òåì ñàìûì äîêàçàíà (äëÿ ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ, ïî
ïðîâåðêå ñõîäèìîñòè ïðè s > 1 íåñëîæíàÿ) çàìå÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà Ýéëåðà äëÿ ζ -ôóíêöèè:
Òåîðåìà Ýéëåðà 2. Ñëåäóþùåå ïðîèçâåäåíèå ïî
ïðîñòûì ð ðàâíî (ïðè s > 1) ñëåäóþùåé ñóììå ïî
íàòóðàëüíûì n
1
=å s
:= ζ s .
1
p³2 1 n ³1 n
ps
Òàê Ýéëåð ïîëó÷èë ôîðìóëû (4) è (5).
Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ζ -ôóíêöèè ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà s íå ïðîñòî, íî çíà÷åíèå
ζ (2) = π2 6 Ýéëåð óìåë ïîëó÷àòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè.
«Ïèëà» f çàäàåòñÿ êàê
2π - ï å ð è î ä è ÷ å ñ ê à ÿ
ôóíêöèÿ àðãóìåíòà t,
π
ðàâíàÿ t ïðè
2
t £ π (ðèñ.2). Èùåì
Ðèñ.2. «Ïèëà» f
Õ
1
¥
å ak cos (kt) ,
k =1
ïðè ÷åòíûõ k ïîëó÷àåì ak = 0 , à ïðè íå÷åòíûõ –
æ 4ö 1
ak = ç - ÷ 2 . Âû÷èñëÿÿ f (0) ïðè ïîìîùè (ñõîäÿùåè πø k
ãîñÿ) ðÿäà Ôóðüå, ìû íàõîäèì
π
4 ¥
1
= f 0 = - å
,
2
π m = 0 2m + 12
òàê ÷òî ñóììà îáðàòíûõ êâàäðàòîâ íå÷åòíûõ ÷èñåë åñòü
.
Ñîâåðøåííî òàê æå Ýéëåð äîêàçàë ñëåäóùåå:
Ïðåäëîæåíèå 2. Ðÿä Ïóàíêàðå ãðàäóèðîâàííîé
ñòåïåíüþ àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâ îò s ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé
1
f (t ) =
-
âûðàæåíèå
P (t ) =
ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå
¥
A=
å
m =0
1
(2m + 1)
2
=
π2
.
8
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå  äëÿ
ζ (2) =
¥
å
1
m =0
(2m + 1)
2
+
¥
1
m =1
(2m)2
å
,
π2
4
ìû ïîëó÷àåì B = A + B/4, îòêóäà ζ (2) = B = A =
,
3
6
÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó Ýéëåðà 2.
Çàìå÷àíèå: î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè
íåäåëèìûõ òî÷åê
ß ïðåäïîëàãàþ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå íåäåëèìûõ öåëûõ
òî÷åê íà ïëîñêîñòè îáëàäàåò íåêîòîðîé àñèìïòîòè÷åñêîé ðàâíîìåðíîñòüþ (ðåçêî îòëè÷àþùåé åãî îò, íàïðèìåð, íàáîðà öåëûõ òî÷åê ïîëóïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåãî ïîëîâèíó ìíîæåñòâà âñåõ öåëûõ òî÷åê ïëîñêîñòè, íî
ðàñïðåäåëåííóþ íåðàâíîìåðíî).
×òîáû îïðåäåëèòü ýòó ðàâíîìåðíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, íà÷íåì, íàïðèìåð, ñ (ëþáîé) ãëàäêîé ôóíêöèè
h : Å2 ® Å , ðàâíîé íóëþ âñþäó âíå íåêîòîðîãî êðóãà.
Ðàñòÿãèâàÿ ôóíêöèþ h â K ðàç, îïðåäåëèì íîâóþ
ôóíêöèþ H : Å2 ® Å ñîîòíîøåíèåì H H0 + H =
= h H K äëÿ âñÿêîãî H Î Å2 (ãäå H0 – íåêîòîðûé
ôèêñèðîâàííûé âåêòîð). Ñðàâíèì òåïåðü ñóììó çíà÷åíèé ðàñòÿíóòîé ôóíêöèè Í âî âñåõ öåëûõ òî÷êàõ
ïëîñêîñòè, îáîçíà÷èì ýòó ñóììó ÷åðåç SH, è ñóììó
çíà÷åíèé òîé æå ðàñòÿíóòîé ôóíêöèè Í âî âñåõ íåäåëèìûõ öåëûõ òî÷êàõ ïëîñêîñòè, îáîçíà÷èì ýòó ñóììó
÷åðåç ΣH .
Ñâîéñòâî ðàâíîìåðíîé ðàñïðåäåëåííîñòè ñîñòîèò â
òîì, ÷òî ïðè áîëüøèõ K âòîðàÿ ñóììà ñîñòàâëÿåò
ïðèáëèçèòåëüíî òàêóþ äîëþ ïåðâîé, êàêóþ äîëþ ñîñòàâëÿþò èçó÷àåìûå (íåäåëèìûå) òî÷êè ñðåäè âñåõ
öåëûõ òî÷åê, λ = 6 π2 = 1 ζ 2 :
ΣH
=λ
SH
(ïðè ëþáîì âåêòîðå H0 , ñäâèãàâøåì ôóíêöèþ Í).
Åñëè áû ñóììèðîâàíèå â Σ ïðîèñõîäèëî íå ïî
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûì íà ïëîñêîñòè íåäåëèìûì
òî÷êàì, à, íàïðèìåð, ïî öåëûì òî÷êàì ïîëóïëîñêîñòè,
òî ôóíêöèè h è Í ìîãëè áû áûòü òîæäåñòâåííî
ðàâíûìè 0 â ýòîé ïîëóïëîñêîñòè. Òîãäà ( ΣH ) ( SH ) = 0 ,
lim
K ®¥
ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÀß
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ.
õîòÿ öåëûå òî÷êè ïîëóïëîñêîñòè ñîñòàâëÿþò äîëþ
λ = 1 2 îò âñåõ öåëûõ òî÷åê ïëîñêîñòè, òàê ÷òî öåëûå
òî÷êè ïîëóïëîñêîñòè ðàñïðåäåëåíû ñðåäè âñåõ öåëûõ
òî÷åê ïëîñêîñòè íåðàâíîìåðíî.
Òðàäèöèÿ ïðèïèñûâàåò èçîáðåòåíèå äçåòà-ôóíêöèè
Ðèìàíó, æèâøåìó íà ñîòíþ ëåò ïîçæå îïèñàííîé âûøå
ðàáîòû Ýéëåðà. Ôóðüå òîæå æèë ìíîãî ïîçæå Ýéëåðà
(íî åãî ðÿäû èñïîëüçîâàëèñü çàäîëãî äî íåãî è Ýéëåðîì, è Ëàãðàíæåì, è äàæå Íüþòîíîì). Íüþòîí ñ÷èòàë
èçîáðåòåíèå ìåòîäà «ïàðàëëåëîãðàììà Íüþòîíà» (äîñòàâëÿþùåãî ñâîåîáðàçíûé âàðèàíò òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ðÿäîâ Ëîðàíà è ðÿäîâ Ïþèçî) ñâîèì
ñàìûì âàæíûì âêëàäîì â ìàòåìàòèêó, ïîçâîëÿþùèì
ðåøàòü âñåâîçìîæíûå óðàâíåíèÿ: àëãåáðàè÷åñêèå è
ôóíêöèîíàëüíûå, äèôôåðåíöèàëüíûå è èíòåãðàëüíûå,
îáûêíîâåííûå è â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.
 ñîâðåìåííîì óíèâåðñèòåòñêîì îáðàçîâàíèè âñå ýòè
âàæíåéøèå òåîðèè îáû÷íî íå óïîìèíàþòñÿ, è äàæå
ðàáîòà Ýéëåðà î äçåòà-ôóíêöèè íåçàñëóæåííî çàáûòà.
Ñäåëàííûé Ýéëåðîì ïîäñ÷åò âåðîÿòíîñòè íåñîêðàòèìîñòè äðîáåé äîñòàâëÿåò òàêæå àñèìïòîòèêó çàìå÷àòåëüíîé ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà n:
Îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèå ϕ ( n) òàê: îíî ðàâíî ÷èñëó òåõ
èç îñòàòêîâ {1, 2, …, n} îò äåëåíèÿ íà n, êàæäûé èç
êîòîðûõ âçàèìíî ïðîñò ñ n (òàê ÷òî åãî íàèáîëüøèé
îáùèé äåëèòåëü ñ n ðàâåí 1).
Ïðèìåð. ×åòûðå âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n = 12 îñòàòêà îò
äåëåíèÿ íà 12 – ýòî {1, 5, 7, 11}. Äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëà,
n = p, èìååì, î÷åâèäíî,
ϕ ( p) = p - 1 .
ÂÎÑÕÎÄßÙÀß
Ê
#
ÝÉËÅÐÓ
åñòü
n
ϕ
6
1
= 2 =
» 0,608 K
n ®¥ n
ζ 2
π
Ýòîò ðåçóëüòàò âûòåêàåò èç äîêàçàííîé âûøå òåîðåìû Ýéëåðà 1, ïîòîìó ÷òî âçàèìíàÿ ïðîñòîòà îñòàòêà à
ñ ÷èñëîì n ýêâèâàëåíòíà íåäåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî
âåêòîðà (n, a).
Ôóíêöèÿ Ýéëåðà ϕ åñòåñòâåííî âîçíèêëà ó íåãî ïðè
ïîïûòêå îáîáùåíèÿ ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà. Ýòà òåîðåìà Ôåðìà ñîñòîèò â ñðàâíåíèè ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî
÷èñëà ð
c = lim
a p -1 º 1 ( p)
äëÿ ëþáîãî âçàèìíî ïðîñòîãî ñ ð ÷èñëà à. Îíà îçíà÷àåò
ïåðèîäè÷íîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè a, a2 , a3 ,K íà ð
(ñ ïåðèîäîì Ò = ð – 1).
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷ëåíîâ
ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 2t : t = 1,2,K íà ð = 13:
{
}
{2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1}.
Äâåíàäöàòûé ÷ëåí ïðîãðåññèè ðàâåí 1, ïîýòîìó òðèíàäöàòûé ðàâåí ïåðâîìó è ò.ä. (ïåðèîä Ò = 12).
Ýéëåð ïîñòàâèë ñåáå âîïðîñ: à êàê âåäåò ñåáÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ èç îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, óæå íå ÿâëÿþùååñÿ ïðîñòûì?
Òåîðåìà Ýéëåðà 4. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îñòàòêîâ
îò äåëåíèÿ íà n ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
{a, a , a ,K} , çíàìåíàòåëü êîòîðîé âçàèìíî ïðîñò ñ
2
3
n, ïåðèîäè÷íà, è åå ïåðèîä Ò ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì
öåëîãî ÷èñëà ϕ ( n) :
a ϕ n º 1 n , ϕ ( n) = T ( n ) N ( n) .
Äëÿ êâàäðàòà ïðîñòîãî ÷èñëà, n = p2 , íå âçàèìíî
ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ èìååòñÿ ð, ïîýòîìó
Ïðèìåð. Îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé
ïðîãðåññèè 2t : t = 1,2,K íà n = 15
ϕ p2 = p2 - p = ( p - 1) p .
{2, 4, 8, 1}, {2, 4, 8, 1}, …
( )
Òî÷íî òàê æå, äëÿ n = pa ïîëó÷àåì
( ) = ( p - 1) p
ϕ p
a
a -1
(èç-çà pa -1 äåëÿùèõñÿ íà ð îñòàòêîâ).
Åñëè n = ab – ïðîèçâåäåíèå äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ
÷èñåë, òî ôóíêöèÿ Ýéëåðà, î÷åâèäíî, ìóëüòèïëèêàòèâíà,
ϕ ( ab) = ϕ ( a) ϕ (b) .
Âñå ýòî äàåò ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ çíà÷åíèÿ ϕ ( n) , åñëè
ðàçëîæåíèå n íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èçâåñòíî.
Íî ïðèâåäåííàÿ âûøå òàáëèöà ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ ñèëüíî îñöèëëèðóåò ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèÿ
àðãóìåíòà: òî ðàñòåò, òî óáûâàåò (äî ìàëîé äîëè
çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà).
Òåîðåìà Ýéëåðà 3. Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèé ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ ,
ˆn = ϕ 1 + ϕ 2 + K + ϕ n ,
ϕ
n
âåäåò ñåáÿ ïðè n ® ¥ êàê cn, ãäå ïîñòîÿííàÿ ñ
{
}
îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðèîäà Ò = 4. Çíà÷åíèå
ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ (15) = ϕ ( 3) ϕ (5) = 2 × 4 = 8 äåëèòñÿ
íà 4.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4. Ðàññìîòðèì âñå ϕ ( n)
îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n. Ýòè
îñòàòêè îáðàçóþò (ìóëüòèïëèêàòèâíóþ) ãðóïïó: åñëè
à è b âçàèìíî ïðîñòû ñ n, òî ïðîèçâåäåíèå ab òîæå
âçàèìíî ïðîñòî ñ n. Ïðîèçâåäåíèÿ à íà âñå (âçàèìíî
ïðîñòîå ñ n) îñòàòêè b ðàçëè÷íû (èíà÷å ïðîèçâåäåíèå
a (b1 - b2 ) äåëèëîñü áû íà n, à òàê êàê à âçàèìíî ïðîñòî
ñ n, òî b1 - b2 äåëèëîñü áû íà n, áóäó÷è ìåíüøå n).
Ñòàëî áûòü, îäíî èç ϕ ( n) ïðîèçâåäåíèé îñòàòêîâ ab
ðàâíî 1 (òàê êàê ýòè ϕ ( n) ðàçëè÷íûõ ïðîèçâåäåíèé âñå
ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè ñ n îñòàòêàìè îò äåëåíèÿ
íà n è, çíà÷èò, ïðîáåãàþò âñå ϕ ( n) âçàèìíî ïðîñòûõ ñ
n îñòàòêîâ, â òîì ÷èñëå è îñòàòîê 1). Ñëåäîâàòåëüíî,
äëÿ ëþáîãî âçàèìíî ïðîñòîãî ñ n îñòàòêà à ñóùåñòâóåò
òàêîé âçàèìíî ïðîñòîé ñ n îñòàòîê b, ÷òî ab = 1 (òàê ÷òî
îñòàòîê b îáðàòåí îñòàòêó à â íàøåé ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïå).
$
ÊÂÀÍT 2007/¹5
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì
ôàêòå:
Ëåììà. Äèàãðàììà Þíãà ïåðåñòàíîâêè ϕ ( n) âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n, óìíîæàþùåé êàæäûé òàêîé îñòàòîê b íà ôèêñèðîâàííûé
òàêîé îñòàòîê à, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì (ò.å.
âñå öèêëû ýòîé ïåðåñòàíîâêè èìåþò îäèíàêîâóþ
äëèíó).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ab, ab2 , K, aT b = b – öèêë
äëèíû Ò. Åñëè ñ – êàêîé-ëèáî îñòàòîê, âçàèìíî ïðîñòîé ñ n, òî ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü åãî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ c = bd, ãäå d – âçàèìíî ïðîñòîé ñ n îñòàòîê (à
èìåííî, d = cb -1 ).
Óìíîæàÿ ñ íà à ìíîãî ðàç, ìû ïîëó÷èì
{
Ðèñ.3. Âðàùåíèå êóáà âîêðóã äèàãîíàëè ÀÂ
Ðàññìîòðèì òåïåðü äåéñòâèå îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà
à íà âñå ýëåìåíòû îïèñàííîé ãðóïïû èç ϕ ( n) âçàèìíî
ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ. Ýòà îïåðàöèÿ ïåðåñòàâëÿåò ϕ ( n)
ýëåìåíòîâ íàøåé ãðóïïû (òàê êàê óìíîæåíèå íà b = a -1
äåéñòâóåò â îáðàòíóþ ñòîðîíó).
Ëþáàÿ ïåðåñòàíîâêà ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà
ðàçáèâàåòñÿ íà öèêëû. Íàïðèìåð, ïîâîðîò êóáà íà óãîë
120° âîêðóã åãî ãëàâíîé äèàãîíàëè ÀÂ ïåðåñòàâëÿåò åãî
8 âåðøèí. Ïðè ýòîì äâå âåðøèíû (êîíöû ýòîé äèàãîíàëè) îñòàþòñÿ íà ìåñòå, ò.å. êàæäàÿ èç íèõ óæå
ÿâëÿåòñÿ öèêëîì, îñòàëüíûå æå 6 âåðøèí ðàçáèâàþòñÿ
íà 2 öèêëà (ðèñ.3).
Ðàçáèåíèå ïåðåñòàíîâêè íà öèêëû óäîáíî îïèñûâàòü
ïðè ïîìîùè ñïåöèàëüíîé êàðòèíêè, íàçûâàåìîé äèàãðàììîé Þíãà. Äèàãðàììà Þíãà ïåðåñòàíîâêè N ýëåìåíòîâ ñîñòîèò èç N åäèíè÷íûõ êâàäðàòèêîâ, ñòîÿùèõ
â ñòîëüêèõ ñòðîêàõ, ñêîëüêî ó ïåðåñòàíîâêè öèêëîâ.
Ïðè ýòîì ýëåìåíòû êàæäîãî öèêëà çàïîëíÿþò ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòðîêó (â ïîðÿäêå ïðîõîæäåíèÿ öèêëà). Â
ïåðâîé ñòðîêå ñòàâèòñÿ ñàìûé äëèííûé öèêë, âî âòîðîé – ñëåäóþùèé ïî äëèíå è ò.ä., òàê ÷òî äëèíû âñåõ
ó ñòðîê x1 ³ x2 ³ K ³ xy îáðàçóþò ðàçáèåíèå
N = x1 + x2 + K + xy
÷èñëà ïåðåñòàâëÿåìûõ ýëåìåíòîâ N.
Ïðèìåð. Äèàãðàììà Þíãà âðàùåíèÿ êóáà (ñì. ðèñ.3)
èìååò âèä
x1 = 3
x2 = 3
x3 = 1
x4 = 1 ,
ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèþ 8 âåðøèí êóáà:
( )
}
( )
..., a c = (a b) d = bd = c ,
2
2
3
3
ac = ab d , a c = a b d , a c = a b d , …
T
T
òàê ÷òî Ò ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïåðèîäîâ è äëÿ íà÷èíàþùåãîñÿ â ñ öèêëà.
Ñòàëî áûòü, íàèìåíüøèé ïåðèîä íà÷èíàþùåãîñÿ â ñ
öèêëà ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì íàèìåíüøåãî ïåðèîäà íà÷èíàþùåãîñÿ â b öèêëà. Íî b è ñ ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè
– çíà÷èò, íàèìåíüøèå ïåðèîäû íà÷èíàþùèõñÿ â b è â
c öèêëîâ äåëÿò äðóã äðóãà, ò.å. ñîâïàäàþò (÷òî è
äîêàçûâàåò ëåììó).
Ñëåäñòâèå. Ïåðèîä Ò öèêëîâ ïåðåñòàíîâêè óìíîæåíèÿ íà à âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà
n ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà ϕ ( n) .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà
ïðîèçâåäåíèþ åãî îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ïîýòîìó
ϕ n = T n N n ,
ãäå Ò – (íàèìåíüøèé) ïåðèîä îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà
à, à N – ÷èñëî öèêëîâ ýòîé ïåðåñòàíîâêè (âñåõ ϕ ( n)
âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n).
Òåì ñàìûì òåîðåìà 4 äîêàçàíà: åå òîïîëîãè÷åñêèé
ñìûñë âûðàæàåò èìåííî ïðèâåäåííàÿ ëåììà î ïðÿìîóãîëüíîñòè äèàãðàììû Þíãà îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà
îñòàòîê à.
Òåîðåìà 4 ïðèâîäèò ê î÷åíü åñòåñòâåííîìó (íî âñå
åùå ðåøåííîìó íå äî êîíöà) âîïðîñó: êàê âåäåò ñåáÿ
íàèìåíüøèé ïåðèîä T ( a, n) ïðè n ® ¥ (àðãóìåíò à
âñòàâëåí ïîòîìó, ÷òî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà ðàçíûå
âçàèìíî ïðîñòûå ñ n îñòàòêè èìåþò, âîîáùå ãîâîðÿ,
ðàçíûå (íàèìåíüøèå) ïåðèîäû)?
Ïðèìåð. Äëÿ à = 2 íåòðóäíî íàéòè ñëåäóþùèå
(íàèìåíüøèå) ïåðèîäû îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà 2
îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n:
8=3+3+1+1
è çàïîëíÿåòñÿ öèêëàìè âðàùåíèÿ òàê:
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé T ( n) âåäåò ñåáÿ íà âèä
äîâîëüíî õàîòè÷åñêèì îáðàçîì. Ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå
k
µ 2k + 1 =
T
å T 2m + 1
m =1
k
ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÀß
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ.
âåäóò ñåáÿ áîëåå ðåãóëÿðíûì îáðàçîì, íî è èõ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå èçó÷åíî íåäîñòàòî÷íî.
Îäèí èç åñòåñòâåííûõ ïîäõîäîâ ê ýòîìó âîïðîñó
ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. ×èñëî äåëèòåëåé τ áîëüøîãî
öåëîãî ÷èñëà n ðàñòåò ïðè ðîñòå n â ñðåäíåì êàê ln n
Ýòî – òîëüêî ðîñò ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî, ñàìà
âåëè÷èíà τ ( n) ìîæåò ñèëüíî óêëîíÿòüñÿ îò ýòîãî
ñðåäíåãî: íàïðèìåð, åñëè n = ð ïðîñòîå ÷èñëî, òî
τ ( p) = 2 , à åñëè n = m!, òî âåëè÷èíà τ (ïðè äîñòàòî÷íî
áîëüøîì m) ñêîëü óãîäíî âåëèêà.
Ìîæíî ñîñ÷èòàòü è ñðåäíèé ðîñò ñóììû äåëèòåëåé ñ
ðîñòîì ÷èñëà n:
Σ ( n) : cn
(ïîñòîÿííàÿ ñ çäåñü åñòü ζ (2) , è ýòî ìîæíî óñìîòðåòü
èç ïðèâåäåííûõ âûøå äîêàçàòåëüñòâ òåîðåìû Ýéëåðà î
âåðîÿòíîñòè íåñîêðàòèìîñòè äðîáè).
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äîêàçûâàåòñÿ (ñðåäíÿÿ) àñèìïòîòèêà ñóììû s-x ñòåïåíåé äåëèòåëåé ÷èñëà n,
Σ s ( n) : cs n s , cs = ζ ( s + 1) .
Èñõîäÿ èç ýòèõ ñðåäíèõ àñèìïòîòèê, ìîæíî áûëî áû
îæèäàòü ñîîòâåòñòâóþùåé àñèìïòîòèêè äëÿ ñðåäíåãî
àðèôìåòè÷åñêîãî äåëèòåëåé ÷èñëà n,
Σ ( n)
D ( n) =
.
τ ( n)
Åñëè áû ñðåäíåå (ïî n) îò äðîáè ðàâíÿëîñü îòíîøåíèþ
ñðåäíåãî îò ÷èñëèòåëÿ ê ñðåäíåìó îò çíàìåíàòåëÿ, òî
ìû ïîëó÷èëè áû äëÿ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî ïî n
çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî äåëèòåëÿ âûðàæåíèå
µ ( n) : ? cn .
D
ln n
Îäíàêî ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò, ÷òî ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå ñðåäíèõ äåëèòåëåé ãîðàçäî áîëüøå, è îòâåò íà
ñàìîì äåëå èìååò âèä
µ ( n) :
D
%
cn
.
ln n
Âîçâðàùàÿñü ê íàèìåíüøåìó ïåðèîäó T ( n) îïåðàöèè
óìíîæåíèÿ íà à îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n, ìû õîòåëè áû
èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ýéëåðà î òîì, ÷òî ÷èñëî T ( n)
ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç äåëèòåëåé ÷èñëà ϕ ( n) .
Åñëè áû âûïîëíÿëèñü ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:
1) ñâîéñòâà äåëèìîñòè (ñðåäíèå àñèìïòîòèêè) äëÿ
(m ) è
÷èñëà äåëèòåëåé τ$ (m) , äëÿ ñóììû äåëèòåëåé Σ
µ (m) ÷èñåë m âèäà ϕ ( n)
äëÿ ñðåäíåãî äåëèòåëÿ D
òàêèå æå, êàê äëÿ îáû÷íûõ ÷èñåë m òàêîãî æå (â
ñðåäíåì) ïîðÿäêà âåëè÷èíû,
2) âûáèðàåìûé áîãîì â êà÷åñòâå íàèìåíüøåãî ïåðèîäà T ( n) äåëèòåëü ÷èñëà ϕ ( n) âåäåò ñåáÿ (àñèìïòîòè÷åñêè â ñðåäíåì) êàê ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âñåõ
äåëèòåëåé ýòîãî öåëîãî ÷èñëà,
òî èç ïðåäûäóùèõ àñèìïòîòèê ìîæíî áûëî áû âûâåñòè
ïðåäïîëîæèòåëüíîå ñðåäíåå ïîâåäåíèå ïåðèîäà T ( n)
âèäà
%
µ ( n) : D
µ ϕ
ˆ( n) : c% ϕ ( n) : c ¢n .
T
( n)
ln n
ln ϕ
( )
ÂÎÑÕÎÄßÙÀß
Ê
ÝÉËÅÐÓ
%
Íî ýêñïåðèìåíòû (äîâåäåííûå ñåé÷àñ Ô.Àèêàðäè äî
n ïîðÿäêà 1020 ) óêàçûâàþò, ïî-âèäèìîìó, íà äðóãîå
µ . Çíà÷èò, õîòÿ áû îäíî èç âûïèïîâåäåíèå ñðåäíèõ T
ñàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèé 1 è 2 íåâåðíî. Áûëî áû
èíòåðåñíî óçíàòü, êàê èìåííî íàðóøàþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ 1 è 2. Ýòî èíòåðåñíî íå òîëüêî ðàäè èññëåäîâൠ, íî è ñàìî ïî ñåáå.
íèÿ ñðåäíèõ T
§2. Ýéëåðîâà òåîðèÿ âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà
è ýéëåðîâà ãèäðîäèíàìèêà
Ìîðÿêè âñòðåòèëèñü ê XVIII âåêó ñî ñëåäóþùåé
òðóäíîñòüþ îïðåäåëåíèÿ ñâîåãî ìåñòà íà êàðòå: äëÿ
îðèåíòèðîâàíèÿ èçìåðÿëèñü êîîðäèíàòû çâåçä íà íåáåñíîé ñôåðå â ìîìåíò èçìåðåíèÿ, è èñïîëüçîâàòü ýòè
èçìåðåíèÿ ìîæíî áûëî, òîëüêî çíàÿ òî÷íî, â êàêîé
èìåííî ìîìåíò èçìåðåíèÿ ïðîèçâîäèëèñü.
Ñèãíàëîâ òî÷íîãî âðåìåíè ïî ðàäèî òîãäà åùå íå
ïåðåäàâàëè, ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðèõîäèëîñü ïîëüçîâàòüñÿ õðîíîìåòðàìè. Íî õðîíîìåòð,
îñîáåííî â äëèòåëüíîì ïëàâàíèè, ñêëîíåí íà÷èíàòü
ñèëüíî âðàòü. Ñêàçûâàþòñÿ è êà÷êà, è âðàùåíèå Çåìëè, è âàðèàöèè ïîëÿ òÿãîòåíèÿ, âëèÿþùèå íà ïåðèîä
ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà, è äàæå êëèìàòè÷åñêèå óñëîâèÿ (òðîïè÷åñêàÿ æàðà óäëèíÿåò ìàÿòíèê, à
ìîðîçû óêîðà÷èâàþò).
Àíãëèéñêîå àäìèðàëòåéñòâî îáúÿâèëî ïîýòîìó áîëüøóþ ïðåìèþ çà ðåøåíèå ïðîáëåìû îïðåäåëåíèÿ òî÷íîãî âðåìåíè. Ýéëåð ïðèäóìàë îñòðîóìíûé ïóòü ðåøåíèÿ
ýòîé ïðîáëåìû: èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ÷àñîâ Ëóíó.
Äâèæåíèå ÷åòûðåõ (îòêðûòûõ Ãàëèëååì) ñïóòíèêîâ
Þïèòåðà ê òîìó âðåìåíè óæå ïûòàëèñü èñïîëüçîâàòü
âìåñòî ÷àñîâ. Íî äëÿ ýòîãî íóæåí, êðîìå õîðîøåé
òåîðèè âîâñå íå ïðîñòîãî äâèæåíèÿ ñïóòíèêîâ, õîðîøèé òåëåñêîï, òàê êàê «öèôåðáëàò» ýòèõ ÷àñîâ óæ
î÷åíü ìàë: Þïèòåð äàëåêî, è ñïóòíèêè íå âñåãäà
õîðîøî âèäíû.
Ëóíà ãîðàçäî áëèæå, íàáëþäàòü åå ëåãêî, òàê ÷òî
çàäà÷à áûëà áû ðåøåíà, åñëè áû áûëà ïîñòðîåíà
äîñòàòî÷íî òî÷íàÿ òåîðèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé Ëóíû
îêîëî ñâîåãî öåíòðà òÿæåñòè (ñ ó÷åòîì âîçìóùåíèé,
âíîñèìûõ ïðåæäå âñåãî Ñîëíöåì è Çåìëåé â ñëîæíîì
îðáèòàëüíîì äâèæåíèè Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà è Ëóíû
âîêðóã Çåìëè).
Âîò ýòó-òî òåîðèþ Ýéëåð è ðåøèë ñîçäàòü. Åãî
çàìå÷àòåëüíàÿ ðàáîòà íà ýòó òåìó áûëà îïóáëèêîâàíà
â 1765 ãîäó – îí ðàññìàòðèâàë íå òîëüêî Ëóíó, íî è
äâèæåíèå ëþáîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã ñâîåãî öåíòðà
òÿæåñòè ïðåæäå âñåãî ïî èíåðöèè, à ïîòîì è âñëåäñòâèå
âîçìóùàþùèõ âëèÿíèé äðóãèõ òåë.
Çàìå÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ýòèõ èññëåäîâàíèé Ýéëåðà
äîñòàâëÿåò, ïðåæäå âñåãî, ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è îá
èíåðöèàëüíîì äâèæåíèè ïðîèçâîëüíîãî òâåðäîãî òåëà
âîêðóã ñâîåãî öåíòðà òÿæåñòè. Ýòà çàäà÷à îêàçàëàñü
«âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé», è
Ýéëåð íàøåë íóæíóþ ïîëíóþ ñèñòåìó ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â èíâîëþöèè.
Èç åãî ðåçóëüòàòîâ âûòåêàëî, íàïðèìåð, ÷òî ñòàöèîíàðíûå âðàùåíèÿ âîêðóã âñåõ òðåõ îñåé ýëëèïñîèäà
èíåðöèè òâåðäîãî òåëà ñóùåñòâóþò, íî âðàùåíèå âîêðóã ñðåäíåé îñè èíåðöèè íåóñòîé÷èâî, â òî âðåìÿ êàê
&
ÊÂÀÍT 2007/¹5
Ðèñ.4. Óñòîé÷èâîå è íåóñòîé÷èâîå âðàùåíèå
è âðàùåíèå âîêðóã áîëüøîé îñè èíåðöèè, è âðàùåíèå
âîêðóã ìàëîé îñè èíåðöèè óñòîé÷èâû (ðèñ.4). Ýòî
çíà÷èò, ÷òî, íàïðèìåð, ñïè÷å÷íûé êîðîáîê, áðîøåííûé òàê, ÷òî îí âðàùàåòñÿ âîêðóã äëèííîé èëè âîêðóã
êîðîòêîé îñè, òàê è áóäåò âðàùàòüñÿ, à åñëè áðîñèòü
åãî, çàêðóæèâ âîêðóã ñðåäíåé îñè, òî îí áóäåò êóâûðêàòüñÿ õàîòè÷åñêè (÷òî ÿ íå ðàç äåìîíñòðèðîâàë ñòóäåíòàì íà ëåêöèè – çäåñü ëó÷øå âñåãî áðîñàòü óïàêîâàííóþ êíèãó, à íå êèðïè÷, è øåñòü ãðàíåé áðîñàåìîãî
òåëà ëó÷øå âûêðàñèòü ïî-ðàçíîìó, ÷òîáû íåóñòîé÷èâîñòü áûëà ñðàçó âèäíà).
Òîïîëîãè÷åñêàÿ ïðè÷èíà ðàçëè÷èÿ ñîñòîèò â ðàçíèöå
ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà ñî ñôåðàìè ñ öåíòðîì â
íà÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ.5).
Îêîëî êîíöà À áîëüøîé ïîëóîñè ýëëèïñîèäà ðàññòîÿíèå äî öåíòðà ýëëèïñîèäà ìàêñèìàëüíî, è ëèíèè, ãäå
ýòî ðàññòîÿíèå íåìíîãî ìåíüøå äëèíû áîëüøåé ïîëóîñè
ÎÀ, ÿâëÿþòñÿ îêðóæàþùèìè òî÷êó ìàêñèìóìà À çàìêíóòûìè êðèâûìè íà ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà.
Ðèñ.5. Ëèíèè óðîâíÿ ðàññòîÿíèé äî Ïðè ìàëîì îòêëîíåíà÷àëà êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè ýë- íèè íàïðàâëåíèÿ îñè
ëèïñîèäà
âðàùåíèÿ îò íàïðàâëåíèÿ ÎÀ ñîîòâåòñòâóþùèé âåêòîð ïåðåõîäèò îò âåêòîðà ÎÀ íà îäíó èç òàêèõ çàìêíóòûõ êðèâûõ, áëèçêèõ ê
òî÷êå À, è íà÷èíàåò ñîâåðøàòü âáëèçè ÎÀ ìàëûå
êîëåáàíèÿ, òàê ÷òî äâèæåíèå, õîòÿ è ïåðåñòàåò áûòü
ñòàöèîíàðíûì âðàùåíèåì, îñòàåòñÿ ê íåìó áëèçêèì.
Òî÷íî òàê æå, îêîëî êîíöà Ñ ìàëîé îñè ðàññòîÿíèå äî
öåíòðà Î äîñòèãàåò ìèíèìóìà, è ëèíèè, ãäå îíî ëèøü
íåìíîãî ïðåâûøàåò ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå |OC|, –
çàìêíóòûå êðèâûå íà ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà, áëèçêèå ê òî÷êå Ñ. Ñîîòâåòñòâóþùåå âîçìóùåííîå âðàùåíèå îñòàåòñÿ áëèçêèì ê ñòàöèîíàðíîìó.
Íàïðîòèâ òîãî, îêîëî êîíöà Â ñðåäíåé îñè ôóíêöèÿ
ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà ýëëèïñîèäà Î èìååò ñåäëîâóþ
òî÷êó. Ëèíèÿ óðîâíÿ, ãäå ðàññòîÿíèå òî÷íî ðàâíî |OB|,
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå (ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå Â)
îêðóæíîñòè, à ëèíèÿ óðîâíÿ, áëèçêîãî ê |OB|, ñîñòîèò
èç äâóõ çàìêíóòûõ êðèâûõ, äàëåêî óõîäÿùèõ îò òî÷êè
 (âïëîòü äàæå äî ïðîòèâîïîëîæíîãî êîíöà, –Â,
ñðåäíåé îñè). Ïðè âîçìóùåíèè ñòàöèîíàðíîãî âðàùåíèÿ âîêðóã îñè ÎÂ âîçíèêàåò ñîâåðøåííî íåïîõîæåå íà
íåãî «êóâûðêàíèå», â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî òåëî ìîæåò
äàæå ïåðåâåðíóòüñÿ ïî÷òè ÷òî ââåðõ íîãàìè.
Ëóíà ñåé÷àñ áëàãîïîëó÷íî ñîâåðøàåò ìàëûå êîëåáàíèÿ, áóäó÷è ïîâåðíóòà ê Çåìëå âñåãäà â îñíîâíîì îäíîé
ñòîðîíîé è ëèøü íåìíîãî êîëåáëÿñü îêîëî ýòîãî «ìàÿòíèêîâîãî» ïîëîæåíèÿ. Íàïðîòèâ òîãî, èñêóññòâåííûå ñïóòíèêè Çåìëè, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê èìè
óïðàâëÿþò, ìîãóò ñîâåðøàòü âñå îïèñàííûå Ýéëåðîì
äâèæåíèÿ, òàê ÷òî òåîðèÿ Ýéëåðà è ñåãîäíÿ ÿâëÿåòñÿ
îñíîâîé ðàñ÷åòà áîðüáû ñ êóâûðêàíèåì ñïóòíèêîâ.
Òåîðèÿ Ýéëåðà ïîçâîëÿåò äåòàëüíî ðàçîáðàòü êîëåáàíèÿ Ëóíû îêîëî ñâîåãî îáû÷íîãî ïîëîæåíèÿ, òàê ÷òî,
íàáëþäàÿ ôàçó ýòèõ êîëåáàíèé, ìîæíî èñïîëüçîâàòü åå
êàê ñòðåëêó ÷àñîâ è óçíàòü ìîìåíò íàáëþäåíèÿ.
Àäìèðàëòåéñòâî, îäíàêî, íàãðàäèëî íå Ýéëåðà, à
÷àñîâùèêà, ðåøèâøåãî ïðîáëåìó îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè
ñîâåðøåííî èíûì ïóòåì. À èìåííî, îí ïðåäëîæèë
ïîäâåøèâàòü ìàÿòíèê AD òðåõçâåííûì ïîäâåñîì ABCD
(ðèñ.6). Ñòåðæíè ÀÂ è CD èìåþò
âäâîå ìåíüøèé êîýôôèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ, ÷åì ñîåäèíÿþùèé
èõ ñòåðæåíü ÂÑ. Â ðåçóëüòàòå òåïëîâîå óäëèíåíèå ñòåðæíåé ÀÂ è CD
îïóñêàåò ãðóç íà ñòîëüêî æå, íà
ñêîëüêî ïîäíèìàåò åãî òåïëîâîå óäëèíåíèå ñòåðæíÿ ÂÑ. Ïîýòîìó ýôôåêòèâíàÿ äëèíà ìàÿòíèêà AD ïðè
òåïëîâîì ðàñøèðåíèè ñòåðæíåé íå
ìåíÿåòñÿ, à ïîòîìó íå ìåíÿåòñÿ è
ïåðèîä êîëåáàíèé ýòîãî ìàÿòíèêà:
õðîíîìåòð ñòàë íå÷óâñòâèòåëüíûì ê Ðèñ.6. Êîìïåíñèðóþèçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû!
ùèé òåïëîâîå ðàñÐàçáèðàÿ ê åå äâóõñîòëåòèþ ñòà- øèðåíèå ìàÿòíèê
òüþ Ýéëåðà î âðàùåíèè Ëóíû, ÿ
çàìåòèë â 1965 ãîäó, ÷òî ðàññóæäåíèÿ Ýéëåðà äîêàçûâàþò ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì îí óêàçàë. À èìåííî, âñÿ
òåîðèÿ Ýéëåðà ïî÷òè áåç èçìåíåíèé ïåðåíîñèòñÿ íà
èññëåäîâàíèå ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé íà ìíîãîîáðàçèÿõ
ãðóïï Ëè, ñíàáæåííûõ ëåâîèíâàðèàíòíîé (èëè ïðàâîèíâàðèàíòíîé) ðèìàíîâîé ìåòðèêîé.
Åñëè íà÷àòü ñ ãðóïïû SO(3) âðàùåíèé òðåõìåðíîãî
åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, òî ýòè ãåîäåçè÷åñêèå äîñòàâëÿþò äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà
òÿæåñòè, èçó÷åííûå Ýéëåðîì. Íî òåîðèþ Ýéëåðà ìîæíî ïðèìåíÿòü è ê äðóãèì ãðóïïàì, è ïîëó÷àþùèåñÿ èç
åãî ðåçóëüòàòîâ çàêëþ÷åíèÿ âîâñå íå î÷åâèäíû.
 êà÷åñòâå î÷åíü ïðîñòîãî ïðèìåðà ìîæíî âçÿòü
äâóìåðíóþ ãðóïïó àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðÿìîé, x a ax + b . Ñ÷èòàÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîõðàíÿþùèìè îðèåíòàöèþ (à > 0), ìû ìîæåì îòîæäåñòâèòü ýòó
ãðóïïó ñ ïîëóïëîñêîñòüþ {a, b : a > 0}.  ýòîì ñëó÷àå
ëåâîèíâàðèàíòíàÿ ìåòðèêà Ýéëåðà äîñòàâëÿåò â òî÷íîñòè ìîäåëü Ïóàíêàðå ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî,
ds2 =
da2 + db2
,
a2
òàê ÷òî òåîðèÿ Ýéëåðà ïðåâðàùàåòñÿ â ãåîìåòðèþ
Ëîáà÷åâñêîãî. Ðîëü ñòàöèîíàðíûõ âðàùåíèé Ýéëåðà
èãðàþò â ýòîì ñëó÷àå òå ïðÿìûå è îêðóæíîñòè åâêëèäîâîé ïîëóïëîñêîñòè a > 0 ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè (a, b) , êîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíû ëèíèè «àáñîëþòà», à = 0 (ðèñ.7).
 êà÷åñòâå ãîðàçäî áîëåå áîãàòîãî ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ òåîðèè ýéëåðîâà âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ðàññìîò-
ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÀß
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ.
Ðèñ.7. Ãåîäåçè÷åñêèå ìîäåëè Ïóàíêàðå ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî
ðèì ãðóïïó SDiff M «íåñæèìàåìûõ» äèôôåîìîðôèçìîâ ìíîãîîáðàçèÿ Ì (ò.å. äèôôåîìîðôèçìîâ M ® M ,
ñîõðàíÿþùèõ íåêîòîðûé ýëåìåíò îáúåìà τ íà Ì).
Ãåîäåçè÷åñêèå ïðàâîèíâàðèàíòíîé ìåòðèêè íà ýòîé
ãðóïïå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé (ýéëåðîâû) òå÷åíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè âäîëü ìíîãîîáðàçèÿ Ì.
Ýéëåðîâà òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé òâåðäîãî òåëà ïðåâðàùàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå â
îáîáùåíèå òåîðåìû Ðýëåÿ îá óñòîé÷èâîñòè äâóìåðíûõ
òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, êîãäà ïðîôèëü ñêîðîñòåé íå èìååò òî÷åê ïåðåãèáà (ðèñ.8).
Òå÷åíèÿ ñ òî÷êàìè ïåðåãèáà îêàçûâàþòñÿ â ýòîì
Ðèñ.8. Òåîðåìà Ðýëåÿ îá óñòîé÷èâîñòè ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ òå÷åíèé
íåñæèìàåìîé æèäêîñòè
ñëó÷àå àíàëîãè÷íûìè ñòàöèîíàðíûì âðàùåíèÿì òâåðäîãî òåëà âîêðóã ñðåäíåé îñè èíåðöèè – îáùàÿ òåîðåìà
óñòîé÷èâîñòè Ýéëåðà ïðèìåíÿåòñÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ
îäèíàêîâî, íî ïðè ïåðåõîäå îò òðåõìåðíîé ãðóïïû
SO(3) ê áåñêîíå÷íîìåðíîé ãðóïïå SDiff M èç òåîðåìû
Ýéëåðà ïîëó÷àåòñÿ (îáîáùåííàÿ) òåîðåìà Ðýëåÿ.
ÂÎÑÕÎÄßÙÀß
Ê
ÝÉËÅÐÓ
'
Íà óñòîé÷èâîñòü ãåîäåçè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿ îêàçûâàåò áîëüøîå âëèÿíèå åãî «ñåêöèîííûå êðèâèçíû ïî
äâóìåðíûì íàïðàâëåíèÿì». À èìåííî, îòðèöàòåëüíîñòü êðèâèçíû âûçûâàåò ýêñïîíåíöèàëüíîå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ðàçáåãàíèå ãåîäåçè÷åñêèõ (ñ áëèçêèìè
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè). Òåîðèÿ Ýéëåðà ïîçâîëÿåò
âû÷èñëèòü ýòè ñåêöèîííûå êðèâèçíû (äëÿ ãðóïï ñ
ëåâîèíâàðèàíòíûìè èëè ïðàâîèíâàðèàíòíûìè ìåòðèêàìè).
Ïðèìåíèâ ýòè âû÷èñëåíèÿ ê ãðóïïàì íåñæèìàåìûõ
äèôôåîìîðôèçìîâ ïîâåðõíîñòåé, ÿ ïîëó÷èë ìíîãî
äâóìåðíûõ íàïðàâëåíèé ñèëüíî îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû.
Íàïðèìåð, ïðèìåíÿÿ ýòè îöåíêè ê äâóìåðíîé ãèäðîäèíàìèêå íà ïîâåðõíîñòè òîðà (è ê òå÷åíèÿì ïàññàòíîãî
òèïà), ÿ óáåäèëñÿ, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî ìàëûå âîçìóùåíèÿ íà÷àëüíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé âûðàñòàþò ïðèìåðíî â
105 ðàç (îò êèëîìåòðîâîãî ðàçìåðà ãðîçû äî èçìåíåíèé
ïîãîäû ïëàíåòàðíîãî ìàñøòàáà) çà âðåìÿ ïîðÿäêà
ìåñÿöà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äèíàìè÷åñêèé ïðîãíîç ïîãîäû íà ñèëüíî ïðåâûøàþùåå íåäåëþ âðåìÿ áóäåò îñòàâàòüñÿ íåâîçìîæíûì, êàê áû ñèëüíî íè áóäóò óñîâåðøåíñòâîâàíû è êîìïüþòåðû, è ìåòîäû âû÷èñëåíèé, è
ðåãèñòðèðóþùèå èñõîäíîå ñîñòîÿíèå ïîãîäû äàò÷èêè.
Äåéñòâèòåëüíî, ñëåãêà èçìåíèâ íà÷àëüíûå ñêîðîñòè â
êàæäîì êóáè÷åñêîì êèëîìåòðå (äàæå òàê, ÷òîáû ñðåäíèå ïî ñîñåäíåìó äåñÿòêó êóáè÷åñêèõ êèëîìåòðîâ ïðè
ýòîì íå ìåíÿëèñü), ìû ïðèäåì ê òàêîìó íîâîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ, êîòîðîå äàò÷èêè íå îòëè÷àò îò ñòàðîãî,
íî êîòîðîå ïðèâåäåò òàéôóí ÷åðåç ïàðó íåäåëü íå â
Íîâûé Îðëåàí, êóäà îí äîëæåí áûë ïîïàñòü ïî ñòàðîìó
ñöåíàðèþ, à, ñêàæåì, â Áîìáåé.
Ìîæíî òîëüêî ïîðàæàòüñÿ, íàñêîëüêî çíà÷èòåëüíûìè îêàçûâàþòñÿ ïðèëîæåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðèé è èäåé Ýéëåðà äàæå â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ñàì îí
îãðàíè÷èëñÿ ïðè èõ èçëîæåíèè ïåðâûì ñîäåðæàòåëüíûì ñëó÷àåì (ãðóïïû SO(3) â íàøåì ïðèìåðå), à âñå
äàëåêèå îáîáùåíèÿ ïîëó÷åíû ëèøü íåäàâíî.
Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé!
28 ìàðòà 2008 ãîäà èñïîëíÿåòñÿ ñòî ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ âûäàþùåãîñÿ
ôèçèêà, àêàäåìèêà Èñààêà Êîíñòàíòèíîâè÷à Êèêîèíà.  ñâÿçè ñ ýòèì â íàøåé
ñòðàíå íà âûñîêîì ãîñóäàðñòâåííîì óðîâíå çàïëàíèðîâàíû ìíîæåñòâåííûå
ñïåöèàëüíûå ìåðîïðèÿòèÿ. Äëÿ íàñ æå Èñààê Êîíñòàíòèíîâè÷ Êèêîèí áûë
ïðåæäå âñåãî ñîçäàòåëåì è ïåðâûì Ãëàâíûì ðåäàêòîðîì æóðíàëà «Êâàíò».
Ðåäàêöèîííàÿ êîëëåãèÿ, ðåäàêöèîííûé ñîâåò è ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò»
îáúÿâëÿþò áëèæàéøèé ãîä â æóðíàëå «Êâàíò» – «ãîäîì Êèêîèíà». È âîò ÷òî
ïîä ýòèì ïîäðàçóìåâàåòñÿ.
Ìû ïëàíèðóåì â øåñòè áëèæàéøèõ íîìåðàõ æóðíàëà îïóáëèêîâàòü ðàçíîîáðàçíûå âîñïîìèíàíèÿ îá àêàäåìèêå È.Ê.Êèêîèíå, à â íàó÷íûõ ñòàòüÿõ è äðóãèõ
ìàòåðèàëàõ æóðíàëà óäåëèòü îñîáîå âíèìàíèå òåì îáëàñòÿì ôèçèêè è òåõíèêè,
â êîòîðûõ âûäàþùèìñÿ îáðàçîì ðàñêðûëñÿ íàó÷íûé è îðãàíèçàöèîííûé òàëàíò
ýòîãî óäèâèòåëüíîãî ÷åëîâåêà, â îñîáåííîñòè – àòîìíîé è ÿäåðíîé ôèçèêå è
ýíåðãåòèêå. Íàìè ãîòîâèòñÿ ê èçäàíèþ ñïåöèàëüíûé, ïîñâÿùåííûé þáèëåþ
È.Ê.Êèêîèíà âûïóñê ñåðèè «Áèáëèîòå÷êà «Êâàíò».
Òå èç íàñ, êòî áëèçêî çíàëè Èñààêà Êîíñòàíòèíîâè÷à, ñ áëàãîäàðíîñòüþ
õðàíÿò â äóøå åãî íåçàáûâàåìûé ñâåòëûé îáðàç. Ìû î÷åíü õîòèì, ÷òîáû ýòîò
îáðàç áûë çàïå÷àòëåí â ïàìÿòè è íîâûõ ïîêîëåíèé íàøèõ ÷èòàòåëåé.