Лекция 4
Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность
события А в каждом испытании постоянна и равна p . Следовательно, вероятность
того, что событие А не наступит также постоянна для каждого испытания и равна
q = 1 – p.
Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что в n испытаниях события А осуществится ровно k раз и следовательно, не осуществится (n – k)
раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k
раз в определенной последовательности.
С целью упрощения попробуем решить поставленную задачу, используя
конкретный пример.
Пр. Если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то
возможны следующие исходы:
АААА или ААА А или АА АА или А ААА .
Р3(4) = 4р3q.
В общем случае, вероятность сложного события, состоящего в том, что в n
испытаниях событие А появится k раз и не появится (n – k) раз, равна:
Pn(k) = С nk p k q n −k .
Полученную формулу называют формулой Бернулли.
Пр. Вероятность того, что в анкете будет дан отрицательный ответ равна 0,2. Найти вероятность того, что в пяти проверенных анкетах отрицательный
ответ будет дан три раза.
p = 0,2; q = 0,8; P5(3) = C53p3q5-3 = 1070,00870,64 ~ 0,05. Для практики иногда
требуется знать, какое число наступлений события А является наивероятнейшим,
т.е. при каком числе k = k0 вероятность Pn(k) – наибольшая.
np – q < k0 < np + p.
Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n и дробных вероятностях p и q – достаточно трудно. Локальная теорема Лапласа дает формулу,
которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз
в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико. Заметим, что для частного случая, а именно для p = 0,5, эта формула была найдена Муавром, а Лаплас
обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1.
Теорема: Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие
1
А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее,
чем больше n) значению
1
Рn ( k ) =
ϕ ( x) ,
npq
k − np
1 − x2 2
, а ϕ ( x) =
– табличная функция
где х =
e
npq
2π
Имеются таблицы, в которых помещены значения функции ϕ(х), соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функция ϕ(х) четна: ϕ(–х) = ϕ(х).
Пр. Вероятность того, что в анкете будет дан отрицательный ответ равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 случайно отобранных анкет 75 будет с положительным ответом.
По условию p = 0,8; q = 0,2; n = 100; k = 75.
75 − 100 ⋅ 0,8
−5
k − np
1
0,1826
=
= −1,25 ; Р100 (75) =
х=
=
ϕ (1,25) =
= 0,04565.
4
4
100 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2
npq
16
Интегральная теорема Лапласа
Вновь предположим, что производится n независимых испытаний, в каждом
из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Как вычислить
вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2
раз (для краткости будем говорить "от k1 до k2 раз")? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа.
Теорема: Если вероятность p наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна:
Pn(k1, k2) ≈ Ф(x2) – Ф(x1),
k1 − np
k 2 − np
1 x −z2 2
, х2 =
, а Φ ( х) =
где х1 =
∫ е dx
2π 0
npq
npq
Функцию Ф(х) называют функцией Лапласа. Имеются таблицы, в которых
помещены значения функции Ф(х), соответствующие положительным значениям
аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, но учитывают, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(–х) = –Ф(х). В таблице приведены значения функции лишь до х = 5, так как для х > 5 можно принять
Ф(х) = 0,5.
Пр. Вероятность того, что в анкете будет дан отрицательный ответ равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 случайно отобранных анкет будет не менее
75 с положительным ответом.
По условию задачи p = 0,8; q = 0,2; n = 100; k1 = 75, k2 = 100.
х1 = –1,25; х2 = 5; P100(75,100) = Ф(5) + Ф(1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
2
