Интерференция света. Лабораторная работа № 8
реклама
Лабораторная работа № 8 Интерференция света. Цель работы: исследование простейших случаев интерференции света, определение длины волны света методом интерференции на бипризме Френеля, экспериментальное определение радиуса кривизны линзы по интерференционным кольцам Ньютона, оценка степени временной когерентности излучения. Введение. Для выяснения этой фундаментальной проблемы рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одной частоты. Е1 = а1 Sin(ωt + φ1) Е2 = а2 Sin(ωt + φ2) Если эти две волны распространяются по одному направлению, суммарная волна запишется: Е1 + Е2 = Е В результате сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты получаются колебания той же частоты, неизменная во времени амплитуда которого зависит от соотношения фаз складываемых колебаний. Из-за очень большой частоты оптических колебаний напряженность Е невозможно измерить непосредственно. Все приемники излучения измеряют энергетические величины (интенсивность света) усредненные за большой промежуток времени. Поэтому экспериментально наблюдаемые величины пропорциональны среднему значению квадрата напряженности 2 электрического поля <Е >. <Е2> = <(Е1 + Е2)2> = <Е12> + <Е22> + 2<Е1Е2> Выражение для результирующей интенсивности помимо суммы интенсивностей каждой из волн содержит еще одно слагаемое 2<Е1Е2>, называемое интерференционным членом. В дальнейшем будем считать, что оба вектора Е1 и Е2 в точке наблюдения совершают колебания вдоль одной прямой. Тогда можно отвлечься от векторного характера этих величин и записать интерференционный член в виде 2<Е1Е2>. Амплитуду результирующего колебания проще найти с помощью векторной диаграммы, изображенной на рисунке 1. Е2 = а2 = а12 + а22 +2а1а2 cos (φ1 - φ2) Вводя интенсивность волн, пропорциональные квадратам их амплитуд, для интенсивности результирующего колебания получаем: I I 1 I 2 2 I 1 I 2 cos(1 2 ) Результирующая интенсивность может принимать различные значения. Если φ1 - φ2 = π , то I ≈ а2 = а12 + а22 - 2а1а2 = (а1 - а2 )2, при а1 = а2 I = 0. Если φ1 - φ2 = 0, то I ≈ а2 = а12 + а22 + 2а1а2 = (а1 + а2 )2, при а1 = а2 I = 4а12. y a a1 φ1 a2 φ2 x Рис. 1 Эти наши рассуждения справедливы для монохроматических волн, для которых можно считать время существования τ → ∞. Однако, при излучении электромагнитных волн электронами атома τ ≠ ∞ и в общем случае φ2 - φ1 изменяется во времени. Вычислим средний квадрат амплитуды результирующего колебания за промежуток времени τ. 1 I E 2 a1 2 a 2 2 2a1 a 2 cos1 2 d . o Если а1 и а2 не зависят от времени, то 1 2 2 2 I E a1 a 2 2a1 a 2 cos1 2 d . o Если φ1 - φ2 остается неизменной в течении время наблюдений, то 1 cos1 2 d cos 1 2 , следовательно o I E 2 a1 2 a 2 2 2a1 a 2 cos 1 2 , т.е. I I 1 I 2 . При случайном обрыве и возобновлении колебаний разность фаз изменяется совершенно беспорядочно и за время τ (φ1—φ2) пробегает бесконечное множество значений от 0 до 2π, поэтому 1 cos1 2 d 0 и мы имеем I E 2 a1 2 a1 2 I 1 I 2 . o Итак, следует различать два случая: 1. Когерентные волны. За время наблюдения разность фаз сохраняется постоянной. В этом случае наблюдается перераспределение света в пространстве - интерференция. 2. Некогерентные волны. За время наблюдения разность фаз беспорядочно изменяется. В этом случае происходит суммирование интенсивности. Пусть S1 и S2 источники, каждый из которых излучает монохроматическую волну Е1 и Е2 соответственно (рис. 2). r1 h S1 r2 2l S2 Δ Э D Рис. 2 Источники когерентны. Для простоты будем считать Е1 = Е2 = Е0, D >> 2l. На рисунке h - координата точки наблюдения "А" на экране "Э", Δ = r2 - r1 разность хода двух лучей до точки наблюдения "А". Для напряженности электромагнитной волны в точке "А" можно записать E E1 E 2 E o sin t k r1 E o sin t k r2 . r r r r 2 E o cos k 2 1 sin t k 2 1 2 2 Амплитуда суммарного колебания будет выражаться следующим образом 2 E o cos k , а интенсивность I 4 E o 2 cos(k ) , или 2 2 I 2E0 2 1 cos k . Исследования этого выражения показывают, что если кΔ = 2mπ, то Imax = 4Eo2, а если кΔ = (2m+1)π, то Imin = 0. Здесь m - порядок интерференции, который принимает значения 0,1,2,3,... Условие максимумов можно сформулировать так: если разность хода Δ=mλ=2mλ/2 - равна целому числу длин волн или четному числу полуволн, то в данной точке пространства наблюдаются максимумы интерференции. Условия минимумов формулируются следующим образом: если разность хода Δ=(2m+1)λ/2 равна нечетному числу полуволн, то в рассматриваемой точке пространства наблюдаются минимумы интерференции. Распределение интенсивности на экране можно выразить с учетом геометрии эксперимента формулой 4lh I 2 E 0 2 1 cos . D δh Рис. 3 Эта зависимость I(h) ,будет косинусоидой, поднятой на единицу (рис. 3), где δh = λD/2l. Для количественной характеристики качества интерференционной картины введена так называемая функция видимости I I min V max . I max I min Впервые экспериментальная установка для демонстрации интерференции света была осуществлена Томасом Юнгом в начале ХIX века. Яркий пучок солнечных лучей освещал экран с малым отверстием S (рис.4). S S1 Свет d δh S2 L D Рис. 4 Прошедший через отверстие свет вследствие дифракции образует расходящийся пучок, который падает на второй экран с двумя малыми отверстиями S1 и S2, расположенными близко друг к другу. Эти отверстия действуют как вторичные синфазные источники, и исходящие от них волны, перекрываясь, создают на экране интерференционную картину. Другой интерференционный опыт, аналогичный опыту Юнга, но в меньшей степени осложненный явлениями дифракции и более светосильный, был осуществлен Френелем в 1816 году. Френель показал, что можно достигнуть цели, использовав излучение одних и тех же атомов. Для этого необходимо испускаемое излучение разделить на два потока путем преломления или отражения и заставить их встретиться после того, как они пройдут различные пути r1 и r2. Взаимодействие их дает интерференционную картину. Способ разделения был осуществлен следующим образом. Две когерентные световые волны получались в результате преломления на двух составленных малыми гранями трехгранных призм (бипризма) (рис. 5). Источником служит узкая ярко β S1 S S2 (n - 1)β a b Рис. 5 освещенная щель S, параллельная тупоугольному ребру бипризмы. Для расчета освещенности на экране можно считать, что интерферирующие волны испускаются двумя мнимыми источниками S1 и S2. Когерентность мнимых источников гарантируется их образованием от одного источника, а сам к себе источник всегда когерентен. Поэтому, применяя выше выведенную формулу δh = λD/2l и учитывая геометрию эксперимента получим δh = λ(a + b)/2a(n - 1)β. Не стоит думать, что интерференцию можно наблюдать только в лабораторных условиях, применяю для этого сложное оборудование. Каждому приходилось наблюдать радужную окраску мыльных пленок, тонких пленок нефтепродуктов на поверхности воды, цвета побежалости на поверхности закаленных деталей. Все эти явления обусловлены интерференцией света в тонких прозрачных пленках. Рассмотрим стеклянную плоскопараллельную пластинку толщиной d, на которую под углом i падает плоская монохроматическая волна. Пластинка находится в среде с показателем преломления n1 и пусть показатель преломления стекла пластинки n2 > n1. Часть волны отражается от верхней поверхности пластинки (2, рис. 6), а другая часть падающей волны, преломляясь, отражается от внутренней поверхности и, преломляясь, выходит наружу (3, рис. 6) параллельно отраженной части волны (2, рис. 6). Эти две волны (2 и 3) когерентны между собой, так как порождены одной волной (одним расщепленным цугом) и могут интерферировать. Оптическая разность хода между лучами в точках С и D AB n 2 BC n 2 AD n1 n1 . 2 Математические преобразования с учетом геометрии распространения световых лучей и параметров пластинки дают значение 2dn2 cos r n1 2 или через угол падения i 2d n 22 n12 sin 2 i n1 . 2 При Δ = 2m λ/2 будут наблюдаться максимумы интерференции, а при Δ = (2m + 1) λ/2 - минимумы. Член λ/2n1 учитывает потерю половины длины волны при отражении луча 2 от более плотной среды. Интерферирующие лучи выходят из пластинки параллельными, поэтому 1 i D 2 3 A C r d B Рис. 6 интерференционная можно сказать, что картина локализована в бесконечности. Частным случаем интерференции в тонких пленках является классический пример наблюдения полос равной толщины - колец Ньютона, которым только в 1802 году Томасом Юнгом было дано правильное толкование. Кольца Ньютона наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельной пластинки и плосковыпуклой линзой. Роль тонкой пластинки играет воздушная прослойка (рис. 7). 0 R-d 213 R Рис. 7 r d Луч 1 падает на систему линза - пластинка. Отражения происходят от нижней поверхности линзы (луч 2) и от верхней поверхности пластинки (луч 3). Вследствие малой толщины воздушной прослойки и естественно малого угла клиновидности воздушного зазора отраженные лучи почти параллельны. Радиусы наблюдаемых в отраженном свете темных интерференционных колец можно связать с параметрами интерференционной схемы. Действительно, если свет падает нормально к поверхности стеклянной пластинки, то оптическая разность хода Δ между лучами 2 и 3 определяется формулой 2d k , 2 где dk - толщина воздушного слоя в данном месте. При условии R >>dk радиус кольца с номером k равен rk 2Rd k . Для темных колец оптическая разность хода определится 2k 1 ; k 1,2, ... . 2 Из этих уравнений можно получить формулу для определения радиуса кривизны линзы: rk2 R , k 1 где k - порядковый номер темного кольца в отраженном свете, считая от центра (для центрального темного кольца k = 1). Опыт показывает, что интерференция наблюдается только в тех случаях, когда толщина воздушного слоя или пластинки достаточно мала - порядка 10-6 м. Это становится понятным, если учесть, что излучение любого реального источника света не представляет собой бесконечную синусоидальную волну. Необходимо пользоваться представлением о волновых импульсах конечной длины, или, как принято говорить, о волновых цугах. Между отдельными цугами отсутствует какая-либо согласованность, они заведомо не когерентны. В нашем случае интерференция возможна, если две части одного, расщепленного частичным отражением, цуга успевают "встретиться", несмотря на разность хода, обусловленную толщиной пластинки. Чем больше длина цуга, тем больше может быть толщина пластинки или воздушного слоя. Длина когерентности излучения связана с шириной спектрального интервала Δν. Чем уже спектральный интервал излучения, тем больше его длина когерентности. Если, как это бывает при точных оптических измерениях, свет достаточно монохроматичен ( Δν << ν), то, как показывает расчет, длина когерентности L = c/Δν. Так как Δν = ν1 - ν2 = с / λ1 - с / λ2 = с Δλ / λ1λ2, то длина когерентности L = λ1λ2/Δλ ≈ λ2/Δλ, где λ - средняя длина волны в спектральном интервале (λ1, λ2). Время прохождения светом длины L L называют временем когерентности. c Определив, при какой разности хода исчезает интерференционная картина, можно оценить длину когерентности исследуемого излучения, а также ширину спектрального интервала (степень монохроматичности). Эти величины характеризуют временную когерентность излучения. Экспериментальна часть. Описание экспериментальных установок. Используя интерференцию на бипризме Френеля, будем определять длину волны излучения. Для этого бипризму устанавливаем на столик гониометра Г-5, так чтобы ребро тупого угла бипризмы было параллельно щели коллиматора. Тогда, наблюдая свет излучателя, сфокусированный на цели коллиматора, при установленных объективах коллиматора и зрительной трубы (см. приложение), можно видеть два изображения мнимых источников и при помощи измерительной системы гониометра определить их угловое положение. Убрав объективы коллиматора и зрительной трубы, можно наблюдать интерференционную картину и измерить угловое положение интерференционных максимумов или минимумов. Соотношение, приведенное в настоящей работе δh = λ(a + b)/2a(n - 1)β для бипризмы Френеля, можно преобразовать для рассматриваемого эксперимента с гониометром в следующем виде ab , ab где φ (рад) - угловое положение мнимых источников света, ψ (рад) - угловое положение соседних максимумов или минимумов интерференционной картины, λ (м) - длина волны применяемого излучения, а(м) и b(м) расстояния от щели до бипризмы и от бипризмы до фокальной плоскости окуляра гониометра Г-5 соответственно (см. рис. 5 и приложение). Вторая часть работы сводится к определению кривизны линзы в эксперименте с кольцами Ньютона. Для их наблюдения используется микроскоп МБИ-1 с приставкой ОИ-21 для наблюдения объектов в отраженном свете. Обойма с системой пластинка и линза устанавливается на предметном столике микроскопа. Наблюдение интерференционной картины проводится в отраженном свете. Для большей наглядности и точности измерения изображение интерференционной картины выводится web-камерой на экран компьютера. Процесс измерения линейных размеров требует градуировки. При градуировке используется объект-микрометр для отраженного света. Он устанавливается вместо обоймы с кольцами Ньютона и сравнивается с окулярной шкалой при визуальном наблюдении или с разрешением картинки при компьютерном исследовании интерференционной картины. Такое сравнение позволяет установить градуировочные миллиметрах на деление или в миллиметрах на пиксель. коэффициенты в Измерения и обработка результатов. Измерение длины волны с помощью интерференции на Задание 1. бипризме Френеля. При расчете длины волны будем использовать формулу ab . ab Для этого необходимо произвести измерение четырех величин. 1. Расстояние от щели коллиматора до бипризмы "а" измеряется линейкой с миллиметровыми делениями с точностью 0,5 мм. Таким же способом измеряется и расстояние "b" от бипризмы до фокальной плоскости окуляра зрительной трубы. 2. Измерение φ - углового положения максимумов интерференционной картины предусматривает вывинчивание объективов коллиматора и зрительной трубы (см. приложение). Щель коллиматора освещается фильтрованным красным светофильтром излучением лампы накаливания. В этом случае в фокальной плоскости окуляра зрительной трубы можно наблюдать интерференционную картину. Для большей видимости картины следует установить бипризму юстировочными винтами предметного столика таким образом, чтобы преломляющее ребро бипризмы было строго параллельно щели коллиматора, а винты фокусировки коллиматорной и зрительной трубы были установлены на бесконечность ∞. При необходимости настроить на резкость визирную линию вращением тубуса окуляра. После этого навести визир окуляра зрительной трубы на крайний левый максимум интерференционной картины и считать в поле зрения отсчетного микроскопа значение φ1. Далее микрометрическим винтом (см. приложение) передвинуть зрительную трубу на 10 интерференционных линий и снова считать значение, но теперь φ2. Разность этих показаний деленная на 10 даст искомый угол φ. Таких измерений следует провести не менее трех, а затем вычислить среднее значение угла φ. Необходимо учесть, что показания углов имеют размерность градусы, минуты и секунды, однако, в формуле эти значения улов должны подставляться в радианах. 3. При переходе к измерениям углового положения мнимых источников следует ввернуть объективы в коллиматорную и зрительную трубы. Тогда в поле зрения окуляра появится два мнимых изображения щели. Настройка на резкость изображений щелей производится винтом зрительной трубы, настройка резкости визирной линии или креста производится вращением тубуса окуляра. После этой подготовки навести визир окуляра на левое изображение щели и считать показания ψ1 в поле зрения отсчетного микроскопа. Передвинув микрометрическим винтом зрительную трубу визиром на второе изображение, считать значение ψ2. Разность этих углов даст искомое значение углового положения ψ мнимых изображений источника. Таких измерений надо произвести тоже не менее трех, а затем рассчитать среднее значение угла. Для удобства расчета длины волны рекомендуется экспериментальные и расчетные данные свести в таблицу 1. Таблица 1. Измерение φ Измерение ψ Вычисление λ _ ab 1 2 _ n φ1 φ2 φ Ψ1 ψ2 ψ1 - ψ2 ψ a b n ab 6 8 10 Задание 2. Определение радиуса кривизны линзы интерференционным способом. Необходимым условием правильных измерений является получение достаточно яркой и контрастной интерференционной картины. Для этого необходимо строго придерживаться ниже следующего описания. 1. Включить осветитель микроскопа. На предметный столик микроскопа положить объект-микрометр так, чтобы луч света, выходящий из объектива, падал на центральную часть шкалы объект-микрометра. Винтом грубой наводки (кремальерой) приблизить объектив к объекту почти до касания и, наблюдая в окуляр, медленно отводить объектив до появления изображения шкалы объект-микрометра. Эта шкала имеет длину в 1 миллиметр с ценой деления 0,01 мм. Сравнивая шкалу объект-микрометра со шкалой окуляра, провести градуировку шкалы окуляра, т.е. найти какому линейному размеру объекта соответствует наименьшее деление шкалы окуляра nвиз (мм/дел). 2. Вставить вместо окуляра Web-камеру и, корректируя резкость кремальерой и микрометрическим винтом, получит на экране компьютера отчетливое изображение шкалы объект-микрометра. Сохранить изображение как рисунок с расширением *.BMP в предложенной преподавателем папке. 3. Вместо объект-микрометра на столике микроскопа установить обойму с системой пластинка - линза, дающей интерференцию в виде колец Ньютона. Используя методику наводки на резкость, описанную в пункте 1, получить четкую интерференционную картину на экране компьютера. При помощи юстировочных винтов столика микроскопа сцентрировать изображение и сохранить как рисунок с расширением *.BMP в той же папке. 4. Заменить Web-камеру окуляром и произвести подстройку резкости визуального изображения. Измерить радиусы пяти темных интерференционных колец, начиная с шестого, считая первым центральный минимум. Для этого используйте шкалу окуляра. Отсчитайте количество делений шкалы окуляра, указывающих на положение шестого темного кольца по его диаметру dп 6 с правой стороны и запишите в таблицу 2. Затем количество делений dл 6 - с левой стороны от центра по тому же диаметральному направлению и так же запишите в таблицу 2. Соотношение nвиз(d п 6 - d л 6)/2 = r6 даст искомую величину - радиус шестого темного интерференционного кольца. Такие же измерения провести для остальных четырех колец (7,8,9,10). Результаты измерений записать в таблицу 2 и рассчитать радиус кривизны линзы R . λ(нм) nвиз k d пк dлк rk d пk d лk n виз 2 Таблица 2. _ rk 2 R R (м) k 1 6 7 8 9 10 574 5. Сохраненные рисунки открыть в каком-либо графическом редакторе (Microsoft Photo Editor, Microsoft Paint) Используя рисунок с изображением шкалы, произвести градуировку с целью установить какому линейному размеру соответствует 1 пиксель изображения n k (мм/пк). Вывести на экран рисунок с изображением интерференционной картины и измерить радиусы пяти темных колец. Для этого навести курсор на шестое кольцо с левой стороны от центра и считать показание Dл 6 его положения в пикселях по горизонтали, причем вертикальная составляющая должна соответствовать центру интерференционной картины. Переместить курсор в диаметрально противоположное положение шестого кольца, сохраняя вертикальное значение постоянным. Считать показание D п 6 по горизонтали. Результаты измерений записать в таблицу 3. Аналогичные измерения провести для остальных четырех колец (7,8,9,10). Формула r6 = n ком(D п 6 D л 6)/2 даст искомую величину радиуса темного кольца в компьютерном варианте. Рассчитать радиус кривизны линзы и его среднее значение. Результаты измерений и расчетов записать в таблицу 3. λ(нм) nком 574 k 6 7 8 9 10 d пк dлк rk d пk d лk n ком 2 Таблица 3. _ rk 2 R R (м) k 1 6. Сравнить полученные двумя методами результаты измерений и расчетов радиуса кривизны линзы. Вычислить погрешность каждого метода. Задание 3. Оценка временной когерентности и ширины спектрального интервала используемого излучения. Длина когерентности в нашем эксперименте L может быть измерена двумя способами. Первый заключается в том, чтобы поднимать линзу над пластинкой до исчезновения интерференции. Она исчезнет в том случае, если разность хода Δ' превысит длину цуга излучения. Если пренебречь дополнительной разностью хода λ/2, обусловленной различием условий отражения на границах "стекло - воздух" и "воздух - стекло", можно считать L = Δ' ≈ 2d. Второй способ можно использовать при высокой степени монохроматичности (Δλ << λ) излучения, когда размытие интерференционных максимумов не является следствием этого явления, а его причина заключается в ограниченности длины цуга этого излучения. В этом случае для оценки L достаточно определить номер или радиус темного интерференционного кольца, при котором интерференция исчезает. Согласно формуле rk 2 L 2d ' 2k 1 , где rk радиус максимального кольца, R 2 при котором интерференция исчезает, вычислить длину когерентности L, время когерентности τ = L/с и ширину спектрального интервала (степень монохроматичности) Δλ = λ2 /L. Список рекомендуемой литературы. 1. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука. 1976. 2. Бутиков Е.И. Оптика. М.: Высшая школа. 1986. 3. Гершензон Е.М., Малова Н.Н. Лабораторный практикум физике. М.: Просвещение, 1985. по общей Приложение Описание гониометра Г-5 и методика работы с прибором. Оптическая схема гониометра приведена на рис 10. На рисунке изображен коллиматор 1, в передней фокальной плоскости которого расположена узкая щель и зрительная труба 2, которая в фокальной плоскости окуляра дает изображение щели коллиматора. 5 2 3 1 4 Рис. 10 Если свет содержит несколько длин волн, то возникает, ряд изображений щели, соответствующих этим длинам волн (линейчатый спектр); как это наблюдается в работе № 7.2, 11. Окуляр зрительной трубы 3 снабжен автоколлимационным устройством, позволяющим установить ось зрительной трубы строго параллельно оси коллиматора или перпендикулярно некоторой плоскости. Внешний вид гониометра показан на рисунке 11. Здесь 1 - микрометр, регулирующий ширину входной щели коллиматора, 2 - фокусировочный винт коллиматора, 4 - юстировочный винт предметного столика 3, 5 - фокусировочный винт зрительной трубы, 7 окуляр зрительной трубы, 8 - окуляр отсчета показаний по шкале лимба, 9 маховик оптического микрометра. Зрительная труба укреплена на подвижном кронштейне, который можно поворачивать вокруг предметного столика (вокруг его вертикальной оси). С помощью винта 11 можно точно наводить визирный крест зрительной трубы на нужную спектральную линию или другое изображение коллиматора. На рисунке 12 показано, как выглядит поле зрения отсчетного микроскопа 8. В левом окне наблюдаются изображения диаметрально противоположных участков лимба и вертикальный индекс для отсчета градусов, в правом окне - деления шкалы оптического микрометра горизонтальный индекс для отсчета минут и секунд. 7 5 3 4 9 и 2 8 1 9 10 11 Рис. 11 Чтобы снять отсчет по лимбу, необходимо повернуть маховик 9 оптического микрометра (см. рис. 12) настолько, чтобы верхние и нижние изображения штрихов лимба в левом окне точно совместились. 295 117 116 296 297 5 0 5 10 5 20 115 114 Рис. 12 Число градусов определяется видимой ближайшей левой от вертикального индекса цифрой. Число десятков минут равно числу интервалов, заключенных между верхним штрихом, который соответствует отсчитанному числу градусов, и нижним оцифрованным штрихом, отличающимся от верхнего на 180о. Единицы минут отсчитываются по шкале микрометра в правом окне по левому ряду чисел, а десятки секунд - в том же окне по правому ряду чисел. Число единиц секунд равно числу делений между штрихами, соответствующих отсчету десятков секунд, и неподвижным горизонтальным индексом. Например, положение, показанное на рисунке 12, соответствует отсчету 295о 45' 02".
