Лабораторная работа №2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ

Лабораторная работа №2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ
ВОЗДУХА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Определение отношения теплоемкостей воздуха с по мощью уравнений изопроцессов в идеальном газе.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Теплоемкостью тела называется величина, равная отношению бесконечно малого количества поглощенной
теплоты d Q к бесконечно малому повышению температуры
dT , вызванному поглощением этой теплоты:
C
d Q
.
dT
(1.2.1)
Если теплоемкость не зависит от температуры, то из определения следует, что она численно равна теплоте, погло щаемой телом при нагревании на единицу температуры.
Теплоемкость единицы массы вещества называется удель ной теплоемкостью, теплоемкость одного моля вещества –
молярной теплоемкостью. Далее будем рассматривать мо лярные теплоемкости.
Количество теплоты, поглощаемой телом, и, следова тельно, теплоемкость тела зависят от способа нагревания.
Различают теплоемкость при постоянном объеме CV и теплоемкость при постоянном давлении C p .
По Первому началу термодинамики количество теплоты
d Q , сообщенное термодинамической системе, расходуется
на увеличение внутренней энергии системы и совершение
системой работы:
13
d Q  dU  d A ,
(1.2.2)
где d  означает не приращение какой-либо функции а
элементарное количество теплоты d Q  и работы d A.
При изохорном нагревании газа ( V  const ) не происходит
изменение объема ( dV  0 ), и поэтому работа газа d A  pdV
тоже равна нулю. Теплота, поглощенная телом, идет только
на увеличение внутренней энергии тела ( d Q  dU ). Исходя
из этого теплоемкость CV равна
CV 
d Q dU

.
dT
dT
(1.2.3)
При изобарном нагревании ( p  const ) один моль расширяющегося газа совершает против внешних сил работу
d A  pdV . Найдем зависимость работы, совершаемой газом,
от изменения температуры. Для этого рассмотрим 1 моль га за в двух состояниях – до поглощения теплоты (состояние 1)
и после поглощения (состояние 2). В состоянии 1 газ имел
следующие параметры:
Давление: p1 ,
Объем: V1 ,
Температура: T1 .
Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона для состояния 1:
p1V1  RT1 ,
(1.2.4)
где R – универсальная газовая постоянная.
При переходе в состояние 2 газ при постоянном давле нии увеличил свой объем на величину dV и температуру –
на dT . Параметры газа в состоянии 2:
Давление: p2  p1 ,
Объем: V1  V1  dV ,
Температура: T1  T1  dT .
Уравнение Менделеева–Клапейрона для состояния 2:
14
p1 (V1  dV )  R(T1  dT )
(1.2.5)
Вычтем из (1.2.4) выражение (1.2.5)
p1V1  p1V1  p1dV  RT1  RT1  RdT
и получим выражение для работы, совершенной газом:
d A  p  dV  R  dT .
(1.2.6)
Из (1.2.6) виден физический смысл универсальной газовой постоянной R : она численно равна работе, совершае мой 1 молем газа в процессе изобарного расширения при
увеличении температуры на 1 кельвин. Разделив R на количество молекул в одном моле (чис ло Авогадро N A ), получим работу, совершаемую одной молекулой против внеш них сил при тех же условиях нагревания. Эта работа чис ленно равна постоянной Больцмана k :
k
R

NA
(1.2.7)
Подставим полученное выражение для работы (1.2.6) в
уравнение Первого начала термодинамики (1.2.2):
d Q  dU  RdT ,
и отсюда, с учетом (1.2.1), получаем выражение для тепло емкости при постоянном давлении:
Cp 
d Q dU

 R.
dT
dT
(1.2.8)
Подставляя в (1.2.8) выражение для CV , получаем уравнение
15
C p  CV  R ,
(1.2.9)
называемое уравнением Майера. Из уравнения Майера видно, что теплоемкости при постоянном давлении и объеме
отличаются на константу. Из этого следует, что и отношение теплоемкостей – тоже величина постоянная. Вместе
с тем неясно, от чего зависит теплоемкость CV . Для того,
чтобы вывести уравнение для CV , проанализируем выражение (1.2.3), описывающее зависимость CV от внутренней
энергии газа.
Внутренняя энергия газа зависит от числа степеней сво боды молекул, составляющих газ. Числом степеней свободы системы называется число независимых координат, оп ределяющих положение системы в пространстве. Молекулы, состоящие из различного количества атомов, обла дают и различным числом степеней свободы i . Для одноатомного газа i  3 , для двухатомного i  5 , для газа, молекулы которого состоят из трех и большего количества ато мов, i  6 .
Из теоремы о равномерном распределении энергии по
степеням свободы следует, что на каждую поступательную
и вращательную степень свободы молекулы приходится
одинаковая (в среднем) энергия, пропорциональная абсолютной температуре газа:
1
2
  kT .
(1.2.10)
Соответственно, если молекула обладает i степенями свободы, то ее кинетическая энергия
1
E  i kT .
2
(1.2.11)
Тогда 1 моль идеального газа (газа, в котором можно пре небречь взаимодействием молекул), состоящий из молекул
16
с i степенями свободы, согласно (1.2.7), обладает внутрен ней энергией
iRT
U  E NA 
.
(1.2.12)
2
Таким образом, для молярной теплоемкости при постоянном объеме CV получаем выражение, зависящее только
от числа степеней свободы молекул газа:
CV 
iR
.
2
(1.2.13)
Из уравнения Майера получаем выражение для теплоем кости при постоянном давлении:
Cp 
iR
i2
R
R.
2
2
(1.2.14)
Тогда и отношение теплоемкостей есть величина посто янная, зависящая от числа степеней свободы молекул газа:

Cp
CV

i2
.
i
(1.2.15)
Если экспериментально определить величину  , то из
(1.2.15) можно найти количество степеней свободы молекул
данного газа:
i
2
.
 1
(1.2.16)
Величина  является одной из важнейших термодинами ческих величин, она носит название показателя адиабаты.
Адиабатический процесс – это процесс, проходящий без
теплообмена со внешней средой ( d Q  0 ). Состояние иде17
ального газа при адиабатическом процессе описывается
уравнением Пуассона:
pV   const .
(1.2.17)
Адиабатический процесс тоже относится к изопроцессам,
т.к. в отсутствие теплообмена энтропия S системы, определяемая как
d Q
dS 
(1.2.18)
T
остается неизменной ( d Q  0 , следовательно, dS  0 ).
Адиабатический процесс еще называется изоэнтропным,
или S -процессом. Энтропия характеризует степень беспо рядка в системе. Адиабатический процесс занимает особое
место в термодинамике. Он характеризует связь между тер модинамическими параметрами замкнутой макросистемы и
поэтому является основой для установления взаимозави симостей между параметрами. По Первому началу термоди намики при адиабатическом процессе работа совершается
системой за счет внутренней энергии U . Но если система
находится в тепловом равновесии со средой, имеющей тем пературу T0 , то из энергии системы U в виде работы отдается величина, не превышающая U  T0 S . Величина T0 S называется связанной энергией. Она передается только через
теплообмен. Поскольку связанная энергия пропорциональна
энтропии, то энтропия характеризует обесцененность энер гии системы: энтропия возрастает во всех процессах,
уменьшающих способность системы производить работу.
Исходя из физического смысла показателя адиабаты ло гично сделать вывод, что эксперимент по определению ве личины  должен быть построен так, чтобы термодинами ческая система хотя бы один раз переходила из состояния в
состояние при помощи адиабатического процесса. Кроме
того, желательно, чтобы система возвратилась в исходное
состояние после прохождения нескольких процессов, т.е.
18
совершила цикл, или круговой процесс. На рис.1.2.1 пред ставлен такой цикл, состоящий из адиабаты 1-2, изохоры 23 и изотермы 3-1.
P
P1
1
P3
3
P2
2
V1
V2
V
Рис. 1.2.1
Состояние идеального газа при изотермическом процессе
( T  const ) описывается уравнением Бойля -Мариотта
pV  const .
(1.2.19)
С учетом того, что V2  V3 , уравнение (1.2.19) для изотермы 3-1 имеет вид:
p1V1  p3V2 .
(1.2.20)
Уравнение (1.2.17) для адиабаты 1-2 записывается как:
p1V1  p2V2 .
(1.2.21)
Уравнения (1.2.20) и (1.2.21) образуют систему уравне ний, решая которую, мы найдем величину  . Для этого возведем уравнение (1.2.20) в степень  :
19
p1 V1  p3 V2 ,
и поделим его на уравнение (1.2.21). Получим:

p3
p1
p 
p
, или  1   1 .

p1 p2
p2
 p3 
(1.2.22)
Логарифмируя уравнение (1.2.22), получим искомую
величину:
p1
p2
 
,
p1
ln
p3
ln
(1.2.23)
где p1 , p 2 , p3 – давление газа, соответственно, в состояниях 1,2,3 цикла, указанного на рис.1.2.1.
Выражение (1.2.23) можно упр остить, если во время проведения цикла давление p1 и p3 незначительно отличается
от p 2 . Введем следующие обозначения для давления, пре вышающего p 2 :
p1  p1  p2 ;
(1.2.24)
p 3  p 3  p 2 .
(1.2.25)
Тогда из рис. 1.2.1 следует, что
p1  p3  p1  p3 .
(1.2.26)
Соответственно выражение (1.2.22) для определения γ
приобретает вид:
20
 p  p1 
 p 
p1

ln 1
ln1  1 
p1 
p1 
p2


.
 


p1




p


p


p

p


p
3
1
3
ln
 ln1  1

ln 1
p3
p
p




1
1
ln
(1.2.27)
Используя разложение функции логарифма в ряд Маклорена
и сохраняя только первый член разложения ln(1  x)   x из
(1.2.27), окончательно получаем
 
p1
.
p1  p3
(1.2.28)
Для выяснения физического смысла полученного при ближения (1.2.28) запишем уравнение изотермы (1.2.19) и
адиабаты (1.2.17) в дифференциальном виде:
T  const :
pdV Vdp  0 ;
(1.2.29)
S  const :
pdV Vdp  0 .
(1.2.30)
Из сравнения формул (1.2.29) и (1.2.30) очевидно, чт о
отношение теплоемкостей  может быть найдено как отно шение угловых коэффициентов адиабаты и изотермы, по скольку
p
 dp 

   ,
V
 dV  S
(1.2.31)
p
 dp 

  .
V
 dV T
(1.2.32)
Объединяя соотношения (1.2.31) и (1.2.32), получаем равенство:
21
 dp 
 dp 

 
 ,
 dV  S
 dV T
(1.2.33)
которое выполняется при любых заданных значениях p и
V . Если по-прежнему считать, что в ходе цикла изменения
p и V малы, то адиабату и изотерму можно с хорошей точ ностью заменить отрезками прямых, угловые коэффици енты которых на интервале V  V2  V1 соответственно равны:
p1
 dp 
,
(1.2.34)

 
V
 dV  S
p1  p3
 dp 

 
V
 dV T
(1.2.35)
Таким образом, для отношения теплоемкостей вновь по лучаем выражение (1.2.28):

p1
,
p1  p3
(1.2.36)
которое в работе используется в качестве расчетного.
Преимущество данного подхода и полученного прибли женного соотношения (1.2.36) заключается в его простоте,
высокой точности и возможности измерения давления в
произвольных единицах (например в мм водяного столба).
В настоящей работе p 2 равно атмосферному давлению.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Схема экспериментальной
рис.1.2.2.
22
установки
изображена
на
В атмосферу
К1
В атмосферу
К2
Тройник
М
К
Б
Рис 1.2.2. Схема экспериментальной установки
Б – стеклянный баллон с воздухом; К – компрессор, нагнетающий в баллон дополнительный воздух; М – U-образный жидкостный манометр, измеряющий разность давлений
воздуха в баллоне и вне его; К 1 , К 2 – краны. Нагнетать воздух в баллон компрессором К нужно осторожно, не допус кая выплескивания жидкости из манометра М.
МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ
Метод определения  , который используется в данной
работе, носит название метода Клемана -Дезорма. При выполнении работы с некоторым количеством воздуха про исходят термодинамические процессы, графики которых в
координатах ( p,V ) представлены на рис.1.2.3.
23
p
1'
изотерма
1
адиабата
p0
3
2
3'
2'
Рис. 1.2.3
0
V
На рис.1.2.3 точка 0 соответствует состоянию, при ко тором некоторое количество воздуха с массой m0 имеет
параметры p0 , V0 , T0 . Давление p 0 и температура T0 совпадают с давлением и температурой окружающей среды (ат мосферного воздуха). При нагнетании воздуха в баллон насосом происходит процесс 0-1'. Воздух при этом сжимается
и немного нагревается. Далее в течение 2 -3 минут воздух в
баллоне охлаждается до температуры окружающей среды T0
(процесс 1'-1). В состоянии 1 воздух массой m0 в баллоне
имеет параметры p1 , V1 , T0 .
Давление p1 при этом равно:
p1  p0  p1 ; p1  gH ,
(1.2.37)
где  – плотность жидкости в манометре;
H – разность высот уровней поверхности жидкости в
коленах манометра в состоянии 1.
Если открыть кран, закрывающий воздух в баллоне, до
давление воздуха так быстро уменьшится до p 0 , что рас-
24
ширение воздуха, соответствующее процессу 1 -2, можно
считать адиабатическим.
Если в состоянии 2 перекрыть краном трубку, соединя ющую воздух в баллоне с атмосферным воздухом, то в ре зультате теплообмена воздух в баллоне изохорически наг ревается до температуры T0 (процесс 2-3). В состоянии 3
давление воздуха равно:
p3  p0  p3 ; p3  gh0 ,
(1.2.38)
где h0 – разность высот уровней жидкости в манометре в
состоянии 3.
Если в формулу (1.2.28) подставить p1 и p3 , определяемые формулами (1.2.37) и (1.2.38), то получим:

gH
.
gH  gh0
(1.2.39)
После сокращений в формуле (1.2.39) расчетная формула
для определения  принимает вид

H
.
H  h0
(1.2.40)
Величину h0 мы измерим точно, если, наблюдая процесс
1-2, перекроем кран в то мгновение, когда воздух в баллоне
окажется в состоянии 2. Для данной экспериментальной установки время процесса 1-2 составляет несколько десятых
долей секунды. Запаздывание с перекрытием крана приво дит к тому, что начинается изобарическое нагревание воз духа в баллоне (процесс 2 -2') и величина h0 определяется
неточно. Мы получим заниженное значение h0 . Если же
кран закрыть раньше, то мы получим завышенное значение
h0 (рис.1.2.4).
25
p
1
3''
3
h0
3'
h0
p0
2''
2
h0
0
2'
Рис. 1.2.4
V
Поскольку время процесса 1-2 составляет несколько десятых долей секунды, что сравнимо со временем челове ческой реакции, то при проведении эксперимента чаще все го будут получаться заниженные значения h0 , причем занижение будет тем значительнее, чем дольше будет открыт
выпускной кран. Найдем зависимость между h – разностью
высот уровней жидкости в манометре в состоянии 3 и  –
временем изобарного нагревания.
При изобарном нагревании количество теплоты, сооб щенное воздуху в баллоне, пропорционально разности тем ператур воздуха T и окружающей среды T0 , а также промежутку времени dt , в течение которого происходит нагрева ние:
d Q  K T  T0 dt , или mC p dT  K T  T0 dt , (1.2.41)
где C p – удельная теплоемкость воздуха при p  const ;
m – масса воздуха;
K – коэффициент теплопередачи, отнесенный к пол ной площади поверхности баллона.
26
Разделяя переменные в уравнении (1.2.41):
dT
K

dt
T  T0
mC p
интегрируем, пренебрегая зависимостью массы m от температуры T :
K 
(1.2.42)
ln(T  T0 )  
dt  const ,
mC p
где  – время изобарического нагревания. Постоянную
интегрирования в уравнении (1.2.42) определяют из
начального условия: T  T1 при   0 . Определив постоянную и потенцируя уравнение (1.2.42), найдем
 K  
,
T0  T  T0  T1  exp  
 mCp 


или после деления на T0 получим
 K  
T  T1 
.
1
 1   exp  


T0  T0 
 mCp 
(1.2.43)
При изохорическом нагревании (процесс 2 -3) отношение
p
 const , т.е. получаем равенство
T
p3 p 0
p
T
, или 1  0 .

T0 p3
T0 T1
Отсюда
1
p
p  p0 p3
T1
.
 1 0  3

T0
p3
p3
p3
(1.2.44)
27
При изохорическом нагревании (процесс 2'-3') аналогично получаем:
1
T1 p3
,

T0
p3
(1.2.45)
где
p  gh .
p  p0  p ;
(1.2.46)
Подставляя формулы (1.2.44) и (1.2.45) в формулу
(1.2.43), получим с учетом формул (1.2.38) и (1.2.46):


K

h  h0 exp 
 .
 mCp 


(1.2.46)
При выводе (1.2.46) учтено, что p3  p (различие составляет несколько десятых долей процента).
Логарифмируя (1.2.46) по основанию е, получим уравнение
ln h  ln h0 
K
,
mCp
(1.2.47)
описывающее искомую зависимость h от  . На рис.1.2.5
представлен график зависимости ln h от  . Видно, что, повторив опыт несколько раз с различным временем запазды вания можно  i , можно, зная значения ln hi , найти путем
экстраполяции величины a  ln h0 и
h0  e a .
28
K
. Тогда
mCp
(1.2.48)
ln h
ln h0 
ln h0

0
Рис. 1.2.5
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Включить электрическую схему экспериментальной ус тановки с помощью тумблеров "СЕТЬ" и "КОМПРЕССОР".
Зафиксировать начальный уровень жидкости в манометре.
2. Нажать клапан "НАПУСК", открывающий кран K 1 и
включающий насос, и накачать воздух в баллон так, чтобы
жидкость в трубке манометра опустилась на 8 -10 см от начального уровня. При этом разность уровней в трубках
манометра равна 16-20 см.
3. Отпустить клапан "НАПУСК", закрывая кран K 1 . Через 2-3 минуты произвести дополнительную регулировку до
заданного уровня. Измерить разность H уровней жидкости
в манометре. В дальнейших опытах заданный уровень H
необходимо поддерживать постоянным.
4. Быстро нажать на клапан "СБРОС", открывающий
кран K 2 , и одновременно включить секундомер. Выдержать
кран К 2 открытым в течение заданного времени  1 . После
этого отпустить клапан "СБРОС", закры вая К 2 , и остановить секундомер. Через 2-3 минуты, когда давление в
баллоне перестанет меняться, измерить разность h1 уровней
жидкости в манометре.
29
5. Повторить пункты 2-4 для другого времени  2 и измерить h2 . Опыты нужно выполнять для  i = 5,10,15,20,25,30
секунд, опреде-ляя каждый раз значения hi .
6. Результаты измерений занести в таблицу 1.
№ п.п.
H , см
i,с
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
6
30
hi , см
Таблица 1
ln hi
По результатам измерений  i и ln hi найти ln h0 и абсолютную погрешность (полуширину доверительного интер вала) ln h0  . Величина h0 соответствует мгновенному (адиабатическому) расширению воздуха. Согласно уравнению
(1.2.47) график функции ln h  f ( ) – прямая линия. Приближенно ln h0 и ln h0  можно найти по графику (см. рис. 1.2.5).
Более точные результаты дает применение метода наи меньших квадратов. Если ввести обозначения
  X ; ln h  Y ; 
K
 a , ln h0  b ,
mC p
то уравнение (1.2.47) можно записать в виде уравнения пря мой:
Y  aX  b .
30
Методика применения метода наименьших квадратов и
расчета погрешностей приведены в Приложении 2
7. Определить h 0 и абсолютную погрешность  h 0 по формулам:
h0  e a  eln h0 ; h0  h0 ln h0 .
(1.2.49)
8. Найти отношение теплоемкостей воздуха  по формуле
(1.2.40)
9. Определить абсолютную погрешность H и вычислить
абсо-лютную погрешность  с помощью формулы
2
H 2  h02
 H 
.
 
 
2

 H 
H  h0 

(1.2.50)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое теплоёмкость?
2. Запишите уравнение Первого начала термодинамики.
3. Почему теплоемкость газов зависит от условий нагре вания?
4. Почему C p больше, чем CV ?
5. Какой процесс называется адиабатическим?
6. Почему процесс выпуска воздуха может считаться ади абатическим, несмотря на то, что веществ, не проводящих
тепло, в природе не существует?
7. Какая система частиц называется идеальным газом?
8. Может ли газ в данной работе считаться идеальным и
почему?
9. Запишите уравнение адиабатического процесса для идеального газа.
10. Что такое политропические процессы?
11. Каков смысл показателя политропы?
12. Какие изопроцессы Вы знаете? Запишите уравнения
для каждого из них.
31
13. Запишите уравнение политропы для идеального газа.
14. Какие значения имеет показатель политропы при раз личных изопроцессах?
15. Что происходит с внутренней энергией и температурой при адиабатическом процессе?
16. Что такое макро- и микросостояния системы?
17. Что такое статистический вес макросостояния?
18. Какое макросостояние называется равновесным?
19. Какой процесс называется необратимым?
20. Какой процесс называется квазистатическим?
21. Что такое степень свободы тела?
22. Какое число степеней свободы имеет двухатомная мо лекула?
23. Как связано число степеней свободы молекул газа с
теплоёмкостью этого газа?
24. Как связано число степеней свободы молекул газа с
кинетической энергией этого газа?
25. Какая величина характеризует внутреннюю энергию газа?
26. Что такое связанная энергия? Как она передается?
27. Что такое энтропия? Каков статистический смысл эн тропии?
28. Каков термодинамический смысл энтропии?
29. Как изменяется энтропия при адиабатическом процессе?
30. В расчетах используются формулы для постоянной
массы газа. Как это согласовать с изменением массы газа в
баллоне во время цикла, применяемого в работе?
32