Д.С. Челкак. Спецкурс «Расширения симметрических операторов» - весна 2008.

Д.С. Челкак. Спецкурс «Расширения симметрических операторов» - весна 2008.
Примерный список вопросов.
1. Плотно заданные операторы. Сопряженные операторы, замкнутые операторы,
существование замыкания у симметрического оператора.
2. Самосопряженные операторы. Основной критерий самосопряженности.
3. Оператор Штурма-Лиувилля на отрезке. Различные расширения (и их спектры)
дифференциального оператора, заданного на гладких финитных функциях.
4. Индексы дефекта, дефектные подпространства. Равенство индексов дефекта
полуограниченного снизу оператора.
5. Описание всех замкнутых симметрических расширений симметрического
оператора - I: описание всех возможных областей определения.
6. Описание всех замкнутых симметрических расширений симметрического
оператора - II: биекция с множеством частичных изометрий.
7. Проблема моментов Гамбургера. Необходимое и достаточное условие
существования решения.
8. Операторы Шредингера на промежутке. Предварительные леммы. Классификация
предельный круг / предельная точка (вместе с соответствующей теоремой).
9. Критерий Вейля самосопряженности оператора Шредингера на промежутке.
10. Квадратичные формы. Определение, примеры, квадратичная форма,
порожденная полуограниченным самосопряженным оператором. Замкнутость.
11. Теорема о порожденности самосопряженным оператором произвольной
полуограниченной симметричной квадратичной формы.
12. Замыкаемость формы, порожденной полуограниченным симметрическим
оператором. Расширение полуограниченного оператора по Фридрихсу.