ЛЕКЦИЯ 5 СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ В координатном представлении r$ = r, P$ = −iħ∇ ∇. Коммутаторы этих операторов таковы : [ r$ , p$ ] = iħδkl I$ . k l Очевидно, что коммутатор оператора координаты с «чужим» компонентом импульса (скажем, x$ с p$ y ) равен нулю. Проверим, что ( y$ , p$ и z$ , p$ , аналогично ). [ X$ , P$ ] = iħ I$ y x z Имеем: ∂ψ ∂ [ X$ , P$ ] ψ(x) = x$ p$ x ψ- p$ x x$ ψ = x − i h ∂x +iħ ∂x (xψ) = x ∂ψ ∂ψ + iħ x + iħ ψ = iħ I$ ψ, ∂x ∂x откуда в силу произвольности ψ и получаем, что надо. Итак, коммутатор координаты со «своим» импульсом отличен от нуля. Это накладывает ограничения на дисперсии координаты и импульса в заданном состоянии, называемые соотношениями неопределенностей. Проведем общее рассмотрение для наблюдаемых A и B, записывая A$ , B$ = i C$ , = − iħ x [ ] ) где C$ ≠ 0$ . Операторы A и B$ эрмитовы, и множитель i введен для того, чтобы оператор C$ был также эрмитовым (сам коммутатор антиэрмитов). Введем операторы уклонения от среднего значения в заданном состоянии: ) ∆A$ ≡ A − A$ I$ , ∆B$ ≡ B$ − B$ I$ . Они эрмитовы и удовлетворяют тому же коммутационному соотношению: ∆A$ , ∆B$ = i C$ . [ ] Дисперсией наблюдаемой A (аналогично B) в состоянии ψ называется Dψ(A) ≡ (∆A)2 det (∆A$ ) 2 . Задача - получить ограничения на дисперсии наблюдаемых A и B. Образуем скалярное произведение (∆ A$ ψ,∆ B$ ψ) и найдем его мнимую часть: Im(∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ) = 1/2i{ (∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ) - (∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ)* }= = 1/2i{( ∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ)-( ∆ B$ ψ, ∆ A$ ψ)} = 1 = 1/2i{( ψ, ∆ A$ ∆ B$ ψ)-( ψ, ∆ B$ ∆ A$ ψ)} = [ ] = 1/2i (ψ, ∆A$ , ∆B$ ψ) = 1/2i(ψ, C$ ψ) = 1/2〈C〉. Учтем теперь, что модуль мнимой части не больше модуля самого числа, а затем воспользуемся неравенством Коши - Буняковского: | Im(∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ)| ≤ | (∆ A$ ψ, ∆ B$ ψ)| ≤ = (∆A$ ) 2 (∆B$ ) Сравнивая с неопределенностей: 2 (∆A$ ψ , ∆A$ ψ) ⋅ (∆B$ ψ , ∆B$ ψ) = ( ∆A ) 2 ( ∆B ) 2 ≡ (∆Α)(∆B). = предыдущим, мы и приходим к общему соотношению ∆A⋅∆В ≥ 1/2 |〈C〉|. В частности, для координаты и импульса C$ = ħ I$ , а потому 〈C〉 = ħ, и получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга: ∆x∆px ≥ ħ/2. Ни в одном состоянии дисперсии координаты и импульса не могут обе быть нулями. Значит x и px совместно неизмеримы. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ) Возьмем какой-то эрмитов оператор A и поставим задачу на собственные значения: ) A |ϕn〉 = An|ϕn〉. Допустим, что спектр - чисто дискретный. Это значит, что собственные векторы образуют ортонормированный базис: (ϕn, ϕm) = δnm ⇔ 〈ϕn|ϕm〉 = δnm, ∑ |ϕn〉〈ϕn| = I$ . n Любой вектор |ψ〉 можно разложить по этому базису: |ψ〉 = ∑ ψn|ϕn〉, n где дискретная последовательность коэффициентов Фурье ψn = 〈ϕn|ψ〉 будет однозначно задавать состояние ψ. Расположим числа ψn в матрицу - столбец: 2 ψ1 ψ2 |ψ〉 = . . . . Она и представляет вектор состояния |ψ〉. Образуем эрмитово сопряженную матрицу, которая будет матрицей - строкой с компонентами ~ = 〈ϕn |ψ〉* = 〈ψ|ϕn〉 = ψ*n. ψ n Она будет представлять совектор 〈ψ| : 〈ψ|= (ψ∗1, ψ∗2,...). С использованием условия полноты ∑ |ϕn〉〈ϕn| = I$ скалярный квадрат запишется как n 〈ψ |ψ 〉 = ∑ 〈ψ | ϕn〉〈 ϕn|ψ〉 = n ∑ψ n ∗ n ψn = ∑ |ψn|2 . n Если вектор |ψ 〉 нормирован, т.е. 〈ψ |ψ 〉=1, то сумма также равна 1, т.е. ряд сходится. Рассмотрим теперь некоторый оператор F$ ,который действуя на |ψ 〉 переводит его в ~ : ψ ~ = ψ F$ |ψ 〉. Умножая скалярно на 〈 ϕn| и пользуясь условием полноты, найдем: 〈 ϕn| ψ 〉 = 〈 ϕn| F$ I$ |ψ 〉 = или ~ = ψ n ∑F ∑ 〈 ϕn| F$ | ϕm〉〈 ϕm |ψ 〉, m nmψm, m где введена матрица оператора: Fnm ≡ 〈 ϕn| F$ |ϕm〉. ~ , а матрица Fnm переводит компоненты ψn вектора |ψ〉 Оператор F$ переводит |ψ〉 в ψ ~ вектора ψ ~ . Если оператор эрмитов, то и его матрица эрмитова: в компоненты ψ n Fnm = (Fmn)*. Среднее значение оператора 〈F〉 = ψI$ F I$ψ = F$ в состоянии ψ теперь вычисляется так: ∑ ψϕ n,m т.е. 〈F〉 = ∑ n ϕn F ϕm ϕm ψ = ∑ψ∗n Fnm ψm , n,m Fnm ψ*n ψm. n ,m Рассмотрим теперь другое представление, порожденное оператором B$ : 3 B$ | ϕ′ n〉 = Bn| ϕ′ n〉, 〈 ϕ′ n| ϕ′ m〉 = δnm, ∑ | ϕ′ n〉〈 ϕ′ n| = I$ . n Векторы |ψ〉 в нем представляются другими волновыми функциями: ψ′n = 〈 ϕ′ n |ψ〉, а операторы F$ - другими матрицами: F n′m = ϕ ′n F$ ϕ ′m . Но так как оба базиса - ортонормированные, то волновые функции и матрицы операторов в обоих представлениях связаны унитарным преобразованием: ψ′n = ∑ Unmψm, F′nm = ∑ Unn′Fn′m′U+m′m. n ′ ,m ′ m Раньше мы формулировали эти утверждения на языке операторов. Найдем шпур (след) матрицы оператора F$ в B -представлении: SpF ′ ≡ ∑ F′ nn = n = ∑δ m ′ ,n ′ m ′n ′ Fn ′m ′ = ∑ n ,m ′ ,n ′ U nn ′ Fn ′m ′ U m+ ′n = ∑F m′ m ′m ′ = SpF , ∑U n ,m ′ , n ′ + m ′n U nn ′ Fn ′m ′ = (U+U = I ), т.е. шпур матрицы инвариантен относительно унитарного преобразования - не зависит от выбора представления. Задача на собственные значения оператора F$ F$ |ψ〉 = F|ψ〉 в матричном A-представлении ставится как ∑F nm m ψ m = Fψ n ⇔ ∑ (Fnm-Fδnm)ψm = 0. m Система однородных линейных уравнений для определения ψm имеет нетривиальные решения при условии det ||Fnm-Fδnm|| = 0 Это вековое или характеристическое уравнение является алгебраическим. Его решения F1,F2,...Fk... есть искомые собственные значения. Подставляя каждое из них в систему уравнений, найдем последовательности F1 : ψ(1)1, ψ(1)2,... ψ(1)n,..... F2 : ψ(2)1, ψ(2)2,... ψ(2)n... .............................................................. представляющие собственные векторы |ψ(n)〉, т.е. являющиеся их волновыми функциями. Если в качестве базисных векторов выбрать собственные векторы |ψn 〉 оператора F$ , то его матрица будет диагональной: Fnm = 〈ψn | F$ |ψm 〉 = 〈ψn |Fm|ψm 〉 = Fm 〈ψn |ψm 〉 = Fmδnm 4 Таким образом, решение задачи на собственные значения оператора F$ равнозначна диагонализации его матрицы: находим|ψn〉, устанавливаем унитарное преобразование, связывающее |ψn〉 с |ϕn〉, и совершаем это унитарное преобразование над исходной матрицей Fnm. В результате и получим диагональную матрицу. ) Все те же операции можно проделать и в случае, когда спектр оператора A непрерывный, но все надо понимать в обобщенном смысле. Базис образуют обобщенные собственные векторы: ) A |χA〉 = A|χA〉, 〈χA|χB〉 = δ(A-B), ∫dA|χA〉〈χA| = I$ . Волновая функция ψ ( A )= 〈χA|ψ〉 есть «настоящая» функция, ибо зависит от непрерывного аргумента. Если оператор F$ ~ , т.е. переводит вектор |ψ〉 в ψ ~ = F|ψ $ 〉, ψ то для волновых функций имеем: ~ (A) ≡ 〈χA| ψ ~ 〉 = 〈χA| F|ψ $ 〉 = ∫〈χA| F|χ $ A′〉 〈χA′ |ψ〉, ψ т.е. ~ (A) = ∫F(A,A′)ψ (A′)dA′, ψ где $ A′〉 F(A,A′) ≡ 〈χA| F|χ ядро интегрального оператора F$ . Для произведения двух операторов F$1 = F$2 F$3 получим F1(A,A′) = 〈χA| F$ 2 F$ 3 |χA′〉 = 〈χA| F$ 2|χA′′〉 〈χA′′ | F$ 3|χA′〉 dA′′, т.е. ядро произведения получается как свертка операторов-сомножителей: F(A,A′ ) = ∫ F(A, A′ ) F(A′′,A′ )dA′. - . .- . - . - . Рассмотрим уравнение Шредингера ∂ iħ |ψ〉 = H$ |ψ〉, ∂t которое для одной частицы во внешнем поле записывается как iħ ∂ P$ 2 |ψ〉 = |ψ〉 +V(r)|ψ〉. ∂t 2m В координатном представлении мы его уже получали: ∂ iħ ψ(r,t) = -ħ2/2m⋅ ∇2 ψ(r,t) + V$ (r) ψ(r,t). ∂t 5 Найдем теперь уравнение Шредингера в импульсном представлении. Нам нужно P$ 2 ~ (p), которая есть $ $ найти действие оператора H , т.е. K = и V(r) на волновую функцию ψ 2m ~ (p) = 〈χp|ψ〉. ψ Для ядра оператора V имеем $ |χp′′〉 = (χp(r),V(r) χp′′ (r)), W(p,p′) = 〈χp| V где χp(r) - собственные функции оператора импульса в координатном представлении: i 1 − pr h χp(r) = . 3 e (2πh) 2 Подстановка дает: W(p,p′) = i i − p′ r h ∫ dr 1 1 (2πh) 3 ∫ dr V (r )eh 3 2 pr eh V (r )e , (2πh) т.е. ядро W получается из V путем преобразования Фурье: W(p,p′) = i ( p − p′ ) r . Для оператора кинетической энергии K$ имеем: i i 1 pr 2 − h p′ r h K(p,p′) = − ħ /2m⋅(χp(r),∇ χp(r′)) = − ħ /2m⋅ ∫ dr e ∇ e = (2πh) 3 2 2 (− p′) 2 1 = − ħ /2m⋅ 2 (2πh) 3 h 2 2 ∫ dr e i ( p − p′ ) r h = p2/2m⋅δ(p-p′): т.е. K(p,p′) = p2/2m⋅δ(p-p′). Подставляем все это в уравнение Шредингера в импульсном представлении: iħ ~ (p, t ) ∂ψ = ∫ H (p, p ′)ψ(p ′, t )dp ′ = ∂t iħ ~ (p, t ) p2 ~ ∂ψ = ∫ dp ′ δ(p − p ′) + W(p, p ′)ψ (p ′, t ) , ∂t 2m ∫ {K (p, p ′) + W(p, p ′)}ψ(p ′, t )dp′ . Получаем: т.е. ~ (p, t ) ∂ψ p2 ~ ~ (p ′, t ) , iħ = ψ(p, t ) + ∫ dp ′W(p, p ′)ψ ∂t 2m где W(p,p′) = 1 (2πh) 3 i ∫ dr V (r )eh ( p − p′ ) r . 6 В итоге получилось интегро-дифференциальное уравнение. Если V(r)есть полином от r2,т.е. включает сумму членов вида Vn = anr2n, то eсть уравнение Шредингера сводится к дифференциальному. Действительно, в этом случае i an an h r 2n hi (p− p′ )r 2 n h ( p − p′ ) r Wn(p,p′) = dr r e = dr ( ∇ p ) e = i (2πh) 3 ∫ (2πh) 3 ∫ = an (-ħ2∇2p )n 1 (2πh) 3 i ∫ d r eh ( p− p′ ) r = an(-ħ2∇2p )nδ(p-p′); ~ (p′,t)dp′ = an(-ħ2∇2p )n∫ δ(p-p′) ψ ~ (p′,t)dp = an (-ħ2∇2p )n ψ ~ (p,t); ∫ Wn(p,p′) ψ iħ ∂ ~ ~ (p,t). ψ (p,t) = (p2 /2m +an(-ħ2∇2p )n) ψ ∂t Важный пример - изотропный гармонический осциллятор, с kr$ 2 m ω 2 r 2 V(r)= (ω2 ≡ k/m). = 2 2 В координатном представлении уравнение Шредингера записывается как ∂ iħ ψ(r,t) = -ħ2/2m⋅∇2 ψ(r,t) + (m ω2 r2/2)ψ(r,t). ∂t В импульсном представлении, учитывая, что n = 1 и a = mω2/2, имеем: ∂ ~ ~ (p,t) - ħ2mω2/2∇2 ψ ~ (p,t) iħ ψ (p,t) = p2/2m ψ ∂t Уравнения с точностью до переобозначения констант идентичны, а значит идентичны и их решения. Но они, как функции в координатном и импульсном представлениях, должны быть связаны преобразованием Фурье. Поэтому, если не обращать внимания на константы, волновые функции изотропного гармонического осциллятора инвариантны относительно преобразования Фурье: сами функции и их фурье-образы практически совпадают. Таким свойством обладают функции Эрмита и только они, и мы предсказываем волновые функции стационарных состояний осциллятора. КАРТИНЫ ШРЕДИНГЕРА И ГЕЙЗЕНБЕРГА Зависимость от времени можно ввести в квантовую механику разными способами. Они называются разными картинами (представлениями). До сих пор мы пользовались картиной Шредингера, в которой считается, что всю зависимость от времени несут векторы состояния (волновые функции), а в операторы наблюдаемых она может входить лишь в исключительных случаях (например, в гамильтониан системы, находящейся в нестационарных внешних условиях). Основным динамическим уравнением в картине Шредингера является уравнение Шредингера. 7 ∂ |ψш(t)〉 = H$ ш |ψш(t)〉. ∂t Оно позволяет связать вектор состояния |ψш(t)〉 в произвольный момент времени t с вектором состояния |ψш(t0)〉, заданным в начальный момент t 0 . Ведем оператор эволюции U$ (t , t ) определением iħ 0 |ψш(t)〉 = U$ (t , t 0 )|ψш(t0)〉. Так как нормировка векторов не должна меняться во времени, имеем: 1 = 〈ψш(t0)|ψш(t0) 〉 = 〈ψш(t)|ψш(t) 〉 = 〈ψш(t0) U$ + (t , t 0 )U$ (t , t 0 ) | ψш(t0) 〉, т.е. U$ (t , t 0 ) должен быть унитарным оператором: U$ + (t , t )U$ (t , t ) = I . 0 0 Если гамильтониан H$ не зависит явно от времени (стационарные внешние условия), то оператор эволюции может быть выписан в явном виде: i ˆ − H ш (t −t0 ) U$ (t , t 0 ) = e h Тогда |ψш(t)〉 = e i − Hˆ ш ( t − t 0 ) h . Дифференцируя это соотношение по времени, найдем:: i − Hˆ ш ( t − t 0 ) ∂ |ψш(t)〉 =- i/ħ⋅ H$ ш e h =- i/ħ⋅ H$ ш |ψш(t)〉 ∂t ⇒ iħ ∂ | ψш(t)〉 = H$ ш |ψш(t)〉, ∂t т.е. получим уравнение Шредингера, как и должно быть. Перейдем теперь к картине Гейзенберга, совершая унитарное преобразование $ + (t, t ) |ψш(t)〉 = U$ + (t, t ) U$ (t , t )|ψш(t0)〉 = |ψг(t)〉 = U 0 0 0 = I$ |ψш(t0)〉 = |ψш(t0)〉 т.е. |ψг(t)〉 = |ψш(t0)〉 = |ψг(t0)〉 ≡ |ψг〉. Таким образом, в картине Гейзенберга векторы состояний не меняются во времени: один и тот же вектор описывает состояние системы во все моменты времени. Но теперь вся зависимость от времени перекидывается на операторы наблюдаемых, унитарное преобразование которых дает F$ г(t) = U$ + (t, t 0 ) F$ ш U$ (t , t 0 ) . При унитарном преобразовании средние значения наблюдаемых не меняются. Их в разных картинах можно записать как $ 〈F〉 (t) = 〈ψш(t) | F ш |ψш(t) 〉 = $ U$ (t , t )|ψ 〉 = 〈ψ | F$ (t) |ψ 〉. $ + (t, t ) F = 〈 ψг| U ш г г г г 0 0 8 Таким образом, зависимость от времени средних значений не зависит от выбора картины, а именно она-то и является самой главной. В картине Гейзенберга уравнения Шредингера нет, так как векторы состояний постоянны. Основные динамические уравнения формулируются для операторов. Чтобы получить их, найдем сначала уравнение, которому подчиняется оператор эволюции и сопряженный ему. Имеем: |ψш(t) 〉 = U$ (t , t 0 )|ψш(t0) 〉. Дифференцируем по времени: ∂ d $ iħ |ψш(t) 〉 = iħ U (t , t 0 )|ψш(t0) 〉. ∂t dt С другой стороны, согласно уравнению Шредингера, ∂ iħ |ψш(t) 〉 = H$ ш |ψш(t0) 〉 = H$ ш U$ (t , t 0 |ψш(t0) 〉. ∂t Сравнение дает уравнение d $ iħ U (t , t 0 ) = H$ ш U$ (t , t 0 ), dt к которому нужно добавить очевидное начальное условие U$ (t 0 , t 0 ) = I$ . Переходя к сопряженному уравнению с учетом эрмитовости H$ найдем d $+ U (t, t 0 ) = U$ + (t, t 0 ) H$ ш − iħ dt Гамильтониан в КГ имеет вид H$ г = Uˆ + (t , t0 ) Hˆ шUˆ (t , t0 ). Если [Hˆ Uˆ ] = 0̂ , ш, то мы выносим H$ ш налево и пользуемся унитарностью U$ + U$ = I$ . Тогда получим H$ г (t) = H$ ш ≡ H$ . Это справедливо, в частности, когда H$ ш не зависит от времени и (см. выше) i $ − H ø (t − t0 ) U$ (t , t 0 ) = e h . Очевидно, что в этом случае Hˆ ш ,Uˆ = 0̂ . Теперь, пользуясь уравнениями для U$ и U$ + , мы можем получить динамические уравнения для операторов наблюдаемых в картине Гейзенберга: [ ] F$ г(t) = Uˆ + (t , t0 ) FˆшUˆ (t , t0 ) . Дифференцируем по времени: 9 d dt F$ г(t) = { } = d ˆ + ˆ ˆ dUˆ + ˆ ˆ ˆ + ∂Fˆш ˆ ˆ + ˆ dUˆ U FшU = FшU + U U + U Fш = dt dt dt ∂t = 1 ˆ + ˆ ˆ ˆ ˆ + ∂Fˆш ˆ ˆ + ˆ 1 ˆ ˆ U H ш FшU + U U + U Fш H шU = − ih ∂t ih = Uˆ + [ ] ∂Fˆш ˆ i ˆ + ˆ ˆ ˆ U + U H ш , Fш U . h ∂t В итоге получаем уравнения Гейзенберга - динамические уравнения в картине Гейзенберга: $ d $ F г(t) = ∂FÃ (t ) + i H$ Ã (t ), F$Ã (t ) , dt h ∂t [ ] где по определению ∂Fˆд ∂Fˆ (t ) ≡ Uˆ + (t , t0 ) ш Uˆ (t , t0 ) . ∂t ∂t Картина Шредингера хороша при практической работе (уравнения для векторов состояний в определенном представлении становятся дифференциальными уравнениями для обычных функций - волновых функций). Картина Гейзенберга с этой точки зрения хуже (уравнения для операторов), но она хороша при общих размышлениях. В частности, позволяет с легкостью обсудить законы сохранения. 10 11