Цилиндр в однородном поле

Лабораторная
работа № 53
ЦИЛИНДР В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ
1. Краткое содержание работы
В работе проводится экспериментальное исследование картины поля в
окрестностях цилиндра, помещенного в однородное поле в случае, когда
проводимость цилиндра отличается от проводимости окружающей среды.
2. Описание установки
Установка (рис.1) состоит из устройства для формирования поля и
измерительной части. Для формирования поля используется лист
электропроводящей бумаги с проводимостью =2,2310-3 См/м и
металлические электроды, к которым подводится напряжение от источника
питания U. Для обеспечения надежного контакта электродов с бумагой лист
накладывается на упругую резиновую подложку, а электроды выполнены
массивными.
Измерение потенциалов различных точек производится электронным
вольтметром В-3-38, снабженным щупом. При измерении «земляной» вывод
вольтметра присоединяют к одному из полюсов источника питания , а
«сигнальный» вывод к щупу. Прикасаясь концом щупа к проводящей бумаге,
по показаниям вольтметра определяют потенциал в точке прикосновения.
В работе исследуется поле в окрестности цилиндрического отверстия,
выполненного в проводящей бумаге (проводимость цилиндра много меньше
проводимости внешней среды 2<<1) и в окрестности металлического
цилиндрического электрода, установленного на листе проводящей бумаги
(2>>1). Внешнее поле в обоих случаях создается плоскими электродами,
расположенными параллельно друг другу.
Исследуемое поле симметрично относительно плоскости, проходящей
через центр цилиндра перпендикулярно к направлению внешнего поля, и эта
плоскость является эквипотенциальной. Для получения более подробной
картины поля в данной работе один из электродов устанавливается вдоль
плоскости симметрии и исследуется лишь половина общей картины поля.
Из-за ограниченности размеров модели электроды, создающие
однородное поле, устанавливаются на расстоянии соизмеримом с радиусом
цилиндра а. Это вызывает искажение картины поля по сравнению с
теоретическим случаем.
Для уменьшения погрешности,
вызванной
конечными размерами модели, расстояние
от центра цилиндра до
поверхности плоского электрода следует выбирать в 4 – 6 раз больше радиуса
цилиндра а.
22
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Для исследования поля вблизи отверстия в листе проводящей бумаги
вырезается круглое отверстие. Затем на бумагу устанавливают параллельно
друг другу плоские электроды (рис.2). Кромка одного из электродов должна
проходить через центр отверстия, кромка другого электрода должна быть
расположена на расстоянии d от центра отверстия. Величина d составляет 4
– 6 значений диаметра отверстия а.
Для исследования поля вблизи металлического цилиндра на лист
проводящей бумаги устанавливают цилиндрический электрод и вплотную к
нему два коротких плоских электрода. Длинный плоский электрод
устанавливают параллельно с коротким на расстоянии d.
23
Короткие электроды соединяются между собой проводником и
подключаются к одному из выводов источника питания, а длинный электрод к
другому (рис. 3).
3. Теоретическая справка
Электрическое поле в диэлектрике в области, где нет свободных
зарядов; поле постоянных токов в проводящей среде, в области, где нет
источников сторонних сил; описывается уравнением Лапласа 2 =0.
Когда совпадают формы границ областей с различными значениями
параметров, совпадают распределения диэлектрической проницаемости ,
проводимости  и совпадают граничные условия – имеет место подобие
каждого из перечисленных выше полей. Это обстоятельство позволяет одно
поле моделировать другим.
Технически наиболее просто удается экспериментально исследовать
плоскопараллельное поле в проводящей среде.
В данной работе проводится экспериментальное исследование
плоскопараллельного поля в проводящей бумаге. Результаты исследования
могут быть использованы для анализа электрического поля в диэлектрике и
магнитного в ферромагнетике.
Одним из полей, для которого известно аналитическое решение
уравнения Лапласа, является плоскопараллельное поле, существующее при
внесении диэлектрического цилиндра радиуса а.
Для
бесконечно длинного цилиндра, радиус которого а и
диэлектрическая проницаемость 2, помещенного в среду с проницаемостью
1, так что ось цилиндра перпендикулярна вектору напряженности
однородного внешнего поля Е0, известно аналитическое решение уравнения
Лапласа.
В цилиндрической системе координат потенциал вне цилиндра
  2  1  a  2 
e   E0 1 
   r cos  .




2
1r 

(1)
Внутри цилиндра:
i   E0
21
r cos  .
2  
(2)
Выражение вектора напряженности поля может быть получено из
соотношения
24
E   grad .
При этом радиальная и касательная составляющие напряженности поля
вне цилиндра:
  2  1  a  2 
Eer  E0 1 
   cos  ,




2
1r 

Ee
  2  1  a  2 
  E0 1 
   sin  .
  2  1  r  
(3)
(4)
Для поля внутри цилиндра:
Ei  E0
21
2  1
(5)
– поле внутри цилиндра однородно.
Аналогичные выражения имеют место и для проводящего цилиндра с
проводимостью 2, помещенного в среду с проводимостью 1.(см. таблицу
аналогий статического и стационарного электрических полей во Введении). В
частности, если считать проводимость цилиндра бесконечно большой,
напряженность поля внутри цилиндра и касательная составляющая
напряженности на его поверхности становятся равными нулю, а радиальная
составляющая на поверхности равна Eer  2 E0 cos  .
4. Задание на подготовку к работе
1. Рассчитать и построить профиль эквипотенциальной поверхности
внешнего поля  = 0,4U для двух случаев: а) проводимость цилиндра много
меньше проводимости бумаги, б) проводимость цилиндра много больше
проводимости бумаги.
2. Объяснить, как, располагая картиной эквипотенциальных поверхностей, определить напряженность электрического поля в различных точках
поля.
3. Как определить, является ли потенциальным поле с заданным
аналитически законом распределения напряженности поля?
4. В чем особенность поля внутри цилиндра?
5. В каких точках напряженность внешнего поля максимальна при 1
> 2 и при 1 < 2.
25
5. Рабочее задание
5.1. Исследование поля в окрестностях цилиндрического отверстия
1. Установить на листе проводящей бумаги с вырезанным отверстием
электроды согласно рис. 2. Подключить электроды к источнику напряжения
U и построить экспериментально эквипотенциали внешнего поля через
каждые 10% от величины приложенного напряжения.
2. На полученную картину нанести эквипотенциаль, рассчитанную в п.
1 подготовки к работе.
3. Построить силовые линии внешнего поля.
4. Определить максимальную плотность тока в проводящей бумаге.
5.2. Исследование поля в окрестностях металлического цилиндра
1.Установить на листе проводящей бумаги цилиндрический электрод и
плоские электроды, согласно рис. 3. Подключить электроды к источнику
напряжения U и экспериментально построить эквипотенциали внешнего
поля через каждые 10% от величины приложенного напряжения.
2. На полученную картину нанести эквипотенциаль, рассчитанную в п. 1
подготовки к работе.
3. Построить силовые линии внешнего поля.
4. Рассчитать плотность тока внутри цилиндра и величину тока,
протекающего через поперечное сечение цилиндра.
6. Методические указания
Полученную систему эквипотенциалей следует дополнить системой
силовых линий. При построении картины силовых линий следует выполнять
следующие правила:
1. Линии напряженности поля и линии равного потенциала должны
быть взаимно перпендикулярны.
2. Ячейки сетки,
образованной линиями равного потенциала и
силовыми линиями, должны быть подобны друг другу.
Если в каждой ячейке сетки обозначить среднее расстояние между
соединенными эквипотенциалями n, а среднее расстояние между соседними
силовыми линиями b, то при построении системы силовых линий следует
стремиться к тому, чтобы n/b = const; наиболее удобно, если это
соотношение равно единице.
26
Построенная с соблюдением указанных требований картина поля
позволяет вычислить с определенным приближением ряд интегральных
характеристик, таких, например, как полные и частичные емкости и
проводимости, величину тока электрода и др.
7. Вопросы для самопроверки
1. Записать уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат.
2. Как записываются выражения для определения потенциала и напряженности
электрического поля внутри и вне цилиндра?
3. Как построить (теоретически и экспериментально) эквипотенциаль, проходящую через
данную точку пространства?
4. Как по системе эквипотенциалей построить силовую линию?
5. Как рассчитать плотность тока внутри проводящего цилиндра, помещенного во внешнее
поперечное поле?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 2.
Л.: Энергоиздат, 1981. С. 240–246.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле.
М.: Высш. шк., 1986. С. 44–54, 81–85, 110–113.
27