Теория Калуцы

Международный университет природы, общества и человека «Дубна»
Кафедра теоретической физики
Доклад
студента 4 курса группы 4160
Козловского Сергея Александровича
по гравитации и космологии:
«Теория Калуцы-Клейна»
Дубна 2007
«Со времени установления общей теории относительности теоретики непрерывно
работают над тем, чтобы рассмотреть законы гравитации и электричества с
общей точки зрения. Вейль и Эддингтоон пытались достигнуть этого обобщения
геометрии Римана, используя некоторое общее выражение для параллельного переноса
вектора. Калуца, напротив, пошел принципиально другим путем. Он оставил метрику
Римана и воспользовался пятимерным континуумом, который он сводил до некоторой
степени к четырехмерному континууму при помощи условия цилиндричности».
А. Эйнштейн, «К теории связи гравитации и электричества Калуцы», 1927 г.
Идея Калуцы
 Основная идея Калуцы состояла в переходе от 4-мерной римановой
геометрии к 5-мерной, когда квадрат интервала представляется в виде:
ds 2  dI 2  GAB dx A dx B
( A, B  0,1, 2,3,5),
где GAB - 5-мерный метрический тензор, имеющий уже 15 компонент!
 Компоненты 5-мерного метрического тензора GAB образуют квадратную
матрицу 5x5-матрицу, в общем случае имеющую 15 различных компонент:
GAB
 G00 G01

 G10 G11
  G20 G21

 G30 G31
G
 50 G51
G02
G12
G22
G32
G52
G03 G05 

G13 G15 
G
G23 G25    
  G5
G33 G35 
G53 G55 
G 5   g 

G55   A
A 
.
G55 
 Таким образом, мы получим, что 5-мерное действие запишется в виде:
1
1
S   R (5) Gd 5 x     g R (4) d 4 x   F F   gd 4 x.

4
G
 Мы постулируем, что компоненты AB не зависят от 5-ой координаты
(условие цилиндричности)
 Видим, что 10 компонент с 4-мерными индексами соответствуют
метрическому тензору g  эйнштейновской теории гравитации, а 4
дополнительные компоненты G5 Калуца предложил отождествить с
компонентами электромагнитного векторного потенциала
A 
c2
G5 .
2 G
Здесь с – скорость света, G – ньютоновская гравитационная постоянная и   0,1, 2,3.
 Эйнштейн в письме к Калуце от 21 апреля 1919 года писал:
«Мысль, что электрическое поле является «искалеченной» величиной… также
часто и настойчиво преследовала меня. Однако мне никогда не приходило в голову, что
это можно получить в 5-мерном цилиндрическом мире; такая идея выглядит совершенно
новой.»

Поясним высказывание Эйнштейна. Как известно, в теории Максвелла:
A A
F  A ;  A ;     .
x
x


В римановом пространстве-времени аналогом F служат символы
Кристоффеля:
Если один из индексов (скажем С) равен 5, а остальные принимают 4-мерные
значения, мы имеем:
G
G
1 G
F   AC , B  ( AB
 BC
 AC
).
C
A
2 x
x
x B
G
G
A A
1 G
  5,  ( 
 5   5 )      F ,
5
2 x
x
x
x
x
т.е. компоненты тензора напряженности электромагнитного поля оказались
«искалеченными» компонентами 5-мерного символа Кристоффеля.

Уравнения геодезических принимают вид:
B
C
d 2xA
A dx dx


,
BC
dI 2
dI dI

Обобщенные 5-мерные уравнения Эйнштейна:
5
1
RAB  GAB 5 R   QAB ,
2
где  - постоянная.

Оказывается, что 15 5-мерных уравнений Эйнштейна распадаются на систему
из 10 обычных 4-мерных уравнений Эйнштейна , на 4 уравнения Максвелла и
еще одно («лишнее») уравнение для скалярного поля.

Для устранения этого 15-го уравнения, кроме условия цилиндричности,
достаточно потребовать:
G55  1.

Знак «-» берется из тех соображений, что координата x 5 пространственноподобная (для обеспечения нужного знака перед тензором энергии-импульса).
Четыре из пяти 5-мерных уравнений геодезической линии совпадают с
известными 4-мерными уравнениями движения заряженной частицы в
гравитационном и электромагнитном полях, если предположить, что пятая
компонента 5-мерной скорости имеет смысл отношения электрического заряда
q частицы к ее массе m:
dx5
2 q

,
ds
Gm
а пятая компонента импульса принимает смысл заряда
p 5  mdx 5 / ds  (2 G )q.

Т.о. дополнительное 5-е уравнение геодезической линии превращается в
условие постоянства отношения электрического заряда частицы к ее массе:
d q
q
   0   const.
ds  m 
m

Известное в электродинамике калибровочное преобразование
электромагнитного потенциала:
f
A'  A  
x
оказывается обусловленным преобразованиями 5-й координаты:
x'5  x5  f ( x0 , x1 , x 2 , x3 ).
Заряженные поля в теории Калуцы. Дополнение Клейна.

В теории Калуцы мы используем условие цилиндричности метрики по 5-й
координате, но в общем случае заряженные поля Φ зависят от 5-й координаты:
iec 5 5
   ( x  ) exp(i 5 x5 )   ( x  ) exp(
x ),
2 G

где  ( x ) - часть волновой функции, зависящая от 4-ч классических координат,
- 5 целое число (гармоника).

Гармоника  5 характеризует заряд поля Q в единицах заряда электрона e:
 5  Q.

Цикличность следует понимать как периодичность по 5-й координате с
периодом:
l
2 4 G
T

 4 0  1031 см,

ec

где выделены характерные физические константы, планковская длина и
постоянная тонкой структуры:
l0 

G
;
c3

e2
1

.
c 137
Нетрудно убедиться, что при допустимых преобразованиях 5-й координаты 5мерные волновые функции Φ испытывают известные калибровочные
преобразования
   exp(
ie
f)
c
одновременно с калибровочными преобразованием электромагнитного
векторного потенциала. Где ковариантная производная имеет вид:
 
ie
2 G
 
 

       2 A 5       5 A  .
c
x 
c
 x

 x
Уравнение Клейна-Фока

Для скалярного поля Φ следует постулировать 5-мерное уравнение типа
Клейна-Фока в виде:
 c 
5
G  A B   
   a ( R)  0,


где a – постоянная; µ - некая фиктивная масса.
2
AB

Перепишем его в калибровочно инвариантном виде:
 e2c 2  2c 2 
g      
 2    a(5 R)  0.
2
 4G

Из этой формулы видно, что электрически заряженные частицы автоматически
приобретают массовый вклад порядка планковской массы. Возникает проблема
перенормировки масс до наблюдаемых значений. Именно для этих целей была
введена фиктивная масса µ, которая при выборе отрицательного знака может
быть использована для перенормировки планковской массы, так что
эффективная масса определяется:
e2
m
 2 .
4G



На самом деле это была выписана только первая мода. В наиболее общем виде,
с учетом периодичности, выражение для массы будет выглядеть так:
m  n2
e2
 2 ,
4G
где n=0, 1, 2,… .
Основные идеи Калуцы-Кляйна
 Электромагнетизм является своего рода “гравитацией”, но не обычной, а
“гравитацией” в ненаблюдаемых измерениях пространства.
 Пространство-время насчитывает пять измерений.
 Условие цилиндричности.
 Компактификация дополнительных измерений.
Заключение

Несмотря на, что идея была прекрасной, последующий детальный анализ
теории показал, что она находится в серьезном противоречии с
экспериментальными данными. Простейшие попытки включить электрон
приводили к предсказанию к отношению его массы к заряду, которое
существенно отличалось от измеренных значений.
Поскольку не было видно способов разрешить эту проблему, многие физики
потеряли интерес к идее Калуцы.

PS: Теория Калуцы-Клейна, оставленная умирать медленной смертью в конце
1920-х гг., была вновь воскрешена только спустя полвека… Но это совсем
другая история!
Литература





Владимиров Ю.С. Пространство-время: явные и скрытые размерности. М.:
Наука, 1989.
Владимиров Ю.С. Метафизика. М.: Изд-во "Лаборатория базовых знаний",
2002.
Грин Б. Элегантная Вселенная. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Изд-во "Мир", 1979.
http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page