Тема 2: «Прямая»

Тема 2: «Прямая»
Проецирование прямой
Определитель прямой – две точки. Условное обозначение прямой: l (А, В)
(рис.1.2.1). На чертеже прямая определяется двумя и более проекциями
l (А 1 В 1 , А 2 В 2 ) (рис.1.2.2).
П2
А2
B2
А
А1
А2
В
B2
x 12
А1
B1
B1
Рис. 1.2.1
Рис. 1.2.2
Прямые общего положения
Прямые общего положения – прямые, не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций.
Различают прямые общего положения: восходящие – их проекции ориентированы в одну сторону
b2 (рис.1.2.3 а), нисходящие – их
а2
проекции ориентированы в разные стороны (рис. 1.2.3 б).
Прямые частного положения
Прямые частного положения – прямые, расположенные
а)
б)
параллельно или перпендикуРис. 1.2.3
лярно плоскостям проекций.
Прямые уровня – прямые, параллельные плоскостям проекций:
- горизонтальная прямая уровня (горизонталь h) – параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1 (рис. 1.2.4 а);
- фронтальная прямая уровня (фронталь f) – параллельна фронтальной
плоскости проекций П 2 (рис. 1.2.4 б);
- профильная прямая уровня p – параллельна профильной плоскости
проекций П 3 (рис. 1.2.4 в). Профильная прямая всегда задается двумя точками,
так как по положению в пространстве она может быть восходящей или нисходящей. Если при чтении чертежа по проекциям точек, определяющих профильную прямую, сверху вниз их последовательность не изменяется – прямая восходящая; при изменении последовательности на противоположную – прямая
а1
b1
11
h2
x 12
н.в.
α к П2
А2
н.в
.
β к П1
x12
h1
f2
В3
В1
A1
б)
А3
. р3
в
.
н
β к П1
В2
f1
а)
р2
α к П2
нисходящая.
Свойства прямых уровня:
 прямые уровня проецируются в натуральную величину на ту плоскость
проекций, которой параллельны.
 прямые уровня определяют натуральные величины углов наклона к плос-
р1
в)
Рис. 1.2.4
костям проекций (см. рис. 1.2.4).
Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные плоскостям проекций:
- горизонтально проецирующая прямая - перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П 1 (рис. 1.2.5 а);
- фронтально проецирующая прямая – перпендикулярна фронтальной
плоскости проекций П 2 (рис. 1.2.5 б);
- профильно проецирующая прямая – перпендикулярна профильной
плоскости проекций П 3 (рис. 1.2.5 в).
Свойства проецирующих прямых:
 проецирующие прямые обладают собирательным свойством – все точки прямой проецируются в одну точку на ту плоскость проекций, к которой эта
прямая перпендикулярна.
 проецирующие прямые проецируются в натуральную величину на ту
плоскость проекций, которой эти прямые параллельны.
m2
Z
c2
X
X
d1
а)
c1
m1
Y
н.в.
Y
б)
Рис. 1.2.5
12
c3
н.в.
X
н.в.
н.в.
d2
в)
Контрольные вопросы:
1. Что такое определитель прямой?
2. Что называется комплексным чертежом прямой?
3. Какую прямую называют прямой общего положения? Её положения в пространстве?
4. Перечислить прямые частного положения, дать определение каждой из них
и указать свойства этих прямых.
Решить задачи: 3, 4, 6
Тема 3: «Плоскость»
Проецирование плоскости
Определитель плоскости – три точки, не лежащие на одной прямой.
Условное обозначение плоскости: Σ (A, B, C) (рис. 1.3.1).
Способы задания плоскости
На проекционном чертеже плоскость может быть задана следующими
пятью способами: тремя точками Σ (A,B,C) (рис. 1.3.2 а); плоской фигурой
Ω (Δ ABC) (рис. 1.3.2 б); параллельными прямыми Φ (c ║ d) (рис. 1.3.2 в);
пересекающимися прямыми Λ (l ∩ m) (рис. 1.3.2 г); прямой и точкой
Τ (c, A) (рис. 1.3.2 д).
П2
C2 C
A2
C2
B2
B2
A2
x12
B
A
C1
C1
A1
A1
B1
B1
Рис. 1.3.1
C2
2
B2
A2
A2
C1
A1
C1
B1
а)
2
A1
B2
m1
в)
Рис. 1.3.2
г)
2
d2
d1
l1
B1
б)
2
m2
A2
c1
c1
A1
д)
13
Плоскости общего положения
Плоскости общего положения – плоскости, не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций.
Плоскость, высоты всех точек которой по мере удаления от наблюдателя
повышаются, называется восходящей (рис. 1.3.3 а).
На проекционном чертеже у восходящей плоскости обе проекции имеют
одинаковый обход порядка буквенного обозначения (по часовой стрелке).
Плоскость, высоты всех точек которой по мере удаления от наблюдателя
понижаются, называется нисходящей (рис. 1.3.3 б).
На проекционном чертеже у нисходящей плоскости проекции имеют различный обход порядка буквенного обозначения (на плоскости П 1 – против ча-
C2
C2
A2
A2
C1
A1
B2
B2
A1
B1
B1
C1
а)
б)
Рис. 1.3.3
совой стрелки, на плоскости П 2 – по часовой стрелке).
Плоскости частного положения
Плоскости частного положения – плоскости, перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций.
Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные плоскостям
проекций:
- горизонтально проецирующая плоскость – перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П 1 ( Δ  П 1 ) (рис. 1.3.4 а);
- фронтально проецирующая плоскость – перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П 2 (Σ  П 2 ) (рис. 1.3.4 б);
- профильно проецирующая плоскость – перпендикулярная профильной плоскости проекций П 3 (Ψ  П 3 ) (рис. 1.3.4 в).
Свойства проецирующих плоскостей:
 Проецирующие плоскости обладают собирательным свойством – все точки плоскости проецируются в виде прямой линии на ту плоскость проекций,
которой эта плоскость перпендикулярна (см. рис. 1.3.4).
14
Z
X
α
Δ1
X
β
α
Σ2
X
Ψ3
β
Y
Y
а)
б)
в)
Рис. 1.3.4
 Проецирующие плоскости определяют натуральные величины углов наклона к плоскостям проекций.
Плоскости уровня – плоскости, параллельные плоскостям проекций:
горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1 (Γ || П 1 ) (рис. 1.3.5 а);
фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций П 2 (Λ || П 2 ) (рис. 1.3.5 б);
профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная плоскости П 3 (Σ || П 3 ) (рис. 1.3.5 в);
Σ2
Γ2
X
X
Λ1
X
Σ1
а)
б)
Рис. 1.3.5
в)
Контрольные вопросы:
1. Что такое определитель плоскости?
Назовите способы задания плоскости на комплексном чертеже?
3. Какая плоскость называется плоскостью общего положения? Её положения в
пространстве?
4. Перечислить плоскости частного положения, дать определение каждой из
них и указать свойства этих плоскостей.
Решить задачи: 6
15
Тема 4: «Взаимное расположение геометрических элементов»
Точка и прямая
Условие принадлежности точки прямой – точка принадлежит прямой,
если ее проекции принадлежат соответствующим проD
А2 2
екциям этой прямой.
С2
На рис. 1.4.1 изображены точки, которые по отноl2 шению к прямой занимают следующее положение:
 l, D над l, C перед l.
l1
А1 D1 С 1
Рис. 1.4.1
F2
a2
d2
d1
a1
F1
Рис. 1.4.2
Точка и плоскость
Условие принадлежности точки плоскости –
точка принадлежит плоскости, если она принадлежит
прямой, лежащей в этой плоскости (F  Σ (a || d)
(рис.1.4.2).
Две прямые
Прямые параллельны, если их одноимённые проекции параллельны между собой (a || d) (рис. 1.4.3 а).
Прямые пересекаются, если их одноименные проекции имеют общую точку пересечения (К = b ∩ m)
(рис. 1.4.3 б).
Прямые скрещиваются, если у них нет общих точек
и они лежат в разных плоскостях (m l) (рис. 1.4.3 в).
a2
K2
d2
d1
m2
b1
a1
а)
b2
K1
б)
m1
22 m 2
l2
12
l1
11 21
m1
в)
Рис. 1.4.3
Прямая и плоскость
Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью две общие
точки (l   (ABC)) (рис. 1.4.4 а).
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в плоскости (d   (ABC)) (рис. 1.4.4 б).
Прямая пересекает плоскость, если она не принадлежит плоскости и не
параллельна ей. Пересекающиеся прямая и плоскость имеют общий элемент –
точку их пересечения (F = l ∩ (a ∩ d)) (рис. 1.4.4 в).
16
C2
А2
l2
А2
В2
В1
А1
l2
C2
d2
В2
В1 d
А1
l1
C1
12
F1
1
б)
Рис. 1.4.4
21
11
1 l1
C1
а)
22 d2
F2
a2
d1
a1
в)
Две плоскости
Две плоскости о.п. параллельны, если две пересекающиеся прямые одной
плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости
( (ABC)   (d ∩ a)) (рис. 1.4.5 а).
Две плоскости ч. п параллельны, если параллельны их одноименные про
C2
C2
d2
Θ2
А2
Δ2
B2
B1
a1
A1 1
1
а)
21
d1
d1
C1
A2 1
2
2 d 2
a2
В2
В1
А1
22
C1
б)
в)
Рис. 1.4.5
1.
2.
3.
4.
Контрольные вопросы:
Взаимное расположение точки и плоскости?
Взаимное расположение двух прямых?
Взаимное расположение прямой и плоскости?
Взаимное расположение двух плоскостей?
Решить задачи: 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 21, 23, 24, 26, 27, 28
17
Тема 5: «Перпендикулярность геометрических элементов».
Линейный угол, образованный двумя пересеF
кающимися прямыми, проецируется на плоскость
A
без искажения, если обе его стороны параллельны
B
этой плоскости (рис.1.5.1).
A1
F1
B1
Теорема о проецировании прямого угла
П1
Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если хотя бы одна из его сторон параллельна
Рис. 1.5.1
плоскости проекций, а другая – не перпендикулярна
к этой плоскости (рис. 1.5.2).
Следствия из теоремы
C
D
n1  h1
E
n2
D1
C1
h2
E1
П1
n1
h1
n2  f2
f2
f1
n2
n1
Рис. 1.5.2
Две прямые
Прямой угол между прямыми общего положения на плоскости проекций
проецируется с искажением. В связи с этим построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения сводят к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
Условие перпендикулярности двух прямых - две прямые взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, если через одну из них можно провести
плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
Прямая и плоскость
Условие перпендикулярности прямой и плоскости - прямая перпендикулярна плоскости, если ее проекция
C
2
f2 1
перпендикулярна соответствующим
2
n1  h1
проекциям горизонтали и фронтали
A2
22 h2 n2
n 2  f 2
(рис. 1.5.3).
K
2
B
2
A1
n  ΔABC
f1
B1 n1
11
K1
2
C1 1
h1
Рис. 1.5.3
18