Раздел 1. Теория множеств. 1.1. Алгебра теории множеств. Проверить тождество с помощью диаграммы Эйлера-Венна: 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) Решение: 𝐴 (𝐴 ∪ 𝐵) (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐶) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 1.2. Алгебра нечетких множеств. Задано универсальное множество E = {a, b, c, d, e, f, j} и три нечетких подмножества: A = {(a|0), (b|0.3), (c|0.7),(d|1), (e|0), (f, 0.2),(j|0.9)}; B={(a|0.3),(b|1),(c|0.5),(d|0.8),(e|1), (f|0.5),(j|0.6)}; C={(a|1),(b|0.5),(c|0.5),(d|0.2), (e|0),f(0.2),(j|0.9)}; Выполнить действия: а) (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ 𝐵 б) 𝐴 ⊕ 𝐶 Решение: а) (𝐀 ∩ 𝐂) ∪ 𝐁 μс (x) = 1.0 − μc (x) 𝜇(𝐴∩𝐶) (𝑥) = min(𝜇𝐴 (𝑥), 𝜇𝐶 (𝑥)) 𝜇(A∩C)∪B (𝑥) = max (𝜇(𝐴∩𝐶) (𝑥), 𝜇𝐵 ) a b c d e f j μс (x) 𝜇𝐴 (𝑥) 𝑥 0 0.3 0.7 1 0 0.2 0.9 0 0.5 0.5 0.8 1 0.8 0.1 𝜇(𝐴∩𝐶) (𝑥) 0 0.3 0.5 0.8 0 0.2 0.1 𝜇(A∩C)∪B (𝑥) 𝜇𝐵 0.3 1 0.5 0.8 1 0.5 0.6 0.3 1 0.5 0.8 1 0.5 0.6 (A ∩ C) ∪ B = {(𝑎|0.3), (𝑏|1), (𝑐|0.5), (𝑑|0.8), (𝑒|1), (f|0.5), (j|0.6)} б) 𝐀 ⊕ 𝐂 A ⊕ C = (A − C) ∪ (C − A) = (A ∩ C) ∪ (C ∩ A) = (𝐴 ∪ 𝐶) ∪ (A ∩ C) μ𝐴∪𝐶 (x) = max(μ𝐴 (x), μ𝐶 (x)) μ𝐴∪𝐶 (x) = 1.0 − μ𝐴∪𝐶 (x) μA∩C (x) = min(μ𝐴 (x), μ𝐶 (x)) μ(𝐴∪𝐶)∪(A∩C) (x) = max(μ𝐴∪𝐶 (x), μA∩C (x)) 𝑥 a b c d e f j 𝜇𝐴 (𝑥) 0 0.3 0.7 1 0 0.2 0.9 𝜇𝐶 (𝑥) 1 0.5 0.5 0.2 0 0.2 0.9 𝜇(𝐴∪𝐶) (𝑥) 1 0.5 0.7 1 0 0.2 0.9 𝜇A∩C (𝑥) 𝜇𝐴∪𝐶 (𝑥) 0 0.5 0.3 0 1 0.8 0.1 0 0.3 0.5 0.2 0 0.2 0.9 𝜇(𝐴∪𝐶)∪(A∩C) (𝑥) 0 0.5 0.5 0.2 1 0.8 0.9 A ⊕ C = {(𝑎|0), (𝑏|0.5), (𝑐|0.5), (𝑑|0.2), (𝑒|1), (f|0.8), (j|0.9)} 1.3. Отношения. a) Построить матрицу и граф бинарного отношения «быть в сумме чисто мнимым числом» на множестве A = {1+2i, -1-3i, -2+4i, 2-5i, 6}, определить тип этого отношения. Решение: Матрица отношения: 1+2i -1-3i -2+4i 2-5i 6 1+2i 0 1 0 0 0 -1-3i 1 0 0 0 0 -2+4i 0 0 0 1 0 2-5i 0 0 1 0 0 6 0 0 0 0 0 Элементы отношения: 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐴 = {(1 + 2𝑖, −1 − 3𝑖), (−1 − 3𝑖, 1 + 2𝑖), (−2 + 4𝑖, 2 − 5𝑖), (2 − 5𝑖, −2 + 4𝑖)} Граф отношения: b) На конечном множестве с помощью перечисления задано отношение: R={(1;1),(2;1),(1;2),(2;4),(4;2),(1;4);(4;1)}. Построить матрицу отношения. Выяснить, обладает ли данное отношение свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисиметричности и транзитивности. Установить, является ли данное отношение отношением порядка или эквивалентности. Решение: Матрица отношения: 1 2 4 1 1 1 1 2 1 0 1 4 1 1 0 1) R не является рефлексивным, поскольку (2,2) ∉ 𝑅 и (4,4) ∉ 𝑅 2) R не является антирефлексивным, поскольку (1,1) ∈ 𝑅 3) R является симметричным поскольку (1,2) ∈ 𝑅 → (2,1) ∈ 𝑅, (2,4) ∈ 𝑅 → (4,2) ∈ 𝑅, и (1,4) ∈ 𝑅 → (4,1) ∈ 𝑅 4) R не является антисимметричным, поскольку (1,2) ∈ 𝑅 и (2,1) ∈ 𝑅, но (1,2) ≠ (2,1) 5) R – транзитивно, поскольку для 1,2 и 4: (1,2) ∈ 𝑅, (2,4) ∈ 𝑅 и (1,4) ∈ 𝑅 для 1, 4 и 2: (1,4) ∈ 𝑅, (4,2) ∈ 𝑅 и (1,2) ∈ 𝑅 для 4, 1 и 2: (4,1) ∈ 𝑅, (1,2) ∈ 𝑅 и (4,2) ∈ 𝑅 для 4, 2 и 1: (4,2) ∈ 𝑅, (2,1) ∈ 𝑅 и (4,1) ∈ 𝑅 для 2, 4 и 1: (2,4) ∈ 𝑅, (4,1) ∈ 𝑅 и (2,1) ∈ 𝑅 для 2, 1 и 4: (2,1) ∈ 𝑅, (1,4) ∈ 𝑅 и (2,4) ∈ 𝑅 6) R не является отношение эквивалентности, т.к оно не рефлексивно. 7) R не является отношение порядка так как оно не антисимметрично. 1.4. Соответствия. Для заданных множеств A и B установить тип соответствия <G, A, B>. 𝐴 = {𝑥: |𝑥 − 1| ≤ 1} 𝐵 = {𝑦: |𝑦| ≤ 2} 𝐺 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑦 = 2(𝑥 + 1)} Решение: График соотвествия: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, −2 ≤ 𝑦 ≤ 2 Соответствие <G, A. B>: 1) 2) 3) 4) 5) Не полное, т.к. 𝐺 ≠ 𝐴 × 𝐵 Функциональное и инъективное, т.к. 𝑦(𝑥1 ) ≠ 𝑦(𝑥2 ) по свойству линейной функции y =2x+2 Всюдуопределенное, т.к 𝐺1 = 𝐴 Не суръективное, т.к. 𝐺2 ≠ 𝐵 Не биективное, поскольку оно не суръективно. 1.5. Декартово произведение множеств. Описать на языке теории множеств запрос к базе данных о нахождении указанного множества: «Найти множество иногородних студентов института, поступивших по результатам ЕГЭ, обучающихся на втором курсе, с указанием их фамилий и результатами ЕГЭ по каждому из вступительных испытаний» Решение: Базовые множества: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Категории студентов: S = {местные, иногородние, иностранные} Виды вступительных испытаний: E={ЕГЭ, тест , устно } Курсы: K={1,2,3,4,5} Фамилии: N={Иванов, Петров, Сидоров,….} Оценки: 𝑀 = {𝑚 ∈ ℤ|0 ≤ 𝑚 ≤ 100} Предметы: P={математика, физика, русский язык} Отношения связи: 1) 2) 3) 4) 5) «Учиться на курсе»: 𝑅1 ⊂ 𝑁 × 𝐾 = {(𝑛, 𝑘)|𝑛 ∈ 𝑁, 𝑘 ∈ 𝐾} “Категория студента”: 𝑅2 ⊂ 𝑁 × 𝑆 = {(𝑛, 𝑠)|𝑛 ∈ 𝑁, 𝑠 ∈ 𝑆} “Вид вступительных испытаний студента”: 𝑅3 ⊂ 𝑁 × 𝐸 = {(𝑛, 𝑒)|𝑛 ∈ 𝑁, 𝑒 ∈ 𝐸} “Оценка за экзамен”: 𝑅4 ⊂ 𝑃 × 𝑀 = {(𝑝, 𝑚)|𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀} “Студент сдавал экзамен” 𝑅5 ⊂ 𝑁 × 𝑃 = {(𝑛, 𝑝)|𝑝 ∈ 𝑃, 𝑛 ∈ 𝑁} Запрос: 𝑄 = {(𝑛, 𝑝, 𝑚)|∃ 𝑛 ∈ 𝑀, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑒 ∈ 𝐸, 𝑘 ∈ 𝐾 & 𝑛𝑅1 𝑘 & 𝑛𝑅2 𝑠 & 𝑛𝑅3 𝑒 & 𝑛𝑅5 𝑝 & 𝑝𝑅4 𝑚 & 𝑒 = ЕГЭ & 𝑠 = иногородние & 𝑘 = 1}