Пример решения заданий студенческой интернет-олимпиады 2014 3 КУРС ( и старше). 1. Пусть M n (R) – множество вещественных матриц n -го порядка. Укажите все значения n , при которых существует матрица A M n (R) такая, что A2 E , где E – единичная матрица. Решение. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц, то имеем: A 2 E 1n A 2 2 Следовательно, при нечетном значении n должно выполняться равенство A 1 , что невозможно, так как квадрат определителя матрицы A M n (R) – вещественное положительное число. Остается вариант n – четное число, тогда искомые матрицы существуют. В качестве примера можно рассмотреть матрицу, все элементы имеют вид: (1) i , если i j n 1, aij 0, если i j n 1. Тогда элемент сij матрицы A2 при i j имеет вид сii ai1 a1i ai 2 a2i ... ai ( n1i ) a( n1i )i ... ain ani 0 0 ... (1) i (1) n1i 0 ... 0 1, при i j имеет вид сij ai1 a1 j ... ai ( n1 j ) a( n1 j ) j ... ai ( n1i ) a( n1i ) j ... ain anj 0 ... 0 (1) n1 j ... (1) i 0 ... 0 0. 0, если i j , 1, если i j, Таким образом, сij 2 т.е. A E . Пример подобной матрицы 4-го порядка: 0 0 0 0 A 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2. Найти наименьшее значение a, при котором сумма 204 n a 199 n делится на 2015 при всех нечетных n. Решение. Число 2015 можно разложить на множители 5 и 403. Сумма 204 n a 199 n будет делиться на 2015, если она будет делиться на 5 и на 403. Преобразуем исходную сумму: 204 n a 199 n 199 5n a 199 n 5k 199 n a 199 n 5k (a 1) 199 n . Поскольку 5 и 199 взаимно простые числа, то исходная сумма будет делиться на 5, если a 1 будет кратно 5, т.е. a 5 p 1. С другой стороны, 204 n a 199 n 403 199 n a 199 n 403t 199 n a 199 n 403t (a 1) 199 n . Таким образом, поскольку 403 и 199 взаимно простые числа, исходная сумма будет делиться на 403, если a 1 будет кратно 403, т.е. a 403s 1 . Равенство 5 p 1 403s 1 возможно при наименьшем значении s 1. Таким образом, наименьшее значение a , при котором сумма 204 n a 199 n делится на 2015, равно 404. 3. Найти сумму ряда x 3n1 n 1! n 1 Решение. n 1 k x 2 x 3( n 1) x3 3 x 3n 1 x3 2 2 x x x2 ex . n 1 n 1! n 1 n 1! n 1 n 1! k 0 k ! 4 x11 6 x 7 5 x 3 cos x 4. Вычислить dx . 1 sin 2 x 3 3 Решение. 3 4 x 6 x 5 x 3 cos x 4 x 6 x 5x cos x dx dx 3 dx 2 1 sin 2 x 1 sin 2 x 1 sin x 3 11 7 3 3 11 7 3 3 Первый интеграл в полученной разности равен 0 как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно 0 промежутку. 3 3 cos x 1 dx d (sin x) arctg (sin x) 2 2 1 sin x 1 sin x . 3 3 3 3 3 . 2arctg sin 2arctg 3 2 Таким образом, 3 4 x11 6 x 7 5 x 3 cos x . dx 6 arctg 2 2 1 sin x 3 3 5. Функция y y(x) является решением дифференциального уравнения y 1 с начальным условием y (0) 1 . Пусть y (1) a . Вычислить x 3 y( x)dx . 0 Решение. 1 1 1 1 4 4 x y ( x ) dx y ( x ) d x x y ( x) 4 4 0 0 3 1 0 11 4 x y( x)dx 40 1 1 1 x4 a 1 1 y 3 y (1) 4 dx 1 4 dx 4 4 0 x y3 4 4 0 x y 3 1 a x 11 3 a 1 1a 3 a 1 a4 1 y ydx y dy . 4 4 40 4 4 41 4 16 0 1 x y3 4 1 6. Вычислить lim x x 2 ln 1 . x x Решение. 1 lim x x 2 ln 1 x x Используя разложение в ряд Маклорена функции y ln(1 x) , получим: 1 1 1 1 1 1 lim x x 2 ln 1 lim x x 2 2 3 ... lim x x o( x) . x 2 3x x x x 2x x 2 7. Пусть λ – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0;1]. Какова вероятность того, что из отрезков с длинами λ, 1–λ, ½ составится треугольник с тупым углом. 1 Решение. Пусть, для определенности ;1 , тогда сторона длины 2 наибольшая. Треугольник будет тупоугольным (тупой угол напротив стороны длины ), если 1 2 2 1 2 2 и 1 1 . Решением полученной системы 2 неравенств, с учетом ограничения для , является промежуток 5 3 ; . 8 4 Функция распределения НСВ имеет вид: 0, x 0, F ( x) x, 0 x 1, 1, x 1. 5 3 Тогда вероятность того, что будет принимать значения в промежутке ; , 8 4 что равносильно тому, что треугольник будет тупоугольным, равна 3 5 3 5 3 5 1 P F F . 4 8 4 8 4 8 8 1 4 8. Известно, что 4 .Вычислить 90 n 1 n x3 0 e x 1 dx . РЕШЕНИЕ: Воспользуемся формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: n 1 1 1 1 1 e x 1 e x 1 e x e x n 0 e x 1 x n 0 e n 1 e nx n 1 Вычисляем интеграл, применяя формулу интегрирования по частям и учитывая, что функция e nx имеет больший порядок малости при x , чем степенная функция: x3 dx ex 1 0 x e 0 n 1 3 nx dx x e n 1 0 3 nx e nx 6 6nx 3n 2 x 2 n 3 x 3 dx n4 n 1 0 6 4 4 15 n 1 n