4x и значения аргумента x1 1, x2 3 . Требуется: а) установить, является x 1 ли функция непрерывной или разрывной при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции. 126. Дана функция y Решение: При x1 1 функция не определена. Вычислим односторонние пределы: 4x lim x 1 при x 1 функция имеет точку разрыва второго рода. 4x lim x 1 0 x 1 x 1 0 y 3 4 3 12 3 3 1 4 Вычислим односторонние пределы: 4 x 4 3 12 lim 3 x 1 3 1 4 4x 4x y 3 lim xlim при x 3 функция непрерывна. 3 0 x 1 x 3 0 x 1 4 x 4 3 12 lim 3 x 3 0 x 1 3 1 4 x 3 0 График функции y 4x : x 1 146. Найти производные данных функций: а) y 4x 1 x 2 16 x 2 Решение: 4 x 1 ' 4x 1 y' ' 2 x 16 x 2 4 0 x 2 16 x 2 x 2 16 x 2 x 16 x 2 2 x 2 16 x 2 ' 4 x 1 2 x 2 16 x 2 ' 4 x 1 1 2 x 16 x 2 x 2 16 x 2 1 4 x 2 16 x 2 2 x 16 0 4 x 1 2 2 x 16 x 2 x 2 16 x 2 1 4 x 2 16 x 2 8 x 2 64 x 2 x 16 2 2 x 16 x 2 x 2 16 x 2 1 1 4 x 2 16 x 2 8 x 2 62 x 16 2 2 x 16 x 2 2 x 16 x 2 4 x 2 64 x 8 4 x 2 31x 8 33 x 2 2 2 x 16 x 2 x 16 x 2 x 16 x 2 x 2 16 x 2 2 Ответ: 33x y' x 2 16 x 2 x 2 16 x 2 б) y 4 tg x 3 x Решение: 3 tg x tg x y' 4 x ' 3 4 x 4 2 tg x x ' 3 4 1 1 tg x 3 4 x 4 ln 4 x ' 2 x cos 2 x 2 1 1 1 tg x tg x 3 4 x 4 ln 4 cos 2 x 2 x 2 x tg x 2 4 ln 4 1 tg x 3 4 x 2 x cos 2 x 2 x Ответ: tg x y ' 3 4 tg x 2 x 2 4tg x ln 4 1 2 x cos 2 x 2 x tg x x 4 2 tg x x ' 2 1 x ln 4 tg в) y arcsin 1 4 x2 Решение: y ' arcsin 1 1 1 4x 2 1 4x2 ' 1 2 1 4x 2 1 1 1 4 x2 0 8x 2 1 4x 2 1 4 x2 ' 8x 2 1 4x 2 1 1 1 4 x 1 2 x 2 2 1 2 1 4x 8x 2 1 4x 2 2 3 2 1 4 x 2 ' 2x x 1 4 x2 2 Ответ: 2x y' x2 1 4x2 3 x2 г) y ln 3 3 x 9x Решение: 3 x2 y ' ln 3 3 ' x 9 x 1 3 x 3 x 9x 2 1 3 1 3 1 3 3 x2 x3 9 x 1 2 3 3 x ' 3 x 9 x 3 x ' x 2 1 3 x 3 x 9x 2 2 3 3 1 3 3 x2 x3 9 x 1 3 x2 3 3 x 9x 9 x x 3 9 x ' 3 x 2 x3 9 x 2 3 x2 3 ' x 9x 2 x x 3 9 x 3x 2 9 3 x 2 x 3 9 x 2 x 4 18 x 2 9 x 2 27 3 x 4 9 x 2 1 2 2 2 3 3 3 x2 9 3 x x 9 x x 9 x 3 3 x 9x 2 x 4 18 x 2 9 x 2 27 3 x 4 9 x 2 x 4 27 9 3x 2 x3 9 x 9 3x 2 x3 9 x Ответ: x 4 27 y' 9 3x 2 x3 9 x д) y x sin x x2 Решение: Используем логарифмическую производную: y' ln y ' y ' y ln y ' y ln y ln x sin x x2 x ln x sin x 2 1 x sin x ' x 2 ln y ' x 2 ' ln x sin x ln x sin x ' x 2 2 x ln x sin x x sin x 1 cos x 2 2 x ln x sin x x x sin x 1 cos x 2 x2 y ' x sin x 2 x ln x sin x x x sin x Ответ: 1 cos x 2 x2 y ' x sin x 2 x ln x sin x x x sin x 166. Найти dy d2y и : dx dx 2 ex x2 e y 0 Решение: Дифференцируем обе части уравнения по x , считая, что y – функция от x : e x x2 e y ' 0 ' ex 2x e y y ' 0 e y y ' ex 2x dy e x 2 x dx ey Дифференцируем обе части уравнения e x 2 x e y y ' 0 по x , считая, что y – функция от x : e x 2 x e y y ' ' 0 ' e x 2 e y y ' y ' e y y '' 0 e x 2 e y y ' y ' e y y '' 0 e x 2 e y y ' e y y '' 0 2 e y y '' e x 2 e y y ' 2 ex 2x ex 2x x e 2 e e 2 y e ey y y e e 2 x y d 2 y e 2 e y ' dx 2 ey x 2 y Ответ: dy e x 2 x d 2 y , 2 dx ey dx e x e 2 e y x 2x ey 2 2 1 206. Дано уравнение параболы y x 2 3 и точки C 0; 2 , которая является центром 6 окружности. Радиус окружности R 5 . Требуется: а) найти точки пересечения параболы с окружностью; 2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках ее пересечения с окружностью; 3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения. Сделать чертеж. Решение: Уравнение заданной окружности имеет вид x 0 y 2 52 x 2 y 2 25 . 2 2 2 Найдем точки пересечения параболы с окружностью: 2 1 x x 2 3 2 25 6 1 4 x 2 x 4 6 x 2 9 x 2 3 4 25 36 6 2 4 2 36 x x 6 x 9 24 x 2 3 144 900 2 36 x 2 x 4 6 x 2 9 24 x 2 72 144 900 x 4 66 x 2 675 0 a x2 a 2 66a 675 0 D 4356 2700 7056 66 84 9 2 66 84 66 84 a2 0 2 2 x2 9 a1 x 3 1 1 2 y1,2 3 3 9 3 2 3; 2 и 3; 2 6 6 Составим уравнение касательной и нормали: 1 x y ' 2x 0 6 3 В точке 3; 2 : Касательная: y y x0 y ' x0 x x0 y 2 1 x 3 y 2 x 3 y x 1 Нормаль: y y x0 1 1 x x0 y 2 x 3 y 2 x 3 y x 5 y ' x0 1 В точке 3;2 : Касательная: y y x0 y ' x0 x x0 y 2 1 x 3 y 2 x 3 y x 1 Нормаль: y y x0 1 1 x x0 y 2 x 3 y 2 x 3 y x 5 y ' x0 1 Для нахождения углов между кривыми, найдем уравнения касательных к окружности в точках ее пересечения с параболой: x2 y 2 25 y 2 25 x2 y 2 25 x 2 y 2 25 x 2 2 2 Нас интересует y 2 25 x 2 y' 0 2 x 2 25 x 2 y ' 3 y ' 3 x 25 x 2 3 25 3 3 25 3 2 2 3 3 25 9 4 3 3 4 25 9 В точке 3; 2 : 3 3 9 3 17 Касательная: y y x0 y ' x0 x x0 y 2 x 3 y 2 x y x 4 4 4 4 4 В точке 3;2 : 3 3 9 3 17 Касательная: y y x0 y ' x0 x x0 y 2 x 3 y 2 x y x 4 4 4 4 4 Острый угол между параболой и окружностью в точке 3; 2 есть острый угол между их 3 17 касательными y x 1 и y x : 4 4 3 7 k k 4 4 7 7 arctg 7 81.87 tg 1 2 1 1 k1 k2 1 1 3 4 4 1 Острый угол между параболой и окружностью в точке 3;2 есть острый угол между их 3 17 касательными y x 1 и y x : 4 4 3 7 k k 4 4 7 7 arctg 7 81.87 tg 1 2 1 1 k1 k2 1 1 3 4 4 1 Рисунок: 226. Исследовать функцию и начертить ее график y 8x x 2 2 . Решение: 1) Область определения функции: x 2 0 D y : ;2 2; 2) Функция не определена при x 2 . Вычислим односторонние пределы: 8x lim 2 x 20 x 2 при x 2 функция имеет точку разрыва второго рода. 8x lim 2 x 20 x 2 3) y x 8 x x 2 2 8x x 2 4) 2 y x функция общего вида. 8 x 8 x ' x 2 x 2 ' 8 x 8 x 2 2 2 x 2 8 x 8 x 2 2 8 x 8 x 16 16 x y' ' 4 4 3 3 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 8 x 16 3 x 2 2 2 y ' 0 при 8 x 16 0 8 x 16 x 2 y ' не определена при x 2 Функция возрастает, при x 2; 2 Функция убывает, при x ; 2 2; y 2 8 2 2 2 2 16 4 2 16 1 16 Точка минимума: 2; 1 6) 8 x 16 ' x 2 x 2 ' 8 x 16 8 x 2 3 3 x 2 2 8 x 16 8 x 16 8 x 16 y '' ' ' 6 6 x 2 3 x 2 3 x 2 x 2 8 x 2 3 8 x 16 8 x 16 24 x 48 16 x 64 16 x 64 4 4 4 4 x 2 x 2 x 2 x 2 3 y '' 0 при 16 x 64 0 16 x 64 x 4 y '' не определена при x 2 Кривая выпукла, при x ; 4 Кривая вогнута, при x 4;2 2; y 4 8 4 4 2 2 32 6 2 8 Точка перегиба: 4; 9 32 16 8 36 18 9 3 8x 7) Вертикальная асимптота x 2 , так как lim 2 x 2 0 x 2 Наклонные асимптоты: 8x 2 x 2 f x k lim lim x x x x lim 8 0 x x 2 2 8 8x 8x 0 x b lim f x kx lim lim 0 lim 2 2 x x x x 4 x 4 x 4 4 1 0 0 x 2 1 2 x x y 0 - наклонная асимптота выродилась в горизонтальную. 8) Точки пересечения графика функции с осями координат: а) С осью Ox : 8x x 2 2 0 x 0 0;0 б) С осью Oy : y 0 80 0 2 9) График: 2 0 y 0 0;0