Всероссийская олимпиада школьников по математике 2014-2015 учебный год

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
И НАУКИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ
Всероссийская олимпиада школьников
по математике
Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«ЦЕНТР ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ДЕТЕЙ»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная, 76
тел. 259-84-01
E-mail: cdodd@mail.ru
Решите уравнение
2014-2015 учебный год
Муниципальный этап
11 класс, задания
Председатель предметно-методической
комиссии: Бирюк А.Э., к.ф.-м.н., доцент
Задача№ 1
lg(cos
𝑥) = lg(sin2014 𝑥) .
2014
Задача№ 2
Можно ли выбрать 10 различных натуральных чисел так, чтобы каждое из
них делило нацело сумму остальных? Обоснуйте свой ответ.
Задача№ 3
Докажите, что если целые числа a, b, c таковы, что 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 , то их
произведение abc кратно 60. Обоснуйте свой ответ.
Задача№ 4
В пространстве заданы две точки А и B, расстояние между которыми равно
2014. Множество M состоит из всех таких точек X, для которых скалярное
⃗⃗⃗⃗⃗ и 𝐵𝑋
⃗⃗⃗⃗⃗ равно 2015. Найдите наибольшее расстояние
произведение векторов 𝐴𝑋
между точками заданного множества M.
Задача№ 5
Набор чисел: 1, 2, 3, ..., 2014 разрешается записать в строчку (слева направо)
в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число m, то где-то
слева от него встретится хотя бы одно из чисел m + 1 или m – 1. Сколькими
способами это можно сделать? Обоснуйте свой ответ.