Личное первенство [условия задач]

1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
Личное первенство по математике «Математический фейерверк», 2014 год
5-6 класс
Можно ли разрезать квадрат 4 × 4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы равные
прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами?
Мама с дочкой тратят на уборку квартиры 30 минут. Одна мама убрала бы квартиру за
50 минут. За сколько минут сделала бы это дочка? Ответ обоснуйте.
Делегация некоторой страны на Олимпийских играх состояла из спортсменов и чиновников.
Средний возраст спортсменов составлял 22 года, а чиновников – 47 лет. При этом средний
возраст всех членов делегации оказался равным 41 году. Какова в этой делегации доля
чиновников (отношение количества чиновников к общему количеству членов делегации)?
Ответ обоснуйте.
Натуральное число называется упрощённым, если оно является произведением двух простых
чисел (не обязательно различных). Какое наибольшее количество последовательных
натуральних чисел может оказаться упрощёнными? Ответ обоснуйте.
Личное первенство по математике «Математический фейерверк», 2014 год
7-8 класс
Можно ли расставить в клетках таблицы 4 × 5 числа 1, 2, …, 20 (каждое используется по
одному разу) так, чтобы суммы чисел во всех рядах были одинаковы и суммы чисел во всех
столбцах были одинаковы, но, возможно, отличались от сумм чисел в рядах?
Таня составила из натуральных чисел от 1 до 22 одиннадцать дробей (каждое число
использовано ровно один раз и стоит либо в числителе, либо в знаменателе какой-то дроби).
Какое наибольшее количество целых чисел могло получиться у Тани?
В четырёхугольнике ABCD выполняется условие AD = AB + CD. Биссектрисы углов BAD и
ADC пересекаются в точке P. Докажите, что BP = CP.
На доске в ряд записано 2015 звёздочек. Андрей и Олеся играют в следующую игру: они по
очереди (Андрей – первый) заменяют какую-нибудь звёздочку на какую-нибудь цифру (на
первое место нельзя ставить цифру 0). Если в конце получится 2015-значное число, делящееся
на 11, то выигрывает Андрей, если не делящееся на 11 – Олеся. Кто выигрывает при
правильной игре?