Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.01 Математика подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Нижегородский филиал
Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет
Информатики математики и компьютерных наук
Программа дисциплины
Математический анализ
для направления 01.03.01 Математика
подготовки академического бакалавра
Автор программы:
Казаков А.О., кандидат физ.-мат. наук, akazakov@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры
Фундаментальной математики
Зав. кафедрой Починка О.В.
«___»____________ 2015 г
Рекомендована секцией УМС «Математика»
Председатель Починка О.В.
«___»____________ 2015 г
Утверждена УМС НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Председатель Бухаров В.М.
«___»_____________2015 г.
Нижний Новгород, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 01.03.01 «Математика», изучающих дисциплину «Логика и алгоритмы».
Программа разработана в соответствии с:
- Образовательным стандартом ФГАУ ВПО НИУ-ВШЭ по направлению подготовки "Математика" (уровень подготовки: "бакалавр").
- Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 01.03.01 Математика,
утвержденным в 2015 г.
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Логика и алгоритмы» ознакомление студентов с фундаментальными основами математической логики, основой теории множеств, теории моделей,
теории доказательств и теории вычислимости. Основной целью освоения дисциплины является:
приобретение студентами теоретических знаний и навыков решения задач по теории множеств,
логике высказываний, логике предикатов, исчислению высказываний и исчислению предикатов, теории моделей, теории алгоритмов и теории вычислимости; приобретение студентами
навыков и компетенций по формализации на строгом математическом языке знаний, относящихся к различным предметным областям, возникающих в этих областях проблем и задач;
овладение методами построения дискретных моделей предметных областей.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные методы математической логики и алгоритмов.
 Уметь решать типовые теоретические и вычислительные задачи.
 Иметь навыки (приобрести опыт) решения математических задач, возникающих в
некоторых прикладных областях.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Готовность использовать
основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности, применять
методы математического
анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо
предметной области
Способность аналитически
работать с информацией из
различных источников,
включая глобальные компьютерных сети
Код по
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ОНК-4 студент демонстрирует знакомство
с законами естественнонаучных
дисциплин и владение их методами в ходе учебной подготовки к
решению задач профессиональной
деятельности
ИК-4
в ходе подготовки к занятиям студент получает и совершенствует
навыки работы с информационными источниками различного
типа
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Чтение лекций, проведение
практических занятий, самостоятельная работа
Самостоятельная работа
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Код по
НИУ
Компетенция
Способность демонстрации общенаучных базовых
знаний естественных наук,
математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов теорий, связанных с
прикладной математикой и
информатикой
Способность понимать и
применять в исследовательской и прикладной
деятельности современный
математический аппарат
Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для
формирования выводов по
соответствующим научным, профессиональным,
социальным и этическим
проблемам
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Чтение лекций, проведение
практических занятий, самостоятельная работа
ПК-1
студент способен демонстрировать
общенаучные знания математики
и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой
ПК-2
студент способен применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Чтение лекций, проведение
практических занятий, самостоятельная работа
ПК-6
студент способен собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований
Чтение лекций, проведение
практических занятий, самостоятельная работа
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к профессиональному циклу дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра по направлению 01.03.01 «Математика».
Настоящая дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на хорошем владении математическим аппаратом выпускника средней общеобразовательной школы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями: знать основы математического анализа, алгебры и геометрии в рамках средней
общеобразовательной школы, уметь решать типовые школьные задачи по математике, помнить
основные математические теоремы школьного курса математики. Курс опирается на знания
студентов, приобретенные при изучении основ элементарной математики и информатики, и
обеспечивает теоретическую подготовку и практические навыки в области современных методов математической логики. «Логика и алгоритмы» занимает одну из основополагающий позиций в образовании студентов специальности «математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большим количеством математических дисциплин, таких как: дискретная математика, теория вероятностей, функциональный анализ, вычислительные методы и т.д.
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
Название раздела
Всего
часов
Тория множеств
Логические функции. Алгебра логики
Конечные автоматы, грамматики, машина
70
84
58
3
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
10
12
8
30
36
24
Самостоятельная
работа
30
36
26
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Тьюринга.
ИТОГО
212
30
90
92
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Форма
контроля
Контрольная работа
Домашнее
задание
Экзамен
1 год
1
4,8
2
4,8
1,3,
5,7
1,3,
5,7
*
Параметры
Письменная работа 80 минут
Письменная работа (5-6 задач)
Устный экзамен
Критерии оценки знаний, навыков
Студент должен быть знаком с методами решения задач логики и алгоритмов, а также
приобрести опыт решения практических задач. При выполнении письменных контрольных работ, а также зачетной и экзаменационной работ студент должен продемонстрировать знание
теоретического материала соответствующего раздела курса, уметь правильно применять его к
решению конкретных задач, соблюдать логику решения задачи и грамотно формулировать ответ. Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: оценивается правильность решения задач на семинаре. Оценки за работу на семинарских занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях также заносится в рабочую ведомость.
Накопленная оценка за текущий контроль (1-2 модуль) учитывает результаты студента
по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная = 0,5·Ок/р +0,5·Одз
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле:
Оитоговый =0,5·Оэкзамен + 0,5·Онакопленная
Способ округления оценок – арифметический.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
Содержание дисциплины
1. Теория множеств
- Понятие множества, примеры. Мощность множества. Алгебра множеств (операции
над множествами и их свойства). Диаграмма Венна. Декартово произведение множеств.
- Натуральный ряд. Аксиома бесконечности и формальное определение множества
натуральных чисел. Принцип математической индукции. Его вывод из определения
натурального ряда.
4
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
- Понятие подмножества. Теорема о числе подмножеств и доказательство с помощью
математической индукции. Понятие отношений, общие свойства отношений.
- Отношение эквивалентности (примеры, разбиение множества, теорема о факторизации). Отношение порядка (примеры, упорядоченные множества).
- Функциональные отношения и функции. Инъекция, сюръекция, биекция (примеры).
Сравнение бесконечных множеств, счетные и несчетные множества. Теорема о несчетности множества действительных чисел. Теорема Кантора.
2. Логические функции. Алгебра логики
- Булевы функции. Существенные и фиктивные переменные. Элементарные функции. Алгебра логики. Булевы формулы.
- Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Теорема о представимой любой булевой формулы в виде ДНФ и КНФ. Теоремы о существовании и единственности СДНФ.
- Полином Жегалкина. Определение, связь с булевой алгеброй.
- Полные системы. Суперпозиция, замкнутость и полнота. Теорема сведения. Вопрос
о полноте.
- Важнейшие замкнутые классы: функции, сохраняющие константы, монотонные
функции, самодвойственные функции.
- Линейные функции. Критерий полноты (теорема Поста). Предполные классы и базисы.
- Схемы из функциональных элементов и их построение. Теорема о разложении
функции по переменной. Сумматор.
3. Конечные автоматы, грамматики, машина Тьюринга.
- Понятие алфавита и языка. Конечные автоматы. Регулярные языки. Недетерминированный конечный автомат.
- Конкатенация и итерация языка. Теоремы о замкнутости регулярных языков относительно конкатенации и итерации. Критерий регулярности языков. Семь основных
алгоритмических проблем для конечных автоматов и регулярных языков.
- Формальные грамматики и языки. Контекстно-свободные грамматики и контекстно-свободные языки. Понятие вывода в грамматике. Построение грамматики по конечному автомату.
- Концепция машины Тьюринга. Многоглавая и многоленточная машины Тьюринга.
Машина Тьюринга, работающая на двумерной ленте. Языки распознаваемые и полу
распознаваемые по Тьюрингу. Тезис Тьюринга.
Образовательные технологии
При реализации учебной работы используются повторение основных положений лекционного материала и разбор типовых практических задач.
Методические рекомендации преподавателю
Глубокие знания предмета следует представлять в максимально доступной, понятной и
мотивированной форме. Следует постоянно совершенствовать материалы занятий с учетом последних достижений и разработок.
5
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Методические указания студентам
Следует систематически посещать лекционные и семинарские занятия. Материалы этих
занятий следует внимательно изучать и регулярно выполнять домашние задания. На занятиях
нужно вести себя активно. Следует иметь в виду, что многие последующие учебные курсы основаны на свободном владении аппаратом и техникой математического анализа.
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные типы заданий для контрольных работ:
1. Графическое представление заданного отношения с определением его свойств.
2. Определение полноты заданной системы булевых функций.
3. Построение конечных автоматов и грамматик.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.
1. Алгебра множеств. Прямое произведение множеств. Число подмножеств конечного
множества.
2. Отношение эквивалентности. Теорема о факторизации.
3. Отношение порядка. Теорема о конечных упорядоченных множествах. Диаграмма
Хассе. Лексикографический порядок.
4. Функциональные отношения. Число инъекций, биекций и сюръекций для конечных
множеств.
5. Счетные и несчетные множества. Теорема Кантора.
6. Перестановки, размещения, сочетания.
7. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Полиномиальная
теорема.
8. Сочетания с повторениями (мультимножества).
9. Формула включений-исключений.
10. Число упорядоченных и неупорядоченных разбиений конечного множества.
11. Линейные рекуррентные уравнения первого и второго порядка.
12. Логические функции. Число функций. Существенные и фиктивные переменные.
Элементарные функции, их свойства.
13. Нормальные формы.
14. Полином Жегалкина.
15. Понятия замкнутого класса и полноты. Теорема сведения.
16. Класс самодвойственных функций.
17. Класс монотонных функций.
18. Класс линейных функций.
19. Теорема Поста о полноте.
20. Понятия предполного класса и базиса. Следствия из теоремы Поста.
21. Понятие схемы из функциональных элементов. Простейшие методы синтеза схем.
Построение схемы сумматора.
22. Понятие конечного автомата и регулярного языка.
23. Теоремы о замкнутости регулярных языков относительно конкатенации и итерации.
Критерий регулярности языков.
24. Понятие формальной грамматики и языка. Контекстно-свободные грамматики и
контекстно-свободные языки.
25. Концепция машины Тьюринга.
6
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
[1] Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1994.
[2] Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. М., 1991.
Дополнительная литература
[3] Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. М: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
[4] Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М.: Наука, 1987.
[5] Клини С.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973.
[6] Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и
теории алгоритмов. М.: Физ.-мат. литература, 1995.
Автор программы
А.О. Казаков
7