АННОТАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Функциональный анализ Направление подготовки 010400.62 прикладная математика и информатика (математическое и информационное обеспечение экономической деятельности) Квалификация (степень) выпускника бакалавр Общая трудоемкость дисциплины 108 ч. 1. Цели освоения дисциплины Целью изучения дисциплины «Функциональный анализ» является освоение методов функционального анализа, непосредственно примыкающим к задачам вычислительной математики и ее приложений, которые являются необходимыми для понимания с общих позиций идей и методов вычислительной математики, задач оптимизации вычислительных алгоритмов. 2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Курс входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части обучения. Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в результате обучения предшествующим дисциплинам: математический анализ, алгебра. Знание функционального анализа может существенно помочь при решении задач из различных областей математики. Кроме того, методы функционального анализа широко применяются в целом ряде направлений современной математики. 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля): ОК-6, ОК-8, ОК-16, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-9, ПК-15, ПК-16, ПК-20, ПК-21, ПК-22, ПК-25, ПК-27, ПК-29. В результате освоения дисциплины обучающийся должен: 1) Знать: основные определения и понятия изучаемых разделов функционального анализа. 2) Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области функционального анализа, устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиям, доказывать как известные утверждения, так и родственные им новые. 3) Владеть: разнообразным математическим аппаратом общей теории, используемого для целого ряда приложений. 4. Структура и содержание дисциплины. Тема 1. Элементы теории множеств, метрические и топологические пространства Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Разбиения на классы. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества. Упорядоченные множества. Частично упорядоченные множества. Трансфинитные числа. Системы множеств. Определение и основные примеры метрических пространств. Открытые и замкнутые множества. Полные метрические пространства. Определение и примеры топологических пространств. Тема 2. Понятие меры. Измеримые функции, линейные пространства Мера элементарных множеств. Лебегова мера плоских множеств. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. Лебегово продолжение меры. Определение и основные свойства измеримых функций. Действия над измеримыми функциями. Сходимость по мере. Определение и примеры линейных пространств. Линейная зависимость. Факторпространства. Линейные функционалы. Тема 3. Выпуклые множества и выпуклые функционалы, обобщенные функции Выпуклые множества и выпуклые тела. Однородно-выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха. Расширение понятия функции. Пространство основных функций. Определение обобщенных функций. Действия над обобщенными функциями. Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций. Тема 4. Нормированные и евклидовы пространства Определение и примеры нормированных пространств. Подпространства нормированного пространства. Фактор пространства нормированного пространства. Определение евклидовых пространств. Существование ортогональных базисов. Теорема об ортогонализации. Замкнутые ортогональные системы. Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса-Фишера. Тема 5. Линейные операторы, компактные операторы и их свойства Определение и примеры линейных операторов. Непрерывность и ограниченность. Обратный оператор. Обратимость. Сопряженные операторы. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы. Определение и примеры компактных операторов. Основные свойства компактных операторов. Компактные операторы в гильбертовом пространстве. Самосопряженные компактные операторы. Теорема (Гильберт-Шмидт). Тема 6. Тригонометрические ряды, преобразование Фурье и его свойства, преобразование Лапласа Условия сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера. Теорема Вейерштрасса. Преобразование Фурье и формула обращения. Основные свойства преобразования Фурье. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности. Преобразование Фурье функции нескольких переменных. Теорема Планшереля. Определение и основные свойства преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений. Тема 7. Линейные интегральные уравнения Типы интегральных уравнений. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям. Интегральные уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма. Интегральные уравнения первого рода. Интегральные уравнения, содержащие параметр. Тема 8. Дифференцирование в линейных пространствах Сильный дифференциал (дифференциал Фреше). Слабый дифференциал (дифференциал Гато). Связь между слабой и сильной дифференцируемостью. Дифференцируемые функционалы. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Составил доцент кафедры МАиМ В.А.Труфанов