Введение в математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по учебной работе
___________________
«___» __________2014 г.
Учебно-методический комплекс
дисциплины
«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Направление подготовки
050100.62 «Педагогическое образование»
(код и наименование направления подготовки)
Профиль подготовки
«Математика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Заочная
Тобольск 2014
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
_______________________________________________________________________
Дисциплина:
Введение в математический анализ
_
Учебный план: 050100 Педагогическое образование Профиль «Математика»
Автор:
Кушнир Таисья Ивановна__________________________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
Кушнир Таисья Ивановна, доцент кафедры физики,
математики и методик преподавания
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
_____________
дата
Содержание
Рабочая программа дисциплины ………………………………...…………….................. 3
Руководство по организации обучения дисциплине ……………………………………13
Приложения ……………………………………………………………………………..….. 16
Приложение 1. Лекционные материалы ………………………………………………..…..16
Приложение 2. Практические занятия ………………………………………………….….19
2.1. Планы практических занятий ……………………………………………………….…..19
2.2. Методические указания к практическим занятиям ……………………………….….. 22
Приложение 3. Самостоятельная работа студентов ……………………………….….…... 23
3.1. Задания для самостоятельной работы …………………………………………………. 23
3.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы ……………………26
Приложение 4. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине 27
4.1. Технологическая карта ………………………………………………………………..... 27
4.2. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине …………………. 28
4.3. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине ………………….28
4.4. Вопросы к зачету ……………………………………………………………................... 30
Приложение 5. Глоссарий ……………………………………………………………..…..... 31
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по учебной работе
___________________
«___» __________2014 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ДИСЦИПЛИНЫ
«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Направление подготовки
050100.62 «Педагогическое образование»
(код и наименование направления подготовки)
совмещенные профили
Профиль подготовки
«Математика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Заочная
Тобольск 2014
Рабочая программа дисциплины «Введение в математический анализ» /сост.
Т.И. Кушнир – Тобольск: 2014. –
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой
части профессионального цикла студентам очной формы обучения по
направлению подготовки 050100.62 в 1 семестре.
Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по
направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» профиль
«Математика», утвержденного приказом Министерства образования и науки
Российской Федерации от «___» _____ 20__ г. № ___
Составитель ____________________ Т.И. Кушнир
СОДЕРЖАНИЕ
1
2
3
4
4.1
4.2
5
6
7
7.1
7.2
7.3
8
9
Ст
р
Цели и задачи освоения дисциплины………………………………… 4
Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......……………………..
4
Требования к результатам освоения содержания дисциплины.......... 5
Содержание и структура дисциплины ……….......………………….
7
Структура дисциплины..........................................................................
7
Содержание разделов дисциплины....................................................... 8
Образовательные технологии................................................................ 10
Самостоятельная работа студентов…………………………………... 11
Компетентностно-ориентированные оценочные средства………… 12
Оценочные средства диагностирующего контроля………………… 12
Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая 12
технология оценивания работы студентов…………………………..
Оценочные средства промежуточной аттестации ..………………… 14
Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение 18
дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины………………. 19
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Цель дисциплины - формирование систематических знаний в области
математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук,
приложениях в естественных науках.
Задачи дисциплины:
- выработать умения и навыки вычисления пределов, нахождения производных и
интегралов, доказательства свойств и теорем, относящихся к основным понятиям
математического анализа;
- научить применять методы математического анализа для решения задач,
нахождения геометрических и физических величин;
- познакомить с современными направлениями развития математического анализа
и его приложениями;
- дать научное обоснование школьного курса «Алгебра и начала анализа».
Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный и научно-методический виды
профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых
задач профессионально деятельности:
в области учебно-воспитательной деятельности:
- осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой;
- планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов
программы и в соответствии с учебным планом;
- использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств
обучения;
- использование технических средств обучения, информационных и компьютерных
технологий;
- применение современных средств оценивания результатов обучения;
воспитание учащихся как формирование у них духовных, нравственных ценностей
и патриотических убеждений на основе индивидуального подхода;
в области научно методической деятельности:
- выполнение научно-методической работы, участие в работе научно-методических
объединений;
- анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и повышения
своей квалификации.
Выпускник должен быть готов к выполнению основных видов профессиональной
деятельности учителя математики, решению типовых профессиональных задач в
учреждениях среднего общего (полного) образования, использовать знания по математике
для эффективной организации содержания учебного материала по другим предметам.
Курс математики имеет также общеобразовательное, общекультурное и
прикладное значение, способствует формированию научного мировоззрения студентов.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Введение в математический анализ» относится к базовой части
профессионального цикла. Для освоения дисциплины используются знания, умения и
виды деятельности, сформированные в процессе изучения предметов «Математика»,
«Информатика» на предыдущем уровне образования. Дисциплина «Ведение в
математический анализ», наряду с дисциплинами «Алгебра» и «Геометрия», является
фундаментом высшего математического образования. Знания и умения, формируемые в
процессе изучения дисциплины «Введение в математический анализ», будут
использоваться в дальнейшем при освоении дисциплин вариативной части
профессионального цикла: «Теория функций действительного переменного», «Теория
функций комплексного переменного», «Дифференциальные уравнения», «Физика» и др.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению
подготовки (специальности):
а) общекультурных (ОК):
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные понятия математического анализа;
- основные свойства и теоремы математического анализа;
- основные методы математического анализа;
уметь:
- вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы;
- используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями;
- применять методы математического анализа к доказательству теорем и решению задач;
владеть:
- современными знаниями о математическом анализе и его приложениях;
- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».
Приобрести опыт деятельности: готов к выполнению основных видов
профессиональной
деятельности
учителя
математики,
решению
типовых
профессиональных задач в учреждениях среднего общего (полного) образования,
использовать знания по математике для эффективной организации содержания учебного
материала по другим предметам.
4. Структура и содержание дисциплины
Дисциплина «Введение в математический анализ» изучается в I семестре 1 курса.
Общая трудоёмкость 4 зачётных единицы (144 часа), из них 6 аудиторных: 2 часа лекций
и 4 часов практических занятий, самостоятельная работа студентов – 129 часов. Изучение
предусматривает экзамен.
4.1. Структура дисциплины
Наименование раздела
дисциплины
№
Введение в анализ
1.
Семестр
1
Таблица 1
Виды учебной работы
(в академических часах)
аудиторные занятия
СР
ЛК
ПЗ
ЛБ
2
4
129
4.1 Содержание разделов дисциплины
№
Наименование
раздела
раздела
1
2
1.
Введение в анализ
Содержание раздела
Таблица 2
Форма текущего
контроля
3
Предварительные
сведения
о
математическом
анализе.
Действительные числа.
Предмет математического анализа.
Исторические
сведения.
Преемственная связь со школьным
курсом математики.
4
Домашние
задания,
контрольные
работы, срезовые
контрольные
работы,
коллоквиумы,
Множество
R
действительных зачеты, экзамены
чисел.
Изображение
действительных чисел на прямой.
Модуль действительного числа, его
свойства.
Ограниченные
и
неограниченные
множества.
Промежутки.
Функции и их общие свойства.
Область определения. Композиция
функций. Обратимая функция.
Обратная
функция.
Сужение
функции. Действительная функция
действительной
переменной.
График функции. Арифметические
действия над функциями. Числовые
последовательности.
Предел
числовой
последовательности и функции.
Понятие
предела
последовательности и функции.
Предел отношения синуса к
аргументу, стремящемуся к нулю.
Единственность предела. Предел
суммы, произведения и частного.
Предел
композиции
функций.
Предельный
переход
в
неравенствах.
Односторонние
пределы. Бесконечно малые и их
сравнение. Бесконечно большие.
Непрерывность
множества
R.
Верхняя и нижняя грани числового
множества. Принцип вложенных
отрезков.
Предел
монотонной
последовательности. Бесконечные
десятичные дроби. Число е и
связанные с ним пределы. Теорема
Больцано-Вейерштрасса.
Непрерывность функции. Основные
элементарные функции.
Непрерывность функции в точке.
Непрерывность
суммы,
произведения и частного. Переход к
пределу под знаком непрерывной
функции.
Непрерывность
композиции
функций.
Односторонняя
непрерывность.
Точки разрыва. Пределы и точки
разрыва монотонной функции.
Теорема
о
промежуточных
значениях непрерывной функции.
Непрерывность обратной функции.
Ограниченность, наибольшее и
наименьшее значения непрерывной
функции на отрезке. Понятие
равномерной
непрерывной
функции.
Равномерная
непрерывность
непрерывной
функции на отрезке.
Показательная, логарифмическая и
степенная функции. Существование
корня с натуральным показателем.
Определение и свойства степени с
дробным показателем. Степенная
функция
с
рациональным
и
иррациональным
показателем.
Показательная функция и ее
свойства.
Существование
логарифмов.
Логарифмическая
функция
и
ее
свойства.
Натуральные
логарифмы.
Степенная
функция
с
действительным
показателем.
Непрерывность
показательной,
логарифмической
и
степенной
функций.
5. Образовательные технологии
Таблица 3
№
№
занятия раздела
1.
1
2.
1
3
1
4
1
5.
1
Тема занятия
Множество R
действительных чисел.
Модуль действительного
числа, его свойства.
Функции и их графики
Предел функции
Виды образовательных
технологий
Информационная лекция
(Традиционные технологии)
Кол-во
часов
2
Групповое обсуждение,
дискуссия (Интерактивные
2
технологии)
Информационная лекция
(Традиционные технологии) 2
Вычисление предела
функции в точке
Практическое занятие
(Традиционные технологии) 2
Непрерывность функции
Информационная лекция
(Традиционные технологии) 2
Непрерывность функции
Информационная лекция
(Традиционные технологии) 2
6
6. Самостоятельная работа студентов
№
Наименование раздела
дисциплины
Вид самостоятельной работы
Таблица 4
Трудоемкость
(в академических
1
Введение в анализ
Конспектирование предложенной
литературы;
решение
задач;
выполнение домашних заданий
часах)
12
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
1) Входящий контроль в форме теста;
2) Текущий контроль в форме мониторинга результатов лекционных и
практических занятий, а так же домашних работ;
3) Промежуточная аттестация в форме зачета.
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая
технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Раздел 1. Введение в анализ
1 Определения.
1. Переменная величина.
2. Постоянная величина.
3. Функция одной переменной.
4. Числовая последовательность.
5. Возрастающая числовая последовательность.
6. Убывающая числовая последовательность.
7. Последовательность, ограниченная снизу.
8. Последовательность, ограниченная сверху.
9. Предел последовательности.
10. Предел функции при x   (с геометрической иллюстрацией).
11. Предел функции при x  a (с геометрической иллюстрацией).
12. Бесконечно малая функция.
13. Бесконечно большая функция при x  a .
14. Бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с другой.
15. Бесконечно малые одного порядка.
16. Эквивалентные бесконечно малые.
17. Функция, непрерывная в точке (2 определения).
2 Вопросы без доказательства.
1. Свойства бесконечно малых.
2. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
3. Теорема о связи предела функции с бесконечно малой функцией:
а) прямая;
б) обратная.
4. Теоремы о пределах.
5. Признаки существования:
а) предела последовательности;
б) предела функции.
6. Второй замечательный предел.
7. Теорема об эквивалентных бесконечно малых.
8. Свойства непрерывных в точке функций.
9. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
10. Классификация точек разрыва.
3 Вопросы с доказательством.
Теорема о сумме бесконечно малых.
Теорема о пределе суммы функций.
Теорем о пределе произведения функций.
Вывод формулы первого замечательного предела.
1.
2.
3.
4.
7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Контрольная работа №1
Тема: «Введение в анализ»
1. Решить неравенство: 1  3x  2 x  3  0
2. Найти область определения функции: y 
x
 arcsin
x
4
x 2  3x  2
x 
3. Исследовать функцию на периодичность: y  sin  1
3 
4. Построить график функции методом геометрических преобразований:
x

y  3 sin  2  1
2

Контрольная работа №2
Тема: «Предел и непрерывность»
4 6 8
1. Найти формулу общего члена последовательности: 0,1, , , ,...
3 4 5
2. Доказать равенство, пользуясь определением предела функции в точке:
x

lim 1    1
x6 
3
3. Вычислить предел функции:
2x
 2x 2  x 
1 x  1 x2
tg 2 3x  sin 5 x
а) lim
, б) lim
, в) lim 2
 .
x0
x  0 1  cos 4 x tg 2 x
x   2 x  1 
1 1 x
4. Исследуйте функцию на непрерывность, установите характер точек разрыва и
1

,x  0

x

постройте график: f ( x)   x,0  x  2
 2,2  x  5

sin( x  5), x  5
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. –
СПб.: Профессия, 2003.
2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов / А.Ф.
Бермант, И.Г. Араманович. - 11-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2005.
3. Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: Кн.1:
Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной: Учеб.
пособие. – М.: Высшая школа, 2002.
4. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Математический анализ. – Минск: Вышейшая
школа, 1990.
5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу:
Учеб. пособие. – М.: АСТ, 2002.
6. Ильин В.А. Математический анализ: Учебник : в 2 ч. / В.А. Ильин, В.А.
Садовничий и др. - 3-е изд.,пер. и доп. - М.: Проспект, 2006.
7. Никольский С.Н. Курс математического анализа: Учеб. для вузов. - 6-е изд.
стер. - М.: Физматлит, 2002.
8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. – СПб.: Лань, 2001.
11. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 2. – СПб.: Лань, 2001
б) дополнительная литература:
1. Акилов Г.П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа. -. Новосибирск,
Наука, 1980.
2. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение
в теорию интеграла. - М.: Наука, 1973.
3. Доброхотов П.А. и др. Ряды. - М., Просвещение, 1980.
4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1966.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. - М., Наука, 1982.
6. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ. – М.: Наука,
1984.
в) периодические издания:
Квант, Математика в школе.
г) мультимедийные средства:
проектор, экран
д) Интернет-ресурсы:
1. http://www.bymath.net/stadyguide/fun/sec/fun9.htm – элементарная математика.
2. http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=14 – функции в школьной программе.
3. http://graphfunk.narod.ru/parabola.htm – графики элементарных функций.
4. http://www.math.ru – математический сайт.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки
материалов для учебного процесса).
2. Аудитории с мультимедийным обеспечением.
3. Программное обеспечение: 1) MS Excel 2) Power Point.
Руководство по организации обучения дисциплине
Программа курса рассчитана на один семестр.
Примерный перечень заданий для самостоятельных и контрольных работ приведён
выше. Предусмотрено проведение самостоятельных работ.
Отчётность по дисциплине осуществляется в форме экзамена. Приём экзамена
складывается из трёх компонент: отсутствие долгов по самостоятельным, контрольной
работе, знание основных понятий и утверждений изученной теории, умение
иллюстрировать их примерами.
Еженедельно проводятся индивидуальные занятия, на которых студенты
консультируются у преподавателя по самостоятельно изучаемым темам, сдают
задолженности, коллоквиумы и т. п.
На каждом практическом занятии проверяется и оценивается выполнение
домашнего задания, выясняются проблемы.
При выставлении рейтингового балла учитывается:
а) посещение занятий;
б) выполнение домашних заданий;
в) активность работы на практических занятиях и лекциях;
г) результат написания контрольной работы;
д) успехи в самостоятельном изучении тем курса.
Экзамены завершают изучение курса, проводятся вне расписания в каждой группе
отдельно. Заранее студентам известны теоретические вопросы и примерные практические
задания, выносимые на зачёт или экзамен. Чтобы получить зачёт, достаточно вполне
удовлетворительно ответить по теории и решить с незначительными погрешностями
уравнение (задачу).
Преподавателю, читающему дисциплину «Введение в математический анализ»,
важно знать структуру дисциплины, умело выделяя в разделах основные, базовые
понятия. Организуя учебные занятия, учитывать их порядок, последовательность и
технологические приемы, отражая научно-методические основы дисциплины.
Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, самостоятельную
работу.
Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами
изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу
теоретического обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине,
раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и
техники, концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных)
вопросах.
Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение
основных математических методов и показывается их применение для обработки и
исследования информации. На лекциях преподаватель дает теоретические основы,
примеры, показывает основное направления для подготовки к зачету. Посещение лекций,
а также ведение конспектов лекций (фиксирование основных положений, свободное
изложение и т.п.) и их проверка являются обязательными. Необходимо показывать
приемы успешной работы с текстом лекции: использование кратких общепринятых
символов, совращений, правильная обработка текста, исправление неточностей и внесение
дополнительных сведений.
Темы практических занятий соответствуют теме прочтенной лекции, поэтому в
учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий
рекомендовано проведение небольшой самостоятельной работы, математического
диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых
на данном занятии. Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия,
осуществляя систематический контроль за успеваемостью (рейтингом) студентов, но и
воспитательную, требуя от обучающихся дисциплинированности, активности,
трудолюбия.
Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы
которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий.
- самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к
практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной
литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому
занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не
только базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной
работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы,
сборники задач;
- домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради,
проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания
оцениваются баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов.
- выполнение других заданий, которые представлены в программе и технологической
карте.
Дисциплина завершается экзаменом.
Аннотация по дисциплине «Введение в математический анализ»
Цель дисциплины - формирование систематических знаний в области
математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук,
приложениях в естественных науках.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина относится к базовой части профессионального цикла. Для освоения
дисциплины используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в
процессе изучения предметов «Математика», «Информатика» на предыдущем уровне
образования. Дисциплина «Математический анализ», наряду с дисциплинами «Алгебра» и
«Геометрия», является фундаментом высшего математического образования. Знания и
умения, формируемые в процессе изучения дисциплины «Математический анализ», будут
использоваться в дальнейшем при освоении дисциплин вариативной части
профессионального цикла: «Теория функций действительного переменного», «Теория
функций комплексного переменного», «Дифференциальные уравнения», «Физика» и др.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению
подготовки (специальности):
а) общекультурных (ОК):
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные понятия математического анализа;
- основные свойства и теоремы математического анализа;
- основные методы математического анализа;
уметь:
- вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы;
- используя определения, проводить исследования, связанные с основными
понятиями;
- применять методы математического анализа к доказательству теорем и
решению задач;
владеть:
- современными знаниями о математическом анализе и его приложениях;
- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».
Приобрести опыт деятельности: готов к выполнению основных видов
профессиональной
деятельности
учителя
математики,
решению
типовых
профессиональных задач в учреждениях среднего общего (полного) образования,
использовать знания по математике для эффективной организации содержания учебного
материала по другим предметам.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц (144 часа).
5. Разработчики: к.п.н., доцент
Т.И. Кушнир
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЛЕКЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Раздел 1 «Множества. Функция. Классификация функций»
Лекция 1. Тема 1 «Множества, примеры множеств. Операции над множествами».
Содержание: Множество, примеры множеств (числовые, множества точек на плоскости, в
пространстве, конечные, бесконечные, пустые).
Операции над множествами (объединение, пересечение, разность двух множеств,
дополнение до универсального). Множество действительных чисел и его свойства.
Числовые промежутки. Абсолютная величина числа. Грани числовых множеств.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [§1-2].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк.,
1990. [Гл.1, § 1-5].
Лекция 2. Тема 2 «Функция, основные характеристики функции».
Содержание: Отображение, классификация отображений. Понятие функции. Способы
задания функции (аналитический, табличный, графический, параметрический, неявное
задание). Примеры. Область определения функции и множество значений, примеры.
Основные характеристики функции: четность, нечетность, периодичность, монотонность,
ограниченность.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [§6-7].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990.
[Гл. 4, § 1].
Лекция 3. Тема 3 «Построение графика функции путем деформации графиков
известных элементарных функций».
Содержание: Преобразования графиков не изменяющие масштаб (преобразования
симметрии, параллельный перенос), преобразования графиков, изменяющие масштаб
(растяжение или сжатие по оси абсцисс, по оси ординат). Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [§ 8].
Раздел 2 «Последовательности. Предел последовательности и предел функции»
Лекция 4. Тема 1 «Числовая последовательность. Предел числовой
последовательности»
Содержание: Понятие числовой последовательности, примеры. Способы задания
числовой последовательности (аналитический, указание нескольких первых членов
последовательности, графический, реккурентный). Монотонные и ограниченные
последовательности. График числовой последовательности. Понятие предела числовой
последовательности и его геометрическая интерпретация. Арифметические операции над
сходящимися последовательностями. Неопределенности. Основные теоремы о пределе
последовательности.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл.2, §1-11].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990.
[Гл.2, § 1-4].
Лекция 5. Тема 2 «Предел функции»
Содержание: Определение предела функции в точке на языке последовательностей и по
Коши. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.
Основные свойства пределов (предел константы, предел алгебраической суммы,
произведения и частного), примеры. Геометрическая интерпретация предела функции в
точке. Теорема о единственности предела функции. Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [Гл.2 § 3, 5-7].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк.,
1990. [Гл. 4, § 2-4].
Лекция 6. Тема 3 «Бесконечно малые и бесконечно большие функции»
Содержание: Понятия бесконечно малой и бесконечно большой функции, примеры. Связь
между бесконечно малой и бесконечно большой величинами. Сравнение бесконечно
малых функций. Таблица эквивалентных функций. Вычисление пределов, с применением
таблицы эквивалентных функций. Приближенные вычисления, примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл.2, § 4,11].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990.
[Гл. 4, § 5, 6].
Раздел 3 «Непрерывные и разрывные функции»
Лекция 7. Тема 1 «Непрерывные функции»
Содержание: Различные определения непрерывной в точке функции (с помощью предела,
на языке окрестностей, последовательностей, приращений). Односторонняя
непрерывность. Примеры на исследование функции на непрерывность с помощью разных
определений. Теорема о непрерывности алгебраической суммы, произведения и частного
двух функций. Точки разрыва, их классификация. Примеры.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл.2, § 9].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990.
[Гл. 4, § 7-9].
Лекция 8. Тема 2 «Свойства функций, непрерывных на отрезке»
Содержание: Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Первая и вторая
теоремы Больцано - Коши, их геометрическая интерпретация. Первая и вторая теоремы
Вейерштрасса, их геометрическая интерпретация. Непрерывность сложной и обратной
функций.
Литература:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. [гл.2, § 10].
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш.шк., 1990.
[Гл. 4, § 8-12].
Приложение 2
Содержание практических (семинарских) занятий и методические указания для
студентов
Тема «Функции, основные характеристики функции»
Центральным вопросом всего математического анализа является понятие функции.
Поэтому необходимо, чтобы первоначальные сведения о функциях были правильно
восприняты и прочно усвоены.
План:
1. Теоретический опрос для проверки знаний усвоенных на лекции и самостоятельной
работе.
2. Решение примеров на вычисление значения функции, определение ОДЗ функции,
множества значений, определение четности, нечетности функции, периодичности,
ограниченности и монотонности.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. § 6-10.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк.,
1990. Гл. 4, § 1.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. – М.,
Просвещение, 1979. Гл. 2, § 1-3.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл 6, § 1-3.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-2. – Спб.: Лань, 2001. Гл. 2, §
1, п. 45-51.
Методические указания.
В начале занятия проводится теоретический опрос по основным понятиям функции. При
ответе на вопросы преподаватель обращает внимание на необходимость пересмотра
школьного представления о функции, в нужных местах вносятся необходимые поправки,
уточнения и обобщения.
Вопросы для обсуждения, уточнения и обобщения.
1. Как определяется числовая функция?
2. Что называется множеством значений функций?
3. В каком случае таблица задает функцию?
Тема: «Числовая последовательность. Предел числовой последовательности»
План:
1. Теоретический опрос для проверки знаний усвоенных на лекции и самостоятельной
работе по теме занятия.
2. Решение примеров на вычисление предела последовательности и предела функции.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2., § 1-11.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. – М.: Высш. шк.,
1990. Гл. 2, § 1-4; гл. 4, § 2-6.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. – М.,
Просвещение, 1979. Гл. 2, § 3; гл. 3, § 1-4.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 3, § 1-13.
Методические указания.
Теория пределов вместе с понятием функции составляет основу математического анализа.
С пределами придется встречаться не только при изучении всех разделов курса
математического анализа, но и при изучении других наук, таких, например, как геометрия
и физика. Кроме того, пределы составляют важную часть школьной программы по
математике. Поэтому будущий учитель информатики должен изучать эту главу с особым
вниманием и тщательностью.
Ответьте на следующие вопросы:
1. Что такое числовая последовательность?
2. Что является графиком числовой последовательности?
3. Способы задания числовой последовательности (аналитический, указание
нескольких первых членов последовательности, графический, рекуррентный);
4. Понятие предела числовой последовательности (записать определение с
помощью кванторов), его геометрическая интерпретация.
5. Понятие предела функции в точке и его геометрическая интегрпретация.
6. Основные теоремы о пределе последовательности и пределе функции.
7. Неопределенности и приемы их раскрытия..
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Раздел 1: «Множества. Функция. Классификация функций»
Тема 1 «Функции, основные характеристики функции».
Тема 2 «Элементарные функции и их графики»
Задание 1: Составить тезаурус основных элементарных функций
Методические указания: Законспектируйте свойства основных элементарных
функций. В конспекте по данному разделу необходимо указать: графики элементарных
функций (линейной, квадратичной, показательной, степенной, логарифмической,
тригонометрических, обратных тригонометрических);основные свойства элементарных
функций (область определения; множество значений; исследовать функцию на четность,
нечетность, периодичность; указать промежутки монотонности, выпуклости, вогнутости;
точки перегиба; асимптоты);
Литература:
1. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. –
М., Просвещение, 1979. Гл. 5, § 1-2.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-2. – Спб.: Лань, 2001.
Гл. 2, § 1, п. 45-51.
Задание 2: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 613(1-4), 614(2-3), 616, 623, 627.
Методические указания: При выполнении заданий внимательно прочитайте
материал лекции и изучите теоретическую часть по литературе:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов.
Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. § 6-10.
2. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл. 1, § 1-2.
Постарайтесь в устной или письменной форме ответить на вопросы:
1. Дайте определение функции одной переменной.
2. Что называется областью определения или областью задания функции?
3. Какие вы знаете способы задания функции?
4. Что называется графиком функции?
5. Дайте определение четной и нечетной функции.
6. Дайте определение периодической функции, приведите примеры.
7. Какие функции называются монотонными? Пример.
Предварительно просмотрите решение подобных примеров в учебнике Данко П.Е.,
Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб.
пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 609, 610. Выполните
рекомендованные номера.
Задание 3: Самостоятельное изучение тем: Алгебраические функции. Полярная
система координат.
Методические указания. Законспектируйте по учебнику Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. § 9, стр. 26-27 виды алгебраических функций: целая функция или многочлен,
рациональная, иррациональная. Приведите примеры указанных функций. Обратите
внимание на определение трансцендентной функции. Какие функции являются
трансцендентными?
Изучить тему «Полярная система координат» по учебнику Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: ИнтегралПресс, 2002. § 10, стр. 27-28 и решить примеры № 41, 42.
Литература а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. § 6-10.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 4, § 1.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл. 2, § 1-3.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. Гл. 6, § 1-3.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. т. I-II.– Спб.: Лань, 2001.
Гл. 2, § 1, п. 45-51.
Дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 2, § 1-5.
Раздел 2. «Последовательности. Предел последовательности, предел функции»
Тема 1: «Числовая последовательность, предел последовательности»
Тема 2: «Предел функции»
Тема 3: «Бесконечно малые и бесконечно большие функции».
Теория пределов вместе с понятием функции составляет основу математического
анализа. С пределами придется встречаться не только при изучении всех разделов
математики, но и таких наук как физика, механика. Изучение этого раздела должно быть
тщательно продумано и проанализировано.
Тема 1: «Числовая последовательность, предел последовательности»
Задание 1. Повторить за школьный курс материал по геометрической и
арифметической прогрессии.
Методические указания. Законспектировать материал о геометрической и
арифметической прогрессии из школьного курса математики (определение
арифметической и геометрической прогрессии, основные формулы: формулу п-го члена,
суммы п членов прогрессии, характеристические свойства).
Задание 2. Изучить вывод числа е.
Методические указания. Законспектировать по учебнику Виленкин Н.Я. и др.
Математический анализ. Дифференциальное исчисление. - М., Просвещение, 1979. Гл. 3,
§
7
вывод
числа
е
и
обратить
n
внимание
на
доказательство
монотонности
 1
последовательности xn  1   и ее ограниченности.
 n
Тема 2: «Предел функции»
Задание 3. Подобрать примеры на различные виды неопределенности и решить их.
Методические указания. Внимательно прочитайте лекционный материал, изучите
материал по литературе: Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление:
Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл 2, § 1-8 и ответьте на вопросы:
1. Что называется пределом последовательности?
2. Может ли быть последовательность ограниченная, но не иметь предела?
Приведите пример.
0 
3. Раскройте смысл неопределенностей вида , , 0   ,    .
0 
4. Какие еще знаете неопределенности и как они раскрываются?
Каждому студенту предлагается из сборника задач Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник
задач по математическому анализу. Т.1. предел, непрерывность, дифференцируемость.:
Учеб.пособие.-М.: Физмат, 2003. Гл. 2, § 8-9 подобрать примеры на различные виды
0 
неопределенностей: , , 0   ,    и решить их.
0 
Задание 4. Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.:
Высш. школа, 1980. № 653-660, 664, 677, 690, 696, 695.
Методические указания. При подготовке к выполнению заданий № 2
предварительно просмотрите решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 634-648.
Тема 3: «Бесконечно малые и бесконечно большие функции».
Задание 5. Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.:
Высш. школа, 1980. № 706, 710, 712, 716, 718.
Методические указания. При подготовке к выполнению заданий упражнения № 3
предварительно прочитайте Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное
исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 11 и ответьте на
вопросы:
1. Какая функция называется бесконечно малой и бесконечно большой?
2. Какая существует связь между бесконечно малой и бесконечно большой
функцией?
3. Какие бесконечно малые функции называются бесконечно малыми одного
порядка? Какие из них называются эквивалентными?
4. Как определяется порядок одной бесконечно малой по отношению к другой.
5. Запишите и выучите таблицу эквивалентных функций.
Проанализируйте решение примеров в учебнике Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для
студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 700-703 и выполните указанные номера.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 1-11.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 2, § 1-4, гл 4, § 2-6.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл. 2, § 3, гл. 3, § 1-4.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 3, § 1-13.
Раздел 3 «Непрерывные и разрывные функции»
Тема 1: «Непрерывные функции. Точки разрыва, их классификация».
Тема 2: «Свойства функций, непрерывных на отрезке».
Тема 1: «Непрерывные функции. Точки разрыва, их классификация».
Домашнее задание: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа,
1980. № 723, 727, 730.
Методические указания. При подготовке к выполнению заданий необходимо:
Изучить лекционный материал и Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисление: Учеб. для втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 9-10.
Ответить на вопросы:
1. Как определяется непрерывность функции в точке?
2. В каком случае говорят о разрыве функции в точке?
3. Как классифицируются разрывы?
Проанализируйте решение заданий Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.М.: Высш. школа, 1980. № 719-721 и выполните домашнее задание.
Тема 2: «Свойства функций, непрерывных на отрезке».
Задание: Изучение и анализ учебного материала по теме: Непрерывные функции.
Методические указания. Понятие непрерывности функции является весьма важным
в математическом анализе. Так как это понятие опирается на понятие предела функции, то
особой трудности для самостоятельного изучения не представляет. В теоретическом
отношении самым важным в этом разделе является изучение различных определений
непрерывной функции и доказательство их равносильности. С точки зрения практической
полезности для будущего учителя информатики важны следующие вопросы:
1. Свойства непрерывных функций;
2. Существование и непрерывность обратной функции;
3. Существование и непрерывность обратно-тригонометрических функций,
показательной, логарифмической, степенной функции.
Изучите вопросы 1-3 и законспектируйте материал по вопросу 3 по учебнику
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 – СПб: Издво «Лань», 1997. Гл 4, § 10, 11, стр. 100-103 или Виленкин Н.Я. и др. Математический
анализ. Дифференциальное исчисление. - М., Просвещение, 1979. Гл. 4, § 11, стр. 149-154.
Литература: а) основная
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 9-10.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 4, § 7-12.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл 4. § 1-2.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах Ч.I-II: Учеб. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. школа, 1980. № 719-730.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II. Гл. 3, § 1-13.
Подготовка к коллоквиуму № 1 по разделу «Введение в анализ»
Методические указания. Первое контрольное мероприятие – это подготовка и сдача
коллоквиума № 1, причем сначала проводится коллоквиум, а затем студенты выполняют
аудиторную контрольную работу № 1.
Коллоквиум проводится в следующей последовательности. Сначала студенты
проходят тестирование, на которое отводится 45 мин., а затем преподаватель
осуществляет устный опрос каждого студента по основным вопросам раздела «Введение в
анализ»:
1. Что такое функция? Привести примеры.
2. Что такое числовая последовательность? Что является ее графиком и как ее
можно задать?
3. Дать определение понятию «предел числовой последовательности», записать с
помощью математических символов и объяснить геометрический смысл этого понятия.
4. Что такое предел функции? Записать определение на математическом языке.
Геометрическая интерпретация предела функции.
5. Основные свойства пределов функции.
6. Теорема о единственности предела функции (доказать).
7. Неопределенные
выражения
(уметь
раскрывать
различные
типы
неопределенностей с помощью рекомендаций и «замечательных» пределов).
8. Различные определения непрерывной функции в точке.
9. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
10. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.
11. Дать определение понятию «точка разрыва».
12. Какие виды точек разрыва вы знаете? (Уметь приводить примеры функций,
имеющих точки разрыва и уметь определять род точек разрыва).
Центральным вопросом всего математического анализа является понятие функции.
Поэтому необходимо, чтобы первоначальные сведения о функциях были правильно
восприняты и прочно усвоены.
Теория пределов вместе с понятием функции составляет основу математического
анализа. С пределами придется встречаться не только при изучении всех разделов курса
математического анализа, но и при изучении других наук, таких, например, как геометрия
и физика. Кроме того, пределы составляют важную часть школьной программы по
математике. Поэтому студент должен не только усвоить этот материал, но и понимать.
В теоретическом отношении важным в понятии непрерывности функции является
изучение различных определений непрерывности функции и выяснение их
равносильности. Понятие равномерной непрерывности функции является более тонким
математическим понятием и труднее усваивается студентами, поэтому при подготовке
необходимо тщательно продумать и осмыслить все понятия и определения.
Подготовка к контрольной работе № 1
Методические указания. После сдачи коллоквиума № 1, студенты готовятся к
выполнению контрольной работы № 1.При подготовке к контрольной работе необходимо
обратить внимание на решение уравнений и неравенств с модулем, построение графиков
функций (повторить основные свойства и графики элементарных функций), уметь строить
графики функций путем деформации: растяжения, сжатия и параллельного переноса
графика элементарной функции. Уметь находить область определения функции. Особенно
тщательно проработать материал по раскрытию различного рода неопределенностей при
вычислении пределов функции и последовательностей. Уметь доказывать непрерывность
функции, находить точки разрыва и знать их классификацию.
Литература: а) основная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для
втузов. Т. I: - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Гл. 2, § 1-10.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1 –
СПб: Изд-во «Лань», 1997. Гл. 4, § 1-12.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математический анализ. Дифференциальное исчисление. М., Просвещение, 1979. Гл. 2-3,; гл. 4, § 1-2.
б) дополнительная:
1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. - М.:
Просвещение, 1972, т. I-II.
/
4.2. Тестовые задания для текущего контроля
1. Пределы
1.1. Среди графиков, приведенных на рис. 1.1, указать ВСЕ, соответствующие формуле
1.2. Среди графиков, приведенных на рис. 1.1, указать ВСЕ, соответствующие формуле
1.3. Среди графиков, приведенных на рис. 1.1, указать ВСЕ, соответствующие формуле
Рисунок 1
1.4. Указать ВСЕ утверждения, справедливые для графика функции, изображенного на
рис. 1.2:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
1.5. Если
а) 3; б) – 3; в) 0; г)
, то
равен
; д) не существует.
1.6. Если
а) 3; б) – 3; в) 0;г)
, то
равен
; д) не существует.
1.7. Если
а) 3; б) – 3; в) 0; г)
, то
равен
; д) не существует.
1.8. Если
а) 3; б) – 3; в) 0; г)
и f(x) –четная, то
; д) не существует.
1.9. Вычислить
а) 1; б) – 1; в) 0; г)
.
; д) не существует.
равен
1.10. Вычислить.
а) 1; б) – 1; в) 0; г)
; д) не существует.
1.11. Вычислить
а) 1; б) – 1; в) 0; г)
.
; д) не существует.
1.12. Дано
Укажите ВСЕ верные утверждения:
а)
ограничена в окрестности точки
б)
– бесконечно большая при
в)
г)
;
;
при
– бесконечно малая при
;
.
1.13. Известно, что при
и
– бесконечно малые и
Какое из следующих утверждений верно при
?
а) (х) и (х) эквивалентны;
б) (х) более высокого порядка малости, чем (х);
в) (х) более низкого порядка малости, чем (х);
г) (х) и (х) одного порядка малости.
1.14. Известно, что при
бесконечно малые
и
эквивалентны (
), Какое из следующих утверждений верно при
а)
более высокого порядка малости, чем
б)
более низкого порядка малости, чем
в)
и
г)
и
1.15. При
а)
?
;
;
одного порядка малости;
нельзя сравнивать.
укажите ВСЕ верные утверждения:
;
б)
;
в)
;
г)
1.16. Вычислить
а) 1; б) – 1; в) 0; г)
.
.
; д) 1/2.
.
2. Непрерывность
2.1. Среди графиков, приведенных на рис. 2.1, укажите ВСЕ, на которых функция
имеет в точке а разрыв второго рода.
2.2. Среди графиков, приведенных на рис. 2.1, укажите ВСЕ, на которых функция
имеет в точке а разрыв первого рода.
2.3. Среди графиков, приведенных на рис. 2.1, укажите ВСЕ, на которых функция
непрерывна в точке а:
Рисунок 2.1
2.4. Известно, что
;
. Какое из утверждений
верно?
а) с – точка неустранимого разрыва первого рода;
б) с – точка устранимого разрыва первого рода;
в) с –точка разрыва второго рода;
г) с – точка непрерывности.
2.5. Известно, что
;
; f(c) = – 5. Какое из
утверждений верно?
а) с – точка неустранимого разрыва первого рода;
б) с – точка устранимого разрыва первого рода;
в) с –точка разрыва второго рода;
г) с – точка непрерывности.
2.6. Укажите, в каком случае в точке с функция f(x) имеет устранимый разрыв:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
; f(c) = 0;
; f(c) = 5;
;
;
; f(c) = – 5.
2.7. Известно, что f(x) – непрерывная функция. Какое из следующих утверждений
верно?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.8. Функция f(x) имеет устранимый разрыв в точке х = 2 и
равен
. Тогда
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ГЛОССАРИЙ
Понятие
Функция
Определение
Соответствие, по которому каждому х из множества
Х по некоторому правилу ставится в единственное
число у  У .
Предел функции в Число А называется пределом функции y  f (x) при
точке
x  a (в точке a ), если для каждого числа   0
можно найти такое число       0 , что f ( x)  A
будет меньше  , когда x  a   , при x  a .
Непрерывность
Функция y  f (x) называется непрерывной, в точке
функции
a ( x  a ), если для каждого числа   0 можно найти
такое число       0 , что из условия x  a  
вытекает неравенство f ( x)  f a    .